numerical methods of electromagnetic field theory ii (nft ... · iterative methods for the solution...
TRANSCRIPT
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1Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /
6th Lecture / 6. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Science
(FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
2
2Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( ) ( )r rr zϕ ϕ= =
= +
=r 0
R e e
r
2-D Case /2D-Fall
TMeK ( , )z ω′r
inE ( , )z ωr
0r
( )sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G Cωµ ω ω ω′
′ ′∈ =∂
′− − = ∈∫r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /
Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegralsfür die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.
( )(1)00
j( , ) H4
G kω ′′− = −r r r r
cylrr
′rz
y
x
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3Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
N
N N NN
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
ω ω ωω ω ω
ω ω ω
⇔
• • •• • •• • •• • •
••••
……
…
• Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
•
We have to Consider Two Different Cases for the Elements of the Impedance Matrix / Man unterscheidet zwei Verschiedene Fälle für die Elemente der Impedanzmatrix
( )sc sc
TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S
G Cωµ ω ω ω′
′ ′∈ =∂
′− − = ∈∫r r r r r r r
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
••
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für: (Self Cell / Eigenzelle)Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r r′=
r r′≠
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4Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )( )0
(1)0
21 j ln 14( )
4H ( )
nn
mn
mn
k m nZ
k r m n
γωµ πω
+ ∆ + − = = ∆ ≠
Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix
[ ] { } { }TM ine
V / A V / mA / m
( ) ( ) ( )z zω ω ω= ==
=Z K E
Matrix Equation / Matrixgleichung
{ } [ ] { }1TM ine
A / V V / mA / m
( ) ( ) ( )z zω ω ω−
= ==
=K Z E
Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung
Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode
Problem: Large Impedance Matrix / Problem: Große Impedanzmatrix !
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5Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
J. J. Bowman, T. B. A. Senior, P. L. E. Uslenghi (Editors): Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes.
Taylor & Francis Inc, New York, 1988.
Separation of Variables Analytic Solution in Terms of Eigenfunctions /
Separation der Variablen Analytische Lösung in Form von Eigenfunktionen
ink
PEC Cylinder with Radius a / IEL Zylinder mit dem Radius a
( )
r e e
ex y
r
x y
r ϕ
= +
=2-D Case /
2D-FallininE ( , )rz ω
r
a
y
x
Plane Wave / Ebene Welle
ϕ
in scE ( , ) E ( , ) E ( , )r r rz z zω ω ω= +inr
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6Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem
kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen
( )sc (1)in in(1)
0
J ( )( , , , ) ( j) H ( ) cosH ( )
n nz n n
n n
kaE r kr nka
ϕ ϕ ω ε ϕ ϕ∞
== − − − ∑
1 02 1, 2,3,n
nn
ε=
= = …
Electric Field Strength of the Scattered Wave / Elektrische Feldstärke der gestreuten Welle
Neumann Function / Neumann-Funktion
Electric Field Strength of the Incident Wave / Elektrische Feldstärke der einfallenden Welle
inin jin 0
1 V/m
( , , , ) ( ) e k rzE r Eϕ ϕ ω ω
=
= i
Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder
in scain in in( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0z z zE r a E r a E r aϕ ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω= = = + = =
Solution / Lösung
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7Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem
kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen
r a=Induced Electric Surface Current Density at / Induzierte elektrische Flächenstromdichte bei
( )
TMe in in
in scin in
0in(1)
0
( , , ) ( , , , )
( , , , ) ( , , , )
1 ( j)2 cosH ( )
z
n
nn n
K H r a
H r a H r a
Y nka ka
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω
ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω
ε ϕ ϕπ
∞
=
= =
= = + =
−= − ∑
( )TM 0e in in(1)
0
1 ( j)( , , ) 2 cosH ( )
n
z nn n
YK nka ka
ϕ ϕ ω ε ϕ ϕπ
∞
=
−= − ∑
Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder
in( , , , ) 0zE r a ϕ ϕ ω= =
in( , , , )r a ϕ ϕ ω= =n ×E 0
in ine( , , , ) ( , , , ), Rr a r aϕ ϕ ω ϕ ϕ ω= = = =n ×H K n e
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8Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( )( )0
(1)0
21 j ln 14( )
4H ( )
nn
mn
mn
k m nZ
k r m n
γωµ πω
+ ∆ + − = = ∆ ≠
Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix
[ ]{ }Re ( )Z ω
[ ]{ }Im ( )Z ω
[ ]( )Z ω1, 128ka N= =
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9Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
{ }TM0 e inRe ( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °
{ }TM0 e inIm ( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °
TM0 e in( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °
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10Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
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11Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
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12Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Results
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13Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
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14Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
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15Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
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16Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Calculation of the Scattered Field /Berechnung des Streufeldes
( )sc sc
sc TM 3sc0 eE ( , ) j K ( , ) , d , \z zC S
G Cω ωµ ω ω′
′ ′∈ =∂
′= − ∈∫rr r r r r r
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( )s′r
in0jin in
0E ( , ) E ( ) ez zω ω= k rr i
0r
n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler
(5)( )r bs′
(5)( )r es′
( )TM(1)eK z ω
( )TM(3)eK z ω
( )TM(4)eK z ω
( )TM(2)eK z ω
( )TM(8)eK z ω
( )TM(7)eK z ω( )TM(6)
eK z ω
( )TM(5)eK z ω
in sc 3scE ( , ) E ( , ) E ( , ), \z z z Cω ω ω= + ∈r r r r
Calculation of the Total Field /Berechnung des Gesamtfeldes
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17Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
Real Part / Realteil Imaginary Part / Imaginärteil Magnitude / BetragIncident Field /
Einfallendes Feld
Scattered Field / Streufeld
Total Field / Gesamtfeld
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18Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen
CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method
M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952
BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method
C. Lanczos, 1952D. A. H. Jacobs, 1981C. F. Smith et al., 1990R. Barret et al., 1994
CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function)
P. Sonneveld, 1989
GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method
Y. Saad & M. H. Schultz, 1986R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996
QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method
R. Freund & N. Nachtigal, 1990N. Nachtigal, 1991R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996
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19Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
[ ]{ } { }A x b=
Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung
[ ]
{ }
{ }
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
×
A
x
b
N
N
N N NN N N
N N
N N
A A AA A A
A A A
xx
x
bb
b
=
=
=
……
…
Non-singular Matrix / Nicht singuläre Matrix
Solution Vector / Lösungsvektor
Right-hand Side / Rechte Seite
20
20Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
{ } { } { }( ) { }
{ } { }
*T
†
,x y x y
x y
=
=
Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)
{ } { } { }{ }
2,
:
x x x
x
=
=
ℓ2-Norm / ℓ2-Norm
{ } 1 211
xN
N nn
x x x x=
= + + + = ∑
ℓ1-Norm / ℓ1-Norm
{ }1/
1x
pNp
npn
x=
= ∑
Used Vector Norms in Linear Algebra – Special Cases of the Hölder Norm /
Verwendete Vektornormen in der Linearen Algebra – Spezialfälle der Hölder-Norm
1p =
{ }* * * *
1 1 2 221
xN
N N n nn
x x x x x x x x=
= + + + = ∑
ℓ2-Norm / ℓ2-Norm2p =
{ }1,...,
maxx nn N
x∞ ==
ℓ∞-Norm / ℓ∞-Normp = ∞
21
21Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
{ }
1
2x
N N
xx
x
=
{ } { }
T1
T 21 2, ,...,x N
N
xx
x x x
x
= =
{ }( ) { }* * *
*T1
*T 21 2, ,...,x N
N
xx
x x x
x
= =
{ } { } { } { } { }* * * * * * *
1
21 2 1 1 2 22
1, , , ...,x x x x
N
N N N n nn
N
xx
x x x x x x x x x x x
x=
= = = = + + + =
∑
{ } { } { }( ) { }
{ } { }
*T
†
,x y x y
x y
=
=
Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)
{ } { } { }{ }
2,
:
x x x
x
=
=
ℓ2-Norm / ℓ2-Norm
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22Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
Iterative Method / Iterative Methode
{ } { } { }( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )( )
Correction Term /New Approximation / Old Approximation /KorrekturtermNeue Approximation Alte Approximation
x x p
l l l
l l llα
−
−
= +
{ }( )p l
( )lα Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l
lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum
1, 2, ,l L= …
[ ]{ } { }A x b=
Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung
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23Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) /Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
{ } { } { })( )1 () (
( 1( ( )() ))
Old Approximation /Alte Approximat
New Approximation /Neue Approxima
Correction Term /Korrekturtermontion i
pxx
ll l
lll l α
−
−
= +
Iterative Method / Iterative Methode
{ }( )x l
{ }( 1)x l−
{ }( )( ) p llα
{ }( )p lGeometric Interpretation / Geometrische Iterpretation
{ } { } { }( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )( )
Correction Term /New Approximation / Old Approximation /KorrekturtermNeue Approximation Alte Approximation
x x p
l l l
l l llα
−
−
= +
{ }( )p l
( )lα Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l
lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum
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24Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
{ }( ) [ ]{ } { }( ) ( )( ) x A x bl llE = −
Error Functional / Fehlerfunktional
[ ]{ } { }
[ ]{ }
( ) ( 1)( )
2( )
,A p r
A p
l ll
lα
−
= −
Scalar Coefficient, which Minimizes the Error Functional / Skalarer Koeffizient, welcher das Fehlerfunktional minimiert
{ } [ ]{ } { }( ) ( )r A x bl l= −
with the Residual Vector / mit dem Fehlervektor
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25Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
Iterative Method / Iterative Methode
{ } { } { }( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )( )
Correction Term /New Approximation / Old Approximation /KorrekturtermNeue Approximation Alte Approximation
x x p
l l l
l l llα
−
−
= + 1, 2, ,l L= …
{ } { } { } { } { }(0) (1) (2) ( )(1) (2) ( )x x p p p LLα α α= + + + +
Solution in Form of a Finite Sum / Lösung in Form einer endlichen Summe
[ ]{ } { }A x b=
Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung
[ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) for /, 0
fürA p A pi j i j= ≠
{p}(i) and {p}(j) are Mutually Conjugate if / {p}(i) und {p}(j) sind gegenseitig konjugiert
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26Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) – Convergence / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) – Konvergenz
{ } { } { } { }( ) ( ) x x x xl m l m− ≤ − >
Convergence: Yes or No? / Konvergenz: Ja oder Nein?
Important Property of the CG Method:
For an arbitrary non-singular N × N Matrix [A], the CG algorithm produces in at most N iteration steps (assuming infinite-precision arithmetic). This is a direct consequenceof the fact that L = N {p} vectors span the solution space. Finite-step termination is a significant advantage of the
CG method over other iterative algorithms.
Wichtige Eigenschaft der CG Methode:
Für eine beliebige nicht-singuläre N × N-Matrix [A], der CG-Algorithmus produziert in höchstens N-Iterationsschritten
(bei unendlich genauer Arithmetik). Dies ist eine direkte Konsequenz des Faktum, dass L = N {p}-Vektoren den
Lösungsraum aufspannen. Dass die Lösung in einer endlichen Anzahl von Iterationsschritten generiert wird, ist ein
entscheidender Vorteil der KG-Methode gegenüber anderen iterativen Algorithmen.
0,1, , l L L N= <…[ ] { } { }A x bN NN N× =
{ } { } { }( ) ( )l l≤ −e x x
{ }
{ }
[ ]{ } { }
{ }
( ) ( )( )
( ) ( )
l ll
l lR
−= =
r A x b
b b( ) 410lR −<
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27Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ] { }
(0) (0) (0)
a(1) (0)
x r A x b
p A r
= −
= −
Initialization / Initialisierung ( 0)l = Guess / Schätze
[ ]{ } { }
[ ]{ }
[ ] { }
[ ]{ }
{ } { } { }
{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }
{ }
{ }
[ ]{ } { }
{ }
[ ] { } { }( ) [ ] { }
[ ] { }
{ } [ ] { } { }
a ( 1)( ) ( 1)( )
2 2( ) ( )
( ) ( 1) ( )( )
( ) ( ) ( 1) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
a a( ) ( 1) ( )
( )2a ( 1)
a( 1) ( ) ( )( )
,
,
A rA p r
A p A p
x x p
r A x b r A p
r A x b
b b
A r r A r
A r
p A r p
ll ll
l l
l l ll
l l l ll
l ll
l l
l l l
l
l
l l ll
R
α
α
α
β
β
−−
−
−
−
−
+
= =
= +
= − = +
−= =
−=
= − +
Iterate / Iteriere ( 1, 2, )l = …
Polak-Ribière
Stop here, if the error falls below some predefined value!
28
28Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)
[ ]{ } { }
[ ]{ }
[ ] { }
[ ]{ }
{ } { } { }
{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }
{ }
{ }
[ ]{ } { }
{ }
[ ] { }
[ ] { }
{ } [ ] { } { }
a ( 1)( ) ( 1)( )
2 2( ) ( )
( ) ( 1) ( )( )
( ) ( ) ( 1) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2a ( )( )
2a ( 1)
a( 1) ( ) ( )( )
, A rA p r
A p A p
x x p
r A x b r A p
r A x b
b b
A r
A r
p A r p
ll ll
l l
l l ll
l l l ll
l ll
l l
ll
l
l l ll
R
α
α
α
β
β
−−
−
−
−
+
= =
= +
= − = +
−= =
=
= − +
{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ] { }
(0) (0) (0)
a(1) (0)
x r A x b
p A r
= −
= −
Initialization / Initialisierung ( 0)l = Guess / Schätze
Iterate / Iteriere ( 1, 2, )l = …
Fletcher-Reeves
Stop here, if the error falls below some predefined value!
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29Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate
TM0 e in( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °
{ }TM0 eIm zZ K
TM0 ezZ K
{ }TM0 eRe zZ K
( )lR
Re Im Magnitude / Betrag
Incident Field / Einfallendes Feld
Scattered Field / Streufeld
Total Field / Gesamtfeld
30
30Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IEL Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE
sc sc
sc sc
in20 sc e sc
in2e sc e scm
j PV ( , ) ( , ) d ( , )
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
S V
S V
εωµ ω ω ω
ω ω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′− = −
′ ′ ′+ − =
∫∫
∫∫
R
R
n × K R G R R R n ×E R
K R n × K R G R R R n ×H R
i
i
Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):
e m( , ), ( , )
SV
ω ω′ ′J R J R
sc scS V′ ∈ = ∂RO
Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers
{ }( , ), ( , )ω ω =E R H R 0
eσ → ∞
scV
sc scS V∈ = ∂R
scn
sc′n
sc scS V= ∂
0sc sc
sc sc
in210sc e e scj
in2e sc e sc
j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
S V
S V
G G
G
ωεωµ ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′ ′ ′′ ′− + ∇ ∇ − = −
′ ′ ′′− ∇ ∇ − =
∫∫
∫∫
R
R
n × K R R R K R R R R n ×E R
K R n × × K R × R R R n ×H R
i
sc sc
sc sc
in2sc e sc
0
in2e sc e sc
1 ( , ) ( , ) d ( , )j
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
S V
S V
G
G
ω ω ωωε
ω ω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′∇ ∇ − =
′ ′ ′− ∇ − =
∫∫
∫∫
R
R
n × × × K R R R R n ×E R
K R n × × K R R R R n ×H R
Franz version / Franz-Version:
Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:
Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:
scS∈R scS∈R
scS∈RBoundary condition for / Randbedingung für scS∈R
Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer
( )sc
m
sc e
( , )
( , )( , ) ( , )
n ×E R 0K R 0
n ×H R K R
ω
ω
ω ω
=
→ =
=
31
31Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PMC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IML Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE
sc sc
sc sc
in2m sc m scm
in20 sc m sc
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
j PV ( , ) ( , ) d ( , )
S V
S Vε
ω ω ω ω
ωε ω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′+ − = −
′ ′ ′− = −
∫∫
∫∫R
R
K R n × K R G R R R n ×E R
n × K R G R R R n ×H R
i
i
Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):
e m( , ), ( , )
SV
ω ω′ ′J R J R
sc scS V′ ∈ = ∂RO
Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers
{ }( , ), ( , )ω ω =E R H R 0
mσ → ∞
scV
sc scS V∈ = ∂R
scn
sc′n
sc scS V= ∂
sc sc
0sc sc
in2m sc m sc
in210sc m m scj
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )
S V
S V
G
G Gωµ
ω ω ω ω
ωε ω ω ω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′′− ∇ ∇ − = −
′ ′ ′ ′ ′′ ′− + ∇ ∇ − = −
∫∫
∫∫R
R
K R n × × K R × R R R n ×E R
n × K R R R K R R R R n ×H Ri
sc sc
sc sc
in2m sc m sc
in2sc m sc
0
1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2
1 ( , ) ( , ) d ( , )j
S V
S V
G
G
ω ω ω ω
ω ω ωωµ
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′− ∇ − = −
′ ′ ′∇ ∇ − =
∫∫
∫∫
R
R
K R n × × K R R R R n ×E R
n × × × K R R R R n ×H R
Franz version / Franz-Version:
Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:
Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:
scS∈R scS∈R
scS∈RBoundary condition for / Randbedingung für scS∈R
Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer
( )sc
e
sc m
( , )
( , )( , ) ( , )
n ×H R 0K R 0
n ×E R K R
ω
ω
ω ω
=
→ =
= −
32
32Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IEL Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
sc sc
sc sc
TM in0 e
inTM TMe e
sc
j ( , ) ( , ) d ( , )
1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )2
r
r
r r r r r
r rr r r e H r
z zC S
z z sC S
K G E
GK Kn
ωµ ω ω ω
ωω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′− = −
′∂ −′ ′+ −∂
∫
∫ i
Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):
e m( , ), ( , )J r J rSS
ω ω′ ′
sc scr C S∈ = ∂′
O
Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers
{ }( , ), ( , )E r H r 0ω ω =
eσ → ∞
scS
sc scr C S∈ = ∂
scn
scn′
sc scC S= ∂
sc sc
sc sc
inTEe
sc sc
TE TE ine e
sc
01
j( , )( , ) d ( , )
1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2
r
r
r rr r e E r
r rr r r r
z sC S
z z zC S
GKn n
GK K Hn
ωεωω ω
ωω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′∂ ∂ −′ ′ =∂ ∂
′∂ −′ ′ ′− =∂
∫
∫
i
TM Case / TM-Fall:
TE Case / TE-Fall
scr C∈ scr C∈
scr C∈Boundary condition for / Randbedingung für scr C∈
Direct scattering problem for a PEC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IEL Streuer
( )sc
m
sc e
( , )
( , )( , ) ( , )
n ×E r 0K r 0
n ×H r K r
ω
ω
ω ω
=
→ =
=
EFIE
MFIE
EFIE
MFIE
sce n ×e es z t′= = −
z
y
x
with / mit
33
33Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PMC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IML Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
sc sc
sc sc
inTM0 m
sc sc
TM TM inm m
sc
( , )j ( , ) d ( , )
1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2
r
r
r rr r e H r
r rr r r r
z sC S
z z zC S
GKn n
GK K En
ωωµ ω ω
ωω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′∂ ∂ −′ ′ =∂ ∂
′∂ −′ ′− = −∂
∫
∫
i
Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):
e m( , ), ( , )J r J rSS
ω ω′ ′
sc scr C S∈ = ∂′
O
Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers
{ }( , ), ( , )E r H r 0ω ω =
eσ → ∞
scS
sc scr C S∈ = ∂
scn
sc′n
sc scC S= ∂
sc sc
sc sc
TE in0 m
sc
inTE TEm m
sc
j ( , ) ( , ) d ( , )
1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2
r
r
r r r r r
r rr r r e E r
z zC S
z z sC S
K G Hn
GK Kn
ωε ω ω ω
ωω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
∂ ′ ′ ′− =∂
′∂ −′ ′ ′+ =∂
∫
∫ i
TM Case / TM-Fall:
TE Case / TE-Fall
scr C∈ scr C∈
scr C∈Boundary condition for / Randbedingung für scr C∈
Direct scattering problem for a PMC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IML Streuer
( )sc
e
sc m
( , )
( , )( , ) ( , )
n ×H r 0
K r 0n ×E r K r
ω
ω
ω ω
=
→ =
= −
EFIE
MFIE
EFIE
MFIE
z
y
x
sce n ×e es z t′= = −with / mit
34
34Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: MFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: MFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
inkSource /Quelle
O
PEC Cylinder / IEL Zylinder
( ) ( )r rr zϕ ϕ= =
= +
=r 0
R e e
r
2-D Case /2D-Fall
TMeK ( , )z ω′r
inE ( , )z ωr
0r
2-D PEC TM MFIE / 2D-IEL-TM-MFIE
This is a Fredholm integral equation of the 2. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /
Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art in Form eines geschlossenen Linienintegralsfür die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.
( )(1)00
j( , ) H4
G kω ′′− = −r r r r
cylrr
′r
sc sc
inTM TMe e
sc
1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )2 r
r rr r r e H rz z sC SGK K
nωω ω ω
′∈ =∂
′∂ −′ ′+ −∂∫ i
z
y
x
35
35Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE
(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −
CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE
0.2α→ =
Internal Resonance Problem / Probleme mit internen Resonanzen
Ill-Conditioned Matrix Equation – The Matrix Operator has a Null Space at these Resonance Frequencies / Schlechtgestellte Matrixgleichung – Der Matrixoperator besitzt einen Nullraum bei den Resonanzfrequenzen
Non-Uniqueness Due to Internal Resonance Problem / Nichteindeutigkeit wegen den internen Resonanzen
Remedy of the Non-Uniqueness / Lösung der Nichteindeutigkeit
with / 0 1
mit α≤ ≤
36
36Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE
(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −
CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE
0.2α→ =with / 0 1
mitα≤ ≤
Antilla, G., N. G. Alexopoulos: Scattering from Complex Three-Dimensional Geometries usinga Curvilinear Hybrid Finite-Element-Integral Equation Approach, Optical Soc. America, Vol. 11, pp. 1445-1457, April 1994.
37
37Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE
38
38Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE
(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE 0.2α =
sc sc
sc sc
TM in0 e
inTM TMe e
sc
EFIE
MFIE
j ( , ) ( , ) d ( , )
1 ( , ) ( , ) ( , ) d = ( , )2
z zC S
z z sC S
K G E
GK Kn
ωµ ω ω ω
ωω ω ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
=
=
′ ′ ′− = −
′∂ −′ ′+ −∂
∫
∫
r
r
r r r r r
r rr r r e H ri
( )
( )
sc sc
sc sc
TM0 e
TM TM0 e e
sc
inin0
j ( , ) ( , ) d
1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) d2
( , ) 1 ( , )
zC S
z zC S
z s
K G
GZ K Kn
E Z
α ωµ ω ω
ωα ω ω
α ω α ω
′
′
∈ =∂
∈ =∂
′ ′ ′−
′∂ −′ ′+ − +∂
= − − −
∫
∫
r
r
r r r r
r rr r r
r e H ri
39
39Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Transition Conditions / Penetrable Streuer: Übergangsbedingungen
O
{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠
scV
sc scS V∈ = ∂R
scn
sc scS V= ∂
scS∈RTransition Condition for /Übergangsbedingungen für scS∈R
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(2) (1) msc
(2) (1) esc
(2) (1) esc
(2) (1) msc
( , ) ws / mq, , =
sf / qf
( , ) ws / mq, , =
sf / qf
( , ) ws / mq, , =
0 sf / qf
( , ) ws / mq, , =
0 sf / qf
K Rn × E R E R
0K R
n × H R H R0R
n D R D R
Rn B R B R
tt t
tt t
tt t
tt t
η
η
− − − − −
i
i
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(2) (2)(2) (1)r 0 r m
sc (1)r(2) (2)
(2) (1)r 0 r esc (1)
r
(1) e(2) (1) (2)rsc 0 r(2)
r
( , ) ws / mq, , =sf / qf
( , ) ws / mq, , =sf / qf
1 ( , ) ws, , =
K Rn × D R D R0
K Rn × B R B R0
Rn E R E R
tt t
tt t
tt t
ε ε εε
µ µ µµ
ηεε ε
ε
−−
−
−
i
( ) ( )(1) m(2) (1) (2)r
sc 0 r(2)r
/ mq
0 sf / qf
1 ( , ) ws / mq, , =
0 sf / qf
Rn H R H R
tt t
ηµµ µ
µ
−
i
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µ
40
40Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
m
e
e
m
( , ) j ( , ) ( , )
( , ) j ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
×E R B R J R
×H R D R J R
D R R
B R R
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ρ ω
ω ρ ω
∇ = −
∇ = − +
∇ =
∇ =
i
i
0 r
0 r
( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )D R R E RB R R H R
ω ε ε ωω µ µ ω
=
=
m
e
e
m
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
×E R B R J R
×H R D R J R
D R R
B R R
t t tt
t t tt
t t
t t
ρ
ρ
∂∇ = − −
∂∂
∇ = +∂
∇ =
∇ =
i
i
0 r
0 r
m( ) ( , )
e( ) ( , )
( , ) j ( , ) ( , )
( , ) j ( , ) ( , )R H R
R E R
× ×E R × B R ×J R
× ×H R × D R ×J Rµ µ ω
ε ε ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω=
=
∇ ∇ = ∇ −∇
∇ ∇ = − ∇ +∇
41
41Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]
[ ] [ ]
0 r
em
( ) ( , ) 0 r 0 r0 r
m( ) ( , )
0 r m
0 r r1 1j ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
j ( ) ( )
( , )j ( , ) ( , )
j ( ) ( , ) ( , )
j ( ) ( , ) ( ) ( , )
ε ε ω
µ µ ω
ω ω ω ω ωωµ µ µ µ
ωω ω ω
ωµ µ ω ω
ωµ µ ω µ ω
=
=
− + = ∇ +
∇ ∇= ∇ −∇
= ∇ −∇
= ∇ + ∇ R E R
R H R
D R J R ×E R J RR R
× ×E R× B R × J R
× R H R × J R
R ×H R R × H R
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
m
0 r 0 r r re m0 r 0 r
20 r 0 r r
0 r
0 r re m0 r
( , )
1 1j j ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )j ( ) ( )
1( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )j ( )
1j ( ) ( , ) ( ) (( )
ω
ωµ ωµ ε ε ω µ ω µ ω ωωµ µ µ µ
ω µ µ ε ε ω µ ωωµ µ
ωµ µ ω µµ µ
− ∇
= − + + ∇ ∇ +
= + ∇ ∇
+ + ∇
× J R
R R E R R J R R × ×E R J RR R
R R E R R × ×E RR
R J R R × J RR m, ) ( , )ω ω−∇ × J R
[ ]r rr
1 ( ) ln ( )( )
R RR
µ µµ
∇ = ∇
42
42Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
r r
r r r
ln ( ) ln ( , , )
ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )
R e e e
e e e
x y z
x y z
x y zx y z
x y z x y z x y zx y z
µ µ
µ µ µ
∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂
r
r r r rr( , , )
1
1 1ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )( , , )x y z
x y z x y z x y z x y zx x x x x x y z xµα α α
α
α α α αµ µ µ α µα α α α µ== = =
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r rr
r rr
r rr
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
x y z x y zx x y z x
x y z x y zy x y z y
x y z x y zz x y z z
µ µµ
µ µµ
µ µµ
∂ ∂=
∂ ∂∂ ∂
=∂ ∂∂ ∂
=∂ ∂
43
43Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]r rr
1 ( ) ln ( )( )
R RR
µ µµ
∇ = ∇
r r r r
r r rr r r
r r rr
ln ( ) ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )
1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )
1 ( , , ) ( , , ) ( , ,( , , )
R e e e
e e e
e e e
x y z
x y z
x y z
x y z x y z x y zx y z
x y z x y z x y zx y z x x y z x x y z x
x y z x y z x y zx y z x x x
µ µ µ µ
µ µ µµ µ µ
µ µ µµ
∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
rr
rr
)
1 ( , , )( , , )1 ( )( )
e e e
RR
x y z x y zx y z x x x
µµ
µµ
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂
= ∇
r rr
r rr
r rr
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
1ln ( , , ) ( , , )( , , )
x y z x y zx x y z x
x y z x y zy x y z y
x y z x y zz x y z z
µ µµ
µ µµ
µ µµ
∂ ∂=
∂ ∂∂ ∂
=∂ ∂∂ ∂
=∂ ∂
44
44Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]
[ ]
20 r 0 r r
0 r
0 r re m m0 r
1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )j ( )
1j ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )( )
× ×E R R R E R R × ×E RR
R J R R ×J R ×J RR
ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ µ
ωµ µ ω µ ω ωµ µ
∇ ∇ = + ∇ ∇
+ + ∇ −∇
[ ]r rr
1 ( ) ln ( )( )
R RR
µ µµ
∇ = ∇
[ ]
[ ]
20 r 0 r r
0
0 r re m m0
1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )j
1j ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( , )
× ×E R R R E R R × ×E R
R J R R ×J R ×J R
ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ
ωµ µ ω µ ω ωµ
∇ ∇ − = ∇ ∇
+ + ∇ −∇
e m( , ), ( , )
SV
ω ω′ ′J R J R
sc scS V′ ∈ = ∂RO
{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠
scV
sc scS V∈ = ∂R
scn
sc′n
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
r r( ), ( )R Rε µ
45
45Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]
[ ]r e
20 r 0 r r
0
0 r re m m0( , ) 0
1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )j
1j ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( , )J R
× ×E R R R E R R × ×E R
R J R R ×J R ×J Rµ ω
ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ
ωµ µ ω µ ω ωµ
= =
∇ ∇ − = ∇ ∇
+ + ∇ −∇
e m( , ), ( , )
SV
ω ω′ ′J R J R
O
( , )ω ≠E R 0
scV
R
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
r r( ), ( )R Rε µ
[ ]20 r 0 r r 0 r e m
0
1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j
× ×E R R R E R R × ×E R R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω µ ω ωµ µ ω ωωµ
∇ ∇ − = ∇ ∇ + −∇
[ ] [ ]rr m
scm
ln ( )ln ( ) ( , )
( , )0 R 0 R
R ×J R0 J R 0 R
sVV
µµ ω
ω ∇ = ∈∇ = = ∈
r r rer e
e
( , ) ( )( ) ( , )
( , )J R R R
R J R0 J R 0 R
s
s
VV
µ ω µ µµ ω
ω= =
= = ≠
( , )ωE R
46
46Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
e m( , ), ( , )
SV
ω ω′ ′J R J R
O
scV
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
r r( ), ( )R Rε µ
[ ]
in sc in sc20 r 0 r
in scr 0 r e m
0
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
1 ln ( ) ( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j
× × E R E R R R E R E R
R × × E R E R R J R ×J R
ω ω ω µ µ ε ε ω ω
µ ω ω ωµ µ ω ωωµ
∇ ∇ + − +
= ∇ ∇ + + −∇
in sc( , ) ( , ) ( , )E R E R E Rω ω ω= +
[ ]20 r 0 r r 0 r e m
0
1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j
× ×E R R R E R R × ×E R R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω µ ω ωµ µ ω ωωµ
∇ ∇ − = ∇ ∇ + −∇
R( , )ωE R
( , )ω ≠E R 0
47
47Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]
[ ]
in sc in sc2
in scr 0 r e m
0in sc in sc2 2
in scr
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 ln ( ) ( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 ln ( ) ( , ) ( ,j
k
k k
ω ω ω ω
µ ω ω ωµ µ ω ωωµ
ω ω ω ω
µ ω ωωµ
∇ ∇ + − +
= ∇ ∇ + + −∇
+ + − +
= ∇ ∇ +
× × E R E R E R E R
R × × E R E R R J R × J R
R E R E R E R E R
R × × E R E R 0 r e m
in sc2 2
) j ( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )k k
ωµ µ ω ω
ω ω
+ − ∇
+ − +
R J R × J R
R E R E R
[ ]
in sc in sc2
2 20 r re m
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j
× × E R E R E R E R
R J R ×J R R × ×E R R E R
k
k k
ω ω ω ω
ωµ µ ω ω µ ω ωωµ
∇ ∇ + − +
= −∇ + ∇ ∇ + −
48
48Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
in in20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω ωµ µ ω ω∇ ∇ − = −∇
[ ]
in sc in sc2
2 20 r re m
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j
× × E R E R E R E R
R J R ×J R R × ×E R R E R
k
k k
ω ω ω ω
ωµ µ ω ω µ ω ωωµ
∇ ∇ + − +
= −∇ + ∇ ∇ + −
[ ]20 r re m
02 2
1( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , )j
( ) ( , )
k
k k
ω ω ωµ µ ω ω µ ωωµ
ω
∇ ∇ − = −∇ + ∇ ∇
+ −
× ×E R E R R J R × J R R × ×E R
R E R
[ ] 20 r re m
0
1( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j
kω ωµ µ ω ω µ ω ωωµ
∇ ∇ = −∇ + ∇ ∇ +× ×E R R J R × J R R × ×E R R E R
[ ]20 r re m
0
1( , ) ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , )j
kω ω ωµ µ ω ω µ ωωµ
∇ ∇ − = −∇ + ∇ ∇× ×E R R E R R J R × J R R × ×E R
49
49Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
O
( , )ω ≠E R 0
scV
R
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R
e
m
( , ) j ( , )( , ) j ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )
ω ω ωω ω ωω ρ ωω ρ ω
∇ =∇ = −∇ =
∇ =
×E R B R×H R D RD R RB R Rii
0 r
0 r
( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )
ω ε ε ωω µ µ ω
=
=
D R R E RB R R H R
[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )× ×E R R R E R R × ×E Rω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇
50
50Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
[ ]
[ ]
20 r 0 0 r r
2 2 20 0 0 r 0 0 r r 0 0
20 0 0 r
( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ln ( ) (
× ×E R R × ×E R R R E R
× ×E R E R R × ×E R R R E R E R
× ×E R E R R × ×E R
ω µ µ ω ω ε µ ε µ ω
ω ω ε µ ω µ µ ω ω ε µ ε µ ω ω ε µ ω
ω ω ε µ ω µ µ
∇ ∇ = ∇ ∇ +
∇ ∇ − = ∇ ∇ + −
∇ ∇ − = ∇ ∇[ ] [ ]20 0 r r r r, ) ( ) ( ) ( , )R R E Rω ω ε µ ε µ ε µ ω+ −
Equivalent Current Densities / Äquivalente Stromdichten
[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )× ×E R R R E R R × ×E Rω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇
eq r0 re
r
eq r0 rm
r
( )( , ) j 1 ( , )
( )( , ) j 1 ( , )
RJ R E R
RJ R H R
εω ωε ε ω
ε
µω ωµ µ ω
µ
= −
= −
eq eq20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω∇ ∇ + = −∇
51
51Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
Equivalent Current Densities / Äquivalente Stromdichten
eq r0 re
r
eq r0 rm
r
( )( , ) j 1 ( , )
( )( , ) j 1 ( , )
RJ R E R
RJ R H R
εω ωε ε ω
ε
µω ωµ µ ω
µ
= −
= −
eq eq20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω∇ ∇ + = −∇
[ ] [ ]2 20 0 0 r 0 0 r r r r( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )ω ω ε µ ω µ µ ω ω ε µ ε µ ε µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇ + −× ×E R E R R × ×E R R R E R
52
52Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem
Equivalent Current Densities / Äquivalente Stromdichten
[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )ω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇× ×E R R R E R R × ×E R
eq r0 re
r
eq r0 rm
r
( )( , ) j 1 ( , )
( )( , ) j 1 ( , )
RJ R E R
RJ R H R
εω ωε ε ω
ε
µω ωµ µ ω
µ
= −
= −
eq eq20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω∇ ∇ + = −∇
O
sc ( , )ω ≠E R 0
scV
R
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R
53
53Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation / Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung
sc
sc 2 3'
in 2 3'
( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , ) d
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d
V
V
k
k
ω
ω χ ω ω
ω ω χ ω ω
∈
∈
=
′ ′ ′ ′= −
′ ′ ′ ′= + −
∫∫∫
∫∫∫
R
R
E R
E R R E R G R R R
E R E R R E R G R R R
i
i
eq eq20 r 0 r 0 r e m
2
2
( , ) ( , ) j ( , ) ( , )
( )( ) 1
× ×E R E R J R ×J R
RR kk
ω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω
χ
∇ ∇ + = −∇
= −
O
{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠
scV
R
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R
54
54Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation – 2-D TM Case/ Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung – 2-D TM Case
O
( , )ω ≠E r 0
scV
r
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ),ε ε µ µrin sc( , ) ( , ) ( , )ω ω ω= +E r E r E r
2 2 2
20 r 0 r
2 2 20 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r
2 2 2
2 2
22
2
( )
( , ) ( ) ( , ) 0
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( )1
z z
z z z z
z z z z
z
k k k
E E
E E E E
E k E k E k E
k k E
kkk
ω ω ε ε µ µ ω
ω ω ε ε µ µ ω ω ε ε µ µ ω ω ε ε µ µ ω
ω ω ω ω
ω
= = =
∆ + =
∆ + = −
∆ + = −
= −
= −
r
r r r
r r r r r
r r r r r
r r
r ( , )zE ω
r
55
55Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation / Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung
sc 2 2'
in 2 2'
( , ) ( ) ( , ) ( , ) d
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d
r
r
r r r r r r
r r r r r r r
z zS
z z zS
E k E G
E E k E G
ω χ ω ω
ω ω χ ω ω
∈
∈
′ ′ ′ ′= −
′ ′ ′ ′= + −
∫∫
∫∫
O
( , ) 0zE ω ≠r
scV
r
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ),ε ε µ µrin sc( , ) ( , ) ( , )z z zE E Eω ω ω= +r r r
22 2
2
2 2
( )
( )( , ) ( , ) 1 ( , )
( , ) ( , ) ( ) ( , )
z z z
z z z
kE k E k Ek
E k E k E
χ
ω ω ω
ω ω χ ω
=−
∆ + = −
∆ + = −
r
rr r r
r r r r
56
56Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation / Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung
sc 2 2'
( , ) ( , ) ( ) ( , ) dr
r r r r r rz zSE k G Eω ω χ ω
∈′ ′ ′ ′= −∫∫
{ } [ ][ ]{ }sc Gz zE Eχ=
[ ]( )(1)
1 0
(1)1
j J ( ) H2 1 j H ( )
2
m n
mn
ka ka k m nG
ka ka m n
π
π
− ≠→ = − + =
r rG
O
( , )ω ≠E r 0
scV
r
scn
sc scS V= ∂
0 r 0 r,ε ε µ µ
0 r 0 r( ),ε ε µ µrsc ( , )ωE r