o diffusion/dispersion changement d’échelle, application aux...
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10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux1
M. Quintard
Diffusion/DispersionDiffusion/Dispersionen Milieux Poreuxen Milieux Poreux
M. QuintardD.R. CNRS
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux2
M. Quintard
[email protected]://[email protected]@imftimft..frfrhttp://http://mquintardmquintard.free..free.frfr
stabilité des déplacements (“fingering”)prise en compte des hétérogénéités, méthodes dechangement d’échelle, application aux milieuxfracturésméthodes de récupération: miscible, injection demousse, méthodes thermiques, injection d’acide...pollution des ressources en eausûreté nucléaireséchageapplications industrielles
stabilité des déplacements (“fingering”)prise en compte des hétérogénéités, méthodes dechangement d’échelle, application aux milieuxfracturésméthodes de récupération: miscible, injection demousse, méthodes thermiques, injection d’acide...pollution des ressources en eausûreté nucléaireséchageapplications industrielles
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux3
M. Quintard
V
σ - phase
β - phase
H
ββ
PlanPlanPlanIntroductionDiffusion/Advection en milieu fluideDiffusion en milieu poreuxDispersionExemples
IntroductionDiffusion/Advection en milieu fluideDiffusion en milieu poreuxDispersionExemples
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux4
M. Quintard
IntroductionIntroductionIntroduction
Milieux poreux: notions, applicationsChangement d’échelleGrandeurs et équationsmacroscopiques
Milieux poreux: notions, applicationsChangement d’échelleGrandeurs et équationsmacroscopiques
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux5
M. Quintard
Exemple 1: Ecoulement multiphasiquemulticomposant dans un aquifèreExemple 1: Exemple 1: Ecoulement Ecoulement multiphasiquemultiphasiquemulticomposant multicomposant dans un aquifèredans un aquifère
zone saturée
Zone non saturée
γ
ααγ
β
ββ
ββ
σ
σσ
σσ
eau+aireau
+air+
hydroc.eau+
hydroc.
eau
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux6
M. Quintard
Exemple 2: Réservoir PétrolierExemple 2: Réservoir PétrolierExemple 2: Réservoir Pétrolier
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux7
M. Quintard
Exemple 3: Colonne de Réacteur ChimiqueExemple 3: Exemple 3: Colonne de Réacteur ChimiqueColonne de Réacteur Chimique
Adsorbed Islands
Porous MediumPacked BedReactor
Micro Pores
Macro Pores
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux8
M. Quintard
Exemples 4: FiltresExemples 4: FiltresExemples 4: Filtres Filter
- phase
- phase
- phase
- phaseBoundaryCondition
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux9
M. Quintard
Différents Types de Milieux PoreuxDifférents Types de Milieux PoreuxDifférents Types de Milieux Poreux
Fibres
Milieu non-consolidé
Milieu consolidé
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux10
M. Quintard
Changement d’EchelleChangement d’EchelleChangement d’Echelle
L
UNIT CELL
ηωl2
l1
- physique à une échelledonnée (ex. Échelle dupore)
- description à uneéchelle supérieure?
↓
Grandeursmacroscopiques?
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux11
M. Quintard
Changement d’EchelleChangement d’EchelleChangement d’Echelle
physique à l’échelle dupore: existe-t-il unedescriptionmacroscopique localedescription détaillée(mesurée, estimée)prise en compte dans unemodélisation à grandeéchelle
physique à l’échelle dupore: existe-t-il unedescriptionmacroscopique localedescription détaillée(mesurée, estimée)prise en compte dans unemodélisation à grandeéchelle
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux12
M. Quintard
Objectif: obtenir les équations macroscopiques, lespropriétés effectives, et les conditions aux limitesmacroscopiques
Objectif: obtenir les équations macroscopiques, lespropriétés effectives, et les conditions aux limitesmacroscopiques
Changement d’EchelleChangement d’EchelleChangement d’Echelle
ϑ(Ψ)=0
Ψ=g(x)
ϑ*(〈Ψ〉)=0
〈Ψ〉=g*(x)
Ech. Pore Ech. Locale
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux13
M. Quintard
Prise de MoyennePrise de MoyennePrise de Moyenne
DéfinitionsThéorèmesExemple: indicatrice de phase etporositéRappel: écoulement monophasique
DéfinitionsThéorèmesExemple: indicatrice de phase etporositéRappel: écoulement monophasique
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux14
M. Quintard
Grandeurs MoyennesGrandeurs MoyennesGrandeurs Moyennes
β-phase
yβ
xrβ
Vσ-phase
nβσ
ψ ψβ ββ
xx y= +∫
1V
dVV
( )
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux15
M. Quintard
Séparation des échellesSéparation des échellesSéparation des échelles
lβ r0 lH
Microhétér.
macrohétér.+
non-linéarités
homogène
〈ψ〉 ββ
β
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux19
M. Quintard
Rappel EcoulementMonophasique: Loi de DarcyRappel EcoulementRappel EcoulementMonophasiqueMonophasique: Loi de : Loi de DarcyDarcy
Echelle du pore– équations de Stokes si Re
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux25
M. Quintard
Concentrations (suite)Concentrations (suite)Concentrations (suite)
Masse molaire
Relations
Masse molaire
Relations
Mβ =
PacβaMa
cβ=Xa
xβaMa
ρβa = cβaMa ; ρβ = cβMβ
ωβa = xβaMaMβ
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux26
M. Quintard
Vitesses et Flux de DiffusionVitesses et Flux de DiffusionVitesses et Flux de Diffusion
Vitesses moyennes
Flux de diffusion de a
Vitesses moyennes
Flux de diffusion de a
vβ =Xa
ωβavβa v∗β =
Xa
xβavβa
barycentrique molaire
jβa = ρβa(vβa − vβ ) j∗βa = cβa (vβa − v
∗β )X
a
jβa = 0 ;Xa
j∗βa = 0
massique molaire
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux27
M. Quintard
Loi de Fick (cas binaire, traceur)Loi deLoi de Fick Fick (cas binaire, traceur) (cas binaire, traceur)
Coefficient de diffusion (gaz)Coefficient de diffusion (gaz)
jβa = −ρβDβab∇ωβa
5 22
5 22
5 2
5 2
Air : 2.8 10 m / s (T=289 K, 1 bar)
Air : 1.4 10 m / s (T=276 K, 1 bar)Air : 0.96 10 m / s (T=298 K, 1 bar)Air 0.86 10 m / s (T=299 K, 1 bar)
H O
CObenzènetoluène
−
−
−
−
−
−
−
−
avec T et avec P
j∗βa= −cβDβab∇xβa
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux28
M. Quintard
Loi de Fick (cas binaire, traceur)Loi deLoi de Fick Fick (cas binaire, traceur) (cas binaire, traceur)
Coefficient de diffusion (liquides)Coefficient de diffusion (liquides)
9 2
9 2
9 2
Eau : 2. 10 m / s (T=25 °C)Eau : 1.02 10 m / s (T=25 °C)Eau : 0.069 10 m / s (T=25 °C)
AirbenzèneHémoglobine
−
−
−
−
−
−
avec T et avec µ
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux29
M. Quintard
Bilan de matière et exemplesBilan de matière et exemplesBilan de matière et exemples
Forme adimensionnelle
Diffusion stationnaireDiffusion instationnaire (milieu semi-infini)
Forme adimensionnelle
Diffusion stationnaireDiffusion instationnaire (milieu semi-infini)
2
2 avec ac cD c ct x β∂ ∂
= =∂ ∂
22
'2 avec ' / et ' /( / )'c c x x L t t L Dt x∂ ∂
= = =∂ ∂
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux30
M. Quintard
Pb. du mur StationnairePbPb. du mur Stationnaire. du mur Stationnaire
Flux:
Cas du tube
Flux:
Cas du tube
c1
c2( )*
2 1Dj c cL
= −
c1
c2( )* * 22 1 avec Dq A j A c c A rL
π= = − =
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux31
M. Quintard
Pb. du mur InstationnairePbPb. du mur . du mur InstationnaireInstationnaire( , ) ( )
2xc x t erfcDt
=
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux32
M. Quintard
Diffusion/Advection (traceur, casbinaire)Diffusion/Advection (traceur, casDiffusion/Advection (traceur, casbinaire)binaire)
Equation de bilan
Forme adimensionnelle (v=cte)
Equation de bilan
Forme adimensionnelle (v=cte)
2
2
c c cv Dt x x∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂
22
' '2 avec ' / et ' /( / )'c c cPe x x L t t L Dt x x∂ ∂ ∂
+ = = =∂ ∂ ∂
vLPeD
= (Nombre de Péclet)
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux33
M. Quintard
Milieu Infini (Dirac)Milieu Infini (Milieu Infini (DiracDirac))
Pe=10
2
2( , )2
x VtDtMc x t e
Dtπ
− − =
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux34
M. Quintard
Milieu Infini (Dirac)Milieu Infini (Milieu Infini (DiracDirac))
Pe=100
2
2( , )2
x VtDtMc x t e
Dtπ
− − =
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux35
M. Quintard
Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon) 1( , ) 2 2x Vtc x t erfc
Dt− =
( ) 24 xd erfc x edx
π −=
( ) 20
2x
terf x e dtπ −= ∫ ( )2
2 1 ( )tx
erfc x e dt erf xπ∞
−= = −∫
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux36
M. Quintard
Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)
Pe=2
1( , )2 2
x Vtc x t erfcDt− =
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux37
M. Quintard
Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)
Pe=10
1( , )2 2
x Vtc x t erfcDt− =
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux38
M. Quintard
Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)
Pe=100
1( , )2 2
x Vtc x t erfcDt− =
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux39
M. Quintard
Milieu Semi-InfiniMilieuMilieu Semi Semi-Infini-Infini1 1( , )2 22 2
xVDx Vt x Vtc x t erfc e erfc
Dt Dt− + = +
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux40
M. Quintard
Diffusion en Milieu poreux(exemple)Diffusion en Milieu poreuxDiffusion en Milieu poreux(exemple)(exemple)
Cas du tube droitCas du tube droit
AfA L
( )* 2 1 dans le tubeDj c cL
= −
( )* 2 1 pour la section fDq A c c AL
= −
( )* 2 1 avec /eff fDj c c A AL
ε ε= − =
* coeff. de diffusion effectifD D=
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux41
M. Quintard
Diffusion en Milieu poreux(exemple)Diffusion en Milieu poreuxDiffusion en Milieu poreux(exemple)(exemple)
Cas du tube tortueuxCas du tube tortueux( )* 2 1* dans le tube
Dj c cL
= −
( )* 2 1* pour la section fDq A c c AL
= −
2* *2 1
* avec /eff fL c cj D L A LAL L
ε ε− = =
* / coeff. de diffusion effectifet tortuositéD D ττ==
AfA
L
L*
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux42
M. Quintard
TortuositéTortuositéTortuosité
Tortuosité
Facteur de formation
Tortuosité
Facteur de formationL
L*
F = ε−mArchie (1942):
avec m, facteur de cémentation (m≈ 2).
*( / )f L Lτ =
1Fτ
=
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux43
M. Quintard
simulation directe:exemple pour untreillis de cylindrecomportementmacroscopique?
simulation directe:exemple pour untreillis de cylindrecomportementmacroscopique?
Diffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxt=10s
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t =10 s
x
Conc
entr
atio
ndirect simul.
averaged behavior
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux44
M. Quintard
Concentrations moyennes
Equation de bilan macroscopique(ε=cte)
Concentrations moyennes
Equation de bilan macroscopique(ε=cte)
2* *
2 coeff. de diffusion effectifxx xxC CD Dt x
ε ε∂ ∂= =∂ ∂
Diffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreux
c c Cβε ε= =
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux45
M. Quintard
Equation de bilan (ε=cte)Equation de bilan (ε=cte)
Diffusion en milieux poreux:anisotropieDiffusion en milieux poreux:Diffusion en milieux poreux:anisotropieanisotropie
2 2* *
2 2xx yyC C CD Dt x x
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂
D ***
00
xx
yy
DD
=
D
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux46
M. Quintard
Diffusion : milieux non-consolidésDiffusion : milieux non-consolidésDiffusion : milieux non-consolidés
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Porosity
Kim et al.CurrieHoogschagenSCBCCFCCMaxwellWeissbergWakao and SmithRyan (2D)
εD/D
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux47
M. Quintard
DispersionDispersionDispersion
IntroductionEquations macroscopiquesCourbes de dispersionExemples
IntroductionEquations macroscopiquesCourbes de dispersionExemples
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux48
M. Quintard
MécanismesMécanismesMécanismes
Taylor dispersion
Mechanical dispersionA B
A'
B'
Retardation due to dead-end pores
convection
diffusion
-
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux49
M. Quintard
Equation de conservation de la masse globale + loi de Darcy + équation de dispersion:
2*
2
*
coeff. de dispersion effectif
xx
xx
C C CU Dt x xD
ε ε ε∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂
=
Equations macroscopiquesEquations macroscopiquesEquations macroscopiques
cas ε=ctecas ε=cte
* Note: rôle de la vitesse interstitielle
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux50
M. Quintard
Récapitulatif (forme mathématique3D)Récapitulatif (forme mathématiqueRécapitulatif (forme mathématique3D)3D)
C cβ
β β= β β β βε= =V v U
( ) ( )C C Ctβ
β β β
∂+∇ = ∇ ∇
∂U Di i i
( ) 0tβ
β
ε∂+∇ =
∂Vi
( )Pβ β ββ
ρµ
= − ∇ −V giK + Conditions aux limites
Notations:
Si porosité constante
( ) ( )C C Ct
β ββ β β β
εε
∂+∇ = ∇ ∇
∂V Di i i
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux51
M. Quintard
Courbes de DispersionCourbes de DispersionCourbes de Dispersion
Taylor-Aris Theory
In-Line cylinders
RifaiBlackwell et al.Edwards & RichardsonCarberry & BrettonEbach & WhitePfannkuch
106
106
104
104
102
102
100
Pep
10010 -210 4−
Random cylinders
Dxx∗
D β
V lPe
Dβ
ε=(Nb. de Péclet )
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux52
M. Quintard
Exemple d’écriture:
Anisotropie induite par l’écoulement:
Dispersion Longitudinaleet TransversaleDispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversaleet Transversale
0 ( )T L Tβ β
ββ
α α α= + + −U U
D D U IU
(m) dispersivité transversale (m) dispersivité longitudinale
T
L
αα
avec
0
0 00 00 0
L
T
T
DU D
Dβ
= =
U i D
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux53
M. Quintard
Dispersion Longitudinaleet Transversale (cont.)Dispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversale (et Transversale (contcont.).)
1
1
DL
D/D
Pe
DT
t>0t=0
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux54
M. Quintard
Exemples 1DExemples 1DExemples 1D
0
1 exp2 4 4
c x Ut x x Uterfc erfcc UDDt Dt
− + = +
0
12 4
c x Uterfcc Dt
−=
( )2
0
1 exp44
x Utcc DtDtπ
− = −
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10 12 14x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
2 4 6 8 10 12x
2
0
2( )u
terf u e dtπ
−= ∫
( ) 1 ( )erfc u erf u= −
-
10
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux55
M. Quintard
Dispersion et Réaction Chimique:exemple 1 (1er ordre)Dispersion et Réaction Chimique:Dispersion et Réaction Chimique:exemple 1 (1er ordre)exemple 1 (1er ordre)
Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …
exemple (solution par transformée de Fourier, casDirac, milieu infini)
Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …
exemple (solution par transformée de Fourier, casDirac, milieu infini)
2
2
C UC DC kCt x xε ε ε ε∂ ∂ ∂+ = −∂ ∂ ∂ 1/ 2
ln(2)kT
=
2( )( , ) exp44
k t M x U tC x t eDtDtπ
− −= −
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux56
M. Quintard
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux57
M. Quintard
Dispersion et Réaction Chimique:exemple 2Dispersion et Réaction Chimique:Dispersion et Réaction Chimique:exemple 2exemple 2
Réactif 1, produit de laréaction 2 (immobile)
Bilan de masse
Réactif 1, produit de laréaction 2 (immobile)
Bilan de masse
Bilan Global
comportementapparent
Bilan Global
comportementapparent
2 1C KC=
21 1 1 1 1
12
21
C U C D C rt x xC rt
ε ε ε
ε
∂ ∂ ∂+ = +
∂ ∂ ∂∂
= −∂
21 2 1 1 1 1
2
( )C C U C D Ct x x
ε ε ε∂ + ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
soit2
1 1 1 1 12
(1 )K C U C D Ct x x
ε ε ε∂ + ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
1
(1 )appDD
K=
+
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux58
M. Quintard
- phase
β
σro
Adsorbed Islands
Dispersion et AdsorptionDispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption
Attractions électriquesForces de van derWaals
Attractions électriquesForces de van derWaals
ForcesintermoléculairesChemisorption(interaction chimique)
ForcesintermoléculairesChemisorption(interaction chimique)
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux59
M. Quintard
Adsorption: description deséquilibresAdsorption: description desAdsorption: description deséquilibreséquilibres
isotherme linéaire: Kd: coefficient de partition
isotherme linéaire: Kd: coefficient de partition
Fractions massiques: Fluide Solide
cβ cσ
dc K cσ β βρ=
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux60
M. Quintard
Adsorption: description deséquilibresAdsorption: description desAdsorption: description deséquilibreséquilibres
Fruendlich (1926):
Langmuir (1916, 1918):
….
Fruendlich (1926):
Langmuir (1916, 1918):
….
( )mc b cσ β βρ=
1a c
cb cβ β
σβ β
ρρ
=+
-
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10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux61
M. Quintard
Dispersion et AdsorptionDispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption
Bilans de masse:
Echange de masse:
Bilans de masse:
Echange de masse:
( ) ( ). . .C C C Ktβ β β
β β β β β β βσρ ε
ρ ρ∂
+∇ = ∇ ∇ −∂
V D
CK
tσ σ σ
σβρ ε∂
= −∂
1 .A
K K n D c dAV
βσ
βσ σβ βσ β β βρ= − = − ∇∫
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux62
M. Quintard
Dispersion et Adsorption:Equilibre LocalDispersion et Adsorption:Dispersion et Adsorption:Equilibre LocalEquilibre Local
Bilan de masse Global:
Equilibre Local:Cas linéaire, et facteur de retard:
Bilan de masse Global:
Equilibre Local:Cas linéaire, et facteur de retard:
( ) ( ) ( ). . .C C
C Ct
β β β σ σ σβ β β β β β
ρ ε ρ ερ ρ
∂ ++∇ = ∇ ∇
∂V D
( ) ( )c F c C F Cσ β σ β= ⇒ =
( ) ( )1
. . .
dK C
C Ct
σ σβ β β
ββ β β β β β
ε ρρ εε
ρ ρ
∂ +
+∇ = ∇ ∇∂
V D
dC K Cσ β=
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux63
M. Quintard
Effet des hétérogénéités:dispersion anormaleEffet desEffet des hétérogénéités hétérogénéités::dispersion anormaledispersion anormale
Perméabilité Concentration
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux64
M. Quintard
Effet des hétérogénéitésEffet desEffet des hétérogénéités hétérogénéités
Dispersion à grande échelle?Mesures sur des aquifères:
cas général: pas d’équation dedispersion à grande échelleexemple de cas particuliers:modèles à double-milieux
Dispersion à grande échelle?Mesures sur des aquifères:
cas général: pas d’équation dedispersion à grande échelleexemple de cas particuliers:modèles à double-milieux
* (échelle d'observation)fβ =D
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux65
M. Quintard
Influence de l’échelle d’observation surla dispersivité apparente (Gelhar and Axness, 1983)Influence de l’échelle d’observation surInfluence de l’échelle d’observation surla dispersivité apparentela dispersivité apparente ( (Gelhar Gelhar and and AxnessAxness, 1983), 1983)
Scale (m)
Disp
ers
ivity
(m)
1
1
10
10
100
100
0.1
.011000
1000
10000
10000
100000
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux66
M. Quintard
Non-Equilibre Local: modèle àdeux équationsNon-Equilibre Local: modèle àNon-Equilibre Local: modèle àdeux équationsdeux équations
ω
η Milieux fracturés
Mobile/immobileMobile/Mobile
-
12
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux67
M. Quintard
ExemplesExemplesExemplesDispersion Négligeable
Dispersion Importante
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux68
M. Quintard
ExemplesExemplesExemples
t = 1 h
t = 2 h
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux69
M. Quintard
Non-Equilibre Local: modèle àdeux équationsNon-Equilibre Local: modèle àNon-Equilibre Local: modèle àdeux équationsdeux équations
Traçage miscible échantillon 3
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000
NVp
C/C
0
Données expérimentales
Modèle à deux équations
10/03/2003
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux70
M. Quintard
Non-Equilibre Local: modèle àdeux équationsNon-Equilibre Local: modèle àNon-Equilibre Local: modèle àdeux équationsdeux équations
( )
( )
2
2m m m
m m m m im
imim im m
c c cv D c ct x x
c c ct
θ α
θ α
∂ ∂ ∂+ = − −
∂ ∂ ∂∂
= − −∂
Coats et Smith (1964)
( ) ( )
( ) ( )
*
*
C C C C CtC
C C C Ct
ωω ω ω ω ω ω ω η
ηη η η η η η η ω
ϕ ε α
ϕ ε α
∂+ ∇ = ∇ ∇ − −
∂∂
+ ∇ = ∇ ∇ − −∂
V D
V D
i i i
i i iAhmadi et al. (1998)
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux71
M. Quintard
ExercicesExercicesExercices
Exemples 1DOrdres de grandeur (laboratoire,aquifère)Introduction: effet d’une réactionchimique
Exemples 1DOrdres de grandeur (laboratoire,aquifère)Introduction: effet d’une réactionchimique
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Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux72
M. Quintard
Puits dans un aquifèrePuits dans un aquifèrePuits dans un aquifère
10 207
8
9
10
11
12
13
14
15
1 0 207
8
9
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1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
10 207
8
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