Vibration of Continuous Systems

ارتعاشات سیستم های ممتد و پیوسته

مفاهیم پایه و اصطالحات

Basic Concepts and Terminology

2 مفهوم ارتعاشات

vibration)ارتعاشاتراایشوندهتکرارحرکتهر or oscillation)شدهاحساسحرکتساز،یکسیمحرکت.نامندمییکحرکتوزلزلهیابادتاثیرتحتساختمانیکنوسانناهموار،جادهیکرویبرحرکتحالدرخودرویدرمسافریکتوسط

اجسامنوسانیحرکتمطالعهبهارتعاشاتتئوری.کردمعرفیارتعاشاتازهایینمونهعنوانبهتوانمیراآشفتهجریانیکدرهواپیما:نمودبندییمتقسزیردستهچهاربهتوانمیسیستمجابجاییورفتارنوعبراساسراارتعاشاتانواع.پردازدمیمربوطهنیروهایو

Harmonic motion Periodic motion

Non-periodic or transient motion Random or long-duration non-periodic vibration

3سیستمهررو،ایناز.شدبامیپتانسیلبهجنبشیوجنبشیانرژیبهپتانسیلانرژیپیاپیومتوالیتبدیلشاملارتعاشاتپدیده

فنرتوانندمیترتیبهباجزااین.باشدداشتهجنبشیانرژیذخیرهبرایاجزاییوپتانسیلانرژیذخیرهبرایاجزاییبایستیارتعاشاتیآنونمودهذخیرهحرکتسیکلهردرراپتانسیلانرژیاالستیکالمان.باشداینرسیالمانیکیاجرمیکواالستیکالمانیکیا.بالعکسودهدمیاینرسیالمانبهجنبشیانرژیشکلبهرا

مفهوم ارتعاشات

توصیفزیرشکلمطابقصافسطحیکرویبرجرمیکحرکتباتوانمیرااستهمراهارتعاشاتباکهایتکرارشوندهحرکتبدهید2موقعیتدرایاولیهجابجاییجرمبه.استشدهفرضتعادلحالتدر1وضعیتدرواستمتصلخطیفنریبهجرم.نمود

انرژیواکزیمممفنرکرنشییاپتانسیلانرژیرواینازوداشتهراخودطولتغییربیشترینفنر،2موقعیتدر.کنیدرهاراآنسپسو.بودخواهدصفربرابراولیهسرعتبدونفرضعلتبهجرمجنبشی

وجودیروییندارد،راخودینیافتهتغییرشکلوضعیتبهبازگشتمیلفنرکهآنجاازباتدریجبهجرمسرعت.کندحرکتچپسمتبهmجرمتاشودمیباعثکهدارد

صفرفنرپتانسیلانرژی،1موقعیتدر.یابدمیافزایش1به2موقعیتازآنحرکتنتیجهدروجنبشیانرژیکهچندهر.باشدمیصفربرابرفنرتغییرشکلزیرااست،

عدمفرضبا)استماکزیممانرژیبودنپایستارخاطربه1موقعیتدرجرمسرعتماکزیمم1موقعیتدرسرعتکهآنجااز.(اصطکاکیامیراییازناشیاستهالکوجودکهمقاومینیرویمقابلدرامادهد،میادامهچپسمتبهراخودحرکتجرماست،میحرکتچپسمتبه1موقعیتازجرمکههنگامی.استفنرشدهفشردهازناشیدر.برسدصفربه3موقعیتدرآنمقدارتایافتهکاهشتدریجبهآنسرعتکند،

کلتغییرشوگردیدهصفربرابرجرمجنبشیانرژینتیجهدروسرعت،3موقعیتمیلرخاطبهدوباره،.شدخواهدماکزیممفنرپتانسیلانرژینتیجهدرو(فشردگی)

جرمدادنرکتحباعثکهداردوجودنیرویینیافته،تغییرشکلوضعیتبهفنربازگشت.گرددمیراستسمتبه3موقعیتاز

4جرمجنبشیانرژیبهفنرپتانسیلانرژیتمامی،1موقعیتدر.یابدمیافزایش1به3موقعیتازحرکتباتدریجبهجرمسرعتفنرمقاومروینیافزایشبرخالفراراستسمتبهحرکتجرمبنابراین،.بودخواهدبیشینهجرمسرعترواینازواستشدهتبدیلود؛شمیتکرارپروسهاینوکندمیکاملراجرمحرکتازسیکلیکاین.برسدصفرسرعتبا2موقعیتبهتادهدمیادامه

.داشتخواهدنوسانیحرکتجرمبنابراین،

مفهوم ارتعاشات

انتقالبامعادلنای.باشدآن(هاجرم)جرمالماناولیهسرعتیا/واولیهجابجاییقالبدرتواندمیارتعاشیسیستمیکاولیهتحریکارتعاشاتراآننتوامیکهآورد،میدرنوسانیحرکتبهراسیستماولیهتحریک.استسیستمبهجنبشییا/وپتانسیلانرژیFreeآزاد Vibrationیستمساگر.داشتخواهدوجودانرژیتبادلجنبشیوپتانسیلانرژیبینآزاد،ارتعاشاتطولدر.نامید

براییستمستئوریلحاظازحداقلبنابراین،.بودخواهدثابتلحظههردرجنبشیانرژیوپتانسیلانرژیمجموعباشد،پایستارت،داشخواهدوجود(هوامثال،عنوانبه)اطرافمحیطدلیلبهاصطکاکیامیراییمقداریعمل،در.دهدمیادامهارتعاشبههمیشه

.شدخواهدباعثراحرکتطولدرانرژیازمقداریدادندستازکه

متوقفحرکتنقطهآندرکهیابد،کاهشصفربهمقداراینرسیدنتامداومطوربهسیستمکلانرژیکهشودمیباعثمسالهاینحالتبهعملیهایسیستمتمامیبراینهایتدرحاصلهنوسانیحرکت،شوددادهاولیهتحریکیکفقطسیستمبهاگر.شودمی

Transientگذراتحریکاولیه،تحریکرواینازورسد،میسکون Excitationنیزآمدهدستبهحرکتوشودمینامیدهمداومطوربهدبایبیرونیمنبعیکشود،حفظپایدارحالتیکدرسیستمارتعاشاتکهبخواهیماگر.شودمینامیدهگذراحرکت.نمایدجایگزینرانوساناتعلتبهشدهتلفانرژی

Free Undamped

Vibration

Free Damped

Vibration

5 اهمیت ارتعاشات

در.استنوسانیحرکتبهقادرخوداالستیسیتهوجرمباانسانبدنبتصحدیدن،شنیدن،جملهازبشر،هایفعالیتازبسیاریواقع،

املششنوایی.باشدمینوسانیحرکتتنفس،ورفتنراهکردن،باطارتدرنورامواجارتعاشیحرکتبادیدناست،گوشپردهارتعاش

نرفتراهدارد،(زبان)حنجرهنوساناتبهنیازکردنصحبتاست،کتحراساسبرتنفسواست،هادستوپاهانوسانیحرکتشاملیارتعاشرفتارازدرستدرکمهندسی،در.باشدمیریهتناوبیهرهبوساخت،،ایمنطراحیبرایایسازهومکانیکیهایسیستم.استمهمهاسازهوآالتماشینانواعازبرداری

وتیغهکستشمثال،عنوانبه.باشدهمراهارتعاشاتولرزشباتواندمیایسازهومکانیکیهایسیستماجزایازبسیاریشکستماشیندرارتعاش.استهمراهآنازناشیخستگیولرزشبامعموالهواپیمادرایسازهشکستوگازوبخارهایتوربیندردیسک

سطحپرداختمهره،وپیچمانندهادهندهاتصالشدنسستها،یاتاقانوهادندهچرخمانندقطعاتیسریعسایشبهمنجرآالتوطعاتقشکستباعثتنهانهآالتماشیندرحدازبیشلرزش.گرددمیحدازبیشصدایوسروفلز،برشخاللدرضعیف.رساندمیآزارنیزانسانبهبلکهشود،میهاسیستم

6 اهمیت ارتعاشات

Tacoma Bridgeپل تاکوما المپیکبین واشنگتن و سواحل شبه جزیره تردد تاکوما به عنوان کوتاه ترین مسیر پل

.شودیشهرمناطقدرمزاحمتایجادبرایقدرتمندیزمینیامواجایجادباعثتواندمیدیزلموتورهایدرتعادلعدممثال،عنوانبهازددیمتعتماشاییهایخرابی.شکندمیهمدرراهاپنجرهودرهاکهکندمیایجادمهیبیصوتیغرشصوت،مافوقهواپیمای

لرزهزمینلخالدرزمیننوسانیحرکتهمچنینوبادوسیلهبهشدهتولیدارتعاشازناشیکهداردوجودسدهاوها،ساختمانها،پل.است

7 اهمیت ارتعاشات

دریلها،غلتکها،قیفها،غربالدرمثال،برای.بردمفیداستفادهارتعاشاتازتوانمی،مهندسیکاربردهایازازبرخیدرپردازشفرآیندهایواد،مارتعاشیتستکوب،شمعدستگاهبرقی،ماساژدستگاهساعت،لباسشویی،ماشینبرقی،مسواکدندانپزشکی،

.شودمیتفادهاسفرآیندهاکیفیتووریبهرهبهبودبرایارتعاشاتفورج،وگریریختهمانندموادپردازشعملیاتوارتعاشیسطح

8

Multidegree-of-Freedom System: Lumped-Parameter, Discrete, or Finite-Dimensional Systems

زمالمستقلمختصاتتعدادحداقلاساسبرسیستمیکآزادیدرجهانزمازلحظههردرسیستمیکاعضایتمامیموقعیتتوصیفبرای

روروبشکلدرفنروجرمسیستممثال،عنوانبه.استشدهتعریفتوصیفبرایx(t)مختصاتتنهازیرااستآزادیدرجهیکباسیستمیورطبه.استکافیزمانازلحظههردرخودتعادلموقعیتازجرمموقعیتدرجهیکسیستمیکدهندهنشانبعدیشکلدرسادهپاندولمشابه،یمراحرکتخاللدرسادهپاندولموقعیتکهدلیلاینبه.استآزادیموقعیتاگرچه.نمودتوصیفθایزاویهمختصاتیکازاستفادهباتوان

کهنمودبیانyوxدکارتیمختصاتدواساسبرتوانمیراسادهآونگطولیlآندرکه،x2+y2=l2قیدتوسطآنهانیستند؛مستقلیکدیگراز

باستمیسیآونگبنابراین،.استمرتبطدیگریکبهاستآونگازثابت.استآزادیدرجهیک

Discrete And Continuous Systems سیستم های مجزا و پیوسته

بهآنهازیرا،کندمیداللتآزادیدرجهسهودوهایسیستمبرکهاستشدهدادهنشانزیرشکلدردیگریفنروجرمهایسیستمراآزادیدرجهندچسیستمیک،بنابراین.دهندمیتغییرزمانباارتعاشطولدرراخودموقعیتکههستندجرمسهودودارایترتیب

.گرفتنظردردمپرهاوفنرهاکمکبهشدهجداهمازاینقطههایجرمازمتشکلسیستمیکعنوانبهتوانمی

9 Discrete And Continuous Systems سیستم های مجزا و پیوسته

خاللدر.استشدهتوزیعسیستمسراسردرمیراییو،(پذیریانعطافیا)االستیسیتهجرم،پیوسته،سیستمیکدردیگر،سویاز.کندمیحرکتپیوستهشکلیبههااینقطهجرمسایربهنسبتاینقطههایجرمنهایتبیازیکهر،ارتعاش

Distributed, Continuous, or Infinite-dimensional Systems

اینقطهجرمتنهایبیازتیر.باشدمیروبروشکلدرشدهدادهنشانگیردارسریکتیرپیوسته،سیستمیکازسادهمثالیکنامتناهیادتعدواقع،در.گرددمشخصآنیشدهخمیدهشکلتااستنیازموردمختصاتنهایتبیرواینازواست،شدهتشکیل

میفرضآزادیدرجهتنهایبیباسیستمیصورتبهگیردارسریکتیر،بنابراین.کندمیتعریفراتیراالستیکمنحنیمختصه،نهایتبیدارایرواینزاوهستندایپیوستهاالستیسیتهوجرمتوزیعبااعضاییدارایایسازهومکانیکیهایسیستمبیشتر.شود

دقتوتحلیلوجزیهتهدفبهبستگیپیوستهیاگسستهعضویعنوانبهسیستمیکسازیمدلنوعانتخاب.باشندمیآزادیدرجههبشدهکوپلمعمولیدوممرتبهدیفرانسیلمعادلهnدستگاهحلوسیلهبهآزادیدرجهnسیستمیکحرکت.داردنتایجازانتظارمورد.آیدمیدستبههم

10 Discrete And Continuous Systems سیستم های مجزا و پیوسته

از.تداشخواهدوجودطبیعیفرکانسهربهمربوطمودشکلبامتمایزطبیعیفرکانسnحداکثرآزادی،درجهnسیستمیکبرایسیستمیک.اشتدخواهدطبیعیفرکانسهرازایبهمودشکلیکوطبیعیفرکانسنهایتبیپیوسته،سیستمیک،دیگرسوی

نشانتیرمثال،نعنوابه.آورددستبهسادهایشیوهبهراآنپاسخوزد،تقریبگسستهسیستمیکعنوانبهتوانمیراپیوستهاینقطهرمجیکصورتبهتیرجرمآنکهفرضبازد،تقریبآزادیدرجهیکسیستمعنوانبهتوانمیرا(الف)شکلدرشدهداده

.شودزدهقریبت(ب)شکلمطابقخطیسادهفنریکصورتبهتیرپیوستهپذیریانعطافوباشدشدهمتمرکزتیرآزادانتهایدرتیرپذیریانعطافوجرمکهطوریبهداد،بهبود(پ)شکلمطابقآزادیدرجهدومدلیکازاستفادهباتوانمیراتقریبدقت

.شودمیزدهتقریبخطیفنردوواینقطهجرمدوتوسط

پ بالف

مجموعهحلکهاآنجاز.استجزئیمشتقاتبادیفرانسیلمعادلهیکشکلبهحرکتبرحاکممعادلهپیوسته،سیستمیکبرایآساننسبتبهرفتهگقرارایویژهتحریکتحتکهگسستهسیستمیکپاسخکردنپیدااست،سادهمعمولی،دیفرانسیلیمعادالت

سیستمازکمیعدادتبرایتنهابستهفرمحلوداشتهبیشتریسختیجزئیمشتقاتبادیفرانسیلمعادلهحلدیگر،سویاز.است(تحلیلیپاسخ)بستهپاسخحال،اینبا.باشدمیموجوددارند،ایسادهتحریکومرزیشرایطوسادهیهندسهکهپیوستههای

مینیست،پذیرانامکآنهاپاسخبستهفرمارائهکهترپیچیدههایسیستمرفتاربهنسبتفهمیوبینشایجادباعثاغلبموجود،.گردد

11 Vibrations Classification دسته بندی انواع ارتعاشات

:نمودبندیدستهزیرانواعبهتوانمیراارتعاشاتیمسائلت

انواع ارتعاشا

استهالک

ارتعاشات بدون میراییUndamped Vib.

ارتعاشات با میراییDamped Vib.

نوع تحریک

ارتعاشات آزادFree Vib.

ارتعاشات اجباریForced Vib.

ارتعاشات پریودیکPeriodic

ارتعاشات هارمونیکHarmonic

ارتعاشات غیر هارمونیک

کارتعاشات غیر پریودیNon-periodic

ارتعاشات گذرا و نامشخصTransient

ارتعاشات تصادفیRandom Vibration

رفتار خطی و غیرخطی

ارتعاشات خطیLinear Vib.

ارتعاشات غیرخطیNonlinear Vib.

د،باشنداشتهوجودانرژیاتالفگونههیچکهصورتیدرچشمباکههرچند.گویندمیراییبدونیانامیراراارتعاشات

کهانیزماماشود،میترسادهسیستمتحلیلمیراییپوشیگرفتننظردرکند،میکارخودتشدیدنواحینزدیکسیستم

.باشدمیمهمبسیاراستهالک

خواهدآزادعاشاتارتتحتسیستمگیرد،قراراولیهاغتشاشیکتاثیرتحتصفرزمانازپسخارجینیرویاعمالبدونسیستماگر.بودخواهدحاکماجباریارتعاشاتاینصورت،غیردر.بوداگراما.گویندخطیارتعاشاتراحاصلارتعاشاتباشند،داشتهخطیرفتاردمپر،وفنرجرم،قبیلازارتعشاتیسیستماساسیاجزایاگر

بهخطیاتارتعاشبرحاکمحرکتمعادله.گویندغیرخطیارتعاشاتراآمدهبدستارتعاشاتباشد،غیرخطیرفتاردارایاجزاازبرخی.استغیرخطیلیدیفرانسیمعادلهصورتبهغیرخطیارتعاشاتبرحاکممعادلهحالیکهدرباشد،میخطیدیفرانسیلیمعادلهصورت.شتداخواهندغیرخطیرفتاریارتعاشاتیهایسیستماکثریابد،میافزایشبزرگیمقادیربهارتعاشاتدامنهکهزمانی

12 Vibration Analysis تحلیل ارتعاشات

قبیلازسیستماتمشخصوآن(ورودی)تحریکنوعبهوابستهآن(خروجی)پاسخکهاستدینامیکیسیستمیارتعاشی،سیستمیکتحتسیستم،گیردقراراولیهاغتشاشیکتاثیرتحتصفرزمانازپسخارجینیرویاعمالبدون.باشدمیاستهالکوسختیجرم،

.هستندانزمبهوابستهدوهرسیستمپاسخوتحریک.بودخواهدحاکماجباریارتعاشاتاینصورت،غیردر.بودخواهدآزادارتعاشات.باشدمیمشخصتحریکیکازایبهپاسختعیینشاملسیستمیکارتعاشاتتحلیل

باشد،خطیسیستمیکریاضیمدلاگر.باشدغیرخطییاخطیسیستم،مشخصاتطبیعتبهبستهتواندمیسیستمهرریاضیمدلاگرکهاستمعنیبدیناین.نموداستفادهتوانمیsuperpositionآثارجمعاصلاز

Response, x(t)Excitation, f(t)System (mass, stiffness,

and damping)

x1(t)

f1(t) Linear

System

x2(t)

f2(t) Linear

System

c1f1(t)+c2f2(t)System

c1x1(t)+c2x2(t)

13 Vibration Analysis تحلیل ارتعاشات

ریاضیمدل سازی

اصل داالمبر•

قانون دوم حرکت نیوتن•

اصل همیلتون•

کار مجازی•

روش انرژی•

روش رایلی•

حل معادالت حاکم

(هحل بست)روش تحلیلی •

روش های عددی•

پاسخ سیستم

جابجایی•

سرعت•

شتاب•

14 Harmonic Functions توابع هارمونیک

زمانهبوابستههارمونیککاربردی،هایاستفادهازبسیاریدرعنوانهب.شودمیگرفتهنظردرسینوسیارتعاشیکشبیه

ازSهنقطحرکتمکانیکی،هایسیستمزمینهدرکاربردیشده،دادهنشانزیرشکلدرکهاسکاچیوغمکانیسم

حولAشعاعبالنگسیستم،ایندر.استسادههارمونیکبرابردامنهکهشودمیمشاهده.کندمیچرخشOنقطه

است،صفرمقداراز(منفییاومثبت)x(t)مقدارحداکثرA=maxبنابراین |x(t)|.تناوبدورهبهفرکانسτوابسته

طوریبهشود،میتکرارx(t)کهاستزمانیفاصلهکه،استx(tکه + τ) = x(t)

راهنمایدرکهایمیلهشکافدر(P)لنگمیلدیگرانتهایGلمیکههنگامی.لغزدمیدارد،برگشتیورفتحرکت

ازSانتهایینقطهچرخد،میωایزاویهسرعتبالنگتابشوسرعتجابجایی،.شودمیجابجاخوداصلیموقعیت

:استزیرصورتبهزمانحسببرSنقطه

15ازنسبتیشتابکهحرکتیچنینبه.استنقطهاینجابجاییازنسبتیمستقیمطوربهSنقطهشتابکهدهدمینشانقبلیرابطه

simpleسادههارمونیکحرکتباشد،جابجایی harmonic motionحرکتترتیبهمینبه.گویندx(t) = A cosωtنیز.بودخواهدسادههارمونیک

𝑋برداروسیلهبهتوانمیراهارمونیکیحرکت = 𝑂𝑃دامنهباAثابتایزاویهسرعتباکهωنمایششکلمطابقچرخد،می:صورتبهعمودیمحوررویبربرداراینتصویرکهاستتصورقابل.داد

:بااستبرابرافقیمحوررویبرآنتصویرو

درمختلطعددیکصورتبهرا𝑋بردارتوانمیهمچنینشکلبهxyصفحه

𝑖که = بهوبوده𝑋بردارyوxهایمولفهترتیببهbوaو1−بردار.شوندمیگرفتهنظردر𝑋بردارموهومیوحقیقیهایبخشصورت

𝑋نمودبیانزیرصورتبههمچنینتوانمیرا:

.باشدمیهاxمحورباآنزاویهبیانگر𝜃و𝑋برداراندازهAکهجاییدر

(1)

(2)

(3)

(4)

Harmonic Functions توابع هارمونیک

16کهشودتوجه

:نوشتروبروصورتبهتوانمیرا(4)رابطهلذا

:نوشتزیرمختلطعددصورتبهتوانمیرا𝑋چرخانبرداربنابراین

هدادهارمونیکحرکتاز.باشدمیثانیهبررادیانبرحسبوپادساعتگردجهتدر𝑋بردارچرخشایدایرهفرکانس𝜔کهطوریبه.گرفتمشتقزمانبهنسبتتوانمی(7)رابطهدرشده

(7)(6)

(5)

(8)

(9)

:نوشتزیرصورتبهتوانمیراشتابوسرعتجابجایی،کند،داللتهارمونیکحرکتبر𝑋برداراگر

همینطورواست،حقیقیبخشمعنیبهReکه

.باشدمیموهومیبخشمعنیبهImکه

(10)

(11)(t)y

(t)y

(t)y

Harmonic Functions توابع هارمونیک

17

پیشباعثشتاببردارکهشودمیمشاهده.استشدهدادهنشانچرخانبردارهایصورتبه(11)و(10)معادالتزیرشکلدر.گرددمیدرجه90میزانبهجابجاییبردارانداختنپیشباعثسرعتبردارودرجه،90میزانبهسرعتبردارانداختن

Definitions and Terminology تعاریف و اصطالحات

18

Equilibriumتعادلوضعیتازمرتعشجسمیکحرکت:Cycleسیکل Positionشدهغیرمختلیا(Undisturbed)

بهبرگشتتنهایدرودیگرجهتدربیشینهموقعیتبهآنازپستعادل،وضعیتبهسپسجهت،یکدربیشینهموقعیتبهآن.گویندارتعاشیسیکلیکراتعادلموقعیت

Definitions and Terminology تعاریف و اصطالحات

.باشدمیآنتعادلموقعیتازارتعاشیجسمیکبیشینهجابجاییمعنیبهارتعاشاتدامنه:Amplitudeدامنه

ناوبتزمانیاتناوبدورهدهد،انجامراکاملسیکلیکمرتعشجسمتاکشدمیطولکهزمانیمدتبه:Periodتناوبدوره.باشدداشته2𝜋معادلچرخشی𝑋بردارکهاستزمانیمعادلتناوبزمانقبل،مثالدر.شودمیدادهنمایش𝜏باکهگویند

:ترتیببدین

ایزاویهیادورانیفرکانس𝜔کهCircular frequencyشودمینامیده

ریگیاندازهثانیهبررادیانحسببرو.شودمی

19Linearخطیفرکانس Frequency:آنواحدوکندمیداللتزمانواحدبرسیکلتعدادبهفرکانسیاخطیفرکانس

:نمودبیانروبروشکلبهتوانمیرافرکانس.باشدمی(Hzهرتز)ثانیهبرسیکل

Definitions and Terminology تعاریف و اصطالحات

phaseاولیهفازیافاززاویه angle or initial phase:کهایلحظه)صفرزماندرسینوسیموجزیر،شکلمطابقاگر:گفتتوانمینباشد،صفربرابر(کنیممیگیریاندازهبهشروع

𝜔𝑡کهجاییدر + 𝜑وحرکتفاز𝜑حرکتدوحال.شودمینامیدهاولیهفازیافاززاویه:بگیریدنظردرروبروروابطمطابقراهارمونیک

سطتوشدهدادهارتعاشیحرکتدوکهآنجاییازبهباشند،می𝜔یکسانفرکانسدارایرابطهدو

(همگام)سنکرونهایحرکتآنهاsynchronous motionsهاینوسان.گویند

دروهداشتمتفاوتهایدامنهتوانندمیسنکرونند،برسخودماکزیمممقداربهمختلفیهایزمان

tزمانباکه = 𝜑 𝜔شوندمیجدایکدیگراز،.شودمیگفتهفازاختالفیافاززاویه𝜑و

Naturalطبیعیفرکانس Frequency:ودخحالبهاولیهاغتشاشیاتحریکیکازپسآزادیدرجهیکباسیستمیاگرشناختهآناشاتیارتعطبیعیفرکانسعنوانبهکند،مینوسانخارجینیروهایبدونآنباکهفرکانسیگردد،رهامرتعشوضعیتدر

ستمسییکهمچنین،.باشدمیارتعاشاتیمتمایزطبیعیفرکانسnدارایکلیطوربهآزادیدرجهnباگسستهسیستمیک.شودمی.استطبیعیفرکانسنهایتبیدارایپیوسته

20 Beating phenomenon پدیده تپش یا ضربان

𝜔وA=3ازایبهراحاصلهتابعوبیابیدرازیرهارمونیکتوابعاختالف:مثال = 40 𝑟𝑎𝑑/𝑠نماییدترسیم.

پدیدهآمدهستدبهحرکتگردند،تفریقیکدیگرازیاوجمعهمبهنزدیکهایفرکانسباهارمونیکیحرکتدوکهزمانی:پاسخهبراحرکتدوبیناختالفتپش،پدیدهبهتردرکبرای.استمعروف(ضربان)Beatingتپشبهکهگذاردمینمایشبهراای

:بگیریدنظردرزیرصورت

:نمودتعریفتوانمیزیرصورتبهراحرکتدوتفاضل.استکوچکیمقدار𝛿کهجاییدر

:نوشتتوانمیزیرصورتبهراx(t)حاصلهحرکت

𝜔1+𝜔2فرکانسباکسینوسیموجیشکلبهx(t)کهپیداستباالرابطهاز

2= 𝜔 − 𝛿/2معادلتقریباًکهاست𝜔وباشدمی

:کندمیتغییرزیردامنهباآرامیبه

21 Beating phenomenon پدیده تپش یا ضربان

بهگردد،میمیراوایجاد2Xوصفربیندامنهآندرکه𝛿فرکانس.گویندمیتپشیکآنبهرسد،میماکزیممبهدامنههرگاهدرمثالوانعنبه.گرددمیمشاهدهبرقتولیدهاینیروگاهوهاسازهماشین،درغالباًپدیدهاین.شودمیشناختهتپشفرکانس.فتدامیاتفاقتپشپدیدهشود،میسیستمطبیعیهایفرکانسنزدیکاجباریفرکانسهرگاهها،سازهوآالتماشین

مثال،ایندرشدهدادهمقادیرازایبهوآمدهدستبهرابطهطبق

تپشفرکانسباراتپشپدیدهتابعاینکهشودمیمشاهده.استآمدهدرنمایشبهزیرشکلدرx(t)تابع

.دهدمینمایش

22 PERIODIC FUNCTIONS AND FOURIER SERIES توابع پریودیک و سری فوریه

بسیاریاما.ستنیهارمونیکارتعاشیهایسیستمازبسیاریحرکتباشد،میترینسادهبررسیبرایهارمونیکحرکتکههرچندجمالتتنهایبیجمعحاصلصورتبهتوانمیرازمانازپریودیکیتابعهر.باشندمیپریودیکصورتبهارتعاشیحاالتاز

تحلیلراهارمونیکعتوابجمعصورتبهپریودیکتابعنمایشفرآیند.دادنمایشفوریهسریازاستفادهباکسینوسییاسینوسیHarmonicهارمونیکی Analysisتحریکای/وپریودیکحرکتتوصیفبرایابزاریعنوانبهفوریهسریازاستفاده.گویندمی

بهشدهتعیینیفرکانسهایطیفمفهومدرکبهفوریهسریباآشناییهمچنین،.باشدمیمهمبسیارارتعاشاتمطالعهدرپریودیک.کندمیکمکآزمایشگاهیصورت

:بودخواهدزیرصورتبهآنفوریهسرینمایشباشد،𝜏تناوبدورهباپریودیکیتابعx(t)اگر

ωکهجاییدر = 2𝜋/𝜏اصلیفرکانسFundamental Frequencyوشودمینامیده𝑎0,𝑎1, ,𝑏0,𝑏1و… ضرایبی…:شودمیاستفادهزیرروابطازضرایبایناستخراجبرای.باشندمیثابت

𝑎𝑛هارمونیکتوابع:نکته cos 𝑛𝜔𝑡و𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔𝑡راهارمونیک.گویندx(t)پریودیکتابعnمرتبههارمونیک

.باشدمیτ/𝑛برابرتناوبیدورهدارایnمرتبه

23 PERIODIC FUNCTIONS AND FOURIER SERIES توابع پریودیک و سری فوریه

کمکبهراودیکپریتوابعبیشترتوانیممیامااست،جملهنهایتبیباجمعحاصلیکصورتبهشدهارائهسریکههرچند:توجه.بزنیمتقریبابتداییهارمونیکتابعچندتنها

مانندپریودیکتابعهربرایمثالعنوانبه.دادنمایشکسینوسییاسینوسیجمالتجمعباتنهاتوانمیرافوریهسری:1تبصرهx(t)نموداستفادهزیرمطابقکسینوسیعباراتازتنهاتوانمی:

کهطوریبه

:دادنمایشزیرمطابقمختلطاعدادعباراتصورتبهتوانمیرافوریهسری:2تبصره

𝑏0کهجاییدر = 0

طیفآنبهکهنمودترسیم𝑛𝜔فرکانسحسببرنموداریدرتوانمیرا(𝜙𝑛و𝑑𝑛یا𝑏𝑛و𝑎𝑛)هاهارمونیکدامنه:توجه.گویندطیفیدیاگرامیافرکانسی

24 PERIODIC FUNCTIONS AND FOURIER SERIES توابع پریودیک و سری فوریه

صورتبه𝑐−𝑛و𝑐𝑛فوریهمختلطضرایبتعریفبا

:شدخواهدزیرصورتبهفوریهسریمختلطشکل

:آیندمیدستبهزیرصورتبه𝑐𝑛فوریهضرایبکه

25 Nonperiodic Functions And Fourier Integrals توابع غیر پریودیک و انتگرال فوریه

وضعیت،ایندر.شدخواهدپریودیکغیربهتبدیلx(t)تابعیابد،افزایشایاندازهبیشکلبهپریودیکتابعیکتناوبدورهاگر:صورتبهفوریهمختلطسریزیر،شکلپریودیکتابعبرای.گیردقراراستفادهموردتواندمیفوریهانتگرال

کهجاییدر

زیرروابطایجادبا

(1)

(2)

(3)

26 Nonperiodic Functions And Fourier Integrals توابع غیر پریودیک و انتگرال فوریه

.گرددمیبیانزیرصورتبه(2)و(1)روابط

(4)

𝜏با → زیرصورتبهرا(5)و(4)روابطونمودجایگزینانتگرالباراحاصلجمععبارتوبرداشت𝜔ازبایستیراnنویسپایین،∞:نوشت

(5)

(7)

(6)

.گویندفوریهتبدیلجفتهم،بارا(7)و(6)روابط.باشدمیx(t)فوریهتبدیل(7)رابطهوx(t)فوریهانتگرالمعنیبه(6)رابطه𝑋تابعباشد،تحریکمعنیبهx(t)اگر 𝜔شودمیگرفتهنظردرتحریکطیفیچگالیعنوانبه.

27 Nonperiodic Functions And Fourier Integrals توابع غیر پریودیک و انتگرال فوریه

یینتعراآنفوریهتبدیل.بگیریدنظردرزیرشکلمطابقsزمانخاللدروf0اندازهباراf(t)بارغیرپریودیکمستطیلیپالس:مثال𝑓0ازایبهرادامنهطیفو = 200 𝑙𝑏،𝑠 = 1 𝑠𝑒𝑐.و𝑡0 = 4 𝑠𝑒𝑐کنیدترسیم.

𝐹مطلققدرصورتبهدامنهطیف 𝜔لذا.باشدمی:

:نمودتعریفزیرصورتبهتوانمیرازمانحوزهدربار:پاسخ

:بودخواهدزیرصورتبهf(t)فوریهتبدیل

∗𝐹کهطوریبه 𝜔مختلطمزدوج𝐹 𝜔باشدمی:

)*(

28 Nonperiodic Functions And Fourier Integrals توابع غیر پریودیک و انتگرال فوریه

∗𝐹روابطجایگذاریبا 𝜔و𝐹 𝜔نیمکترسیمراآنسپسوآوریمدستبهذیلمطابقرادامنهطیفتوانیممی)*(رابطهدر.

یا