МАТЕМАТИКАhttps://спогрт.рф/svedens/documents/kl_matematika...Общий вид...

Министерство образования Московской области

ГБОУ СПО МО «Московский геологоразведочный техникум»

МАТЕМАТИКА

Краткий курс лекций и практических занятий

для студентов 2 курса специальностей:

21.02.08 «Прикладная геодезия»

21.02.13 « Геологическая съёмка, поиски и разведка месторождений полезных

ископаемых»

пгт. Решетниково 2015 г.

2

Составитель: преподаватель математики Клёпов А.В.

Предназначена для студентов 2 курса всех специальностей

Утверждена методическим Советом № 10/15 от 19.11.2015 г.

Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор, декан геофизического факультета МГРИ-РГГРУ

А.В. Петров

3

Оглавление

Раздел 1. Аналитическая геометрия ............................................................................................ 7

Тема 1.1. Линии на плоскости ................................................................................................. 7

§1. Уравнения прямой на плоскости .................................................................................. 7

§2. Взаимное расположение прямых на плоскости .......................................................... 8

§3. Линии второго порядка на плоскости .......................................................................... 9

Тема 1.2. Прямые и плоскости в пространстве .................................................................... 14

§1. Трёхмерные векторы .................................................................................................... 14

§2. Прямые и плоскости в пространстве .......................................................................... 16

§3. Поверхности второго порядка .................................................................................... 20

Раздел 2. Теория пределов .......................................................................................................... 24

Тема 2.1. Вычисление пределов ............................................................................................ 24

§1. Раскрытие неопределённостей .................................................................................... 24

§2. Замечательные пределы ............................................................................................... 25

Раздел 3. Дифференциальное исчисление ................................................................................. 28

Тема 3.1. Работа с производными ......................................................................................... 28

§1. Производные функций, правила работы с производными, производные сложной

функции ............................................................................................................................... 28

Тема 3.2. Исследование функции и построение графиков ................................................. 31

§1. Исследование непрерывных функций с помощью производных, нахождение

экстремумов, точек перегиба, построение графиков. ..................................................... 31

Раздел 4. Интегральное исчисление .......................................................................................... 40

Тема 4.1. Неопределённые интегралы .................................................................................. 40

§1. Основные понятия ........................................................................................................ 40

§2. Методы интегрирования .............................................................................................. 41

Тема 4.2. Определённые интегралы ...................................................................................... 49

§1. Определённый интеграл Римана. Геометрический и физический смысл

определённого интеграла .................................................................................................. 49

§2. Свойства определённого интеграла ............................................................................ 50

Тема 4.3. Приложения определённых интегралов ............................................................... 51

§1. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей фигур с помощью

определённого интеграла .................................................................................................. 51

§2. Применение определённого интеграла в решении прикладных задач ................... 54

Раздел 5. Ряды .............................................................................................................................. 57

Тема 5.1. Сходимость рядов .................................................................................................. 57

§1. Понятие числового ряда. Основные определения. Сходимость ряда. .................... 57

§2. Ряды с неотрицательными членами ........................................................................... 58

§3. Знакочередующиеся ряды ........................................................................................... 59

§4. Степенные ряды ........................................................................................................... 60

Тема 5.2. Разложение функций в ряд .................................................................................... 62

Раздел 6. Дифференциальные уравнения .................................................................................. 64

§1. Понятие о дифференциальном уравнении ................................................................. 64

§2. Дифференциальные уравнения первого порядка ...................................................... 64

§3. Дифференциальные уравнения второго порядка ...................................................... 67

Раздел 7. Множества ............................................................................................................... 76

Раздел 8. Элементы высшей алгебры. Матрицы ...................................................................... 78

Тема 8.1. Матрицы и определители ...................................................................................... 78

§1. Матрицы. Действия над матрицами. Обратные матрицы ........................................ 78

§2. Определитель и его свойства. Вычисление определителей. .................................... 81

Тема 8.2. Решение систем линейных уравнений ................................................................. 83

§1. Решение систем линейных уравнений со многими неизвестными различными

4

методами ............................................................................................................................. 83

Раздел 9. Теория вероятностей и математическая статистика ................................................ 86

Тема 9.1. Основы теории вероятностей ................................................................................ 86

§1. Классическое определение вероятности .................................................................... 86

§2. Понятия о случайных величинах. Характеристики и законы распределения ........ 91

Тема 9.2. Элементы математической статистики .............................................................. 104

§1. Генеральная совокупность и выборка. ..................................................................... 104

§2. Оценки параметров генеральной совокупности по её выборке ............................ 105

Приложения ............................................................................................................................... 109

5

Краткий курс лекций разработан на основе Федерального государственного

образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего

профессионального образования (далее СПО). Основная задача предмета «Математика»

для средних специальных учебных учреждений состоит в том, чтобы дать студентам

комплекс математических знаний и навыков, необходимых для изучения смежных и

специальных дисциплин, для использования в практической деятельности.

Учебным планом предусмотрено изучение курса математики в объёме 78 учебных

часов. В пособии кратко изложен основной теоретический материал по изучаемым темам,

даны указания к выполнению самостоятельных и контрольных работ, предложены задачи

для самостоятельного решения.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

применять основные численные методы решения прикладных задач.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

роль и место математики в современном мире, а также в решении

профессиональных задач;

основные понятия и методы математического анализа, дискретной

математики, теории вероятностей и математической статистики.

6

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы Объем часов

Максимальная учебная нагрузка (всего) 117

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 78

В том числе:

- лабораторные занятия -

- практические занятия 21

- контрольные работы 9

- курсовая работа (проект) -

Самостоятельная работа обучающегося (всего) 39

В том числе:

Самостоятельная работа над курсовой работой (проектом) -

- домашние работы 39

Итоговая аттестация в форме диф. зачета

7

Раздел 1. Аналитическая геометрия

Тема 1.1. Линии на плоскости §1. Уравнения прямой на плоскости

1. Общее уравнение прямой.

Уравнение вида 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 называется общим уравнением прямой, где 𝑨,𝑩 –

числа, не равные нулю одновременно. Общий вид уравнения прямой можно

преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выражая из общего уравнения переменную y, мы получаем следующий вид:

𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒃. Число 𝒌 называют угловым коэффициентом прямой.

𝒌 = 𝒕𝒈𝝋, где 𝝋 – угол между прямой и осью 𝑿.

При 𝒌 = 𝟎 уравнение принимает вид: 𝒚 = 𝒃. Такие прямые параллельны оси 𝑿, при

𝒃 = 𝟎 это сама ось 𝑿.

Прямые вида: 𝒙 = 𝒂 параллельны оси 𝒀.

3. Уравнение прямой в отрезках.

Если 𝑨 ≠ 𝟎, 𝑩 ≠ 𝟎, 𝑪 ≠ 𝟎, то общее уравнение прямой можно выразить в виде: 𝑨

−𝑪𝒙 +

𝑩

−𝑪𝒚 = 𝟏, или

𝒙

𝒂+𝒚

𝒃= 𝟏, где 𝒂 = −

𝑪

𝑨, 𝒃 = −

𝑪

𝑩. Это уравнение называют уравнением

прямой в отрезках.

8

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым

коэффициентом.

Пусть точка 𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏) принадлежит прямой с угловым коэффициентом k, тогда

искомое уравнение примет вид: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒌(𝒙 − 𝒙𝟏).

5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Точки 𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏) и 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐) принадлежат данной прямой, тогда выразив 𝒌 из

предыдущего пункта, мы получим: 𝒚−𝒚𝟏

𝒚𝟐−𝒚𝟏=

𝒙−𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏.

§2. Взаимное расположение прямых на плоскости

1. Условие параллельности прямых.

Если прямые параллельны, то 𝒌𝟏 = 𝒌𝟐. Для общего уравнения прямой условие

параллельности можно записать в виде: 𝑨𝟏

𝑨𝟐=𝑩𝟏

𝑩𝟐.

2. Условие перпендикулярности прямых.

Если прямые перпендикулярны, то 𝒌𝟐 = −𝟏

𝒌𝟏, или в виде условия: 𝑨𝟏𝑨𝟐 + 𝑩𝟏𝑩𝟐 = 𝟎.

3. Угол между прямыми.

Если прямые пересекаются, то угол между ними можно найти по формуле:

𝒕𝒈𝝋 =𝒌𝟐 − 𝒌𝟏𝟏 + 𝒌𝟐𝒌𝟏

Под углом между прямыми всегда понимается наименьший из пары вертикальных

углов.

4. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана в общем виде, то расстояние от данной точки 𝑴(𝒙𝟎; 𝒚𝟎) до

прямой 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 можно вычислить по формуле:

𝒅 =|𝑨𝒙𝟎 + 𝑩𝒚𝟎 + 𝑪|

√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐

Пример №1. Написать уравнения двух прямых, одна из которых параллельна, а

другая перпендикулярна прямой: 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓, проходящих через точку 𝑨(𝟐; 𝟐). Решение: Прямая 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝒃 параллельна прямой 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓. Найдём 𝒃 из условия

принадлежности точки 𝑨(𝟐; 𝟐) данной прямой.

𝟐 = 𝟔 + 𝒃; 𝒃 = −𝟒. Значит, прямая 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒 параллельна прямой 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓.

9

Прямая 𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 + 𝒃 перпендикулярна прямой 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓. Найдём 𝒃 из условия

принадлежности точки 𝑨(𝟐; 𝟐) данной прямой.

𝟐 = −𝟐

𝟑+ 𝒃; 𝒃 = 𝟐

𝟐

𝟑. Значит, прямая 𝒚 = −

𝟏

𝟑𝒙 +

𝟖

𝟑 перпендикулярна прямой 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓.

Ответ: 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒;𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 +

𝟖

𝟑.

Пример №2. Найти угол между прямыми: 𝒚 =𝟏

𝟑𝒙 + 𝟏 и 𝒚 = 𝟐𝒙.

Решение: 𝒌𝟏 = 𝟏

𝟑; 𝒌𝟐 = 𝟐. Из формулы 𝒕𝒈𝝋 =

𝒌𝟐−𝒌𝟏

𝟏+𝒌𝟐𝒌𝟏 получим: 𝒕𝒈𝝋 =

𝟐−𝟏

𝟑

𝟏+𝟐

𝟑

= 𝟏.

Значит, искомый угол 𝝋 =𝝅

𝟒.

Ответ: 𝜑 =𝜋

4.

Пример №3. Найти расстояние от точки 𝑴(𝟏;𝟏) до прямой 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟏.

Решение: Из формулы 𝒅 =|𝑨𝒙𝟎+𝑩𝒚𝟎+𝑪|

√𝑨𝟐+𝑩𝟐, получим: 𝒅 =

|𝟒−𝟏+𝟏|

√𝟒𝟐+(−𝟏)𝟐=

𝟒

√𝟏𝟕 .

Значит, 𝒅 =𝟒

√𝟏𝟕

Ответ:𝒅 =𝟒

√𝟏𝟕 .

§3. Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим три вида линий: эллипс, гиперболу, параболу. Уравнения этих линий в

прямоугольной системе координат являются уравнениями второй степени. Такие линии

называются линиями второго порядка.

1. Эллипс.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма

расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,

большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть 𝑭𝟏(−𝒄; 𝟎), 𝑭𝟐(𝒄; 𝟎) фокусы эллипса. 𝑴 – произвольная точка эллипса.

Расстояние |𝑭𝟏𝑭𝟐| между фокусами обозначим через 𝟐𝒄, сумму расстояний от точки 𝑴 до

фокусов – через 𝟐𝒂. Т.к. по определению |𝑭𝟏𝑴| + |𝑭𝟐𝑴| > |𝑭𝟏𝑭𝟐|, то 𝟐𝒂 > 2𝒄, т.е.

𝒂 > 𝒄.

10

Расстояния 𝒓𝟏 = 𝑭𝟏𝑴 и 𝒓𝟐 = 𝑭𝟐𝑴 называют фокальными радиусами точки 𝑴. Точка

М (𝒙; 𝒚) принадлежит эллипсу, если 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝟐𝒂. Подставляя в данное уравнение

координаты точки М, получим каноническое уравнение эллипса:

𝒙𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏, где 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐. Эллипс – линия второго порядка.

Оси симметрии эллипса называют его осями, точка пересечения осей – центр

эллипса, точки пересечения эллипса с осями – вершины эллипса. Большая полуось эллипса

– 𝒂, малая полуось эллипса – 𝒃. Величина вида 𝓔 =𝒄

𝒂 называется эксцентриситетом

эллипса. Эксцентриситет эллипса меньше единицы. При очень малом 𝓔 числа 𝒂 и 𝒃 почти

равны и эллипс близок к окружности, Если 𝓔 → 𝟏, то эллипс сильно вытянут вдоль

большой оси. Эксцентриситет характеризует меру вытянутости эллипса.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные

симметрично относительно центра на расстоянии 𝒂

𝓔 от него, называются директрисами

эллипса.

𝒙 =𝒂

𝓔 ; 𝒙 = −

𝒂

𝓔 - уравнения директрис эллипса, заданного в каноническом виде.

2.Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности

расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,

меньшая, чем расстояние между фокусами.

11

Пусть 𝑭𝟏(−𝒄; 𝟎), 𝑭𝟐(𝒄; 𝟎) фокусы гиперболы. 𝑴 – произвольная точка гиперболы.

Расстояние |𝑭𝟏𝑭𝟐| между фокусами обозначим через 𝟐𝒄, модуль разности расстояний от

точки 𝑴 до фокусов – через 𝟐𝒂. Т.к. по определению ||𝑭𝟏𝑴| − |𝑭𝟐𝑴|| < |𝑭𝟏𝑭𝟐|, то 𝟐𝒂 < 2𝒄, т.е. 𝒂 < 𝒄.

Расстояния 𝒓𝟏 = 𝑭𝟏𝑴 и 𝒓𝟐 = 𝑭𝟐𝑴 называют фокальными радиусами точки 𝑴. Точка

М (𝒙; 𝒚) принадлежит гиперболе, если 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 = ±𝟐𝒂. Подставляя в данное уравнение

координаты точки 𝑴, получим каноническое уравнение гиперболы:

𝒙𝟐

𝒂𝟐−𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏, где 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐.

Точка 𝑴, уходя в бесконечность, неограниченно приближается к прямой,

называемой асимптотой гиперболы. У гиперболы две асимптоты: 𝒚 =𝒃

𝒂𝒙 и 𝒚 = −

𝒃

𝒂𝒙.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами. В случае

канонического уравнения гиперболы координатные оси являются осями симметрии,

начало координат – центром симметрии.

Эксцентриситетом гиперболы называют величину: 𝓔 =𝒄

𝒂. Эксцентриситет

характеризует форму гиперболы.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и

расположенные симметрично относительно центра на расстоянии 𝒂

𝓔 от него, называются

директрисами гиперболы.

𝒙 =𝒂

𝜺 ; 𝒙 = −

𝒂

𝜺 – уравнения директрис гиперболы, заданной в каноническом виде.

12

3. Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на

одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой,

называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Пусть 𝑴(𝒙; 𝒚) – произвольная точка параболы, 𝒓 – расстояние от точки 𝑴 до фокуса

𝑭 (𝒓 = |𝑭𝑴|). 𝒅 – расстояние от точки 𝑴 до директрисы. Величину 𝒑 называют

параметром параболы. Точка 𝑴 находится на параболе только в том случае, когда 𝒓 = 𝒅. Подставляя в данное уравнение выражения 𝒓, 𝒅 через координаты, получим

каноническое уравнение параболы: 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙.

Точку 𝑶 называют вершиной параболы, ось 𝑶𝒙 – осью параболы.

13

4. Общее уравнение линии второго порядка.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид: 𝑨𝒙𝟐 + 𝟐𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝟐𝑫𝒙 ++𝟐𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, где 𝑨, 𝟐𝑩, 𝑪, 𝟐𝑫, 𝟐𝑬, 𝑭– любые числа. Путём преобразований

плоскости можно перевести общее уравнение линии второго порядка в одно из выше

сказанных канонических уравнений.

Теорема: Если в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии

второго порядка 𝑨𝒙𝟐 + 𝟐𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝟐𝑫𝒙 + 𝟐𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, тогда существует такая

прямоугольная система координат, в которой уравнение принимает один из следующих

девяти канонических видов:

1) 𝒙𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 (эллипс);

2) 𝒙𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐= −𝟏 (мнимый эллипс);

3) 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒄𝟐𝒚𝟐 = 𝟎 (пара мнимых пересекающихся прямых);

4) 𝒙𝟐

𝒂𝟐−𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 (гипербола);

5) 𝒂𝟐𝒙𝟐 − 𝒄𝟐𝒚𝟐 = 𝟎 (пара пересекающихся прямых);

6) 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 (парабола);

7) 𝒚𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝟎 (пара параллельных прямых);

8) 𝒚𝟐 + 𝒂 = 𝟎 (пара мнимых параллельных прямых);

9) 𝒚𝟐 = 𝟎 (пара совпавших прямых).

Домашнее задание:

Самостоятельная работа №1

1) Написать уравнения двух прямых, одна из которых параллельна, а другая

перпендикулярна прямой: 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟑, проходящих через точку 𝑨(𝟏; 𝟏). 2) Найти угол между прямыми: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 и 𝒚 = 𝟒𝒙.

3) Найти расстояние от точки 𝑴(𝟐; 𝟏) до прямой 𝒚 = −𝒙 + 𝟏.

4) Написать уравнение прямой, проходящей через точки 𝑴(𝟏;𝟏) и 𝑵(−𝟐;𝟏).

5) Найти параметры 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝓔 эллипса 𝒙𝟐

𝟐𝟓+𝒚𝟐

𝟖𝟏= 𝟗.

6) Найти параметры 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝓔 гиперболы 𝒙𝟐

𝟒−𝒚𝟐

𝟗= 𝟒.

7) Найти координаты фокуса параболы 𝒚𝟐 = 𝟏𝟐𝒙.

8) Дано общее уравнение линии второго порядка 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟖 = 𝟎.

Определить вид данной линии.

14

Тема 1.2. Прямые и плоскости в пространстве §1. Трёхмерные векторы

1. Точка и вектор.

Рассмотрим систему координат в пространстве.

𝑶 – начало координат, 𝑶𝒙 – ось абсцисс, 𝑶𝒚 – ось ординат, 𝑶𝒛 – ось аппликат.

𝑴(𝒙, 𝒚, 𝒛) – произвольная точка пространства (𝒙 – абсцисса, 𝒚 – ордината, 𝒛 – аппликата).

𝑶𝑴 {𝒙; 𝒚; 𝒛}, 𝑶𝑴𝟏 {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} – радиус-векторы, координаты произвольного вектора

𝑴𝑴𝟏 определяются следующим образом: 𝑴𝑴𝟏

{𝒙𝟏 − 𝒙; 𝒚𝟏 − 𝒚; 𝒛𝟏 − 𝒛}. Если задана в

пространстве числовая ось aи вектор 𝑨𝑩 , то проекцией вектора 𝑨𝑩 на ось 𝒂 называется

вектор 𝑨𝟏𝑩𝟏 = Пр𝒂𝑨𝑩 , сонаправленный с осью a, его длина определяется соотношением:

Пр𝒂𝑨𝑩 = |𝑨𝑩 |𝒄𝒐𝒔𝝋, где 𝝋 – угол между вектором 𝑨𝑩 и осью 𝒂.

15

Длина вектора через его координаты определяется формулой: |�� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐.

Расстояние между точками 𝑴(𝒙;𝒚; 𝒛) и 𝑴𝟏(𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏) находят, как длину вектора

|𝑴𝑴𝟏| = √(𝒙𝟏 − 𝒙)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚)𝟐 + (𝒛𝟏 − 𝒛)𝟐.

2. Операции над векторами, их свойства.

Сумма векторов.

Если �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐}, то суммой векторов является вектор

�� + �� {𝒙𝟏 + 𝒙𝟐; 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐; 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐}. Разность векторов.

Если �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐}, то разностью векторов является вектор

�� − �� {𝒙𝟏 − 𝒙𝟐; 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐; 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐}. Произведение вектора на число.

Если �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и 𝝀 – число, то произведением вектора на число является

вектор 𝝀𝒂 {𝝀𝒙𝟏; 𝝀𝒚𝟏; 𝝀𝒛𝟏}. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐} называется

число, равное произведению их длин на косинус угла между ними, т.е.

�� ∙ �� = |�� | ∙ |�� | ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 = |�� | ∙Пр�� . Очень удобно находить скалярное

произведение через координаты векторов: �� ∙ �� = 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐. Из

определения скалярного произведения получаем формулу для нахождения угла

между векторами �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐}:

𝐜𝐨𝐬 𝜶 =�� ∙��

|�� |∙|�� |=

𝒙𝟏∙𝒙𝟐+𝒚𝟏∙𝒚𝟐+𝒛𝟏∙𝒛𝟐

√𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟏𝟐+𝒛𝟏𝟐∙√𝒙𝟐𝟐+𝒚𝟐𝟐+𝒛𝟐𝟐

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐} называется

вектор �� × �� , направление которого определяется правилом «буравчика», а длина

его равна произведению длин векторов �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏}и �� {𝑥2; 𝑦2; 𝑧2}на синус угла

между ними, т.е.|�� | ∙ |�� | ∙ 𝐬𝐢𝐧𝜶.

16

Замечание. Из курса высшей алгебры введём следующие понятия.

Определитель второго порядка. Определитель второго порядка есть число,

вычисляемое по формуле: |𝒂 𝒃𝒄 𝒅

| = 𝒂 ∙ 𝒅 − 𝒃 ∙ 𝒄.

Определитель третьего порядка. Определитель третьего порядка есть число,

вычисляемое по формуле:

|

𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑

| = 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒄𝟑 + 𝒃𝟏𝒄𝟐𝒂𝟑 + 𝒄𝟏𝒂𝟐𝒃𝟑 − 𝒄𝟏𝒃𝟐𝒂𝟑 − 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟏𝒄𝟐𝒃𝟑.

В теме 8.1 Матрицы и определители мы подробно остановимся на данных

понятиях.

Если �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐}, то векторное произведение двух векторов �� × �� можно выразить через координаты векторов: �� ×

�� {|𝒚𝟏 𝒛𝟏𝒚𝟐 𝒛𝟐

| ; |𝒛𝟏 𝒙𝟏𝒛𝟐 𝒙𝟐

| ; |𝒙𝟏 𝒚𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟐

|}.

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов �� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏}; �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐} и �� {𝒙𝟑; 𝒚𝟑; 𝒛𝟑}

называется число �� ∙ (�� × �� ),равное скалярному произведению вектора

�� {𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} на векторное произведение векторов �� {𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐} и �� {𝒙𝟑; 𝒚𝟑; 𝒛𝟑}. Смешанное произведение можно вычислить по координатам:

�� ∙ (�� × �� ) = |

𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑

|.

Пример: Даны векторы: �� {𝟑; 𝟏; 𝟐} и �� {𝟏; 𝟒;−𝟓}. Найти координаты вектора 𝟐𝒂 + 𝟑�� ,

его длину, координаты вектора �� × �� ,скалярное произведение �� ∙ �� . Решение: Пользуясь формулами, находим:

𝟐�� {𝟔; 𝟐; 𝟒}, 𝟑�� {𝟑; 𝟏𝟐;−𝟏𝟓}, 𝟐𝒂 + 𝟑�� {𝟗; 𝟏𝟒;−𝟏𝟏}.

|𝟐𝒂 + 𝟑�� | = √𝟗𝟐 + 𝟏𝟒𝟐 + (−𝟏𝟏)𝟐 = √𝟑𝟗𝟖.

�� × �� {|𝟏 𝟐𝟒 −𝟓

| ; |𝟐 𝟑−𝟓 𝟏

| ; |𝟑 𝟏𝟏 𝟒

|}, т.е. �� × �� {−𝟏𝟑; 𝟏𝟕; 𝟏𝟏}.

�� ∙ �� = 𝟑 ∙ 𝟏 + 𝟏 ∙ 𝟒 + 𝟐 ∙ (−𝟓) = 𝟕 − 𝟏𝟎 = −𝟑.

Ответ:𝟐𝒂 + 𝟑�� {𝟗; 𝟏𝟒;−𝟏𝟏},|𝟐𝒂 + 𝟑�� | = √𝟑𝟗𝟖, �� × �� {−𝟏𝟑; 𝟏𝟕; 𝟏𝟏}, �� ∙ �� = −𝟑

§2. Прямые и плоскости в пространстве

1. Общее уравнение плоскости.

Уравнение вида 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎 называется общим уравнением плоскости,

где 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫 – числа, не равные нулю одновременно. Вектор �� {𝑨;𝑩; 𝑪} называют

нормальным вектором этой плоскости. Он перпендикулярен данной плоскости.

17

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 𝑴𝟎(𝟐; 𝟑; 𝟏),

перпендикулярно вектору �� {𝟑; 𝟏; 𝟐}. Решение: Пользуясь формулой 𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎, получаем:

𝟑(𝒙 − 𝟐) + (𝒚 − 𝟑) + 𝟐(𝒛 − 𝟏) = 𝟎 или 𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟏𝟏 = 𝟎

Ответ: 𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟏𝟏 = 𝟎.

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим некоторую плоскость, пересекающую координатные оси.

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: 𝒙

𝒂+𝒚

𝒃+𝒛

𝒄= 𝟏.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Даны точки: 𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏); 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐); 𝑪(𝒙𝟑; 𝒚𝟑; 𝒛𝟑). Данные точки не лежат на

одной прямой. Существует единственная плоскость, проходящая через заданные три

точки.

18

Уравнение плоскости: |

𝒙 − 𝒙𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒛 − 𝒛𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏𝒙𝟑 − 𝒙𝟏 𝒚𝟑 − 𝒚𝟏 𝒛𝟑 − 𝒛𝟏

| = 𝟎.

4. Некоторые факты для решения задач.

1. Угол между двумя плоскостями можно найти по формуле:

𝐜𝐨𝐬𝝋 =𝑵𝟏 ∙𝑵𝟐

|𝑵𝟏 |∙|𝑵𝟐 |=

𝑨𝟏∙𝑨𝟐+𝑩𝟏∙𝑩𝟐+𝑪𝟏∙𝑪𝟐

√𝑨𝟏𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟏

𝟐∙√𝑨𝟐𝟐+𝑩𝟐

𝟐+𝑪𝟐𝟐, где 𝑵𝟏 {𝑨𝟏; 𝑩𝟏; 𝑪𝟏}, 𝑵𝟐 {𝑨𝟐; 𝑩𝟐; 𝑪𝟐}

вектора нормали.

2. Условие параллельности плоскостей.

Если плоскости параллельны, то верно соотношение: 𝑨𝟏

𝑨𝟐=𝑩𝟏

𝑩𝟐=𝑪𝟏

𝑪𝟐.

3. Условие перпендикулярности плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то верно соотношение: 𝑨𝟏𝑨𝟐 + 𝑩𝟏𝑩𝟐 +𝑪𝟏𝑪𝟐 = 𝟎.

4. Расстояние от точки до плоскости. Для нахождения расстояния от точки до

плоскости необходимо привести уравнение плоскости к нормальному виду. Для

этого уравнение плоскости умножают на нормирующий множитель:

𝝁 = ±𝟏

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐. Знак 𝝁 противоположен свободному члену уравнения.

Расстояние от точки 𝑴(𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎) до плоскости 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎 находим по

формуле: 𝒅 = |𝝁𝑨𝒙𝟎 + 𝝁𝑩𝒚𝟎 + 𝝁𝑪𝒛𝟎 + 𝝁𝑫|. Пример. Найти расстояние от точки 𝑴𝟎(𝟏; 𝟐; 𝟑) до плоскости 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟖 = 𝟎.

Решение: Найдём нормирующий множитель: 𝝁 =𝟏

√𝟏𝟐+𝟐𝟐+(−𝟐)𝟐=𝟏

𝟑. Нормальное

уравнение плоскости: 𝟏

𝟑𝒙 +

𝟐

𝟑𝒚 −

𝟐

𝟑𝒛 −

𝟖

𝟑= 𝟎.

Итак, имеем: 𝒅 = |𝟏

𝟑∙ 𝟏 +

𝟐

𝟑∙ 𝟐 −

𝟐

𝟑∙ 𝟑 −

𝟖

𝟑| = |−𝟑| = 𝟑.

Ответ: 𝒅 = 𝟑.

5. Общее уравнение прямой.

Прямая может определяться, как линия пересечения двух плоскостей:

{𝑨𝟏𝒙 + 𝑩𝟏𝒚 + 𝑪𝟏𝒛 + 𝑫𝟏 = 𝟎,𝑨𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑪𝟐𝒛 + 𝑫𝟐 = 𝟎.

Это уравнение называется общим уравнением прямой.

6. Каноническое уравнение прямой.

Если дан направляющий вектор прямой: �� {𝒍;𝒎; 𝒏} и точка 𝑴𝟎(𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎),

принадлежащая этой прямой, то уравнение прямой имеет вид: 𝒙−𝒙𝟎

𝒍=𝒚−𝒚𝟎

𝒎=𝒛−𝒛𝟎

𝒏.

7. Уравнение прямой через две заданные точки.

Пусть даны две точки 𝑴𝟏{𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏} и 𝑴𝟐{𝒙𝟐; 𝒚𝟐; 𝒛𝟐}, принадлежащие прямой.

Уравнение примет вид: 𝒙−𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏=

𝒚−𝒚𝟏

𝒚𝟐−𝒚𝟏=

𝒛−𝒛𝟏

𝒛𝟐−𝒛𝟏.

8. Параметрическое уравнение прямой.

Если рассмотреть каноническое уравнение прямой и ввести параметр 𝒕, то уравнение

𝒙−𝒙𝟎



𝒏= 𝒕 можно представить в виде: {

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒍𝒕, 𝒚 = 𝒚𝟎 +𝒎𝒕,𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒏𝒕.

19

9. Угловые соотношения.

Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые: 𝒙−𝒙𝟏

𝒍𝟏=𝒚−𝒚𝟏

𝒎𝟏=𝒛−𝒛𝟏

𝒏𝟏 и 𝒙−𝒙𝟐

𝒍𝟐=𝒚−𝒚𝟐

𝒎𝟐=𝒛−𝒛𝟐

𝒏𝟐.

Угол между прямыми вычисляют по формуле:

𝐜𝐨𝐬𝝋 =𝒍𝟏∙𝒍𝟐+𝒎𝟏∙𝒎𝟐+𝒏𝟏∙𝒏𝟐

√𝒍𝟏𝟐+𝒎𝟏𝟐+𝒏𝟏𝟐∙√𝒍𝟐

𝟐+𝒎𝟐𝟐+𝒏𝟐𝟐.

Условие параллельности прямых. 𝒍𝟏

𝒍𝟐=𝒎𝟏

𝒎𝟐=𝒏𝟏

𝒏𝟐.

Условие перпендикулярности прямых.

𝒍𝟏𝒍𝟐 +𝒎𝟏𝒎𝟐 + 𝒏𝟏𝒏𝟐 = 𝟎.

Расстояние от точки до прямой.

Дана некоторая прямая: 𝒙−𝒙𝟎



𝒏и точка 𝑴𝟏{𝒙𝟏; 𝒚𝟏; 𝒛𝟏}, не лежащая на

данной прямой. Для определения расстояния от данной точки до прямой

используем формулу: 𝑑 =√|𝒚𝟏−𝒚𝟎 𝒛𝟏−𝒛𝟎𝒎 𝒏

|𝟐+|𝒛𝟏−𝒛𝟎 𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒏 𝒍

|𝟐+|𝒙𝟏−𝒙𝟎 𝒚𝟏−𝒚𝟎𝒍 𝒎

|𝟐

√𝒍𝟐+𝒎𝟐+𝒏𝟐.

Условие параллельности прямой и плоскости.

Дана плоскость 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎 и прямая 𝒙−𝒙𝟎



𝒏. Прямая

параллельна плоскости, если: 𝑨𝒍 + 𝑩𝒎+ 𝑪𝒏 = 𝟎.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.




𝒏. Прямая

перпендикулярна плоскости, если: 𝑨

𝒍=

𝑩

𝒎=𝑪

𝒏.

Угол между прямой и плоскостью.




𝒏. Угол между

прямой и плоскостью находим по формуле: 𝐬𝐢𝐧𝝋 =𝑨∙𝒍+𝑩∙𝒎+𝑪∙𝒏

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐∙√𝒍𝟐+𝒎𝟐+𝒏𝟐.

Пример №1. Написать каноническое уравнение прямой, если задано общее

уравнение прямой:

{𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟏 = 𝟎,𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟓𝒛 + 𝟏 = 𝟎.

Решение: Т.к. �� = {|𝑩𝟏 𝑪𝟏𝑩𝟐 𝑪𝟐

| ; |𝑪𝟏 𝑨𝟏𝑪𝟐 𝑨𝟐

| ; |𝑨𝟏 𝑩𝟏𝑨𝟐 𝑩𝟐

|} = {𝒍;𝒎; 𝒏}, то направляющий

вектор прямой имеет координаты: 𝒍 = |𝟐 𝟑𝟏 𝟓

| = 𝟕; 𝒎 = |𝟑 𝟏𝟓 𝟐

| = 𝟏; 𝒏 = |𝟏 𝟐𝟐 𝟏

| = −𝟑, т.е.

�� = {𝟕; 𝟏;−𝟑}. Пусть 𝒙𝟎 = −𝟏, тогда из системы найдём 𝒚𝟎 = 𝟏; 𝒛𝟎 = 𝟎.

Итак, каноническое уравнение прямой: 𝒙+𝟏

𝟕=𝒚−𝟏

𝟏=

𝒛

−𝟑

Ответ:𝒙+𝟏

𝟕=𝒚−𝟏

𝟏=

𝒛

−𝟑.

Пример №2. Найти угол между прямой 𝒙−𝟐

𝟑=𝒚+𝟏

𝟐=𝒛−𝟑

𝟓 и плоскостью

𝒙 − 𝒚 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎.

Решение: �� {𝟏;−𝟏; 𝟏} – вектор нормали, �� = {𝟑; 𝟐; 𝟓} – направляющий вектор

прямой.

Пользуясь формулой: 𝐬𝐢𝐧𝝋 =𝑨∙𝒍+𝑩∙𝒎+𝑪∙𝒏

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐∙√𝒍𝟐+𝒎𝟐+𝒏𝟐, получим:

20

𝐬𝐢𝐧𝝋 =𝟏∙𝟑−𝟏∙𝟐+𝟏∙𝟓

√𝟏𝟐+(−𝟏)𝟐+𝟏𝟐∙√𝟑𝟐+𝟐𝟐+𝟓𝟐=

𝟔

√𝟏𝟏𝟒

𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟔

√𝟏𝟏𝟒.

Ответ: 𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟔

√𝟏𝟏𝟒.

§3. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка это поверхности, которые описываются в

прямоугольной системе координат алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат

определяется уравнением: 𝒙𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐+𝒛𝟐

𝒄𝟐= 𝟏. Величины a, b, cназываются полуосями

эллипсоида. Если a=b=c, то эллипсоид является сферой.

2. Однополостный гиперболоид.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной

системе координат определяется уравнением: 𝒙𝟐

𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐−𝒛𝟐

𝒄𝟐= 𝟏.

21

3. Двухполостный гиперболоид.

Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной


𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐−𝒛𝟐

𝒄𝟐= −𝟏.

Величины 𝒂, 𝒃, 𝒄 называются полуосями двухполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением: 𝒙𝟐

𝒑+𝒚𝟐

𝒒= 𝟐𝒛.

22

Точка (𝟎; 𝟎; 𝟎) называется вершиной эллиптического параболоида, а числа 𝒑 и 𝒒

называются его параметрами.

5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением: 𝒙𝟐

𝒑−𝒚𝟐

𝒒= 𝟐𝒛.

Точка (𝟎; 𝟎; 𝟎) называется вершиной гиперболического параболоида, а числа 𝒑 и 𝒒

называется его параметрами.

23

6. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в прямоугольной


𝒂𝟐+𝒚𝟐

𝒃𝟐−𝒛𝟐

𝒄𝟐= 𝟎. Прямые, из которых

составлен конус, называется его образующими; точка (𝟎; 𝟎; 𝟎), через которую они

проходят, называется вершиной конуса.



1) Даны вектора: �� {𝟏; 𝟎; 𝟐} и �� {−𝟏; 𝟐; 𝟑}. Найти: 𝒂 + �� ;�� ∙ �� ; �� × �� ; |�� |. 2) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 𝑨(𝟏; 𝟐; 𝟑); 𝑩(−𝟏;𝟑; 𝟒); 𝑪(𝟑; 𝟓;−𝟑).

3) Найти расстояние от точки 𝑴𝟎(𝟑; 𝟐; 𝟎) до плоскости 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟏 = 𝟎.

4) Записать уравнение прямой 𝒙−𝟏

𝟐=𝒚+𝟓

𝟒=𝒛

𝟑 в параметрическом виде.

5) Найти расстояние от точки 𝑲(𝟑; 𝟏; 𝟒) до прямой 𝒙

𝟐=𝒚+𝟓

𝟑=𝒛−𝟏

𝟓.

6) Найти угол между прямыми: 𝒙+𝟑

𝟐=𝒚−𝟓

𝟑=𝒛−𝟏

𝟎 и

{𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎,𝒙 + 𝒚 + 𝟓𝒛 − 𝟕 = 𝟎.

7) Перпендикулярны ли плоскости: 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟏 = 𝟎 и −𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎?

8) Определить вид данной линии: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏.

24

Раздел 2. Теория пределов

Тема 2.1. Вычисление пределов §1. Раскрытие неопределённостей

Число 𝑨 называется пределом функции 𝒇(𝒙) в точке 𝒙 = 𝒙𝟎, если для любой

сходящейся к 𝒙𝟎 последовательности 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, …, значений аргумента 𝒙, отличных от

𝒙𝟎, соответствующая последовательность 𝒇(𝒙𝟏), 𝒇(𝒙𝟐), … , 𝒇(𝒙𝒏),…, значений функции

сходится к числу 𝑨.

Символически это записывается так: A)x(flim0xx

. Функция 𝒇(𝒙) может иметь в

точке 𝒙𝟎 только один предел.

Число 𝑨 называется правым (левым) пределом функции 𝒇(𝒙) в точке 𝒙 = 𝒙𝟎, если

для любой сходящейся к 𝒙𝟎 последовательности 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, …, элементы 𝒙𝒏 которой

больше (меньше) 𝒙𝟎, соответствующая последовательность 𝒇(𝒙𝟏), 𝒇(𝒙𝟐),… , 𝒇(𝒙𝒏), … , сходится к числу 𝑨.

Символически это записывается так: A)x(flim0xx

( A)x(flim0xx

).

Например, рассмотрим функцию: 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐠𝐧 𝒙 = {+𝟏, если 𝒙 > 𝟎𝟎, если 𝒙 = 𝟎 −𝟏, если 𝒙 < 𝟎

.

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶𝒙𝟎+

𝐬𝐠𝐧 𝒙 = 𝟏, 𝐥𝐢𝐦𝒙⟶𝒙𝟎−

𝐬𝐠𝐧 𝒙 = −𝟏.

Число 𝑨 называется пределом функции 𝒇(𝒙) при 𝒙 ⟶ ∞, если для любой бесконечно

большой последовательности 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, …, значений аргумента соответствующая

последовательность 𝒇(𝒙𝟏), 𝒇(𝒙𝟐),… , 𝒇(𝒙𝒏),… , значений функции сходится к числу 𝑨.

Символически это записывается так: A)(lim

xfx

.

Теоремы о пределах функций.

Теорема 1: Если A)x(flim0xx

и B)x(glim0xx

, то BA))x(g)x(f(lim0xx

.


и B)x(glim0xx

, то BA))x(g)x(f(lim0xx

.


и B)x(glim0xx

, тоB

A)

)x(g

)x(f(lim

0xx

.


и С=const, то AC))x(fC(lim0xx

.

Пример: 1)1xx(lim 2

1x

и 4)1x3x2(lim 2

1x

, то 4

1

4

1xx

1x3x2lim

2

2

1x

.

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление пределов.

1. Непосредственное вычисление.

lim𝑥⟶2

(3𝑥 − 1

2𝑥 + 3) = lim

𝑥⟶2(3 · 2 − 1

2 · 2 + 3) =

5

7

Достаточно часто при вычислении пределов возникают ситуации

неопределенностей. Рассмотрим некоторые приёмы вычисления пределов при

неопределённостях вида ⟨𝟎

𝟎⟩ и ⟨

∞

∞⟩

25

2. Разложение на множители.

lim𝑥⟶1

(𝑥2 + 2𝑥 − 3

2𝑥2 + 3𝑥 − 5) = ⟨

0

0⟩ = lim

𝑥⟶1((𝑥 − 1) · (𝑥 + 3)

2(𝑥 − 0,5) · (𝑥 − 1)) = lim

𝑥⟶1(

𝑥 − 3

2(𝑥 − 0,5)) =

= lim𝑥⟶1

(𝑥 − 3

2𝑥 − 1) =

1 − 3

2 · 1 − 1= −

2

−1= 2

lim𝑥⟶2

(𝑥 − 2

√2𝑥 − 2) = ⟨

0

0⟩ = lim

𝑥⟶2((𝑥 − 2) · (√2𝑥 + 2)

(√2𝑥 − 2) · (√2𝑥 + 2)) =

= lim𝑥⟶2

((𝑥 − 2) · (√2𝑥 + 2)

2 · (√2𝑥 + 2)) = lim

𝑥⟶1(√2𝑥 + 2

2) =

4

2= 2

3. Деление на многочлен наивысшей степени.

а)

lim𝑥⟶∞

(3𝑥2 + 4𝑥 − 7

2𝑥2 − 3𝑥 + 5) = ⟨

∞

∞⟩ = lim

𝑥⟶∞(3 +

4

𝑥−

7

𝑥2

2 −3

𝑥+

5

𝑥2

) =3

2= 1,5

б)

lim𝑥⟶∞

(𝑥3 + 1

2𝑥2 − 1) = ⟨

∞

∞⟩ = lim

𝑥⟶∞(1 +

1

𝑥3

2

𝑥−

1

𝑥3

) = ⟨1

0⟩ = ∞

в)

lim𝑥⟶∞

(𝑥2 + 1

𝑥5 − 1) = ⟨

∞

∞⟩ = lim

𝑥⟶∞(

1

𝑥3+

1

𝑥5

1 −1

𝑥5

) = ⟨0

1⟩ = 0

При возникновении неопределённостей вида: ⟨∞ ∙ 𝟎⟩ выполняют алгебраические

преобразования, приводя пример к неопределённостям ⟨𝟎

𝟎⟩ или ⟨

∞

∞⟩.

Пример:

lim𝑥⟶0

(𝑥 · ctg 3𝑥) = ⟨0 · ∞⟩ = lim𝑥⟶0

(𝑥 · ctg 3𝑥) = lim𝑥⟶0

(𝑥 ·cos 3𝑥

sin 3𝑥) = ⟨cos 0 = 1⟩ =

= lim𝑥⟶0

(𝑥

sin 3𝑥) = lim

𝑥⟶0

𝑥

3𝑥=1

3

§2. Замечательные пределы

1. 1x

xsinlim

0x

(первый замечательный предел)

С помощью первого замечательного предела вычисляются многие пределы,

содержащие тригонометрические функции. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1: Найти x6sin

x8sinlim

0x.

Решение:

3

11

3

4

6

8lim

x6

x8lim

x6

x6sinx6

x8

x8sinx8

lim0

0

x6sin

x8sinlim

0x0x0x0x

.

26

Пример №2: Найти x

xcos1lim

0x

.

Решение:

02

xsinlim1

2

xsinlim

2

x2

xsin

lim2

xsin

2

x2

xsin

limx

2

xsin2

lim0

0

x

xcos1lim

0x0x0x0x

2

0x0x

.

Пример №3: Найти

x7tg

x8tglim

0x.

Решение:

7

8

7

8lim

x7

x8lim

x7

x7sinx7

x8

x8sinx8

limx7sin

x8sinlim

0

0

x7tg

x8tglim

0x0x0x0x0x

2. ex

11lim

x

x

(второй замечательный предел)

Приведём пример на применение данного предела.

Пример №1: Найти

1x

x 1x3

5x3lim

Решение:

lim𝑥⟶∞

(3𝑥 + 5

3𝑥 + 1)𝑥+1

= ⟨(∞

∞)∞

⟩ = lim𝑥⟶∞

(3𝑥 + 1 + 4

3𝑥 + 1)𝑥+1

= lim𝑥⟶∞

(1 +4

3𝑥 + 1)𝑥+1

=

= lim𝑥⟶∞

(

(1 +1

3𝑥+1

4

)

3𝑥+1

4

)

4

3

(1 +1

3𝑥+1

4

)

2

3

= 𝑒4

3 · 1 = 𝑒4

3

Пример №2: Найти 2x

2

2xx25lim

Решение:

lim𝑥⟶2

(5 + 2𝑥)2

𝑥+2 = ⟨2

𝑥 + 2= 𝑡; 𝑡 ⟶ ∞⟩ = lim

𝑥⟶∞(5 + 2 (

2

𝑡− 2))

𝑡

= lim𝑥⟶∞

(1 +4

𝑡)𝑡

=

= lim𝑥⟶∞

((1 +1𝑡

4

)

𝑡

4

)

4

= 𝑒4

В более сложных ситуациях при вычислении пределов часто применяют правило

Лопиталя:

При неопределённостях вида 𝟎

𝟎 или

∞

∞ выполняется равенство:

xg

xflim

xg

xflim

0x0x

Пример:

x2sin

x2cos2lim

xsinxcos2

x2cos2lim

0

0

1xcos

x2sinlim

0x0x20x

27



Не пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:

а) ;x3xlim 2

x

е)

x3

5x31xlim

3x

;

б) ;x3sin

x4tglim

0x ж)

1x2x3

1xxxlim

24

34

x

;

в) ;x

x3arcsinlim

0x з)

2x5x3

2x4x3lim

2

2

3

1x

;

г) ;20x2

10x51x5lim

2

10x

и)

x5arctg

x3cos1lim

2

2

0x

;

д) ;x25lim 2x

x2

2x

к)

3x5

0x 3x5

4x5lim

28

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Тема 3.1. Работа с производными §1. Производные функций, правила работы с производными, производные сложной

функции

Производной функции 𝒇(𝒙) называется предел разностного отношения приращения

функции к приращению аргумента, т.е. h

)x(f)hx(flim)x(f

0h

. Если рассмотреть

график некоторой функции, то производная функции 𝒇(𝒙) показывает скорость изменения

поведения функции.

Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных функции с помощью

определения производной.

Пример №1: Найти 𝒇′(𝒙) функции 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑.

Решение: 11limh

hlim

h

)3x(3)hx(lim)x(f

0h0h0h

.

Пример №2: Найти 𝒇′(𝒙) функции 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓.

Решение:

.3x2)3hx2(limh

)3hx2(hlim

h

h3hxh2lim

h

5x3x5h3x3hxh2xlim

h

)5x3x(5)hx(3)hx(lim)x(f

0h0h

2

0h

222

0h

22

0h

Однако при вычислении производных более сложных функций трудно использовать

определение производной.

Мы будем использовать основные формулы производных и правила

дифференцирования.

29

Дифференцированием называется операция нахождения производной функции.

Приведём основные формулы и правила дифференцирования.

Основные формулы для вычисления производных функций

№ Формула

1 𝒄′ = 𝟎, где 𝒄 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 2 𝒙′ = 𝟏

3 (𝒙𝒏)′ = 𝒏 · 𝒙𝒏−𝟏

4 (𝒖 ± 𝒗)′ = 𝒖′ ± 𝒗′ где 𝒖, 𝒗 – некоторые функции

от 𝒙

5 (𝒖 · 𝒗)′ = 𝒖′ · 𝒗 + 𝒖 · 𝒗′

6 (𝒖

𝒗)′

=𝒖′ · 𝒗 + 𝒖 · 𝒗′

𝒗𝟐

7 (𝒄 · 𝒇(𝒙))′= 𝒄 · 𝒇′(𝒙), где 𝒄 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

8 (𝒆𝒙)′ = 𝒆𝒙

9 (𝒂𝒙)′ = 𝒂𝒙 · 𝐥𝐧 𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏

10 (𝐥𝐧 𝒙)′ =𝟏

𝒙, 𝒙 > 𝟎

11 (𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙)′=

𝟏

𝒙 · 𝐥𝐧 𝒂, 𝒙 > 𝟎, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏

12 (𝐬𝐢𝐧𝒙)′ = 𝐜𝐨𝐬𝒙

13 (𝐜𝐨𝐬𝒙)′ = −𝐬𝐢𝐧𝒙

14 (𝐭𝐠𝒙)′ =𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙

15 (𝐜𝐭𝐠 𝒙)′ = −𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙

16 (𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧𝒙)′ =𝟏

√𝟏 − 𝒙𝟐

17 (𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬𝒙)′ = −𝟏

√𝟏 − 𝒙𝟐

18 (𝐚𝐫𝐜𝒕𝒒𝒙)′ =𝟏

𝟏+ 𝒙𝟐

19 (𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐪𝒙)′ = −𝟏

𝟏+ 𝒙𝟐

20 (𝑭(𝒇(𝒙)))

′= 𝑭′ · 𝒇′(𝒙) – дифференцирование

сложной функции

Дифференциалом функции называется произведение производной функции на

приращение аргумента, т.е. 𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇′(𝒙) · 𝒅𝒙.

Пример №1: Найти 𝒇′(𝒙) функции 𝒇′(𝒙) = 𝒙 · 𝒆𝒙 + 𝟓 · 𝒙𝟔 −𝟑𝒙

𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝟗.

Решение:

𝑓′(𝑥) = (𝑥 · 𝑒𝑥)′ + (5 · 𝑥6)′ − (3𝑥

sin 𝑥)

′

+ (9)′ = 1 · 𝑒𝑥 + 𝑥 · 𝑒𝑥 + 5 · 6𝑥5 −

−3𝑥 ln 3 · sin 𝑥 − 3𝑥 ln 3 · cos 𝑥

sin2 𝑥= 𝑒𝑥(1 + 𝑥) + 30𝑥5 −

3𝑥(ln 3 · sin 𝑥 − ln 3 · cos 𝑥)

sin2 𝑥

30

Пример №2: Найти 𝒇′(𝒙) функции 𝒇(𝒙) = √𝐜𝐨𝐬𝟑(𝟓𝒙 − 𝟔) +√𝒙−𝒙

𝟏𝟓

𝒙𝟑.

Решение: Дифференцировать данную функцию будем, пользуясь правилом

дифференцирования сложной функции, и выполняя алгебраические преобразования для

упрощения поиска производной.

𝑓′(𝑥) = ((cos(5𝑥 − 6))3

2)′

+ (𝑥−2,5 − 𝑥−2,8)′ =3

2(cos(5𝑥 − 6))

1

2 · (− sin(5𝑥 − 6)) · 5 −

−2,5𝑥−3,5 + 2,8𝑥−3,8 = −7,5√cos(5𝑥 − 6) · sin(5𝑥 − 6) −2,5

𝑥3,5+2,8

𝑥3,8

Пример №3: Найти 𝒇′(𝒙) функции 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒙+𝟏.

Решение: Прологарифмируем данную функцию, а затем продифференцируем её.

ln 𝑦 = ln(𝑥𝑥+1) = (𝑥 + 1) ln 𝑥 Дифференцируя получим: 1

𝑦· 𝑦′ = 𝑙𝑛 𝑥 +

𝑥+1

𝑥, т.е.

𝑦′ = 𝑙𝑛 𝑥 +𝑥+1

𝑥· 𝑥𝑥+1.

Дифференцирование неявной функции.

В случае дифференцирования неявной функции необходимо дифференцировать обе

части равенства, считая 𝒚, как функцию от 𝒙. Разрешив уравнение относительно 𝒚′, найдём искомую функцию.

Пример: Найти 𝒚′ функции в неявном виде: 𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝑙𝑛(𝑥𝑦) + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎.

Решение: 2𝑥𝑦2 + 𝑥22𝑦𝑦′ −1

𝑥𝑦· (𝑦 + 𝑥𝑦′) + 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0 или

𝑦′ (2𝑥𝑦2 −1

𝑦+ 2𝑦) = −2𝑥𝑦2 +

1

𝑥− 2𝑥, т.е. 𝑦′ =

1

𝑥−2𝑥𝑦2−2𝑥

2𝑥2𝑦−1

𝑦+2𝑦

.

Дифференцирование функции параметрического вида.

Функция задана системой равенств: {𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒕𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒕

.

Найдём дифференциалы 𝒅𝒙 и 𝒅𝒚. 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕, 𝒅𝒚 = −𝒔𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕, тогда имеем:

𝒚′ =𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝐬𝐢𝐧 𝒕𝒅𝒕

𝐜𝐨𝐬 𝒕𝒅𝒕= − 𝐭𝐠 𝒕



Найти производные данных функций:

а) 𝒚 = √𝒙 +𝟏

𝒙− 𝟕; е) 𝒚 = (𝒙 − 𝟏)𝟑𝒙;

б) 𝒚 =𝟓√𝒙−𝟑+𝟑𝒆𝒙

𝟒; ж) {

𝒙 = 𝒕𝟐 𝒚 = 𝟑𝒕 − 𝟓

;

в) 𝒚 = 𝐥𝐧 √𝟒

𝟐𝒙

𝟓− 𝒆𝟓𝒙;

з) 𝒚 𝐬𝐢𝐧𝒙 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚);

г) 𝒚 = 𝟓𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝟕𝒙; и) 𝒙𝒚 − 𝟖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒚.

31

Тема 3.2. Исследование функции и построение графиков §1. Исследование непрерывных функций с помощью производных, нахождение

экстремумов, точек перегиба, построение графиков.

1. Стационарные и критические точки.

Точки 𝒙𝟎 называются стационарными, если в них 𝒇′(𝒙𝟎) = 𝟎. Точки 𝒙𝟎 называются

критическими, если они или стационарные или в них функция не имеет смысла, т.е. не

определена.

Пример №1: Найти стационарные точки функции 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟗.

Решение: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 10𝑥

Решим уравнение: 3𝑥2 + 10𝑥 = 0.

𝑥(3𝑥 + 10) = 0

𝑥 = 0 или 3𝑥 + 10 = 0

𝑥 = 0 или 𝑥 = −10

3

Ответ: 𝑥 = 0; 𝑥 = −10

3.

Пример№2: Найти критические точки функции 𝒇(𝒙) = 𝒙 +𝟒

𝒙−𝟑.

Решение: 𝑓′(𝑥) = 1 −4

(𝑥−3)2

Решим уравнение: 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 4 = 0.

𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0

𝑥1 = 1; 𝑥2 = 5 – стационарные точки. В точке 𝑥 = 3 функция не определена.

Ответ:1; 3; 5 – критические точки.

2. Точки экстремума, экстремумы функции.

Теорема: Если функция 𝒇(𝒙) дифференцируема и определена на некотором

интервале (𝒂; 𝒃) и 𝒇′(𝒙) > 𝟎, то на этом интервале функция возрастает.

Если функция 𝒇(𝒙) дифференцируема и определена на некотором интервале (𝒂; 𝒃) и

𝒇′(𝒙) < 𝟎, то на этом интервале функция убывает.

Точка 𝒙𝟎 называется точкой максимума, если при переходе через неё производная

меняет знак с «+» на «–».

Значение 𝒚(𝒙𝟎) называется максимумом функции.

Точка 𝒙𝟎 называется точкой минимума, если при переходе через неё производная

меняет знак с «–» на «+».

Значение 𝒚(𝒙𝟎) называется минимумом функции.

32

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Минимум

функции и максимум функции называют экстремумом функции.

Пример: Найти интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремумы

функции 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐.

Решение: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥

Решим уравнение: 4𝑥3 − 2𝑥 = 0.

2𝑥(2𝑥2 − 1) = 0

𝑥1 = 0; 𝑥2,3 = ±1

√2 – стационарные точки.

Ответ: При 𝑥 ∈ (−∞;−1

√2)⋃ (0;

1

√2) функция убывает; при

𝑥𝜖 (−1

√2; 0)⋃ (

1

√2; +∞)функция возрастает;𝑥 = ±

1

√2 – точки минимума, 𝑥 = 0 – точка

максимума;𝑦 = −1

4– минимум функции, 𝑦 = 0– максимум функции.

3. Точки перегиба функции.

Производная от производной функции называется второй производной.

Обозначается: 𝒚′′.

Пример: Найти вторую производную функции: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 − √𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟓.

Решение:

𝑓′(𝑥) = 12𝑥3 − 0,5𝑥−0,5 + 2𝑥

𝑓′′(𝑥) = 36𝑥2 + 0,25𝑥−1,5 + 2

Ответ:𝑓′′(𝑥) = 36𝑥2 + 0,25𝑥−1,5 + 2

Говорят, что график функции 𝒇(𝒙) имеет на (𝒂; 𝒃) выпуклость, направленную вниз

(вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на

(𝒂; 𝒃).

33

Теорема: Если функция 𝒇(𝒙) имеет на интервале (𝒂; 𝒃) конечную 𝒇′′(𝒙) и 𝒇′′(𝒙) ≥ 𝟎

(𝒇′′(𝒙) ≤ 𝟎) во всех точках (𝒂; 𝒃), то график функции 𝒇(𝒙) имеет выпуклость,

направленную вниз (вверх) на (𝒂; 𝒃).

34

4. Асимптоты графика функции.

Прямая линия называется асимптотой для кривой 𝒚 = 𝒇(𝒙), если расстояние 𝒅 от

точки 𝑴, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки 𝑴 от

начала координат в бесконечность. Существует три вида асимптот: вертикальные,

горизонтальные и наклонные.

Прямая 𝒙 = 𝒙𝟎 называется вертикальной асимптотой графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙), если хотя бы одно из предельных значений )x(flim

0xx или )x(flim

0xx равно +∞ или

−∞.

Если A)x(flimx

,то прямая 𝒚 = 𝑨 называется горизонтальной асимптотой

графика 𝒚 = 𝒇(𝒙) при 𝒙 → +∞ (𝒙 → −∞).

Если существуют такие числа 𝒌 и 𝒃, что kx

)x(flimx

и

b)kx)x(f(limx

, то прямая 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒃 называется наклонной асимптотой

графика 𝒚 = 𝒇(𝒙) при 𝒙 → +∞ (𝒙 → −∞).

Пример: Найти асимптоты для графика функции 𝒚 =𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐

𝒙.

Решение:

1. 𝑥 = 0 – точка разрыва второго рода. При 𝑥 → 0 − 𝑦 → −∞; при 𝑥 → 0 + 𝑦 → +∞.

Итак, 𝑥 = 0 – вертикальная асимптота.

2. Так как

)

x

2x3x(lim

2

x,то горизонтальных асимптот нет.

3. Найдём наклонные асимптоты:

1)x

2

x

31(lim

x

)x(flimk

2xx

3xx

2x3xlim)kx)x(f(limb

2

xx

Значит, 𝑦 = 𝑥 – 3 – наклонная асимптота.

5. Исследование функции, построение графиков функций.

Пример №1: Исследовать функцию 𝒚 =𝒙𝟒+𝒙𝟐+𝟐

𝒙 и построить график.

Решение:

1. Область определения функции 𝑥 ≠ 0.

2. Найдём стационарные точки.

𝑦′ =(4𝑥3 + 2𝑥)𝑥 − (𝑥4 + 𝑥2 + 2)

𝑥2=3𝑥4 + 𝑥2 − 2

𝑥2

3𝑥4 + 𝑥2 − 2

𝑥2= 0 ⟺ {3𝑥

4 + 𝑥2 − 2 = 0𝑥 ≠ 0

⟺ 𝑥 = ±√2

3

Итак, стационарные точки: 𝑥 = ±√2

3

Критические точки: 𝑥 = ±√2

3; 𝑥 = 0

3. Найдём точки перегиба.

𝑦′ =(12𝑥3 + 2𝑥)𝑥2 − (3𝑥4 + 𝑥2 − 2)2𝑥

𝑥4=6𝑥5 + 4𝑥

𝑥4=6𝑥4 + 4

𝑥3

35

6𝑥4 + 4

𝑥3⟺ {6𝑥

4 + 4 = 0𝑥 ≠ 0

Корней нет, значит, нет точек перегиба.

4. Исследуем функцию на монотонность, точки экстремума, выпуклость.

5. Найдём асимптоты графика функции.

Так как

)

x

2xx(lim

24

x, то горизонтальных асимптот нет.

Так как, ,)x

2xx(lim

24

0x

то 𝑥 = 0 является вертикальной асимптотой.

Так как,

)x

21x(lim

x

)x(flimk

2

2

xxто наклонных асимптот

графика функции нет.

6. Построим график функции.

36

Пример №2: Исследовать функцию 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 и построить график.

Решение:

1. Область определения функции 𝑥 ∈ 𝑅.

2. Найдём стационарные точки.

𝑦′ = 4𝑥3 − 3𝑥2

𝑥2(4𝑥 − 3) = 0 ⟺ [𝑥 = 0

𝑥 =3

4

Итак, стационарные точки: 𝑥 = 0; 𝑥 =3

4.

3. Найдём точки перегиба.

𝑦′′ = 12𝑥2 − 6𝑥

𝑥2(4𝑥 − 3) = 0 ⟺ [𝑥 = 0

𝑥 =1

2

Значит, 𝑥 = 0; 𝑥 =1

2 – возможные точки перегиба.

4. Исследуем функцию на монотонность, точки экстремума, выпуклость.

Значит, 𝑥 = 0; 𝑥 =1

2 – точки перегиба. 𝑥 =

3

4 – точки минимума.

5. Найдём асимптоты графика функции.

Так как

)xx(lim 34

x, то горизонтальных асимптот нет.

Вертикальных асимптот нет.

Так как, ,)xx(limx

)x(flimk 23

xx

то наклонных асимптот

графика функции нет.

6. Построим график функции.

37

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Рассмотрим график некоторой функции y=f(x). Анализируя поведение функции,

можем сделать вывод о наибольшем или наименьшем значении функции. Очевидно, что

наибольшее или наименьшее значение достигается или на концах отрезка или в точках

экстремума.

𝒇(𝒄) – наименьшее значение функции;

𝒇(𝒃) – наибольшее значение функции.

Итак, выработаем схему решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего

значения функции.

Алгоритм №1

1) Найти значения функции на концах отрезка – 𝒇(𝒂) и 𝒇(𝒃). 2) Найти стационарные точки и значения функции в тех точках c, которые

принадлежат указанному отрезку – 𝒇(𝒄), где 𝒄 ∈ [𝒂; 𝒃]. 3) Сравнить 𝒇(𝒂), 𝒇(𝒃), 𝒇(𝒄), и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения

функции.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟑 на

отрезке [−𝟏; 𝟑]. Решение:

1. 𝑓(−1) = −1; 𝑓(3) = 87. 2. Найдём стационарные точки.

𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥

2𝑥(2𝑥2 + 1) = 0

𝑥 = 0

0 ∈ [−1; 3]. 𝑓(0) = −3.

3. 𝑓(0) = −3 – наименьшее значение функции,

𝑓(3) = 87 – наибольшее значение функции.

При решении текстовых задач на наибольшее или наименьшее значения функции

используем алгоритм №2.

38

Алгоритм №2

1) Составить функцию для исследования.

2) Преобразовать её в функцию от одной неизвестной.

3) Если возможно, задать пределы изменения неизвестной.

4) Обратиться к алгоритму №1.

Пример: Найти точку на параболе 𝒚 = 𝒙𝟐, ближайшую к точке 𝑨(𝟑; 𝟎) при условии

𝒙 > 𝟎.

Решение:

1. Расстояние от точки 𝑀(𝑥; 𝑦), лежащей на параболе 𝑦 = 𝑥2, до точки 𝐴(3; 0) является искомой функцией.

𝑑 = √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 – функция для исследования.

2. Так как 𝑦 = 𝑥2, то 𝑑 = √(𝑥 − 3)2 + 𝑥4 – функция для исследования.

3. По условию 𝑥 > 0.

4. а) 𝑑(0) = √(−3)2 = 3;

б) 𝑑′(𝑥) =1

2((𝑥 − 3)2 + 𝑥4)−

1

2(2(𝑥 − 3) + 4𝑥3) =𝑥−3+2𝑥3

√(𝑥−3)2+𝑥4=

2𝑥3+𝑥−3

√(𝑥−3)2+𝑥4

2𝑥3 + 𝑥 − 3

√(𝑥 − 3)2 + 𝑥4= 0 ⟺ 2𝑥3 + 𝑥 − 3 = 0 ⟺ (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 2𝑥 + 3) = 0

𝑥 = 1 ∈ (0;∞)

в) 𝑑(1) = √(−2)2 + 1 = √5

𝑑(1) = √5 – наименьшее значение.

Итак, 𝑥 = 1. Значит, 𝑦 = 1, т.е. 𝑀(1; 1) – искомая точка.

Ответ: 𝑀(1; 1) – искомая точка.



1) Найти точки экстремума и экстремумы функции:

а) 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 + 7 б) 𝑦 =(𝑥−5)3

(𝑥−1)2

в) 𝑦 =ln𝑥

𝑥

г) 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥

2) Исследовать функцию на монотонность и выпуклость:

а) 𝑦 = 𝑥4𝑥3 + 𝑥2 − 7 б) 𝑦 =𝑥3

(𝑥−1)2

3) Исследовать функцию и построить график:

а) 𝑦 = 𝑥3(𝑥 − 1)2 б) 𝑦 =𝑥3

𝑥2−1

в) 𝑦 =𝑥

𝑥−3

г) 𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒𝑥

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) 𝑦 = 𝑥33𝑥2 + 3 на отрезке [−2; 4];

б) 𝑦 = 3𝑥4 + 8𝑥3 − 18𝑥2 + 4 на отрезке [−4; 2].

5) Решить задачу: требуется изготовить коническую воронку с образующей 𝒎 = 𝟐𝟎

см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

39

Контрольная работа №1

по теме: «Исследование непрерывных функций с помощью производных».

1) Найти критические точки функции: 𝑦 =√𝑥−1

𝑥

2) Найти точки экстремума функции: 𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2

3) Найти асимптоты графика функции: 𝑦 =𝑥+2

𝑥

4) Исследовать функцию и построить её график: 𝑦 =ln 𝑥

√𝑥

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 𝑦 =𝑥4

𝑥3−1 на отрезке [−2; 2].

40

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1. Неопределённые интегралы §1. Основные понятия

1. Неопределённый интеграл Римана.

Определение. Если функция 𝑭(𝒙) – первообразная для функции 𝒇(𝒙), то множество

функций вида: 𝑭(𝒙) + 𝑪, где 𝑪 – произвольная постоянная, называется неопределённым

интегралом от функции 𝒇(𝒙) и обозначается символом

∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪

Функция 𝒇(𝒙) называется подынтегральной функцией, 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 – подынтегральным

выражением, а переменная 𝒙 – переменной интегрирования. Отыскание неопределённого

интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием.

Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Для проверки правильности

интегрирования, достаточно продифференцировать результат и получить при этом

подынтегральную функцию.

Примеры:

∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶, так как (𝑥 + 𝐶)′ = 1

∫𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶, так как (

𝑥3

3+ 𝐶)

′

= 𝑥2

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶, так как (− cos 𝑥 + 𝐶)′ = sin 𝑥.

2. Основные свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙)′ = 𝒇(𝒙) 2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой

функции и произвольной постоянной, т.е. ∫𝒅𝑭(𝒙) = 𝑭(𝒙) + 𝑪.

Дифференциалом функции 𝒇(𝒙) называется произведение производной функции

𝒇(𝒙) на приращение аргумента 𝒙, т.е. 𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙.

3. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т.е., если

𝑪 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕, то ∫𝑪𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑪∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙.

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен

алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

∫(𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙))𝒅𝒙 = ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫𝒈(𝒙)𝒅𝒙.

3. Таблица основных интегралов.

Приведём таблицу основных интегралов. Справедливость формул легко проверить

дифференцированием.

1. ∫𝑪𝒅𝒙 = 𝑪𝒙 + 𝑪𝟏

2. ∫𝒙𝒏 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪, (𝒏 ≠ −𝟏)

3. ∫𝒅𝒙

𝒙= 𝐥𝐧|𝒙| + 𝑪

4. ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

5. ∫𝒂𝒙 𝒅𝒙 =𝒂𝒙

𝐥𝐧𝒂+ 𝑪, (𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏)

6. ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒙𝒅𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪

7. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒅𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪

41

8. ∫𝒅𝒙

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙= 𝐭𝐠𝒙 + 𝑪

9. ∫𝒅𝒙

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙= −𝐜𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪

10. ∫𝒅𝒙

𝟏+𝒙𝟐= 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪

11. ∫−𝒅𝒙

𝟏+𝒙𝟐= 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪

12. ∫𝒅𝒙

√𝟏−𝒙𝟐= 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪

13. ∫𝒅𝒙

−√𝟏−𝒙𝟐= 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪

14. ∫𝒅𝒙

𝒙𝟐−𝒂𝟐=

𝟏

𝟐𝒂𝐥𝐧 |

𝒙−𝒂

𝒙+𝒂| + 𝑪, (𝒂 ≠ 𝟎)

15. ∫𝒅𝒙

√𝒙𝟐+𝒌= 𝐥𝐧|𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝒌| + 𝑪

16. ∫𝒅𝒙

𝒙𝟐+𝒂𝟐=𝟏

𝒂𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠

𝒙

𝒂+ 𝑪

17. ∫𝒅𝒙

√𝒂𝟐−𝒙𝟐= 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧

𝒙

𝒂+ 𝑪

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

§2. Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование.

Вычисление интегралов путём непосредственного использования таблицы

простейших интегралов и основных свойств называется непосредственным

интегрированием. Рассмотрим некоторые примеры:

Пример №1:

∫𝑥 − 1

𝑥𝑑𝑥 = ∫(1 −

1

𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑥 − ∫

𝑑𝑥

𝑥= 𝑥 − ln|𝑥| + 𝐶

Пример №2:

∫(3 sin 𝑥 + 2 −7

1 + 𝑥2) 𝑑𝑥 = ∫3 sin 𝑥 𝑑𝑥 + ∫2𝑑𝑥 − ∫

7𝑑𝑥

1 + 𝑥2=

= 3∫sin 𝑥 𝑑𝑥 + 2∫𝑑𝑥 − 7∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2= −3 cos 𝑥 + 2𝑥 − 7 arctg 𝑥 + 𝐶



Вычислить:

1. ;2 3dxx

2. ;)5( 4 dxxx

3. ;)1( 22 dxx

4. ;dxx

42

5. ;1

2

5

dxx

xx

6. ;5 2

dxx

xx

7. ;2sin xdx

8. ;)2

cos2

(sin 2 dxxx

9. ;4

52 x

dx

10. ;sin 2 xdx

11. ;cos 2 xdx

12. .2 xdxtg

2. Метод подстановки.

Введение новой переменной часто помогает свести данный интеграл к табличному,

т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом

подстановки или методом замены переменной. Применяя данный метод, необходимо

помнить понятие дифференциала функции. Напомним это определение:

Дифференциалом функции 𝒇(𝒙) называется произведение производной функции f(x)

на приращение аргумента x, т.е. 𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙.

Например,

.cos)(sin

;3)13(

;2)( 2

xdxxd

dxxd

xdxxd

Разберём несколько примеров интегрирования методом подстановки:

Пример №1:

;3

coscos

3)1(

cos)(cos)cos1()cos(sinsinsinsin

3322

2223

Cx

xCt

tdttdtdtt

txxdxxdxxdxxxdx

Пример №2:

;1ln2

1ln

2

1

2

11

1

)1(

2

1

)1(2

2

1

22

2

2

22CxCt

t

dttx

x

xd

x

xdx

x

xdx

Пример №3:

;355

2

5

2

2

15

1

5

1

5

135

355

)35(

355

5

35

2

1

2

1

CxCt

Ct

dttt

dttx

x

xd

x

dx

x

dx

Пример №4:

43

;14lnln1414

)14(

14

32 2323

23

23

23

2

CxxCtt

dttxx

xx

xxddx

xx

xx

Пример №5:

.6

sin

6sin)(sinsincossin

66555 C

xC

tdtttxxdxxdxx



Вычислить:

1. t

dt

2

3 2. 13

2

x

dxx 3. 1sin3

cos

x

xdx 4. 162u

udu

5. xdxx

2

2 6. xdxe x

23

7. 52x

xdx 8.

23 x

xdx

9. xdxx cos1sin2 10. dxee xx 1 11. dxxx 334 )1(

12. dxx

ctg 2 13. xdxe x

12

14. tdtt )1sin( 2

15. dxx

xcos 16.

zz

dz

2ln1 17. xdx

5cos

3. Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы

дифференцирования произведения двух функций. Записать данную теорему можно в

виде: ∫𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫𝒗𝒅𝒖. Основная идея применения данного метода заключается в

том, чтобы перейти от более сложного интеграла к более простому.

Применяя теорему интегрирования по частям, мы также используем метод замены

переменных. Разберём решение некоторых примеров.

Пример №1:

;)1ln(2

1

1

)1(

2

1

1;1

;;

2

2

2

2

2

Cxarctgxx

x

xdarctgxx

x

dxxarctgxx

xvx

dxdu

dxdvarctgxu

xdxarctg

Пример №2:

;sincoscoscoscos;

;sin;sin Cxxxdxxxx

xvdxdu

xdxdvxuxdxx

Пример №3:

;;

;;Cexedxexe

evdxdu

dxedvxudxxe xxxx

x

x

x

44

Применение данной теоремы всегда требует продуманной замены переменных,

иногда интеграл можно упростить, а иногда и усложнить. В некоторых случаях

приходиться применять данную теорему несколько раз, сводя интеграл к табличному:

Пример№4:

;22)(2

;

;;22

;2

;;

22

22

2

2

Cexeexdxexeex

evdxdu

dxedvxudxxeexdxxeex

evxdxdu

dxedvxudxex

xxxxxx

x

x

xxxx

x

x

x

Иногда вычисление интеграла сводится к решению уравнения:

Пример№5:

;sinsincos

sin;

;cos;coscos

cos;

;sin;sin

xdxexexe

xvdxedu

xdxdveuxdxexe

xvdxedu

xdxdveuxdxe

xxx

x

x

xx

x

x

x

Перенося интеграл из правой части равенства в левую часть, получаем:

);cos(sinsin2 xxexdxe xx Откуда, имеем: ;)cos(sin2

sin Cxxe

xdxex

x



Вычислить:

1. ;3arccos xdx 2. ;ln2 xdxx 3. ;3 dxxe x

4. ;3 dxxx

5. ;3cos xdxx 6. ;cos2 xdxx

7. ;2 dxex x

8. ;)1ln( 2 dxx 9. .)32( 2 dxex x

4. Интегрирование рациональных функций.

Рациональные функции всегда можно представить в виде дроби: 𝑨(𝒙)

𝑩(𝒙), где 𝑨(𝒙) и

𝑩(𝒙) – многочлены. Если дробь неправильная, т.е. степень числителя больше степени

знаменателя, то необходимо выполнить деление: 𝑨(𝒙)

𝑩(𝒙)= 𝑪(𝒙) +

𝑬(𝒙)

𝑭(𝒙), где дробь

𝑬(𝒙)

𝑭(𝒙) – правильная.

Пример: 𝒙𝟑+𝒙+𝟏

𝒙𝟐+𝟏= 𝒙 +

𝟏

𝒙𝟐+𝟏.

Так как любую неправильную дробь можно свести к правильной дроби, то

рассмотрим интегрирование правильных дробей.

I. ;dxax

A

45

Пример№1:

;2ln5ln5522

)2(5

2

5CxCt

t

dttx

x

xd

x

dx

II. ;)(

dxax

Ar

Пример№2:

;)1(2

7

2

7

27771

)1(

)1(7

)1(

722

23

333C

xC

tC

tdtt

t

dttx

x

xd

x

dx

III. ;2

dxqpxx

BAx

Рассмотрим следующие случаи:

1) многочлен qpxx 2 имеет корни.

Пример №3: ;43

322

dxxx

x

Согласно теореме из высшей алгебры, следует:

Любой многочлен степени n вида: 𝑷𝒏(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟎, имеющий

корни 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 можно представить в виде: 𝑷𝒏(𝒙) = 𝒂𝒏(𝒙 − 𝒙𝟏) · (𝒙 − 𝒙𝟐)… (𝒙 − 𝒙𝒏).

Таким образом, любую правильную рациональную дробь вида 𝑬(𝒙)

𝑭(𝒙) можно

единственным образом представить в виде:

...)(

...)(

...)(

...)()()(

)(222

22

2

11

2

21

n

nn

r

r

qpxx

CxB

qpxx

CxB

qpxx

CxB

ax

A

ax

A

ax

A

xF

xE

где ,...,,...,,,,,...,,...,, 221121 nnr CBCBCBAAA - некоторые числа.

Данное разложение называют разложением рациональной функции на

элементарные дроби.

При решении нашего примера воспользуемся данными теоремами. Найдём корни

знаменателя дроби.

0432 xx ; .4;1 21 xx

Таким образом, );4()1(432 xxxx

Итак, имеем:4143

322

x

B

x

A

xx

x, где A,B– некоторые числа. Найдём эти числа.

;)4()1(

4)(

)4()1(

)1()4(

4143

322

xx

BAxBA

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

Отсюда,

.1

,1

,2

,55

,34

,2

B

A

BA

A

BA

BA

Получаем: .4

1

1

1

43

322

xxxx

x

46

Разложение рациональной функции на элементарные дроби существенно упрощает

дальнейшее интегрирование:

;43ln)4()1(ln4ln1ln

4

)4(

1

)1(

41)

4

1

1

1(

43

32

2

2

CxxCxxCxx

x

xd

x

xd

x

dx

x

dxdx

xxdx

xx

x

2) многочлен qpxx 2 не имеет корней.

Пример №4: ;42

152

dxxx

x

При решении таких примеров будем выделять полный квадрат в знаменателе.

.3

1

3

442ln5,2

3

1

3

43)1(ln5,2

33

43ln5,2

33

4

3

)3(5,2

33

14

3

2

2

5

34

35

3

45;1

3)1(

4)1(5

3)1(

15

42

15

2

22

2

2

222

2222

Cx

arctgxx

Cx

arctgxCt

arctgt

tarctg

t

tdtarctg

t

tdt

t

dt

t

tdt

dtt

t

dxdt

txdx

x

xdx

x

xdx

xx

x

IV. ;)( 2

dxqpxx

BAxr

, где 𝑟 > 1.

Интегралы данного типа решаются заменой переменных: 2

2

2

p

q

px

z .

Интегралы такого типа нами рассматриваться не будут.



Вычислить:

1. 10x

dx; 2. ;

32 x

dx 3. ;

232 xx

dx

4. ;23

22223

2

dxxxx

xx

5. ;

)1()1(

22

2

dxxx

x

6. ;

)1(

13

3

dxxx

x

7. ;)2(

323dx

x

x

8. ;

542 xx

dx 9. .

4

83

45

dxxx

xx

47

5. Интегрирование тригонометрических функций вида:

xdxxxdxxdx nmnn cossin;cos;sin .

При вычислении таких интегралов необходимо учитывать степень: если n–чётное, то

целесообразнее применять формулы тригонометрии; если n–нечётное, то лучше

использовать понятие дифференциала для замены переменных.

Пример №1:

;4sin32

12sin

4

1

8

34sin

32

1

8

12sin

4

1

4

1)4cos1(

8

1

2sin4

1

4

1)

2

4cos1(

4

12sin

4

1

4

12cos

4

12cos

2

1

4

1)

4

2cos

2

2cos

4

1()

2

2cos1()(coscos

2

22224

CxxxCxxxxdxx

xxdxx

xxxdxxdx

dxdxxx

dxx

dxxxdx

Пример №2:

;3

coscos

3)1(

cos)(cos)cos1()(cossinsinsinsin

332

2223

Cx

xCt

tdtt

txxdxxdxxdxxxdx

Пример №3:

;5

sin

3

sin

53)()1(sin

)(sin)sin1(sin)(sincossincoscossincossin

53534222

22222232

Cxx

Ctt

dtttdttttx

xdxxxdxxxdxxxxdxx

Замечание: При вычислении интегралов вида: ,cossin bxdxax

,sinsin bxdxax bxdxax coscos применяются формулы:

))sin()(sin(2

1cossin ,

))cos()(cos(2

1sinsin ,

))cos()(cos(2

1coscos .

Пример№4:

.4sin8

12sin

4

1)4cos2(cos

2

13sinsin Cxxdxxxxdxx



Вычислить:

1. ;5sin2sin xdxx 2. ;cos 5 xdx 3. ;4 xdxctg

4. ;coscos 4 xdxx 5. ;3cos4sin xdxx 6. .cossin 4 xdxx

48


по теме: «Неопределённый интеграл. Методы интегрирования».

Вычислить:

1. ;)( 35 dxxx

2. ;1dx

x

x

3. ;4 2 x

dx

4. ;6sin 2 x

dx

5. ;)34(3 2 dxx

6. ;13 23 dxxx

7. ;)1( 334 dxxx

8. ;1sin2

cos x

xdx

9. ;325 xdxx

10. ;ln

2 x

xdx

11. ;cos xdxx

12. ;7cos xdxe x

13. ;32

)37(23

xxx

dxx

14. ;4

)46(3

xx

dxx

15. ;1062 xx

dx

16. ;3cos3 xdx

17. .4cos4sin 2 xdxx

49

Тема 4.2. Определённые интегралы §1. Определённый интеграл Римана. Геометрический и физический смысл

определённого интеграла

Рассмотрим функцию y=f(x), определённую на отрезке ba, , a<b. Разобьем этот

отрезок на n произвольных частей точками ....... 1210 bxxxxxxa nii В

каждом из полученных отрезков ii xx ,1 выберем произвольную точку

i iii xx 1.

Через ix обозначим разность

1 ii xx . Составим сумму:

i

n

i

inn xfxfxfxf

)()(...)()(1

2211 , которую назовём интегральной

суммой для функции y=f(x) на отрезке ba, . Геометрический смысл данной суммы –

сумма площадей прямоугольников с основаниями ix и высотами )( if , где ni ,1 .

Пусть – длина наибольшего отрезка разбиения: ix max .

Если существует конечный предел интегральной суммы при 0 , не зависящий

ни от способа разбиения отрезка ba, , ни от выбора точек i , то этот предел

называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку ba, .

b

a

dxxf )(

50

Само понятие определённого интеграла возникло из необходимости вычисления

площади криволинейной фигуры. Логика решения такой проблемы сводилась к поиску

площадей прямоугольников, заполняющих данную фигуру. Итак, геометрический смысл

определённого интеграла – площадь криволинейной фигуры.

Зная скорость прямолинейного движения точки, в физике возникают задачи

нахождения пути, пройденным точкой за время Tt 0 . Итак, физический смысл

определённого интеграла – T

dttvS0

)( , где S- путь, v(t) – скорость, t – время.

§2. Свойства определённого интеграла

1.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf ;)()())()((

2.

b

a

b

a

dxxfkdxxfk ;)()( где k=const;

3. b

a

a

b

dxxfdxxf ;)()(

4. Если промежуток интегрирования ba, разбит на части ca, и bc, , то интеграл

в промежутке ba, равен сумме интегралов в промежутках ca, и bc, , т.е.

b

a

c

a

b

с

dxxfdxxfdxxf .)()()(

5. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке ba, ,

то при a<b

b

a

abMdxxfabm ).()()(

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна в промежутке ba, , то

b

a

abcfdxxf )()()( , где c-некоторая точка из промежутка ba, .

51

Тема 4.3. Приложения определённых интегралов §1. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей фигур с помощью

определённого интеграла

Вычисление определённого интеграла производится с помощью формулы Ньютона-

Лейбница:

b

a

aFbFdxxf ),()()( где F(x) – первообразная функции f(x).

Как было отмечено выше, определённый интеграл применяется в вычислении

площадей криволинейных фигур. Рассмотрим основные типичные случаи вычисления

площадей фигур.

I.

Формула для вычисления площади:

b

a

dxxfS )(

II.


b

a

dxxfS )(

52

III.


b

c

c

a

dxxgdxxfS )()(

IV.


b

a

dxxgxfS ))()((

Пример №1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ;12 xy ;0y

;1x .3x

Решение: Построим графики данных функций:

12 xy – парабола;

;0y ;1x 3x – прямые.

53

Искомая площадь есть площадь заштрихованной фигуры. Вычисляем её по Ι типу.

b

a

dxxfS )( .

Итак, в нашем случае: 3

113)

3()1(

3

1

33

1

2

xx

dxxS (кв.ед.)

Пример №2: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ;2xy .xy

Решение: Построим графики данных функций:

Искомая площадь есть площадь заштрихованной фигуры. Вычисляем её по ΙV типу.

b

a

dxxgxfS ))()(( .

Получаем: 3

1

3

1

3

2)

35,1()(

1

0

35,11

0

2 xx

dxxxS (кв.ед.)

54

§2. Применение определённого интеграла в решении прикладных задач

1. Вычисление объёма тела вращения.

Рассмотрим некоторую функцию y=f(x), определённую и непрерывную на отрезке

ba, , a<b. В результате вращения вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной

сверху графиком функции y=f(x), получаем тело, объём которого можно вычислить по

формуле: dxyV

b

a

2

. В самом деле, разбивая тело вращения на части, получаем, что

объём всего тела есть сумма объёмов цилиндров, составляющих данное тело.

;)()(

)()(...)()(

1

2211

b

a

i

n

i

i

nnii

dxxSxxS

xxSxxSxxSxxSV

где S(x) – площадь основания цилиндра.

Т.к. основание цилиндра – круг, то ;)( 22 yrxS

Итак, dxyV

b

a

2

.

Пример №1: Вычислить объём тела вращения фигуры вокруг оси x, ограниченной

графиками функций xy на промежутке 1;0x .

Решение:

1

0

2

1

0

)( xdxdxxV );.(2

022

31

0

2

едx

Если фигура вращается вокруг оси Оy, то объём V полученного тела вращения

находится по формуле: dyxV

b

a

2

.

55

Пример №2: Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy

фигуры, ограниченной, линиями: ;2xy ;1y ;3y .0x

Решение: .)ед.куб(45,05,42

ydyyV

3

1

23

1

2. Другие приложения определённого интеграла.

При решении многих прикладных задач используется определённый интеграл.

Приведём лишь некоторые примеры.

Длина дуги кривой dx))x(f(1l

b

a

2

;

Площадь поверхности вращения dx))x(f(1)x(f2S

b

a

2

;

Работа переменной силы b

a

dx)x(FA ;

Путь прямолинейного движения b

a

dt)t(vS ;



1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ;4x;1x;0y;x

1y

б) ;5x;1x;0y;x

1y

2

в) ;x37y;x

4y

2

г) ;0y;xx2y 2

56

2. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной

трапеции, ограниченной линиями:

а) ;0y;1x;0x;1xy 2

б) ;0y;x1y 2

в) ;xy ;1x;0y

г) ;xy;xy 2

д) ;xy;xy

3. Скорость движения тела задана уравнением с

мt3t12)t(v 2 . Найти путь,

пройденный телом от начала его движения до остановки.


по теме: «Определённый интеграл. Приложения определённого интеграла».

1. Вычислить:

а) ;xsin

dx3

2

2

б) ;7x3

dx3

2

в) ;dx)1x2(

1x2

1

3

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ;xx2y;xy 22

б) ;xx42y;2x2xy 22

3. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной

трапеции, ограниченной линиями:

а) ;0y;1x;0x;xy 3

б) ;0y;3x;1x;xy 2

в) ;0y;x;0x;xsiny

4. Скорость падающего тела в пустоте с начальной скоростью см

0 2v вычисляется по

формуле gtvv 0 . Вычислить длину пути S, пройденного этим телом за промежуток

времени 10;0 .

57

Раздел 5. Ряды

Тема 5.1. Сходимость рядов §1. Понятие числового ряда. Основные определения. Сходимость ряда.

1. Основные определения.

Если дана числовая последовательность ,...a,...,a,a,a n321, то выражение вида:

1n

nn321 a...a...aaa называется числовым рядом. Числа ,...a,...,a,a,a n321

называются членами ряда, а член na с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

n21n321321211 a...aaS;...;aaaS;aaS;aS ;… называются частичными

суммами nS ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится

к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда.

1n

naS .

Если последовательность частичных сумм расходится, т.е. не имеет предела, или её

предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Пример №1: Выяснить сходится ли ряд:

1n )1n(n

1...

)1n(n

1...

43

1

32

1

21

1.

Решение: Рассмотрим сумму .)1n(n

1...

43

1

32

1

21

1Sn

Слагаемые суммы

можно представить в виде ;2

11

21

1

;

3

1

2

1

32

1

;

4

1

3

1

43

1

…; .

1n

1

n

1

)1n(n

1

Получаем: .1n

11)

)1n(

1

n

1(...)

4

1

3

1()

3

1

2

1()

2

11(Sn

1)1n

11(limSlim

nn

n

Таким образом, данный ряд сходится, его сумма S равна1.

2. Свойства сходящихся рядов.

1. Если сходится ряд (1) ,a...aa...aaa...aaa1n

nn1n1kk1k321

то сходится и ряд (2) .a...aa...a1kn

nn1n1k

Верно и обратное, если сходится ряд

(2), то сходится и ряд (1).

2. Если ряд

1n

na сходится и его сумма равна S, то и ряд

1n

nca , где с = const, также

сходится и его сумма равна cS.

58

3. Если ряды

1n

na и

1n

nb сходятся и их суммы соответственно равны S и S1, то и

ряд

1n

nn )ba( сходится и его сумма равна S+S1.

§2. Ряды с неотрицательными членами

Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд

1n

na сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝟎.

Достаточные условия сходимости ряда.

1. Признак сравнения.

Если даны два ряда с неотрицательными членами

1n

na и

1n

nb и для всех n

выполняется неравенство nn ba , то из сходимости ряда

1n

nb следует сходимость ряда

1n

na , а из расходимости ряда

1n

na следует расходимость ряда

1n

nb .

Пример №2: Выяснить сходимость ряда

11)1(

1

nnn

Решение: Ряд

11)1(

1

nnn

сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической

прогрессии

112

1

nn

(2

1q <1), а члены данного ряда не больше соответствующих членов

ряда сходящейся геометрической прогрессии 11 2

1

)1(

1

nnn

.

2. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд

1n

na с положительными членами, и существует предел ka

a

n

n

n

1lim .

Тогда, если 𝑘 < 1 ряд сходится; если 𝑘 > 1 ряд расходится; если 𝑘 = 1 ответа данный

признак не даёт.


1 !

1

n n

Решение: .101

1lim

)!1(

!limlim 1

nn

n

a

a

nnn

n

n По признаку данный ряд сходится.

3. Интегральный признак Коши.

Если дан ряд

1

)(n

nf , члены которого являются значениями некоторой функции

f(x), положительной, непрерывной, убывающей на полуинтервале ;1 , то ряд сходится,

59

если сходится интеграл

1

)( dxxf ; если расходится интеграл

1

)( dxxf , то расходится и

ряд.

Сходимость интеграла

1

)( dxxf означает, что данный интеграл равен числу,

расходимость интеграла

1

)( dxxf означает, что данный интеграл равен .


1

1

n n.

Решение:

)1ln(lnlim)(lnlimlim1

11

bnn

dn

n

dn

b

b

b

b

b. Итак, данный ряд

расходится.

§3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующийся ряд можно записать в виде: ..)1(... 1

4321

n

n aaaaa .,

где an>0.

Для знакочередующихся рядов используют достаточный признак сходимости ряда:

Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда

монотонно убывают: ...321 aaa и общий член ряда стремится к нулю: 0lim

nn

a ,

то ряд сходится.


1

1 1)1(

n

n

n.

Решение: ...1

)1(...4

1

3

1

2

11

1)1( 1

1

1

nn

n

n

n

Ряд сходится, т.к. удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ...3

1

2

11 ;

2) 0lim

nn

a

Для знакопеременных рядов имеет место следующий достаточный признак

сходимости ряда:

Если ряд

1n

na сходится, то сходится и ряд

1n

na .

Данный признак является достаточным, но не необходимым.

Все сходящиеся ряды делятся на абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды,

составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся. К условно сходящимся

рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных

величин их членов, расходятся.

60

Пример №6: Ряд ...4

1

3

1

2

11 условно сходящийся, т.к. он сходится по

признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин: ...4

1

3

1

2

11

расходится.

§4. Степенные ряды

Основные понятия и теоремы.

Ряд вида n

n

n

n

n xaxaxaxaxaa

1

3

3

2

210 ...... называется степенным

рядом. Постоянные числа ,...,...,,,, 3210 naaaaа называются коэффициентами ряда.

Совокупность тех значений x, при которых ряд сходится, называется областью его

сходимости.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при )0( 00 xxx , то он абсолютно

сходится для всех x, удовлетворяющих условию 0xx ; если расходится при 1xx , то

он расходится для всех x, удовлетворяющих условию 1xx .

Теорема: Если ряд n

n

n xa

1

сходится не при всех значениях x, то существует число

R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при Rx и расходится при Rx .

Итак, интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число

Rназывается радиусом сходимости ряда.

Теорема: Если дан ряд n

n

n xa

1

, тогда если существует конечный предел

0lim 1

n

n

n a

a, то радиусом сходимости ряда будет число

1

lim

n

n

n a

aR .

Пример №7: Рассмотрим ряд

1n

n

n

x.

Решение:1

1;

11

na

na nn . Имеем 1)

11(lim

1limlim

1

nn

n

a

aR

nnn

n

n.

Следовательно, ряд сходится на интервале (-1;1). Исследуем сходимость ряда на

концах интервала.

1. При x=1 получаем гармонический ряд

1

1

n n. На основании выше сказанных

признаков ряд расходится.

2. При x=-1 получаем

1

1)1(

n

n

n, по признаку Лейбница этот ряд сходится.

Таким образом, данный ряд сходится в любой точке полуинтервала 1;1 и

расходится вне его.

61


1

!n

nxn .

Решение: )!1(;! 1 nana nn. Имеем 0

1

1lim

)!1(

!limlim

1

nn

n

a

aR

nnn

n

n.

Следовательно, ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки x=0.


1 !n

n

n

x.

Решение:)!1(

1;

!

11

na

na nn

. Имеем

)1(lim!

)!1(limlim

1

nn

n

a

aR

nnn

n

n.

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

62

Тема 5.2. Разложение функций в ряд

1. Разложение функций в степенные ряды.

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда, интервал сходимости которого

(-R;R), тогда функция f(x) разлагается в степенной ряд, причём это разложение

единственное.

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид:

...!

)0(...

!2

)0(

!1

)0()0(

)(2

n

n

xn

fx

fx

ff

Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x).

Вместо ряда Маклорена может быть рассмотрен более общий ряд Тейлора:

...)(!

)(...)(

!2

)()(

!1

)()(

)(2

n

n

аxn

аfаx

аfаx

аfаf

Пример№10: Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ex.

Решение: Имеем xn exfxfxf )(...)()( )( , откуда при x=0 получим

1)0(...)0()0()0( )( nffff . По формуле для функции f(x)=ex составим ряд

Маклорена: ...!

...!2!1

12

n

xxx n

Интервал сходимости:

!

)1(!limlim

1 n

nn

a

aR

nn

n

n.

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2. Ряды Фурье.

Ряд вида

)sincos(2

...sincos...2sin2cossincos2

1

0

22110

nxbnxaa

nxbnxaxbxaxbxaa

n

n

n

nn

называется тригонометрическим рядом. Числаa0, a1,b1,a2,…,an, …bn называются

коэффициентами тригонометрического ряда.

Теорема: Если функция f(x),определённая и непрерывная на отрезке ; ,

разлагается в тригонометрический ряд )sincos(2

)(1

0 nxbnxaa

xf n

n

n

, который

можно интегрировать почленно, то это разложение единственное.

Числа 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2,…,𝑎𝑛, b1, … bn,…, найденные по формулам:

dxxfa )(1

0 ;

nxdxxfan cos)(1

; Nn ;

nxdxxfbn sin)(1

; Nn называются

коэффициентами Фурье, а ряд )sincos(2 1

0 nxbnxaa

n

n

n

с этими коэффициентами

называется рядом Фурье.

Замечание: В ряд Фурье можно разлагать и периодические функции с периодом 2l.

В этом случае коэффициенты ряда находятся по формулам:

63

l

l

dxxfl

a )(1

0

l

l

n dxl

xnxf

la cos)(

1

l

l

n dxl

xnxf

lb sin)(

1; ( Nn )



1. Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера:

a)

12)1(5

2

nn

n

n

n; б)

1

2

)!2(n n

n; в)

1 )12(2

3

nn

n

n; г)

1 2

12

nnn

n;

2. Исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши:

a)

1n

n

n

e; б)

14)(ln

1

n nn; в)

121

1

n n

n; г)

12 2

1

n nn;

3. Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Лейбница:

a)

1 !

)1(

n

n

n; б)

1 1

)1(

n

n

n;

4. Найти область сходимости степенного ряда

a)

1 )1(

3

n

nn

nn

x; б)

1 )2(5

)1(

nn

n

n

xn; в)

1 45

7

nnn

nn x; г)

12 )1(5

3

nn

nn

n

x;

5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде:

a) f(x) = x при x ; б) f(x) =3-x при 33 x ;


по теме: «Ряды».

1. Исследовать сходимость рядов:

a)

1 )!2(

)!1(5

n

n

n

n; б)

1 3)12(

2

nn

n

n; в)

1

2

!

)1(6

n

n

n

n; г)

12 4)1(

1

n n;

д)

13)2(n n

n; е)

12 1)12(

1

n n; ё)

1 32

)1(

n

n

n.

2. Найти область сходимости степенного ряда

a)

1 )1(4nn

n

n

nx.

3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде:

f(x) =x-1при 10 x .

64

Раздел 6. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которые неизвестная функция

входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений –

изучение функций, являющихся решениями таких уравнений. Дифференциальные

уравнения делятся на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых

неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные

уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями

двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных изучается в полных

или специальных математических курсах. Мы познакомимся с элементами теории

обыкновенных дифференциальных уравнений.

§2. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия и определения.

Уравнение вида 0),,( yyxF , где x – независимая переменная, y- искомая функция,

y – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно y , то его можно записать в виде:

),( yxfy . В некоторых случаях дифференциальное уравнение удобно записать в

виде ),( yxfdx

dy или в более общем виде 0),(),( dyyxQdxyxP , где ),( yxP , ),( yxQ –

известные функции.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая

функция )(xy , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Условие у(x0)=y0 , при котором функция )(xy принимает заданное значение y0в

заданной точке x0, называется начальным условием решения.

Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию, является

основной задачей теории дифференциальных уравнений и называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция ),( Cxy ,

зависящая от xи одной произвольной постоянной С, если она является решением

дифференциального уравнения при любом значении постоянной С или при единственном

значении постоянной С=С0, при котором функция ),( Cxy удовлетворяет начальным

условиям.

Частным решением уравнения называется функция ),( 0Cxy , которая

получается из общего решения ),( Cxy при определённом значении постоянной С=С0.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой

этого уравнения.

Пример №1: Решить уравнение: 23xy .

Решение: Общим решением является функция: Cxy 3 . Геометрически это

решение представляет собой семейство кубических парабол Cxy 3 , при различных

значениях постоянной С получаются различные решения данного уравнения.

Проверяя результат, имеем: 23xy .

65

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида: )()( 21 yfxfy , где )(1 xf , )(2 yf - непрерывные функции, зависящие

только от одного аргумента, называется дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения нужно разделить переменные, т.е. преобразовать

уравнение так, чтобы переменная xвходила только в одну часть, а переменная yв другую

часть уравнения.

Рассмотрим пример:

Пример №2: Решить уравнение:x

yy .

Решение: Разделяя переменные, получим: x

y

dx

dy , ydxxdy ,

x

dx

y

dy .

Проинтегрируем данное уравнение. x

dx

y

dy. Получаем: 1lnlnln Cxy .

Потенцируя, находим: xCy 1 или xCy 1 , т.е. Cxy - общее решение

уравнения, где С=const.

3. Линейные уравнения.

Уравнение вида: )()( xfyxpy , где )(xp , )(xf - непрерывные функции,

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если )(xf 0 , то уравнение называется линейным однородным уравнением. Если

0)( xf , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.

Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка.

№1. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения 0)(2 222 dxyxdyx .

Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и

dy однородные функции второго порядка относительно переменных x и y. Применим

подстановку y=tx, где tнекоторая функция аргумента x. Тогда xdttdxdy и данное

уравнение примет вид: 0)()(2 2222 dxxtxxdttdxx . После сокращения на 2x , имеем:

.)1(

2

;)1(2

;02)12(

;0)1()(2

2

2

2

2

x

dx

t

dt

dxtxdt

xdtdxtt

dxtxdttdx

Это уравнение с разделёнными переменными относительно x и t. Интегрируя,

находим общий интеграл этого уравнения:

;)1(

22

x

dx

t

dt;lnln

1

2Cx

t

.ln

1

2Cx

t

Из введённой подстановки следует,

что .x

yt Следовательно, Cx

x

yln

1

2

или Cxyxx ln)(2 - общее решение данного

уравнения.

66

№2. Найти частное решение уравнения 22 yeyy x , удовлетворяющее

начальному условию 1)0( у .

Решение: Заданное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем vuy , где

u и v - некоторые функции от x. Тогда vuvuy и данное уравнение принимает вид:

;222 vueuvvuvu x .)( 222 vuevuuuv x Выберем функцию u так, чтобы

выполнялось равенство: .0 uu Тогда .222 vuevu x Решим уравнение .0 uu

Разделяя переменные, получим: ;0 udx

du;dx

u

du ;dx

u

du;ln xu xeu .

Для простоты при интегрировании считали, что С=0.

Подставив в исходное уравнение xeu , получим ;222 veeve xxx

;2

xev

v

;

2dxe

v

dv x Интегрируя, получим: ;1

Cev

x ;1

Cev

x .1

Cev

x

Тогда Ce

euvy

x

x

- общее решение заданного уравнения.

Используя начальное условие, находим соответствующее ему значение постоянной

С:

11

1)0(

Cy , т.е. С=0. Искомое частное решение: .2xey

4. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение вида: 0),(),( dyyxQdxyxP , где левая часть есть полный

дифференциал некоторой функции F(x,y) в некоторой области G, называется уравнением

в полных дифференциалах.

Если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то его можно

записать в виде: 0),( yxdF , где F(x,y) –такая функция, что

dyyxQdxyxPyxdF ),(),(),( . Значит, F(x,y)=C – общее решение уравнения, где

constС .

Согласно теореме, для того, чтобы выражение dyyxQdxyxP ),(),( являлось

полным дифференциалом функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобыdx

dQ

dy

dP .

Пример: Найти общее решение уравнения 0)3()1( 2 dyyxdxyx и

выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .0,1 00 yx

Решение: Здесь 1),( yxyxP , 3),( 2 yxyxQ . Так как

dx

yxd

dy

yxd )3(1

)1( 2

, то выражение dyyxdxyx )3()1( 2 является

полным дифференциалом некоторой функции F(x,y). Имеем:

).(2

)()1()(),(),(2

yCxxyx

yCdxyxyCdxyxPyxF

Найдём функцию C(y) по формуле: ,3))(2

( 22

yxyCxxyx

dy

d

,3)( 2 yyC ,32 ydy

dC,)3( 2 dyydC

1

3

1

2 33

)3()( Cyy

CdyyyC .

67

Подставляя найденное C(y), получаем: .332

),( 1

32

Cyy

xxyx

yxF Данное

уравнение принимает вид: 0),( yxdF , а его общее решение определяется уравнением:

,),( 2CyxF или .332

21

32

CCyy

xxyx

Объединяя произвольные постоянные

1C и 2C в одну, получаем окончательное уравнение, определяющее неявным образом

общее решение исходного дифференциального уравнения: .182663 3

32 Cyyxxyx

Найдём значение постоянной 3C , при котором частное решение удовлетворяет заданным

начальным условиям: 3018021601613 C , отсюда 93 C , и искомое

частное решение определяется уравнением: .9182663 32 yyxxyx



Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка,

удовлетворяющее указанным начальным условиям:

1. ;1)0(,sin22

yxxexyy x

2. ;)1(,1

eyex

x

x

yy x

3. ;2

1)1(,32)1( 22 yxxyyx

4. ;0)1(,3 5 yexyyx x

5. ;0)1(,1ln yxyyx

6. ;1)0(,)1( 2 yyexxyy x

7. ;1)1(,ln2 yxyyyx

8. ;1)1(,22 24 yyxyyx

9. ;1)0(,2 23 yyeyy x

§3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение вида: ,0),,,( yyyxF , где x – независимая переменная, y- искомая

функция, yy , – её производные, называется дифференциальным уравнением второго

порядка.

Обычно изучают уравнения, записанные в виде: ),,( yyxfy .

Теорема Коши: Если в уравнении ),,( yyxfy функция ),,( yyxf и её частные

производные ),,( yyxf y и ),,( yyxf y

определены и непрерывны в некоторой области

Gпространства переменных: ),,( yyx , то какова бы ни была внутренняя точка

),,( 000 yyx области G, существует единственное решение )(xy данного уравнения,

удовлетворяющее условиям: 00 , yyyy при 0xx .

Условия 00yy xx , 00

yy xx

называют начальными условиями решения. Задачу

отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

68

Функция ),,( 21 ССxy , зависящая от x и двух произвольных постоянных 1С и 2С ,

называется общим решением уравнения в некоторой области G, если она является

решением уравнения при любых значениях постоянных 1С и 2С и если при любых

начальных условиях существуют единственные значения постоянных 1С и 2С такие, что

функция ),,( 21 ССxy удовлетворяет начальным условиям. Всякая функция

),,( 21 ССxy , получающаяся из общего решения при определённых значениях

постоянных 1С и 2С , называется частным решением уравнения.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнение вида: )()()( xfyxqyxpy , где y - искомая функция, а )(xp , )(xq и

)(xf – непрерывные функции на некотором интервале ),( ba , называется линейным

дифференциальным уравнением второго порядка.

Если )(xf 0 , то уравнение называется линейным однородным уравнением. Если

0)( xf , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.

Рассмотрим решение однородных уравнений.

Теорема: Если функции )(1 xy и )(2 xy - решения уравнения 0)()( yxqyxpy , то

функция )()( 2211 xyCxyCy при любых значениях постоянных 1С и 2С также является

решением уравнения.

Функции )(1 xy и )(2 xy называются линейно-зависимыми на интервале ),( ba , если

существуют такие числа 1 и 2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для

любого ),( bax имеет место равенство: 0)()( 2211 xyxy . Если функции )(1 xy и

)(2 xy линейно-зависимы, то они пропорциональны.

Функции )(1 xy и )(2 xy называются линейно-независимыми на интервале ),( ba , если

не существуют таких чисел 1 и 2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для

любого ),( bax имеет место равенство: 0)()( 2211 xyxy . Если функции )(1 xy и

)(2 xy линейно-независимы, то они не пропорциональны.

Для исследования вопроса линейной зависимости или линейной независимости

функций )(1 xy и )(2 xy используют определитель Вронского. Определитель Вронского

(Вронскиан) является функцией, определённой на ),( ba , обозначается:

1221

21

21

21 ),( yyyyyy

yyyyW

.

Теорема: Если функции )(1 xy и )(2 xy линейно-зависимы на ),( ba , то определитель

Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.

Теорема: Если функции )(1 xy и )(2 xy линейно-независимы на ),( ba , то определитель

Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Теорема: Если функции )(1 xy и )(2 xy линейно-независимые на ),( ba , то функция

)()( 2211 xyCxyCy , где 1С и 2С - произвольные постоянные, является общим решения

уравнения на интервале ),( ba .

69

Пример: Найти общее решение уравнения 0 yy .

Решение: Имеем линейное однородное уравнение. Легко видно, что xexy )(1,

xexy )(2 - частные решения уравнения. Так как определитель Вронского

2),( 21

xx

xx

ee

eeyyW отличен от нуля, то эти решения линейно-независимы на всей

числовой прямой. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в

виде: xx eCeCy 21, где 1С и 2С - произвольные постоянные.

2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Рассмотрим решение неоднородных уравнений: )()()( xfyxqyxpy .

Теорема: Общее решение уравнения )()()( xfyxqyxpy есть сумма любого

его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения,

необходимо знать общее решение соответствующего однородного уравнения и хотя бы

одно его частное решение. Рассмотрим, как можно найти частное решение неоднородного

уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение

соответствующего однородного уравнения.

Пусть )()( 2211 xyCxyCy - общее решение однородного уравнения. Будем искать

частное решение неоднородного уравнения: )()()( xfyxqyxpy в виде

)()()()( 2211 xyxCxyxCy , рассматривая 1С и 2С как некоторые искомые функции от x.

Продифференцировав равенство )()()()( 2211 xyxCxyxCy , получим:

)()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxСxyxCy

. Будем подбирать функции )(1 xC и

)(2 xC так, чтобы выполнялось равенство: 0)()()()( 2211 xyxCxyxC .

Тогда равенство )()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxСxyxCy

примет вид:

)()()()( 2211 xyxCxyxСy . Дифференцируя это равенство, найдём y .

)()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxСxyxCy

. Подставляя выражения для

yyy ,, в уравнение )()()( xfyxqyxpy и группируя слагаемые, получим:

).()()(

)()()()()()()()()()()()()()(

22

1122221111

xfxyxC

xyxCxyxqxyxpxyxCxyxqxyxpxyxС

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю, так как )(1 xy и )(2 xy -

решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство примет вид:

).()()()()( 2211 xfxyxCxyxC

Таким образом, функция )()()()( 2211 xyxCxyxCy будет решением уравнения,

если )(1 xC и )(2 xC удовлетворяют уравнениям 0)()()()( 2211 xyxCxyxC и

).()()()()( 2211 xfxyxCxyxC Объединяя их, получим систему уравнений:

70

),()()()()(

,0)()()()(

2211

2211

xfxyxСxyxC

xyxCxyxC

в которой )(1 xC и )(2 xC неизвестны, а )(),(),(),(),( 2121 xfxyxyxyxy известны. Так как

определителем этой системы является определитель Вронского )()(

)()()(

21

21

xyxy

xyxyxW

,

составленный из линейно-независимых решений )(1 xy и )(2 xy однородного уравнения,

то по теореме он не равен нулю, а, значит, система имеет единственное решение

относительно )(1 xC и )(2 xC . Решив эту систему, получим )()( 11 xxC , )()( 22 xxC ,

где )(1 x и )(2 x - известные функции, откуда, интегрируя, найдём )(1 xС и )(2 xС .

Подставляя полученные выражения )(1 xС и )(2 xС в равенство

)()()()( 2211 xyxCxyxCy , получим искомое частное решение уравнения

)()()( xfyxqyxpy .

Пример: Найти частное решение уравнения xyy .

Решение: Ранее было найдено общее решение xx eCeCy 21 соответствующего

однородного уравнения 0 yy . Поэтому частное решение неоднородного уравнения

будем искать в виде: xx exCexCxy )()()(~21

. Система для нахождения )(1 xC и )(2 xC в

данном случае имеет вид:

.)()(

,0)()(

21

21

xexСexC

exCеxC

xx

xx

Складывая эти уравнения, находим xxеxC 2

1)(1 . Отсюда, интегрируя, получаем:

xеxxC )1(2

1)(1 . Подставляя )(1 xC в первое уравнение системы, находим

xxеxC2

1)(2 . Откуда, xеxxC )1(

2

1)(2 . Подставляя найденные выражения )(1 xС и

)(2 xС в уравнение: xx exCexCxy )()()(~21

, получаем частное решение )(~ xy данного

неоднородного уравнения.

xeexeexxy xxxx ))1(2

1())1(

2

1()(~ .

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами.

Если функции )(xp и )(xq являются постоянными величинами, то такие уравнения

называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнения 0 qyypy , где p и q являются постоянными

величинами. Для решения таких уравнений составляем характеристическое уравнение:

02 qpkk . В зависимости от корней 1k и 2k этого уравнения, будем получать тот

или иной вид общего решения данного уравнения.

Теорема: Общее решение уравнения 𝒚′′ + 𝒑𝒚′ + 𝒒𝒚 = 𝟎 может быть записано

следующим образом:

71

1) если корни характеристического уравнения – действительные и различные

(𝒌𝟏 ≠ 𝒌𝟐), то общее решение имеет вид: 𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒌𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒆

𝒌𝟐𝒙;

2) если корни характеристического уравнения – действительные и равные

(𝒌𝟏 = 𝒌𝟐), то общее решение имеет вид: 𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒌𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆

𝒌𝟐𝒙;

3) если корни характеристического уравнения – комплексные (𝒌𝟏 = 𝜶 + 𝒊𝜷, 𝒌𝟐 = 𝜶 − 𝒊𝜷, 𝜷 ≠ 𝟎), то общее решение имеет вид:

𝒚 = 𝒆𝜶𝒙(𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬𝜷𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜷𝒙).

Пример: Найти общее решение уравнения 02 yyy .

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: ,0122 kk его корни

121 kk – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид: xx xeCeCy 21 .

3.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка )(xfqyypy ,

где p и q - вещественные числа, а )(xf - непрерывная функция. Общее решение такого

уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и

общего решения соответствующего однородного уравнения. Для нахождения частного

решения можно применить метод вариации постоянных, но мы рассмотрим наиболее

типичные случаи.

1. Правая часть уравнения имеет вид ),()( xPxf n где

nn

nn

n axaxaxaxP

1

1

10 ...)( – многочлен степени n.

Частное решение уравнения ищут в виде: r

n xxQy )(~ , где )(xQn- многочлен той

же степени, что и )(xPn , а r – число корней характеристического уравнения, равных

нулю.

Пример: Найти общее решение уравнения 12 xyyy .

Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: xx xeCeCy 21 (см. предыдущий пример). Так как правая часть есть многочлен первой

степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( 121 kk ),

то частное решение ищем в виде: BAxxBAxy 0)(~ , где A и B – неизвестные

коэффициенты. Дифференцируя дважды BAxy ~ и подставляя yyy ~,~,~ в данное

уравнение, находим: 12 xBAxA . Приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях x в обеих частях равенства

,12

,1

BA

Aнаходим

3

,1

B

A. Итак, частное решение

данного уравнения имеет вид: 3~ xy , а его общее решение - 321 xxeCeCy xx .

2. Правая часть уравнения имеет вид ),()( xPexf n

x где

nn

nn

n axaxaxaxP

1

1

10 ...)( - многочлен степени n.

72

Частное решение уравнения ищут в виде: xr

n exxQy )(~ , где )(xQn- многочлен той

же степени, что и )(xPn, а r – число, показывающее, сколько раз является корнем

характеристического уравнения.

Пример: Найти общее решение уравнения xxeyyy 34 .

Решение: Характеристическое уравнение 0342 kk имеет корни: 11 k , 32 k .

Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: xx eCeCy 3

21 . В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена

первой степени на показательную функцию xe при = 1. Так как среди корней

характеристического уравнения только один корень 11 k , то 1r . Частное решение

данного уравнения ищем в виде: xx eBxAxxeBAxy )()(~ 2 . Дифференцируя и

подставляя в уравнение, получаем: xBAAx 224 . Приравнивая коэффициенты при

одинаковых степенях x, получаем:

4

1

,4

1

,022

,14

B

A

BA

A. Подставляя найденные

значения A и B, имеем: xexxy )(4

1~ 2 - частное решение уравнения. Общее решение

уравнения имеет вид: xxx exxeCeCy )(4

1 23

21 .

3. Правая часть уравнения имеет вид ,sincos)( xbxaxf где ,,ba - известные

числа.

Частное решение уравнения ищут в виде: rxxBxAy )sincos(~ , где BA, -

неизвестные коэффициенты, а r – число, равное числу корней характеристического

уравнения, совпадающих с i .

Пример: Найти общее решение уравнения xyy sin .

Решение: Характеристическое уравнение 012 k имеет корни: ik 1 , ik 2 .

Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

xCxCy sincos 21 . В правой части данного уравнения стоит тригонометрическая

функция sinx, т.е. a=0, b=1, 1 . Так как ii является корнем характеристического

уравнения, то r =1, и частное решение надо искать в виде: xxBxAy )sincos(~ .

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим: xxBxA sin)cossin(2 , откуда

0

,2

1

B

A. Таким образом, частное решение xxy cos

2

1~ , а общее решение уравнения:

xxxCxCy cos2

1sincos 21 .

4. Правая часть уравнения имеет вид ),sin)(cos)(()( xxPxxPexf mn

x где )(xPn -

многочлен степени n, )(xPm – многочлен степени m.

73

Частное решение уравнения ищут в виде: )sin)(cos)((~21 xxQxxQexy xr , где

)(),( 21 xQxQ - многочлены степени s, mns ,max , а r – число, равное числу корней

характеристического уравнения, совпадающих с i .

Пример: Найти общее решение уравнения xeyy x cos3 2 .

Решение: Характеристическое уравнение 012 k имеет корни: 11 k , 12 k .

Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: xx eCeCy 21. В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена

нулевой степени, показательной и тригонометрической функции, так что 3)( xPn,

0)( xPm, s=0. Так как число 12 ii не является корнем характеристического

уравнения, то r = 0, и частное решение ищем в виде: )sincos(~ 2 xBxAey x .

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

xxABxBA cos3sin)42(cos)42( . Приравнивая коэффициенты при xcos и xsin ,

находим

5

3

,10

3

,024

,342

B

A

BA

BA. Таким образом, частное решение уравнение

)sin5

3cos

10

3(~ 2 xxey x , а общее решение уравнения

)sin5

3cos

10

3(2

21 xxeeCeCy xxx .

Замечание: При поиске частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным

условиям необходимо найти и постоянные 1С и 2С .

Пример: Найти частное решение уравнения xeyy x cos3 2 , удовлетворяющее

начальным условиям: 1)0(,0)0( yy .

Решение: Из предыдущего примера имеем: )sin5

3cos

10

3(2

21 xxeeCeCy xxx -

общее решение уравнения. Продифференцировав функцию, получаем:

)cos5

3sin

10

3()sin

5

3cos

10

3(2 22

21 xxexxeeCeCy xxxx . Подставляя начальные

условия, имеем:

20

1

,4

1

,5

1

,10

3

,15

6

,010

3

2

1

21

21

21

21

C

C

СС

СС

СС

СС

. Итак, частное

решение уравнения: )sin5

3cos

10

3(

20

1

4

1 2 xxeeey xxx .

Рассмотрим также теорему, которая часто применяется при решении неоднородных

уравнений.

Теорема: Если 1~y - частное решение уравнения )(1 xfqyypy , а 2

~y - частное

решение уравнения )(2 xfqyypy , то сумма 21~~ yy является частным решением

уравнения )()( 21 xfxfqyypy .

74

Пример: Найти общее решение уравнения xexyyy sin2 .

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни: 121 kk , поэтому общее

решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

)( 2121 xCCexeCeCy xxx . Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух

функций xsin и xe , то по теореме частное решение данного уравнения будем искать в

виде: 21~~ yyy , где 1

~y - частное решение уравнения xyyy sin2 , а 2~y - частное

решение уравнения xeyyy 2 . Найдём частное решение 1~y . Так как ii не

является корнем характеристического уравнения )0( r , то частное решение уравнения

будем искать в виде: xBxAy cossin~1 . Находя коэффициенты Aи B, получим

xy cos2

1~1 . Теперь найдём частное решение 2

~y . Будем его искать в виде: xAey 2~ , так

как число 1 не является корнем характеристического уравнения. Найдя A, получим:

xey 4

1~2 . Таким образом, частное решение уравнения будет: xexyyy

4

1cos

2

1~~21 ,

а общее решение уравнения запишется в виде: xxx xeCeCexyyy 214

1cos

2

1~ .



Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка,


1. .4)0(y,1)0(y,ey6y5y x3

2. .1)0(,1)0(,99552 2 yyxxyyy

3. .5)0(,5)0(,22 yyeyyy x

4. .3)0(,0)0(,3cos69 yyxyy

5. .0)0(,2)0(,1282 23 yyxxyy

6. .1)0(,2)0(,sin2 yyxyy

7. .5)0(,2)0(,234 3 yyeyyy x


по теме: «Дифференциальные уравнения».

1. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка,


75

;4)1(,23 yyxyyx

2. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка,


а) 4)0(,4)0(,615445 23 yyxxxyyy ,

б) 0)0(,1)0(,954 2 yyxeyyy x ,

в) 2)0(,1)0(,2sin122cos44 yyxxyy ,

г) 1)0(,1)0(,)22( yyexyy x ,

д) 3)0(,1)0(,2 yyeyy x .

76

Раздел 7. Множества

Под множеством понимается совокупность элементов. Если xесть элемент

множества X, то пишут Xx , если yне является элементом множества X, то пишут

Xy .

1 xxX

Множество Y, состоящее из части элементов множества Xили совпадающее с

ним, называется подмножеством множества X( XY ).

Например, взаимосвязь числовых множеств можно показать следующим образом:

N – натуральные числа

Z – целые числа

Q – рациональные числа

R – действительные числа

С – комплексные числа

Объединением множеств X и Y называется множество YX , состоящее из всех

элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. входящих или в X

или в Y, или в X и в Y одновременно.

Пример: X= 4;3;2;1 Y= 5;3;2 , тогда 5;4;3;2;1YX

Пересечением множеств Xи Yназывается множество YX , состоящее из всех

элементов, принадлежащих как одному, так и другому множествам.

Пример:X= 4;3;2;1 Y= 5;3;2 , тогда 3;2YX

Разностью X\Y называется множество, состоящее из всех элементов множества

X, не входящих во множество Y.

Пример: X= 4;3;2;1 Y= 5;3;2 , тогда X\Y= 4;1

Если XY , то множество X\Y называется дополнением множества Yдо

множества X.

Произведением множеств BA называется множество упорядоченных пар (a,b),

таких что BbAa ; .

77

Пример: X= 1xx ; Y= 0322 xxx . Найти YX , YX , XY \

Решение: Решая неравенства, изобразим множества X и Yна числовых лучах.

Очевидно, что YX = 1xx , YX = );1()3;( xx , XY \ = 3xx .



1. Найти: RCRZQN \;;

2. a)X= 30 xx ;Y= 0752 2 xxx . Найти YX , YX , XY \

б) X= 5xx ; Y=

0

2

2

x

xxx . Найти YX , YX , XY \

78

Раздел 8. Элементы высшей алгебры. Матрицы

Тема 8.1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Действия над матрицами. Обратные матрицы

1. Ранг матрицы.

Таблица, состоящая из элементов, расположенных в строчках и столбцах, называется

матрицей. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. Элементы матрицы

имеют двойную индексацию. Первый индекс показывает номер строки, второй - номер

столбца.

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

).

Рангом матрицы 𝐴 называется максимальное число линейно независимых строк

матрицы 𝐴. Ранг матрицы можно понимать и как наивысший порядок отличных от нуля

миноров матрицы. Для поиска ранга матрицы можно приводить матрицу к ступенчатому

виду и по виду матрицы вычислять количество линейно независимых строк.

Матрица вида: (

𝑎11 𝑎12 0 𝑎21 … …

… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛… …

0 0 … 𝑎𝑚𝑛

) называется матрицей ступенчатого

вида.

Пример: Найти ранг матрицы 𝐶 = (

1 3−2 1

4 52 4

2 61 3

8 101 −3

).

Решение: Преобразуем матрицу в матрицу ступенчатого вида.

(

1 3−2 1

4 52 4

2 61 3

8 101 −3

)~(

1 30 7

4 510 14

0 00 0

0 03 8

)~(

1 30 7

4 510 14

0 00 0

3 80 0

)

Легко видно, что количество линейно независимых строк равно трём. Значит, ранг

матрицы равен трём.

Ответ: 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐶=3.

Размерность матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, если

размерность матрицы 3 × 4, то в ней 3 строки и 4 столбца.

Если размерность матрицы определяется одинаковым количеством строк и столбцов,

то матрица называется квадратной.

Единичной матрицей Е называется матрица, состоящая из нулей и единиц, причём

единицы стоят только на главной диагонали 𝑎11; 𝑎22; 𝑎33 и т.д.

𝐸 = (1 0 00 1 00 0 1

)

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.

79

2. Действия над матрицами.

1. Сложение и вычитание.

Суммой матриц A и B называется матрица C, элементы которой являются

суммами элементов матриц A и B.

Например, если 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) и 𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

), то

C=A+B=(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) + (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

) = (

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎13 + 𝑏13𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 𝑎23 + 𝑏23𝑎31 + 𝑏31 𝑎32 + 𝑏32 𝑎33 + 𝑏33

)

Разностью матриц A и B называется матрица C, элементы которой являются

разностями элементов матриц A и B.


𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) и 𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

), то

C=A – B=(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) − (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

)=(

𝑎11 − 𝑏11 𝑎12 − 𝑏12 𝑎13 − 𝑏13𝑎21 − 𝑏21 𝑎22 − 𝑏22 𝑎23 − 𝑏23𝑎31 − 𝑏31 𝑎32 − 𝑏32 𝑎33 − 𝑏33

)

2. Произведение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число λ называется матрица λA, элементы которой

являются произведением элементов матрицы A на число λ.


𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) и λ – число, то

𝜆𝐴 = 𝜆 ∙ (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) = (

𝜆𝑎11 𝜆𝑎12 𝜆𝑎13𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 𝜆𝑎23𝜆𝑎31 𝜆𝑎32 𝜆𝑎33

)

3. Произведение матриц.

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C, элементы

которой вычисляются по правилу: элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том

столбце равен сумме произведений соответственных элементов i-той строки матрицы

A и j-того столбца матрицы B.


𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) и 𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

), то

𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩=(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) ∙ (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

)=

= (

𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 + 𝑎13𝑏31 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22 + 𝑎13𝑏32 𝑎11𝑏13 + 𝑎12𝑏23 + 𝑎13𝑏33𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 + 𝑎23𝑏31 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22 + 𝑎23𝑏32 𝑎21𝑏13 + 𝑎22𝑏23 + 𝑎23𝑏33𝑎31𝑏11 + 𝑎32𝑏21 + 𝑎33𝑏31 𝑎31𝑏12 + 𝑎32𝑏22 + 𝑎33𝑏32 𝑎31𝑏13 + 𝑎32𝑏23 + 𝑎33𝑏33

).

Пример: Даны матрицы 𝐴 = (1 0 3−1 2 41 3 0

) и 𝐵 = (1 1 12 −2 12 2 1

).

80

Найти: A+B, A-B, 2∙ A, A∙B.

Решение:

1. 𝑨 + 𝑩 = (1 0 3−1 2 41 3 0

) + (1 1 12 −2 12 2 1

) = (2 1 41 0 53 5 1

).

2. 𝑨 − 𝑩 = (1 0 3−1 2 41 3 0

) − (1 1 12 −2 12 2 1

) = (0 −1 2−3 4 3−1 1 −1

).

3. 𝟐 ∙ 𝑨 = 2 ∙ (1 0 3−1 2 41 3 0

) = (2 0 6−2 4 82 6 0

).

4. 𝑨 ∙ 𝑩 = (1 0 3−1 2 41 3 0

)(1 1 12 −2 12 2 1

) = (7 7 411 3 57 −5 4

).

4. Обратная матрица.

Обратной матрицей к матрице A называется матрица 𝑨−𝟏, удовлетворяющая

условию: 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 =E, где Е – единичная матрица.

Обратная матрица 𝑨−𝟏 вычисляется по формуле: 𝐴−1 =

(

𝐴11

∆

𝐴21

∆

𝐴31

∆𝐴12

∆

𝐴22

∆

𝐴32

∆𝐴13

∆

𝐴23

∆

𝐴33

∆ )

, где

𝐴𝑖𝑗 – алгебраические дополнения элементов 𝑎𝑖𝑗.

𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗, 𝑀𝑖𝑗– минор n-1 порядка, получаемый из определителя ∆n–го

порядка вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример: Дана матрица𝐴 = (1 0 3−1 2 41 3 0

).

Найти: обратную матрицу 𝐴−1.

Решение:

1. Ранее мы вычисляли определители третьего порядка в теме 1.2 §1. Вычислим

определитель третьего порядка ∆ по правилу треугольников.

∆= |1 0 3−1 2 41 3 0

| = 0 + 0 − 9 − 6 − 0 − 12 = −27.

2. Вычислим все алгебраические дополнения 𝐴11 = (−1)1+1 |

2 43 0

| = −12,

𝐴12 = (−1)1+2 |

−1 41 0

| = 4, 𝐴13 = (−1)1+3 |

−1 21 3

| = −5, 𝐴21 = (−1)2+1 |

0 33 0

| = 9

𝐴22 = (−1)2+2 |

1 31 0

| = −3, 𝐴23 = (−1)2+3 |

1 01 3

| = −3,𝐴31 = (−1)3+1 |

0 32 4

| = −6

𝐴32 = (−1)3+2 |

1 3−1 4

| = −7, 𝐴33 = (−1)3+3 |

1 0−1 2

| = 2.

81

3. Найдём обратную матрицу: 𝐴−1 =

(

−12

−27

9

−27

−6

−274

−27

−3

−27

−7

−27−5

−27

−3

−27

2

−27)

=

(

4

9

1

−3

2

94

−27

1

9

7

275

27

1

9

2

−27)

.

Выполним проверку: 𝐴 ∙ 𝐴−1 = (1 0 3−1 2 41 3 0

)

(

4

9

1

−3

2

94

−27

1

9

7

275

27

1

9

2

−27)

= (

1 0 00 1 00 0 1

).

§2. Определитель и его свойства. Вычисление определителей.

Определителем (детерминантом) матрицы называется число, вычисляемое

определённым образом.

1. Определитель второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка (т.е. две строки и два столбца).

Определитель второго порядка вычисляется следующим образом: |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐

2. Определитель третьего порядка.

При нахождении определителя рассмотрим два способа вычисления.

1) Правило треугольника.

|𝐴| = |

𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

| = 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑎3 + 𝑐1𝑎2𝑏3 − 𝑐1𝑏2𝑎3 − 𝑏1𝑎2𝑐3 − 𝑎1𝑐2𝑏3.

Для того чтобы легко запомнить правило вычисления, используем следующую

схему:

Первые три произведения в формуле вычисления берутся со знаком «+»,

следующие три со знаком «-».

2) Вычисление определителя через понижение порядка.

Если дан определитель n-го порядка, то определитель n-1 порядка называется

минором.

82

Рассмотрим определитель четвёртого порядка и вычислим его через миноры

третьего порядка. Разложим его по первой строке.

Пример: Вычислить определитель:|

10

32

21

3 2 12 1 0

4511

|.

Решение:

|

10

32

21

3 2 12 1 0

4511

| = (−1)1+1 ∙ 1 ∙ |2 1 52 1 11 0 1

| + (−1)1+2 ∙ 3 ∙ |0 1 53 1 12 0 1

| +

+(−1)1+3 ∙ 2 ∙ |0 2 53 2 12 1 1

| + (−1)1+4 ∙ 4 ∙ |0 2 13 2 12 1 0

| = −4 + 33 − 14 − 12 = 3.

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна

умножению его на −𝟏.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то

он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на

любое число 𝝀 равносильно умножению определителя на это число.

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и

сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то

определитель равен нулю.



1. Найти ранг матрицы 𝐶 = (

1 3 1 2

4 52 4

2 41 3

4 81 0

).

2. Даны матрицы 𝐴 = (1 0 3−2 1 41 1 1

) и B= (0 1 12 1 12 3 1

).

Найти: 2A+3B, A-2B, A∙B.

3. Найти обратную матрицу к матрице𝐴 = (1 1 11 2 31 3 0

).

4. Вычислить: |

10

12

11

1 2 02 −1 0

4411

|.

83

Тема 8.2. Решение систем линейных уравнений §1. Решение систем линейных уравнений со многими неизвестными различными

методами

1. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

{3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0−𝑥 − 3𝑧 = −42𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 4.

Для решения этой системы составим расширенную матрицу и приведём её к

ступенчатому виду.

(3 2 −5−1 0 −32 −1 3

|0−44)~(

3 2 −50 2 −140 7 −19

|0−12−12

)~(3 2 −50 1 −70 0 −60

|0−6−60

)~(3 2 −50 1 −70 0 1

|0−61).

Решая уравнения, получим: 𝑧 = 1; 𝑦 − 7𝑧 = −6, т. е. 𝑦 = 1; 3𝑥 + 2 − 5 = 0. 𝑥 = 1.

Итак, (𝟏; 𝟏; 𝟏) – решение системы.

2. Формулы Крамера.

Решим эту же систему уравнений с помощью формул Крамера.

{3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0−𝑥 − 3𝑧 = −42𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 4.

Формулы Крамера:

𝒙 =∆𝒙

∆; 𝒚 =

∆𝒚

∆; 𝒛 =

∆𝒛

∆.

Вычислим определитель ∆= | 3 2 −5−1 0 −3 2 −1 3

| = −12 − 5 + 6 − 9 = −20 ≠ 0.

Значит, система имеет единственное решение.

Вычислим определители: ∆𝐱, ∆𝐲, ∆𝐳.

∆𝑥 = | 0 2 −5−4 0 −3 4 −1 3

| = −24 − 20 + 24 = −20.

∆𝑦 = | 3 0 −5−1 −4 −3 2 4 3

| = −36 + 20 − 40 + 36 = −20.

∆𝑧 = | 3 2 0−1 0 −4 2 −1 4

| = −16 − 12 + 8 = −20.

Пользуясь формулами Крамера, находим решение системы:

𝒙 =∆𝒙

∆=−𝟐𝟎

−𝟐𝟎= 𝟏, 𝒚 =

∆𝒚

∆=−𝟐𝟎

−𝟐𝟎= 𝟏, 𝒛 =

∆𝒛

∆=−𝟐𝟎

−𝟐𝟎= 𝟏.

Очевидно, что (𝟏; 𝟏; 𝟏) – решение системы.

84

3. Матричный метод.

Разберём суть данного метода на этой же системе. Ответ мы уже знаем.

{3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0−𝑥 − 3𝑧 = −42𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 4.

Пусть 𝐴 = ( 3 2 −5−1 0 −3 2 −1 3

), 𝐵 = ( 0−4 4), 𝑋 = (

𝑥𝑦𝑧).

В матричном виде система примет вид: 𝐴𝑋 = 𝐵. Решая уравнение, получаем: 𝑋 =𝐴−1 ∙ 𝐵.

Найдём обратную матрицу на основании выше сказанной теории.

∆= | 3 2 −5−1 0 −3 2 −1 3

| = −12 − 5 − 9 + 6 = −20.

Вычислим все алгебраические дополнения𝐴11 = (−1)1+1 |

0 −3−1 3

| = −3,

𝐴12 = (−1)1+2 |

−1 −3 2 3

| = −3, 𝐴13 = (−1)1+3 |

−1 02 −1

| = −1,

𝐴21 = (−1)2+1 |

2 −5−1 3

| = −1, 𝐴22 = (−1)2+2 |

3 −52 3

| = 19,

𝐴23 = (−1)2+3 |

3 22 −1

| = 7, 𝐴31 = (−1)3+1 |

2 −50 −3

| = −6,

𝐴32 = (−1)3+2 |

3 −5−1 −3

| = 14, 𝐴33 = (−1)3+3 |

3 2−1 0

| = 2.

Найдём обратную матрицу: 𝑨−𝟏 =

(

−𝟑

−𝟐𝟎

−𝟏

−𝟐𝟎

−𝟔

−𝟐𝟎−𝟑

−𝟐𝟎

𝟏𝟗

−𝟐𝟎

𝟏𝟒

−𝟐𝟎−𝟏

−𝟐𝟎

𝟕

−𝟐𝟎

𝟐

−𝟐𝟎)

=

(

𝟑

𝟐𝟎

𝟏

𝟐𝟎

𝟑

𝟏𝟎𝟑

𝟐𝟎

𝟏𝟗

−𝟐𝟎

−𝟕

𝟏𝟎𝟏

𝟐𝟎

𝟕

−𝟐𝟎

𝟏

−𝟏𝟎)

.

𝑿 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑩 =

(

𝟑

𝟐𝟎

𝟏

𝟐𝟎

𝟑

𝟏𝟎𝟑

𝟐𝟎

𝟏𝟗

−𝟐𝟎

−𝟕

𝟏𝟎𝟏

𝟐𝟎

𝟕

−𝟐𝟎

𝟏

−𝟏𝟎)

∙ ( 𝟎−𝟒 𝟒) = (

𝟏𝟏𝟏).

Итак, (𝟏; 𝟏; 𝟏) – решение системы.

Мы рассмотрели три способа решения одной и той же системы.



Решить систему уравнений {

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −4;2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1

𝑥 − 𝑦+ 2𝑧 = 6; тремя способами: методом Гаусса, формулами

Крамера, матричным методом.

85


по теме: «Матрицы и определители».

1. Даны матрицы 𝐴 = (1 2 33 2 11 1 1

) и B= (0 1 11 1 12 2 2

).

Найти: A+3B, 2A–2B, A∙B.

2. Решить систему уравнений {

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 +𝑚 = 2;2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑚 = 4;

𝑥 − 𝑦 + 𝑧+𝑚 = 2;𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 +𝑚 = 1.

методом Гаусса.

86

Раздел 9. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 9.1. Основы теории вероятностей §1. Классическое определение вероятности

1. Событие и вероятность.

Испытанием называется опыт, эксперимент, наблюдения явления. Результат, исход

испытания называется событием. Для обозначений событий используются большие

буквы латинского алфавита: А, B, C, и т.д.

Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает

появления другого в одном и том же испытании.

Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает

появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они

несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию A, обозначают через ��.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является

единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно

заведомо не может произойти.

Событие A называют случайным, если оно объективно может наступить или не

наступить в данном испытании.

Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного

испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

События nAAA ,..., 21, образующие полную группу событий попарно несовместимых и

равновозможных событий, называют элементарными событиями.

Событие A называют благоприятствующим событию B, если наступление события

A влечёт за собой наступление события B.

Вероятностью P(A) события A называют отношение n

m числа элементарных

событий, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий, т.е.

P(A)= n

m. (классическое определение вероятности)

Пример: Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число

очков, кратных 2.

Решение: Число элементарных событий равно 6. Число благоприятствующих

событий равно 3 (выпадение 2;4;6). Получаем: 2

1

6

3)( AP .

Из определения вероятности следует, что вероятность достоверного события равна

1, вероятность невозможного события равна 0. Таким образом, вероятность случайного

события находится в пределах от 0 до 1 включительно, т.е. 1)(0 AP .

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения

произвольных случайных событий. Оно неприемлемо, если результаты испытаний не

равновозможные. В таких случаях используется статистическое определение

вероятности.

Если произведено nиспытаний, при этом некоторое событие Aнаступило mраз, то

число mназывается абсолютной частотой события A, а отношение P(A)= n

m называют

относительной частотой события A.

87

Пример: При транспортировке из 10000 арбузов испортилось 37. Имеем: m=37 –

абсолютная частота испорченных арбузов, а 0037,010000

37)( AP - относительная

частота.

Вероятностью события A в данном испытании называют число P(A), около

которого группируются значения относительной частоты при больших n.

(статистическое определение вероятности).

2. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторикой называют раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько

комбинаций определённого типа можно составить из данных элементов множества.

Размещением изnразличных элементов по mэлементов ( nm ) называют число

комбинаций из nэлементов по mэлементов, отличающиеся либо самими элементами, либо

порядком их следования.

)1)...(2)(1( mnnnnAm

n

Пример: Сколько способов можно составить сигналов из 6 флажков различных

цветов, взятых по 2?

Решение: 30562

6 A .

Перестановкой из n различных элементов называют размещение из nэлементов по

nэлементов.

!123)...2)(1( nnnnPn

Например, 12054321!55 P .

Сочетанием из nразличных элементов по mэлементов называют число комбинаций

из nэлементов по mэлементов, отличающихся хотя бы одним элементом. В сочетаниях

порядок следования не важен.

)!(!

!

mnm

nС m

n

Пример: В лабораторной клетке содержится 3 белые и 3 коричневые мыши. Найти

число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета.

Решение: 152

30

!421

65!4

)!26(!2

!62

6

С .

Пример: Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня

лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер

набран правильно.

Решение: 90

1

910

11)(

2

10

A

BP .

Пример: Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность,

что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными?

Решение: Здесь число всех выборок n= 5

10C , а число выборок, благоприятствующих

событию A, есть m= 5

9C . Отсюда, имеем: 2

1

!4!5

9876!5

!4!5

!9)(

5

10

5

9

C

CAP .

88

Пример: Решить уравнение: 12 x

xС

Решение: 1!2)!2(

!

x

x;

12)!2(

)1()!2(

x

xxx;

22 xx ;

022 xx ;

2;1 21 xx ;

1x1 -посторонний корень;

22 x .

Ответ:x=2.

3.Свойства вероятности.

Суммой событий A и B называют событие C=A+B, состоящее в наступлении, по

крайней мере, одного из событий Aили B.

Произведением событий A и B называют событие C=AB, состоящее в том, что в

результате испытания произошло и событие Aи событие B.

Теорема: Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме

вероятностей этих событий )()()( BPAPBAP .

Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна единице.

1)()( APAP .

Пример: В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть

цветной шар, если вынимается один шар?

Решение: Вероятность вынуть красный шар 10

3)( AP , синий

10

5)( BP . Так как

события несовместимы, то по доказанной теореме: 8,010

5

10

3)()()( BPAPBAP .

Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из

них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события

AиBназывают зависимыми.

Если события A и B – зависимые события, то условной вероятностью )(BPA события

Bназывают вероятность события B, найденную в предположении, что событие Aуже

наступило.

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна

произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в

предположении, что первое событие уже наступило: )()()( BPAPBAP A .

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна

произведению вероятностей этих событий: )()()( BPAPBAP .

Пример: Вероятность поражения цели первым стрелком (событие A) равна 0,9, а

вероятность поражения цели вторым стрелком (событие B) равна 0,8. Какова вероятность

того, что цель поражена хотя бы одним стрелком?

Решение: Пусть C – интересующее нас событие; противоположное событие C -

событие, состоящее в промахе обоих стрелков.

89

Так как события A и B независимые, то BAC . Получаем:

02,02,01,0)8,01()9,01())(1())(1()()()( BPAPBPAPCP . Отсюда,

искомая вероятность: 98,002,01)(1)( CPCP .

Теорема сложения вероятностей совместимых событий: Вероятность суммы

двух совместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус

вероятность их произведения: )()()()( BAPBPAPBAP .

Пример: В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают

два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно из них окажется

здоровым.

Решение: Пусть 1A – первое здоровое растение; 2A – второе здоровое растение;

21 AA - хотя бы одно здоровое растение. Так как события 1A и 2A совместимые, то

согласно формуле имеем:

9975,095,095,095,095,0)()()()( 212121 AAPAPAPAAP .

Теорема:

Формула полной вероятности: Вероятность события A, которое может

наступить лишь при условии появления одного из nпопарно несовместимых событий

nBBB ,..., 21, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого

из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

)()(...)()()()()(21 21 APBPAPBPAPBPAP

nBnBB

(формула полной вероятности)

Пример: Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые

мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, а в третьем – две белые и две

серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена

белая мышь?

Решение: Пусть 1B – выбор первого ящика; 2B – выбор второго ящика; 3B - выбор

третьего ящика; A - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то

3

1)()()( 321 BPBPBP . Если выбран первый ящик, то

3

2)(

1APB . Аналогично,

4

3)(

2APB ,

2

1)(

3APB . Итак, по формуле полной вероятности, получаем:

36

23

2

1

3

1

4

3

3

1

3

2

3

1)( AP .

Теорема:

Формула Бейеса: Пусть в условиях предыдущей теоремы произведено одно

испытание, в результате которого произошло событие А. Тогда вероятность событий

nBBB ,..., 21 , образующих полную группу, при условии, что произошло событие А,

вычисляется по формуле:

n

j

Bj

Bk

kA

APBP

APBPBP

j

k

1

)()(

)()()( (k=1,2,3,…,n)

(формула Бейеса)

90

Пример: Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности.

Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета

контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на

этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах

соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-

сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к

контрольной группе?

Решение: Пусть A – случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-

сосудистое заболевание;

1B – человек придерживался специальной диеты;

2B - человек принадлежал к контрольной группе;

Имеем: ;5,0)()( 21 BPBP 31,0)(1

APB ; ;48,0)(2

APB

;395,048,05,031,05,0)( AP

Итак, искомая вероятность: .61,0395,0

48,05,0)( 2

BPA



1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число

очков.

2. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти

вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит

цифры 5.

3. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных

деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

4. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а

вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить

за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

5. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй

коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и

переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из

первой коробки, будет стандартной.

6. На трёх карточках написаны буквы: У, К, Ж. После тщательного перемешивания

берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность

того, что получится слово «ЖУК»?

91


по теме: «Событие и вероятность».

1. Игральная кость бросается один раз. Каковы вероятности следующих событий: А –

выпадение одного очка; B – выпадение нечётного числа очков; С – выпадение не

менее трёх очков?

2. В урне находятся 2 белых и 8 чёрных шаров. Сколько белых шаров следует

добавить в урну, чтобы вероятность извлечения из неё одного белого шара была бы

не меньше 0,99?

3. Три стрелка одновременно стреляют в цель. Вероятность поражения цели первым

стрелком равна 0,9; вторым – 0,8; третьим – 0,6. Какова вероятность того, что: а)

цель будет поражена хотя бы одним стрелком; б) будет зарегистрировано не менее

двух попаданий в цель; ни один стрелок не попадёт в цель?

4. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо

переохлаждения (событие B), либо контакта с другим больным (событие С).

Требуется найти P(A), если P(B)=0,5; P(C)=0,5; 3,0)( APB ; 1,0)( APCпри

условии несовместимости Bи С.

5. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами

перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова

вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

§2. Понятия о случайных величинах. Характеристики и законы распределения

1. Дискретные случайные величины. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от

исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в

виде конечной или бесконечной последовательности, называют дискретной случайной

величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого

числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим дискретную случайную величину Xс конечным множеством возможных

значений. Величина Xсчитается заданной, если перечислены все её возможные значения, а

также вероятности, с которыми величина Xможет принять эти значения. Указанный

перечень возможных значений и их вероятностей называют законом распределения

дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины,

как правило, задают в виде таблицы:

X X1 X2 … Xn

p p1 p2 … pn

Пример: В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р., 10 выигрышей

по 10000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10000. Найти закон

распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Возможные значения X:X1=0, X2=100, X3=10000, X4=100000. Вероятности

величин соответственно: p2=0,01, p3=0,001, p4=0,0001, p1=1-0,01-0,001-0,0001=0,9889.

Итак, закон распределения выигрыша X может быть задан в виде:

X 0 100 10000 100000

p 0,9889 0,01 0,001 0,0001

92

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

В случае, когда закон распределения случайной величины неизвестен, случайную

величину изучают по её числовым характеристикам. Одна из них математическое

ожидание.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называют

сумму произведений всех возможных значений величины Xна соответствующие

вероятности:

nn pxpxpxXM ...)( 2211.

Например, в условии предыдущей задачи:

.21101010001,0100000001,01000001,01009889,00)( рXM

Очевидно, M(X)=21р. есть справедливая цена одного лотерейного билета.

Теорема: Математическое ожидание дискретной случайной величины

Xприближенно равно среднему арифметическому всех её значений (при достаточно

большом числе испытаний).

Если случайная величина приняла значения x1,x2,…,xkсоответственно m1,m2,...,mk

раз, так, что m1+m2+…+mk=n, то среднее арифметическое всех значений, принятых

величиной X, выразится равенством: n

mxmxmxx kk

ср

...2211. .

)(. XMxср

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине, т.е.

M(C)=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания,

т.е. M(CX)=CM(X).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Xи Yравно сумме их

математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин

равно произведению их математических ожиданий: M (XY) = M(X) M(Y).

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Xи Yравно разности

их математических ожиданий: M(X-Y) =M(X) –M(Y).

Пример: Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если

известны математические ожидания случайных величин Xи Y.M(X)=5, M(Y)=3.

Решение: Используя свойства, имеем:

M (Z) = M (X+2Y) = M(X) +M (2Y) = M(X) +2M(Y) = 5+2.3 =11.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Математическое ожидание не даёт полной характеристики закона распределения

случайной величины. Пусть заданы две дискретные случайные величины XиY своими

законами распределения:

X -2 0 2

p 0,4 0,2 0,4

Математические ожидания величин X и Y одинаковы: M(X)=M(Y)=0, но возможные

значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических

X -100 0 100

p 0,3 0,4 0,3

93

ожиданий по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к

своему математическому ожиданию, чем значения величиныY. Ещё один пример.

При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть

засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и

летом), а другая – благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Отклонением случайной величины X от её математического ожидания M(X)

называют случайную величину X–M(X).

Теорема: Математическое ожидание отклонения X – M(X) равно нулю:

M(X – M(X))=0.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называют математическое

ожидание квадрата отклонения случайной величины Xот её математического

ожидания:

2))(()( XMXMXD

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между

математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом её

математического ожидания:

)()()( 22 XMXMXD .

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю..

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в

квадрат:

)()( 2 XDCCXD .

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий

этих величин: )()()( YDXDYXD .

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий

этих величин: )()()( YDXDYXD .

4. Среднее квадратическое отклонение. Моменты распределения.

Средним квадратическим отклонением )(x дискретной случайной величины X

называется корень квадратный из её дисперсии: )()( XDX .

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия

измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины.

В тех случаях, когда необходимо иметь числовую характеристику рассеяния возможных

значений в той же размерности, что и сама случайная величина, используется среднее

квадратическое.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое

ожидание случайной величины Xk, где Nk :

)( k

k XM .

Очевидно, что )(1 XM , )(2

12 XD

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют

математическое ожидание величины kXMX )( :

k

k XMXM ))(( .

0)(1 XMXM , 2

122 )( XD .

94

Пример: Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3

p 0,4 0,6

Найти начальные моменты первого и второго порядков и центральный момент

второго порядка.

Решение: Имеем:

;2,26,034,01)(1 XM

;8,56,094,01)( 2

2 XM

;96,084,48,52



1. Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасывании игральной

кости. Найти закон распределения случайной величины X.

2. Закон распределения случайной величины Xзадан таблицей:

Найти математическое ожидание X

3. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными 4,01 p и

3,02 p .Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

4. Независимые случайные величины X и Yзаданы следующими законами распределения:

X 2 4 5

p 0,1 0,3 0,6

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

5. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,

начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядков случайной величины X.

X 1 2 3 4 5

p

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Y 7 9

p 0,8 0,2

X -2 -1 0 1 2

p 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

95

5. Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции

распределения.

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя построить

таблицу распределения. Пусть X – непрерывная случайная величина с возможными

значениями из некоторого интервала (a;b) и x – действительное число. Под выражением

xX понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее x».

Вероятность этого события P( xX ) есть некоторая функция переменной x:

)()( xXPxF .

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X

называется функция F(x), равная вероятности того, что Xприняла значение, меньшее x:

)()( xXPxF .

Свойства интегральной функции распределения.

1. 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1.

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если 21 xx , то )()( 21 xFxF .

3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал ba; равна

разности между значениями функции распределения в правом и левом концах

интервала );( ba :

)()()( aFbFbXaP .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо

заранее заданное значение, равна нулю:

0)( 1 xXP .

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и

полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP .

6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a;b), то

a. F(x)=0 при ax ;

b. F(x)=1 при bx .

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины

расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

;0)(lim)(

xFFx

;1)(lim)(

xFFx

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения:

.31

;314

1

4

;10

)(

xпри

xприx

xпри

xF

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение,

принадлежащее полуинтервалу 2;0 .

Решение: Так как на полуинтервале 2;04

1

4)(

xxF , то

2

1

4

1

4

1

2

1)0()2()20( FFXP .

96

Дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятности)

непрерывной случайной величины X называется функция f(x), равная производной

интегральной функции:

)()( xFxf .

Так как F(x) – неубывающая функция, то 0)( xf .

Теорема: Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал

(a;b) равна определённому интегралу от дифференциальной функции распределения

величины X, взятому в пределах от a до b:

b

a

dxxfbXaP )()( .

)()()( aFbFdxxf

b

a

.

Следствие: Если f(x) – чётная функция и концы интервала симметричны

относительно начала координат, то

a

dxxfaXPaXaP0

)(2)()( .

Пример: Продолжительность жизни растений данного вида в определённой среде

представляют собой непрерывную случайную величину X. Пусть функцией плотности

вероятности для X является 120

120

1)(

x

exf

. Какая доля растений данного вида

умирает за период 100 дней?

Решение: По теореме имеем: 7,01120

1)1000( 6

5100

0

120

100

0

120

eedxeXP

xx

.

Ещё одна из формул позволяет находить интегральную функцию распределения F(x)

по её плотности вероятности:

x

dxxfxF )()( . Из данной формулы вытекает, что: 1)(

dxxf .

Пример: Задана плотность вероятности случайной величины X21

)(x

Axf

)( x . Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и

вероятность попадания случайной величины Xв интервал (0;1).

Решение: Коэффициент А найдём из формулы: 1)(

dxxf . Так как

,

))()((111

)(0

0

0

2

0

22

A

arctgarctgAAarctgxAarctgxx

Adx

x

Adx

x

Adxdxxf

то 1A , откуда

1

A . Из формулы

x

dxxfxF )()( , получим:

.1

2

1))((

1

)1()(

2arctgxarctgarctgx

x

dxxF

x

4

1)0()1()10( FFXP .

97

6. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X с

плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он

сходится):

dxxxfXM )()( .

Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины X, математическое ожидание

которой M(X)=aи функция f(x) является её плотностью вероятности, называется величина

несобственного интеграла (если он сходится):

dxxfaxXD )()()( 2 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют

те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной

величины.

Среднее квадратическое отклонение: )()( XDX .

Пример: Случайная величина X задана плотностью вероятности:

.20

;202

;00

)(

xпри

xприx

xпри

xf

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое

отклонение величины X.

Решение:3

4

62

1)()(

2

0

32

0

2

xdxxdxxxfXM .

.9

2)

9

16

3

8(

2

1

2

1)

3

4()()

3

4()( 2

2

0

2

0

22

dxxxxdxxxdxxfxXD

47,03

2)()( XDX .



1. Случайная величина X задана функцией распределения

.21

;213

1

3

;10

)(

xпри

xприx

xпри

xF Найти вероятность того, что в результате испытания

X примет значение, заключённое в интервале (0;1).

98

2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

.40

;40)4(32

3

;00

)( 2

xпри

xприxx

xпри

xf

Найти вероятность попадания случайной величины X на отрезок 3;2 .

3. Случайная величина задана плотностью вероятности

.2

0

;22

cos

;2

0

)(

xпри

xприxa

xпри

xf

Найти коэффициент a.

4. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

.2

0

;2

0cos

;00

)(

xпри

xприx

xпри

xf Найти интегральную функцию распределения.

5. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,

непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности:

.10

;101

;00

)(

xпри

xпри

xпри

xf

7. Законы распределения случайных величин.

Биномиальное распределение.

Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в

каждом испытании равна pи не зависит от исхода других испытаний. Так как вероятность

наступления события A в одном испытании равна p, то вероятность его не наступления

равна q=1-p.

Вероятность того, что при n испытаниях событие Aнаступит mраз, вычисляется по

формуле: mnm

n qpmnm

nmP

)!(!

!)( . (формула Бернулли)

Пример: Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность

того, что из четырёх посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трёх.

99

Решение:

а) В данном случае n=4, m=3, p=0,9, q=1-p=0,1.

Применим формулу Бернулли. .2916,01,0)9,0()!34(!3

!4)3( 3

4

P

б) Искомое событие A состоит в том, что из четырёх семян взойдут или три,

четыре. По теореме сложения вероятностей

9477,06561,02916,0)9,0(2916,0)4()3()( 4

44 PPAP .

Для биномиального закона распределения: npXM )( , npqXD )( , npqX )( .

Пример: Случайная величина Xопределена как число выпавших гербов в результате

100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее

квадратическое отклонение X.

Решение: Вероятность появления герба в каждом бросании монеты 2

1p .

Следовательно, вероятность не появления герба 2

1

2

11 q . Случайная величина

Xимеет биномиальное распределение при 100n и 2

1p .

Итак, 502

1100)( npXM , 25

2

1

2

1100)( npqXD , 525)( npqX

Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.

Если число испытаний nвелико, то вычисления по формуле Бернулли становятся

затруднительными. В этих случаях будем использовать локальную предельную теорему

Лапласа: Пусть p=P(A) – вероятность события A, причём 10 p . Тогда вероятность

того, что в условиях схемы Бернулли событие A при n испытаниях появится точно m раз,

выражается приближённой формулой Лапласа: )(1

)(npq

npm

npqmPn

, где pq 1 ,

2

2

2

1)(

x

ex

.

Значения функции )(x находят по таблице. В таблице указаны положительные

значения x. Функция )(x чётная.

Пример: Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна

2,0p . Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20

раз?

Решение: Имеем: 2,0p , 8,0q , 100n , 20m . Отсюда,

48,02,0100 npq , следовательно, 04

2,010020

npq

npmt . Учитывая, что

4,02

1)0(

, из формулы получаем: 1,0

4

14,0)20(100 P .

100

Рассмотрим интегральную теорему Лапласа: Если при n испытаниях событие

Aпоявится не менее kраз и не более lраз, то искомую вероятность ),( lkPn можно найти

по формуле: dxedxxlkPl

k

l

k

x

x

xx

x

n

2

2

2

1)(),( , где

npq

npkxk

,

npq

nplxl

.

Введём функцию dtex

x t

0

2

2

2

1)( , называемую функцией Лапласа или

интегралом вероятностей.

)(x есть первообразная для функции )(x . Функция )(x - возрастающая,

нечётная.

)()(),( kln xxlkP . Это – интегральная формула Лапласа.

Пример: Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равно 2,0p .

Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся

непроверенными от 70 до 100 изделий?

Решение: Имеем: 2,0p , 8,0q , 400n , 70k , 100l . Отсюда, 25,1kx ,

5,2lx и согласно формуле получаем:

8882,03944,04938,0)25,1()5,2()25,1()5,2()100,70(400 P .

Распределение Пуассона.

Пусть проводится серия n независимых испытаний, причём вероятность появления

данного события A зависит от её номера npAP )( и стремится к нулю при n

(последовательность «редких событий»). Если для каждой серии среднее значение числа

появлений события A постоянно, т.е. constnpn , то n

pn

,

em

mPm

n!

)(

Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если эта

величина задана таблицей:

При распределении Пуассона )(XM , )(XD , )(X .

Равномерное распределение.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей

все свои значения из отрезка ba; , называется равномерным, если её плотность

вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

.0

;

;0

)(

bxпри

bxaприc

axпри

xf

X 0 1 2 3 …

p e e

e!2

2

e!3

3

…

101

Так как,

b

a

abccdxdxxf )()( , и 1)(

dxxf , то ab

c

1

. Итак, плотность

вероятности непрерывной случайной величины X, распределённой равномерно на отрезке

ba; , имеет вид:

.0

;1

;0

)(

bxпри

bxaприab

axпри

xf

2)(

baXM

,

12

)()(

2baXD

, )()( XDX .

Закон нормального распределения.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется

нормальным, если её дифференциальная функция )(xf определяется формулой:

2

2

2

)(

2

1)(

ax

exf , где параметр aсовпадает с математическим ожиданием величины X (

aXM )( ), параметр является средним квадратическим отклонением величины X (

)(X ).

График функции 2

2

2

)(

2

1)(

ax

exf имеет вид:

Максимальная ордината функции равна 2

1. Эта ордината убывает с

возрастанием значения (кривая «сжимается» к оси X) и возрастает с убыванием

значения (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Y). Изменение

значений параметра a(при неизменном значении ) не влияет на форму кривой.

102

Нормальное распределение с параметрами a=0 и a=1 называют нормированным.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность

того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ; , вычисляется по формуле:

)()()(

aaXP . Чтобы найти вероятность отклонения нормально

распределённой случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной

величине меньше заданного положительного числа , т.е. найти )( aXP ,

необходимо пользоваться формулой: )(2)(

aXP .

Пример: Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами

20a и 10 . Найти )320( XP .

Решение: )10

3(2)320( XP . По таблице приложения находим 1179,0)3,0( .

Итак, 2358,01179,02)320( XP .



1. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределённой по

нормальному закону с параметрами смa 164 и см5,5 . Найти плотность

вероятности.

2. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое

ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно

равны 0 и 2. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее

интервалу )3;2( .

3. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами

гa 375 и г25 . Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300

до 425г.

103

4. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной,

распределённой по нормальному закону. Дисперсия её равна 0,0001, а

математическое ожидание 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973

заключен диаметр наудачу взятой детали.

5. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее

квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найти вероятность того, что

отклонение случайной величины X от её математического ожидания по

абсолютной величине будет меньше 0,1.


по теме: «Случайные величины».

1. Найдите дисперсию случайной величины Х, заданной таблицей распределения:

3. Х 4. 2 5. 3 6. 5

7. р 8. 0,1 9. 0,6 10. 0,3

2. Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения с

математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найдите вероятность того, что

значение случайной величины заключено в интервале (10;50).

3. Все значения случайной величины Х принадлежат интервалу (0;2), причём

плотность вероятности:

;214

3

;104

1

)(

xпри

xпри

xf

Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X) и дисперсию

D(X).

4. При опытной стрельбе было обнаружено, что отклонение точки попадания от

цели подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием М = 0 и

дисперсией D=4 м. Какова вероятность того, что | |<1м?

5. При расфасовке некоторой продукции пакет считается стандартным, если его масса

отличается от заданной массы 1 кг не более чем на 20 г. Проверено, что при

аккуратной работе, ошибки массы подчиняются нормальному закону с

математическим ожиданием M=0 и средним квадратическим отклонением 10 г.

Некоторая партия этой продукции из 10000 пакетов содержит 9000 стандартных

пакетов. Соответствует ли это данному нормальному закону?

104

Тема 9.2. Элементы математической статистики §1. Генеральная совокупность и выборка.

1. Основные понятия.

Для изучения множества однородных объектов (статической совокупности) на

определённый качественный или количественный признак применяют исследование

части объектов, называемой генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно

отобранных из генеральной совокупности, называют выборкой. Число объектов

генеральной совокупности или выборки называют объёмом генеральной совокупности

или выборки. Если объекты выборки возвращают в генеральную совокупность, то

выборка называется повторной. Если объекты выборки не возвращают в генеральную

совокупность, то выборка называется бесповторной.

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма.

Если из генеральной совокупности извлечена выборка, причёмx1наблюдалось n1 раз,

x2наблюдалось 𝒏𝟐 раз, 𝒙𝟑 наблюдалось 𝒏𝟑 раз, … 𝒙𝒌 наблюдалось 𝒏𝒌 раз, то объём

выборки равен 𝒏 = 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 +⋯+ 𝒏𝒌. Вариантами называются величины 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … 𝒙𝒌, а

их запись в возрастающем виде – вариационным рядом. Значения 𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒌 называют

частотами, а их отношения к объёму выборки: 𝒑𝟏 =𝒏𝟏

𝒏, 𝒑𝟐 =

𝒏𝟐

𝒏, …𝒑𝒌 =

𝒏𝒌

𝒏–

относительными частотами.

𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒌 = 𝟏

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант или частот,

относительных частот. Статистическое распределение можно задавать в виде

последовательностей интервалов и соответствующих им частот. В качестве частоты,

соответствующей интервалу, принимается сумма частот вариант, попавших в этот

интервал. Для графического изображения статистического распределения используют

полигоны и гистограммы.

Полигон

Пример: По данным статистического распределения изобразить полигон.

Решение:

Варианта 𝑥𝑖 1 2 3 5

Относительная

частота 𝑝𝑖 0,4 0,2 0,3 0,1

105

Гистограмма

Если задано большое число вариант или непрерывное распределение, то, как

правило, строят гистограмму.

Пример: По данным непрерывного статистического распределения объёма n=100

изобразить гистограмму.

Решение:

Частичный интервал h Сумма частот вариант

частичного интервала 𝑛𝑖

𝑛𝑖ℎ

5-10 4 0,8

10-15 6 1,2

15-20 16 3,2

20-25 36 7,2

25-30 24 4,8

30-35 10 2,0

35-40 4 0,8

§2. Оценки параметров генеральной совокупности по её выборке

1. Генеральная и выборочная средние.

Рассмотрим дискретную генеральную совокупность объёма Nотносительно

количественного признака X.

Генеральной средней �� называется среднее арифметическое значений признака

генеральной совокупности.

Если все значения признака 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑁 генеральной совокупности объёма N

различны, то �� =1

𝑁(𝑥1 +𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑁 ). Если значения 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑁 имеют

соответственные частоты 𝑁1,𝑁2, … , 𝑁𝑘 (𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2 +⋯+ 𝑁𝑘 ), тоi

k

1i

i NxN

1x

𝑀(𝑥) = ��

Выборочной средней 𝑥в называется среднее арифметическое значений признака

выборочной совокупности.

106

Если все значения признака 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛признака выборки объёма n различны, то

𝑥в =1

𝑛(𝑥1 +𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 ). Если значения 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑘 имеют соответственные частоты

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 (𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘 ), тоi

k

1i

iв nxn

1x

Подробно рассмотреть вопрос оценки параметров генеральной и выборочной

совокупности можно в рамках математической статистики. Мы же рассмотрим ещё один

пример, связанный с теорией корреляции.

2. Регрессия и корреляция.

Если рассмотреть достаточно типичную ситуацию набора элементов упорядоченных

пар (𝑋; 𝑌), где Y–зависимая переменная от X. Причём зависимость переменной Y от X

является вероятностной, т.е. в зависимости от ряда факторов значение переменной Y

меняется и принимает одно из множества значений. Рассмотрим корреляционную

зависимость, т.е. когда при изменении Xизменяются и условные математические

ожидания переменной Y. Функция, описывающая изменение условного математического

ожидания случайной переменной Y при изменении значений переменной Х,

называется функцией регрессии, а ее график – линией регрессии.

Рассмотрим задачу написания выборочного уравнения прямой регрессии Y на X по

данной корреляционной таблице.

Пример: Найти выборочное уравнение прямой 𝑦𝑥 − �� = 𝑟в𝜎𝑦

𝜎𝑥(𝑥 − ��)регрессии Y на

Xпо данной корреляционной таблице.

X

Y 10 15 20 25 30 𝒏𝒚

10 1 2 3 - - 6

20 4 3 - - - 7

30 - 8 42 2 - 52

40 - 4 11 6 - 21

50 - - 4 7 3 14

𝒏𝒙 5 17 60 15 3 n=100

Решение:

∑xi

100

i=1

= 10 ∙ 5 + 15 ∙ 17 + 20 ∙ 60 + 25 ∙ 15 + 30 ∙ 3 = 1970;

∑yi

100

i=1

= 10 ∙ 6 + 20 ∙ 7 + 30 ∙ 52 + 40 ∙ 21 + 50 ∙ 14 = 3300;

∑𝑥𝑖2

100

𝑖=1

= 100 ∙ 5 + 225 ∙ 17 + 400 ∙ 60 + 625 ∙ 15 + 900 ∙ 3 = 40400;

∑yi2

100

i=1

= 100 ∙ 6 + 400 ∙ 7 + 900 ∙ 52 + 1600 ∙ 21 + 2500 ∙ 14 = 118800;

107

∑xi

100

i=1

∙ yi = 10 ∙ 10 ∙ 1 + 10 ∙ 20 ∙ 4 + 15 ∙ 10 ∙ 2 + 15 ∙ 20 ∙ 3 + 15 ∙ 30 ∙ 8 + 15 ∙ 40 ∙ 4 +

+20 ∙ 10 ∙ 3 + 20 ∙ 30 ∙ 42 + 20 ∙ 40 ∙ 11 + 20 ∙ 50 ∙ 4 + 25 ∙ 30 ∙ 2 + 25 ∙ 40 ∙ 6 +

+25 ∙ 50 ∙ 7 + 30 ∙ 50 ∙ 3 = 67450;

x =1

n∑xi

n

i=1

; y =1

n∑yi

n

i=1

x =1

100∑xi

100

i=1

= 19,7 ; y =1

100∑yi

100

i=1

= 33

σx2 =

∑ xi2100

i=1

100− x2 =

40400

100− 19,72 = 404 − 388,09 = 11,91

𝜎𝑥 = √11,91 ≈ 3,45;

σ𝑦2 =

∑ yi2100

i=1

100− y2 =

118800

100− 332 = 1188 − 1089 = 99

𝜎𝑦 = √99 ≈ 9,95 ;

𝐶𝑥𝑦 =∑ 𝑥𝑖∙𝑦𝑖100i=1

100− �� ∙ �� =

67450

100− 19,7 ∙ 33 = 674,5 − 650,1 = 24,4;

𝑟в =𝐶𝑥𝑦

𝜎𝑥∙𝜎𝑦=

24,4

3,45∙9,95≈ 0,71 ;

Уравнение линии регрессии: 𝑦𝑥 − 33 = 0,71 ∙9,95

3,45(𝑥 − 19,7);

𝑦𝑥 − 33 = 2,05(𝑥 − 19,7); 𝑦𝑥 = 2,05𝑥 − 7,385

Ответ:𝑦𝑥 = 2,05𝑥 − 7,385.

108


по теме: «Элементы математической статистики».

1. По данным непрерывного статистического распределения объёма n=100 изобразить

гистограмму.

Частичный интервал h Сумма частот вариант

частичного интервала 𝑛𝑖

𝑛𝑖ℎ

5-10 2 0,4

10-15 4 0,8

15-20 15 3

20-25 35 7

25-30 20 4

30-35 20 4

35-40 4 0,8

2. Найти выборочное уравнение прямой 𝑦𝑥 − �� = 𝑟в𝜎𝑦

𝜎𝑥(𝑥 − ��) регрессии Y на X по данной

корреляционной таблице.

X

Y 20 30 40 50 60 𝒏𝒚

15 3 2 3 - - 8

25 4 3 6 - - 13

35 2 8 32 2 - 44

45 - - 6 6 10 22

55 - - 4 6 3 13

𝒏𝒙 9 13 51 14 13 n=100

109

Приложения

Таблица значений функции 2

2

2

1)(

x

ex

.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973

0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918

0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825

0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697

0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538

0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352

0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144

0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920

0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685

0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2792 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203

1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965

1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736

1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518

1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315

1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127

1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957

1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449

2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363

2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290

2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229

2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180

2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139

2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107

2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081

2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061

2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034

3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025

3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018

3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013

3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009

3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006

3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004

3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003

3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002

3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

110

Таблица значений функции dtexx t

0

2

2

2

1)( .

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)

0,00 0,0000 0,25 0,0987 0,50 0,1915 0,75 0,2734

0,01 0,0040 0,26 0,1026 0,51 0,1950 0,76 0,2764

0,02 0,0080 0,27 0,1064 0,52 0,1985 0,77 0,2794

0,03 0,0120 0,28 0,1103 0,53 0,2019 0,78 0,2823

0,04 0,0160 0,29 0,1141 0,54 0,2054 0,79 0,2852

0,05 0,0199 0,30 0,1179 0,55 0,2088 0,80 0,2881

0,06 0,0239 0,31 0,1217 0,56 0,2123 0,81 0,2910

0,07 0,0279 0,32 0,1255 0,57 0,2157 0,82 0,2939

0,08 0,0319 0,33 0,1293 0,58 0,2190 0,83 0,2967

0,09 0,0359 0,34 0,1331 0,59 0,2224 0,84 0,2995

0,10 0,0398 0,35 0,1368 0,60 0,2257 0,85 0,3023

0,11 0,0438 0,36 0,1406 0,61 0,2291 0,86 0,3051

0,12 0,0478 0,37 0,1443 0,62 0,2324 0,87 0,3078

0,13 0,0517 0,38 0,1480 0,63 0,2357 0,88 0,3106

0,14 0,0557 0,39 0,1517 0,64 0,2389 0,89 0,3133

0,15 0,0596 0,40 0,1554 0,65 0,2422 0,90 0,3159

0,16 0,0636 0,41 0,1591 0,66 0,2454 0,91 0,3186

0,17 0,0675 0,42 0,1628 0,67 0,2486 0,92 0,3212

0,18 0,0714 0,43 0,1664 0,68 0,2517 0,93 0,3238

0,19 0,0753 0,44 0,1700 0,69 0,2549 0,94 0,3264

0,20 0,0793 0,45 0,1736 0,70 0,2580 0,95 0,3289

0,21 0,0832 0,46 0,1772 0,71 0,2611 0,96 0,3315

0,22 0,0871 0,47 0,1808 0,72 0,2642 0,97 0,3340

0,23 0,0910 0,48 0,1844 0,73 0,2673 0,98 0,3365

0,24 0,0948 0,49 0,1879 0,74 0,2703 0,99 0,3389

1,00 0,3413 1,40 0,4192 1,80 0,4641 2,40 0,4918

1,01 0,3438 1,41 0,4207 1,81 0,4649 2,42 0,4922

1,02 0,3461 1,42 0,4222 1,82 0,4656 2,44 0,4927

1,03 0,3485 1,43 0,4236 1,83 0,4664 2,46 0,4931

1,04 0,3508 1,44 0,4251 0,84 0,4671 2,48 0,4934

1,05 0,3531 1,45 0,4265 1,85 0,4678 2,50 0,4938

1,06 0,3554 1,46 0,4279 1,86 0,4686 2,52 0,4941

1,07 0,3577 1,47 0,4292 1,87 0,4693 2,54 0,4945

1,08 0,3599 1,48 0,4306 1,88 0,4699 2,56 0,4948

1,09 0,3621 1,49 0,4319 1,89 0,4706 2,58 0,4951

1,10 0,3643 1,50 0,4332 1,90 0,4713 2,60 0,4953

1,11 0,3665 1,51 0,4345 1,91 0,4719 2,62 0,4956

1,12 0,3686 1,52 0,4357 1,92 0,4726 2,64 0,4959

1,13 0,3708 1,53 0,4370 1,93 0,4732 2,66 0,4961

1,14 0,3729 1,54 0,4382 1,94 0,4738 2,68 0,4963

1,15 0,3749 1,55 0,4394 1,95 0,4744 2,70 0,4965

1,16 0,3770 1,56 0,4406 1,96 0,4750 2,72 0,4967

1,17 0,3790 1,57 0,4418 1,97 0,4756 2,74 0,4969

1,18 0,3810 1,58 0,4429 1,98 0,4761 2,76 0,4971

1,19 0,3839 1,59 0,4441 1,99 0,4767 2,78 0,4973

1,20 0,3949 1,60 0,4452 2,00 0,4772 2,80 0,4974

1,21 0,3869 1,61 0,4463 2,02 0,4783 2,82 0,4976

1,22 0,3888 1,62 0,4474 2,04 0,4793 2,84 0,4977

111

1,23 0,3907 1,63 0,4484 2,06 0,4803 2,86 0,4979

1,24 0,3925 1,64 0,4495 2,08 0,4812 2,88 0,4980

1,25 0,3944 1,65 0,4505 2,10 0,4821 2,90 0,4981

1,26 0,3962 1,66 0,4515 2,12 0,4830 2,92 0,4982

1,27 0,3980 1,67 0,4525 2,14 0,4838 2,94 0,4984

1,28 0,3997 1,68 0,4535 2,16 0,4846 2,96 0,4985

1,29 0,4015 1,69 0,4545 2,18 0,4854 2,98 0,4986

1,30 0,4032 1,70 0,4554 2,20 0,4861 3,00 0,49865

1,31 0,4049 1,71 0,4564 2,22 0,4868 3,20 0,49931

1,32 0,4066 1,72 0,4573 2,24 0,4875 3,40 0,49966

1,33 0,4082 1,73 0,4582 2,26 0,4881 3,60 0,499841

1,34 0,4099 1,74 0,4591 2,28 0,4887 3,80 0,499928

1,35 0,4115 1,75 0,4599 2,30 0,4893 4,00 0,499968

1,36 0,4131 1,76 0,4608 2,32 0,4898 4,50 0,499997

1,37 0,4147 1,77 0,4616 2,34 0,4904 5,00 0,500000

1,38 0,4162 1,78 0,4625 2,36 0,4909

1,39 0,4177 1,79 0,4633 2,38 0,4913

112

Список использованной литературы:

1. В.С. Шипачев Курс высшей математики. Учебник/ Под. ред. А.Н. Тихонова

2. И.И. Баврин Курс высшей математики

3. В.А. Кудрявцев, Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики

4. А.Г. Курош Курс высшей алгебры

5. К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко Сборник задач по

высшей математике

МАТЕМАТИКАhttps://спогрт.рф/svedens/documents/kl_matematika...Общий вид...

Documents