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Op#mizing u#lity: Best Strategy for Answering Queries CompSci 590.03 Instructor: Ashwin Machanavajjhala 1 Lecture 14 : 590.03 Fall 13

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Page 1: Op#mizing)u#lity:)) BestStrategy)for)Answering)Queries · Today’s)class) • How)to)answer)aworkload)of)queries)with)the)leasterror?)) • Constrained)inference:)) – Ensure)the)query)answers)are)consistentwith)each)other))

Op#mizing  u#lity:    Best  Strategy  for  Answering  Queries  

CompSci  590.03  Instructor:  Ashwin  Machanavajjhala  

1  Lecture  14  :  590.03  Fall  13  

Page 2: Op#mizing)u#lity:)) BestStrategy)for)Answering)Queries · Today’s)class) • How)to)answer)aworkload)of)queries)with)the)leasterror?)) • Constrained)inference:)) – Ensure)the)query)answers)are)consistentwith)each)other))

Recap:  Laplace  Mechanism  Thm:  If  sensi(vity  of  the  query  is  S,  then  adding  Laplace  noise  with  

parameter  λ  guarantees  ε-­‐differen#al  privacy,  when    

λ  =  S/ε    

Sensi(vity:  Smallest  number  s.t.  for  any  d,  d’  differing  in  one  entry,    ||  q(d)  –  q(d’)  ||    ≤    S(q)    

 Histogram  query:  Sensi#vity  =  2  •  Variance  /  error  on  each  entry  =  2λ2  =  2x4/ε2  

2  Lecture  14  :  590.03  Fall  13  

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Example  1:  Enforcing  Constraints  •  Database  of  values  {x1,  x2,  …,  xk}  

•  Query  Set:    –  Value  of  x1    η1  =  x1  +  δ1  –  Value  of  x2  η2  =  x2  +  δ2  –  Value  of  x1  +  x2  η3  =  x1  +  x2  +  δ3  

•  But  we  know  that    -­‐    η1  and  η2  should  sum  up  to  η3  -­‐    η1  <=  η3      AND      η2  <=  η3  

 

Lecture  13:  590.03  Fall  13   3  

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Example  2:  Query  Strategy  •  Query  Set:    

–  Value  of  x1      –  Value  of  x2    –  Value  of  x1  +  x2    

•  Strategy  1:  Answer  all  queries    –  Sensi#vity  =  2;  Error  in  each  query  is  8/ε2.  

•  Strategy  2:  Answer  query  1  and  query  2.        Query  3  =  query  1  +  query  2  

–  Sensi#vity  =  1  –  Error  in  query  1  and  query  2:  2/ε2.  –  Error  in  query  3:  4/ε2.  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   4  

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Today’s  class  •  How  to  answer  a  workload  of  queries  with  the  least  error?    

•  Constrained  inference:    –  Ensure  the  query  answers  are  consistent  with  each  other    –  Order  constraints  –  Sum  constraints  

•  Query  Strategy:  –  A  workload  W  may  be  best  answered  by  answering  a  different  query  set  A,  

and  then  compu#ng  W  from  A  –  Hierarchical,  Wavelet  and  Matrix  Mechanism  for  linear  queries.  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   5  

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Outline  •  Strategies  for  answering  a  query  workload  

•  All  Range  queries  on  1D  domain  –  Hierarchical  Mechanism        [Hay  et  al  VLDB  10]  

–  Wavelet  Mechanism        [Xiao  et  al  ICDE  09]  

•  General  Query  Workloads  –  Matrix  Mechanism          [Li  et  al  PODS  10]  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   6  

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Note  •  The  following  solu#on  ideas  are  useful  whenever    

–  You  want  to  answer  a  set  of  correlated  queries.  –  Queries  are  based  on  noisy  measurements.  –  Each  measurement  (x1  or  x1+x2)  has  similar  variance.  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   7  

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Query  Strategy  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   8  

I

Private    Data  

W  A  

Differen(al  Privacy  

A(I)   A(I)   W(I)  ~   ~  

Original  Query    Workload  

Strategy  Query    Workload  

Noisy  Strategy  Answers  

Noisy  Workload  Answers  

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When  do  you  do  this?    •  Query  workload  W  has  a  high  sensi#vity  

–  Removing  or  changing  a  tuple  affect  a  large  number  of  the  queries  

•  Query  strategy  A  has  low  sensi#vity  

•  Each  query  in  W  can  be  answered  using  a  small  number  of  query  answers  in  A    –  This  ensures  that  the  noise  in  answering  queries  in  W  is  not  too  high    

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   9  

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Example  Workload:  All  Range  Queries  •  Given  a  set  of  values  {v1,  v2,  …,  vn}  •  Let  xi  =  number  of  tuples  with  value  v1.    •  Range  query:  q(j,k)  =  xj  +  …  +  xk      Q:  Suppose  we  want  to  answer  all  range  queries?    

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   10  

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All  Range  Queries  •  Given  a  set  of  values  {x1,  x2,  …,  xn}  

•  Range  query:  q(j,k)  =  xj  +  …  +  xk  Q:  Suppose  we  want  to  answer  all  range  queries?    

Strategy  1:  Answer  all  range  queries  using  Laplace  mechanism  

•  Sensi#vity  =  O(n2)  •  O(n4/ε2)  total  error  across  all  range  queries.      •  May  reduce  using  constrained  op#miza#on  …    

Lecture  13:  590.03  Fall  13   11  

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All  Range  Queries  •  Given  a  set  of  values  {x1,  x2,  …,  xn}  

•  Range  query:  q(j,k)  =  xj  +  …  +  xk  Q:  Suppose  we  want  to  answer  all  range  queries?    

Strategy  2:  Answer  all  xi  queries  using  Laplace  mechanism                  Answer  range  queries  using  noisy  xi  values.  

•  O(1/ε2)  error  for  each  xi.      •  Error(q(1,n))  =  O(n/ε2)  •  Total  error  on  all  range  queries  :  O(n3/ε2)  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   12  

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Hierarchical  Mechanism  for  Range  Queries  

Strategy  3:    Answer  sufficient  sta?s?cs  using  Laplace  mechanism  Answer  range  queries  using  noisy  sufficient  sta#s#cs.  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   13  

x1   x2   x3   x4   x5   x6   x7   x8  

x12   x34   x56   x78  

x1234   x5678  

x1-­‐8  

[Hay  et  al  VLDB  2010]  

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Hierarchical  Mechanism  for  Range  Queries  

•  Sensi#vity:  log  n  •  q(2,6)  =  x2  +  x34  +  x56      Error  =  2  x  3log2n/ε2  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   14  

x1   x2   x3   x4   x5   x6   x7   x8  

x12   x34   x56   x78  

x1234   x5678  

x1-­‐8  

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Hierarchical  Mechanism  for  Range  Queries  

•  Every  range  query  can  be  answered  by  summing  at  most  log  n  different  noisy  answers  

•  Maximum  error  on  any  range  query  =  O(log3n  /  ε2)  •  Total  error  on  all  range  queries  =  O(n2  log3n  /  ε2)  

Lecture  13:  590.03  Fall  13   15  

x1   x2   x3   x4   x5   x6   x7   x8  

x12   x34   x56   x78  

x1234   x5678  

x1-­‐8  

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Summary  of  Hierarchical  Mechanism  •  Answering  all  range  queries  on  a  1D  axribute  

–  Op#mal  mechanism  for  range  queries  is  also  an  op#mal  mechanism  for  compu#ng  the  CDF.    

•  Error  depends  on  the  query  strategy  –  Noisily  answer  all  range  queries:    Total  error  =  O(n4/ε2)    

–  Noisily  answer  each  count,  and    use  them  to  answer  range  queries:  Total  error  =  O(n3/ε2)  

–  Hierarchical  Mechanism  Answer  counts  on  a  binary  tree  noisily:  Total  error  =    O(n2  log3n  /  ε2)  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   16  

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Outline    •  All  Range  queries  on  1D  domain  

–  Hierarchical  Mechanism        [Hay  et  al  VLDB  10]  

–  Wavelet  Mechanism        [Xiao  et  al  ICDE  09]  

•  General  Query  Workloads  –  Matrix  Mechanism          [Li  et  al  PODS  10]  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   17  

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Wavelet  Mechanism  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   18  

x1   x2   x3   x4   x5   xn  

C2   C3   Cm    

…    

…    C1  

Step  1:  Compute  Wavelet  coefficients  

C2+η2   C3+η3   Cm+ηm    …    C1+η1  

Step  2:  Add  noise  to  coefficients  

y1   y2   y3   y4   y5   yn  …    Step  3:    Reconstruct  

original  counts  

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Haar  Wavelet  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   19  

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Haar  Wavelet  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   20  

For  an  internal  node,    Let  a  =  average  of  leaves  in  

ley  subtree  Let  b  =  average  of  leaves  in  

right  subtree        

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Haar  Wavelet  Reconstruc#on  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   21  

Sum  of  coefficients  on  root  to  leaf  path  

•  +  if  xi  is  in  the  ley  subtree  of  coefficient  

•  -­‐  if  xi  is  in  right  subtree      

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Haar  Wavelet  :  Range  Queries  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   22  

Range  Query:  number  of  tuples  in  a  range  S  =  [a,b]  

 Let  α(c)  be  the  number  of  values  in  the  

ley  subtree  of  c  that  are  in  S  Let  β(c)  be  the  number  of  values  in  the  

right  subtree  of  c  that  are  in  S        

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Haar  Wavelet  :  Range  Queries  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   23  

       α(c)  –  β(c)  =  0  when  no  leaves  under  c  

are  contained  in  S    α(c)  –  β(c)  =  0  when  all  leaves  under  c  

are  contained  in  S    Only  need  to  consider  those  coefficients  

with  par#al  overlap  with  the  range.      

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Adding  noise  to  wavelet  coefficients  •  Associate  each  coefficient  with  a  weight  •   level(  c  )  =  height  of  c  in  the  tree.  

•  Generalized  sensi#vity  (ρ)  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   25  

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Adding  noise  to  wavelet  coefficients  Theorem:  Adding  noise  to  a  coefficient  c  from  Laplace(λ/W(c))  

guarantees  (2ρ/λ)-­‐differen#al  privacy.      Proof:    

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   26  

 

 

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Generalized  Sensi#vity  of  Wavelet  Mechanism  

Proof:  •  Any  coefficient  changes  by  1/m,  where  m  is  the  number  of  values  

in  its  subtree.  •   m  =  1/W(c)  •  Only  c0  and  the  coefficients  in  one  root  to  leaf  path  change  if  

some  xi  changes  by  1.    

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   27  

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Error  in  answering  range  queries  

•  Range  query  depends  on  at  most  O(log  n)  coefficients.    

•  Error  in  each  coefficient  is  at  most  O(log2n/ε2)  

•  Error  in  a  range  query  is  O(log3n/ε2)  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   28  

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Summary  of  Wavelet  Mechanism  •  Query  Strategy:  use  wavelet  coefficients  

•  Can  be  computed  in  linear  #me  

•  Noise  in  each  range  query:  O(log3n/ε2)  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   29  

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Outline    •  All  Range  queries  on  1D  domain  

–  Hierarchical  Mechanism        [Hay  et  al  VLDB  10]  

–  Wavelet  Mechanism        [Xiao  et  al  ICDE  09]  

•  General  Query  Workloads  –  Matrix  Mechanism          [Li  et  al  PODS  10]  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   30  

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Linear  Queries  •  A  set  of  linear  queries  can  be  represented  by  a  matrix  •  X  =  [x1,  x2,  x3,  x4]  is  a  vector    

represen#ng  the  counts  of  4  values  •  H4  X  represents  the  following  7  queries  

–   x1+x2+x3+x4  –   x1+x2  –   x3+x4  –   x1  –   x2  –   x3  –   x4  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   31  

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Query  Matrices  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   32  

Iden(ty     Binary  Index   Haar  Wavelet  

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Sensi#vity  of  a  Query  Matrix  •  How  many  queries  are  affected  by  a  change  in  a  single  count?  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   33  

Sensi(vity  =  1   Sensi(vity  =  3   Sensi(vity  =  3  

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Laplace  Mechanism  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   34  

Sensi(vity  

Noise  Vector  of  Laplace(1)  

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Matrix  Mechanism  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   35  

Original  Data   Noisy  

Representa(on  

Reconstructed  Data  

Final  query  answer  

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Reconstruc#on  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   36  

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Matrix  Mechanism  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   37  

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Error  analysis  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   38  

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Extreme  strategies  •  Strategy  A  =  In    

–  Noisily  answer  each  xi  –  Answer  queries  using  noisy  counts  

•  Strategy  A  =  W  –  Add  noise  to  all  the  query  answers  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   39  

Good  when  each  query  hits  a  few  

values.    

Good  when  sensi#vity  is  small  (or  each  value  hits  a  small  #  queries)  

Page 39: Op#mizing)u#lity:)) BestStrategy)for)Answering)Queries · Today’s)class) • How)to)answer)aworkload)of)queries)with)the)leasterror?)) • Constrained)inference:)) – Ensure)the)query)answers)are)consistentwith)each)other))

Finding  the  Op#mal  Strategy  •  Find  A  that  minimizes  TotalErrorA(W)  

–  Reduces  to  solving  a  semi-­‐definite  program  with  rank  constraints  –  O(n6)  running  #me.  

•   See  paper  for  approxima#ons  and  an  interes#ng  discussion  on  geometry.  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   40  

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Summary  •  A  linear  query  workload  and  strategy  can  be  modeled  using  

matrices  

•  Previous  techniques  to  find  a  bexer  strategy  to  answer  a  batch  of  queries  is  subsumed  by  the  matrix  mechanism  

•  General  mechanism  to  answer  queries.    

•  Noise  depends  on  the  sensi#vity  of  the  strategy  and  AtA-­‐1  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   41  

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Next  Class  •  Sparse  Vector  Technique  

–  Answering  a  workload  of  “sparse”  queries  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   42  

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References  M.  Hay,  V.  Rastogi,  G.  Miklau,  D.  Suciu,  “Boos#ng  the  Accuracy  of  Differen#ally  Private  

Histograms  Through  Consistency”,  PVLDB  2010  X.  Xiao,  G.  Wang,  J.  Gehrke,  “Differen#al  Privacy  via  Wavelet  Transform”,  ICDE  2009  C.  Li,  M.  Hay,  V.  Rastogi,  G.  Miklau,  A.  McGregor,  “Op#mizing  Linear  Queries  under  

Differen#al  Privacy”,  PODS  2010  

Lecture  14  :  590.03  Fall  13   43  


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