地球惑星科学基礎V演習

第3回瀬⼾雄介

http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto

群の概念、結晶系とブラベー格⼦の関係

鏡映 (鏡⾯)

並進を伴わないもの

対称⼼ (点対称)Center of symmetry, Inversion center mirror

表記: 1 (one bar) 表記: m (mirror)

鏡映対称⼼

4回回転 6回回転

N回回転: 軸の周りに 360/N ° 回転して図形を不変に保つ操作

並進を伴わないもの

表記: 2, 3, 4, …

4回回反2回回反 (=鏡映)

N回回反: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと対称⼼を中⼼に反転して図形を不変に保つ操作

並進を伴わないもの

表記: 1, 2, 3, … 対称⼼ 鏡映 (m)

42

並進を伴わないもの

× 3

2 × 4

= 6

= 4

× 1= 4 × m = 4 × m= 4 × 1

平⾏移動の結果、元の図形と区別できなくなる

並進を伴うもの

表記: P, A, B, C, F, I, R単純な軸⽅向への平⾏移動

センタリングを伴う平⾏移動

単位格⼦

単位格⼦の軸

結晶には、必ずいずれかのタイプの格⼦並進が存在する

41らせん 62回らせん

2/6周期

1周期1周期

1/4周期

N M らせん: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと、軸⽅向にM/N周期だけ平⾏移動して図形を不変に保つ操作

並進を伴うもの

表記: 21, 31, 32, …

1周期

1/2周期

鏡映したあとある⽅向に1/n周期平⾏移動して図形を不変に保つ操作

並進を伴うもの

表記: a, b, c, n, e, d

・⾯の⽅向・平⾏移動の⽅向・平⾏移動の距離

によって使い分ける

⾏列との関係

cos sin 0sin cos 00 0 1

回転 (Z軸)

対称⼼1 0 00 1 00 0 1

鏡映 (XY平⾯)1 0 00 1 00 0 1

cos sin 0sin cos 00 0 1

回反 (Z軸)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1 1

11

並進を伴わない対称操作 並進を伴なう対称操作(アフィン変換)

格⼦並進 (Z軸⽅向)

1 0 0 1/20 1 0 00 0 1 00 0 0 1 1

1/2

1

映進(XY平⾯, X軸⽅向)

らせん(2回, Z軸⽅向)1 0 0 00 1 0 00 0 1 1/20 0 0 1 1

1/21

固定

並進を伴わない対称操作

並進成分 移動後のxyz成分

組み合わせると無限に広がる物体の対称性を表現できる

空間群(Space group)

様々な対称操作

• 並進を伴わないもの– 回転– 回反– 対称⼼ (= 1回回反)– 鏡映 (= 2回回反)

• 並進を伴うもの– 格⼦並進(平⾏移動)– 映進 (鏡映+平⾏移動)– らせん (回転+平⾏移動)

組み合わせると有限の⼤きさの物体の対称性を表現することができる

点群(Point group)

点群・空間群によって対称要素の組み合わせ⽅を整理・分類することができる

対称要素の組み合わせ⽅2回軸

2回軸

・・・いつまで繰り返しても元に戻らない

2回軸

2回軸

特別な⾓度で対称要素を組み合わせると、元の位置に戻る

任意の⾓度

直⾓

組み合わせ⽅なんて無限にあるような気がするが…

対称要素をうまく組み合わせると、点の集合は“閉じた”関係になる

対称要素の組み合わせ⽅

回転/回反軸を、特別な⾓度で交差させると、図形が元に戻るような操作の集合となる

⇒このような操作の集合は 点群 (Point group)と呼ばれ、”群”としての性質を持つ

1)結合法則Gの任意の元a, b, cに対して(a ⊗ b) ⊗ c＝a ⊗(b ⊗ c)となる

集合Gの任意の元に関して・算法⊗が定義され、・任意⼆つの元を演算した結果は

集合Gに含まれ(a ⊗ b ∈ G )、・さらに次の3法則を満たすときG

は群であるという．

群とは集合G

ab

c

d hf⊗

ただし、演算の⽅向を変えても結果が同じ[=可換]とは限らない

eは「なにもしない」元である

eの逆元はかならずe, aの逆元がaになることもある

元

2) 単位元の存在Gに元eがあって，Gの任意の元aに対しa⊗e＝e⊗a＝aとなる。eをGの単位元(unit element)という．

3) 逆元の存在Gの任意の元aに対しある元aʼがGにあって，a⊗aʼ＝aʼ⊗a＝eとなる．aʼをaの逆元といい，ふつうa-1と書く．

群の例 その1

算法を加算(⾜し算)としたときのすべての整数を元とする集合G

2) 単位元は 0

n,m,lを任意の整数とすると･･･

1) (n + m) + l = n + (m + l)

3) n の逆元は -n

整数は⾜し算に関して群である

算法を乗算 (掛け算)としたときのすべての整数を元とする集合G

2) 単位元は 1

n,m,lを任意の整数とすると･･･

1) (n * m) * l = n * (m * l)

3) n の逆元は 1/n (駄⽬)

整数は乗算に関しては群ではない

群の例 その2世の中には次の6つのタイプの⼈間がいるとする。

・癒し系 ・不思議系 ・威圧系・地味系 ・派⼿系 ・普通系

2) 単位元の存在: 普通系

1) 結合則例; (癒し + 威圧) + 地味 = 派⼿ + 地味 = 普通

癒し + (威圧 + 地味) = 癒し + 癒し = 普通

3) 逆元の存在:普通系、癒し系、不思議系の逆元はそれ⾃⾝、派⼿系と地味系は互いに逆元

6タイプの⼈間は婚姻に関して群である

これらのタイプが結婚して出来る⼦供のタイプは以下のとおり。

普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿

群とはなにか

年上年下

群の例 その2

普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿

E A B C D FE E A B C D FA A E F D C BB B D E F A CC C F D E B AD D B C A F EF F C A B E D

普通 派⼿ 地味普通 普通 派⼿ 地味

派⼿ 派⼿ 地味 普通地味 地味 普通 派⼿

以下の3つのタイプしかいない集団を考えると・・・・普通系 ・地味系 ・派⼿

E D FE E D F

D D F EF F E D

普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿

E A B C D FE E A B C D FA A E F D C BB B D E F A CC C F D E B AD D B C A F EF F C A B E D

⇒ 群を構成している︕

次の4つのタイプしかいない集団を考えると・・・・普通系 ・癒し系 ・不思議系 ・威圧系

普通 癒し 不思議 威圧普通 普通 癒し 不思議 威圧癒し 癒し 普通 地味 派⼿不思議 不思議 派⼿ 普通 地味威圧 威圧 地味 派⼿ 普通

E A B CE E A B CA A E F DB B D E FC C F D E

⇒ 群は成⽴しない

・ある群の中から、いくつか選び出した元が群としての性質をもつことがある

・このように選び出した集合を元の群に対して部分群という

群とはなにか

点群の例

E C90 C180 C270

E E C90 C180 C270

C90 C90 C180 C270 E

C180 C180 C270 E C90

C270 C270 E C90 C180

4回回転軸(C90, C180, C270)

4回回転軸を⼀つだけもつ物体を不変に保つ対称操作は・0°回転 (E)・90 °回転 (C90)・180°回転 (C180)・270°回転 (C270)の四つがある。

この4つの元からなるの集合は・結合則・単位元の存在・逆元の存在を満たす (群の性質を持っている)

並進と両⽴する回転軸

6回回転

2, 3, 4, 6回回転があっても平⾏移動によって空間を埋め尽くすことができる (並進と両⽴する)

3回回転2回回転

4回回転

2回回転

回転や回反の種類は無限にある。でも結晶の場合は、どうだろうか︖結晶には、かならず格⼦並進(単位格⼦)が存在する

– 2次元: 平⾏四辺形

– 3次元: 平⾏六⾯体

a

b

cαβ

γ

a

b

γ 2本の軸(a,b)と軸間⾓度(γ)で定義される

3本の軸(a, b, c)と軸間⾓度(α, β, γ)で定義される

隙間ができてしまう

5回回転をもつような図形で空間を埋め尽くそうとすると…

同様に、7回以上の回転も隙間が出きてしまう

並進と両⽴する回転軸

格⼦点 格⼦点

並進を満たすn回回転(nは正の整数)があったとき、

360/n

格⼦点

360/n

格⼦点

並進の⻑さ: a

a (1 – 2 cos [360/n] )

平⾏

a (1 – 2 cos [360/n] ) = m am: 整数

1 – 2 cos [360/n] = m

2 cos [360/n] = 1 - m

この式を満たす n は 1, 2, 3, 4, 6 のみであるf(n) = cos [360/n]

f(1) = 1f(2) = -1f(3) = -½ f(4) = 0f(5) = 0.309…f(6) = ½f(7) = 0.623…

並進と両⽴する対称要素・並進と両⽴しうるのは 1, 2, 3, 4, 6回軸のみである

・同様の理由で、回反: 1, 2, 3, 4, 6らせん: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65映進: a, b, c, e (軸の⽅向に1/2並進)

n (対⾓線の⽅向に1/2並進)d (対⾓線の⽅向に1/4並進)

が、並進と両⽴しうる

上記の• 回転• 回反を組み合わせたもの

結晶族点群格⼦並進(必須)を含み、上記の・回転・回反・らせん・映進を組み合わせたもの

空間群

注)点群: 並進と両⽴しないものも含めた回転/回反の組み合わせ

単位格⼦の形状

2回軸

3次元の結晶には 必ず3つの独⽴な並進ベクトルが存在する

もし、2回軸を持つ結晶があったとして、⼆回回転軸と直⾏しない並進ベクトルが存在した場合、、、

かならず、2回軸と⼀致する⽅向に並進ベクトルを作ることが出来てしまう

任意の⾓度

直⾓

ということは、残りの2本の並進ベクトルは2回軸と直交する⽅向に存在しなければならない

並進ベクトル

90°90°

b

a

c 2回軸を含む結晶は、・2回軸に平⾏な軸を1つ・2回軸に直交する軸を2つ選ぶことが可能である。

このような、対称要素の種類によって単位格⼦の形状を分類したものを「結晶系 (晶系)」という。

並進ベクトル

⼀つの軸が他の2軸と直交する

単斜晶系

三斜晶系 3辺が独⽴の⻑さをもち、各軸が直交しない

90°

b

ac

7つの結晶系 その①

底⾯が正⽅形の直⽅体正⽅晶系

斜⽅晶系 3辺が独⽴の⻑さをもつ直⽅体

90°

90°

a

bc

a

bc

1あるいは-1がひとつ

2あるいは-2がひとつ

2あるいは-2が三つ

4あるいは-4がひとつ

6あるいは-6が最低ひとつ

三⽅晶系

六⽅晶系 底⾯が60°と120°のひし形の直⾓柱

60° 120°

90°

3あるいは-3が最低ひとつ

60° 120°

90°

底⾯が60°と120°のひし形の直⾓柱

a

bc

a

bc

3あるいは-3が最低四つ

各辺の⻑さが等しい⽴⽅体

90°

⽴⽅晶系

a

bc

7つの結晶系 その②

ブラベー格⼦とは2回軸を含む結晶(単斜晶系)は、

2回軸

直⾓

最初から、2回軸に平⾏な軸を1つ、直交する軸を2つあるとき

2回軸 2回軸 2回軸

2回軸と斜交する軸が1つ(以上)ある場合

・2回軸に平⾏な軸を1つ・2回軸に直交する軸を2つ 選ぶことが可能である。

単純単斜格⼦ 底⼼単斜格⼦

単純格⼦と複合格⼦単純格⼦

⾯⼼格⼦

側⼼格⼦or

底⼼格⼦

体⼼格⼦

最⼩体積の単位格⼦(=基本単位格⼦)

複合格⼦

対称要素を反映する形状を保持した結果、最⼩体積ではなくなってしまった単位格⼦

記号: P

記号: A,B,C

記号: I

記号: F

結晶系とブラベー格⼦の関係結晶系 必須の対称要素 ブラベー格⼦ 単位格⼦の形状

三斜晶系 (triclinic) なし 三斜格⼦ (aP ) a ≠ b, b ≠ c, c ≠ aかつ α ≠ 90°, β ≠ 90°, γ ≠ 90°

単斜晶系(monoclinic) ⼀つの2回回転 or 2回

回反(鏡映)

単純単斜格⼦ (mP )底⼼単斜格⼦ (mC )

second setting:a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a

かつ α = 90°, β ≠ 90°, γ = 90°

斜⽅晶系(orthorhombic) 互いに直交する三つの2回転 or 2回回反(鏡映)

単純斜⽅格⼦ (oP )体⼼斜⽅格⼦ (oI )底⼼斜⽅格⼦ (oC )⾯⼼斜⽅格⼦ (oF )

a ≠ b, b ≠ c, c ≠ aかつ α = β = γ = 90°

正⽅晶系(tetragonal) ⼀つの4回回転 or 4回回反

単純正⽅格⼦ (tP )体⼼正⽅格⼦ (tI )

a = b, b ≠ cかつ α = β = γ = 90°

三⽅晶系(trigonal) ⼀つの3回回転 or 3回回反

(3・i)

三⽅格⼦ (hP )稜⾯格⼦ (hR )

hexagonal setting:a = b, b ≠ c かつ α = β = 90° かつ γ = 120°rhombohedral setting:

a = b = c かつ α = β = γ

六⽅晶系(hexagonal) ⼀つの6回回転 or 6回回反

(3/m)

六⽅格⼦ (hP ) a = b, b ≠ c かつ α = β = 90° かつ γ = 120°

⽴⽅晶系(cubic)

四つの3回回転

単純⽴⽅格⼦ (cP )体⼼⽴⽅格⼦ (cI )⾯⼼⽴⽅格⼦ (cF )

a = b = c かつ α = β = γ = 90°

⽤語の整理• 結晶系

– 3次元では7種類の結晶系がある– 結晶系とは、必須の対称要素よって分類される単位格⼦形状の種類

• ブラベー格⼦– 3次元では14種類のブラベー格⼦がある– ブラベー格⼦とは、なるべく⼩さい体積で、軸の⻑さの和が最も⼩さく、結晶の

もつ対称要素と格⼦の形状を⼀致させた単位格⼦のこと

• 単位格⼦の形状の表現– 通常3辺の⻑さをa, b, c 軸間の⾓度をα, β, γであらわす

• 格⼦並進の種類– 単純格⼦ (primitive lattice, P)– 体⼼格⼦ (body-centered lattice, I)

» 単位格⼦の中⼼に格⼦点が存在– 底⼼格⼦ (base-centered lattice: A,B,C)

» A: b軸とc軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在» B: c軸とa軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在» C: a軸とb軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在

– ⾯⼼格⼦ (face-centered lattice, F)» すべての側⾯の中⼼に格⼦点が存在する

– 稜⾯格⼦ (rhombohedral lattice, R) [三⽅格⼦の場合のみ]» ⻑い体対⾓線の⽅向に1/3ずつずらした点に格⼦点が存在

a

b

c

αβγ