ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ...
TRANSCRIPT
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ
Μ. NεραντζάκηΑναπλ. Καθηγήτρια ΕΜΠ
ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
1
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ
Ε.Ι. ΣαπουντζάκηςΚαθηγητής ΕΜΠ
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Τοπικό και καθολικό διάνυσμα ακραίων μετακινήσεων
{ }1
2
3
ij
ij ij
ij
u
D u
ϑ
=
{ }1
2
3
ik
ik ik
ik
uD u
ϑ
=
{ }{ }{ }
1
2
3
1
2
3
ij
ij
ij iji
ik ik
ik
ik
u
uD
DD u
u
ϑ
ϑ
= =
{ } { }{ }
1
2
3
1
2
3
ij
ij
ijij
iik ik
ik
ik
u
uD
DD u
u
ϑ
ϑ
= =
άκρου j
άκρου kόλου του στοιχείου
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Κάθε σημείο του άξονα του μέλους επίπεδου πλαισίου θα έχει:α) αξονική παραμόρφωση
β) εγκάρσια παραμόρφωση1 1 41( ) ( ) ( )ij iku x u x u x
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 4
2 3 2 5 3 62 3v( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ij ik ikx u x x u x x
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
1 1 41( ) ( ) ( )ij iku x u x u x
→ Συναρτήσεις σχήματος → εκφράζουν την αξονική παραμόρφωση για
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 5
1 4( ), ( )x x ij ik
11u = 1,u = 0ij ik
11u = 0,u = 1και
, αντίστοιχα.
α) αξονική παραμόρφωση
Οι παραπάνω συναρτήσεις σχήματος υπολογίζονται με διαδικασία όμοια με αυτή που ακολουθείται για την αξονική παραμόρφωση μέλους επίπεδου δικτυώματος.
1 1 ,x x L 4 ,x x L
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
→ Συναρτήσεις σχήματος →εκφράζουν την ελαστική γραμμή του στοιχείου για
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 6
2 3 5 6( ), ( ), ( ), ( )x x x x
, αντίστοιχα.
β) καμπτική παραμόρφωση
2 3 2 5 3 62 3v( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ij ik ikx u x x u x x
ij2u = 1 ij ik ik
2 33 = u = = 0 και§ij3 = 1 ij ik ik
2 32u = u = = 0και§ik2u = 1 ij ij ik
32 3u = = = 0 και§ik3 = 1 ij ij ik
22 3u = = u = 0και§
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 7
β) καμπτική παραμόρφωση
Επίλυση προβλήματος κάμψης (παραδοχή Bernoulli)
22
2 20
id xdEI x
dx dx
διπλή ολοκλήρωσηελαστική γραμμή
Για μέλος επίπεδου πλαισίου σταθερής διατομής:
3 2
1 2 3 43 2
ix x
x c c c x c
2
1 2 32
ix
x c c x c
2, 3, 5, 6i
Οι σταθερές c1, c2, c3, c4 υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Έτσι, για την ψ2(x): 2 2 2 20 1 0 0 0 0L L , , ,
2 32 1 3 2 ,x x L
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 8
για την ψ3(x): 3 3 3 30 0 0 1 0 0L L , , ,
2 33 2 ,x L x L
για την ψ5(x): 5 5 5 50 0 0 0 1 0L L , , ,
2 35 3 2 ,x x L
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
και, για την ψ6(x): 6 6 6 60 0 0 0 0 1L L , , ,
2 36 ,x L x L
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 9
1
1u 2( )x
3( )x
5( )x
6( )x
2 1iju 2 1iku
3 1ik
3 1ij
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 10
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 11
in in ina bW W W
Δυνατό Έργο Αξονικές Παραμορφώσεις
Καμπτικές Παραμορφώσεις
Επίπεδο Δικτύωμα √ XΕπίπεδο Πλαίσιο √ √
inaW
inbW
→ δυνατό έργο λόγω αξονικών παραμορφώσεων (axial)
→ δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων (bending)
1 1 41a ij ikx
uu x u x
x
1
2
31 4
1
2
3
[ 0 0 0 0]
ij
ij
ij
aik
ik
ik
u
u
x xu
u
N u
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Όμοια με την περίπτωση του στοιχείου επίπεδου δικτυώματος, το έργο λόγω αξονικής παραμόρφωσης υπολογίζεται ως εξής:
in 0( )
La a a a
x x x xVW dV A x E dx V: ο όγκος του στοιχείου
όπου 1 40 0 0 0a x x N
και 1 2 31 2 3
Tij ij ij ik ik iku u u u uΕ.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 12
ax a N u
1
2
32 3 5 6
1
2
3
[0 0 ]
ij
ij
ij
bik
ik
ik
u
u
Ey x x x x Eyu
u
N u
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 13
bx by N u
Αντικαθιστώντας προκύπτει:
in 0( )
La T Ta aW EA x dx
u N N u (1)
Για το δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων:
inb b
x xVW dx
xM y EyuI
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
όπου 2 3 5 60 0b x x x x N
και 1 2 31 2 3
Tij ij ij ik ik iku u u u u
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 14
Αντικαθιστώντας και ολοκληρώνοντας ως προς τη διατομή προκύπτει:
in 0( )
Lb T T
b bW EI x dx u N N u (2)
(1) + (2):
in in in 0 0( ) ( )
L La b T T Ta a b bW W W EA x dx EI x dx
u N N N N u
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
15
όπου
Για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισχύει:T
exW u f 1 2 3 1 2 3T ij ij ij ik ik ikF F M F F M
f
Εξισώνοντας (δWin = δWex):
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 15
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
16
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
0
L
ij i jk EA x x x dx , 1, 4i j
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 16
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
17
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
0
L
ij i jk EI x x x dx , 2, 3,5,6i j
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 17
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
18
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 18
iA
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
19
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 19
ik iA
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
20
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k
Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 20
ik iA iD
Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Τελικά,
i i iA k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 21
1 111 14
2 222 23 25 26
3 32 33 35 36 3
41 441 1
52 53 55 562 2
62 63 65 663 3
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
ij ij
ij ij
ij ij
ik ik
ik ik
ik i
F uk kF uk k k k
M k k k k
k kF uk k k kF uk k k kM
k