numerical methods of electromagnetic field theory i (nft i) numerische methoden der...
TRANSCRIPT
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
4th Lecture / 4. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung
Normalized 1-D FD wave equation / Normierte 1D FD Wellengleichung
(Causality / Kausalität)
0 0
( , ) ( , )e
( ) ( )( , ) ( )e e
0 1
1
z t z t
z zz t t
n n n nx x t
n nn n nx x t
E J n
J K f n
(1, )
( , )
01
0
t
z t
nx
t tN nx
En N
E
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition / Randbedingung
Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /
Diskretes hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2
( , ) ( , 1)e e
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 for / für1
ˆ ˆ
z t z t z t z t z t z t
z t z t
z zn n n n n n n n n n n nx x x x x x
t t
n n n nx x
n NE E E t E E E
n N
t J J
z z z z
zZ zN
1zn z zn N
( , ) 0z tN nxE (1, ) 0tn
xE ( , )z tn nxE
FD Method – 1-D FD Wave Equation – Flow Chart / FD-Methode – 1D FD-Wellengleichung - Flussdiagramm
( , ) ( , 1) ( , 2) ( 1, 1) ( 1, 1)2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( )z t z t z t z t z tn n n n n n n n n nx x x x xE t E E t E E
( , ) ( , ) ( , 1) ( , 2)e e
ˆ ˆ ˆ ˆz t z t z t z tn n n n n n n nx x x xE E t J J
Start
Stop
1t tn n
t tn N
1tn
For all nx : 1-D FD wave equation / 1D FD Wellengleichung
For all nx : Excitation / Anregung
NoNo
YesYes
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
00 0
0
2( 1)1 cos cos 2 0
( ) 2
0 else / sonstn
n
RC
f nt f t t nT T
f t n f
Raised cosine pulse with n cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit n Zyklen
2
0 00
1 21 cos cos 2 0 2
2( )
0 else / sonstRC
ft f t t T Tff t
Raised cosine pulse with 2 cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit 2 Zyklen
Time / Zeit t
00
1f
T
00
2
T
Frequency / Frequenz
Circular Frequency / Kreisfrequenz
02T T
0T
2( )RCf t
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
0e 0 RC2 RC2
0
( , ) ( ) ( , )x xz z
J z z t f t E z t f tc
Electric current density excitation: broadband pulse / Elektrische Stromdichteanregegung: breitbandiger Impuls
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
Sn
ap
sh
ots
/ S
ch
nap
psch
üsse
Source point / Quellpunkt
xE xE
yH yH
emzS emzS
Numerical Results – Validation / Numerische Ergebnisse – Validierung
Numerical Results / Numerische Ergebnisse
Validation / Validierung
Compare numerical results with analytical solutions or with other numerical solutions. / Vergleiche die numerischen
Ergebnisse mit analytischen Lösungen oder anderen numerischen Lösungen
Numerical Results – Validation / Numerische Ergebnisse – Validierung
1. Plane Wave Solution of the Homogeneous Case – No sources, no boundaries! /
Ebene Wellen als Lösung des homogenen Falles –Keine Quellen, keine Ränder!
Gives the correct characteristic, but not the correct amplitude and no reflections at the boundaries! /
Gibt die korrekte Charakteristik, aber nicht die korrekte Amplitude und keine Reflexionen an den Rändern wieder!
2. Green’s Function Solution of the Inhomogeneous Case –
“Point” source, but no boundaries, if we use the free-space Green’s function! /
Lösung über Greensche Funktion für den inhomogenen Fall –„Punkt“quelle, aber keine Ränder, wenn wir die Greensche Funktion für den Freiraum verwenden!
Gives the correct characteristic and correct amplitude, but no reflections
at the boundaries! / Gibt die korrekte Charakteristik und die korrekte Amplitude, aber
keine Reflexionen an den Rändern wieder!
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
Homogeneous scalar 1-D wave equation for the electric field strength /
Homogene, skalare 1D-Wellengleichung für die elektrische Feldstärke
0 0
2 2
2 2 20
2 2
2 2 20
1 1
0 0
1( , ) ( , ) 0
1( , ) 0
1 1( , ) 0
x x
x
z c t z c t
x
E z t E z tz c t
E z tz c t
E z tz c t z c t
Splitting of the 1D wave operator / Aufspaltung des 1D-Wellenoperators
0 0
1 1( , ) 0 ( , ) 0x xE z t E z t
z c t z c t
One-way wave equation / “One-way” Wellengleichung
Hyperbolic partial differential equation / Hperbolische partielle Differentialgleichung
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
00 0 0
0 00 0 0
0 00 0 0 0
00 0 0
1 1( , ) ,
1, ,
1 1, ,
0
1 1( , ) ,
x
x
zE z t E z t
z c t z c t c
z zE z t E z tz c c t c
z zE z t E z t
c c c c
zE z t E z t
z c t z c t c
0 0
0 0 0
0 00 0 0 0
1, ,
1 1, ,
0
z zE z t E z tz c c t c
z zE z t E z t
c c c c
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
Homogeneous scalar 1-D wave equation for the electric field strength /
Homogene, skalare 1D-Wellengleichung für die elektrische Feldstärke
2 2
2 2 20
0 0
1( , ) ( , ) 0
1 1( , ) 0
x x
x
E z t E z tz c t
E z tz c t z c t
00
0 00 0
( , ) ,
, ,
xz
E z t E z tc
z zE z t E z t
c c
Solution is a left and right propagating plane
wave /Lösung ist eine nach links und rechts
laufende ebene Welle
A wave, which propagates for
increasing time t in positive z direction /
Eine Welle, die sich für
zunehmende Zeit t in positive z-
Richtung ausbreitet
A wave, which propagates for
increasing time t in negative z
direction /Eine Welle, die
sich für zunehmende Zeit t
in negative z-Richtung
ausbreitet
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
Consider an asymmetric triangular pulse /Betrachte einen asymmetrischen
Dreiecksimpuls
0 0 atri( , )xE z z t E f t atrif t
t T
00
0
00 atri
0
0 00 atri 0 atri
0 0
0 00 0
0 0
( , ) ,
,
, ,
, ,
xz z
E z t E z tc
z zE f z t
c
z z z zE f z t E f z t
c c
z z z zE z t E z t
c c
This means, that the solution for all z and t is given by / Dies bedeutet, dass die Lösung
für alle z und t gegeben ist durch 1,xE z t
z
z
2,xE z t
Snapshots / Schnappschüsse
Excitation function / Anregungsfunktion
1 0t t
2 1 0t t t 0z z
0z zTZ TZ
0E
0E 0E
0E
Source point / Quellpunkt
1
0E
0E
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
( )
( )
( )
z zt
c
z zt
c
c t z z
c t z z
z t z c t
z t z c t
z t z c t
1 1 0 0 1
1 1 0 0 1
( )
( )
z t z c t
z t z c t
00 atri
0
( , ) ,xz z
E z t E f z tc
1,xE z t
z
z
2,xE z t
Snapshots / Schnappschüsse
1 0t t
2 1 0t t t
0z
0zTZ TZ
0E
0E 0E
0E 2 2 0 0 2
2 2 0 0 2
( )
( )
z t z c t
z t z c t
2z
2z
1z
1z
Source point / Quellpunkt
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
2 2
2 2 20
1( , ) ( , ) 0x xE z t E z t
z c t
00
( , ) ,xz
E z t E z tc
0
1( , ) ( , )y xH z t E z t
t z
em ( , ) ( , ) ( , )z x yS z t E z t H z t?
FD Method – 1-D Helmholtz Equation (Reduced Wave Equation)
FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)
2 2
2 2 20
1( , ) ( , ) 0x xE z t E z t
z c t
Homogeneous scalar 1-D wave equation /
Homogene, skalare 1D-Wellengleichung
1-D Fourier transform with regard to time t /
1D Fourier-Transformation bezüglich der Zeit t
j( , ) ( , ) e
( , )
tx x
t
t x
E z E z t dt
FT E z t
j
-1
1( , ) ( , ) e
2
( , )
tx x
x
E z t E z d
FT E z
1-D inverse Fourier transform with regard to circular frequency ω /
1D inverse Fourier-Transformation bezüglich der Kreisfrequenz ω
( , ) ( , )x xE z t E z
( , ) ( , )x xE z E z t
22
2
( , ) ( , )
j
x xE z E z t
t
t
FD Method – 1-D Helmholtz Equation (Reduced Wave Equation)
FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)
2 2
2 2 20
1( , ) ( , ) 0x xE z t E z t
z c t
Homogeneous scalar 1-D wave equation /
Homogene, skalare 1D-Wellengleichung
20
22
2 20
2 2
2 20
2202
1( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
x x
x x
k
x x
E z E zz c
E z E zz c
E z k E zz
Homogeneous scalar 1-D Helmholtz wave equation (reduced wave
equation) /Homogene, skalare 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)
00
( , ) ,xz
E z t E z tc
Solution in the time domain /Lösung im Zeitbereich
0j0( , ) e k z
xE z E Solution in the frequency domain /
Lösung im Frequenzbereich
22
2
( , ) ( , )
x xE z t E z
t
FD Method – 1-D Helmholtz Equation (Reduced Wave Equation)
FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)
Maxwell’s equations in the frequency domain /
Maxwellsche Gleichungen im Frequenzbereich
0
0
0
0
1( , ) ( , )
1( , ) ( , )
1j ( , ) ( , )
1j ( , ) ( , )
y x
x y
y x
x y
H z t E z tt z
E z t H z tt z
H z E zz
E z H zz
( , ) ( , )
( , ) ( , )
j
x x
y y
E z t E z
H z t H z
t
0j0( , ) e k z
xE z E
0 0 0
j 00
0 0 0
0 0
j j j00 0 0
0 0 0 0
j e
/
j j00 0
0 0
j1 1 1( , ) ( , ) e e e
j j j j
1e e
k z
k z k z k zy x
k
c
k z k z
kH z E z E E E
z z z
kE E
Z
Electric field strength: plane wave / Elektrische Feldstärke:
ebene Welle
Maxwell’s equations in the time domain / Maxwellsche Gleichungen im Zeitbereich
Magnetic field strength: plane wave / Magnetische Feldstärke:
ebene Welle
FD Method – 1-D Helmholtz Equation (Reduced Wave Equation)
FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)Homogeneous scalar 1-D wave equation in the
time domain / Homogene, skalare 1D-Wellengleichung im Zeitbereich
2 2
2 2 20
2 2
2 2 20
1( , ) ( , ) 0
1( , ) ( , ) 0
x x
y y
E z t E z tz c t
H z t H z tz c t
0
0
0
j0
j0
j0
0
( , ) ( ) e
( , ) ( ) e
1( ) e
k zx
k zy
k z
E z E
H z H
EZ
Homogeneous, scalar 1-D Helmholtz equation in the frequency domain / Homogene, skalare 1D-
Helmholtz-Gleichung im Frequenzbereich
2202
2202
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
x x
y y
E z k E zz
H z k H zz
00
00
( , ) ,
( , ) ,
x
y
zE z t E z t
c
zH z t H z t
c
00 0
1( , ) ,y
zH z t E z t
Z c
Solution of the 1-D wave equation in the time domain /
Lösung der homogenen 1D-Wellengleichung im Zeitbereich
Solution of the 1-D Helmholtz equation in the frequency domain / Lösung der homogenen 1D-
Helmholtz-Gleichung im Frequenzbereich
Solution of the 1-D wave equation for the magnetic field strength in terms of the electric
field strength / Lösung der homogenen 1D-Wellengleichung für die magnetische
Feldstärke als Funktion der elektrischen Feldstärke
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
00
00 0
( , ) ,
1( , ) ,
x
y
zE z t E z t
c
zH z t E z t
Z c
em
0 00 0
0 00 0 0
20
0 0
( , ) ( , ) ( , )
, ,
1, ,
1,
z x yS z t E z t H z t
z zE z t H z t
c c
z zE z t E z t
c Z c
zE z t
Z c
em em
2em 0
0 0
2 20 0
0 0 0 0
( , ) ( , )
em em
1( , ) ,
1 1, ,
( , ) ( , )
z z
z
S z t S z t
z z
zS z t E z t
Z c
z zE z t E z t
Z c Z c
S z t S z t
2 2
2 2 20
2 2
2 2 20
1( , ) ( , ) 0
1( , ) ( , ) 0
x x
y y
E z t E z tz c t
H z t H z tz c t
2 2em 0 em 0
0 0 0 0
1 1( , ) , ( , ) ,z z
z zS z t E z t S z t E z t
Z c Z c
Homogeneous scalar 1-D wave equations / Homogene, skalare 1D-Wellengleichungen Solutions / Lösungen
Poynting vector / Poynting-Vector
Poynting vector of the two plane waves / Poynting-Vektor der beiden ebenen Wellen
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
em em em
2 20 00 0
0 0
0 0
( , ) ( , ) ( , )
, ,
z z zS z t S z t S z t
z z z zE z t E z t
c c
Z Z
0 00 0
0 0( , ) , ,x
z z z zE z t E z t E z t
c c
0 00 0
0 0
0 0
, ,
( , )y
z z z zE z t E z t
c cH z t
Z Z
The plane wave solution gives the correct characteristic of the wave field, but the amplitude is not correct! This means we can not varify the numerical results with the plane wave solution of the homogeneous wave equation, because the simulated problem correspond to the solution of the
inhomogeneous wave equation. /
Die Ebene-Wellen-Lösung gibt die korrekte Charakteristik des Wellenfeldes wieder, aber die Amplitude der Wellenanteile ist nicht korrekt! Dies bedeutet, dass man die numerischen Resultate mit der Ebenen-
Wellen-Lösung nicht vollständig verifizeiren kann, da die simulierte Situation mit der Lösung der inhomogenen Wellengleichung korrespondiert.
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
Electromagnetic Field of a “Point Source” Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer „Punktquellen“anregung in
1D
0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz
E z G z z J z z
z z
Unkown/Unbekannt: ( , ) ?xE z
We consider a homogeneous infinite 1-D region / Wir betrachten ein homogenes, unendliches 1D-Gebiet
Source point / Quellpunkt
e 0( , ) : Given / GegebenxJ z z
where we prescribe an electric current density Jex(z,ω) with the unit A/m2 at z=z0. /wobei wir eine elektrische Stromdichte mit der Einheit A/m2 an der Stelle z=z0 vorgeben.
0z z
A solution for the electric field strength is given by the domain integral representation /Eine Lösung für die elektrische Feldstärke ist dann gegeben über die (Gebiets-)
Integraldarstellung
Then, the unknown electric field strength is a solution of the inhomogeneous Helmholtz equation /
Die unbekannte elektrische Feldstärke ist dann Lösung der inhomogenen Helmholtz-Gleichung
220 e2
( , ) ( , ) j ( , )x x xE z k E z J zz
( , ) G z z 1-D scalar Green’s function /1D skalare Greensche Funktion
Convolution integral /Faltungsintegral
Electromagnetic Field of a Point Source Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0 e( , ) j ( , ) ( , )dx xz
E z G z z J z z
0
0
0
0
j0
0
j0
0
j00
j0
1 j( , ) PV ( ) e
2
1 jPV e ( )
2
1PV e ( )
2 j
1PV e ( )
2 j
k z z
k z z
k z
k z z
G z z c z zk
c z zk
cc z z
cz z
0
0( , )
2
zcG z t u t
c
e 0 e
0 e 0
( , ) ( , )
( , )
x x
x
J z z z K z
z z K z
0 0 0( ) ( )z z f z z z f z
Integral representation / Integraldarstellung
1-D scalar Green’s function in the frequency domain /
1D skalare Greensche Funktion im Frequenzbereich
1-D scalar Green’s function in the time domain /
1D skalare Greensche Funktion im Zeitbereich
0 0
1 0
tu t
t
Unit step function / Einheitssprungfunktion
Electric current density / Elektrische Stromdichte
Property of the delta-distribution / Eigenschaft der Delta-Distribution
e 0( , )xK z
Electric surface current density / Elektrische Flächenstromdichte
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0 e
0 0 e
0 0 e 0
( , ) j ( , ) ( , )d
j ( , ) ( , ) d
j ( , ) ( , )
x xz
xz
x
E z G z z J z z
G z z z z K z z
G z z K z
0 0
e 0 e 0
0 e 0 0 e 0
( , ) ( , )
j
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x
x x
x t x
E z E z t
tG z z G z z t
K z K z t
G z z K z G z z t K z t
0 0 e 0
00 0e 0
0
00 0e 0
0
( , ) ( , ) ( , ) d
( , ) d2
( , ) d2
x xt
xt
xt
E z t G z z t t K z t tt
z zcu t t K z t t
t c
z zcu t t K z t tt c
The asterisk “*t “denotes convolution in time / Der Stern “*t “ bezeichnet eine Faltung in
der Zeit
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
00 0e 0
0
( , ) ( , ) d2x x
t
z zcE z t u t t K z t t
t c
0 0
0 0
z z z zu t t t tt c c
00 0e 0
0
00 0e 0
0
00 0e 0
0
( , ) ( , ) d2
( , ) d2
,2
x xt
xt
x
z zcE z t t t K z t t
c
z zct t K z t t
c
z zcK z t
c
0 0 0 377 c Z
00e 0
0
( , ) ,2x x
z zZE z t K z t
c
Solution for the x component of the electric field strength /
Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke
Wave impedance of free space (vacuum) / Wellenwiderstand des Freiraumes (Vakuum)
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0
0 0 e 00
0 e 0
1( , ) ( , )
j
1j ( , ) ( , )
j
( , ) ( , )
y x
x
x
H z E zz
G z z K zz
G z z K zz
0 0 e 0( , ) j ( , ) ( , )x xE z G z z K z
0 e 0
00e 0
0
00e 0
0
00 0e 0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) d
( , ) d2
( , ) d2
sgn( )( , ) d
2
sgn
y xt
xt
xt
xt
H z t G z z t t K z t tz
z zcu t t K z t t
z c
z zcu t t K z t tz c
z zc z zt t K z t t
c c
00 e 0
0
1( ) ,
2 xz z
z z K z tc
0
0
0 0
0
0 00
0 0
00
0 0
sgn
sgnsgn( )
sgn( )
z zu t tz c
z z z zu t tz c
z z z zz zt t
c c
z zz zt t
c c
u t tt
u t tt
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
em
0 00 0e 0 e 0
0 0
0200 e 0
0
( , ) ( , ) ( , )
sgn( ), ,
2 2
sgn( ) ,4
z x y
x x
x
S z t E z t H z t
z z z zZ z zK z t K z t
c c
z zZz z K z t
c
Solution for the y component of the magnetic field strength / Lösung für die y-Komponente der
magnetische Feldstärke
00e 0
0
sgn( )( , ) ,
2y xz zz z
H z t K z tc
00e 0
0
( , ) ,2x x
z zZE z t K z t
c
Solution for the x component of the electric field strength /
Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke
Solution for the z component of the Poynting vector / Lösung für die z-Komponente des Poynting-Vektors
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
e 0 e ref 2
00e 0
0
0e 0
0
200
emz e 00
, ( )
( , ) ,2
1( , ) ,
2
( , ) ,4
x RC
x x
y x
x
K z t K f t
z zZE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zZS z t K z t
c
e 0 2
0e 0
0
0e 0
0
20
eemz 00
, ( )
1( , ) ,
2
1( , ) ,
2
1( , ) ,
4
x RC
x x
y x
x
K z t f t
z zE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zS z t K z t
c
refref ref ref ref ref ref ref 0
ref
ref
ref refrefref ref
ref ref ref
ˆ
ˆ
ˆ
x x
y y
xt t t t z x z c c c
c
E E E
EH H H H E
c
ref refref ref
ref ref
2ref
em zem z em ref em ref ref refref
refee e ref e ref ref
ref
ref
ee e ref e ref ref e ref
1( ) ( )
xx
xx
EE
Z
ES S S S E H
Z
J J J J Et
z zx
K K K K x J
ref 0
ref
ref 0
ref 0
ref 0
e ref 1 A/m
c c
x z
Z Z
K
Normalization of the field components / Normierung der Feldkomponenten
EM Field components / EM-Feldkomponenten
Normalized EM field components / Normierte EM-Feldkomponenten
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
e 0 2
0e 0
0
0e 0
0
20
eemz 00
, ( )
1( , ) ,
2
1( , ) ,
2
1( , ) ,
4
x RC
x x
y x
x
K z t f t
z zE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zS z t K z t
c
The Green’s function method gives the solution of the 1-D simulation area excited by a “point” source, which is in 1-D a singular electric surface current source. The singular source is independent of x and y. The reference solution gives the correct characteristic and correct amplitudes. But the solution doesn’t account
for the reflections at the boundaries, because we used the free-space Green’s function. /Die Methode der Greenschen Funktion ermöglicht die Lösung des vorliegenden Problems, der Anregung des
1D-Simulationsgebietes durch eine „Punkt“quelle, die genauer gesagt in 1D eine singuläre elektrische Flächenstromdichte ist.
Da die singuläre Quelle von x und y unabhängig ist. Die Charakteristik und Amplitude stimmt überein, nur die Reflexionen an den Rändern fehlen, was an der Verwendung der Greenschen Funktion für den Freiraum
liegt.
FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dissipation / Dissipation
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema
2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method
(Fourier series method):
Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification
matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.
Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):
Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins
sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave
/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene
Welle
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
FD FD( 1) ( )1D 1D
:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
FD FD1D 1D
1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix
FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .
where max / -w obe :i n nn N
nn
G G G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 2 2
0
k k k =k
k k k k
x z z zx z z z
x y z z zk k
kc
k e e e e
k k k
Wave vector / Wellenvektor
Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors
Wavenumber /Wellenzahl
Circular freque
0 02
sgn
(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k
ˆ sgn(k ) (
z zz zzz zz z
z
z z
f
k
k k
k k
ee ek
k
ek
k R e
ncy /Kreisfrequenz
Propagation direction /Ausbreitungsrichtung
Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e
Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /
Monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
k̂
R
ˆ const.k R
Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0
0
0
0
( , 1) j ( 1)j0 0
exp( )
j ( 1)0 0
( , ) j0 0
( , 1) j ( 1)0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) e e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
z t tz
z
t
z t t
z t t
n n n tkn zx x
n
n tx z
n n n tx x z
n n n tx x z
E E
E n
E E n
E E n
k
k
k
k
0
0
0
( 1, ) jj0 0
( , ) j0 0
( 1, ) jj0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
z t t
z t t
z t t
n n n tk zx x z
n n n tx x z
n n n tk zx x z
E E n
E E n
E E n
k
k
k
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n nx x x x x xE E E t E E E
0 0( , ) j jj0 0 0 0
exp( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e e ( , ) exp( ) ez t t tz
z
n n n t n tkn zx x x z
n
E E E n
k k
0 0 0
0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)0 0 0 0 0 0
- j2 j - j0 0 0 0 0 0
- j - j ( 1)20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e 2 ( , ) ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
(
t t t
t
z t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x x
n t n tx x
E E E
t E E E
t E E
k k k
k k k
k k
0- j2 j - j0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ) ( , ) e ( , ) e e tn tk z k zx xt E E k k
Insert discrete plane wave / Setze die diskrete ebene Welle
into the FD scheme / in das FD-Schema ein
with / mit
it follows / folgt
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0
0 0
j ( 1) j j ( 1)20 0 0 0 0 0
j2 j j0 0 0 0
j j ( 1)20 0 0 0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
( )
t t t
t
t t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x
n t n tx x
E t E E
t E E
t E E
t
k k k
k k
k k
0
0 0
0
0
jj j0 0
2cos( )
j j ( 1)20 0 0 0
j20 0
j ( 1) 20 0 0 0
ˆ ˆe e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ( ) 2cos( ) ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) cos( ) 1 ( ,
t
t t
t
t
n tk z k zx
k z
n t n tx x
n tx
n tx x
E
t E E
t k z E
E t k z E
k
k k
k
k k
0 0j j ( 1)0 0
ˆ ˆ) e ( , ) et tn t n txE
k
2 22sin 1 cos 2sin cos 12 2
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t t t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t z t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
0
0
( ) - j0 0
( ) ( 1)
- j ( 1)0 0
ˆ ˆ( , ) e
ˆ ˆ( , ) e
t t
t t
t
n n tx
n n
n tx
U E
V U
E
k
k
( 1) ( 1) ( )2 2
( ) ( )2 2
2 1 2( ) sin2
2 1 2( ) sin2
t t t
t t
n n n
n n
k zU U t U
k zV t U
Define / Definiere
which yields for the above equation / womit wir für die obere Gleichung erhalten
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
( )
( )
( )
tt
t
nn
n
U
V
W
( 1) ( )FD1D
( 1) 2 2 ( )
( 1) ( )
FD( 1) ( )1D
2 1 2( ) sin 12
1 0
t t
t t
n nt t
t t
n n
n n
n n
k ztU U
V V
W WG
W G W
2 2FD1D
2 2 2
2 1 2( ) sin 1det 2
1
2 1 2( ) sin 12
k zt
k zt
G I
FD1D
det 0 G I FD FD1D 1D
: -nnn G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Define a new algebraic vector / Definiere einen neuen algebraischen Vektor
FD1D
:G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
Characteristic polynomial / Charakteristisches Polynom
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2
2 2 2 2 2 2 22 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2 2
k z k z k zt t t
2 2
2 2 2 21 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
k z k zt t
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1
a a
k z k zt t
a a
a a
2 2 1 / 1a a if falls
Eigenvalues of the amplification matrix / Eigenwerte der Verstärkungsmatrix
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
22 2 2 2 2
1/ 2 j 1 1 1
1
a a a a a a
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2 2 2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1 if 1 / falls 1
a a
k z k zt t
a a
a a a a
Unit circle /Einheitskreis
1
1
1
1This means for, that all eigenvalues
a2 ≤ 1 are on the unit circle in the complex plane. /
Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte für
a2 ≤ 1 auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.
Re jIm 1, 2n n n n
Im n
Re n
FD1D
1 G
Spectral radius /Spektraler Radius
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2
22 2 2 2
1/ 2
2 2 2
1 2( ) sin j 1 1 2( ) sin2 2
j 1 if 1 / falls 1
a a
k z k zt t
a a a a
2
22 2
2 2 4 4
2 2 2 2
2 2
2 2
2
1
1 2( ) sin 12
1 4( ) sin 4( ) sin 12 2
4( ) sin 1 ( ) sin 02 2
1 ( ) sin 02
( ) sin 12
( ) 1
a
k zt
k z k zt t
k z k zt t
k zt
k zt
t
because / wei
2 max sin 12
1
k z
t
l
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
max1-D / 1D: 1
xt t t
c
ref
ref
: t x
t tt c
Courant number /
Courant - Zahl
1-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /1D-Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-
Bedingung
2-D and 3-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /
2D- und 3D- Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-Bedingung
max
max
1 12-D / 2D: 0.707
2 21 1
3-D / 3D: 0.5773 3
xt t t
c
xt t t
c
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 21/ 2
2 2 2 2 2
( ) 1 if 1 / falls 1
j 1 if 1 / falls 1 with 1 2( ) sin2
t a a a a
k za a a a a t
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
2 21/ 21 : j 1a a a
2 21/ 21: 1a a a
2 21 2
1 2
j 1 j 1
1 1
a a a a
2 21 2
1 2
1 1
lim lim 0a a
a a a a
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
1/ 2
as a function of als Funktion von ( ) ( )t t
1( )t
2 ( )t
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
FD
1D
t G
2 2 21/ 2
2 2 2
2 2
( ) 1 if 1 / falls 1
j 1 if 1 / falls 1
with 1 2( ) sin2
t a a a a
a a a a
k za t
Spectral radius / Spektraler RadiusEigenvalues / Eigenwerte
1( )t
2 ( )t
FD
1D
t G
End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung