numerical analysis of the optimal exercise boundary of an ...€¦ · uppsala universitet uppsala...

26
UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. f ¨ or informationsteknologi Information Technology Avd. f¨ or teknisk databehandling Dept. of Scientific Computing Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an American Put Option by Per Lindberg Gunnar Marcusson Gustav Nordman Internal Report No. 2002:7 May 2002

Upload: others

Post on 18-Nov-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY

Inst. for informationsteknologi Information Technology

Avd. for teknisk databehandling Dept. of Scientific Computing

Numerical Analysis of the Optimal ExerciseBoundary of an American Put Option

by

Per Lindberg Gunnar Marcusson Gustav Nordman

Internal Report No. 2002:7

May 2002

Page 2: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

���������������� ���������������������� �!�#"%$'&(�*),+�-�(����� ��.')($'/0&21�����3��46587:9<;=46"(+$�&>���?��/@��&(�!A8����)(AB)�+���DC($�E���� $'�F)(�*G����IH&���)J.'�K��$'/L�8�*�J� +$�)��NMO�!��P<A'HRQSP<T�$��!��)UE���&(�*�!��� �:�>��� VW��&*�K�2���:�-�!��A2X-�-�*�!$'�Y�ZG�/@��&(�!)(AZ��[�\]����2X +�-������&^$')*)^�,X`_O&��-��A'Hba�� P�$'� )*$'��)dc���� �<�@��� VW��&(����)�)*P<T��K/e�0$SP<T`)(�����-�`���`�K��A��K�C +��/@" +$�&*��� )*�3"%G���A2��� $'��[\]��C�+��/@"(+$�&d)(�����-�f587:9<;g/@���`AW+�������e��.�����)(A-�-EW�K&^"(+$'&d�3hS�!)R����&*�������>/0$i����� �!�K&J�,Xj���3���)(ki/@E���$��*�!)(A-�mlW�3���K�������3��4Sln1�������o)(�!G��*�K�O��X0.��!� �*�!.'T��K��)R��� �����p$iP<Te"(+$'&n�����Y$�+������� �!.2�),+���qC($'E���� $'���K��[rg"s�*��&()*$'/ ���3�t�=Cuc�����)j�#1��.'$'�v�������wkZ���!)(Ax"%G���A2�*�!$'�y)*$�/ lW�K)*AZ&*�wX'��&z&��-�������{��� �!�"%$'&(�*),+�-�(����� ��.')*$�/0&21�����K�]����E��-)*)��-&]XS�|EW$�� ki��$'/}��X`$'� �!A8�0.'&*�����K&^��� �!�������~�ZG�/@��&(�!)RHA-���=+$�)*��� ��.'����[�\]�gG�������&*)�+$'A��K&>)(�������BTZG�&�Eo$'�wkS��$'/0�K��)�A�$i�K�@PK�!���2�*��&>lo��&($'&m��X��� X'$��:�-�*�!�!�w���3�������n$iP<Tj� � &,+���2�������3[

Page 3: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

�Y�6�K��8�����UT��`$'E��*�!/0�����Ih��K&*PK�!)*�jlW$�G�������&Rk�"%$'&e�-�x�^/@��&(�!P�����E�G��Y$'ES���!$���� )0)R��G���� ����lZk)*$'�wXS� ��.`��T��uMO�:�-P<A2HbQSP<T�$'� ��)NE��-&(���!���n��� VW��&(���2���!���O�K�iG��-��� $'���ZG�/0�K&*� P���� � k'[��UT��!)N�!)P���&(&*�!�K��$'GS�>G�)(�!��.���T��Y_O&*����A'Hbad�!P�$��!)*$���)*P<T���/@�Y�����f��T��K�Bc������!��.z��T��@$'E��*�!/0����3hS��&(P��!)(��lo$'G�������&(kYG�)*� ��.e�N)(�!/@E��!�]PK$'/@E���&*� )*$'���-�!.'$'&(� �*T�/j[���u��T������!�2X'�K)(�*�!.2�-�*�u� "d$'G�&>)*$'� G���� $'�F"%$'�!� $,�J)���T��zAZ��$,�J�?/e�8��T��K/e�-�*�!P�����E�&*$'ESH��&(�*�!�K)�$�"#��T��Nlo$'G�������&(k�[>�UT��K&*�p�!)]��$j�-����� kZ�*�!P��-�|)($'�!G��*�!$'�j��$Y��T��NE�&*$'l��!��/z4�l�GS���T��N�-)(ki/0ES��$��*�!P��-�|lo��T���Xi�!$�&^$�"g�*T��>$'ES���!/0�����3hS�K&*P�� )*�Nlo$'G�������&(kz�!)�AZ��$,�J�~�JT������E�E�&($2��P<T�� ��.p�3hSE��!&Rkz�����u�JT��K�j��� /0����$p�3hSE�� &(ku.'$i��)U�*$@� ��c����w�=k'[QS�!��PK�N��$������-� kZ��� P�����)*$��!G��*�!$'�`� )^AZ��$,�J��4����p��E�E�&($,hS� /e�-�*���*T��N$'E��*�!/0�����3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rkt�J� �*T~�YEW$�� ki��$'/@�:����[]���,Xi� ��.u��$'�����*T��!)��O�N�Ih��-/0� ����T�$,����T���PK$S�3�NHP��!�K�2��)JX��-&(ke"%$�&���T����!�2X�$'� X����zE���&��-/0�3����&()J� � X'$'�!�-��� �!� �=k��#�����z� � � �2����&(��)R��&*�-�����3[

Page 4: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

� �@¡Y¢¤£�¡Y¢¤¥

¦ § �W,� ¨�©�ª|��,��¨o� «

« ¬m� ¨o�|­%®S� ¯�®2°6�|�s �%¨o� «± [w² ³�$'&(/�G��!����[�[m[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ±± [ ± ´ &($'l��!�K/¶µ]��)(P�&(�!E��*�!$'� [m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ·

¸ ¹ ª|��®Z�8���'��­n¬m�8���2�����f¨��J º�®`�u��®Z�8���'����¬�ª� »·�[w² �U� /0�����!)*PK&*�3���!¼��-��� $'�u$�"���T�����/0�K&*�!P���� ´ G��½[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ¾·�[ ± adG�/@��&*� P�����/0�3��T�$i� [m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ¾·�[¿· M�$'G������-&(kz_O$'����� �*�!$'��)f[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ À·�[ÂÁ ³|�!����� ��.���T��>Ã]E��*�!/0����r6hS��&(P�� )*��MO$'G�������&(k [�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ À·�[ľ ��P�PKG�&���P3k�$�"���T����ZG�/@��&*� P�����/0�3��T�$i� [m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ Å·�[¿Æ ´ ��&R"%$'&*/0����PK��[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ Å

Ç ÈpÉ ������­#Ê^Ë�®Z�8�2���K®`�u����­%Ì������ ¦ZÍÁ�[w² ´ &($'EW�K&(�*�!��)U"���&�"%&($'/Î/0�-�*G�&*�w�=ky[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ�ÐÁ�[ ± ´ &($'EW�K&(�*�!��)J������&U/0�-��G�&(� �=kÑ[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ�·Á�[¿· _OG�&(X'��c��(���!��.@$-"|�*T����iG�/0�K&*�!P�����)($'�!G��*�!$'� [m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ,¾

» ¯������2ª|������¨o� « ¦¾S[w² ³���&�"%&($'/Î/0�-�*G�&*�w�=ku[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²¾S[ ± ad����&J/0�-��G�&*� �=kÒ[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²¾S[¿· _OG�&(X'��c��(���!��.e[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²

Page 5: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

á â ¡Y¢gãg��ä�å�æU¢gç��@¡

�^/@��&*� P����p$'ES���!$���)g��&(���J�!���K� k>�*&��������p��T�&($'G�.'T�$�G��g��T��U��$'&*� ��[6�UT��!)g�KX����@��T�$'G�.'Tr#G�&*$'Eo�����B$'E��*�!$'��)m��&(�0lo�K�(���K&�/0�-��T���/0�-��� P���� � k����K)*P�&(�!lo����[uè=�~"���P3���*T��0E�&*�!PK�!��.E�&*$'l��!��/Î$�"6��/0�K&*� P����u$'ES���!$���)UT���)J��$��Jk��K�dlW�K���j)*$'�wX'���j�����-� kZ��� P���� � k'[���#T���X'�n)(�*G���� ������T��#E�&($'EW�K&(�*�!��)�$-"S�*T��#�^/@��&*� P�����E�GS�|$�E���� $'��[��UT��!)�� )��Jc�������PK�:�������&(� X-�-���wX'�J�JT��!P<Tu.�� X'�K)��*T���T�$'�!���K&��*T��^&(�!.'T2� � l�GS����$��n��T��^$'l�� �!.2�8���!$����|��$�)*��� �o�����)*)(�K��46��[Â.�[��j)R��$iP<Ao4|"%$'&m�jE�&(�3H=)(EW�KP��wc����FE�&*�!PK�0G�E�G��2��� �n�jP��K&(�����!�~��� /0�-4��*T��0)($P���� �!�����Ih�E��!&(kY���-���-4�T���&(��������$-�����jl2kYém[���J)(����&(�*���@l2kNP�$'/@E���&(�!��.]�*T��J�^/@��&(�!P��-�NE�G��#��$���T���rgG�&($'Eo������[6�UT��Kk@��&(�U�ZG�� �*�)*�!/@�!�!��&����������wV��K&�$'��� k]�!����T��#"���PK����T��-�|r#G�&*$'Eo������$'E��*�!$'��)�P����>$'��� k�lo���IhS��&*PK�!)(����-�J��T����3hSE�� &(ku���-���-[ê�)*� ��.���T��K)*�d)*� /0� �:��&(� ��� ��)����d����&(�d��l��!���*$�.'� X��J��.�$S$i�N�ZG�/0�K&*� P�������E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'�$�"J��T��Y��/0�K&*� P����FE�G���[��UT�� )��!�B��G�&(��.2��X'�uG�)N�-��$'E�Eo$'&(�*G���� �=kf��$`�������wkS¼K�e��T��$'E���� /e�-�n�IhS��&*PK�!)(�ulW$'G�������&Rk'[�è�N���K)*PK&*�!lo��)K4g����Eo�������!��.�$-"U��T��YPKG�&*&(���2�pE�&(�!P��e$�"��T���G�������&*�wki�!��.@��)()*�K��4�� "�$'����)*T�$'G��!�zP�$��Z�*�!�ZG�����$pT�$��!��$'&U�3hS�K&*P�� )*����T���$'ES���!$���[

ë ì ãg�@í�î�£�ï ðñ£^òf¡�çK¢gçK�0¡

Ã����U$�"���T���"%G�������/@���2�<���Sl�G�� �!��� ��.^l�� $SP<AZ)g$�"o$'ES���!$���E�&*� P�� ��.]�!)|��T��^óJôwõiö<÷8øù�ö<ú�û8ô!ü<ýü*þ�ÿ�õ���� û�� � �UT���$�&*��/ ± [ ± �g����)(P�&(�!l�� ��.��*T��^rgG�&($'Eo�����Y$�E���� $'��[|�y�w��T�$�G����*T��!)n���ZG�� H���!$��0��T��^&��-E��!�@���KX���� $'E�/@���2��$�"�$'E���� $'�e/0��&(A��K�*)���$'&*� ���J�!����T��-�e��$��OlW�K���YEo$')()*�wHl��!�-[gè=�z�*T��!)U)(��PK�*�!$'�u�����J�!�!�oc�&*)R�d)(�<�8���]��T��ml���)*� P]"%$'&*/�G��:���^��������T��K�z���Kc�������T��)*P�$�EW�m$�"|$'G�&U�!�2X���)(�*�!.2�8���!$���[

��� � �������������¯�®2°6�|�s �%¨o�Ò«�� ¦�� ú�ü � ­%��� �"!3���8º�¨o­%®i�@�B��� �o®2e��¨�©�®i­ ö<û���ý#�!ý#�sýNû�$%�'&OûYõ8ý<ý,ü#�sý&��(�%ú*)�+��oõ�,-� ö<ý/.��(0�ü#�213+ 465 �87 ��9v� 5 �(7 � � ² �4;: �87 ��9=< : �87 � 4 7�> � : �(7 � 4;? �87 � � ± �&6ú�ü#@<üU�6AB<võ��C)��yõ�@�üD)iü#�=ü#@E,-�(�F�!ý#�'� ö�ö<û���ý#�õ��F�sý3G 5 �!ýmõH@E�!ý<÷�$E@�ü<ü�õ8ý<ý,ü#�JI�ó^û��C)#KLA: �!ýmõ*IM,eû�@�ü�û�@�ô!ü<ý<ýNKO@E�!ý<÷�+0õ8ý<ý,ü#�JI ù��=û,ö<÷PKLA��Q�!ýR�sú�ü%�(�F�bü#@�ü<ý#��@(õ��büPAB<S�!ý%�sú�ümô!û,ö*õ�ô,eü*õ��T@(õ��bü�û�$ @<ü#��ÿ;@#��õ��C)��U�!ý%�sú�ü%0�û8ôwõ����sôV�(�'+LA�&6ú;� ö<úW)iü<ý,ö#@E��13ü<ý �%ú�ü%,@õL.��F�(��ÿX)iü�û�$�%ú�üZY�ÿ�ö#��ÿ�õ��'� û���ýpû�$ : G � ú�ü%�=ü#@E, 4[? �!ý>õ]\Q� ü#��ü#@_^C@�û,ö<ü<ý<ý3G

±

Page 6: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

` º�®i¨�� ®i� «a� «cb � ­%��� �"!3���8º�¨o­%®i�]®[d�ª���,��¨o�fe/g ý<ý3ÿ;,eü/�%ú�õ��B�sú�üJ,@õ�@�÷2ü#�B�!ýUýN^�ü<ö3ø� h�üi)j13+lk;G(m�õ��C)l�sú�õ��n&Oüo&nõ��F�/�=û-^C@E� ö<üeõ~ö<û��F�'�(�;.iü#�F��ö3ôwõ��(, û�$O�sú�üp$�û�@E,rqs9t � : � é^�*�uG � ú�ü#�v�sú�ü�û���ôV+�^C@#� ö#�(�;.Z$Iÿ[��ö#��� û��jû�$p�sú�üw$�û�@#,yx �87 �Z9=z �87E{ : �(7 �*��&6ú;� ö<ú�!ýzö<û���ý#�!ý#�=ü#�F�J&��(�sú|�%ú�üYõ}13ý,ü#��ö<üuû�$eõ�@u13�(�'@(õL.iüo�!ýH&6ú�ü#�~z��!ýH�sú�üpý,û8ô ÿ[��� û��Òû�$H�sú�ü$�û8ôsô!û�&��(�;.v13û8ÿ[�C)2õ�@E+o08õ�ô ÿ�ü�^C@<û�1�ô!ü#,��(�T�%ú�ü�)iû�,@õ��(�j�ÂÐ { én�a�T� �ZGz�; �(7E{E� � > � � z�� �87E{E� � > ²

± ��� � � �(7E{E� ��z��'� �(7E{E� ���F��z �(7E{E� ��9 Ð � ·2�z � é {E� ��9yt ��� � � ÁZ�

r#�ZG��8���!$���) � ·2�d�-��� � Á2�JP����`lo��)($'� X�����G�)(�!��.@��T��>³��3ki��/e�-�SH������P�&*�KE�&*�K)*�K�Z���-��� $'�"%$'&*/�G��:� � )(����� ²u�s�I4���T�� )U.'� X���)JG�)J��T��m��&(l�� �*&���.��^"%&*�K�mE�&*�!PK�]"%$'&���T���rgG�&($'Eo�����z �(7E{E� ��9=���6�i����� ;��'�D�;�� � ��t � : � é]�(��� � ¾'�

MO$���T���T��m��/0�K&*� P����z�����u�*T��mr#G�&*$'Eo�����z$'E��*�!$'��T���X��m�*T���P�$'�2��&*��PK�J"%G���PK��� $'�t � : � é]�(��9 �'  � : � � 9v/0�8h �'  � : { Ð2� { � Æ2�

�JT���&(�   �!)���T��m)R��&(�!A���E�&(�!PK��[è=�v$'&(����&Y�*$�E�&*� P�����T�����/0�K&*� P����yE�G���$�E���� $'� �O�~T���X'�~��$�)($'� X��`��T��~$'E��*�!/0���)(��$�E�E��!��.0E�&($'l�� ��/

/e� h¡ ¢ � �~£ � �6� ¡ t � : ¡ �N¤3¥ { ¦l§ �ÂÐ { én� {�JT���&(� � � �w�O������$����K)p�*T��Y�Ih�Eo��P3���K�?X-��� G��eG�������&��*T��uE�&*$�l���l�� �!� �=k~/@���-)*G�&(�©¨@4���Kc������t)(G�P<Tj�*T��-� : T���)U��T�����ki����/@�!PK)4;: �87 ��9{� : �87 � 4 7�> � �87E{ : �87 �(� : �87 � 4[? �(7 �G������K&J¨p[

���M� ª~�F��«����B� ¬­�w®X¯a��°±/²F°���³Ã�G�&�/e�-�!��.�$2���n�!)��*$������-� ki¼��e�*T��BûP^C���(,@õ�ôJü�´Sü#@�ö#�!ý,üv13û8ÿ;�C)2õ�@#+84¤��T��-��)(��E���&*�-���K)��T��0��&*�����JT���&*�@$'���@)*T�$'G��!�fP�$��Z�*�!�ZG��N��$zT�$'� �f�*T��p$'E��*�!$'�f�����~��T��e��&(���u�JT���&(�$'����)*T�$�G��!�z�3hS��&(P�� )*�m� ��[�UT��!)]� )]��$'����l2k`$'l�)(��&RXS� ��.Y��T���EW$��!�2�]$�"#� �2����&()*�KPK��� $'� ���3µ ��$'�`��T�� � Hb�8hS�!)d�JT���&(���T���E�&(�!P��%z lW�KP�$'/@��)J�!�����2��� P����o��$N��T���PK$'�2��&��-PK�U"%G���P3��� $'�u"%$'&J���!� �R¶S�3µ [g�UT��!)J�!)

·

Page 7: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

0 10 20 30 40 50 600

5

10

15

20

25

30

Price of underlying asset (S)

Opt

ion

Val

ue

Contract FunctionEuropean price

³6�!.'G�&*��²¸·g_O$��Z�*&���P3��"%G���PK�*�!$'�O¹O9 ��  � : � � �����@E�&*� P��U"%G���P3��� $'�@"%$�&��mrgG�&*$�EW�����E�G��d$'E��*�!$'��[

³6�!.'G�&*� ± · ´ &(�!P��J)(G�&("���PK�d"%$�&��-�0��/0�K&*�!P����pE�G��O�����p��T��d$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(��lo$'G����iH��&(k�[

��G�����$��*T���"���PK���*T��-�U�*T����^/@��&(�!P��-�uE�G��J$'E��*�!$'���-� �O�,ki)J/�G�)R�JlW�]��$'&R��Tz�-�J�!����)(�t ���Z�87 �(�U)(�!��PK��$'����P����z�3hS�K&*P�� )*�m� �J�8�^�-�Zke���!/@��[Ã����^P��-�Y&*$'G�.'T�� kp)*��k0�*T��-�n��T���EW$'� �2�O$�"�$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(�]$iP�P�G�&*)��JT���&*����T��^r#GiH&*$'Eo�����>$'E���� $'�m�!�2���K&*)*�KPK�*)6��T���E���k'$�V@"%G���P3��� $'�>� �mc�.�G�&*��²'[¤³�$'&���T��O�^/@��&(�!P����>E�GS���T�� )U�!�2���K&*)*�KPK�*�!$'�u���3X'�K&�$iP�PKG�&*)U)(�!��PK��4���)U)R�<�-�*���z����&(�!� ��&�4Z��T���E�&*� P���)J�-&*���!�����2��� P����

Á

Page 8: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

"%$'& �Z�87 � ¶S�3µb�(7 �3[�UT��tEo$'�!�2�*) �3µ=�87 �DÁ 7*§ �ÂÐ { ép�J.'� X���)@G�)@�*T��z$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�tlo$'G�������&(k�PKG�&(X��587:9<; �87 �I[>�yT��K� �Z�(7 � ¶ 587:9<; �(7 �^$'���N)*T�$'G��!�~�Ih��K&*PK�!)*�p��T��NE�G���4�$'�`�*T��p$���T���&�)*� ����4�i�(7 �_Ây587:9<; �(7 �¤� �g� )g$'E���� /e�-�S��$�T�$��!�p� ��[6è=�Nc�.'G�&(� ± ���J)*���J��T��-�g��T�� )g�!)g�K�iG�� X-���!�K�2���$@E�&*$8C(�KPK�*�!��.N��T��m� �2����&()*�KPK��� $'��$'�2��$p��T�� � � 7 E��!�����-[

Ã Ä å�ï £�ã#ç�æpÅ�î ì ã#ç�ædç�¡TÆ �OÇv¢fÈ`£ ÉÜï £�ã#ç�æpÅ�¡ ì åt¢

�UT��uE�&*$�l��!�K/Ü$-"JE�&*� P��!��.`���F��/0�K&*� P����FE�G���$'ES���!$���T���)K4#��)�/@���2��� $'���K�F�!�F)(��PIH���!$�� ± 4¤��$��������wkZ���!P����#)*$'� G���� $'��[��^���F��TZG�)���$t�3h���PK��)*$'� G���� $'�f"%$�&���T��e$'E��*�!/0����3hS��&(P��!)(�elo$'G�������&(k�[0�UT��K&*�e��&*�-4�T�$ ���KX���&K46����ki)��*$j�ZG�/@��&(�!P����!�wkt���3���K&*/@�!���N��T��E�&*� P��N$�"#��T��@$�E���� $'��[mè=�~�*T��!)�)(��P3���!$��~���N�J�!� �|���K)*PK&*�!lo�N��T��N�ZG�/@��&(�!P����6/@�K�*T�$S��)�O�]T��,X��^G�)(���Y�*$>E�&(�!P��J��T��^�^/@��&(�!P����0E�G���$'ES���!$��e�����ec����e�*T��d$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rk'[

Êp� ËÌ°�Í�ÏÎ%°�®X¯a�F��²�°Ða��²�°���³Ñ��ÒQ²�Ó �ÏÔ­�Í�w��°¯a�Z³Õª|�/²���pT���X'�pG�)(���~��T��N/@�K�*T�$i������)(P�&*� lW�K�B� �Ö�·�� [�QSG�E�Eo$')*�N�*T��-���Ih��K&*PK�!)*� ��.�$'���wk`�!)���!� $ �����z�-�p×~��� )*PK&*�K�*��EW$'� �2��)J�!�Y�*�!/@�o� 7E{i7�>ÙØÚ7E{i7a> ± ØÚ7E{�Û3Û�Û3{ ép��[è=���*T��!)>P���)(��4#��T��u$'ES���!$����J�!� ��lo��T���X��z� �!A-�u��rgG�&*$'Eo���-�?$�E���� $'���J� �*T�/e�8��G�&(� �=k���-��� ��ÜÝ> ² � ØÚ7 � �t���-P<T`�!�2���K&(X-��� ÜMØÚ7/¶Þ¦2¶ ��ÜÝ> ² � Ø-7E{JÜ 9�Ð {3Û�Û�Û3{ ×W�y²'[d�UT�� )������l��!��)JG�)J��$pE�&(�!PK�]��T���$'E��*�!$'��� ��éÙ� ØÚ7 G�)(�!��.p�UT��K$'&*�K/ ± [ ± [���g��T�� )gEW$'� �2�g�3hS��&(P�� )*�!��.��!)#��� �!$,�O�K��42�����p�*T��U$'E��*�!$'�>E�&*� P����J�!� �Slo����T��d/0�8hS�!/>G�/$�"U��T���C(G�)(�>P���� P�G��!�-���K��E�&(�!PK��4g5Lß3àEád4g�����B��T��0�3hS��&(P��!)(�eX-���!G�� ��  � � � � [têd)*�!��.��T�� )eE�&(�!P������`)*$'�wX'�z"%$'&@�*T��t���3hi�Y��� /0��)R����E G�)*�!��.B��T��t)��-/0�z����P<T����!�ZG��-[v�B�EW�K&("%$'&(/ �*T��!)�&(��Eo���-�*�����wkeG��Z�*�!�o�O��T���X���&*���-P<T�����$'G�&O����)(�!&*�K�u)(����&(�U���-��� 7 [gè"�����!�K� ØÚ7�â Ð�4��*T����!� /0�w���J� �!��lo����T���E�&(�!PK�m$-"|�*T����^/@��&*� P����uE�G��d$'E���� $'��[�UT��~$'E���� /e�-�d�IhS��&*PK�!)(��lW$'G�������&RkÒ�!)e$'l��<�-�!���K�Òl2k E�&*$ C(��PK�*�!��.F�*T��`� �Z�*��&()*��P3��� $'�lW�3�=�O�K��� �*T��~E�&*� P���"%G���P3���!$��v�-��� ��T��~P�$��Z�*&���P3��"%G���PK�*�!$'� ��  � � � � $'�2��$���T��� � 7 H=E��:����� � )*�K�mc�.�G�&*�K)m²m����� ± �

Êp�M� ãä���Í�w��°¯a�Z�H�å��²�Ó �nÎ�|$f)*$'�wX'�u��T��jM��:��P<A'HRQiP<T�$'�!�K)p���ZG��-�*�!$'���ZG�/@��&*� P���� � kf�O��G�)(�z�*T����!/@E��!� P��w�mc���� �*���� VW��&(����PK�N)*P<T��K/0�0_O&��-��A'Hba�� P<T�$'� )*$'� � )*���l�çæ��:�3[mê�)(�!��.u��T��!)^���N.'�K�����~G���P�$������wH

¾

Page 9: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

���!$������!�wk@)(�<�-l��!��/@�K�*T�$S�Y�J�w��Tz����$'&(����&U$�"6��PKP�G�&*��PKku$-" � ± 4 ± �O�!�Y�*�!/@��������)*E���P��-[�UT���)(P<T���/@�m�!)U)*T�$ �J�jlW�K�!$,��4��J� �*Tu���!/@�]��� )*PK&*�K�*�!¼��-��� $'�u)(�*��E ØÚ7 �����j��)*)(�K�d)(�*��EØH� 4

è ßá � è ßL�"éáØÚ7 > � � á± ê è ßá��"é � è ßá � é > è ß��"éá��"é � è ß��"éá � é± Øo� ë >

> � � � �áÁ ê è ßáf�"é � ± è ßá > è ßá � é > è ß��"éá��"é � ± è ß��"éá > è ßL�"éá � éØo� � ë >

��� ê è ßá > è ßL�"éá± ë 9vÐ { � À'�

&*���-&*&��-��.'�!��.p�*T������K&*/@)U.'� X���)JG�)

è ßL�"éá � é ê � � á�ìÁ � � � � �á

Á ë > è ßL�"éá í ² >Ïîuï � ïðCñ� > �Nò ;�*ó >> è ß��"éá��"é_í � î ï � ïð ñô � � � ðÝõô ó 9 � æ2�

9 è ßá � é ê � � � �á�öÁ � � � á�ì

Á ë > è ßá í ²p� î ï � ïð ñ� � �Nò ;�Wó >> è ßá��"é_í îuï � ïð"ñô > � � ðÝõô ó

�J� ��TWì©9 ò ;ò � �-��� ö 9 ò ;ò � ï [g�UT��]��� /0���!�KX����W�!)����K��$��*����l2kY�������u/ �!)���T����-)*)*�3�.'&*� �SH=Eo$'�!�2��[�UT��t)(P<T���/@� � æ2�p&(��)(G�� �*)0� ����T��j)RkS)R���K/ ÷]5 ß3àEáø9sù=ú,4��JT��K&*�*÷}�����ûù ��&(���&*� ���:�-.'$'������/0�-��&(�!P��K)�4aúm�!)]�*T��NAZ��$,�J�B)($'�!G��*�!$'��� �`��T��NE�&*�KXi� $'G�)���� /0��)(���KE��-���5 ß3àEá��*T��^G���Ai��$ �J�eE�&*� P����-�#��T���E�&*�K)*���2�����!/@��[|�UT��!)n)(ki)R����/ T���)#��$mlo�^)*$�� X'�K�e� ��KX'�K&(ku�*�!/@�^)(�*��E�[#��$N��$���T��!)U�K�@PK�!���2�*� k@�O��G�)(���UT�$'/0��)��^� .'$'&(� ��T�/Ñ"%$�&O��&(�!���!��.-H$'������)(ki)(�*��/@) �Nüu�'ý �d$'Eo��&*�-��� $'��)<�I[^µ]G��>��$@��T���T�����XZk`P��-�!P�G��:�-�*�!$'��)J���K�����K��4�����!/@E��!�K/0�K�Z�d�-�!���ZG�/@��&*� P�����P����!PKG��:�8���!$���)U�!�*þ�ÿ�������������[O�B��G�)*�� �����������"%$'&XS� )*G��-�!�!¼��-��� $'�u�����zX���&*�wc�P��8���!$���[

Æ

Page 10: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

Ke−r t∆

Smax

0

Τ(S(T))

t

Φ S

³6� .'G�&*��·[·n_O$'/0E�G��<�-�*�!$'��������&(�����J� �*T�lW$'G�������&RkuP�$'����� �*�!$'��)K[

Êp��Ê � � ��³ Î��������Ì� ³ Î%°N²�°���³ ®³�$�&Y��T��~lo$'G������-&(k � 9 ÐF���BP<T�$�)*�~��T��~��� )*P�$�G��2�����v�3hS��&(P�� )*�fE�&*� P��   � �6�Nò ; [�UT��0$-��T��K&�lW$'G�������&Rk'4��������wkZ���!P����!�wkz����)(P�&*� lW�K�Bl2kf5 9 Ð���) �oâ � 4�T���)���$�lo�P<T�$')*�K�z��&(�*� c�PK�:��� � k'4�������$-�����elZk � á����Z[¤�UT��^lW$'G�������&Rk0PK$'�����w��� $'��)n��&*���!� �!G�)R��&��8������!�uc�.'G�&(�m·�[#�UTiG�)d����)*�K�d��T��mEo$'� �Z� � á�����)*GS�0PK�!�K�Z�*� kY"��-&�"%&*$'/�� �������!�3��5l9{Ð��T��K&*��4�PK$'/0E���&*�o�DÅ���[���0��$����K�B�*T��-�m��T�� )�P<T�$��!P��@E��!�,k���������� /0Eo$'&(�����2��&*$'� �p�!�B�*T��0��P�PKG�&���P3kf$�"���T��"���&plW$'G�������&Rk�&*��)(G�� �*) � )*�K�j)(��P3���!$��xÁ�[w² �3[?�UT��K&*��4��O�zT�������$fG�)*� ����! 9 Å   [MOG��e"%$�&@�*T��jc�&()(�0c�X'�zk'���-&*)e�*T��t$'ES���!/0���U�Ih��K&*PK�!)*�jlW$�G�������&Rk?�!)pXS� &(�*G����!�wkF��T��)���/@�N"%$'&m���!�¤)(��� ��PK�*�!$'��)m$-"��*T��e�-&(���wc�P��!���6lo$'G�������&(k������~��TZG�)��JT����B���@�!$i$'A`�-�)*T�$'&R�]/0�-��G�&*� �*�!�K)d$����>P����tG�)(� ����! 9�·   [�³�$'&d�0���K)(���J� ��T Øo�#" ²�Ð �%$ ����.'$���j/0�8hS�!/�G�/ ��� VW��&(����PK�elo�K�=��������·   ������Å   $�"��*T��@$'&*���K&e²,Ð �%$ �JT�� P<TF�!)���T���3hSEW�KPK�*������PKP�G�&*��PKk � )*�K�m)(��P3���!$��t·�[ÂÁZ�I[

Êp�'& �Q°³ Î%°�³)( ²�Ó �+*û±/²�°�å�Z�-,/./�w�F¯w°®[�0� � ��³ Î���������Y��$ � T���X��e��T��eE�&*$'l��!��/ñ$�"Oc������ ��.t��T��Y�!�2���K&*)(��PK�*�!$'��EW$'� �2�>$�"J$�G�&>)($'�!G��*�!$'�5 ß3àEá �-���f�*T��p�3hS��&(P�� )*�@E�&*� P���[p�UT�� )�����)(P�&*� lW�K)m�*T��p$'E��*�!/0���6�Ih��K&*PK�!)*�@lo$'G������-&(k'[

À

Page 11: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20option pricecontract function

Discrete Stockprice ∆s

sa s

b si

³6�!.'G�&*�OÁX·|�UT��UEo$'� �Z�¤$�"��!�2���K&*)(��PK�*�!$'� �3µ � )¤P<T�$')(���0��) � �O$�& �21 ����Eo�������!��.�$�"��JT�� P<T$'����.'�wX'�K)¤��T���)(/e�-�!�!�K)(�43D5Lß3àEá ��� �¸� �'  � � � � 3Ä[|�B��)*�K����T��8�¤��T��O$'&*���K&¤$�"o��PKP�G�&*��PKk�!) üu�'Øo� �U)(�!��PK� � �]����� �51 P��-�j���wV��K&�"%&*$'/ �3µ �J�w��Tz�-�J/@$')(� Øo�76 ±

æ

Page 12: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

���J��$���T��!)#l2kN)(����&(�*�!��.��-�n��Eo$'�!�2� � 7p �3µ [|�UT��!)#�!)gEo$')()*�!l��!�U)*� ��P������dAi��$ ����T��8���T��N$'ES���!/0�����3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4�5 7:9<; ¶ä  [m��"s���K&^��T��!)^���N���-�*P<T�"%$'&��YP<T�����.'��!��)*� .'��$�"g5Lß3àEá ��� ��� �'  � � � � �JT��!� �])(�*��E2�J�!)(������P�&(����)(�!��. � l2k Øo� [�^��Xi�!��.t"%$�G������*T��!)K4|���YP�$'/@E���&(�83q5 ß3àEá ��� � � ��  � � � � 3W"%$�&m�*T��YEo$'�!�2��)mlo�K"%$'&(����21 �@�-���Ò�-"s�*��& ��� ���N�*T��tP<T��-��.'�t$-"�)*� .'��[ �UT��`Eo$'� �Z�p�*T��-�0.'� X���)0�*T��t)(/e�-�!�!�K)(���l�)*$��!G��*�m��� VW��&*�K��P��m�!)UP<T�$')*�K�`��)J��T���Eo$'�!�2�J$�"|�!�2�*��&*)(��P3���!$���[�Qi����c�.'G�&(�mÁ�[n�UT�����O�N)(�K� � 7n9 �21 ��)�)(����&(�]X-��� G���"%$�&d�*T���P�$�/0E��-&*�!)($'�t� �t��T��>���IhS���w���K&��-�*�!$'��4�)(�!��PK��O�B��)*)(G�/@�`��T��-�u�*T��~$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(�Blo$'G�������&(kx�!)���P�$'�2X��3hy"%G���P3��� $'��[ � �&*���-)*$'���-l��!�z��)()*G�/@E���� $'��4nT������ �plo�������J&*$���.f���j��$'G�� ����$��Nc����x�fP<T��-��.'�z$�")*�!.���)O� �@�*T��^���Ihi�U� �*��&��8���!$���[ ���UT��!)�E�&*$iP��K��G�&(�^�!)nEo��&("%$�&*/@���e&(��Eo���-�*�����wk@G��2���!�����&*���-P<Tt$'G�&U����)*� &*�K�j)R�<��&R�����-���-[

Êp�:9 ÔS¯a¯w� �F��¯��ø��ÒQ²�Ó �ϳn���Í�w��°¯a�Z�H�å��²�Ó �pÎ����AZ��$,�Ü��T��-�t��T��?_O&*����A'Hbad�!P<T�$'� )*$'� )*P<T��K/0��T���)`��� $'&*����&�$�"@��PKP�G�&*��PKk $�"ü���ØH� � {PØÚ7 � �I[#MOG��U��T���P�$'/@E���&(�!)*$��Y"%G���PK�*�!$'�uG�)*������$�c����z�*T���$'E��*�!/0���o�3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rk~.'� X���)m&*�!)(�N��$j���B$-��T��K&��K&*&*$�&m� ����T��0��)*)(�K�>)*E���PK�0$-"U�-�m/@$')(�@² 6 ± ØH� [�UT��!)�� ������)]�*$��Y��$������6$'&(����&�$-"O�-P�P�G�&���P3k�$�" ü���ØH� � { Ø-7 � � >­ü���ØH� �I[>�^���~�*TZG�)$'G�&#/0�3��T�$i�N"%$'&¤c������!��.���T��J$'ES���!/0���S�3hS��&(P��!)(��lo$'G�������&(k�T���)g��T��d��PKP�G�&*��PKk � ² { ± �

Êp�!; ªl�B�FÒE�����å�Z³ ¯a�����T���X'�mP�$�/0E�� �!�K�u$'G�&JP�$i���]�J� �*Tz�*T���P�$'/@/0�����<>=@?BA>C�D�EGF�HIAJ<�E>K7LMAJN�L�EJO@P�HQL>RQSUTVL%O>E�WQXUT7SYKIAJN�E�O�Z5[>RJ\�=G]^<U_JTJHQD�EVF�Ha`b<�=@?dc�JT���&(�m�*T��fe���. A�N�EJO�Z5[�RJ\>=G] �!)�"%$'&JÆ�Á8H=l��w��P�$i�����J� �*T�T��!.'T���&J��PKP�G�&*��PKk�[n�UT��ge���.A�<�E>K7L �!)J�p/e�-P�&*$��*T��-�d�3hSE��-����)J��$A�N�h@iIAJNJX�E�j%R>T@C%ZJE�TkAJN�\>H�Z7L�CGO%R@l�H>KBAJNJX>O�HJ<�HQLmZ5[>R%EGS�L�C�cnHJN�XUT�_�Z%_7LoA�<A�<�K%_�F%XmTJH�R%pqAJ<�DmKGR�l�H�KBAJ<�L%O�EQX>R�Z�C5F%FmC7DrAJN�T>_2]�Fs_JTkA�N�T�_2]�FYC7X%LA�j�E�T�_7P�D^A�N@j�HGX�HQD�j�����y�����-l��!�K)��*T���P�$�/0E�� �!�K&0��$�G�)*����T���T��!.'T��K)(��� �KX'�K��$�"m$'E��*�!/@�!¼��8���!$��Ò����� �*$&*���-&*&��-��.'�e�*T��YP�$i���-[fè�����-)N�3hS��PKG����K��$'��$����Y)*�K&*�!����E�&*$iP���)()*$'&N$����`/e�-P<T��!����J� ��Tf²,Æ-t�My$-"¤�J�fuB[

Å

Page 13: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx| | | | | |×�� ×W; ²�Ð $ ¾f}2²�Ð $²,ÐQ~ æ Û ± � Á�² �²,ÐQ� ²,Å�² � ²,Ð'·'Æ �

�6��l��!�N²¸·nr6hS��P�GS���!$��z�*�!/@��)�"%$'&U���wV��K&*�K�Z�JE�&*$'l�� ��/L)(�!¼K��)�[� ��� ¢gç�ï Å�î����z£�ã#æ�ç�¥6£ ÉÜ¡TÅ�î��z¥¤ç�¥

�yT�����)R��G��SkS� ��.��*T��n$'E���� /e�-���3hS�K&*P�� )*��lW$'G�������&Rk'4-���OT��,X��OPK$'��P��K�2��&��8�����>$'�m�*T�&*�K�/e��� ����&*����)3·

²'[U�UT��>E�&*$'Eo��&R���!�K)d"��-&J"%&($'/¶/0�-��G�&(� �=km��� [Â��[���T���lW�KT���XS� $'&d��)J��T����3hSE��!&Rk����-�*�é â � [

± [U�UT��OE�&*$'Eo��&R���!�K)�������&�/0�-��G�&(� �=km�8� [Â��[�T�$,��$'G�&��ZG�/0�K&*� P����2)($'�!G��*�!$'��)�PK$'/@E���&*���$p�3hS� )(��� ��.p/0$i���K�!)U$�"���T��m��)Rki/0E��*$���� P�����lW�KT���XS� $'&U������&J/e�-�*G�&*�w�=k'[

·�[d_OG�&(X��mc��*��� ��.N$�"|$'G�&U�ZG�/@��&(�!P��-��&*�K)*G��w��)���� [Â��[¤��&Rki�!��.��*$pc����z"%G���PK�*�!$'��)U$-"6������z����T��-����E�E�&*$�hS�!/0�-������T���$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(��lo$'G�������&(k�[

&J� ª~�F��±D�B�X²�°��B®ÙÒE���ÞÒE�F� � �Í��²�� ��°N²Q��yT����~��T����*�!/@�>��$u/0�-�*G�&*�w�=kj�*������)��*$u�!��c���� �=kz��T��p�^/@��&(�!P�����E�G���$'ES���!$��`P�$'�iHX'��&(.'��)u�*$F��T��*^�ü#@M^�ü#��ÿ�õ�ô�^oÿ[��4����y�^/@��&*� P����xE�G��u$'ES���!$��Ò�J� ��TÒés9 � [ �UT��$'E���� /e�-���3hS�K&*P�� )*�mlW$�G�������&RkY"%$'&U)(G�P<T`���z$'E��*�!$'�u� )UAZ��$,�J�j��$plo�H�¿À��

ú���=9 ± �  ± � > � � Û � Å2�

���`Eo��&R"%$'&*/@���x)*�wh����K)(�*)Y�J� ��T���T����-&(���wc�P��!���JlW$�G�������&RkÒ�8�Y���wV��K&*���2�eEW$')(� �*�!$'��)��� á����%9��   4G�p9v· { Æ {�Û3Û�Û ²Læ'�W��$d)*���#�w"S�*T��!)�T��-�>���2k�� /0E���PK��$����*T��#P�$'�2X���&*.�����PK��[�UT��Y&*�K)*G��w��)�P����Flo�@)*���K���!�f�<��l�� � ± [z�UT�&*$'G�.�T�$'G�����T��K)*�e�*��)(�*)>��T��e�ZG�/�lo��&�$�")*E���PK��)R���KE�)d����&(��PK$'��)R�<���2����������TZG�) Øo� �!��P�&*����)*�K�t� �u)*�!¼K��[����P����`)(���>�*T��-�^��)����>� ��P�&(����)(����"%$'&J��T��>��&(�*� c�PK�:����lo$'G�������&(ku����.'�3���0lo�K�(���K&P�$'�2X'�K&*.'�K��P�����$,���-&*��)U��T��mEo��&(EW�3��G��-��E�G���^)¤/@���2��� $'���K�>�!��·�[Ä·J��T��O��P�PKG�&��-PKk�$-"�$'G�&|)*$'� G���� $'������Eo�������K�p$'�>�JT��K&*�O����P<T�$')(���$z)*�K���*T��@��&(�*� c�PK�:���|lW$'G�������&Rk`P�$������ �*�!$'�~� ������P<Tf���!/@��)R����E�[0�d$,�O�3X'��&K4|�*T��!)��!)$'��� k��JT����x�*T������!/@�Y��$B/e�8��G�&(� �=k�éä� 7 Â}Á�·j� �p� )@��$��eG��Z�*�!���*T����?��T��-�@��T��)*$'� G���� $'��)U)(����&(�U�*$0��� VW��&�[

²�Ð

Page 14: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx� · Æ Å ² ± ² ¾ ²Læ5 ßuà#áÌ� ú �� Ð�[ÄÅ�Æ'Å2À ÐS[¿ÁZ¾-Æ2À ÐS[Ä·'Ð�Å�² Ð�[¿·�Á2Å�Æ Ð�[ ± Å ± Ð Ð�[ ± æ ± ²

�6��l��!� ± ·]��P�PKG�&���P3k�"%$'&^�*T��NEW�K&*Eo�K�*G����gE�G���4�����Eo�������!��.�$'���JT��K&*�p��T��p�-&(���wc�P��!���lW$'G�������&RkuP�$'����� �*�!$'�u� )d)(�K� � �8� � á�����9k�   �

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

Time to maturity

Sto

ck p

rice

c = 3c = 9Perpetual put

³6�!.'G�&*��¾[·6�UT��^�ZG�/@��&*� P�����X-��� G��J$�"��*T��d�^/@��&*� P����@E�G���$'E��*�!$'�p"���&g"%&*$�/ /e�8��G�&(� �=kP�$'/@E���&(������$U��T��¤��T��K$'&*�3���!P�����X-��� G��g$�"Z��T��#Eo��&(EW�3��G�����E�G���"%$'&�PK$'��)(�����2� Ø-7 9 Ð Û Ð�²'[a�$��*�n�*T��O� /0E�&($,X'��/@���2���JT��K�>��T��O��&(�*� c�PK�:����lW$'G�������&Rk � ��T���)R��$iP<AmE�&*�!PK� � á��y����T��8��!/@E��!� ��)_zä9{Ð2���!)U/@$,X'����"%&*$�/L·   ��$@Å   [

�UT��!)¤P�����lo��)*�K���N� �>c�.'G�&(�UÆ�48�JT��!P<TN)(T�$,�J)g��� VW��&(����PK��)¤lo�K�=�����K�Y5 7:9<;�"%$'&6��� VW��&*�K�2�P<T�$'�!PK��)d$�" � á����Z[� ��é�9v5 ß3àEá ��� á��y��9v·   ���?5Lß3àEá ��� á��y��9vÅ   �� � � 9v5 ß3àEá ��� á��y��9vÅ   ���?5Lß3àEá ��� á��y��9�² ±   �� � $ 9v5 ß3àEá ��� á��y��9�² ±   ���?5 ß3àEá ��� á��y� 9 ²Læ   ��UT��e/@�����~"%$'&���T��0���wV��K&*�K��P��-46P�$�/0E��-&*�!��. � á��y�Y�-��·   �����FÅ   4��!����T��@c�&()(��Ák'���-&*)d�!)U�!�u�*T���$'&*���K&J$�"O²�Ð �%$ [

²�²

Page 15: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time to maturity

e1

e2

e3

³6�!.'G�&*��ÆX·Ñ�UT��Ò���wV��K&*����P��xlo�K�=�����K� $�E���� /e���N�IhS��&*PK�!)(�ÒlW$�G�������&(�!�K)B�J� �*T ��T��lW$'G�������&Rk�P�$'����� �*�!$'��)(�K�@�-�p���wV��K&*�K�Z�@Eo$')*�w��� $'��)�[B�UT��uc�&*)R�Nc�X'��k'����&*)N�*T������ ":H"%��&*�K��P���� ) üu�'Øo� �3[¤�yT��K�uP�$'/@E�G��*�!��.�"%$'&O/0�-��G�&*� �*�!�K)n�!��&*.���&#��T����Yc�X'�]k'����&*)K4���T��P<T�$'�!PK��$�"¤�-&(���wc�P��!����lo$'G�������&(kYlW�KP�$'/@��)J/@$'&*��PK&*� �*�!P���� [

² ±

Page 16: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

time to maturity

Sto

ck p

rice

c = 3c = 18Perpetual put

³6�!.'G�&*��À[·6�UT��^�ZG�/@��&*� P�����X-��� G��J$�"��*T��d�^/@��&*� P����@E�G���$'E��*�!$'�p"���&g"%&*$�/ /e�8��G�&(� �=kP�$'/@E���&(���~��$u��T��N�*T���$'&(�K�*�!P��-�6X-���!G��N$-"��*T��pEW�K&*Eo�K��G����gE�G���[0³�$'&)�Ú9Ñ· {O{PØo� 9Ð Û Ð�Ð2¾-Á {JØ-7 9 Ð Û Ð�²N�����`"%$'&)��9 ²Læ {�Øo� 9 Å#}i²,Ð � ô {�ØÚ7 9 Ð Û Ð'Ð'Ð�²�[�a�$��*�!PK����T��l��!.p�!/@E�&($ X���/@���2�U�J� �*T�T��!.'T���& : á����>������)*/0���!� ��& ØÚ7

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 016

18

20

22

24

26

28

30

Time to maturity

Sto

ck p

rice

σ = 0.2σ = 0.3σ = 0.4σ = 0.5

×

³6�!.�G�&*�%æX·gè=/@E���P3�J$'����T���������&RH/e�-�*G�&*�w�=ke)($'�!GS���!$��u$�"|X-��&Rki�!��.N��T���X�$'�:�8���!� � �=k�[&J�M� ª~�F��±D�B�X²�°��B®U³ �w���­�Í��²�� ��°N²Q�a����-&�/0�-��G�&*� �=kt�O�0P�$'/@E���&(�0$'G�&m�ZG�/@��&(�!P����#&*��)(G�� �*)m�J�w��TBAi��$ �J��E�&*$'Eo��&R��� ��)m$�"��T���$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�^lo$'G�������&(k�[p�DÆ��o)(�<�8����)n��T��8�n�*T��^$�E���� /e�����3hS��&(P��!)(�^lo$'G�������&(k

²�·

Page 17: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

�����s�{���7� ��� 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

���Q�s�{���7� ���³6�!.'G�&*��ÅX·na�G�/0�K&*�!P�����)($'�!G��*�!$'�u��� Xi�!���K��lZku�*T���&*� .'T2��T������SH=)(�!����$�" � ²,Ð'������� � ²'² �"%$'&UP�$'��)(�<�-�Z���*9vÐ Û Á

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

�������f���7� � 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

���Q���f���7� �³6�!.'G�&*��²,ÐX·|a�G�/@��&(�!P�����)*$'� G���� $'�N���wXS� �����@l2kN��T��d&*� .'T2��T��-���SH=)(�!���U$-" � ²�Ð2�g����� � ²'² �"%$'&UP�$'��)(�<�-�Z���%9 Ð Û Ð2¾

ú � � éû� 7 �OT��-)��-�t��)Rki/0E��*$���� P�lW�KT���Xi�!$'&U���K)*PK&*�!lo���zl2k

ú � é � éû� 7 � "y �� ²n���¢¡ �87 �Fé^���!� � éU� 7 � � ²,Ð2�

������&U�*T����3hSE��!&Rku���-�*��[���m��� )*$pG�)*�K�`�N)*� �!.'T2�*� k0/0$'&(����P�PKG�&��8�����3hSE�&(��)*)(�!$'�j.'� X����zl2k~�¿¾ �

ú �� � éU� 7 � "ä  £¤ ²���¥ ± � �,� éû� 7 ��� � ��¦ ±ÆG§ 驨 � � � éU� 7 � 驨 �Qª 驨 �¬«­ Û � ²'² �

²�Á

Page 18: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx�UT���&(��)(G�� �*)dP����zlW��)(�����j�!�uc�.'G�&*��)�Åp�����f²,Ð�[���zP����x���!)($B)(���j�!��c�.'G�&(��)YÅ � �2�H<²,Ð � l�����T��-�Hú �� �!)p/0$�&*��)(����l��!�u�*T����ûú � é [ ³�$'&�Ì9 Ð Û Áu�-���`X-��&(ki�!��.Y�0�*T���&��8���!$�ú �� ��� �O��kS)�)R�<��kjP��!$�)*�>�*$`²'[¿Ð2¾ � �IhSP���ES�m"%$�&���T�����!E��I[�ú � é T�$,�O�3X'��&dX-��&*� ��)d�@� $���4S"%$'&U�R9 Ð Û Ð'·��O�m.'�K�/ú � 颮 ² Û ²��JT��!� ��"%$�&U�R9 Ð Û Ð'À�O�mT���X'�Dú � é ® ² Û Ð ± [è"O���0P<T��-��.'�@� � c�.'G�&(�j²�Ð � l��(�34��*T���ú �� &��-�*�!$�/@$ X���)���$ ® ² Û Ð'·�[Nè�m� )��*TZG�)�)R��� �!�"����!&(� k0&*$'l�G�)(�dP�$'/@E���&(������$oú � é [a�$'���p$�"���T��p&*�-��� $')].'�wX'�@�uEW�K&("%��P3�>&(��)(G�� ��[pMO$���T~X-��&(kt�J� ��T~�u�-���B�������f��$'���$�"|�*T���/Î.'� X��]��T����Ih��-PK�d&��-�*�!$N$�"�²'[nÃ]����� �Z�*��&(��)(�*�!��.p��$-�����!)��*T��-�nú � é X��-&*�!�K)J���!$��/0$'&(�]��T��-�*ú �� [g�UT�� )d� )U�3hSEo��PK�*���`)(�!��PK�Rú �� �!)J�N/@$'&*���-P�P�G�&��-�*�m����)*PK&*� E���� $'��[

&J��Ê �Ì� ��¯��q° ²;²F°³)(å� Ò©²FÓ �ϳp���Í�B��°�¯a�Z�H®[����/²�°� ³QS�!��PK���*T���&(���!)d��$u������� kZ��� P������IhSE�&*�K)*)*� $'�`"%$'&J��T��>$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4o� ��!)U$�"��!�2�*��&*�K)(�J��$�c����t�>"%G���PK�*�!$'�u��T��-�d��E�E�&($�h�� /e�8����)O� ��[6è=�j$'G�&U�������wki)*�!)K4������*&(k��$pc����z)*G�P<Tz"%G���PK�*�!$'��)��JT����z���!/@�^�*$@/0�-�*G�&*�w�=k²±7 9 éû� 7�¶ Ð Û ¾S[

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 024

25

26

27

28

29

30

Time to maturity

Sto

ck p

rice

³6�!.'G�&*��²'²¸·��UT��@$'E��*�!/0���6�Ih��K&*PK�!)*�0lW$�G�������&Rk`��T��0�!��)(�mÆ�/0$��Z�*T�)�lW�3"%$'&*�@�3hSE�� &(k� �=9 Ð Û ± Á�4#�~9 Ð Û Ð2¾'�I[�ad����&�/0�-�*G�&*�w�=k'4¤��T��u)*�!$�EW�Y$-"��*T��ulW$�G�������&Rk��*������)N�*$�!��c���� �=k'4S�JT��!P<Tz/e�-A���)d� ����� �@P�G�� �U��$Nc����N)*� /0E��!�^"%G���PK��� $'�u��$N��T��m���-�<��[

�����$�"|��T���/@$'&*��PK$'/0E��!�!P��-���K�uE�&*$�EW�K&(��� ��)J$�"|��T���$'E��*�!/0�����Ih��K&*PK�!)*�mlo$'G������-&(k��!)��T��-�U�*T������ /0�]����&*�wX-�-���wX'�]$�"���T��m$�E���� /e���o�3hS�K&*P�� )*�mlW$�G�������&RkY.'$i��)U�*$N�!��c���� �=ku�-)

²,¾

Page 19: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Time to maturity

³6�!.'G�&*�@² ± ·��UT��>$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(��lo$'G������-&(k��J� �*Tt��T��>�������wkZ���!P�������)RkS/@E��*$���� P����lW$'G�������&RkTú � é )*G�l���&*��PK�*��� � �|9�Ð Û ± Á�4W�-9 Ð Û Ð2¾'�I[�� EW$'�wki��$'/@�:����$�"¤)*$'/@�>���K.'&*�K�P����zlW��c��(���K�z�*$p�*T��!)J���8�<��[

��T��#�3hSE�� &(k����-���n��E�E�&*$2��P<T���) � )(���#c�.'G�&(�U²'² �3[���$���X�$'�!����T�� )�E�&*$�l��!�K/j4����#)*G�l��*&���P3���T���)*� /0E��!��&���)(ki/@E���$��*�!P��Ih�E�&*��)()*� $'� � ²,Ð2��"%&*$�/Î$'G�&J�ZG�/@��&(�!P��-��)*$'� G���� $'��·±5 ßuà#á 9 5 ßuà#á]� ú � é�����x�*T��t&(��)*G�� ��� ��.fP�G�&RX'�`� )e)*T�$ �J�x�!��c�.'G�&*�B² ± [y�UT��j&*���-)*$'�Ò$-"�P<T�$i$')*� ��.Ìú � é�!��)R�����-�N$�"�ú �� �!)���T��-�fú � é �!)¤�-� �O�,ki)¤&(����� HX-��� G�������G�&*� ��.��*T����!��)(��k'����&¤lo�K"%$'&(���3hSE�� &(k'[ú �� � )>&(����� HX-���!G����B"%$�&�� �Z�*��&RX��-�!)��*T��-�>����Eo������$��F� �������z�������!)��*T���&(�K"%$'&(�e��$-�E�&���P3��� P������JT����tPK$'/@E���&*� ��.N&*�K)*G��w��)U�J� �*TuX��-&(ki�!��.pE��-&���/@�K�*��&*)K[���JP��-�0)(���J�!�Nc�.'G�&*��² ± ��T��-�g��T�� )gP�G�&RX'�d�!$i$'AZ)g/�G�P<T@)*� /0E�� ��&���T����p��T��dE�&*�KXi� $'G�)�[è��P����zlW��c��(�����z�!�z�N�!����)(�J)(�ZG���&*�K)�)(����)(���*$@)($'/@��EW$'�wki��$'/@�:����[Ã�G�&^�!�����e� )d�*$ec�&*)R��G�)(��EW$�� ki��$'/@�:��� )U�!�³±7 ��$u��E�E�&*$�hS�!/0�-������T���P�G�&RX'�K)]"%$'&�����P<T�¤[#ê�)(�!��.>�*T��!)���E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'�p���]P�$'/>l��!������T��K)*�]Eo$'� ki��$�/0�!���!)#�!�2�*$N�>���3�vEo$'�wkZH��$'/@�:���o�J� ��T��WH����Eo���������2��P�$i�K�@P�� ���2��)K4o��[¿�-[#���z�3hSE�&*�K)*)(�!$'�j$'�u��T���"%$'&(/´ ß � ��� ±7 ß > ´ ß � é � ��� ±7 ß � é >ÞÛ3Û�ÛL> ´ é � ��� ±7�> ´�µ � ��� Û � ² ± �

�UT��YP�$i�K�@PK�!���2�*)>P��-��lo�e�3hSE�&(��)()*���?��)mEo$'� ki��$'/@�:�-�!)]� ���Ò�-)�)(������� �fc�.'G�&*�j²,·�[�UT��!)J.'�wX'��)JG�)d�p.'������&��-���3hSE�&*�K)*)(�!$'��"%$'& ´ µ 4 Ü 9 Ð {3Û�Û�Û3{ ×´ µb� ����9Þ<wá�� á > <aá � éR� á � é >ÞÛ�Û�ÛL> <féb� > < µ � ²,·2�

²�Æ

Page 20: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−5

0

5

10

15

σ0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−15

−10

−5

0

σ

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.72

4

6

8

10

12

14

σ0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−5

−4

−3

−2

−1

σ

³6�!.'G�&*��²,·[·g�UT���P�$i�K�@P�� ���2��)U$�"|Eo$'� ki��$'/@�:�-�!)n$�"�����.'&(������T�&*����E��!$��(�������-.2���!��)(�U�¤[�UT��^Eo$'�!�2�*)nP����@lW�d����)(P�&(�!lo���0�J�w��T@.'$i$S�pE�&(��P�� )*� $'�0G�)*�!��.�Eo$'� ki��$�/0�!���!)|$�"����K.'&*�K��=�O$�[

�JT���&(��< µ 4 Ü 9 Ð {3Û�Û�Û#{·¶ ��&(��P�$'��)(�<�-�Z�*)�[���>X-��&Rkt��� �t��T����!�2���K&(X-���|Ð Û ± ¶ � ¶ Ð Û Æe�JT�� �!�mA��K��E�� ��.z���!��$��*T���&]E���&���/@�K�*��&()P�$'��)R�<���2��4��J�w��TuéS9vÐ Û ¾>k�����&()^�����z�R9{Ð Û Ð2¾S[#³�$'&U���-P<Tj�����mc������Q×�H��T����K.'&*�K�EW$'�wki��$'/@�:������$ ±5Lß3àEá �����~.'�3�%× > ²pP�$i�K�@P�� ���2��)K[N�UT����~���pc��m��� ¶ H��T~���K.'&*�K�EW$'�wki��$'/@�:�����!���F�*$�����P<T~$�"#��T���)*�O×FPK$S�3�@P��!�K�2��)�4�&(��)*G�� ��� ��.u�!�`�e��$������6$�"�׸} ¶P�$i�K�@P�� ���2��)K[����j�Ih��-/0E�� ���!)U.'�wX'�K�j� ������l�� ��¾�^)]P�����lW��)*�K���~�!�z�<��l�� ��)^·Y�����`Á�4W��T��N��P�PKG�&��-PKkj�!)^$���� kz)*� �!.'T2�*� ku� /0E�&($,X'���tlZkP<T�$S$�)*�!��.@�*T�������.'&(����$�"���T���Eo$'� ki��$�/0�!���!)��!� ´ � 4 �K�U�����lú {�� 4 1 ��T��!.�T���&��*T���� ± [���m��$,� ��&RkY��T���)*��/0��)R��&��8����.-ku�JT����jT�$'�!���!��.N�BP�$'��)R�<���2�^������X-��&(ki�!��.@�i[n�UT���3hSE�&*�K)*)(�!$'�z�O����&*��� $S$�Ai� ��.�"%$'&U� )U)*�!/@�!�!��&#��$ � ²�Á2�34¹ �(7 ��9Þú ß � ��� ±7 ß > ú ß � é � �'� ±7 ß � é >ÞÛ3Û�Û > ú3é � �'� ±7a> ú µ � �'� Û � ²�ÁZ�

³6�!&()(�u���fc����vEo$'� ki��$�/0�!���!)@�!�^±7 4��JT��!P<T{.'� X���)�G�)z���{��&*&($'&uP�$�/0E��-&���l�� �`�J� �*T��T��`c�&()(�uEo$'�wkS��$'/0�!���J��E�E�&*$�hS�!/0�-��� $'�Ò��lo$,X'�`� �Ò��T��t�WH=P���)*�-[ �yT����Ò��&Rki�!��.F�*$c����Y��T��]P�$i�K�@P�� ���2�U"%G���P3��� $'��)_ú µN{�Ü 9{Ð {�Û�Û3Û3{ ×|4S���^c����Y�*T��-���*T��Kke��&*�^T���&*����&O�*$��E�E�&($,hS� /e�-�*���*T����@��lo$ X�� � )(���Uc�.'G�&*�]² ¾ � �2�(�3[�è"o�*T���)(�UX��-�!G��K)g��&*�O�!��)R�����-�NE��!$��(���K���.2��� ��)(�|�!�U�i4�)(���Oc�.�G�&*��² ¾ � l��34-����)(���O�*T��-�6�*T��OPK$S�3�@P��!�K�2��)¤P�����lo����E�E�&*$�hS�!/0�-���K��J� ��TzEo$'� ki��$'/@�:�-�!)n�!���!�U�i4�� [Â��[ú µ=�*� �!�U���*��9Bº�á � � �U�'� á > º�á � é � �!�U��� á � é >SÛ�Û�ÛL> ºÝé � � �U�'� > º µ � ² ¾'�

²,À

Page 21: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx| | | | | |4 9 4 � ² ± · Á ¾ Ʋ ÐS[ ± Á�²Læ Ð�[w² À ± Å Ð�[w² À�·�Á Ð�[w² À�·'· Ð�[w² À�·'· Ð�[w² À�·'·± ÐS[ ± Ð'À'¾ Ð�[w² À-Á¸æ Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ±· ÐS[ ² Ài² À Ð�[w²,·'Æ�· Ð�[w²,·2¾�Å Ð�[w²,·2¾�æ Ð�[w²,·2¾�Å Ð�[w²,·2¾�ÅÁ ÐS[ ²,Æ ± Á Ð�[w²'²'²,À Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,·¾ ÐS[ ²�Á'Å�Á Ð�[¿Ð'Å�²�Æ Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,·Æ ÐS[ ²�Á2¾'¾ Ð�[¿Ð2À�Æ ± Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'ÐÀ ÐS[ ²,·�Å�Á Ð�[¿Ð'Æ�Á�² Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Åæ ÐS[ ²,·'À'À Ð�[¿Ð2¾-Á�Á Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ±Å ÐS[ ²,·-Á}æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'À Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Ʋ,Ð ÐS[ ²,·-Á'Á Ð�[¿Ð�Á2Ð'¾ Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'·

�6��l��!�u·X·erg&*&*$�&*)N�!�F�*T��Yc��(���!��.`$�" ±5 ßuà#á �J� �*T�EW$'�wki��$'/@�:��� )m$-"dX-��&(�!$'G�)�����.�&*���K)� 4 9 9{����."� ¹ �87 �N� { 4 �p9v���K.C� ´ � �����:�3[| | | | | |4 9 4 1 ² ± · Á ¾ Æ

² ÐS[ ¾'À-Ð'Æ Ð�[ľ'¾�æ�· Ð�[ľ'¾'À ± Ð�[ľ'¾'À�Ð Ð�[ľ'¾'ÀS² Ð�[ľ'¾'ÀS²± ÐS[ ± Å�Æ2¾ Ð�[ ± æ'Å�Æ Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'·· ÐS[ ± ²�Ð�² Ð�[ ± Ð�²�Á Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ±Á ÐS[ ²,Æ�Ð�² Ð�[w² ¾�Ð'¾ Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á¾ ÐS[ ²,·�·2¾ Ð�[w²'²,ÅS² Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'ÐÆ ÐS[ ²'²�Á2· Ð�[¿Ð'Å2À-Æ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾À ÐS[ ²,ÐS²,Å Ð�[¿Ð¸æ ±�± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'±æ ÐS[ÄÐ'ÅS²,Å Ð�[¿Ð2À�Ð'À Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'ÆÅ ÐS[Äиæ-Á2Å Ð�[¿Ð'Æ�²�æ Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À²,Ð ÐS[ÄÐ2À�æ¸æ Ð�[¿Ð2¾-Á'Å Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ

�6��l��!�YÁ�·erg&*&*$�&*)N�!�F�*T��Yc��(���!��.`$�" ±5 ßuà#á �J� �*T�EW$'�wki��$'/@�:��� )m$-"dX-��&(�!$'G�)�����.�&*���K)� 4 9 9{����."� ¹ �87 �N� { 4 1 9y����."�çú � �����:�3[

�JT���&(�#º µ�{/Ü 9vÐ {�Û�Û�Ûu{·¶ �-&*��P�$'��)(�<�-�Z�*)�[³�$�&#�]�iG�/�lW�K&#$�"�PK$'��)R�<���2�n��»Â)¤���JX-��&Rk��¤4ZPK&*���8���!��.���/@��)(Tp$ X���&g��T��d�����WHE��:�-����[���dP����@��T��K�eEo��&R"%$'&*/ �*T��Jc�&*)R�O)R����E0$�"�$�G�&#EW$'�wki��$'/@�:������E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'��"%$�&n����P<T$�"���T���PK$'/�l�� ���-��� $'��)�$�"��~�������S[6�UT��m��E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'��)�P�����lW�]G�)*������$N)(����T�$,���T���EW$'�wki��$'/@�:���SP�$i�K�@P�� ���2��)�����Eo�����e$'�e$'G�&n�=��$�X-��&(�:��l�� ��)K[6è=�0c�.'G�&*��Á�[¿·����^P����)*���@���~�Ih��-/0E�� �N$�"#��T��NPK$S�3�@P��!�K�2��)(G�&("��-P���)�$'lS�<��� ������� �~�*T��!)^�3hSEW�K&*� /0�K�Z��"%$�&����T�� &*������.�&*������E�E�&*$�hS�!/0�-��� $'��[

²�æ

Page 22: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

σ

error in first fiterror in second fit������¼U½!½©¾�½m¿�¾�½�À¬� ½!Á�ÂÄÃ7ÅÆ� 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

r

error for first fiterror for second fit���G��¼U½!½©¾�½m¿�¾�½�À¬� ½!Á�ÂÄÃ7ÅÆ�

³6�!.'G�&*��²�Á�·�rg&(&*$'&�"%$'&��*T���EW$�� ki��$'/@�:���#c��(���!��.')��J� �*T�X-��&(�!�K�?�{�������i[�è=�?�*T��!)�3h���/@E��!�]����G�)*� 4 9J9{����."� ¹ �87 ���"9{· { ����."� ´ � ���N�"9v����.C�çú � �����"9 ±

0 0.05 0.1 0.15 0.2−30

−20

−10

0

10

20

30

r0 0.05 0.1 0.15 0.2

−15

−10

−5

0

5

10

r

0 0.05 0.1 0.15 0.20

2

4

6

8

10

r0 0.05 0.1 0.15 0.2

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

r�����−5 −4 −3 −2 −1

−30

−20

−10

0

10

20

30

ln(r)−5 −4 −3 −2 −1

−15

−10

−5

0

5

10

ln(r)

−5 −4 −3 −2 −10

2

4

6

8

10

ln(r)−5 −4 −3 −2 −1

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

ln(r)���G�³6�!.'G�&*�e²,¾[·U�UT���PK$S�3�0PK�!�K�Z�*)]$�"#Eo$'� ki��$�/0�!���!)U$�"#����.'&(���>�*T�&*�K��E��!$-�*���K�`��.'���!��)R�]�� c�.'G�&*� � �2�(���������!� � ��� � c�.�G�&*� � l��*�I[��UT���EW$'� �2��)N�!� � l��>P��-��lo�u����)(P�&(�!lo���?lZkEW$'�wki��$'/@�:��� )O$�"|����.�&*�����=��$�[

< � <fé < µ´ $ H ± ·�[ æ�ÁZÀ-Å Æ�²'[¿·�Á2ÐS² H<²�Á�[Ä·�æ�²�Á´ � Hb·�[ÂÁ2Ð�Á�² H=· ± [ÄÀ ± ·�Á ¾S[ÄÀ ± æ�Á´ é H<²Læ�[ľ�Æ'·�æ ·'Æ�[¿Å'·�²�Ð H ± [ À�æ ± ·´�µ ² ± [ ¾�æ¸æ'· H�²Læ�[ÂÁ2Å'Æ'· ²'[¿Å'Æ'Ð'Å�|��l�� �m¾[·n_O$i�K�@P�� ���2��)J"%$'&J�NEW$�� ki��$'/@�:����[

²�Å

Page 23: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0

0.05

0.1

0

0.5

1−100

−50

0

50

rσ 00.05

0.1

00.5

1−50

0

50

100

00.05

0.1

0

0.5

1−40

−20

0

20

rσ 00.05

0.1

0

0.5

1−2

−1

0

1

³6�!.'G�&*�N²,ÆX·g�UT��mPK$S�3�@P��!�K�2��)d$�"¤�N��T��!&*�u����.'&(���mEW$'�wki��$'/@�:���o�!�DZ7 �J� ��Tz&*�K)*Eo��P3���*$��T��K�!&�X-���!G���)J$�"|�������z�i[

± Ð

Page 24: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

È Û]Þyx�¼�»�x�xSÞ3ÖUßÉ ð ç�¥¤æ�å�¥6¥¤ç��@¡

���]����&(����l��!����$N�!�2X���)(�*�!.2�8������� $���$�"�� �Z�*��&(��)(�*�!��.�"%���-�*G�&*�K)U$�"���T�����/0�K&*�!P����YE�GS�$'E���� $'��[��UT�$'G�.�T���T���E�&*$8C(�KPK�g��������� �!���n)*�3�#�^� �!/@� ���*$]T�$,�������KEN�!�2��$^����P<T�)(G�liC(�KPK��O�m�O�K&*�N��l��!����$e�������wkS¼K��[��UT��>P�$���P�� G�)*� $'��)J�O�����!�j/e��A-�>�-&*�m���!)(P�G�)()*���t�!�j�*T��!)P<T���E��*��&�[

9�� � ���UÒ#�F� � �å��²�� ��°N²Q��UT��~/0$')R���!�2���K&*�K)(��� ��.�&*�K)*G��w���!)e�JT��K&*�~��$�E�G��u�*T��f��&(�*� c�PK�:���dlo$'G������-&(k � á��y�Z[uj$')(�^$'E��*�!$'��)JT���X��>/0�-��G�&(� �*�!��)O$�"#�-�d/@$')(�dT����w"¤�pk'����&�[JQi$eG�)(�!��.p��T���&*�K)*G��w��)d$�")*��P3��� $'�jÁ�[ ²'4�� �U� )U)*G��@P�� ���2�J��$pT���X'� � á���� 9 ·   ��$p.'�K�d�N.'$i$i�j�-P�P�G�&���P3kY"%$'&���T��c�&*)R��Ápk'����&*)J��$p/0�-��G�&*� �=k�[M�kuP�$�/�l��!���!��.N���!��&*.�� � á������J� ��Tz��)(T�$'&(�J�*�!/@�^)(�*��E � �JT�� P<T�$�"�P�$'G�&()*���!��P�&*����)*�K)��T��U�-P�P�G�&���P3k��|���O�JT��K&*�J��l��!���*$].'�3�g��)¤PK�!$')(�U��)6Ð Û Ð'Àd��$�ú �� � )(��� � Å2�*�I[¤M�km"%G�&R��T��K&�!��PK&*���-)*�!��. � á����z����������PK&*���-)*�!��. ØÚ7 ���Y)(T�$'G�� ��lo�Y��l�� �0�*$t.'�3���KX�����P�� $')*�K&��*$��T���Eo��&*Eo�K�*G�����E�GS��[

9��M� ã �w���S�Í��²F� ��°M²J��UT��u���!E��!�F$'G�&�&*�K)*G��w��)�PK$'G��!��lW�Y��G��Y��$��`�ZG�/>lW�K&�$�"J�ZG�/@��&*� P����n��&(&*$'&()�[��B�T���X'�u�z���!)(P�$'�2��� �ZG�$'G�)�����&(� X-�-���wX'�p�!�f��T��@Eo$'�!�2� : 9   �JT��!P<TBP�&(���-�*��)N�zP<T�$SP<A��T��-�dE�&($'E���.'�-���K)���T�&($'G�.'T�$�G��J��T���)*$��!G��*�!$'��[³�$�&(��G����-���K� k�4i�*T��^E�&($'Eo��&(�*�!�K)O$�"��*T��^��� VW��&*�K�2���:�-�o�K�ZG��-��� $'�Y� �0��T���$'&(��/ ± [ ± �!)#��T��8�$�"W����� VWG�)*� $'�����ZG��8���!$��p�JT��!P<TpT���)#�]���-/0Eo����� ��.]�3V��KPK��[¤�B����TZG�)g.��K�#��� )*)*� E��-�*� X'��iG����!�w���!�K)¤�!�N$�G�&¤�ZG�/@��&*� P�����)*P<T��K/0�d�������*T��U��T��UP<T�$SP<A>�J� �!�ilW�U)(/0$i$��*T������K�@�-"s���K&��"%�K�{� �*��&*�-��� $'��)�[6µ]G�&*� ��.��*T���c�&*)(��� ���K&��-�*�!$'��)n�*T�$'G�.'T0��T���P<T�$SP<A@�J�!� �oT��,X��]�KVW��P3���������T�� )U/e��ku.'�wX'��&(�!)*���*$p�*T������!E�[

9���Ê �Ì� ��¯��q° ²;²F°³)(QS�!��PK���*T���&(���!)d��$u������� kZ��� P������IhSE�&*�K)*)*� $'�`"%$'&J��T��>$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4o� ��O$'G��!�tlo��X'��&RkzG�)*�3"%G��|�w"|���>PK$'G�� �zc����`���t��E�E�&($,hS� /e�-�*� X����3hSE�&*�K)*)(�!$'�t�*$0�w��4�)*�,k�@�ZG�����&��-�*�!P]"%G���P3��� $'��$�"6�������z�¤4�.'� X�����)*$�/0����&(&*$'&��*$'�!�K&�����P���[

± ²

Page 25: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

È Û]Þyx�¼�»�x�xSÞ3ÖUß

���nT���X'�n��T�� )�"��-&�$���� k�$�l��<��� �����m&*�K)*G��w��)�"%$'&���T��nP��-)*�#�JT�����$����#$�"��*T���E���&���/@�K�*��&()�!)�P�$'��)R�<���2��[¤�^��� �2����&(��)R���!��.^���IhS�6)(�*��E>��$'G�� ��lW�#��$�/e�-A����d/0$�&*�n�!�SH����E��*T>)R��G���k$'�j)(G�&("��-P���)d�!� A��]�*T���$'����)J� ��c�.'G�&*��Á�[¿·���$p.'�K����&*�-����/@$'&*��.'�K����&*����&*�K)*G��w��)K[

±�±

Page 26: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ...€¦ · UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. for¤ informationsteknologi Information Technology Avd. for¤ teknisk

Õ�Ù#ݤÙ#ÕdÙnß�¼¤ÙÊxË £ Ç'£�ãg£�¡�æJ£�¥

� ²3�m��$'/0��)dM�C +$'&*A�[ g @u13�(�'@(õL.iü � ú�ü<û�@E+o�(�ÍÌ�û��F�'�(��ÿ�û8ÿ2ý � �(,eü3[OÃ�hi"%$'&(�jêd��� X���&()*� �=k´ &*�K)*)K4�²�Å'Ÿæ�[� ± �m��$'/}_O$'�!�K/e�-��[�adG�/0�K&*� P�����)*$��!G��*�!$'��$�"gl��:��P<A'H=)(P<T�$'� ��)^�K�ZG��-��� $'��4�²,Å'Å�æ�[ÏÎ���PIH�*G�&*�ea�$��*��)�"%$�&�_UQF¾ ±'± ·N_O$�/0E�GS�<�-�*�!$'���-�g�|$i$'�!)������³uj�K�*T�$i��)>"%$'&�³6�!������P��� QSE�&*� ��.�²,Å'Ÿæ'�34¿µ]��E���&R��/@���2�U$�"¤_O$'/@E�G��*��&�QSP�� ����PK��4W_O$'&(����� ��ê����wX'�K&*)*�w�=k'[�·��ÑÐ�$'���-��T��-�Òt�$i$S��/e����4f�]k'$'G���.-HRQi$S$'AÓuj$i$'��4g��������&()@QS¼��KEW�K)*)Rk'4��d�¢ÔG��n�|�K/pHEo$'���-4Z�����-t���$'&(.'�!$')dÕ�$'G�&*��&*� )�[�QZ��$iP<T���)(�*�!PJ�����NE���&(�*�:���i���wV��K&*���2�*�:���i���ZG��-�*�!$'��)�J�w��TF�-����E��*�����ZG�/@��&(�!PK)�4{Ð'�-�iG���&(k ± Ð'Ð ± [ÖÎ���P3��G�&(�e��$��*��)m"%$'&#ut�-��T���/0�-��� P����uj$i���K�!)�4��^�����wki)*�!)O�����zQS� /�G��!�-��� $'��4 ´ ��&R�Uè*è<4��d$,k'����è=��)R��� �*G����^$�"��|�KP<T���$'� $'.�k'4Qi�*$SP<AZT�$��!/z4�Qi�������K��[�DÁ����d��G��6������.�&*$��������d$,kma�� P�$'�!���!����)�[�³���&�c���� ��lo$'G�������&(k�PK$'�����w���!$���)�"%$'&�MO�:�-P<A2HQSP<T�$'�!�K)d�K�ZG��-��� $'��)K[Où�× gÙØÛÚ GÜ^ÿ;,eü#@3G g �oõ�ô�G!4�·¸æ � ÁZ�#·w²,·2¾'À2Ýo²,·'Ƹæ � �K�!��P3��&($'���!P��34± Ð�Ð'Ð�[�¿¾����d��P<T��K����G�)(A��Y�-���ÍÐ�$')(��E�T�M^[B�����!� ��&K[YÃ]E��*�!/0���¤�3hS�K&*P�� )*�0lW$'G�������&Rk�"%$'&m�����/@��&(�!P����uE�G��d$'E��*�!$'��[ g ^}^oôV� üi) Ø õ��sú�ü#,@õ��'� ö*õ�ôYÞ��(�oõ���ö<ü34�¾[·w²,Ð2À5Ýo²�²,Æ�4o²,Å'Ÿæ�[�ÂÆ���µ���/@�!�K�³Î���/�lo��&R��$'��[�_O&(� �*�!P��-��E�&(�!PK�e"%$'&N������/0�K&*� P����F$�E���� $'�F������&N/e�8��GSH&(� �=k'[oè=��ù�ü#,-�(�oõ�@^û��Yù��bû,ö<ú�õ8ý#��� ö g �oõ�ôV+ ý#�!ýPAß�õ��C)iû�,0ÞZ� ü3ô�)8ýdõ��C) g ^}^oôV� ö*õ���� û���ýI g ý,ö<û��oõ�A m�à�àJáuK84�E��-.'��)d·2¾�·5ÝS·2¾�æ�[�MO�!&(AZT +��G�)(��&�4�MO��)*�K� 4�²,Å'Å'¾S[�¿À��Ñut�-&*��A8ujG�)*�!�K�:�������³ut��&(��A~�JG���A-$ �J)(AZ� [ Ø õ�@#���(�;.2õ�ô!üo,eü#�sú�û3)8ýo�(�vhZ�oõ���ö#��õ�ô,eû3)iü3ôsôV�(�;.�[#QiE�&*� ��.'��&bH\#�K&*�:�-.�4�MO�K&*� �!��4W²,Å'Å2ÀS[��æ��>_^[�\²Ô��¼��ZG��K¼�[O���jG�EZ�J� ���z�iG�/0�K&*�!P�������E�E�&*$2�-P<Tz"%$'&J�-�j��/0�K&*�!P����z�����zrgG�&*$8HEo�����0$'E��*�!$'�@E�&*� P�� ��.�/@$i������[ g ^}^oô�G Ø õ��súXGÊÌ�û�,J^oÿ;�MG!4iÅ2À � ± H=·2�#· ± À�·7Ý ± æ'Æ�4�²�Å'Ÿæ�[�ÂÅ��#Î��whS� �f�BG��-���ÇânG�A'HN��G����Ì�]��$'A�[u� "%&*$'�2�(H c�hS�!��.�c����w���p���wV��K&*����P��e/@�K�*T�$i�"%$'&���T��]X-��� G��-��� $'�Y$�"|��/@��&(�!P����u$'E��*�!$'��)K[ Ú û8ÿ;@#�oõ�ô�û�$ÙÞZ�(�oõ���ö#��õ�ô�ã��;.��(��ü<ü#@E�(�;.�4Æ � ± �#· æ'·7ÝiÅ2ÀS4�²�Å'Å2ÀS[

± ·