olimpiada de matematica etapa locala - isjolt.ro · fie p un punct în interiorul unui tetraedru...

Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt

sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]

Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801

www.edu.ro www.isjolt.ro

OLIMPIADA DE MATEMATICA ETAPA LOCALA --- 3.03. 2019

CLASA A- V –A

BAREM

Subiectul I

a) Arătați că numărul este divizibil cu 3.

b) Arătați că numărul poate fi scris ca sumă de 5 pătrate perfecte.

prof. Popa Dorin, Slatina

Solutie:

a) =2019.................................................................................................2p

2019 ......................................................................................................................................................1p

b) ......................................2p

= …..2p

Subiectul II

a) Calculați suma : S=1+3+5+....+199

b) Împărțim 100 de numere naturale la 200. Resturile obținute sunt numere naturale impare, oricare

doua diferite. Arătați ca suma celor 100 de numere este divizibilă cu 200.

prof. Ion Gusatu, Slatina

Solutie :

a) S = 2·0 + 1 + 2·1 + 1 +...+ 2·99 + 1 = 2(0 + 1 + 2 + .... + 99) + 100= 2·(99·100) : 2 + 100 =

99·100 + 100 = ……..............................................................................................................3p

b) Avem 100 de numere naturale impare mai mici decat 200 .......................................................1p

Cele 100 de numere au forma 200 ....................................1p

S= 200 ( ...... + + ...................................................................................................1p

S = 200 ( ⟹S ..................................................................................1p

Subiectul III

Determinați numărul natural știind că prin împărțirea lui la 3 se obține câtul și restul 1.

Supliment G.M

Solutie:

Numărul se scrie ⟹ ..........................2p

⟹299c + 20b +1 =97a ..............................................................................................................................1p

97a ⟹ ⟹ ...................................................................................................1p

c=1 ⟹300+20b=97a , U(97a) ,⟹ c=1 nu convine..........................................................................1p

c=2⟹ 599+ 20b= 97a, U(599+20b) ⟹ ................................................................................ 1p

599+20b=679⟹ b=4 ⟹ .......................................................................................................1p

Subiectul IV

Să se determine trei numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:

1) Suma primelor două numere este 42.

2) Dacă marim primul numar cu dublul celui de-al treilea și micșorăm pe cel de-al doilea cu cel de-al

treilea se obțin rezultate egale.



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801


3) Dacă micșorăm primul numar cu cel de-al treilea atunci triplul rezultatului obținut este dublul celui

de-al doilea.

prof . Ion Gusatu, Slatina

Solutie:

⟹a=9c , b=12c, ⟹a+b=21c ,⟹c=2, a=18, b=24.......................................2p



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801


OLIMPIADA DE MATEMATICA

ETAPA LOCALA—3.03.2019

CLASA a-VI-a

BAREM

Problema 1.

Determinați numerele prime a, b și numărul natural c pentru care

.

Șirul de rapoarte se poate scrie:

2p

⟹

. 2p

⟹ deci b si a sunt consecutive dar si prime ⟹b=2, a=3 2p

⟹ c=8 1p

G.M. 11/2018

Problema 2.

Determinați numerele naturale nenule a, b, c cu proprietatea că (b,c)=1, numerele a și b sunt invers

proporționale cu 5 și 3, iar c și a sunt invers proporționale cu 5 și 3.

a) 5a=3b și 5c=3a , unde(5,3)=1

2p

obținem 3|a și 5|a, adică 15| a

2p

deci există k număr natural nenul astfel încât b=25 k și c=9k

din(b,c)=1 deducem k=1

2p

a=15, b=25, c=9

1p

Prof. Gabriela IONICĂ, Slatina

Problema 3.

Determinați numerele abcd cu număr maxim de divizori, știind că 8 ab cd .

100 8 108abcd ab ab ab 1p

8 99 10,11,12ab ab 1p

2 32 3abcd ab 1p

Pentru 3 310 2 3 5ab abcd obținem 32 divizori;

1p

Pentru 2 311 2 3 11ab abcd obținem 24 divizori; 1p



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801


Pentru 4 412 2 3ab abcd obținem 25 divizori;

1p

Finalizare 1080abcd

1p

Prof. Gabriela IONICĂ, Slatina

Problema 4.

Se considera A, O, B puncte coliniare în aceasta ordine și punctele C și D de aceeași parte a dreptei AB

astfel încât m( COD)=900. Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și

BOD.

Fie [OE bisectoarea si [OF bisectoarea BOD.

I. Daca [OC este interioara AOD ,se noteaza m( AOC)= 2u si m( BOD)= 2v.

1p

Din A, O, B coliniare în această ordine se obtine 2u+900+2v=180

0 2p

Se deduce u+v=450. 1p

m( EOF) =m( EOC)+m COD)+m( DOF)=u+900+v=45

0+90

0=135

0 1p

II. Daca [OD este interioară AOC, se notează m( AOD)= 2u si m( COB)= 2v .

Obținem m( AOC)=900+2u, ce conduce la m( AOE)=45

0+u,

0,5

m( BOD)=900+2v, ce conduce la m( BOF)=45+v 0,5

m( EOF)=m( AOB)-( m( AOE)+m( BOF))=1800-(90

0+u+v)=180

0-(90

0+45

0)=180

0-

1350=45

0

1p

Ionela Popescu si Alexander Alaa Safadi, Campulung Muscel

G.M.9/2018



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801



ETAPA LOCALA—3.03.2019

CLASA a-VII-a

BAREM

Subiectul I

a) Determinați multimea A =

. .

b) Aratați că

, unde S reprezintă suma elementelor lui A este rațional.

Supliment G.M

Barem de evaluare și de notare:

a) ...........................................................................................................................1p

…....2p

b)

.......................3p

............................................................................................................................1p

Subiectul II

a) Rezolvați ecuația :

.......+

b) Aflați a,b numere rationale astfel incat

.

Prof. Ion Gușatu, Slatina


a) Ecuația se scrie :

….................................1p

(x-2020)(

...................................................................................................1p

, x= 2020..................................................................................................... 1p

b) Egalitatea se scrie -8.................................................................................2p

b+3a-8 a-b=0 a=b si b+3a- 8=0 a=b=2 .................................................................2p

Subiectul III

Se consideră paralelogramul ABCD și MN AB, M (AD), N (BC). Dacă =BM și

=AN arătați că AC·AN AC·AF = AN·AE.


Din NB ǁ AD ∆ BFN ∆DFA

(1)........................................................................................2p



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801


Din AMǁ BC ∆AEM ∆CEB

(2)........................................................................................2p

MNǁ AB și AM ǁ BN ABNM paralelogram AM=NB, AD= BC, ( ABCD paralelogram) (3).........1p

Din (1), (2), (3)

AN·EC = AF·AC AN·( AC AE) = AF·AC

AN·AC-AF·AC=AN·AE.....................................................................................................................2p

GM. 11/2018

Subiectul IV

În trapezul ABCD, AB CD , AB CD , înalțimea DE, E AB ) intersectează diagonala AC în

M astfel încât AM MC. Considerăm P AB astfel încât AP =CD, A PB). Dacă PM AD = , să se arate că 3EQ=AC.

Prof. Ion Gușatu, Slatina

Soluție:

AM=MC, ,DM=ME.......................2p

AP=DC=AE ,APǁ DC PACDparalelogram..............................................................................................1p

PM,DA mediane PM Q centrul de greutate al ∆DEP .....................................................1p

EQ ER mediana...................................................................................................................1p

EQ=

3 EQ=AC ..................................................................................2p



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801



ETAPA LOCALA --- 3.03. 2019

CLASA A- VIII –A

BAREM

Problema 1.

Se consideră numerele reale x și y, 8 2x , și 5y x . Arătați că expresia

2 2 2 216 6 73 4 6 13E x,y x y x y x y x y

este constantă.

SGM 11/2018

Solutie

2 2 2 2

8 3 2 3E x,y x y x y 2p

2 2

2 8 2 2E x,y x x 2p

8 2 2 2E x,y x x 1p

8 2 2 2 6 2E x,y x x 2p

Problema 2

Fie suma:

S=

.

Demonstraţi că , unde {x} reprezintă partea fracţionară a numărului real x.

prof. Nicolae Tomescu, Corabia

Solutie

Orice fracţie din sumă are forma:

,

1p

Care se mai poate scrie:

3p

Suma se scrie:

S=

2p

Din 0 1p

Problema 3.

Fie prisma patrulateră regulată dreaptă ABCDA’B’C’D’ cu AB=6cm, AA’=6 cm și E simetricul lui D

fată de C.



Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927

Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801


a) Demonstrați că BE B’D’.

b) Aflați sinusul unghiului dintre dreptele C’D și B’C.

Prof. Nicolae Tomescu, Corabia

Solutie

a) Din BE AC A’C’ și A’C’ B’D’ obținem că BE B’D’ 2p

b) B’C A’D = = 1p

Dar A’D=C’D=12cm și A’C’=6 cm 1p

Fie O mijlocul segmentului A’C’.Rezultă DO=3 cm. 1p

Aria

DO A’C’

A’D C’D

. sin sin

’ ’

’ ’ =

.

2p

Problema 4. Fie P un punct în interiorul unui tetraedru regulat VABC. Să se determine lungimea laturii tetraedrului,

știind că 10 3PA PB PC , iar VP=10.

Supliment GM 12/2018

Solutie

Fie O centrul bazei ABC, PO=x, AB=a, de unde obținem 3

3

aAO

Din 10 3PA PB PC , obținem ( )PO ABC , ceea ce conduce la V, P, O coliniare

În POA , m( )=900, conform teoremei Pitagora obținem

2 23 900x a

VOA , m( )=900 , conform teoremei Pitagora obținem 2 23(10+x) =2a

Din 2 2 22a 3(10+x) =1800-6x obținem x=10, iar a=10 6

1p

3p

2p

1p

olimpiada de matematica etapa locala - isjolt.ro · fie p un punct în interiorul unui tetraedru...

Documents