operaciones con matrices
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OPERACIONES CON MATRICES
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OBJETIVOS
- COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA MATRIZ Y SU APLICACIÓN CORRESPONDIENTE.
- QUE LAS OPERACIONES CON MATRICES SEAN UN HERRAMIENTA Y NO Y PROBLEMA A LO LARGO DE LA CARRERA
- ADQUIRIR LAS HABILIDADES NECESARIAS PARA LAS OPERACIONES CON MATRICES
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Matriz:Conjunto
rectangular de números
Características:- Se encierran entre
corchetes- A los números se los
denominan Entradas o Elementos
- Se las designan por letras mayúsculas A, B, C, etc.
Ejemplo
0 2 4
-4 -8 1
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
Entrada ó
Elemento
A =
Otros Ejemplos
B =1 0
0 1C =
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Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO
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Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
LAS COLUMNAS
SE CUENTAN DE
IZQUIERDA A
DERECHA
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Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
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Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
Podemos decir que esta
matriz tiene en total
3 filas y 4 columnas
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
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Ahora trabajemos con
los elementos
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
3 x 4
0 2 4
-4 -8 1B =
1 0
0 1C =
2 x 3 2 x 2
Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
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Ahora trabajemos con
los elementos
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
1 0
0 1C =
2 x 2
Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
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Ahora trabajemos con
los elementosUna matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n1 0
0 1C =
2 x 2 Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
Definimos:
Una matriz con n filas y 1 columna es
una matriz Columna
de dimensión n x 1
Una matriz con 1 fila y n columnas es
una matriz Fila
de dimensión 1 x n
5
2D =
2 x 1
2 3 0E =
1 x 3
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Seguimos trabajando
con los elementos
Volvamos a la matriz:
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
Cada elemento de la matriz A se
identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
Decimos: el elemento (2, 3) de
la Matriz A, es el elemento que
pertenece tanto
a la fila 2
y a la columna 3 ( a la vez )
Entonces el elemento (2, 3) de la
matriz A es 0
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Seguimos trabajando
con los elementos
Volvamos a la matriz:
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
Cada elemento de la matriz A se
identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
GENERALIZAMOS
El elemento (i, j) de una matriz
es el número que pertenece
simultáneamente a la fila i y a
la columna j
El elemento (i, j) de la Matriz A
se denomina aij
a23= 0 a31= a34= 4 9
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Generalizando los elementos de la matriz A
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
A =
3 x 4
a11 a12 a14a13
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…….
…….
…….
A = aij
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A =
3 x 3
2 4 9
1 0 2
5 5 10
A =
3 x 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
MATRIZ CUADRADA
a11 , a33, a22 , …… , ann
aiji = j DIAGONAL PRINCIPAL
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Si una matriz es de dimensión m x n, tiene mfilas y n columnas
Si se habla del elemento (i, j) de una matriz, éste pertenece a la fila i y a la columna j
Si un elemento se denota como aij , el primer subíndice i se refiere a la fila y el segundo subíndice j a la columna a la que pertenece aij
CONVENCION CONCERNIENTE A LAS FILAS Y LAS COLUMNAS
LAS FILAS SIEMPRE SE
MENCIONAN ANTES
QUE LAS COLUMNAS
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Tienen la misma dimensión Los elementos
correspondientes son iguales
Veamos la primera operación con matrices
IGUALDADDos matrices A y B son iguales
esto es A=B si y solo si:
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
La segunda condición se
cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:
aij = bij para todo i , j
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a11 = b11
Veamos la primera operación con matrices
IGUALDAD
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
La segunda condición se
cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:
aij = bij para todo i , j
a12 = b12
a13 = b13
amn = bmn
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Ejercicios:
Dadas
A =a b
c d B =1 2 -1
3 0 1C =
1 0
-1 2
Discutir la posibilidad de
que A=B , B=C , A=C
A es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego la operación
no es posible porque tienen distintas
dimensiones
Así también C es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego
la operación no es posible porque tienen
distintas dimensiones
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Ejercicios:
Dadas
A =a b
c d B =1 2 -1
3 0 1C =
1 0
-1 2
Discutir la posibilidad de
que A=B , B=C , A=C
A es 2 x 2 y C es 2 x 2 tienen iguales
dimensiones, luego la igualdad esta definida
Igualando ambas matrices tenemos:
a b
c d=
1 0
-1 2
a = 1 , b = 0
c = -1 , d = 2
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Adición de Matrices
Sean A y B dos matrices de igual
dimensión
Su suma A + B
Es la matriz formada al sumar sus
elementos correspondientes.
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
A + B = [ aij + bij ]
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
B =
m x n
b11
b11
b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
y
A + B =
m x n
a11 ….
b12
+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
A =2 x 3
8 -4 0
1 2 -1 B =5 2
-1 -3 -1y4
2 x 3
5A + B =
8 + 4-4+ 20 +
-11 + -32 + -1-1+2 x 3
A + B =13 0 2
0 -1 -22 x 3
A + B =
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Matrices Características
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Es aquella cuyo elementos son todos
iguales a cero “o”
Matriz Cero:
Es decir: 0= [ 0ij ]
0 =
m x n
011 012 01n013
021 022 023 02n
0m1 0m2 0m3 0mn
…
….
…
0 =2 x 2
0 0
0 0
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matrices Características
Es aquella que se obtiene de multiplicar
cada elemento de la matriz por -1
Matriz Opuesta:
Es decir si A= [ aij ] -A= [-aij ]
A =
2 x 3
3 -4 0
8 1 -1 -A =2 x 3
(-1)x3 (-1)x-4 (-1)x0
(-1)x8 (-1)x1 (-1)x-1
-A =
2 x 3
-3 4 0
-8 -1 1
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
RestaSi A y B son dos matrices m x n , la
Diferencia se define como:A - B = A + (-B) = [ aij - bij ]
A =2 x 3
8 -4 0
1 2 -1 B =5 2
-1 -3 -1y4
2 x 3
5A - B =
8 - 4-4- 20 -
(-1)1 - (-3)2 - (-1)-1-2 x 3
A - B =3 -8 -2
2 5 02 x 3
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Multiplicación por un EscalarSi A es una matriz cualquiera y k es un
número cualquiera, el producto kA el la
matriz obtenida de multiplicar cada elemento
de A por k:Es decir si A= [ aij ] kA= [kaij ]
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
kA =
m x n
ka11 ka12 ka1nka13
ka21 ka22ka23 ka2n
kam1kam2 kam3kamn
…
….
…
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la Adición de matrices y la
Multiplicación por un Escalar
Sean A, B y C matrices arbitrarias m x n, donde m y n son
fijos y k y p números reales cualesquiera, entonces:
1- A + B = B + A
2- A + (B + C) = (A + B) + C
3- Existe una matriz m x n, tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A
4- Para cada A, existe una matriz m x n , -A, tal que A + (-A) = 0
5- k (A + B) = kA + kB
6- (k +p) A = kA + pA
7- (kp)A = k(pA)
8- 1A = A
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Pero el [ aij + bij ], elemento ij de la suma es un número real;
Luego por la propiedad conmutativa de los números reales
aij + bij = bij +aij
Por lo que podemos escribir:
A + B = [ bij + aij]
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 1 A + B = B + A
Sean A = [aij] y B = [bij]
A + B = [ aij + bij ] * por definición
y B + A = [ bij + aij ] * por definición
Teniendo en cuenta las ultimas sentencias podemos
escribir A + B = B + A , como se quería probar.
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Utilizamos otro método:
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
B =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
,b12
C =
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
y
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos primero con el primer Término de la ecuación
A + ( B + C)
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
( B + C) =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
+
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
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( B + C) =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
+
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
( B + C) =
c11
m x n
b11 ….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +
c21b21 ….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +
cm1bm1 ….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
A + ( B + C)
A + ( B + C) =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
+
c11
m x n
b11
….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +
c21b21
….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +
cm1bm1
….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+
A + ( B + C) =
m x n
a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +
a21 + c21b21 + ….a23 + c23b23 +a22 + c22b22 + a2n + c2nb2n +
am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +
….1
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos ahora con el segundo Término de la ecuación
(A + B ) + C
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
( A + B) =
m x n
a11 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
a12
+
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
![Page 34: Operaciones con matrices](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022042715/559f2e031a28aba6168b460d/html5/thumbnails/34.jpg)
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
( A + B) =
b11
m x n
a11 ….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
( A + B) =
m x n
a11 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
a12
+
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
![Page 35: Operaciones con matrices](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022042715/559f2e031a28aba6168b460d/html5/thumbnails/35.jpg)
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
(A + B) + C
(A + B) + C =
m x n
c11 c12 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
+
b11
m x n
a11
….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21
….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1
….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
A + ( B + C) =
m x n
a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +
a21 + c21b21 + ….a23 + c23b23 +a22 + c22b22 + a2n + c2nb2n +
am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +
….2
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ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Verificando las ecuaciones 1 y 2
Vemos que el desarrollo matricial es el mismo; por lo
tanto
A +( B + C) = (A + B) + C
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
SI A es una matriz m x n, la transpuesta de A, escrita AT,
es la matriz n x m cuyas filas corresponden a las
columnas de A
Si A = [aij] se define AT= [aji]
A =
2 x 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Si
AT= a11
a21
a12
a22
a13
a23
3 x 2
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
Propiedades de la Transposición
Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y k un
escalar
1- Si A es cualquier matriz m x n, entonces AT es una
matriz n x m
2- (AT)T = A
3- (kA)T= k AT
4- ( A + B )T = BT +AT
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Simétrica
Se dice que una matriz es simétrica si A = AT
y A es necesariamente una matriz cuadrada.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a333 x 3
Sea:
A=
Hacemos A = AT
a11a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Los elementos de la diagonal principal no varían.
Y los elementos simétricos en relación a la diagonal principal son iguales
a12 = a21
a13= a31
a23 = a32
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