ondelettes et compression d'images
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Ondelettes et compression d’images
Marco Cagnazzo
Département Traitement du Signal et des ImagesTELECOM ParisTech
30 Octobre 2012
M. Cagnazzo Ondelettes 1/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Plan
1 Introduction
2 Transformée en ondelettes discrèteBancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
3 Principes de compression d’imagesEZWJPEG 2000
M. Cagnazzo Ondelettes 2/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Plan
1 Introduction
2 Transformée en ondelettes discrèteBancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
3 Principes de compression d’imagesEZWJPEG 2000
M. Cagnazzo Ondelettes 3/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Représentation des images numériques
Signal discret, grille deN ×M “pixels”
Images en couleurs : troiscomposantes, chacunereprésentée comme unematrice de N ×M réels.
Chaque composante (R,V, B) peut être visualiséecomme une image enniveaux de gris
M. Cagnazzo Ondelettes 4/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Représentation des images numériquesImages couleurs : Format YCbCr
Changement decoordonnées :[R,V ,B]→ [Y ,Cb,Cr ]
Luminance Y etchrominance Cb,Cr
M. Cagnazzo Ondelettes 5/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Pourquoi comprimer ?
Photos : 5 Megapixel
Trois composantes couleur
Un octet par composant
Occupation mémoire : 15 Mo par photo
Vidéo, 25 images par second : 2 heures de film > 100 Go
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Comment comprimer ?
Redondance statistique des donnéeshomogénéité des imagesdépendance statistique entre les pixels
Redondance psychovisuelsensibilité aux baisses fréquenceseffets de masquageimportance des contoursautres limites du système visuel humain
Codage par transformée : on passe de NM valeurs deluminance (tous importants) à n ≪ NM coefficientssignificatifs de la transformée
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Algorithmes de compressionTypes d’algorithme
Algorithmes sans perte (lossless)Reconstruction parfaiteBasés sur la redondance statistiqueFaible rapport de compression
Algorithmes avec perte (lossy)Image reconstruite 6= image originaleBasés sur la quantification et transforméeRedondance psychovisuel : “visually lossless”Rapport de compression élevé
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Ondelettes et images : Motivations
Modèle des images : trends + anomalies
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Ondelettes et images : Motivations
Modèle des images : trends + anomalies
M. Cagnazzo Ondelettes 9/98
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Ondelettes et images : Motivations
Modèle des images : trends + anomalies
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Ondelettes et images : Motivations
Anomalies :Variations soudaines du signal, sur une courte duréeContribution à haute fréquenceContours des objetsBonne résolution spatialeRésolution en fréquence grossière
Trends :Variations lentes du signal, sur une longue duréeContribution à baisse fréquenceIntérieur des objetsRésolution spatiale grossièreBonne résolution en fréquence
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Ondelettes et images : MotivationsBoîtes temps-fréquence des familles analysantes
Analyse dans le temps :θγ(t) = δ(t − t0)Analyse en fréquence :θγ(t) = e2iπf0t
Transformée de Fourier à fenêtre :
θγ(t) = g(t − t0)e2iπf0t
σt , σξ indépendants de γ
Transformée en Ondelettes :
θγ(t) =1√
aψ
(
t − ba
)
σt(a,b) = aσt,(1,0) σξ(a,b) = a−1σξ,(1,0)
Analyse dans le temps Analyse en fréquence
Transformée de Fourier à Fenêtre Transformée en Ondelettes
T
T T
T
F
FF
F
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Ondelettes et images : Motivations
Modèle du signal : une ligne d’une image
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Ondelettes et images : Motivations
Modèle du signal : une ligne d’une image
M. Cagnazzo Ondelettes 12/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Ondelettes et images : Motivations
Modèle du signal : une ligne d’une image
M. Cagnazzo Ondelettes 12/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Ondelettes et analyse à résolutions multiples
Approximation : version à baisse résolution
“Détails” : zéros en correspondance d’un signalpolynomiale
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−20
0
20
40
60
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−20
0
20
40
60
80
c−1[k ] d
−1[k ]
x [k ] = c0[k ]
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Plan
1 Introduction
2 Transformée en ondelettes discrèteBancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
3 Principes de compression d’imagesEZWJPEG 2000
M. Cagnazzo Ondelettes 14/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Transformée en ondelettes discrete
La T.O.D. peut être calculé par l’algorithme pyramidal :
c−1[k ] =
∑
n
h[n − 2k ]c0[n]
d−1[k ] =
∑
n
g[n − 2k ]c0[n]
Cela est équivalent à calculer :
c[k ] =∑
n
h[n − k ]c0[n] c−1[k ] = c[2k ]
d [k ] =∑
n
g[n − k ]c0[n] d−1[k ] = d [2k ]
Implémentation par banc de filtres
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Bancs de filtres 1DDécomposition
c[k ] c[k ]
d [k ] d [k ]
x [k ]
g
h ↓ 2
↓ 2
Banc de filtres d’analyse
2 ↓ : opérateur de décimation : c[k ] = c[2k ]
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Reconstruction
c[k ]c[k ]
d [k ]d [k ]
x [k ]
g
h↑ 2
↑ 2
Banc de filtres de synthèse
2 ↑ : opérateur d’interpolation, multiplie le nombred’échantillons par 2
c[k ] =
{c[k/2] si k est pair
0 si k est impair
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Propriétés des filtres
Reconstruction parfaite
RIF
Orthogonalité
Moments nuls
Symétrie
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Conditions de reconstruction parfaite
En cascadant bancs de filtres d’analyse et de synthèse, on veutla reconstruction parfaite (RP), c’est-à-dire que, pour toutk ∈ Z,
xk = xk+ℓ ⇐⇒ X (z) = z−ℓX (z)
c[k ] c[k ]
d [k ] d [k ]
x [k ]
g
h
g
h↓ 2
↓ 2
c[k ]
d [k ]
x [k ]
↑ 2
↑ 2
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Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Relations dans le domaine Z
filtre C (z) =∞∑
n=−∞
cnz−n = H (z)X (z)
décimateur C (z) =12
[C(
z1/2)+ C
(−z1/2
)]
interpolateur C (z) = C(
z2)
sortie X (z) = H (z)C(
z2)+ G (z)D
(z2)
X (z) =12
[H (z)H (z) + G (z)G (z)
]X (z)
+12
[H (z)H (−z) + G (z)G (−z)
]X (−z)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Conditions de PR en Z
En cascadant bancs de filtres d’analyse et de synthèse, on veutla reconstruction parfaite (RP), c’est-à-dire que, pour toutk ∈ Z,
xk = xk+ℓ ⇐⇒ X (z) = z−ℓX (z)
m
H (z)H (z) + G (z)G (z) = 2z−ℓ Non distorsion
H (z)H (−z) + G (z)G (−z) = 0 Non aliasing
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Conditions de reconstruction parfaiteForme matricielle
Pour simplicité on ignore le retard, ℓ = 0Si les filtres d’analyse sont assignés, les filtres de synthèsesont univoquement déterminés :
[H (z) G (z)
H (−z) G (−z)
]·[
H (z)G (z)
]=
[20
]
On assume que la matrice de modulation soit inversible.
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Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Conditions de reconstruction parfaiteFiltres de synthèse
Déterminant de la matrice de modulation :
∆(z) = H (z)G (−z)−G (z)H (−z)
H (z) =2
∆(z)G (−z)
G (z) = − 2∆(z)
H (−z)
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Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Reconstruction parfaite avec filtres RIF
Filtres à réponse impulsionnelle finie:On peut montrer que dans ce cas la RP est équivalente àimposer la condition de signes alternes pour les filtres.Exemple:
h(k) = a b c h(k) = p -q r -s t
g(k) = p q r s t g(k) = -a b -c
M. Cagnazzo Ondelettes 24/98
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Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Orthogonalité
L’orthogonalité assure la conservation d’énergie :
∞∑
k=−∞
(xk )2 =
∞∑
k=−∞
(ck )2 +
∞∑
k=−∞
(dk )2
⇒ erreur de reconstruction = erreur de quantification sur lescoefficients d’ondelettes
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Moments nuls
Le moments nuls (MN) représentent la capacité du filtre dereconstruire des polynôme
Un filtre avec p MN peut représenter des polynômes dedegré strictement inférieur à p
Si l’entrée du banc est un polynôme de grade au plus p− 1la sortie du filtre passe haut est strictement nulle
Alors toute l’information est représentée avec la moitié deséchantillon (signal d’approximation)
Un filtre avec p MN a un support non inférieur à 2p
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Symétrie
Les propriétés des bancs de filtres telles qu’on les a vuessont valables pour signaux de durée infinie
La symétrie du filtre est nécessaire pour étendre cesrésultats au cas fini
Des filtres non-symétriques perturbent la régularité dusignal (transitions brutales)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Filtre de Haar
h(k) = 1 1 h(k) = 1 1
g(k) = 1 -1 g(k) = -1 1
Symétrique
Orthogonal (normalisation)Nombre de moments nul = 1
Capable de représenter uniquement les signaux constantspar morceaux
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Orthogonalité et biorthogonalitéReconstruction parfaite pour signaux de durée limitée
Problème de l’expansion des coefficients (convolution)Solution : convolution circulaire
La convolution circulaire permet de reconstruire un signalde N échantillons avec N coefficients d’ondelettesMais elle engendre des discontinuité aux bordes : “fausses”fréquences qui demandent beaucoup de ressources maisne contiennent pas d’information
Solution : Périodisation symétriquePas de discontinuités introduitesMais ça double le nombre de coefficients !Sauf si le filtre est symétrique
Le seul filtre orthogonal, RIF et symétrique est celui de Haar !
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Filtres biorthogonauxFiltres Cohen-Daubechies-Fauveau
Pour les filtres biorthogonaux, si h a p MN et h a p MN, lesupport est au moins p + p − 1.Ils existent des filtres biorthogonaux (CDF) qui :
Sont symétriques (phase linéaire)
Ont le maximum de MN pour une durée fixée
Sont “quasi” orthogonaux (conservation de l’énergie) :filtres h et h similaires
Ces filtres sont les plus communément utilisés dans le codaged’image
M. Cagnazzo Ondelettes 30/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Filtres biorthogonaux 9/7
Coefficients du filtre :
n 0 ±1 ±2 ±3 ±4h[l] 0.852699 0.377403 −0.110624 −0.023849 0.037828h[l] 0.788486 0.418092 −0.040689 −0.064539
Réponses impulsionnelles des filtres passe-bas d’analyse et desynthèse biorthogonaux 9/7. On a pour les filtres passe-haut :
g[l] = (−1)l+1 h [l − 1] et g[l] = (−1)l−1 h [l + 1] .
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Bancs de filtre et fonctions ψ, φ
Les fonctions d’ondelette et d’échelle sont liées au bancs de filtrespar les relations suivantes :
φ(t) =√
2∑
k
h(k)φ(2t − k) avec h[k ] =∫φ(t)φ(2t − k)dt
ψ(t) =√
2∑
k
g(k)φ(2t − k) avec g[k ] =∫φ(t)ψ(2t − k)dt
Trouver la fonction φ qui satisfait la première équation n’est pas engénéral facile.Dans le cas Haar on a :
φ(t) = φ(2t) + φ(2t − 1) ⇒ φ(t) = Π(t − 1/2)
ψ(t) = φ(2t) − φ(2t − 1) = Π(2t − 1/2)− Π(2t − 3/2)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Analyse multirésolution 1DDécomposition
c0[k ]
c−1[k ]
c−2[k ]
c−3[k ]
d−1[k ]
d−2[k ]
d−3[k ]g
g
g
h
h
h
2 ↓
2 ↓
2 ↓
2 ↓
2 ↓
2 ↓
Structure de décomposition en ondelettes sur 3 niveaux derésolution
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Reconstruction
c0[k ]
c−1[k ]
c−2[k ]
c−3[k ]
c
d−1[k ]
d−2[k ]
d−3[k ]
g
g
g
h
h
h
2 ↑
2 ↑
2 ↑
2 ↑
2 ↑
2 ↑
Reconstruction à partir des coefficients d’ondelettes
M. Cagnazzo Ondelettes 34/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
AMR 2DBancs de filtres 2D séparables
Pour 1 niveau de décomposition
aj [n,m]
aj−1[n,m]
dH
j−1[n,m]
dV
j−1[n,m]
dD
j−1[n,m]
h[k ]
g[k ]
h[ℓ]
h[ℓ]
g[ℓ]
g[ℓ]
(2,1) ↓
(2,1) ↓
(1,2) ↓
(1,2) ↓
(1,2) ↓
(1,2) ↓
M. Cagnazzo Ondelettes 35/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Interprétation fréquentielle
fver
fhor(A) (V)
(H) (D)
Les zones (A), (H), (V) et (D) correspondent effectivement auxcoefficients d’approximation, de détails horizontaux, verticauxet diagonaux.
M. Cagnazzo Ondelettes 36/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
AMR 2D
a0
a1
dH
1dV
1dD
1
a2
dH
2dV
2dD
2
a3
dH
3dV
3dD
3
Mise en oeuvre d’une AMR 2D séparable sur 3 niveaux derésolution.
M. Cagnazzo Ondelettes 37/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
AMR 2D - interprétation fréquentielle
fver
fhor
(A)
(V1)
(H1) (D1)
(V2)
(H2) (D2)
(V3)
(H3) (D3)
M. Cagnazzo Ondelettes 38/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
Bancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
Exemple
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Plan
1 Introduction
2 Transformée en ondelettes discrèteBancs de filtresAnalyse Multirésolution 1D et 2D
3 Principes de compression d’imagesEZWJPEG 2000
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Outils fondamentaux pour la compression
Transformée
Concentre l’information en peu de coefficients
Prédiction
Méthode alternative (et parfois complémentaire) à la transforméepour concentrer l’information
Quantification
Réduction du débit : représentation grossière des coefficientsmoins importants
Codage sans pertes (codes à longueur variable)
Réduction de la redondance résiduelle
Prédiction Transformée Quantification CLV
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Critères de performanceDébit
Rapport (taux) de compression
T = Bin
Bout= Rin
Rout
Débit de codage
Image : R = Bout
NM [bpp]
Vidéo, son : R = Bout
T [bps]
M. Cagnazzo Ondelettes 48/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Critères de performanceQualité et distorsion
Le seul débit n’est pas suffisant pour évaluer un algorithme avecpertesIl faut déterminer la qualité ou la distorsion de l’image reconstruite
Les Critères objectifs sont fonctions mathématiques de
fn,m : image d’origine ; etfn,m : image reconstruite après compression
Critères objectifs non perceptuels
Erreur quadratique moyenne (MSE) :D = 1
N M
∑Nn=1
∑Mm=1(fn,m − fn,m)2
Rapport signal sur bruit crête : PSNR = 10 log10
(2552
D
)
Critères objectifs perceptuels
On utilise des modèles du SVH pour prendre en compte lasensibilité aux fréquences, les masquages, ...
M. Cagnazzo Ondelettes 49/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Critères de performanceQualité et distorsion
Les Critères subjectifs sont basés sur l’évaluation de laqualité des image faite par des humaines
Difficulté de créer un bon modèle du SVHAnalyse statistique des résultatsÉvaluations longues, difficiles et coûteuses
En conclusion, souvent on se limite à utiliser les critèresobjectifs non perceptuels :
SimplicitéInterprétation géométrique (norme euclidienne)Optimisation analytiqueRelation avec la qualité perçue ?
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Critères de performanceComplexité, retard et robustesse
La complexité d’un algorithme de codage peut être limitéepar :
contraintes liées à l’application (temps réel)limités du matériel (hardware)coût économique
Le retard est normalement mesuré au codeurLié à la complexitéInfluencé par l’ordre de codage
Robustesse: sensibilité de l’algorithme decompression/reconstruction à des petites altérations ducode comprimé (erreurs de transmission)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Critères de performanceBilan
Besoins contradictoire :
⇑ Qualité⇑ Robustesse
⇓ Débit⇓ Complexité⇓ Retard
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Techniques de codage TO
Méthodes exploitant les dépendances inter-échelle:
EZW (Embedded Zerotrees of Wavelet coefficients),SPIHT (Set Partitioning in Hierarchical Trees)Basées sur une représentation par arbres desdépendances entre les sous-bandesAvantages : corrélations inter-bande bien exploitées, faiblecomplexitéInconvénient : pas de scalabilité en résolution
Méthodes ne prenant pas en compte les spécificités de l’AMR
Allocation de bits entre les sous-bandesCodage entropique (ex. : Huffmann), éventuellementcontextuelAvantage : corrélations intra-bande bien exploitéesInconvénient : on n’exploite pas les corrélations résiduellesinter-bandes !
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Embedded Zerotrees of Wavelet coefficients
Caractéristiques principales
Scalabilité en qualité, c’est-à-dire représentation progressive
Codage lossy-to-lossless
Faible complexité
Performance de compression bien meilleure que JPEG :Très évident aux faibles débits
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Représentation progressive des coefficientsd’ondelette
Chaque nouveau bit de codage donne le maximumd’information
mChaque nouveau bit de codage réduit la distorsion del’image reconstruite le plus possible
On transmet d’abord les coefficients significatifs
Problème: overhead de localisation
M. Cagnazzo Ondelettes 55/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple: un image et ses coefficients d’ondelette
LL HL
LH HH
ApproximationApproximation
Détails horizontauxDétails horizontaux
Détails verticauxDétails verticaux
Détails diagonauxDétails diagonaux
T.O. 2 Niveaux
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Représentation progressive: ordre des sous-bandes
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Algorithme EZW
Le seule ordre de balayage des sous bandes n’est passuffisant pour garantir que les coefficients plus grandssoient envoyés en premiers
Il faut localiser les coefficients significatifs
Problème : Réduction de l’information de localisation
Idée : Exploiter la corrélation inter-bande pour prévoir lescoefficients non-significatifs
Si la prédiction est correcte, on économise la descriptionde beaucoup de coefficients
M. Cagnazzo Ondelettes 58/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Arbre de coefficients d’ondelette
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Idée de EZW
Auto-similarité : Quand un coefficients est petit (c.-à-d. sousseuil), il est probable que ses descendants soient petits aussi
Alors on utilise un seul symbole de codage pour représenter uncoefficient c tel que :
c est “non significatif”tous ses descendant sont “non significatifs”
En ce cas c est une racine d’arbre de zéros (zero-tree root)
Avec un seul symbole (ZT) on code (1 + 4 + 42 + . . .+ 4N−n )coefficients
Information de localisation implicite dans l’information designificativité
M. Cagnazzo Ondelettes 60/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Schéma de l’algorithme EZW
1 k = 02 n = ⌊log2 (|c|max)⌋3 Tk = 2n
4 while (débit < débit disponible)Pas dominantPas de raffinement
5 Tk+1 ← Tk/26 k ← k + 1 end
M. Cagnazzo Ondelettes 61/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Pas dominant
Pour tout coefficient c dans l’ordre de balayage
Si |c| > Tn : Coefficient significatif
Si c > 0 on encode SP (signifiant positive)Si c < 0 on encode SN (signifiant négative)
sinon, on compare tous les descendants de c avec le seuil
si tous les descendants sont non-significatifs, c est codécomme zero-tree root (ZT) et ses descendants ne serontplut considérés à ce passinon le coefficient est codé comme isolated zero (IZ)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Pas de raffinement
On code un ultérieur bit pour tous les coefficientssignificatifs
C’est équivalent à dire que on réduit de moitié la cellule dequantification des coefficients significatifs
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![Page 68: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/68.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Itération et terminaison
Le pas dominant k permet de coder le k-ème plan de bitde la matrice des coefficients d’ondelette
un coefficient significatif est tel que 2n < |c| < 2n+1
On réduit le seuil de moitié : on passe au prochaine plande bitL’algorithme termine quand :
on a épuisé le nombre de bit disponible ouquand on a codé tous les plans de bit (transformée enentière, codage sans perte)
M. Cagnazzo Ondelettes 64/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Algorithme EZW : bilan
Codage par plan de bits : Au pas k on code le bit planelog2 Tk
Description progressive : Chaque nouveau plan de bitpermet de raffiner la quantification des coefficients
Codage entropique (Huffman ou arithmétique) dessymboles de significativité
Codage lossless-to-lossy : On utilise une transformée enentiers (tous coefficients entiers). Quand on code tous lesplans de bit, on peut reconstruire parfaitement tous lescoefficients
M. Cagnazzo Ondelettes 65/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
JPEG2000
JPEG2000 vise des domaines où les standards courants ne donnentpas les meilleures performances :
Compression bas débit : qualité faible pour JPEG en dessous de 0.25bpp
Compression d’images synthétiques
Accès aléatoire
Transmission progressive en qualité et en résolution
M. Cagnazzo Ondelettes 66/98
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EZWJPEG 2000
Nouvelles fonctionnalités
Codage des régions d’intérêt
Scalabilité en qualité et en résolution
Tiling
Capacité d’atteindre un débit donné
Du codage sans perte au codage avec perte dans un seulsystème
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Algorithme
Algorithme divisé en deux parties appelées tiers
First tierTransformation en ondelettes, quantification,Codage sans pertes de chaque bloc
Second tierCoupure des flux binaires/Allocation de débit (optimisationRD) : EBCOTGestion de la scalabilité (qualité, résolution) et des régionsd’intérêt
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Quantification en JPEG2000
Les coefficients d’ondelettes sont quantifiés avec un pastrès fin
Dans le cas de codage sans perte, les coefficientsd’ondelettes sont des entiers, et ils ne sont pas quantifiés(ou quantifiés avec un pas égal à 1)
Dans JPEG2000, ce n’est pas dans l’étape dequantification qu’on écarte vraiment de l’information
La quantité d’information représentée est réduite dansl’étape suivante d’allocation de débit
M. Cagnazzo Ondelettes 69/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
EBCOT
Embedded Block Coding with Optimized Truncation
Chaque sous-bande est repartie en plusieurs blocs demême taille, appelés codeblock
Les codeblocks sont codés indépendamment, sans perte,avec un codeur arithmétique : on génère n trains binaires
Codage par plan de bit, 3 passes par chaque plan
M. Cagnazzo Ondelettes 70/98
![Page 75: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/75.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Codage par plans de bitBitplane plus significatif
LL2 HL2
LH2 HH2
HL1
LH1 HH1
M. Cagnazzo Ondelettes 71/98
![Page 76: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/76.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Codage par plans de bitDeuxième bitplane plus significatif
LL2 HL2
LH2 HH2
HL1
LH1 HH1
M. Cagnazzo Ondelettes 72/98
![Page 77: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/77.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Codage par plans de bitTroisième bitplane plus significatif
LL2 HL2
LH2 HH2
HL1
LH1 HH1
M. Cagnazzo Ondelettes 73/98
![Page 78: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/78.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Codage par plans de bitQuatrième bitplane plus significatif
LL2 HL2
LH2 HH2
HL1
LH1 HH1
M. Cagnazzo Ondelettes 74/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Codage par plans de bitCinquième bitplane plus significatif
LL2 HL2
LH2 HH2
HL1
LH1 HH1
M. Cagnazzo Ondelettes 75/98
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de flux binaires associes aux codeblocks
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
EBCOTOptimisation
Si on garde tous les flux pour chaque bloc, on a un débiténormeOn peut alors couper les flux pour atteindre le débit cibleProblème : tronquer les trains de bit en minimisant ladistorsion
min∑
i
Di
∑
i
Ri ≤ Rtot
Solution : Lagrange
J =∑
i
Di + λ
(∑
i
Ri −R
)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
EBCOTCourbe débit-distorsion pour chaque bloc
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
EBCOTCourbe débit-distorsion pour chaque bloc
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
EBCOTEmbedded block coding with optimized truncation
Optimalité du point de coupure :
∂Di
∂Ri= −λ
La valeur de lambda dépend du débit cible et peut êtretrouvé avec un algorithme itératif.
On peut couper plusieurs fois pour des débits ciblesdifférents (scalalbilité en qualité)
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour qualité maximale et résolution minimale
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour qualité maximale et résolution moyenne
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour qualité maximale et résolution maximale
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour qualité perceptuelle et résolution maximale
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour un débit cible, qualité optimale et résolution maximale
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Exemple de allocation de débit avec EBCOTAllocation pour plusieurs couches et résolution maximale
BP2
BP3
BP4
BP5
BP6
BP7
BP8
BP1
LL2 HL1LH2 HL2 HH2 HH1LH1
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Pourquoi un codage par bloc ?
Exploite les variations locales, d’un bloc à l’autre, descaractéristiques statistiques de l’image
Facilite les applications nécessitant un accès aléatoiredans l’image
Réduit l’utilisation mémoire dans l’implantation matérielledu codeur ou décodeur
Permet une implantation parallèle
Permet le codage par région d’intérêt
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
JPEGComparaison JPEG / JPEG2000
Image Originale, 24 bpp
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 1bpp
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 0.75bpp
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![Page 95: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/95.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 0.5bpp
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![Page 96: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/96.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 0.3bpp
M. Cagnazzo Ondelettes 91/98
![Page 97: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/97.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 0.2bpp
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![Page 98: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/98.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Comparaison JPEG / JPEG2000Débit: 0.2bpp pour JPEG, 0.1 pour JPEG2000
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![Page 99: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/99.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Effet des erreurs : JPEG
JPEG, pE = 10−4 JPEG, pE = 10−4
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IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Effet des erreurs : JPEG et JPEG 2000
JPEG, pE = 10−4 JPEG 2000, pE = 10−4
M. Cagnazzo Ondelettes 95/98
![Page 101: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/101.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Effet des erreurs : JPEG et JPEG 2000
JPEG, pE = 10−3 JPEG 2000, pE = 10−3
M. Cagnazzo Ondelettes 96/98
![Page 102: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/102.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Robustesse dans le codage d’image
Insertion de markers
Périodicité des markers
Marker emulation prevention
Compromis entre robustesse et débit
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![Page 103: Ondelettes et compression d'images](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062420/62ae9c54ce559963557678f7/html5/thumbnails/103.jpg)
IntroductionTransformée en ondelettes discrètePrincipes de compression d’images
EZWJPEG 2000
Robustesse de JPEG2000
Donnés avec importance différentePas d’interdépendance entre les blocs
Pas de propagation d’erreurs
Pas de transformée par blocsPas d’effet de blocking
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