化学概論 第6回 - osaka university電子の速度v円運動の半径rとしたとき、...
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2009/6/4
化学概論 第６回
水素原子の電子構造、原子軌道
水素原子の波動関数
eV2
−= 中心力場Vh+Δ−≡
2
Ηr
V04πε
=
222 zyxr ++=
Vm
+Δ≡ 28Η
π
Schrodingerの波動方程式..
⎞⎛ 22
zyxr ++
ψψ E=Η ψψπεπ
Er
em
h=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ−
0
2
2
2
48換算質量：
⎠⎝
MmmM+
=μ M: 原子核の質量、m: 電子の質量m: 電子の質量
ψψ Eeh=⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
−Δ−22
ψψπεμπ
Er
=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
Δ0
2 48
極座標の導入
極座標：中心対称な系の問題を考えるのに便利
⎪⎨
⎧ =φθφθ
iicossinrx
)( )( φθ⎪⎩
⎪⎨
==
θφθ
cossinsin
rzry),,( zyx ),,( φθr
ラプラシアン 2
2
2
2
2
2
∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δzyxラプラシアン
2
2
2222
2 sin1sin
sin11
φθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=
∂∂∂
rrrr
rr
zyx
sinsin φθθθθ ∂⎠⎝ ∂∂⎠⎝ ∂∂ rrrrr
動径成分の分離
ψψ Eeh=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ−
2
2
2
48
動径部分
ψψπεμπ r ⎟⎠⎜
⎝ 02 48
),,(4
18 0
22
22
2
φθψπεμπ
rr
er
rrr
h
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−動径部分
),,(sinsin1
8 22
2
φθψθ
θθθμπ
rr
h⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
⎭⎩
),,(),,(sin1
8 2
2
222
2
φθψφθψφθμπ
μ
rErr
h=
∂∂
−
⎠⎝
s8 φθμπ ∂
変数の分離： )Φ()Θ()R(),,( φθφθψ rr =変数の分離： )()()(),,( φφψ
球対称な波動関数
)()(48
22
22
2
rErr
edrdr
drd
rh ψψ
πεμπ=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
の形の解は？
48 0rdrdrr πεμπ ⎭⎩ ⎠⎝arr −= e)(ψ
⎫⎧ ( ) ararar Er
eardrd
rh −−− =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−− ee4
e8 0
22
22
2
πεμπ
arararar Er
eraarr
h −−−− =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−− ee4
)ee2(8 0
222
22
2
πεμπ
μππεμπ 2
222
2
2
81
44haE
reah
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
μππεμπ 0 844 r⎟⎠⎜⎝
2πμe 422 eha μ
02ε
πμh
ea = 220
2 88 hehaE
εμ
μπ−=−=
球対称な波動関数：最安定軌道(1s波動関数)( )
ar)( 2
2πμh
ea = 1/a: ボーア半径arr −= e)(ψ 02εh
22
4
8 heE μ
−= E: イオン化ポテンシャル
1/a: ボ ア半径
208 hε
体積要素dv=dxdydzに電子がいる確率
中心から半径rの球殻に電子がいる確率
drr 24π
22 )(4 rr ψπ
電子がいる確率
d dydz
に電子がいる確率
2)(rψdx dy
)(ψ
2h ε20/1
ehaπμε
=
一般の動径波動関数R(r)( ))Φ()Θ()R(),,( φθφθψ rr =
)R()R(48
22
22
2
rErr
edrdr
drd
rh
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
πεμπ 48 0rdrdrr ⎭⎩ ⎠⎝ πεμπ
の 般解R (r)は4 1eE μ
を固有値とするの一般解Rn(r)は、 22208 nh
En ε−= を固有値とする
水素原子軌道の動径成分を表す水素原子軌道の動径成分を表す。
222
4 18 nh
eEn εμ
−=離散的なエネルギーレベル 208 nhε
(n=1,2,3…を主量子数という)
ボーアの原子模型
ボーアの水素原子模型ボ アの水素原子模型
仮定2. 電子の速度v円運動の半径rとしたとき、角運動量は不連続な値をとる。
量 条件 hmev r = nBohrの量子条件 2πh
電子における力のつりあい
rmev2
= 4πε0r2e2電子における力のつりあい
（遠心力＝静電引力） 0（遠心力 静電引力）
1 2 e2 -e2 -m e4 1２つの式からvを消去し、電子のエネルギーEを求める
1 mev2 - 4πε0reE = 2 = 8πε0r
e = 8ε02h2
mee 1n2
物理量と演算子 λ/hp =)/(2e),( txiAtx νλπψ −=
λ/hp =定常波の波動関数：複素関数表示
θθθ sincose ii +=)/(2e
e),(thxpi xA
Atxνπ
ψ−=演算子 固有値
θθ sincose i+=
)(),( ttxhi ψ∂
演算子 固有値
hi ∂ˆ),(),(2
txpx
i xψψ
π=
∂−
物理量を 状態から求めるために対応する演算子がある
xipx ∂−=
π2ˆ
物理量を、状態から求めるために対応する演算子がある
系の状態はいつも固有状態とは限らない
),( txψ では運動量 がずっと変化しない状態 xp系の状態はいつも固有状態とは限らない
その場合、物理量は常に同じ値をとらない
)e(e),( )/(2)/(2 21 thxpithxpiAtx νπνπψ −− +=例えば
φ成分:磁気量子数φ
xyz ypxpL +−=角運動量のz成分
角運動量演算子の 成分 ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂∂
= yxhL̂角運動量演算子のz成分 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
−∂
=x
yy
xi
Lz π2)( dxyddyxd == φφ
φ∂∂
=i
hLz 2ˆ),( dxyddyxd =−= φφ
φπ ∂iz 2
φ
φ成分:磁気量子数φ
ψψ Eeh=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ−
2
2
2
48ψψ
πεμπ r ⎟⎠⎜⎝ 0
2 48
),,(4
18 0
22
22
2
φθψπεμπ
rr
er
rrr
h
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
),,(sinsin1
8 22
2
φθψθ
θθθμπ
rr
h⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
⎭⎩
),,(),,(sin1
8 2
2
222
2
φθψφθψφθμπ
μ
rErr
h=
∂∂
−
⎠⎝
s8 φθμπ ∂
変数の分離： )Φ()Θ()R(),,( φθφθψ rr =変数の分離： )()()(),,( φφψ
φ成分:磁気量子数φ
∂∂ )Φ(2
2
φφ =∂
)Φ(φφ
φi が解となり
定数
φφ imAe)Φ( = が解となり、 ⋅⋅⋅±±±= ,3,2,1,0m磁気量子数
)Φ(φ波動関数 の意味は？
)Φ(e)Φ(ˆ φφ φ hmAhL im =∂
= )Φ(2
e2
)Φ( φπφπ
φ φ mAi
Lz =∂
=
hm を固有値とするπ2m を固有値とする、演算子 の波動関数zL̂
角運動量が一定の状態
θ成分:方位量子数
ψψ Eeh=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ−
2
2
2
48
角関数成分
ψψπεμπ r ⎟⎠⎜
⎝ 02 48
),,(4
18 0
22
22
2
φθψπεμπ
rr
er
rrr
h
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−角関数成分
),,(sinsin1
8 22
2
φθψθ
θθθμπ
rr
h⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
⎭⎩
),,(),,(sin1
8 2
2
222
2
φθψφθψφθμπ
μ
rErr
h=
∂∂
−
⎠⎝
s8 φθμπ ∂
変数の分離：φθφθψ imrr e)Θ()R(),,( =変数の分離： θφθψ e)Θ()(),,(
θ成分:方位量子数
8)R(1 2222
⎬⎫
⎨⎧
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+⎟⎞
⎜⎛ ∂ μπ eErrd
)Θ(11
4)(
)R(2
02
2
⎫⎧ ⎞⎛
⎭⎬
⎩⎨ ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂−
θ
πεμ
mdd
rE
hrr
drr
0sin
)Θ(sinsin1
)Θ(1
2
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
θθθθ
θθθm
dd
dd
0=
0)Θ()Θ()Θ(i1 2
⎟⎞
⎜⎛ θβθθθ mdd 0)Θ()Θ(
sin)Θ(sin
sin1
2 =+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θβθ
θθθθ
θθm
dd
dd
)1( += llβ lm ±⋅⋅⋅±±±= ,,3,2,1,0
方位量子数
θ成分:方位量子数
)Φ()Θ()1(2
)Φ()Θ(ˆ φθφθ += llhL2π
),3,2,1,0( ⋅⋅⋅⋅=l
)Φ()Θ( φθ は
全角運動量演算子 L̂
の固有関数の固有関数
全角運動量 )1(llh全角運動量 )1(
2+ll
πは、固有値なので保存される
前半プログラム（仮）前半プログラム（仮）
構造１．原子の構造２．ミクロな粒子の振る舞い –波動性と粒子性–振 舞３．波動方程式とは何か４ ポテンシャル中の電子の性質４．ポテンシャル中の電子の性質５．箱の中の粒子、水素原子核の周りの電子６ 水素原子の電子構造 原子軌道６．水素原子の電子構造 –原子軌道–
中間テスト中間テスト
原子の構造：現在の理解原子の構造：現在の理解
