numerische methoden in der -...

Numerik?

Finite Differenzen - . . .

Finite Elemente

Randelemente

Vergleich TLM- . . .

Numerische Methoden in derAkustik

Prof.Dr.-Ing. Matthias BlauInstitut fur Hortechnik und Audiologie

FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven

XXI. Winterschule der Deutschen Gesellschaft fur Medizinische PhysikPichl 2009

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente


Ubersicht

1. Numerik?

2. Finite Differenzen - TLM

3. Finite Elemente - FEM

4. Randelemente - BEM

5. Vergleich TLM-FEM-BEM

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente


1. Numerik?

• Motivation: Schallfelder konnen nur fur “akademi-sche” Spezialfalle analytisch berechnet werden

• Problemstellung: Losung der Wellengleichung

∆p(~r, t)− 1

c2∂2p(~r, t)

∂t2= 0

(d.h. Berechnung von p(~r, t)) fur interessierendePunkte ~r unter gegebenen Randbedingungen

• Randbedingungen

– vorgegebener Druck

– vorgegebene Normalenschnelle vn ∝ ∂p/∂~n

– vorgegebene (spezifische) Impedanz

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente



• Idee

– Approximation der Differenzialquotienten durchDifferenzenquotienten

– z.B. in kartesischen Koordinaten

yx

z

WW

W

Approximation

x(i+1)W

Ableitung bei x= iW

iW(i−1)W

pp

p

Wi+0.5

i−0.5

(i+0.5)W(i−0.5)W

∂p

∂x i,j,k(n) ≈ 1

W

pi+0.5,j,k(n)− pi−0.5,j,k(n)

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente



• Idee (cont’d)

– zweite Ableitungen

∂2p

∂x2i,j,k

(n) =∂

∂x

∂p

∂x

i,j,k

(n)

≈ 1

W

∂p

∂x i+0.5,j,k(n)− 1

W

∂p

∂x i−0.5,j,k(n)

≈ 1

W 2

p i+1,j,k(n)− p i,j,k(n)

− 1

W 2

p i,j,k(n)− p i−1,j,k(n)

=

1

W 2

p i+1,j,k(n)− 2p i,j,k(n) + p i−1,j,k(n)

analog wird fur Ableitungen nach y, z, t verfahren

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Finite Elemente

Randelemente



• Idee (cont’d)

– eingesetzt in Wellengleichung

1

W 2

6∑l=1

plter Nachbar(n)− 6pi,j,k(n)

− 1

c2T 2

pi,j,k(n + 1)− 2pi,j,k(n)pi,j,k(n− 1)

= 0

– “Finite Difference Time Domain” (FDTD)

– Stabilitatsbedingung: W/T ≥√d c

(d. . . Anzahl der Dimensionen)

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Finite Elemente

Randelemente



• Idee (cont’d)

– besonders einfach wird es, wenn W/T =√d c

(CFL-Grenze)

pi,j,k(n + 1) =1

d

2d∑l=1

plter Nachbar(n)− pi,j,k(n− 1)

– “Transmission Line Matrix” (TLM)

– 2D-Version zum Ausprobieren:www.hoertechnik-audiologie.de/downloads/Lambda

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Finite Elemente

Randelemente



• Grenzen/Probleme

– Dispersion: z.B. 3D-Formulierung

pi,j,k(n + 1) =1

3

6∑l=1

plter Nachbar(n)− pi,j,k(n− 1)

bedeutet cos(ω/Fs

)=

1

3cos(√

3 kx∆)

+1

3cos(√

3 ky∆)

+1

3cos(√

3 kz∆)

→ c abseits der Dia-gonalen geringer

→ Vermeidung:∆ ≤ λ/10

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Finite Elemente

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• Randbedingungen in TLM

– Druck: einfach (es wird mit dem Druck gerechnet!)

– Schnelle: schwierig (Schnelle muss aus Druckgradi-enten berechnet werden)

– Impedanz: Umwandlung in Reflexionsfaktoren

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• praktische Benutzung

– creating *.sim file – Scilab example1 ysize=600; xsize=600; steps=0; c=343; w=0.01;

2 env=zeros(ysize,xsize);

3 env(320:600,300)=1; env(1:280,300)=1; // rigid walls (r=1)

45 sources=[];

6 for q=1:ysize

7 sources=[sources q 1 1 1 1500 0]; // x=q, y=1, sine, ampl=1,

8 // f=1500Hz, phase=0

9 end

89 filename=’example.sim’;

10 simFile = mopen(filename,’wb’);

11 mput([ysize xsize steps c w],’dl’,simFile);

12 mput(env.’,’dl’,simFile);

13 mput(sources,’dl’,simFile);

14 mclose(simFile); // Done.

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– Ergebnis

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3. Finite Elemente

• Idee: Uberfuhren der Helmholtzgleichung in Inte-gralform, Losen der Integrale fur raumlich begren-zte Elemente (Approximation der Ortsabhangigkeit desSchalldrucks) und Zusammenfuhrung der Losungen derEinzelelemente zu einem globalen Gleichungssystem

• Vorgehensweise

1. Integralform der Helmholtzgleichung

2. Reduzierung der Ordnung der Ortsableitungen

3. FE-Approximation (Knoten, Formfunktionen)

4. Integration innerhalb der einzelnen Elemente

5. Zusammenfuhren der Elementgleichungen zu einemglobalen Gleichungssystem

6. Randbedingungen berucksichtigen

7. globales Gleichungssystem losen

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3. Finite Elemente

• Beispiel 1D

1. Integralform der Helmholtzgleichung

d2p

dx2+ k2p = 0 0 ≤ x ≤ L

ˆ L

0

(w

d2p

dx2+ wk2p

)dx = 0 “gewichtete Residuen”

(Wichtungsfunktion w)

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3. Finite Elemente

• Beispiel 1D (cont’d)

2. Reduzierung der Ordnung der Ortsableitungendurch partielle Integration

f = w, g =dp

dx,

ˆ L

0f

dg

dxdx = fg

L

0−ˆ L

0

df

dxg dx

also

wdp

dx

L

0−ˆ L

0

dw

dx

dp

dxdx +

ˆ L

0w k2p dx = 0

oderL

0

dw

dx

dp

dxdx− k2

L

0w p dx = w

dp

dx

L

0

→ nur noch 1. Ableitungen nach x!

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Finite Elemente

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3. Finite Elemente


3. FE-Approximation, Knoten, Formfunktionen

x

Rep

Element 1 Element 2 Element 3

Knoten 1Knoten 2

Knoten 3Knoten 4

0 L

wahr

FE−Approximation

L/3 2L/3

lineare Formfunktionen

pinnerhalb Element

≈ plinks

(1− ξ) + prechts

ξ

ξ . . . lokale Elementkoordinate 0 ≤ ξ ≤ 1

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Finite Elemente

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3. Finite Elemente


3. weiter mit Formfunktionen

pinnerhalb Element

≈ plinks

(1− ξ) + prechts

ξ

=[

(1− ξ) ξ][ p

linksp

rechts

]= ~ϕT~p

Galerkin-Ansatz (1915): w = ~ϕ

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3. Finite Elemente


4. Integration innerhalb der Elemente

ˆ x2

x1

· dx =

ˆ 1

0· J dξ mit J =

dx

dξ

im Beispiel sind x = ξ/3 und dx/dξ = 1/3.Fur jedes Element gilt

ˆ 1

0

dw

dx

dp

dxJ dξ − k2

1

0w p J dξ

≈ˆ 1

0

d~ϕ

dξ

dξ

dx

d~ϕT

dξ

dξ

dx~p J dξ − k2

1

0~ϕ ~ϕT ~p J dξ

= K(Element) ~p− k2 M(Element) ~p

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3. Finite Elemente


4. weiter mit der Integration innerhalb der Elemente

K(Element) =

´ 1

0

(dϕ1

dξ

)2(dξdx

)2J dξ

´ 10

dϕ1

dξdϕ2

dξ

(dξdx

)2J dξ

´ 10

dϕ2

dξdϕ1

dξ

(dξdx

)2J dξ

´ 10

(dϕ2

dξ

)2(dξdx

)2J dξ

=

(3 −3−3 3

)

M(Element) =

( ´ 10 ϕ

21J dξ

´ 10 ϕ1ϕ2J dξ

´ 10 ϕ2ϕ1J dξ

´ 10 ϕ

22J dξ

)

=

(1/9 1/181/18 1/9

)

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3. Finite Elemente


5. lokal → globalErinnerung:

ˆ L

0

dw

dx

dp

dxdx− k2

L

0w p dx = w

dp

dx

L

0

a) linke Seite:ˆ L

0· dx =

ˆ(E1)

· dx +

ˆ(E2)

· dx +

ˆ(E3)

· dx

= K(E1) ~p (E1) − k2 M(E1) ~p (E1)

+ K(E2) ~p (E2) − k2 M(E2) ~p (E2)

+ K(E3) ~p (E3) − k2 M(E3) ~p (E3)

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3. Finite Elemente


5. weiter mit linker Seiteˆ L

0· dx =

(K(global) − k2 M(global)

) p

K1p

K2p

K3p

K4

K(global) =

k(E1)11 k

(E1)12

k(E1)21 k

(E1)22 + k

(E2)11 k

(E2)12

k(E2)21 k

(E2)22 + k

(E3)11 k

(E3)12

k(E3)21 k

(E3)22

M(global) =

m(E1)11 m

(E1)12

m(E1)21 m

(E1)22 +m

(E2)11 m

(E2)12

m(E2)21 m

(E2)22 +m

(E3)11 m

(E3)12

m(E3)21 m

(E3)22

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Finite Elemente

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3. Finite Elemente


5. weiter mit rechter Seite

wdp

dx

L

0= w

dp

dx x=L− w

dp

dx x=0

globale Gewichtsfunktionen

x

w

0

1

K1 K2 K3 K4

Knoten 1: wdp

dx x=L= 0, w

dp

dx x=0= −jω% vx,K1

Knoten 2,3: wdp

dx x=L= 0, w

dp

dx x=0= 0

Knoten 4: wdp

dx x=L= −jω% vx,K4, w

dp

dx x=0= 0

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Finite Elemente

Randelemente


3. Finite Elemente


5. globales Gleichungssystem

(K(global) − k2 M(global)

) p

K1p

K2p

K3p

K4

= −jω%

−vx,K1

00

vx,K4

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Finite Elemente

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3. Finite Elemente


5. Randbedingungen

– Schnellen vboundary(K(global) − k2 M(global)

)(~p) = −jω% (~vboundary)

– Drucke pboundary(K(global)−k2 M(global)

) ( ~pboundary

~pgesucht

)= ~0

↓(A11 A12

A21 A22

)→ A22 ~pgesucht = −A21 ~pboundary

– Impedanzen: haufig nicht implementiert, abermoglich

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente


3. Finite Elemente


– Ablauf

1. Preprocessing: Geometrieimport, Vernetzung,Materialkenngroßen (% , c), Randbedingungen

2. Losung: pro interessierender Frequenz Kno-tendrucke berechnen

3. Postprocessing: Ausgabe bzw. grafische Darstel-lung

– zum Ausprobieren: www.csc.fi/english/pages/elmer

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3. Finite Elemente

• Beispiel 2D: schallhartes Rohr, L = 30 mm, d = 8 mm

– Frequenz f = 5 kHz

– links mit Schnelle v0 angeregt

– rechts mit r = 0.7 ejπ/4 abgeschlossen

analytischmesh 1mesh3

distance in m0 0.01 0.02 0.03

p r

e v0

in P

a re

m/s

100

1000

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4. Randelemente

• Idee (Innenraumproblem): Benutzung der partikularenLosung G(~r−~r0) der Helmholtzgleichung fur das freieSchallfeld eines Punktstrahlers bei ~r = ~r0 fuhrt zurKirchhoff-Helmholtz-Integralgleichung‹

S

(p(~r)

∂G(~r − ~r0)

∂~n−G(~r − ~r0)

∂p(~r)

∂~n

)d~S

=

˚

V

δ(~r − ~r0) dV

mit der Greenschen Funktion fur das freie Schallfeldin 3D

G(~r − ~r0) =e−jk ~r−~r0

4π ~r − ~r0

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente


4. Randelemente

• Idee (cont’d)

– rechte Seite hangt davon ab, ob ~r0 innerhalb V ,außerhalb V oder auf dem Rand liegt˚

V

δ(~r − ~r0) dV = p(~r0)C(~r0)

mit C(~r0) =

0 ~r0 außerhalb VΩ/4π ~r0 auf S1 ~r0 innerhalb V

Ω. . . Raumwinkel (= 2π fur glatte Flachen)

Numerik?


Finite Elemente

Randelemente


4. Randelemente

• Idee (cont’d)

– mit Definition ~r auf Rand Q und ~r0 Zielpunkt P :

‹

S

(p(Q)

∂G(P,Q)

∂~n−G(P,Q)

∂p(Q)

∂~n

)d~S = p(P )C(P )

Interpretation: p an Zielpunkt P innerhalb von V(inklusive Berandung) hangt ab von der Verteilungvon p und vn ∝ ∂p/∂~n auf der Oberflache Q

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Randelemente


4. Randelemente

• numerische Losung: ahnlich FE

– Zerlegung des Randes in Elemente/Knoten

– Interpolation von p und ∂p/∂~n auf Rand durchFormfunktionen mit Bezug auf die Knotendruckepj

– damit∑j

pjhjk −∑j

∂pj∂~n

gjk = ckpk

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4. Randelemente

• numerische Losung (cont’d)

– Kollokationsverfahren:

1. pk auf den Rand legen(H−C

)~pKnoten = G~vn,Knoten(−jω% )

Randbedingungen vorgeben (pj, vn,j, pj/vn,j),Gleichungssystem fur “ubrige” pj, vn,j losen

2. Losung fur interessierende Punkte P innerhalb V

p(P ) =∑j

pjhj(P ) + jω%∑j

vn,jgj(P )

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Finite Elemente

Randelemente


4. Randelemente


– Ablauf - ahnlich FE

1. Preprocessing: Geometrieimport, Vernetzung(des Randes!), Materialkenngroßen (% , c),Randbedingungen

2. Losung: pro interessierender FrequenzSchalldrucke an interessierenden Punktenberechnen

3. Postprocessing: Ausgabe bzw. grafische Darstel-lung

– zum Ausprobieren: www.openbem.dk

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• akustische Probleme prinzipiell mit allen 3 Verfahrenlosbar

TLM FEM BEM

Netz Volumen Volumen Flacheregelmaßig

Netzdichte ≤ 10λ ≤ 6λ ≤ 6λ

RB v schwierig Z haufig nichtimplementiert

Implementierg. einfach mittel schwierig

• kommerzielle Programme in der Regel mit integriertemPra- und Postprozessor

• Solver fur alle Verfahren haufig im Internet verfugbar,Problem: Pra- und Postprozessor?

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• Alternative separater Pra-/Postprozessor?

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Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!

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