olivieri_pitacco_assessing the cost of capital for longevity risk

8/4/2019 Olivieri_Pitacco_Assessing the Cost of Capital for Longevity Risk

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A s s e s s i n g t h e C o s t o f C a p i t a l f o r L o n g e v i t y R i s k

A n n a m a r i a O l i v i e r i

U n i v e r s i t y o f P a r m a

F a c u l t y a n d D e p t o f E c o n o m i c s

V i a J . F . K e n n e d y , 6 4 3 1 0 0 P a r m a ( I t a l y )

E m a i l : a n n a m a r i a . o l i v i e r i @ u n i p r . i t

E r m a n n o P i t a c c o

U n i v e r s i t y o f T r i e s t e

F a c u l t y o f E c o n o m i c s

D e p t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s

P . l e E u r o p a , 1 3 4 1 2 7 T r i e s t e ( I t a l y )

E m a i l : e r m a n n o . p i t a c c o @ e c o n . u n i t s . i t

A b s t r a c t

T h e c o s t o f c a p i t a l i s a k e y e l e m e n t o f t h e e m b e d d e d v a l u e m e t h o d o l o g y f o r

t h e v a l u a t i o n o f a l i f e b u s i n e s s . F u r t h e r , u n d e r s o m e s o l v e n c y a p p r o a c h e s ( i n p a r -

t i c u l a r , t h e S w i s s S o l v e n c y T e s t a n d p o s s i b l y t h e d e v e l o p i n g S o l v e n c y 2 p r o j e c t )

a s s e s s i n g t h e c o s t o f c a p i t a l c o n s t i t u t e s a s t e p i n d e t e r m i n i n g t h e r e q u i r e d a l l o c a -

t i o n .

W h i l s t t h e c o s t o f c a p i t a l i s u s u a l l y m e a n t a s a r e w a r d f o r t h e r i s k s e n c u m b e r i n g a

g i v e n l i f e p o r t f o l i o , i n a c t u a r i a l p r a c t i c e t h e r e l e v a n t p a r a m e t e r h a s b e e n t r a d i t i o n -

a l l y c h o s e n , a t l e a s t t o s o m e e x t e n t , i n c o n s i s t e n t l y w i t h s u c h r i s k s . T h e a d o p t i o n

o f m a r k e t - c o n s i s t e n t v a l u a t i o n s h a s t h e n b e e n a d v o c a t e d t o r e a c h a c o m m o n s t a n -

d a r d .

A m a r k e t - c o n s i s t e n t v a l u e u s u a l l y a c k n o w l e d g e s a r e w a r d t o s h a r e h o l d e r s ' c a p i -

t a l a s l o n g a s t h e m a r k e t d o e s , n a m e l y i f t h e r i s k i s s y s t e m a t i c o r u n d i v e r s i a b l e .

W h e n d e a l i n g w i t h a l i f e a n n u i t y p o r t f o l i o ( o r a p e n s i o n p l a n ) , a n i m p o r t a n t e x a m -

p l e o f s y s t e m a t i c r i s k i s p r o v i d e d b y t h e l o n g e v i t y r i s k , i . e . t h e r i s k o f s y s t e m a t i c

d e v i a t i o n s f r o m t h e f o r e c a s t e d m o r t a l i t y t r e n d . H e n c e , a m a r k e t - c o n s i s t e n t a p -

p r o a c h s h o u l d p r o v i d e a p p r o p r i a t e v a l u a t i o n t o o l s .

I n t h i s p a p e r w e r e f e r t o a p o r t f o l i o o f i m m e d i a t e l i f e a n n u i t i e s a n d w e f o c u s o n

l o n g e v i t y r i s k . O u r p u r p o s e i s t o d e s i g n a f r a m e w o r k f o r a v a l u a t i o n o f t h e p o r t -

f o l i o w h i c h i s m a r k e t - c o n s i s t e n t , a n d t h e r e f o r e b a s e d o n a r i s k - n e u t r a l a r g u m e n t ,

w h i l e i n v o l v i n g s o m e o f t h e b a s i c i t e m s o f a t r a d i t i o n a l v a l u a t i o n , v i z b e s t e s t i m a t e

f u t u r e o w s a n d a l l o c a t e d c a p i t a l . T h i s w a y , w e t r y t o r e c o n c i l e t h e t r a d i t i o n a l

w i t h a m a r k e t - c o n s i s t e n t ( o r r i s k - n e u t r a l ) a p p r o a c h . T h i s a l l o w s u s , i n p a r t i c u l a r ,

t o t r a n s l a t e t h e r e s u l t s o b t a i n e d u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h i n t e r m s o f t h e

c o s t o f c a p i t a l .

K e y w o r d s : t a r g e t c a p i t a l , r i s k r e w a r d , e m b e d d e d v a l u e , m a r k e t - c o n s i s t e n t v a l -

u a t i o n , r i s k - n e u t r a l s e t t i n g , c o s t o f c a p i t a l , r i s k d i s c o u n t r a t e , l o n g e v i t y r i s k , l i f e

a n n u i t i e s .


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2 A s s e s s i n g t h e C o s t o f C a p i t a l f o r L o n g e v i t y R i s k

1 I n t r o d u c t i o n

T h e l i v e l y d e b a t e a b o u t t h e v a l u a t i o n o f t h e l i f e b u s i n e s s i s s t i l l f a r t o c o m e t o a p r o -

p o s a l o f a s t a n d a r d m o d e l . T h e m a i n d r a w b a c k s o f t h e c l a s s i c a l E m b e d d e d V a l u e ( E V )

f r a m e w o r k a r e w e l l - k n o w n ; i n p a r t i c u l a r , c r i t i c i s m s u s u a l l y f o c u s o n t h e d i s c o u n t r a t e ,

g i v e n t h a t i t s h o u l d i n c l u d e a r e w a r d f o r t h e r i s k s i n h e r e n t i n t h e o w s t o b e d i s c o u n t e d ,

b u t i t s c o n s i s t e n c y w i t h t h e m i s h a r d t o d i s c l o s e . O n t h e o t h e r h a n d , M a r k e t - C o n s i s t e n t

( M C ) a p p r o a c h e s , u n d e r w h i c h o n l y u n d i v e r s i a b l e r i s k s a r e r e w a r d e d , w h i l e t a k i n g a d -

v a n t a g e o f r i s k - a d j u s t m e n t s a s s e s s e d a c c o r d i n g t o m a r k e t e x p e r i e n c e , p r o v e t o b e w e a k

( w h e n e v e n n o t c o n c e i v a b l e ) w h e n r i s k s w i t h p o o r o r n o m a r k e t e v i d e n c e a r e d e a l t w i t h .

A m o n g t h e r i s k s a e c t i n g l i f e a n n u i t y p o r t f o l i o s , s p e c i a l a t t e n t i o n s h o u l d b e a d -

d r e s s e d t o t h e l o n g e v i t y r i s k , i . e . t h e r i s k o f u n a n t i c i p a t e d a g g r e g a t e m o r t a l i t y , a r i s i n g

f r o m m o r t a l i t y e v o l u t i o n a t o l d a g e s . U n l i k e t h e r i s k o f r a n d o m u c t u a t i o n s , w h i c h i s d i -

v e r s i a b l e ( o r , b e t t e r s a i d , p o o l i n g ) b e i n g d u e t o d e v i a t i o n s a r o u n d e x p e c t e d m o r t a l i t y ,

t h e l o n g e v i t y r i s k i s s y s t e m a t i c , d u e t o t h e f a c t t h a t i t c o n c e r n s a g g r e g a t e m o r t a l i t y ( a c -

t u a l l y , i t i s r e a l i z e d w h e n d e v i a t i o n s f r o m e x p e c t e d m o r t a l i t y a r e o b s e r v e d a l o n g t i m e ) .

S o f a r , l o n g e v i t y r i s k h a s n o t b e e n t r a d e d o n t h e m a r k e t ; i f o n e w a n t s t o a s s e s s i t s l i k e l y

m a r k e t c o s t t h r o u g h c o m p a r i s o n w i t h s i m i l a r t r a d e d r i s k s , a r e p l i c a t i n g s t r a t e g y i s h a r d

t o n d . S o , p r i c i n g l o n g e v i t y r i s k m a r k e t - c o n s i s t e n t l y k e e p s o n b e i n g a n o p e n m o d e l i n g

p r o b l e m .

T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o d e s i g n a s e t t i n g f o r t h e v a l u a t i o n o f a l i f e a n n u -

i t y p o r t f o l i o w i t h i n w h i c h , u s i n g r i s k - n e u t r a l a r g u m e n t s , t h e c o s t o f l o n g e v i t y r i s k i s

d i s c l o s e d . W e f o c u s o n i m m e d i a t e l i f e a n n u i t i e s a n d w e d e v e l o p t h e v a l u a t i o n a r o u n d

s o m e o f t h e b a s i c b u i l d i n g - b l o c k s o f t h e t r a d i t i o n a l E V f r a m e w o r k , v i z t h e b e s t e s t i m a t e

a s s e s s m e n t o f f u t u r e o w s a n d t h e s o - c a l l e d c o s t o f c a p i t a l ( p r o p e r l y r e v i s e d ) . T h i s

w a y , w e t r y t o r e c o n c i l e t h e t r a d i t i o n a l w i t h t h e m a r k e t - c o n s i s t e n t v a l u a t i o n . R a t h e r

t h a n o n t h e m a r k e t p r i c i n g o f l o n g e v i t y r i s k , w e f o c u s o n d e v e l o p i n g a p r o p e r s t r u c -

t u r e f o r t h e a p p r a i s a l o f a l i f e a n n u i t y p o r t f o l i o b e a r i n g l o n g e v i t y r i s k . F u r t h e r w o r k i s

t h e n r e q u i r e d t o c o m p l e t e l y s e t t i n g t h e v a l u a t i o n f r a m e w o r k , i n p a r t i c u l a r i n r e g a r d o f

m o r t a l i t y m o d e l i n g .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e c t i o n 2 w e r e c a l l t h e m a i n f e a t u r e s o f t h e E V

m e t h o d o l o g y a n d t h e p u r p o s e s o f a M C a p p r o a c h . I n S e c t i o n 3 , r e f e r r i n g t o a p o r t f o l i o

o f i m m e d i a t e l i f e a n n u i t i e s , w e d e s c r i b e a p o s s i b l e s e t t i n g f o r a r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h

i n r e s p e c t o f l o n g e v i t y r i s k ; t h i s i n v o l v e s a r e i n s u r a n c e a r r a n g e m e n t a n d a p o r t f o l i o o f

l o n g e v i t y b o n d s . I n S e c t i o n 4 w e i n v e s t i g a t e b o u n d s f o r t h e p r i c e o f b o t h t h e r e i n s u r a n c e

a r r a n g e m e n t a n d t h e b o n d p o r t f o l i o . I n S e c t i o n 5 l i n k s b e t w e e n t h e t r a d i t i o n a l a n d a

m a r k e t - c o n s i s t e n t a s s e s s m e n t o f t h e c o s t o f c a p i t a l a r e f o c u s s e d . F i n a l l y , S e c t i o n 6

c o n c l u d e s w i t h s o m e r e m a r k s o n m o r t a l i t y m o d e l i n g .


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A s s e s s i n g t h e C o s t o f C a p i t a l f o r L o n g e v i t y R i s k 3

2 L i f e p o r t f o l i o v a l u a t i o n : t h e t r a d i t i o n a l v s t h e m a r -

k e t a p p r o a c h

T h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o p o r t f o l i o v a l u a t i o n i s b a s e d o n t h e s o - c a l l e d V a l u e o f t h e

I n - F o r c e b u s i n e s s ( V I F ) , d e n e d a s t h e p r e s e n t v a l u e o f f u t u r e d i s t r i b u t a b l e e a r n i n g s

c a l c u l a t e d w i t h a g i v e n R i s k D i s c o u n t R a t e ( R D R ) , n e t o f t h e a m o u n t o f s h a r e h o l d e r s '

c a p i t a l c u r r e n t l y w i t h i n p o r t f o l i o a s s e t s . T h e d i s t r i b u t a b l e e a r n i n g r e l a t e d t o a g i v e n

p e r i o d , s a y a y e a r , i s d e n e d a s t h e o w f r o m t h e p o r t f o l i o a s s e t s t o t h e r e s i d u a l a s s e t s o f

t h e i n s u r a n c e c o m p a n y ( o r v i c e v e r s a ) s u c h t h a t p o r t f o l i o a s s e t s a m o u n t t o a g i v e n l e v e l ,

v i z t h e t e c h n i c a l p r o v i s i o n ( o r m a t h e m a t i c a l r e s e r v e ) p l u s t h e t a r g e t c a p i t a l . A c c o r d i n g

t o t h i s d e n i t i o n , t h e V I F a t t i m e t , V IF[T]t ( t h e [T] o n t h e t o p r e f e r s t o t h e u n d e r l y i n g

t r a d i t i o n a l a p p r o a c h ) , i s g i v e n b y

V IF[T]t =

nh=t+1

Kh v(t, h)Mt ( 1 )

w h e r e Kh d e n o t e s t h e d i s t r i b u t a b l e e a r n i n g a r i s i n g i n y e a r (h 1, h) , v(t, h) i s t h e

d i s c o u n t f a c t o r b a s e d o n t h e a n n u a l R D R ' s t+1, t+2, . . . , n , Mt i s t h e s h a r e h o l d e r s '

c a p i t a l w i t h i n p o r t f o l i o a s s e t s a t t i m e t

a n dn

i s t h e m a x i m u m r e s i d u a l d u r a t i o n o f

i n - f o r c e p o l i c i e s .

S h a r e h o l d e r s ' c a p i t a l w i t h i n p o r t f o l i o a s s e t s o r i g i n a t e s , y e a r b y y e a r , f r o m u n d i s -

t r i b u t a b l e e a r n i n g s , a s w e l l a s f r o m r e t u r n s o n p e r t a i n i n g a s s e t s . T h e f o r m e r m a y b e

m e a n t a s t h e s h a r e o f i n d u s t r i a l p r o t t o b e m a i n t a i n e d w i t h i n p o r t f o l i o a s s e t s ( o f c o u r s e ,

i n c a s e o f e i t h e r a n i n d u s t r i a l l o s s o r i n c a s e o f a n i n d u s t r i a l p r o t b e l o w t h e a m o u n t

t o b e m a i n t a i n e d w i t h i n p o r t f o l i o a s s e t s , i t t u r n s o u t t h a t u n d i s t r i b u t a b l e e a r n i n g s a r e

n e g a t i v e , s o t h a t s o m e r e s i d u a l a s s e t s m u s t b e a l l o c a t e d t o t h e p o r t f o l i o ) . T h e r e f o r e , w e

h a v e

Mt = Mt1 (1 + i

t ) + UIt Kt

w h e r e it i s t h e i n v e s t m e n t y i e l d , UIt t h e i n d u s t r i a l p r o t i n y e a r (t 1, t) a n d U

It Kt

t h e u n d i s t r i b u t a b l e e a r n i n g ( w h i c h m a y a l s o b e n e g a t i v e ) . R e l a t i o n ( 1 ) m a y b e t h e n

r e w r i t t e n a s

V IF[T]t =

nh=t+1

UIh v(t, h)

nh=t+1

Mh1 (h i

h) v(t, h) ( 2 )

T h e q u a n t i t y h i

h i n ( 2 ) r e p r e s e n t s t h e r i s k a d j u s t m e n t i n t h e d i s c o u n t r a t e m e a n t

t o r e w a r d , o n a y e a r l y b a s i s , o n e m o n e t a r y u n i t o f s h a r e h o l d e r s ' c a p i t a l f o r t h e r i s k s

e n c u m b e r i n g t h e l i f e p o r t f o l i o ( a l l b u t t h e m a r k e t r i s k , w h o s e r e w a r d i s a l r e a d y e m b e d d e d

i nih ) ; s u c h r i s k a d j u s t m e n t i s u s u a l l y a s s u m e d t o b e c o n s t a n t i n t i m e , i . e . h i

h = r(a)

f o r a l l h . T h e r s t t e r m i n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) i s u s u a l l y c a l l e d P r e s e n t

V a l u e o f F u t u r e P r o t s ( P V F P ) , w h e r e a s t h e s e c o n d t e r m r e p r e s e n t s t h e C o s t o f C a p i t a l


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( C C ) , i . e . t h e p r e s e n t v a l u e o f r i s k r e w a r d s r e q u i r e d o n t h e c a p i t a l a l l o c a t e d t o t h e l i f e

p o r t f o l i o . H e n c e , e q u a t i o n ( 2 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s

V IF[T]t = P V F P [T]t CC[T]t

I n o r d e r t o b e t t e r u n d e r s t a n d o u r d i s c u s s i o n , i t i s u s e f u l t o s t r e s s ( o r r e c a l l ) s o m e o f t h e

a s s u m p t i o n s u s u a l l y u n d e r l y i n g ( 1 ) o r ( 2 ) i n p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n s .

1 . T y p i c a l l y , a b e s t - e s t i m a t e s c e n a r i o i s r e f e r r e d t o f o r t h e a s s e s s m e n t o f f u t u r e o w s ,

w h e n c e a d e t e r m i n i s t i c v a l u a t i o n f o l l o w s . I n r e c e n t y e a r s , s t o c h a s t i c m o d e l s h a v e

b e e n i n t r o d u c e d f o r t h e v a l u a t i o n o f n a n c i a l o p t i o n s a n d g u a r a n t e e s e m b e d d e d i n

l i f e i n s u r a n c e p r o d u c t s . A n y h o w , t h e a p p r o a c h c a n b e l o o k e d a t a s a d e t e r m i n i s t i c

o n e .

2 . P o r t f o l i o r i s k i n e s s c o u l d b e a l l o w e d f o r m a i n l y t h r o u g h t h e R D R , w h i c h a s m e n -

t i o n e d a b o v e s h o u l d a c c o u n t f o r v a r i o u s r i s k s i n h e r e n t i n t h e p o r t f o l i o i t s e l f ( m o r -

t a l i t y , i n v e s t m e n t , a n d s o o n ) , b u t a l s o f o r i n e c i e n c i e s i n m a n a g i n g t h e p o r t f o l i o

( a g e n c y c o s t s ) . T h i s w a y , t h e r e w a r d i n t h e R D R i s n o t p u r e l y a r i s k a d j u s t m e n t .

T o t h i s r e g a r d , i t i s w o r t h s t r e s s i n g t h a t w i t h i n t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h r i s k s a r e

r e w a r d e d a s t h e y a r e p e r c e i v e d b y t h e c o m p a n y ; n o c a r e i s t a k e n w i t h r e f e r e n c e

t o t h e w a y o t h e r a g e n t s i n t h e m a r k e t d o v a l u e r i s k s .

3 . T h e R D R i s o f t e n c h o s e n b y l o o k i n g a t c o m m o n p r a c t i c e i n t h i s r e s p e c t . A s

a c o n s e q u e n c e , t h e r i s k a d j u s t m e n t c o u l d n o t b e p r o p e r l y t a i l o r e d t o p o r t f o l i o

f e a t u r e s ; h e n c e , a b i a s e d v a l u a t i o n m a y f o l l o w .

M a n y p a p e r s h a v e b e e n d e v o t e d t o t h e E V m o d e l i n g . H o w e v e r , p o s s i b l y d u e t o

t h e f a c t t h a t i t i s a m e t h o d o l o g y d e v e l o p e d a l o n g p r a c t i c e , a c o m p r e h e n s i v e f o r m a l

d e s c r i p t i o n i s s o m e w h a t l a c k i n g i n l i t e r a t u r e . T h e m a i n a s p e c t s a r e d e a l t w i t h , a m o n g

t h e o t h e r s , b y T u r n e r ( 1 9 7 8 ) , B u r r o w s a n d W h i t e h e a d ( 1 9 8 7 ) , L A V M W P ( 2 0 0 1 ) , O l i v i e r i

a n d P i t a c c o ( 2 0 0 5 ) ( t h e l a t t e r d o e s p r o v i d e a c o m p r e h e n s i v e d e s c r i p t i o n , h o w e v e r i n

I t a l i a n ) . D i s c u s s i o n s a b o u t t h e R D R c a n b e f o u n d a l s o i n P e m b e r t o n e t a l . ( 2 0 0 0 ) ; t o

t h i s r e g a r d , S h e r r i s ( 1 9 8 7 ) , C o l e m a n e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d B u r r o w s a n d L a n g ( 1 9 9 7 ) d i s c u s s

t h e u s e o f t h e C A P M .

T h e m a r k e t a p p r o a c h t o p o r t f o l i o v a l u a t i o n s a i m s a t o v e r c o m i n g s o m e o f t h e w e a k

p o i n t s o f t h e t r a d i t i o n a l a c t u a r i a l m o d e l . T y p i c a l l y , a r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n p r i n c i p l e i s

a d o p t e d , a c c o r d i n g t o w h i c h a n n u a l o w s m u s t b e a d j u s t e d w i t h a r i s k m a r g i n a s s e s s e d

c o n s i s t e n t l y w i t h t h e p r i c e o f s e c u r i t i e s s u i t a b l e t o t r a n s f e r t o t h e m a r k e t t h e r i s k i t s e l f ;

r i s k - a d j u s t e d o w s a r e t h e n d i s c o u n t e d w i t h a r i s k - f r e e r a t e . I t f o l l o w s , i n p a r t i c u l a r ,

t h a t t h e C C i s n o l o n g e r a c c o u n t e d f o r , g i v e n t h a t n o i n t e r e s t m a r g i n i s i n c l u d e d i n t h e

d i s c o u n t r a t e . I t i s w o r t h s t r e s s i n g t h a t , a c c o r d i n g t o t h i s s e t t i n g , o n l y u n d i v e r s i a b l e

r i s k s ( i n p a r t i c u l a r s y s t e m a t i c r i s k s c o m m o n t o a n y a g e n t ) a r e r e w a r d e d . I n p r a c t i c a l

t e r m s , t h e v a l u e o f r i s k s w i t h a m a r k e t e v i d e n c e c a n b e a s s e s s e d b y a p p l y i n g m a r k e d -

t o - m a r k e t a r g u m e n t s . T h e v a l u e o f t h e p o r t f o l i o ( i n p a r t i c u l a r i f o n e l o o k s f o r t h e v a l u e

t o s h a r e h o l d e r s ) i s a n y h o w a e c t e d b y :


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i . s y s t e m a t i c r i s k s w i t h p o o r o r n o m a r k e t e v i d e n c e ( t o w h i c h l o n g e v i t y r i s k b e l o n g s ) ;

i i . i n e c i e n c i e s i n m a n a g i n g t h e p o r t f o l i o ( f o r e x a m p l e , p o o l i n g r i s k s n o t f u l l y d i v e r -

s i e d ) ;

i i i . a g e n c y c o s t s .

T h e d e v e l o p m e n t o f a m a r k e t - c o n s i s t e n t f r a m e w o r k f o r l i f e i n s u r a n c e v a l u a t i o n s h a s

b e e n w i d e l y a t t a c k e d i n l a t e s t y e a r s , a l s o f o l l o w i n g t h e p r o p o s a l s o f t h e I n t e r n a t i o n a l A c -

c o u n t i n g S t a n d a r d B o a r d f o r n e w a c c o u n t i n g p r i n c i p l e s . J u s t m e n t i o n i n g c o n t r i b u t i o n s

m o v i n g f r o m t h e E V s e t t i n g , s e e f o r e x a m p l e O ' K e e e e t a l .

( 2 0 0 5 ) , C F O F o r u m ( 2 0 0 4 ,

2 0 0 6 ) , T i l l i n g h a s t - T o w e r s P e r r i n s ( 2 0 0 4 , 2 0 0 5 ) , S h e l d o n a n d S m i t h ( 2 0 0 4 ) .

3 S e t t i n g a r i s k - n e u t r a l f r a m e w o r k f o r l o n g e v i t y r i s k

L o n g e v i t y r i s k a r i s e s b e c a u s e o f u n a n t i c i p a t e d a g g r e g a t e m o r t a l i t y a t o l d a g e s . A s i t i s

w e l l - k n o w n , o b s e r v a t i o n s o f p a s t m o r t a l i t y s u g g e s t t o a d o p t p r o j e c t e d m o r t a l i t y t a b l e s

f o r t h e a c t u a r i a l a p p r a i s a l o f a n n u i t i e s ( a n d o t h e r l i v i n g b e n e t s ) , i . e . t o u s e m o r t a l i t y

a s s u m p t i o n s i n c l u d i n g a f o r e c a s t o f f u t u r e m o r t a l i t y . N o t w i t h s t a n d i n g , w h a t e v e r h y -

p o t h e s i s i s a s s u m e d , t h e f u t u r e m o r t a l i t y t r e n d i s r a n d o m , w h e n c e a n u n c e r t a i n t y r i s k

a r i s e s . U n l i k e t h e m o r t a l i t y r i s k o f r a n d o m u c t u a t i o n s , t h e l o n g e v i t y r i s k i s a s y s -

t e m a t i c r i s k , n a m e l y a r i s k o f s y s t e m a t i c d e v i a t i o n s f r o m e x p e c t e d m o r t a l i t y ( s e e , f o r

e x a m p l e , O l i v i e r i , 2 0 0 1 ) . H e n c e , i t c a n n o t b e d i v e r s i e d w i t h t h e u s u a l p o o l i n g i n s u r -

a n c e a r g u m e n t . T e c h n i c a l t o o l s t o m a n a g e i t i n c l u d e r e i n s u r a n c e , l o n g e v i t y s e c u r i t i e s

a n d , o f c o u r s e , c a p i t a l a l l o c a t i o n . H o w e v e r , n e i t h e r r e i n s u r a n c e a r r a n g e m e n t s n o r c a p i t a l

m a r k e t s o l u t i o n s h a v e y e t b e e n f u l l y d e v e l o p e d . F o r s o m e s u g g e s t i o n s a b o u t r e i n s u r a n c e

a r r a n g e m e n t s , s e e O l i v i e r i ( 2 0 0 5 ) ; f o r a d i s c u s s i o n o f p o s s i b l e s t r u c t u r e s o f l o n g e v i t y

s e c u r i t i e s , s e e B l a k e e t a l . ( 2 0 0 6 ) . I n t e r n a l m o d e l s f o r a l l o c a t i n g c a p i t a l t o p o r t f o l i o

o f l i f e a n n u i t i e s b e a r i n g l o n g e v i t y r i s k a r e d i s c u s s e d i n O l i v i e r i a n d P i t a c c o ( 2 0 0 3 ) . I n

a n y c a s e , m o r t a l i t y m o d e l i n g m u s t a l l o w f o r u n c e r t a i n t y r i s k ; t h i s p o i n t w i l l b e s h o r t l y

a d d r e s s e d i n S e c t i o n 6 . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s S e c t i o n w e f o c u s o n a s t r u c t u r e f o r

a c c o u n t i n g f o r t h e c o s t o f l o n g e v i t y r i s k w h e n p e r f o r m i n g a v a l u a t i o n o f a p o r t f o l i o o f

l i f e a n n u i t i e s .

F o r t h e s a k e o f b r e v i t y a n d f o r s h o r t e n i n g n o t a t i o n , w e a d o p t s o m e s i m p l i f y i n g a s -

s u m p t i o n s .

1 . T h e o n l y r i s k p e r c e i v e d b y t h e m a r k e t i s l o n g e v i t y r i s k . T h e r i s k i s u n d i v e r s i -

a b l e , b u t i t c a n b e t r a n s f e r r e d t o o t h e r a g e n t s i n t h e m a r k e t , r e s o r t i n g t o p r o p e r

a r r a n g e m e n t s .

2 . T h e r i s k o f r a n d o m u c t u a t i o n s i n m o r t a l i t y i s f u l l y d i v e r s i e d b y t h e i n s u r e r ,

w h e n c e n o r e w a r d i s a l l o w e d f o r .

3 . T h e r e i s n o n a n c i a l r i s k , s o t h a t t h e a n n u a l y i e l d f r o m i n v e s t m e n t s i s t h e r i s k - f r e e

r a t e i

( c o n s t a n t , f o r b r e v i t y ) .


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4 . T h e r i s k o f r e i n s u r e r s ' d e f a u l t i s n e g l i g i b l e .

5 . E x p e n s e s a n d t r a n s a c t i o n c o s t s a r e d i s r e g a r d e d .

6 . A l l a g e n t s o n t h e m a r k e t ( b u t t h e a n n u i t a n t s ) h o l d t h e s a m e i n f o r m a t i o n . H e n c e

t h e s a m e m o d e l f o r a n n u i t a n t s ' m o r t a l i t y i s s h a r e d b y a l l a g e n t s .

I t i s r e a s o n a b l e t o t h i n k t h a t i n f o r m a t i o n a s y m m e t r i e s o c c u r b e t w e e n t h e i n s u r e r o n

o n e h a n d a n d t h e a n n u i t a n t s o n t h e o t h e r , c o n c e r n i n g b o t h i n f o r m a t i o n h e l d b y t h e

a n n u i t a n t o n l y ( w h e n c e t h e a d v e r s e s e l e c t i o n r i s k a r i s e s ) a n d i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e t o

t h e i n s u r e r o n l y ( w i t h r e g a r d t o t h e d e s c r i p t i o n o f t h e f u t u r e m o r t a l i t y t r e n d , a n d h e n c e

t o t h e c h o i c e o f t h e p r i c i n g m o r t a l i t y t a b l e ) . S u c h a s y m m e t r i e s l e a d t o a s a f e t y l o a d i n g

e m b e d d e d i n t o t h e a n n u i t i s a t i o n r a t e c h o s e n b y t h e i n s u r e r .

T h e i n c o m e a t t i m e 0 t o t h e a n n u i t y p r o v i d e r i s g i v e n b y t h e s i n g l e p r e m i u m p a i d

b y a n n u i t a n t s . R e f e r r i n g t o a c o h o r t o n l y , i t s t o t a l a m o u n t i s

N0V0, w h e r e

N0i s t h e

i n i t i a l s i z e o f t h e p o r t f o l i o ( i . e . t h e c o h o r t ) a n d V0 i s t h e s i n g l e p r e m i u m r e q u i r e d t o

e a c h a n n u i t a n t ; V0 r e p r e s e n t s t h e i n d i v i d u a l r e s e r v e a t t i m e 0 a s w e l l . W i t h r e s p e c t t o

a b e s t e s t i m a t e m o r t a l i t y t a b l e a n d f o r a g i v e n a n n u a l a m o u n t , V0 e m b e d s s o m e s a f e t y

l o a d i n g ( i . e . e x p e c t e d p r o t ) . T h e i n d i v i d u a l r e s e r v e a t t i m e t w i l l b e d e n o t e d b y Vt .

A s s u m i n g a p r o p e r c a s h u n i t , a u n i t a r y a n n u a l a m o u n t c a n b e r e f e r r e d t o . S o

t h e a n n u a l , r a n d o m , o u t o w s f o r t h e i n s u r e r a r e g i v e n b y N1, N2, . . ., w i t h Nt r a n d o m

n u m b e r o f a n n u i t a n t s a l i v e a f t e r t

y e a r s f r o m i s s u e .

U n d e r t h e t r a d i t i o n a l v a l u a t i o n f r a m e w o r k , t h e n u m b e r o f f u t u r e l i v e s i s a s s e s s e d

t h r o u g h a b e s t - e s t i m a t e s c e n a r i o ; w e d e n o t e s u c h a s s e s s m e n t a s N

[BE]t . T h e P V F P a t

t i m e 0 i s t h e n

P V F P [T]0 =

nt=1

N

[BE]t1 Vt1 (1 + i)N

[BE]t N

[BE]t Vt

(1 + )t ( 3 )

w h e r e

UIt = N[BE]t1 Vt1 (1 + i)N

[BE]t N

[BE]t Vt

i s t h e b e s t - e s t i m a t e a s s e s s m e n t o f t h e i n d u s t r i a l p r o t i n y e a r (t1, t) , a n d t h e d i s c o u n t r a t e

( c o n s i s t e n t l y w i t h t h e r i s k - f r e e r a t e ) i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t . N o t e t h a t t h e

a d j u s t m e n t r(a) = i i n t h e c u r r e n t s e t t i n g s h o u l d b e m e a n t a s t h e r e w a r d f o r l o n g e v i t y r i s k o n l y . T h e C C i s

CC[T]0 =

n

t=1

Mt1 ( i) (1 + )

t ( 4 )

w h e n c e w e c a n g e t t h e a p p r a i s a l o f V IF[T]0 a s

V IF[T]0 = P V F P

[T]0 CC

[T]0 ( 5 )

I n r e l a t i o n t o t h e t i m e h o r i z o n i n ( 3 ) a n d ( 4 ) ( a n d , h e n c e , i n ( 5 ) ) , n o t e t h a t i t

c o i n c i d e s w i t h t h e m a x i m u m r e s i d u a l l i f e t i m e o f a n n u i t a n t s , a s i t i s a s s e s s e d i n t h e b e s t -

e s t i m a t e s c e n a r i o ( i n p r a c t i c e , i t d e p e n d s o n t h e m a x i m u m a t t a i n a b l e a g e a s s u m e d i n

t h e r e l e v a n t m o r t a l i t y t a b l e ) .


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T u r n i n g t o t h e m a r k e t a p p r o a c h , w e a i m t o m a k e u s e o f r i s k - n e u t r a l a r g u m e n t s ;

h e n c e , f u t u r e o u t o w s m u s t b e r i s k - a d j u s t e d a n d t h e n d i s c o u n t e d w i t h t h e r i s k - f r e e

r a t e . H o w e v e r , w e w o u l d l i k e t o d e s i g n a f r a m e w o r k w h e r e f u t u r e o w s c a n s t i l l b e

c o n s i d e r e d i n t e r m s o f t h e i r b e s t e s t i m a t e a p p r a i s a l ; t h i s w i l l h e l p u s i n r e c o n c i l i n g t h e

t r a d i t i o n a l w i t h t h e r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h ( s e e S e c t i o n 5 ) .

L e t u s a s s u m e t h a t t h e a n n u i t y p r o v i d e r t r a n s f e r s t h e l o n g e v i t y r i s k t o a r e i n s u r e r

t h r o u g h a s w a p - l i k e a r r a n g e m e n t . A c c o r d i n g t o s u c h a r r a n g e m e n t , i n e a c h y e a r t h e

r e i n s u r e r p a y s t o t h e c e d a n t t h e r a n d o m a m o u n t Nt N

[BE]t i f p o s i t i v e ; o t h e r w i s e t h e

a m o u n t N[BE]t Nt i s p a i d b y t h e c e d a n t t o t h e r e i n s u r e r . I t f o l l o w s t h a t t h e n e t a n n u a l

o u t o w t o t h e a n n u i t y p r o v i d e r i s

Nt (Nt N[BE]t ) = N

[BE]t ( 6 )

w h i c h i s c e r t a i n .

A s t o t h e f u n d i n g o f t h i s a r r a n g e m e n t , t h e r e i n s u r e r m a y a p p l y e i t h e r a s i n g l e o r a

p e r i o d i c p r e m i u m . T h e l a t t e r c a s e s h o u l d e a s i l y a l l o w f o r p o s s i b l e c h a n g e s o f t h e p r i c i n g

b a s i s s u g g e s t e d b y m o r t a l i t y e v o l u t i o n ; i t i s r e a s o n a b l e t o t h i n k t h a t a l s o i n t h e f o r m e r

c a s e t h e r e i n s u r e r m a y c l a i m s o m e r e v i s i o n o f t h e i n i t i a l p r e m i u m , i n p a r t i c u l a r i n c a s e

o f a n a d v e r s e m o r t a l i t y e v o l u t i o n . H o w e v e r , t h i s w o u l d i m p l y t h a t s o m e l o n g e v i t y r i s k i s

s t i l l b o r n e b y t h e a n n u i t y p r o v i d e r o r t h a t i s h a s n o t b e e n n e u t r a l i z e d . W e w i l l t h e r e f o r e

a d d r e s s t h e c a s e o f a s i n g l e r e i n s u r a n c e p r e m i u m RP0 , t o b e p a i d a t t i m e 0 a n d s u b j e c t

t o n o f u t u r e r e v i s i o n ; t h i s w a y , o n l y t h e f u t u r e , c e r t a i n , o u t o w s ( 6 ) a r e f a c e d b y t h e

a n n u i t y p r o v i d e r .

W h e n a d d r e s s i n g p r o t a s s e s s m e n t , s o m e u n c e r t a i n t y d o e s i n a n y c a s e l i e o n t h e

a n n u i t y p r o v i d e r , n o t o n l y b e c a u s e o f t h e p o s s i b l e d e f a u l t o f t h e r e i n s u r e r ( w h i c h w e a r e

a c t u a l l y d i s r e g a r d i n g ) , b u t a l s o i n r e l a t i o n t o t h e d e v e l o p m e n t t h r o u g h o u t t i m e o f t h e

t e c h n i c a l p r o v i s i o n f a c i n g p o r t f o l i o l i a b i l i t i e s . A c t u a l l y , a t t i m e t t h e p o r t f o l i o r e s e r v e i s

NtVt , i . e . a r a n d o m q u a n t i t y d u e t o Nt a s w e l l a s t o p o s s i b l e r e v i s i o n s o f t h e r e s e r v i n g

b a s i s . T h e l a t t e r a s p e c t s h o u l d b e a c c o u n t e d f o r i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t a r g e t c a p i t a l .

C o n c e r n i n g Nt , t h a n k s t o t h e i n t e r v e n t i o n o f t h e r e i n s u r e r , w h i c h n e u t r a l i z e s r i s k s i n

a n n u a l o u t o w s , w h e n a s s e s s i n g t h e v a l u e o f t h e i n - f o r c e b u s i n e s s i t i s r e a s o n a b l e t o

m a k e a n y h o w r e f e r e n c e t o t h e b e s t - e s t i m a t e v a l u e . I n a n y c a s e , a r i s k - a d j u s t m e n t i n

t h e d i s c o u n t r a t e i s n o l o n g e r a c c e p t a b l e . F o r t h e p r e s e n t v a l u e o f f u t u r e p r o t s , t h e

f o l l o w i n g ( c l a s s i c a l ) r e s u l t s h o l d

nt=1

N

[BE]t1 Vt1 (1 + i)N

[BE]t N

[BE]t Vt

(1 + i)t

=nt=1

Nt1Vt1 (1 + i)N

[BE]t NtVt

(1 + i)t

= N0V0

nt=1

N[BE]t (1 + i)

t( 7 )


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a s i t i s w e l l - k n o w n i n a c t u a r i a l m a t h e m a t i c s . N o t e t h a t a l s o t h e m a x i m u m d u r a t i o n o f

f u t u r e o w s , a s s u m e d t o b e n

i n ( 7 ) , i s a c t u a l l y r a n d o m . F o r w h a t c o m m e n t e d a b o u t

t h e p o r t f o l i o r e s e r v e , i t i s r e a s o n a b l e t o r e f e r t o t h e m a x i m u m a g e i n t h e b e s t - e s t i m a t e

s c e n a r i o .

T h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 7 ) i s t h e s o - c a l l e d t o t a l c a s h o w , w h i c h w i l l b e d e n o t e d a s

CF0 = N0V0

nt=1

N[BE]t (1 + i)

t

U n d e r t h e a s s u m p t i o n s a b o v e , t h e V I F c a n b e a s s e s s e d a s f o l l o w s

V IF[RN]0 = CF0 RP0 ( 8 )

([RN]

o n t h e t o p r e f e r s t o t h e u n d e r l y i n g r i s k - n e u t r a l s e t t i n g ) , d u e t o t h e f o l l o w i n g

f a c t s ( c o m p a r e w i t h ( 5 ) ) : t h e P V F P , g i v e n n o w b y ( 7 ) , r e d u c e s t o CF0 ; t h e C C i s n o

l o n g e r c o n s i d e r e d , s i n c e n o r i s k - a d j u s t m e n t i s a l l o w e d f o r ; t h i s i s c o u n t e r b a l a n c e d b y

t h e o u t c o m e RP0 a t t i m e 0 . I n o r d e r t o c o m e t o t h e v a l u a t i o n o f t h e V I F , w e n e e d t o

a d d r e s s RP0 , w h i c h a c t u a l l y r e p r e s e n t s t h e a d j u s t m e n t f o r t h e l o n g e v i t y r i s k ; t o t h i s

a i m , w e h a v e t o i n v e s t i g a t e t h e r e i n s u r e r ' s p o s i t i o n .

T h e r e i n s u r e r n e e d s t o h e d g e t h e a c c e p t e d r i s k . T o t h i s p u r p o s e w e a s s u m e t h a t i t

t a k e s a s h o r t p o s i t i o n o n a p o r t f o l i o o f Z e r o - C o u p o n b o n d s , o n e f o r e a c h f u t u r e t i m e t ,

t = 1, 2, . . . , n. T h e p a y - o o f t h e b o n d m a t u r i n g a t t i m e

t,

t = 1, 2, . . . , n, i s

N0 Nt ,

i . e . e q u a l t o t h e n u m b e r o f d e a t h s a m o n g a n n u i t a n t s d u r i n g (0, t). H e n c e , t h e b o n d s c a n b e l o o k e d a t a s l o n g e v i t y b o n d s . N o t e t h a t t h e s a m e s e q u e n c e o f c a s h o w s c o u l d b e

r e a l i z e d b y t a k i n g a s h o r t p o s i t i o n o n a l o n g e v i t y b o n d w i t h p r i n c i p a l 0 a n d ( r a n d o m )

a n n u a l c o u p o n N0Nt ; s o , t h e a n n u a l p a y - o i s i n c r e a s i n g i n t i m e , b u t a t a n u n k n o w n

p a c e , d u e t o m o r t a l i t y .

J o i n t t o t h e a n n u a l p a y m e n t NtN[BE]t t o / f r o m t h e a n n u i t y p r o v i d e r , t h e r e i n s u r e r

i s n o w a l s o l i a b l e f o r t h e o u t o w s N0 Nt i n r e s p e c t o f i n v e s t o r s . I t s n e t p o s i t i o n i s

Nt N

[BE]t

+ (N0 Nt) = N0 N

[BE]t

w h i c h i s c e r t a i n . A t t i m e 0 , t h e i n c o m e RP0 b y t h e i n s u r e r i s i n c r e a s e d b y t h e i n c o m e

BP0 o f t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o . N o t e t h a t t h e p r e s e n t v a l u e a t t i m e 0 o f t h e

o v e r a l l p o s i t i o n o f t h e r e i n s u r e r ,

V R0, i s

V R0 = RP0 + BP0

nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t

A c t u a l l y , s i n c e f u t u r e o w s a r e c e r t a i n , a r i s k - f r e e d i s c o u n t r a t e m u s t b e u s e d .

W i t h r e g a r d t o t h e m o r t a l i t y u n d e r l y i n g t h e l o n g e v i t y b o n d s , a r e m a r k i s r e q u i r e d .

T y p i c a l l y , f o r d e s i g n i n g a b o n d w h o s e p a y - o ( e i t h e r t h e p r i n c i p a l o r t h e c o u p o n s ) d e -

p e n d s o n m o r t a l i t y , r e f e r e n c e m u s t b e m a d e t o a p o p u l a t i o n w h o s e m o r t a l i t y e x p e r i e n c e

i s r e c o r d e d b y s o m e i n d e p e n d e n t a u t h o r i t y ; s o , t y p i c a l l y t h e r e f e r e n c e p o p u l a t i o n o f a


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l o n g e v i t y b o n d s h o u l d b e t h e n a t i o n a l p o p u l a t i o n a n d n o t a p o p u l a t i o n p e r t a i n i n g t o t h e

p o r t f o l i o o f a n i n s u r a n c e c o m p a n y o r a r e i n s u r e r . A n y h o w , o u r a s s u m p t i o n i s b a c k e d b y

t h e i n i t i a l h y p o t h e s i s t h a t a l l t h e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n a b o u t m o r t a l i t y a r e s h a r e d b y a l l

t h e a g e n t s ( b u t t h e a n n u i t a n t s ) . A t t h i s s t a g e w e p r e f e r t o k e e p t h i s s i m p l i f y i n g h y p o t h -

e s i s , w h i c h a l l o w s u s t o e x c l u d e b a s i s r i s k , s o t o f o c u s o n t h e b a s i c v a l u a t i o n p r o b l e m ; i n

o r d e r t o i m p l e m e n t t h e o v e r a l l s t r u c t u r e , f u r t h e r d e v e l o p m e n t s a r e c l e a r l y r e q u i r e d ( s e e

a l s o S e c t i o n 6 ) . A l s o i n r e l a t i o n t o t h e l o n g e s t m a t u r i t y o f l o n g e v i t y b o n d s a r e m a r k i s

r e q u i r e d . I n o u r s e t t i n g , r e f e r e n c e i s t o t h e m a x i m u m r e s i d u a l l i f e t i m e o f a n n u i t a n t s . I t

i s r e a s o n a b l e t h a t f o r a l o n g e v i t y s e c u r i t y t h e l o n g e s t m a t u r i t y i s c h o s e n i n s o m e x e d

w a y ( g i v e n t h a t t h e r e s i d u a l l i f e t i m e o f t h e r e f e r e n c e p o p u l a t i o n i s u n k n o w n a t t h e t i m e

o f b o n d i s s u e ) . F o r w h a t s a i d a b o v e , w e k e e p n a s t h e m a x i m u m m a t u r i t y .

C l e a r l y , f r o m t h e p r i c e o f t h e p o r t f o l i o b o n d s o m e s u g g e s t i o n s m a y b e d e r i v e d f o r

t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m .

4 B o u n d s f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m a n d t h e p r i c e

o f b o n d s

A s r e g a r d s t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m a n d t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o , a m o r t a l i t y

m o d e l a l l o w i n g f o r u n c e r t a i n t y i n m o r t a l i t y e v o l u t i o n i s r e q u i r e d ( s e e S e c t i o n 6 f o r

s o m e r e m a r k s ) . I n a n y c a s e , s o m e b o u n d s m a y b e o b t a i n e d b y i n v e s t i g a t i n g f e a s i b i l i t y

c o n d i t i o n s c o n c e r n i n g t h e a n n u i t y p r o v i d e r a n d t h e r e i n s u r e r .

T h e f e a s i b i l i t y o f t h e n e t p o s i t i o n o f t h e a n n u i t y p r o v i d e r i s

V IF[RN]0 0

i . e .

RP0 CF0

w h e n c e a n u p p e r b o u n d f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m f o l l o w s , v i z

RPmax0 = CF0 ( 9 )

C o n v e r s e l y , t h e f e a s i b i l i t y o f t h e n e t p o s i t i o n o f t h e r e i n s u r e r i s

V R0 0

i . e .

RP0

nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t BP0

w h e n c e w e g e t a l o w e r b o u n d f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m

RPmin0 (BP0) =nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t BP0 ( 1 0 )


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1 0 A s s e s s i n g t h e C o s t o f C a p i t a l f o r L o n g e v i t y R i s k

w h i c h i s d e p e n d e n t o n t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o , BP0 . N o t e t h a t i n o r d e r t h a t

b o u n d s ( 1 0 ) a n d ( 9 ) a r e p r o p e r l y o r d e r e d , w e m u s t a l s o r e q u i r e

nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t BP0 CF0

w h e n c e a l o w e r b o u n d f o r t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o f o l l o w s

BPmin0 =nt=1

N0 (1 + i)tN0V0 ( 1 1 )

A n i n t e r e s t i n g i n t e r p r e t a t i o n c a n b e g i v e n t o b o u n d ( 1 1 ) . T h e q u a n t i t y

nt=1 N0 (1+i)

t

i s t h e p r i c e o f N0 a n n u i t i e s c e r t a i n ( t e r m n) , w i t h a u n i t a r y a n n u a l a m o u n t a n d b a c k e d

b y a r i s k - f r e e i n v e s t m e n t . T h e q u a n t i t y N0V0 i s i n s t e a d t h e p r i c e o f N0 l i f e a n n u i t i e s .

W h a t i s r e q u i r e d , t h e r e f o r e , i s t h a t t h e p r i c e o f t h e b o n d i s a t l e a s t e q u a l ( a p a r t f r o m a

s c a l e f a c t o r ) t o t h e p r i c e r e d u c t i o n a c h i e v e d s h i f t i n g f r o m a l i f e a n n u i t y ( t r a d e d o n t h e

i n s u r a n c e m a r k e t ) t o a n a n n u i t y c e r t a i n ( t r a d e d o n t h e c a p i t a l m a r k e t ) w i t h d u r a t i o n

g i v e n b y t h e a s s u m e d m a x i m u m r e s i d u a l l i f e t i m e o f t h e r e f e r e n c e p o p u l a t i o n .

A s f a r a s a n u p p e r b o u n d f o r t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o i s c o n c e r n e d , i n p r i n c i p l e

w e s h o u l d r e q u i r e

BP0

nt=1

N0 (1 + i)t

( 1 2 )

w h e r e t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 2 ) r e p r e s e n t s t h e p r i c e o f a p o r t f o l i o m a d e o f Z e r o -

C o u p o n b o n d m a t u r i n g a t t i m e

t,

t = 1, 2 . . . , n, e a c h o n e w i t h f a c e v a l u e

N0. H o w e v e r ,

i f ( i r r e s p e c t i v e o f t h e f a c t t h a t , u n d e r t h e r e i n s u r a n c e a r r a n g e m e n t , o w s m a y g o a l s o

f r o m t h e c e d a n t t o t h e r e i n s u r e r ) o n e t h i n k s r e a s o n a b l e t h a t RP0 0, t h e n w e m u s t r e q u i r e

RPmin0 (BP0) 0

w h e n c e

BP0

nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t ( 1 3 )

N o t e t h a t , i n o u r d e s c r i p t i o n o f t h e r e i n s u r a n c e m a r k e t , i t i s u n r e a l i s t i c t h a t i n c a s e

t h e p r o p e r r e i n s u r a n c e p r e m i u m t u r n s o u t t o b e n e g a t i v e ( b e f o r e b e i n g f o r c e d t o s o m e

o t h e r a m o u n t b y t h e r e i n s u r e r ) t h e a r r a n g e m e n t i s d e v e l o p e d ; a c t u a l l y , s i n c e t h e a n n u i t y

p r o v i d e r a n d t h e r e i n s u r e r a r e h o l d i n g t h e s a m e i n f o r m a t i o n a b o u t m o r t a l i t y , t h e a n n u i t y

p r o v i d e r w o u l d n o t s e e k f o r p r o t e c t i o n i n t h i s c a s e . A i m i n g j u s t a t t h e v a l u a t i o n o f t h e l i f e

a n n u i t y p o r t f o l i o , h o w e v e r , a n e g a t i v e r e i n s u r a n c e p r e m i u m w o u l d m a k e s e n s e . H o w e v e r ,

r e c e n t e x p e r i e n c e d o e s n o t b a c k s u c h h y p o t h e s i s . S o , w e w i l l r e f e r t o t h e f o l l o w i n g u p p e r

b o u n d f o r t h e p r i c e o f t h e b o n d p o r t f o l i o :

BPmax0 =nt=1

N0 N

[BE]t

(1 + i)t


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A s s e s s i n g t h e C o s t o f C a p i t a l f o r L o n g e v i t y R i s k 1 1

I n T a b l e 1 a s i m p l e n u m e r i c a l i l l u s t r a t i o n i s g i v e n . W e r e f e r t o a p o r t f o l i o o f a n n u i -

t a n t s i n i t i a l a g e 6 5 . T h e r i s k - f r e e r a t e i s s e t e q u a l t o 2 . 5 % a n d t h i s i s u s e d a l s o f o r s e t t i n g

t h e p r e m i u m o f t h e a n n u i t y . T h e p r i c i n g m o r t a l i t y t a b l e i s g i v e n b y t h e I P S 5 5 ( w h i c h i s

a p r o j e c t e d t a b l e b u i l t u p w i t h r e f e r e n c e t o I t a l i a n m a l e a n n u i t a n t s ) . I t i s a s s u m e d t h a t

s u c h t a b l e p r o v i d e s m o r t a l i t y r a t e s w h i c h a r e 2 0 % l o w e r t h a n t h e b e s t - e s t i m a t e o n e s .

T a b l e 1 q u o t e s t h e b o u n d s f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m a n d t h e b o n d p o r t f o l i o p r i c e

( c a l c u l a t e d p e r p o l i c y i s s u e d , i . e . w i t h N0 = 1) .

U p p e r b o u n d f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m ( RPmax0 = CF0 ) 0 . 8 0 0 4 7 L o w e r b o u n d f o r t h e b o n d p o r t f o l i o p r i c e (

BPmin0 ) 1 2 . 7 4 6 4 6

L o w e r b o u n d f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m ( RPmin0 ) 1 3 . 5 4 6 9 3 BP0U p p e r b o u n d f o r t h e b o n d p o r t f o l i o p r i c e (

BPmax0 ) 1 3 . 5 4 6 9 3

T a b l e 1 : B o u n d s f o r t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m a n d t h e b o n d p o r t f o l i o p r i c e

5 R e c o n c i l i n g t h e t r a d i t i o n a l w i t h t h e r i s k - n e u t r a l a p -

p r o a c h

I n o r d e r t o r e c o n c i l e t h e t r a d i t i o n a l w i t h t h e r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h , a c o m p a r i s o n m u s t

b e m a d e b e t w e e n t h e V I F ' s c a l c u l a t e d u n d e r t h e t w o s e t t i n g s . I n p a r t i c u l a r , w e c a n b e

i n t e r e s t e d i n n d i n g t h e e q u i v a l e n t R D R , i . e . t h e R D R s u c h t h a t

V IF[T]0 = V IF

[RN]0 ( 1 4 )

F r o m ( 5 ) a n d ( 8 ) , w e g e t t h a t t h e R D R m u s t b e c h o s e n s o t h a t

RP0 = (CF0 P V F P [T]0 ) + CC

[T]0 ( 1 5 )

w h e r e , i n p a r t i c u l a r , t h e t e r m i n b r a c k e t s r e p r e s e n t s t h e r e d u c t i o n o f t h e P V F P w i t h

r e s p e c t t o t h e t o t a l c a s h o w d u e t o d i s c o u n t i n g f u t u r e p r o t s w i t h a r a t e h i g h e r t h a n

t h e i n v e s t m e n t y i e l d . A c t u a l l y , t h a n k s t o ( 7 ) w e m a y w r i t e

CF0 =

n

t=1 U

I

t (1 + i)

t

w h e n c e ( 1 5 ) c a n b e r e w r i t t e n a s

RP0 =nt=1

UIt

(1 + i)t (1 + )t

nt=1

Mt1 (1 + )t

( 1 6 )

I t i s e v i d e n t f r o m ( 1 6 ) t h a t i t i s n o t p o s s i b l e t o n d a c l o s e d f o r m u l a f o r t h e e q u i v a -

l e n t R D R . H o w e v e r , f r o m n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n s p o s s i b l y s o m e a p p r o x i m a t e s h o r t - c u t

f o r m u l a e m a y b e f o u n d t h r o u g h p r o p e r t t i n g .


12/19


T h e p r o b l e m o f r e c o n c i l i n g t h e t r a d i t i o n a l w i t h t h e r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h c a n b e

a t t a c k e d a l s o i n a d i e r e n t m a n n e r .

L e t u s r e d e n e t h e t r a d i t i o n a l V I F a s f o l l o w s

V IF[TRN]0 = CF0

nt=1

Mt1 ( i) (1 + i)t

( 1 7 )

( t h e [T RN]

o n t h e t o p s t a n d s f o r t r a d i t i o n a l r i s k - n e u t r a l ) . T h e d i e r e n c e b e t w e e n

( 1 7 ) a n d ( 5 ) c o n s i s t s i n t h e d i s c o u n t r a t e , w h i c h i s r i s k - f r e e i n ( 1 7 ) a n d r i s k - a d j u s t e d i n

( 5 ) . I n ( 1 7 ) t h e C C i s d e n e d a s

CC[TRN]0 =

nt=1

Mt1 ( i) (1 + i)t

( 1 8 )

w h e r e i = r(r) i s t h e ( r i s k ) r e w a r d w h i c h c a n b e a c k n o w l e d g e d o n a l l o c a t e d c a p -

i t a l . N o t e t h a t t h i s i s i n l i n e w i t h t h e C o s t o f C a p i t a l a d d r e s s e d i n m o d e r n s o l v e n c y

f r a m e w o r k s . T h e e q u i v a l e n t r i s k r e w a r d i s t h e v a l u e o f r(r)

s u c h t h a t

V IF[TRN]0 = V IF

[RN]0

W e e a s i l y n d

r(r) =RP0n

t=1 Mt1 (1 + i)t

( 1 9 )

N o t e t h a t f o r a g i v e n r e i n s u r a n c e p r e m i u m

RP0, t h e h i g h e r i s t h e a l l o c a t e d c a p i t a l ( e x -

p r e s s e d b y t h e q u a n t i t i e s Mt1 ) , t h e l o w e r i s t h e r i s k r e w a r d . I n d e e d , t h e a m o u n t o f t h e

s h a r e h o l d e r s ' c a p i t a l s h o u l d b e d e t e r m i n e d w i t h t h e g o a l o f a h i g h p r o b a b i l i t y o f m e e t i n g

t h e r e l e v a n t o b l i g a t i o n s , n a m e l y a i m i n g a t s o l v e n c y . T h e r i s k r e w a r d s h o u l d t h e r e f o r e

a c c o u n t f o r t h e r e s i d u a l r i s k s , i . e . f o r t h e p o s s i b l e d e f a u l t o f t h e a n n u i t y p o r t f o l i o . A c -

t u a l l y , t h e C C c a l c u l a t e d w i t h ( 1 8 ) , t h a n k s t o ( 1 9 ) a c c o u n t s f o r t h e n e u t r a l i z a t i o n o f

r i s k s .

T h e m a i n a d v a n t a g e s o f ( 1 7 ) i n r e s p e c t o f ( 5 ) a r e t h a t t h e d i s c o u n t r a t e s u g g e s t e d

i n a m a r k e t - c o n s i s t e n t f r a m e w o r k i s a d o p t e d ; f u r t h e r , f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e C C , a

c l o s e d f o r m u l a i s o b t a i n e d f o r t h e r e l e v a n t p a r a m e t e r , w h i c h i s a l s o e a s i e r t o d i s c l o s e . T h e

a d v a n t a g e o f ( 1 7 ) i n r e s p e c t o f ( 8 ) i s t h e p o s s i b i l i t y t o r e f e r t o a m e t h o d o l o g i c a l s t r u c t u r e

a l r e a d y a d o p t e d i n p r a c t i c e ( w h e n c e t h e r e l e v a n t p a c k a g e s j u s t r e q u i r e a r e s e t t i n g o f t h e

m a i n p a r a m e t e r s ) . C l e a r l y , t h e o p e n p r o b l e m i s s t i l l t h e a p p r a i s a l o f t h e r e i n s u r a n c e

a r r a n g e m e n t .

B e f o r e m o v i n g t o c o n c l u s i o n s a n d r e m a r k s a b o u t m o r t a l i t y m o d e l i n g , l e t u s q u o t e a

n u m e r i c a l e x a m p l e o n t h e i s s u e s o f t h i s S e c t i o n . W e a d o p t t h e s a m e p a r a m e t e r s u s e d i n

S e c t i o n 4 . A s t o t h e t a r g e t c a p i t a l , w e a s s u m e t w o a l t e r n a t i v e r u l e s :

a S o l v e n c y 1 - l i k e r u l e , a c c o r d i n g t o w h i c h t h e t a r g e t c a p i t a l a t t i m e t i s 4% o ft h e p o r t f o l i o r e s e r v e ;


13/19


a S o l v e n c y 2 - l i k e r u l e , a c c o r d i n g t o w h i c h t h e t a r g e t c a p i t a l a t t i m e t i s t h e

c h a n g e i n n e t a s s e t v a l u e a g a i n s t a 2 5 % p e r m a n e n t d e c r e a s e o f m o r t a l i t y r a t e s .

I n o u r e x a m p l e , t h e S o l v e n c y 2 - l i k e r u l e t u r n s o u t t o b e a m o r e s e v e r e r e q u i r e m e n t t h a n

t h e o t h e r o n e .

T a b l e s 2 a n d 3 q u o t e t h e e q u i v a l e n t R D R o b t a i n e d s o l v i n g ( 1 4 ) , h a v i n g a d o p t e d

t h e t w o a l t e r n a t i v e t a r g e t c a p i t a l s m e n t i o n e d a b o v e . J u s t t o g i v e a n e x a m p l e , i n e a c h

r o w o f t h e t w o t a b l e s , i t i s a s s u m e d t h a t t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m RP0 i s s u c h t h a t i t

r e d u c e s t h e V IF

[RN]0 t o a g i v e n p e r c e n t a g e o f CF0 ( w h i c h i s w o r t h 0 . 8 0 0 4 7 ; s e e T a b l e 1 ) .

A l t h o u g h t h e b e h a v i o r o f t h e e q u i v a l e n t R D R i s i n c r e a s i n g i n r e s p e c t o f RP0 ( i . e . i n

r e s p e c t o f a d e c r e a s i n g V I F ) , i t i s n o t p o s s i b l e t o n d a s a t i s f a c t o r y a p p r o x i m a t e s h o r t -

c u t f o r m u l a . O f c o u r s e , m o r e u s e f u l r e s u l t s i n t h i s r e g a r d c o u l d b e f o u n d w h e n a d d r e s s i n g

m o r e t h a n o n e c o h o r t .

RP0 s . t . V IF

[RN]0

CF0V IF

[T]0 = V IF

[RN]0 r

(a) = i P V F P [T]0 CC

[T]0

1 0 0 % 0 . 8 0 0 4 7 2 . 5 0 0 % 0 . 0 0 % 0 . 8 0 0 4 7 0 . 0 0 0 0 0

9 0 % 0 . 7 2 0 4 2 2 . 8 9 5 % 0 . 4 0 % 0 . 7 5 3 9 2 0 . 0 3 3 5 0

8 0 % 0 . 6 4 0 3 8 3 . 3 2 7 % 0 . 8 3 % 0 . 7 0 7 2 5 0 . 0 6 6 8 7

7 0 % 0 . 5 6 0 3 3 3 . 8 0 0 % 1 . 3 0 % 0 . 6 6 0 4 7 0 . 1 0 0 1 4

6 0 % 0 . 4 8 0 2 8 4 . 3 2 4 % 1 . 8 2 % 0 . 6 1 3 6 0 0 . 1 3 3 3 2

5 0 % 0 . 4 0 0 2 3 4 . 9 0 8 % 2 . 4 1 % 0 . 5 6 6 6 7 0 . 1 6 6 4 4

4 0 % 0 . 3 2 0 1 9 5 . 5 6 6 % 3 . 0 7 % 0 . 5 1 9 7 1 0 . 1 9 9 5 2

3 0 % 0 . 2 4 0 1 4 6 . 3 1 5 % 3 . 8 2 % 0 . 4 7 2 7 6 0 . 2 3 2 6 2

2 0 % 0 . 1 6 0 0 9 7 . 1 8 0 % 4 . 6 8 % 0 . 4 2 5 8 7 0 . 2 6 5 7 9

1 0 % 0 . 0 8 0 0 5 8 . 1 9 5 % 5 . 7 0 % 0 . 3 7 9 1 3 0 . 2 9 9 0 8

0 % 0 . 0 0 0 0 0 9 . 4 1 3 % 6 . 9 1 % 0 . 3 3 2 6 2 0 . 3 3 2 6 2

T a b l e 2 : E q u i v a l e n t R D R ; S o l v e n c y 1 - l i k e r u l e f o r t a r g e t c a p i t a l

T a b l e 4 q u o t e s t h e f a c t o r

1Pn

t=1Mt1 (1+i)t i n t h e e x p r e s s i o n o f t h e e q u i v a l e n t r i s k

r e w a r d ( s e e ( 1 9 ) ) . O n c e RP0 h a s b e e n a s s i g n e d , t h e e q u i v a l e n t r i s k r e w a r d c a n b e

a s s e s s e d t h r o u g h ( 1 9 ) , a s i t i s s u g g e s t e d i n T a b l e 4 .

N o t e , i n a l l e x a m p l e s , t h a t t h e e q u i v a l e n t R D R a n d t h e e q u i v a l e n t r i s k r e w a r d

d e p e n d o n t h e a m o u n t o f t h e t a r g e t c a p i t a l , a s n o t e d a b o v e . I n p a r t i c u l a r , t h e e q u i v a l e n t

r i s k r e w a r d ( s e e T a b l e 4 ) m a y h e l p i n d i s c l o s i n g t h e s e v e r i t y o f t h e c a p i t a l a l l o c a t i o n

p o l i c y a d o p t e d b y t h e a n n u i t y p r o v i d e r .


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RP0 s . t . V IF

[RN]0

CF0V IF

[T]0 = V IF

[RN]0 r

(a) = i P V F P [T]0 CC

[T]0

1 0 0 % 0 . 8 0 0 4 7 2 . 5 0 0 % 0 . 0 0 % 0 . 8 0 0 4 7 0 . 0 0 0 0 0

9 0 % 0 . 7 2 0 4 2 2 . 8 4 5 % 0 . 3 4 % 0 . 7 5 9 6 5 0 . 0 3 9 2 3

8 0 % 0 . 6 4 0 3 8 3 . 2 2 5 % 0 . 7 2 % 0 . 7 1 7 8 9 0 . 0 7 7 5 1

7 0 % 0 . 5 6 0 3 3 3 . 6 4 7 % 1 . 1 5 % 0 . 6 7 5 1 2 0 . 1 1 4 7 9

6 0 % 0 . 4 8 0 2 8 4 . 1 2 0 % 1 . 6 2 % 0 . 6 3 1 2 7 0 . 1 5 0 9 9

5 0 % 0 . 4 0 0 2 3 4 . 6 5 7 % 2 . 1 6 % 0 . 5 8 6 2 4 0 . 1 8 6 0 1

4 0 % 0 . 3 2 0 1 9 5 . 2 7 3 % 2 . 7 7 % 0 . 5 3 9 9 5 0 . 2 1 9 7 6

3 0 % 0 . 2 4 0 1 4 5 . 9 9 1 % 3 . 4 9 % 0 . 4 9 2 2 8 0 . 2 5 2 1 4

2 0 % 0 . 1 6 0 0 9 6 . 8 4 6 % 4 . 3 5 % 0 . 4 4 3 1 2 0 . 2 8 3 0 3

1 0 % 0 . 0 8 0 0 5 7 . 8 9 1 % 5 . 3 9 % 0 . 3 9 2 3 2 0 . 3 1 2 2 7

0 % 0 . 0 0 0 0 0 9 . 2 1 0 % 6 . 7 1 % 0 . 3 3 9 7 3 0 . 3 3 9 7 3

T a b l e 3 : E q u i v a l e n t R D R ; S o l v e n c y 2 - l i k e r u l e f o r t a r g e t c a p i t a l

t a r g e t c a p i t a l r(r)

S o l v e n c y 1 - l i k e r u l e 0 . 1 1 2 9 2 RP0S o l v e n c y 2 - l i k e r u l e 0 . 0 8 2 9 7 RP0

T a b l e 4 : E q u i v a l e n t r i s k r e w a r d

6 M o r t a l i t y m o d e l s a l l o w i n g f o r l o n g e v i t y u n c e r t a i n t y

a n d n a l r e m a r k s

A s i t w a s m e n t i o n e d e a r l i e r , l o n g e v i t y r i s k c o n c e r n s a g g r e g a t e m o r t a l i t y ( a n d t h i s o r i g -

i n a t e s i t s s y s t e m a t i c n a t u r e ) , d u e t o a n u n a n t i c i p a t e d d e c r e a s e i n m o r t a l i t y r a t e s a t

a d u l t a g e s .

M o d e l i n g t h e l o n g e v i t y p h e n o m e n o n a n d t h e c o n s e q u e n t u n c e r t a i n t y i s c u r r e n t l y a

c o r e t o p i c i n a c t u a r i a l l i t e r a t u r e . A p r o p e r m o d e l i n g s h o u l d r s t a d d r e s s t h e f e a t u r e s o f

m o r t a l i t y e v o l u t i o n . A m o n g t h e s e , r e c t a n g u l a r i z a t i o n a n d e x p a n s i o n ( s e e , f o r e x a m p l e ,

O l i v i e r i , 2 0 0 1 ) , p e r i o d a n d c o h o r t e e c t s ( s e e W i l l e t s , 2 0 0 4 ; R i c h a r d s e t a l . , 2 0 0 6 ) h a v e

b e e n h i g h l i g h t e d .

E x p a n s i o n : t h i s a s p e c t i s r e l a t e d t o t h e i n c r e a s i n g a v e r a g e d u r a t i o n o f l i f e , j o i n t

t o t h e i n c r e a s i n g m a x i m u m a g e o b s e r v e d i n c r o s s - s e c t i o n a l o b s e r v a t i o n s . T h e r i s k

o f s y s t e m a t i c d e v i a t i o n s h a s t u r n e d o u t t o b e s t r o n g e r t h a n i n t h e p a s t .

R e c t a n g u l a r i z a t i o n : c r o s s - s e c t i o n a l o b s e r v a t i o n s l e a d t o a s u r v i v a l f u n c t i o n ( a t

b i r t h ) w i t h a m o r e r e c t a n g u l a r s h a p e ; t h i s r e d u c e s t h e r i s k o f r a n d o m u c t u a t i o n s .

H o w e v e r , t h e s u r v i v a l f u n c t i o n c o n d i t i o n a l o n o u t l i v i n g a n a d u l t a g e ( s a y , f o r


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e x a m p l e , a g e 6 5 ) i s l e s s r e c t a n g u l a r , w h i c h m e a n s t h a t r e f e r r i n g j u s t a t t h e a d u l t

a g e s , a s i n t h e c a s e o f i m m e d i a t e a n n u i t i e s , t h e d i s p e r s i o n o f t h e r e s i d u a l l i f e t i m e

h a s i n c r e a s e d i n t i m e . T h i s c o u l d b e l i n k e d t o t h e i n c r e a s e d m a x i m u m a g e .

P e r i o d a n d c o h o r t e e c t : c r o s s - s e c t i o n a l o b s e r v a t i o n s s u g g e s t t h a t t h e g e n e r a l

t r e n d i n t h e p o p u l a t i o n c o n s i s t s i n a d e c l i n e i n t i m e o f m o r t a l i t y r a t e s . D u e t o

p a r t i c u l a r e v e n t s ( s u c h a s a n e p i d e m i c u o r b a d w e a t h e r c o n d i t i o n s , a l s o i n t e r m s

o f v e r y h i g h t e m p e r a t u r e s i n s u m m e r t i m e ) , i t m a y h a p p e n t h a t i n s o m e y e a r s t h e

t r e n d i s r e v e r s e d , e s p e c i a l l y i n r e l a t i o n t o s o m e a g e s . F u r t h e r , g o i n g d e e p e r i n t o

t h e a n a l y s i s o f d a t a , i t m a y t u r n o u t t h a t s o m e c o h o r t s a r e e x p e r i e n c i n g a s p e c i c

i m p r o v e m e n t . F r o m s u c h c o n s i d e r a t i o n s , t h e n o t i o n s o f c o h o r t e e c t a n d p e r i o d

e e c t f o l l o w . T h e i d e a i s t h a t e a c h c o h o r t h a s i t s o w n m o r t a l i t y t r e n d ; h o w e v e r ,

s o m e c h a n g e s ( p o s s i b l y , t e m p o r a r y ) a r e c o m m o n t o m o r e t h a n o n e c o h o r t ( o r e v e n

t o t h e o v e r a l l p o p u l a t i o n ) .

W h e n a d d r e s s i n g a d u l t a n d o l d a g e s , a g e n e r a l m o d e l r e p r e s e n t i n g m o r t a l i t y r i s k s

s h o u l d t h e r e f o r e a c c o u n t f o r :

r a n d o m u c t u a t i o n s , w h o s e i m p a c t c a n b e f a c e d b y m u t u a l i t y ;

s y s t e m a t i c d e v i a t i o n s d u e t o t h e ( u n k n o w n ) t r e n d s p e c i c o f a c o h o r t ;

p e r i o d ( u n k n o w n ) d e v i a t i o n s , c o m m o n t o m o r e t h a n o n e c o h o r t i n t h e p o p u l a t i o n ;

A n u m b e r o f s t o c h a s t i c m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o r e p r e s e n t m o r t a l i t y i m p r o v e -

m e n t s . A v e r y i n u e n t i a l m o d e l i s t h e L e e - C a r t e r ( s e e L e e a n d C a r t e r , 1 9 9 2 ; L e e , 2 0 0 0 ) ,

w h i c h a c c o u n t s i n p a r t i c u l a r f o r r a n d o m u c t u a t i o n s . T h e L e e - C a r t e r m o d e l h a s b e e n

e x t e n d e d i n m a n y p a p e r s , i n p a r t i c u l a r a i m i n g a t r e m o v i n g s o m e s i m p l i f y i n g h y p o t h e -

s e s w h i c h a r e n o t s a t i s f a c t o r y i n a c t u a r i a l a p p l i c a t i o n s . S e e , f o r e x a m p l e , B r o u h n s e t

a l . ( 2 0 0 2 ) a n d R e n s h a w a n d H a b e r m a n ( 2 0 0 3 , 2 0 0 6 ) . I n o r d e r t o a c c o u n t p r o p e r l y f o r

c o h o r t e e c t s , C M I ( 2 0 0 2 ) p r o p o s e t h e a d o p t i o n o f t h e P - S p l i n e m e t h o d o l o g y ( s e e a l s o

C M I , 2 0 0 6 ) . A f u r t h e r c l a s s o f p r o p o s a l s f o c u s o n t h e e x t e n s i o n o f c r e d i t r i s k a n d i n t e r e s t

r a t e m o d e l s ; s e e , a m o n g t h e o t h e r s , B i s ( 2 0 0 5 ) , B i s a n d M i l l o s s o v i c h ( 2 0 0 6 ) , C a i r n s

e t a l . ( 2 0 0 6 ) . A m o r e n a i v e a p p r o a c h c o n s i s t s i n d e s i g n i n g a n i t e s e t o f a l t e r n a t i v e

m o r t a l i t y s c e n a r i o s . T h i s c o u l d b e u s e f u l f o r s t r e s s t e s t s o r f o r s o l v e n c y i n v e s t i g a t i o n s ;

s e e C M I ( 2 0 0 2 , 2 0 0 6 ) a n d O l i v i e r i a n d P i t a c c o ( 2 0 0 3 ) . W i t h i n t h e S o l v e n c y 2 p r o j e c t ,

a s c e n a r i o - b a s e d a p p r o a c h s h o u l d b e a l s o a d d r e s s e d f o r t h e c a p i t a l r e q u i r e m e n t ; s e e

C E I O P S ( 2 0 0 7 ) .

W h e n a d d r e s s i n g t h e v a l u a t i o n o f l o n g e v i t y b o n d s , t h e b e h a v i o r o f n a n c i a l m a r k e t s

s h o u l d b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n j o i n t t o m o r t a l i t y f e a t u r e s . M o s t a u t h o r s m a k e u s e

o f t h e r i s k - n e u t r a l p r i c i n g f r a m e w o r k ; s e e , f o r e x a m p l e , C a i r n s e t a l . , ( 2 0 0 6 ) , B l a k e

e t a l . , ( 2 0 0 6 b ) a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n . O t h e r a u t h o r s r e s o r t t o s o m e d i s t o r s i o n o f t h e

r e l e v a n t p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , t y p i c a l l y o f t h e s u r v i v o r i n d e x o n w h i c h t h e l o n g e v i t y

b o n d i s b a s e d ; s e e L i n a n d C o x ( 2 0 0 5 ) . H o w e v e r b e c a u s e o f d i e r e n c e s i n m o r t a l i t y a n d


16/19


m a r k e t b e h a v i o r , m e r g i n g p r o p e r l y t h e t w o a s p e c t s i s a v e r y d i c u l t a n d c o n t r o v e r s i a l

e x e r c i s e . F u r t h e r r e s e a r c h i s r e q u i r e d b e f o r e a r e l i a b l e r e s u l t c a n b e r e a c h e d .

L e t u s n o w m o v e t o s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s . W e a r e w e l l a w a r e o f t h e l i m i t s o f t h e

m o d e l w e h a v e d e s c r i b e d , d u e t o t h e s i m p l i f y i n g h y p o t h e s e s w h i c h h a v e b e e n a d o p t e d .

H o w e v e r , o u r a i m w a s t o d e s i g n t h e b a s i c v a l u a t i o n f r a m e w o r k r e c o n c i l i n g t r a d i t i o n a l

t o o l s w i t h m o d e r n m e t h o d o l o g i e s ; p r o p e r a d j u s t m e n t s s h o u l d l e a d t o a s e t t i n g m o r e

s u i t a b l e f o r p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n s . F i r s t , t h e p r i c i n g o f t h e l o n g e v i t y b o n d s h a s

t o b e a d d r e s s e d . S o m e i n i t i a l t e s t s c o u l d b e b a s e d o n t h e m o d e l s a l r e a d y d i s c u s s e d i n

l i t e r a t u r e ( s e e a b o v e ) . I n a n y c a s e , t h i s i s t h e m a j o r p r o b l e m , d u e t o l a c k i n g e x p e r i e n c e

i n t h e c a p i t a l m a r k e t .

A l s o p r i c i n g t h e r e i n s u r a n c e a r r a n g e m e n t i s n o t a n e a s y t a s k , d u e t o p o o r e x p e r i e n c e

i n r e i n s u r i n g l o n g e v i t y r i s k . T h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e a p p r a i s a l i s t h e c o s t o f t h e h e d g i n g

s t r a t e g y ; h o w e v e r , c o n s i d e r a t i o n s h o u l d b e g i v e n t o t h e b a s i s r i s k d u e t o t h e f a c t t h a t

t h e m o r t a l i t y u n d e r l y i n g l o n g e v i t y b o n d s c a n b e u n l i k e t h e o n e i n t h e r e i n s u r e r p o r t f o l i o

( s e e a l s o S e c t i o n 3 ) . A f u r t h e r i m p o r t a n t a s p e c t i s t h e m a t u r i t y o f l o n g e v i t y b o n d s i n

c o m p a r i s o n w i t h t h e l i f e t i m e o f t h e r e i n s u r e d l i f e a n n u i t y p o r t f o l i o ( s e e S e c t i o n 3 ) .

I n o r d e r t o d e v e l o p a m o d e l i n g f r a m e w o r k w h i c h c a n b e c a l i b r a t e d t o t h e a v a i l a b l e

m a r k e t d a t a , f u r t h e r p o l i c y c o n d i t i o n s s h o u l d b e c o n s i d e r e d f o r t h e r e i n s u r a n c e a r r a n g e -

m e n t , s u c h a s b a r r i e r s i n d e t e r m i n i n g t h e s i z e o f o w s t o / f r o m t h e c e d a n t s ( s o t h a t s o m e

r i s k i s l e f t o n t h e a n n u i t y p r o v i d e r ) . H o w e v e r , t h e v a l u a t i o n f r a m e w o r k o f t h e a n n u i t y

p o r t f o l i o , m o v i n g f r o m a b e s t - e s t i m a t e a s s e s s m e n t o f f u t u r e o w s , f o r c e s t o r e f e r t o t h e

s e t t i n g d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . W h e n o t h e r p o l i c y c o n d i t i o n s a r e c o n s i d e r e d , p r o p e r

a d j u s t m e n t s s h o u l d b e a p p l i e d t o t h e r e i n s u r a n c e p r e m i u m .

F i n a l l y , a m o n g f u r t h e r e x t e n s i o n s , m o r e t h a n o n e c o h o r t a s w e l l a s h e t e r o g e n e i t y

i n r e s p e c t o f a n n u a l a m o u n t s s h o u l d b e i n v e s t i g a t e d i n o r d e r t o i m p r o v e t h e v a l u a t i o n

m o d e l .


17/19


R e f e r e n c e s

[ 1 ] B i s E . ( 2 0 0 5 ) , A n e P r o c e s s e s f o r D y n a m i c M o r t a l i t y a n d A c t u a r i a l V a l u a t i o n s ,

I n s u r a n c e : M a t h e m a t i c s & E c o n o m i c s , 3 7 : 4 4 3 4 6 8 .

[ 2 ] B i s E . , M i l l o s s o v i c h P . ( 2 0 0 6 ) , A B i d i m e n s i o n a l A p p r o a c h t o M o r t a l i t y R i s k ,

D e c i s i o n s i n E c o n o m i c s a n d F i n a n c e , 2 9 : 7 1 9 4 .

[ 3 ] B l a k e D . , C a i r n s A . J . G . , D o w d K . ( 2 0 0 6 a ) , L i v i n g w i t h m o r t a l i t y : l o n g e v i t y b o n d s

a n d o t h e r m o r t a l i t y - l i n k e d s e c u r i t i e s , B r i t i s h A c t u a r i a l J o u r n a l , 1 2 : 1 5 3 2 2 8 .

[ 4 ] B l a k e D . , C a i r n s A . J . G . , D o w d K . , M a c M i n n R . ( 2 0 0 6 b ) , L o n g e v i t y b o n d s : n a n c i a l

e n g i n e e r i n g , v a l u a t i o n , a n d h e d g i n g , T h e J o u r n a l o f R i s k a n d I n s u r a n c e

,7 3

: 6 4 7

6 7 2 .

[ 5 ] B r o u h n s N . , D e n u i t M . , V e r m u n t J . K . ( 2 0 0 2 ) , A P o i s s o n l o g - b i l i n e a r r e g r e s s i o n

a p p r o a c h t o t h e c o n s t r u c t i o n o f p r o j e c t e d l i f e t a b l e s , I n s u r a n c e : M a t h e m a t i c s &

E c o n o m i c s , 3 1 : 3 7 3 3 9 3 .

[ 6 ] B u r r o w s R . P . , L a n g J . ( 1 9 9 7 ) , R i s k d i s c o u n t r a t e s f o r a c t u a r i a l a p p r a i s a l v a l u e s

o f l i f e i n s u r a n c e c o m p a n i e s , P r o c e e d i n g s o f t h e 7 t h I n t e r n a t i o n A F I R C o l l o q u i u m ,

C a i r n s ( A u s t r a l i a ) : 2 8 3 3 0 7 .

[ 7 ] B u r r o w s R . P . , W h i t e h e a d G . H . ( 1 9 8 7 ) , T h e d e t e r m i n a t i o n o f l i f e o c e a p p r a i s a l

v a l u e s , J o u r n a l o f t h e I n s t i t u t e o f A c t u a r i e s , 1 1 4 : 4 1 1 4 6 5 .

[ 8 ] C a i r n s A . J . G . , B l a k e D . , D o w d , K . ( 2 0 0 6 ) , A T w o - F a c t o r M o d e l f o r S t o c h a s t i c

M o r t a l i t y w i t h P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y : T h e o r y a n d C a l i b r a t i o n , J o u r n a l o f R i s k

a n d I n s u r a n c e , 7 3 : 6 8 7 7 1 8 .

[ 9 ] C E I O P S ( 2 0 0 7 ) , Q I S 3 T e c h n i c a l S p e c i c a t i o n s .

[ 1 0 ] C F O F o r u m ( 2 0 0 4 ) , E u r o p e a n e m b e d d e d v a l u e p r i n c i p l e s a n d b a s i s f o r c o n c l u s i o n s .

[ 1 1 ] C F O F o r u m ( 2 0 0 6 ) , E l a b o r a t e d p r i n c i p l e s f o r a n I F R S p h a s e I I i n s u r a n c e a c c o u n t i n g

m o d e l . E l a b o r a t e d p r i n c i p l e s a n d b a s i s f o r c o n c l u s i o n s .

[ 1 2 ] C M I ( 2 0 0 2 ) , W o r k i n g P a p e r 1 A n i n t e r i m b a s i s f o r a d j u s t i n g t h e 9 2 S e r i e s

m o r t a l i t y p r o j e c t i o n s f o r c o h o r t e e c t s , T h e F a c u l t y o f A c t u a r i e s a n d I n s t i t u t e o f

A c t u a r i e s .

[ 1 3 ] C M I ( 2 0 0 6 ) , W o r k i n g P a p e r 2 0 S t o c h a s t i c p r o j e c t i o n m e t h o d o l o g i e s : F u r t h e r

p r o g r e s s a n d P - S p l i n e m o d e l f e a t u r e s , e x a m p l e r e s u l t s a n d i m p l i c a t i o n s , T h e F a c u l t y

o f A c t u a r i e s a n d I n s t i t u t e o f A c t u a r i e s .

[ 1 4 ] C o l e m a n A . M . , E d w a r d s B . A . , T o r r a n c e D . M . ( 1 9 9 2 ) , M a i n t a i n a b l e e a r n i n g s a n d

a c t u a r i a l m e t h o d s f o r v a l u i n g l i f e i n s u r a n c e c o m p a n i e s , T h e I n s t i t u t e o f A c t u a r i e s

o f A u s t r a l i a , S e s s i o n a l M e e t i n g 1 9 9 2 .


18/19


[ 1 5 ] L A V M W P ( L i f e A s s u r a n c e V a l u e M e a s u r e m e n t W o r k i n g P a r t y ) ( 2 0 0 1 ) , S u m m a r y

a n d c o m p a r i s o n o f a p p r o a c h e s u s e d t o m e a s u r e l i f e o c e v a l u e s , T h e S t a p l e I n n

A c t u a r i a l S o c i e t y , L o n d o n .

[ 1 6 ] L e e R . D . ( 2 0 0 0 ) , T h e L e e - C a r t e r m e t h o d f o r f o r e c a s t i n g m o r t a l i t y , w i t h v a r i o u s

e x t e n s i o n s a n d a p p l i c a t i o n s , N o r t h A m e r i c a n A c t u a r i a l J o u r n a l , 4 : 8 0 9 3 .

[ 1 7 ] L e e R . D . , C a r t e r L . R . ( 1 9 9 2 ) , M o d e l i n g a n d f o r e c a s t i n g U . S . m o r t a l i t y , J o u r n a l o f

t h e A m e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n , 8 7 : 6 5 9 6 7 5 .

[ 1 8 ] L i n Y . , C o x S . H . ( 2 0 0 5 ) , S e c u r i t i z a t i o n o f M o r t a l i t y R i s k s i n L i f e A n n u i t i e s , J o u r n a l

o f R i s k a n d I n s u r a n c e , 7 2 : 2 2 7 2 5 2 .

[ 1 9 ] O ' K e e e P . J . L . , D e s a i A . J . , F o r o u g h i K . , H i b b e t t G . J . , M a x w e l l A . F . , S h a r p A . C . ,

T a v e r n e r N . H . , W a r d M . B . a n d W i l l i s F . J . P . ( 2 0 0 5 ) , C u r r e n t d e v e l o p m e n t s i n e m -

b e d d e d v a l u e r e p o r t i n g , B r i t i s h A c t u a r i a l J o u r n a l , 1 1 : 4 0 7 4 9 6 .

[ 2 0 ] O l i v i e r i A . ( 2 0 0 1 ) , U n c e r t a i n t y i n m o r t a l i t y p r o j e c t i o n s : a n a c t u a r i a l p e r s p e c t i v e ,

I n s u r a n c e : M a t h e m a t i c s & E c o n o m i c s , 2 9 : 2 3 1 2 4 5 .

[ 2 1 ] O l i v i e r i A . ( 2 0 0 5 ) , D e s i g n i n g l o n g e v i t y r i s k t r a n s f e r s : t h e p o i n t o f v i e w o f t h e

c e d a n t , G i o r n a l e d e l l ' I s t i t u t o I t a l i a n o d e g l i A t t u a r i , L X V I I I : 1 3 5 . R e p r i n t e d o n :

I C F A I J o u r n a l o f F i n a n c i a l R i s k M a n a g e m e n t , M a r c h 2 0 0 7 .

[ 2 2 ] O l i v i e r i A . , P i t a c c o E . ( 2 0 0 3 ) , S o l v e n c y r e q u i r e m e n t s f o r p e n s i o n a n n u i t i e s , J o u r n a l

o f P e n s i o n E c o n o m i c s a n d F i n a n c e , 2 : 1 2 7 1 5 7 .

[ 2 3 ] O l i v i e r i A . , P i t a c c o E . ( 2 0 0 5 ) , L a v a l u t a z i o n e n e l l e a s s i c u r a z i o n i v i t a . P r o l i a t -

t u a r i a l i , E G E A , M i l a n o .

[ 2 4 ] P e m b e r t o n J . , A l l e n I . , B r o w n D . H a r d w i c k S . , S h a h N . , S t e v e n s A . , W i l s o n C .

( 2 0 0 0 ) , C l a s s i f y i n g D C F m o d e l s t o e x p l i c a t e E V A , T h e S t a p l e I n n A c t u a r i a l S o c i e t y ,

L o n d o n .

[ 2 5 ] R e n s h a w A . E . , H a b e r m a n S . ( 2 0 0 3 ) , L e e - C a r t e r m o r t a l i t y f o r e c a s t i n g w i t h a g e -

s p e c i c e n h a n c e m e n t , I n s u r a n c e : M a t h e m a t i c s & E c o n o m i c s , 3 3 : 2 5 5 2 7 2 .

[ 2 6 ] R e n s h a w A . E . , H a b e r m a n S . ( 2 0 0 6 ) , A c o h o r t - b a s e d e x t e n s i o n t o t h e L e e - C a r t e r

m o d e l f o r m o r t a l i t y r e d u c t i o n f a c t o r s , I n s u r a n c e : M a t h e m a t i c s & E c o n o m i c s ,3 8

:

5 5 6 5 7 0 .

[ 2 7 ] R i c h a r d s S . J . , K i r k b y J . G . , C u r r i e I . D . ( 2 0 0 6 ) , T h e i m p o r t a n c e o f y e a r o f b i r t h i n

t w o - d i m e n s i o n a l m o r t a l i t y d a t a , B r i t i s h A c t u a r i a l J o u r n a l , 1 2 : 5 3 8 .

[ 2 8 ] S h e l d o n T . J . , S m i t h A . D . ( 2 0 0 4 ) , M a r k e t c o n s i s t e n t v a l u a t i o n o f l i f e a s s u r a n c e

b u s i n e s s , B r i t i s h A c t u a r i a l J o u r n a l , 1 0 : 5 4 3 6 2 6 .


19/19


[ 2 9 ] S h e r r i s M . ( 1 9 8 7 ) , O n t h e r i s k a d j u s t e d d i s c o u n t r a t e f o r d e t e r m i n i n g l i f e o c e

a p p r a i s a l v a l u e s , J o u r n a l o f t h e I n s t i t u t e o f A c t u a r i e s , 1 1 4 : 5 8 1 5 8 9 .

[ 3 0 ] T i l l i n g h a s t - T o w e r s P e r r i n s ( 2 0 0 4 ) , M a r k e t - c o n s i s t e n t e m b e d d e d v a l u e .

[ 3 1 ] T i l l i n g h a s t - T o w e r s P e r r i n s ( 2 0 0 5 ) , M a r k e t - c o n s i s t e n t e m b e d d e d v a l u e . D i s p e l l i n g t h e

m y t h s .

[ 3 2 ] T u r n e r S . ( 1 9 7 8 ) , A c t u a r i a l a p p r a i s a l v a l u a t i o n s o f l i f e i n s u r a n c e c o m p a n i e s , T r a n s -

a c t i o n s o f t h e S o c i e t y o f A c t u a r i e s , 3 0 : 1 3 9 1 6 7 .

[ 3 3 ] W i l l e t s R . C . ( 2 0 0 4 ) , T h e c o h o r t e e c t : i n s i g h t s a n d e x p l a n a t i o n s , B r i t i s h A c t u a r i a l

J o u r n a l , 1 0 : 8 3 3 8 7 7 .

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