ONDAS

PH

If you want to find the secrets of the universe, think in terms of

energy, frequency and vibration.

Nikola Tesla

(1856-1943)

INTERFERÊNCIA DE ONDAS

432 Hz

INTERFERÊNCIA DE ONDAS BATIMENTO

220 Hz 440 Hz

442 Hz

INTENSIDADE DE UMA CORDA Vamos calcular a energia transmitida pela onda, por unidade de tempo, através de um ponto da corda.

Essa força realiza trabalho. Trabalho por tempo fornece a potência instantânea:

Potência instantânea:

Potência média:

𝑣 =𝑇

𝜇 𝑘𝑣 = 𝜔

REFLEXÃO DE ONDAS

𝑦 0, 𝑡 = 0

𝐹𝑦 = 0

REFLEXÃO DE ONDAS EXTREMIDADE FIXA

𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)

𝑦 0, 𝑡 = 0 = 𝑓 −𝑣𝑡 + 𝑔 𝑣𝑡 ⇒ 𝑓 −𝑣𝑡 = −𝑔 𝑣𝑡

O pulso refletido volta invertido após a reflexão: a reflexão numa

extremidade fixa produz uma defasagem de 1800.

REFLEXÃO DE ONDAS EXTREMIDADE LIVRE

𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)

𝐹𝑦 = −𝑇𝜕𝑦

𝜕𝑥0, 𝑡 = 0 = 𝑓′ −𝑣𝑡 + 𝑔′ 𝑣𝑡 ⇒ 𝑓 −𝑣𝑡 = 𝑔(𝑣𝑡)

Numa extremidade livre, um pulso é refletido sem mudança de fase.

Duas cordas conectadas

𝜇1 , 𝑣1 𝜇2, 𝑣2

𝑥 = 0

𝑣2 =𝑇

𝜇2 𝑣1 =

𝑇

𝜇1

𝑦

𝑥

Onda incidente: i

Onda refletida: r

Onda transmitida: t

Condições de contorno:

𝜕𝑦1

𝜕𝑥=

𝜕𝑦2

𝜕𝑥

(Caso contrário, a corda quebra!) 𝑦1 = 𝑦2

(Caso contrário, a corda fica dobrada!) 𝑇 𝑇

massa da junção nula aceleração infinita

Duas cordas conectadas

𝑥 = 0 𝑦

𝑥

Onda incidente: i

Onda refletida: r

Onda transmitida: t

𝜕𝑦1

𝜕𝑥=

𝜕𝑦2

𝜕𝑥

𝑦1 = 𝑦2

𝑦𝑖 = 𝐴𝑖 sin 𝜔1𝑡 − 𝑘1𝑥

𝑦𝑟 = 𝐴𝑟 sin 𝜔1𝑡 + 𝑘1𝑥

𝑦𝑡 = 𝐴𝑡 sin 𝜔1𝑡 − 𝑘2𝑥

𝜔1 = 𝑘1𝑣1=𝑘2𝑣2 Na junção, ambos oscilam com a mesma frequência

𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡

Condições de contorno

−𝑘1𝐴𝑖 + 𝑘1𝐴𝑟 = −𝑘2𝐴𝑡

3 incógnitas, 2 equações.

Duas cordas conectadas

𝑥 = 0 𝑦

Onda incidente: i Onda transmitida: t

𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡

−𝑘1𝐴𝑖 + 𝑘1𝐴𝑟 = −𝑘2𝐴𝑡

1 +𝐴𝑟

𝐴𝑖=

𝐴𝑡

𝐴𝑖

−𝑘1 + 𝑘1

𝐴𝑟

𝐴𝑖= −𝑘2

𝐴𝑟

𝐴𝑖

1 + 𝜌 = 𝜏

𝜌 − 1 = −𝑣1

𝑣2𝜏

𝑘1𝑣1=𝑘2𝑣2

𝜏 =2𝑣2

𝑣1 + 𝑣2

𝜌 =𝑣2 − 𝑣1

𝑣1 + 𝑣2

amplitude de reflexão

amplitude de transmissão

Duas cordas conectadas

𝑥 = 0 𝑦

Onda incidente: i Onda transmitida: t

𝜏 =2𝑣2

𝑣1 + 𝑣2

𝜌 =𝑣2 − 𝑣1

𝑣1 + 𝑣2

𝜇2 = ∞ (parede – extremidade fixa) 𝑣2 = 0

𝜌 = −1 𝜏 = 0

𝑣1 < 𝑣2 𝜇1 > 𝜇2

𝜌 > 0 𝜏 > 0

𝑣1 = 𝑣2 𝜇1 = 𝜇2

𝜌 = 0 𝜏 = 1

MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO

Padrão de movimento, em que todas as partes do sistema movem-se com a mesma frequência e com uma relação de fase fixa.

𝑥1 𝑡 =1

2𝑞1 𝑡 + 𝑞2(𝑡)

𝑥2 𝑡 =1

2𝑞1 𝑡 − 𝑞2(𝑡)

𝑞1(𝑡) = 𝐴1 cos 𝜔0𝑡 + 𝜑1

𝑞2(𝑡) = 𝐴2 cos 𝜔2𝑡 + 𝜑2

SIMÉTRICO

ANTISIMÉTRICO

MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO CORDA

𝑦 0, 𝑡 = 𝑦 𝑙, 𝑡 = 0 Condições de contorno:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑥 cos(𝜔𝑡 + 𝛿) Modos normais:

Corresponde a uma onda estacionária!

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 2𝐴cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡)

𝑑2𝐴(𝑥)

𝑑𝑥2 + 𝑘2𝐴 𝑥 = 0, 𝑘 =𝜔

𝑣 Resolvendo a Eq. de Onda:

𝑘𝑛 =𝑛𝜋

𝑙, (𝑛 = 1, 2, 3 … )

𝜔𝑛 = 𝑘𝑛𝑣 =𝑛𝜋

𝑙𝑣

𝜆𝑛 =2𝜋

𝑘𝑛=

2𝑙

𝑛

𝑦𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝑏𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝛿𝑛) = 𝑏𝑛 sin𝑛𝜋

𝑙𝑥 cos

𝑛𝜋

𝑙𝑣𝑡 + 𝛿𝑛

MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO

𝑦𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝑏𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝛿𝑛) = 𝑏𝑛 sin𝑛𝜋

𝑙𝑥 cos

𝑛𝜋

𝑙𝑣𝑡 + 𝛿𝑛

MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO

𝜆1 =2𝑙

1

𝜆2 =2𝑙

2

𝜆3 =2𝑙

3

⋮

FUNDAMENTAL

MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

N osciladores → N modos normais

N → (corda), é de se esperar que o movimento geral de uma corda vibrante presa nos extremos seja uma superposição de todos os modos normais (série infinita)

Pelo Princípio da Superposição, uma combinação linear de soluções da equação de onda também é solução.

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

IDEIA MALUCA! (1807) Qualquer função periódica pode ser escrita como uma soma de senos e cossenos de frequências diferentes.

Lagrange, Laplace, Poisson não acreditaram!

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

g(t) = sin(2 f t) + (1/3)sin(2 (3f) t)

= +

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= +

=

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= +

=

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= +

=

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= +

=

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= +

=

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

= 1

1sin(2 )

k

A ktk

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER

MOVIMENTO GERAL DA CORDA E ANÁLISE DE FOURIER