ISFA - Universite Lyon 1

Mai 2007

Optimisation de portefeuille

selon le critere de la Value at Risk

Guillaume Nolain, Yahia Salhi, Serge Werle

Table des matieres

Introduction 2

1 La Value at Risk 41.1 Adoption de la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Le concept de la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Particularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Approche Classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Le probleme des distributions non Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Les methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Methode historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Methodes parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Methode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 Methode de Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Analyse de la sensibilite de la Value at Risk et allocation de portefeuille 102.1 La Value at Risk d’un portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 La coherence et l’homogeneite de la VaR d’un portefeuille . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Mesure du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 La sensibilite et la convexite de la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Le portefeuille efficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Estimation du portefeuille efficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Application informatique 153.1 Selection des actifs du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Recuperation des historiques de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Traitement des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Analyse du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1 L’onglet dedie au portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2 L’onglet consacre aux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.3 L’onglet consacre a la creation du portefeuille VaR-efficient . . . . . . . . 23

3.5 Ameliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Synthese 25

A Algorithme de Gauss-Newton 26

B Code de l’optimisation (R) 27

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Introduction

Les techniques de Risk Management sont apparues a partir de la moitie du XXe siecle.Ces techniques visent a etudier les facteurs qui menacent le patrimoine d’une entreprise afind’apporter des solutions strategiques pour reduire voire eliminer le risque. Differentes classes derisque ont ete dessinees, on citera notamment le risque de credit, le risque operationnel et lerisque de marche. Chacun de ces risques est soumis a des directives concernant son evaluationet les moyens de protection a mettre en œuvre pour s’en prevenir.

Supervise par la Banque des Reglements Internationaux, le comite de Bale a elabore ces di-rectives. L’accord de Bale 2 impose aux organismes financiers de mettre en place des modelesinternes pour evaluer leur quantite de fonds propres reglementaire. En France, l’approche internedoit etre agreee par une autorite reglementaire : la commission bancaire. Au sein de ce travailnous nous interesserons au risque de marche.

Il existe de nombreuses methodes permettant de decrire de facon quantitative le risque lie ala detention d’un instrument financier.

Parmi elles, on peut notamment citer l’approche moyenne-variance de Markowitz ainsi quel’approche de Sharpe. Mais ces methodes ne permettent pas d’evaluer le risque d’un portefeuillequi contiendrait a la fois des actions, des obligations et des produits derives. L’arrivee et ledeveloppement des produits derives, l’accroissement de la volatilite des marches financiers ainsique les faillites spectaculaires ayant eu lieu au cours des annees 90 ont pousse les instituts finan-ciers a elaborer un indicateur de risque financier a la fois global et synthetique. La Value At Risk(VaR), aussi appelee Valeur a Risque en francais, regroupe ces caracteristiques et a ete adopteepar la plupart des organismes financiers depuis 1997.

Apres une presentation de la Value at Risk, de son utilite pour les investisseurs et des methodesactuelles de calcul, nous traiterons la partie theorique qui constitue le cœur de notre travail. Ils’agit de la creation d’un portefeuille d’actifs dit VaR-efficient, c’est-a-dire un portefeuille qui,pour une VaR limite fixee, maximise le taux de rendement espere.

Par la suite nous vous proposerons de decouvrir une application informatique de ce procede.Elle offre la possibilite de constituer soi-meme un portefeuille d’actions, puis de l’optimiser selonle critere de la VaR. Nous avons pris le soin d’implementer une interface user-friendly qui sollicitele moins possible l’intervention de l’utilisateur.

Ce travail est totalement en adequation avec les cours dispenses, la VaR etant un outild’evaluation du risque financier tres utilise par les investisseurs aujourd’hui.

Nous tenons a remercier M. Francois Quittard-Pinon qui nous a guide tout au long de notretravail.

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Chapitre 1

La Value at Risk

1.1 Adoption de la VaR

A partir de 1997, divers facteurs ont amene la VaR a etre consideree comme l’indicateur dereference en matiere de mesure du risque. Selon Paul Glasserman, trois evenements importantsont conduit a son adoption :

– Le premier evenement a ete la publication gratuite, en 1994, de la methode et du systemeRiskMetrics par la banque americaine JP Morgan. Les autres entreprises et organismesfinanciers pouvaient des lors utiliser le calculateur de RiskMetrics et l’exploiter au sein deleur propre systeme de gestion des risques.

– Le second evenement date de 1995 avec la premiere reunion du comite de Bale. Adopteeen 1996, la reforme de Bale a incite les banques a developper leur propre systeme internede calcul de la VaR afin de determiner leur necessite en fonds propres reglementaires. Eneffet, en l’absence de modele interne, le calcul de fonds propres est standardise et donne desvaleurs beaucoup plus elevees que les valeurs obtenues par le developpement de modelesinternes, plus adaptes localement aux entreprises.

– Le troisieme evenement a certainement moins d’impact aujourd’hui mais a conduit a l’adop-tion de la VaR par les entreprises americaines. En 1997, la Securities and Exchanges Com-mission (SEC) a impose des regles de communication aux entreprises americaines concer-nant le risque associe a leur utilisation d’instruments derives. Trois solutions etaient pro-posees aux entreprises, dont la VaR.

Mais la VaR a aussi ete adoptee par rapport a sa facilite d’approche et a ses caracteristiques :elle est synthetique et globale. En effet, elle permet une evaluation simple et comprehensible pourdes neophytes en fournissant un indicateur quantitatif exprime de facon monetaire. De plus, laVaR a de nombreux avantages sur les autres methodes classiques de mesure du risque :

– elle donne une perception simple de l’envergure des pertes possibles.

– elle n’est pas assujettie a la distribution des rendements du portefeuille ou des actifs etudiescontrairement a de nombreux modeles qui se basent sur une distribution Normale de cesrendements.

– elle prend en compte l’asymetrie de la distribution des rendements.

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1.2 Le concept de la VaR

1.2.1 Presentation

Pour expliquer ce qu’est la VaR, commencons par prendre un exemple concret. Consideronsque nous avons investis 10 000 EUR dans notre portefeuille d’actions. Comment avoir une ideede la perte maximale que le portefeuille peut subir d’ici un mois ?

La reponse la plus logique est que nous pouvons perdre tout notre investissement. Neanmoins,un evenement de perte totale est vraiment tres peu probable. Une reponse plus realiste seraitpar exemple qu’en l’absence d’evenement exceptionnel, il y a 5% de chance de perdre 1 000EUR.C’est le type de reponse fournit par la VaR.

De nombreuses definitions de la VaR existent, nous en reprenons deux :

1. Selon Calvet [2000], la VaR d’un portefeuille d’actifs financiers correspond au montant depertes maximum sur un horizon de temps donne, si l’on exclut un ensemble d’evenementsdefavorables ayant une faible probabilite de se produire.

2. Selon Esch, Kieffer et Lopez [1997] ainsi que Jorion [2000], la VaR d’un portefeuille oud’un actif, pour une duree T et un niveau de probabilite α, se definit comme le montant deperte attendu de facon que ce montant, pendant la periode [0,T], ne devrait pas etre plusimportant que la VaR et ceci avec une probabilite de (1 − α).

1.2.2 Particularites

Deux elements sont communs a toutes ces definitions et il convient de les choisir judicieuse-ment : l’horizon et le niveau de confiance.

L’horizon est influence par trois facteurs majeurs :– il doit etre adapte a la duree de detention de l’actif ou du portefeuille objet de l’estimation.– il doit etre suffisamment court pour respecter l’hypothese d’invariance de la composition

du portefeuille.– il doit etre suffisamment court pour que la quantite de donnees disponible (parfois faible)

puisse permettre d’estimer une VaR sur cet horizon.

Mais il peut aussi etre fixe par des normes reglementaires. Les organismes financiers utilisent uneVaR a 10 jours mais cet horizon peut atteindre plusieurs mois lorsqu’il s’agit d’obligations.

Le niveau de confiance est quant a lui influence par 2 facteurs :– il ne doit pas etre trop eleve, sinon le risque de realisation devient suffisamment faible pour

etre ininteressant en tant qu’indicateur.– il doit refleter le degre d’aversion des gestionnaires face au risque de realisation d’evenements

extremes.

Mais tout comme pour l’horizon, le niveau de confiance peut etre determine par des normesreglementaires. Dans la pratique, la VaR est estimee sur la base de niveau de confiance allant de90 a 99.9% .

Les normes reglementaires imposees par Bale II exigent que la VaR soit calculee par lesbanques en utilisant un niveau de confiance de 99% et un horizon de 2 semaines soit 10 joursouvrables.

1.2.3 Approche Classique

Apres avoir choisi un horizon et un niveau de confiance, il reste une derniere etape a realiseravant de proceder a l’estimation de la VaR. Il faut en effet recuperer les donnees sur lesquels seracalculee la VaR et les retraiter. On peut calculer la VaR a partir des rendements du portefeuillemais aussi a partir de sa distribution de Profit & Loss (P&L) qui correspond aux pertes ou profitsjournaliers.

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Considerons un portefeuille compose d’une ou plusieurs actions dont on connait les coursjournaliers. On note Wt la valeur de ce portefeuille a la date t. La VaR de ce portefeuille pourun horizon d’un jour avec une probabilite α correspond a la perte ∆Wt+1 = Wt+1 −Wt observeepour le portefeuille avec une probabilite (1 − α). Autrement dit, V aRt(α) verifie l’equation :

P [∆Wt+1 + V aRt(α) < 0] = 1 − α

P [−∆Wt+1 > V aRt(α)] = 1 − α

P [−∆Wt+1 < V aRt(α)] = α

En introduisant Ft la fonction de repartition de la variable aleatoire ∆W pour les valeursconnues a la date t et F−1

t sa fonction inverse. On exprime alors la VaR de la facon suivante :

V aRt(α) = F−1t (α)

En general, on essayera de se ramener a une loi de distribution standard qui pourra etre assimileea la loi des rendements. Pour cela on reduit et on centre ∆Wt+1. Ceci nous donne :

P

[− (∆Wt+1 − E(∆W ))

σ(∆W )≤ V aRt(α) + E(∆W )

σ(∆W )

]= α

En posant zα = V aRt(α)+E(∆W )σ(∆W ) ou zα represente le quantile d’ordre α de la distribution Normale

standard, on exprime alors la VaR de la facon suivante :

V aRt(α) = E(∆W ) + zα × σ(∆W )

La plus part du temps, la loi de distribution des rendements est proche d’une loi Normale.Les tables statistiques nous donnent quelques valeurs de zα pour differentes valeurs de α :

α ... 95% 97.5% 99% ...zα ... -1.6449 -1.9600 -2.3263 ...

Voici un exemple representant le positionnement de zα pour une loi Normale avec α = 95% :

En realisant ces calculs sur une distribution journaliere des rendements, on exprime une VaRa horizon un jour. Pour passer d’un horizon d’un jour a un horizon de X jours, on utilisera laformule suivante : V aRX = V aR1 ×

√X

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1.3 Le probleme des distributions non Normales

Dans la realite, la distribution des rendements d’un portefeuille suit rarement l’hypothesesimplificatrice que les rendements sont normaux. Pour caracteriser une loi Normale, seulementdeux parametres sont utilises : la moyenne et la variance qui representent les moments d’ordre unet deux. Deux autres parametres ont une grande importance dans la distribution des rendements :le coefficient de Skewness et le coefficent de Kurtosis.

Skewness ou coefficient d’assymetrieLe coefficient de Skewness, que l’on notera Sk caracterise l’asymetrie d’une distribution. Il est

associe au moment d’ordre 3 d’un distribution. Voici sa formule de calcul :

Sk =1

n×

n∑

k=1

((∆Wk − E(∆W ))

3

(σ(∆W )2)32

)

ou n represente le nombre de donnees disponibles.

On compare le Skewness empirique a celui d’une loi Normale qui vaut 0.– Si Sk = 0 alors la distribution est symetrique et a donc de grandes chances d’etre proche

d’une loi Normale.– Si Sk > 0 alors la distribution s’etale vers la droite et est dite a asymetrie positive.– Si Sk < 0 alors la distribution s’etale vers la gauche et est dite a asymetrie negative.

Kurtosis ou coefficient d’applatissementLe coefficient de Kurtosis, que l’on notera K caracterise l’aplatissement d’une distribution. Il

est associe au moment d’ordre 4 d’un distribution. On l’utilise pour les distributions ayant desqueues epaisses (« fat-tails »). Voici sa formule de calcul :

K =1

n×

n∑

k=1

((∆Wk − E(∆W ))

4

(σ(∆W )2)2

)

ou n represente le nombre de donnees disponibles.

On compare le Kurtosis empirique a celui d’une loi Normale qui vaut 3.– si K = 3 alors la distribution est dite mesocurtique, ses queues sont proches de la loi

Normale.– si K > 3 alors la distribution est dite leptocurtique, elle presente des queues epaisses.– si K < 3 alors la distribution est dite platicurtique, elle presente des queues minces.

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Le probleme induit par ces particularites des distributions est que la formule que nous avonsrecemment presentee pour calculer la VaR n’est pas exacte car elle n’est pas adaptee a ce typede distributions. En effet, le zα calcule precedemment n’est pas le meme qu’il s’agisse d’unedistribution de loi Normale ou d’une distribution qui s’apparente plus a une loi Log-Normale.

Ceci peut conduire a sous estimer le risque dans le cas ou des rendements extremes sontplus probables que pour une distribution normale, c’est le cas des distributions leptokurtiques.Il convient donc de corriger zα. On appellera wα la valeur corrigee de zα.

Nous presenterons ici deux formules permettant de corriger zα :

– VaR de Cornish Fisher (2000) : On considere que les rendements des actions suiventune loi Normale dont le quantile zα est corrige :

wα = zα +1

6(z2

α − 1)Sk

– VaR de Cornish Fisher amelioree (2001) : Le quantile de la loi Normale est corrigede facon plus precise, en prenant en compte le Kurtosis des rendements :

wα = zα +1

6(z2

α − 1)Sk +1

24(z3

α − 3zα)K − 1

36(2z3

α − 5zα)Sk2

1.4 Les methodes de calcul

Nous presentons ici les methodes de calcul de la VaR les plus classiques en ce qui concerneles portefeuilles d’actions. Afin de pouvoir realiser le calcul de la VaR, il faut avoir constitue unhistorique des cours des actifs constituant le portefeuille et les avoir exprimees dans la mememonnaie. Ceci permet de calculer les pertes et profits du portefeuille et de connaıtre la valeur duportefeuille en fin de periode. De plus, on doit s’etre fixe un niveau de confiance et un horizond’observation judicieusement adaptes au contexte d’utilisation de la VaR qui sera calculee.

Les methodes presentees peuvent etre utilisees de diverses facon. On peut appliquer directe-ment les estimations sur le portefeuille et ses actifs mais on peut aussi realiser une decompositiondes actifs et du portefeuille selon divers facteurs de risque sur lesquels on appliquera l’une desmethodes citees plus bas.

Notons toutefois que la VaR constitue une bonne indication quant a la mesure du risque sousles conditions que le marche fonctionne normalement et de facon stable et qu’il ne subit pasd’evenement tres exceptionnel.

1.4.1 Methode historique

La methode historique est de loin la plus simple a mettre en oeuvre. Elle se base sur l’hy-pothese que la distribution des rendements du portefeuille dans le futur est la meme que dans lepasse. Elle a l’avantage de ne pas realiser d’hypothese concernant la distribution des rendementset d’etre facile a calculer.

Pour la determiner, on peut se baser sur la distribution des P&L ou sur la distribution desrendements. Prenons le cas des P&L, on classe toutes les valeurs de la distribution par ordrecroissant et on determine la valeur correspondant a la probabilite que nous nous sommes fixee.Supposons que nous disposons de 500 donnees, alors dans le cas ou le niveau de confiance estde 99%, la V aRt(99%) correspondra a la 6eme valeur. Dans le cas des rendements, on prendle 6eme rendement le plus faible note r99% et on applique ce rendement a la valeur actuelle duportefeuille pour estimer la V aRt(99%).

1.4.2 Methodes parametriques

Pour utiliser les methodes parametriques, on doit faire une hypothese concernant la distri-bution des rendements du portefeuille. Generalement, on approxime d’abord leur distributionpar un modele gaussien. Cette hypothese est certes tres reductrice mais elle permet de simpli-fier les calculs, de plus on peu corriger certaines erreurs avec l’expansion de Cornish Fisher vueprecedement.

Nous allons vous presenter deux methodes parametriques de calcul de la VaR : l’approcheVariance-Covariance et l’approche RiskMetrics de JPMorgan.

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Approche Variance-Covariance. L’approche Variance-Covariance repose sur l’hypotheseque les rendements du portefeuille et des facteurs de risque suivent des lois Normales et Multi-normales, bien que cette hypothese soit facilement invalidee empiriquement. La formule utiliseepour calculer cette VaR est la formule que nous avons deja exprimee auparavant mais avec uncalcul de volatilite plus detaille.

Dans le cas d’un portefeuille d’actions correlees entre elles on exprimera la volatilite a partirde la matrice de covariance des actifs. La formule de calcul de la VaR est la suivante :

V aRt(a, α) = −a′µt + (a′Ωta)12 zα

ou– a represente le poids des actifs dans le portefeuille– µt represente le vecteur constitue de l’esperance des rendements des actifs du portefeuille– Ωt represente la matrice de covariance des actifs du portefeuille

Approche RiskMetrics (JPMorgan). La methode RiskMetrics ressemble a la methode deVariance-Covariance mais la volatilite est calculee differemment. La volatilite est estimee enutilisant ses valeurs passees ainsi que celles des rendements en accordant plus de poids auxvaleurs les plus recentes. Ceci permet de pouvoir s’adapter plus facilement aux changements deconditions du marche et de pouvoir mieux tenir compte des evenements extremes.

On utilise alors la formule :

V aRt(α) = E(∆W ) + zα × σ(t)

ou σ est estimee a partir de la formule

[σ(t)]2

= [σ(t − 1)]2 × λ +

[∆Wt−1

Wt−1

]2× (1 − λ)

avec λ = 0.94

1.4.3 Methode de Monte Carlo

C’est de loin la methode la plus difficile a mettre en oeuvre car elle necessite la realisationd’un nombre consequent de simulations. On determine dans un premier temps les lois de dis-tribution des rendements des facteurs de risque decrivant la valeur du portefeuille, ces lois dedistributions peuvent entre autre etre des modeles stochastiques. On simule ensuite un grandnombre de scenarii futurs pour determiner les trajectoires des facteurs de risque. Les resultats deces simulations sont ensuite utilises pour exprimer la distribution des pertes et profits et calculerla VaR.

1.4.4 Methode de Bootstrap

C’est une methode stochastique alternative. On reconstitue une distribution des pertes etprofits du portefeuille en allant piocher aleatoirement avec remise dans l’echantillon historique.On calcule ensuite la VaR, selon la methode desiree, a partir de cette nouvelle distribution.

Maintenant que les bases de la Value at Risk ont ete definies, nous allons passer a l’analyse dela sensibilite d’un portefeuille par rapport a la Value at Risk. Le prochain chapitre porte en effetsur la maniere de constituer un portefeuille VaR-efficient, c’est-a-dire optimal selon le critere dela VaR. Il s’agit la d’une methode originale d’allocation d’actifs.

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Chapitre 2

Analyse de la sensibilite de laValue at Risk et allocation deportefeuille

2.1 La Value at Risk d’un portefeuille

Dans cette partie, nous definissons deux vecteurs a et pt de Rn ou– n represente le nombre d’actifs– a est le vecteur constitue des quantites d’actifs– pt est le vecteur des prix des actifs a la date t

Pour un portefeuille Wt =∑n

i=1 aipi,t = a′pt, la VaR est donnee par l’equation suivante dansle cadre de l’hypothese ou le portefeuille est autofinance 1 :

Pt[(Wt+1(a) − Wt(a)︸ ︷︷ ︸a′(pt+1−pt)=a′yt+1

) + V aRt(a, α) < 0] = Pt[−a′yt+1 > V aRt(a, α)] = α (2.1)

Dans le cas de rendements gaussiens du portefeuille, la VaR est donnee par la formule suivante :

V aRt(a, α) = −a′µt + (a′Ωta)1/2z1−α (2.2)

2.2 La coherence et l’homogeneite de la VaR d’un porte-feuille

2.2.1 Mesure du risque

P. Artzner, F. Delbaen, J.M Eber et D. Heath [99] 2 definissent plusieurs caracteristiquesqu’une mesure de risque doit satisfaire. Dans la section suivante nous reprenons les principalesproporietes d’une mesure de risque coherente citees dans cet article.

Definition 1 On dit que ρ est une mesure de risque monetaire si :

– ρ est croissante : X > Y =⇒ ρ(X) ≥ ρ(Y )– invariante par translation : ρ(X + m) = ρ(X) + m ∀m ∈ R

Definition 2 On dit que ρ est convexe si pour tout 0 ≤ θ ≤ 1

ρ(θX + (1 − θ)Y ) ≤ θρ(X) + (1 − θ)ρ(Y )

1. Un portefeuille W = (Sn = (S0n, . . . , Sd

n); θn = (θ0n, . . . , θ0

n)) est dit autofinance si et seulement si : ∀n ∈

(0, 1, · · · , N − 1) : θn+1Sn = θnSn, i.e. a l’instant n, apres avoir pris connaissance des cours (S0n, S1

n, · · · , Sdn,

l’investisseur reajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition θn+1, et cela en reinvestissant lavaleur totale du portefeuille et rien de plus.

2. Cf leur article Coherent measures of risk.

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Definition 3 On dit que ρ est positivement homogene si :

ρ(λX) = λρ(X)

pour tout λ ≥ 0.

Une mesure de risque monetaire convexe positivement homogene est dite coherente.

2.2.2 La sensibilite et la convexite de la VaR

2.2.2.1 Sensibilite

Proposition 1 La premiere derivee partielle - par rapport a l’allocation a du portefeuille - dela VaR est donnee par :

∂V aRt(a, α)

∂a= −Et[yt+1|a′yt+1 = −V aRt(a, α)] (2.3)

Preuve

La VaR est definie d’apres la formule (1.1) par :

α = Pt[−a′yt+1 > V aRt(a, α)]

= Pt[−n∑

i=1

aiyi,t+1 > V aRt(a, α)]

= Pt[−n∑

i=1,i 6=j

aiyi,t+1

︸ ︷︷ ︸=X

− ajyj,t+1︸ ︷︷ ︸=ajY

> V aRt(a, α)]

= Pt[X − ajY > V aRt(a, α)]

On notant fX,Y la loi jointe du couple (X, Y ), on obtient :

α =

∫ [∫

V aRt(a,α)+ajy

fX,Y (x, y)dx

]dy

On derive alors cette derniere equation par rapport a aj :

0 =

∫ [∂V aRt(a, α)

∂aj+ y

]fX,Y (V aRt(a, α) − ajy, y)dy

d’ou

∂V aRt(a, α)

∂aj= −

∫yfX,Y (V aRt(a, α) − ajy, y)dy∫fX,Y (V aRt(a, α) − ajy, y)dy

= −Et[yt+1|a′yt+1 = −V aRt(a, α)]

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2.2.2.2 Convexite

La convexite de la VaR est donnee par la deuxieme derivee partielle par rapport a la compo-sition du portefeuille.

Proposition 2 Si l’on note ga,t la loi conditionnelle de la variable a′y, on :

∂2V aRt(a, α)

∂a∂a′=

∂logga,t

∂z(−V aRt(a, α)) × Vt [yt+1|a′yt+1 = −V aRt(a, α)]

−

∂

∂zVt[yt+1|a′yt+1 = −z]

z=V aRt(a,α)

(1.3)

LemmeDans le cas ou les rendements du portefeuille suivent une loi Normale les deux premieres deriveespartielles s’ecrivent :

∂V aRt(a, α)

∂a= Et[yt+1|a′yt+1 = −V aRt(a, α)]

= −µt +Ωta

a′Ωta(V aRt(a, α) + a′µt)

= −µt +Ωta

(a′Ωta)1/2z1−α

∂2V aRt(a, α)

∂a∂a′=

z1−α

(a′Ωta)1/2Vt [yt+1|a′yt+1 = −V aRt(a, α)]

=z1−α

(a′Ωta)1/2

[Ωt −

Ωtaa′Ωt

a′Ωta

]

Avec :– Ωt represente la matrice de variance-covariance des rendements des actifs composant le

portefeuille– µt le vecteur des moyennes des rendements des actifs– z1−α le percentile du niveau de confiance α

Nous remarquons que ces deux derivees partielles sont des fonctions affines de la VaR etdependent de l’allocation du portefeuille ainsi que du niveau de confiance 1 − α.

Nous signalons ici que la VaR est une mesure de risque monetaire positivement homogene.En general elle n’est pas convexe (et donc elle n’est pas en general sous-additive) 3 .

3. Pour la demonstration le lecteur peut se referer a l’article de P. Artzner, F. Delbaen, J.M Eber et D. Heath[99], ou l’on demontre que la VaR est coherente si α < 1/2

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2.3 Le portefeuille efficient

L’allocation des portefeuilles est basee sur un arbitrage rendement/risque qui fait appel a unemesure de risque. Le risque est principalement mesure par le second moment i.e. la volatilite.

La premiere approche, qui est le point de depart quasi-incontournable en gestion de porte-feuille, est celle introduite par Markowitz, dite approche moyenne-variance. Elle vise notammenta minimiser la variance du portefeuille pour rendre le portefeuille plus previsible et donc moinsrisque. Plusieurs autres methodes sont envisageables : celles basees sur la theorie de l’utiliteesperee (TUE) ou encore celles se basant sur la CVaR comme mesure de risque...

Dans notre cas nous adopterons la VaR comme mesure de risque.

2.3.1 Definition

Nous considerons une richesse initiale w a repartir a l’instant t en plusieurs titres risques derendement yt = (y1,t, . . . , yn,t). Le portefeuille etant une combinaison de ces titres risques, il estcaracterise par les proportions (ou quantites) d’actifs que detient ou souhaite detenir l’investis-seur.

Mathematiquement le portefeuille peut etre defini par le vecteur a = (a1, . . . , an), c’est-a-diredefini en quantite de richesse initiale (ou en proportion de la richesse initiale).

La richesse a l’instant initial t verifie :

w = a0 + a′pt

ou a0 represente la quantite de richesse investie dans l’actif sans risque de rendement r.

La valeur de ce portefeuille est donnee dans la date t + 1 :

Wt+1 = a0(1 + r) + a′pt+1

= w(1 + r) + a′[pt+1 − (1 + r)pt]

= w(1 + r) + a′yt+1

La VaR est donc definie par :

Pt[Wt+1 < −V aRt(a0, a, α)] (2.4)

que l’on peut ecrire en fonction du quantile des actifs risques defini dans la section precedente :

V aRt(a0, a, α) = w(1 + r) + V aRt(a, α) (2.5)

L’allocation du portefeuille consiste alors a determiner le vecteur a. Il s’agit donc de resoudrele probleme suivant : pour un niveau de risque de perte maximale donne, qui peut survenir aucours d’un horizon de temps t, selon un niveau de confiance 1 − α, trouver les proportions ai ainvestir dans chaque titre i, conduisant au rendement espere maximal.

Mathematiquement on ecrit :

maxa EtWt+1

avec V aRt(a0, a, α) ≤ V aR0(2.6)

ou V aR0 est une valeur reference du niveau de la VaR 4.

4. Cette valeur est imposee par les normes Bale II publiees par la banque centrale des banques centrales. Elleest fixee generalement entre 1/4 et 1/3 de la richesse initiale.

13

2.3.2 Estimation du portefeuille efficient

Pour resoudre le probleme d’allocation du portefeuille, on va faire appel aux methodesnumeriques et plus particulierement a la methode des moindres carres dans le cas non-lineaire.Avant de commencer cette demarche numerique, il nous semble judicieux de faire les calculs dansun voisinage proche de la valeur a(p) recherchee.

Cela revient a faire un developpement limite au voisinage de a(p) :

V aR(a0, a, α) − w(1 + r) = V aR(a, α)

= V aR(a(p), α) +∂V aR

∂a(a(p), α)[a − a(p)]

+1

2[a − a(p)]′

∂2V aR

∂a∂a′(a − a(p))[a − a(p)]

Le programme d’allocation s’ecrit alors :

maxa a′Etyt+1

souslacontrainte V aR(a(p), α) +∂V aR

∂a(a(p), α)[a − a(p)]

+1

2[a − a(p)]′

∂2V aR

∂a∂a′(a − a(p))[a − a(p)] ≤ V aR0 − w(1 + r)︸ ︷︷ ︸

V aR0

Pour resoudre ce probleme, nous avons fait appel a un algorithme de calcul numerique :l’algorithme de Gauss-Newton. En effet, cet algorithme permet de resoudre une equation non-lineaire en se basant sur des procedures iteratives (voir annexe A). Ce probleme admet alorscomme solution :

a(p+1) = a(p) − [∂2V aR

∂a∂a′(a(p), α)]−1 ∂V aR

∂a(a(p), α)

+

[2( V aR0 − V aR(a(p), α)) + Q(a(p), α)

Ey′t+1[

∂2V aR∂a∂a′

(a(p), α)]−1Eyt+1

]1/2

× [∂2V aR

∂a∂a′(a(p), α)]−1Eyt+1.

avec :

Q(a(p), α) =∂V aR

∂a′(a(p), α)[

∂2V aR

∂a∂a′(a(p), α)]−1 ∂V aR

∂a(a(p), α)

present nous allons vous presenter l’application informatique qui accompagne cette etude.Nous avons choisi de proposer a l’utilisateur une solution simple et intuitive pour constituersoi-meme son propre portefeuille VaR-efficient, en incluant les informations boursieres les plusrecentes.

14

Chapitre 3

Application informatique

Afin de mettre en application la theorie que nous venons de detailler, nous avons cree uneapplication informatique. Les objectifs etaient les suivants :

– Pouvoir constituer son propre portefeuille parmi une selection d’actifs– Recuperer l’historique des cours d’actifs concernes via Internet sans l’intervention de l’uti-

lisateur– Traiter les donnees brutes :

– homogeneisation des dates– reperage des valeurs de cours aberrantes– traitement approprie des introductions en Bourse– traitement des actions sur titres 1

– Calculer la valorisation du portefeuille, en prenant en compte les taux de change– Faire apparaıtre les indicateurs classiques sur chacun des actifs et sur la valorisation du

portefeuille (moments des rendements, plus haut, plus bas, Value at risk...)– Enfin, proposer un portefeuille optimal au sens de la Value at Risk

Un effort a ete fait afin de proposer a l’utilisateur une interface intuitive et une utilisation laplus simple possible.

Notre choix s’est porte sur une application Excel avec l’outil VBA, afin de garantir la porta-

bilite de notre application.Le calcul a proprement parler du portefeuille VaR-efficient se fait avec le logiciel R. L’algo-

rithme conduisant a la composition optimale du portefeuille est appele a partir d’Excel.

Outils requis :Outre la connexion Internet requise pour pouvoir telecharger les derniers historiques de cours, lamacro Excel appelle le logiciel R pour recuperer les cours et les enregistrer sous format texte.

1. tels que les Stock Split, Reverse Stock Split...

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3.1 Selection des actifs du portefeuille

Voici la page d’accueil de l’application.

Nous avons selectionne 70 actifs sur les marches francais (CAC40) et americain (Dow Jones) 2.L’utilisateur selectionne les actifs de son portefeuille en indiquant le nombre d’actions desirees.Une macro detecte si la quantite est strictement positive ; dans le cas contraire ou si du texte esttape, la valeur est automatiquement remplacee par « 0 ».

Un compteur (en haut a droite), indique le nombre d’actifs choisi ainsi que le nombre totald’actions detenues dans le portefeuille. Si le compteur indique que le portefeuille est constituede plus d’un actif, le bouton « Telecharger les cours » devient accessible.

2. A l’origine, nous voulions rajouter le Footsie 100 ainsi que le Nikkei 225, mais les donnees disponibles surInternet etaient trop pauvres.

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3.2 Recuperation des historiques de cours

Apres avoir indique la date de creation du portefeuille, la macro va appeler R, afin de telechargerles historiques des cours selectionnes (et seulement ceux-ci). R passe par le site Internet http ://fi-nance.yahoo.fr pour recuperer les cours sous forme de tableaux.

En outre, si au moins un actif Americain est selectionne, R va telecharger l’historique destaux de change EUR-USD pour la periode consideree. Tous les historiques de cours sont ensuiteenregistres au format texte sur le disque dur de l’utilisateur.

Cette operation peut prendre plusieurs minutes, suivant la profondeur de l’historique et lenombre d’actifs selectionnes. Une fois les cours telecharges, la macro va rentrer dans une impor-tante operation de traitement de ces donnees brutes.

3.3 Traitement des donnees

1. Les donnees brutes enregistrees au format texte vont etre importees depuis Excel. Unefeuille du classeur Excel contient toutes les donnees : chaque actif est represente sur deuxcolonnes : une colonne des dates a laquelle correspond une colonne des cours.

2. La deuxieme etape est d’homogeneiser les dates. Le resultat final doit etre une feuilledont la premiere colonne contient les dates et les colonnes suivantes les cours de chaqueactif (cf. graphe ci-dessous). Si pour une date donnee, il n’y a aucun cours disponible, noussupprimons la ligne correspondante.

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3. Une autre etape importante est celle du calcul des rendements de chaque actif. Il y adeux cas ou l’on peut avoir de tres forts rendements :– Une erreur dans l’historique des cours– Une operation sur titres ; exemple : le 18 mai 2006, l’action TOTAL est passee de 217

EUR a 51 EUR a cause d’un « 4 :1 Stock Split » et d’un versement de dividende de 3.48EUR par action 3. Le rendement journalier s’est donc effondre a -77% :

Fig. 3.1 – Le stock split du 18 mai 2006 sur l’action TOTAL (yahoo.fr)

Pour corriger cela, nous decidons de reviser l’ensemble des rendements : si un rendementjournalier depasse 45% en valeur absolue, nous le corrigeons a 0%.Dans le cas contraire, nous trouverions des valeurs aberrantes pour les skewness et kur-tosis des rendements, et pour la VaR qui en decoule.

4. Remplissage des lacunes ; Nous considerons que les rendements suivent localement uneloi Normale, de moyenne µ et d’ecart-type σ ou µ est le rendement journalier et σ lavolatilite journaliere : Rdt → N(µ, σ)

Ces deux indicateurs sont calcules comme etant les moyennes respectives des 5 dernieresvaleurs constatees.

En cas d’introduction en Bourse, nous decidons de ne pas remplir les « lacunes » anterieuresa la date d’introduction.

Tout ceci se fait de maniere automatique ; les introductions en Bourse sont detectees s’iln’y a pas eu de cotation dans les 5 jours qui precedent. Une fois les lacunes comblees, lesrendements sont recalcules.

5. Calcul de la valorisation du portefeuille ; Naturellement, le portefeuille est evalue ala date t comme ceci :

V (t) =i=n∑

i=1

N(i) ∗ S(i, t) ∗ Change(t)

Ou :– N(i) est la quantite d’actifs i detenue– S(i,t) est le cours de l’actif i a la date t– Change(t) vaut 1 si l’actif est cote sur le CAC40, il vaut le taux de change USD-EUR

s’il est cote sur le Dow Jones.

Un probleme se pose alors : en cas d’introduction d’actif, le rendement du portefeuille lelendemain de l’introduction va etre anormalement eleve. Nous decidons de reevaluer a 0%tous les rendements du portefeuille superieurs a 7% en valeur absolue.

6. Nous calculons le β de chaque actif, en identifiant les rendements du marche a ceux duportefeuille :

βi =cov(Ri, RP )

var(RP )

Enfin, nous calculons les ponderations de chaque actif selon leur derniere cotation.

Une fois toutes ces operations effectuees, le bouton « Analyse et optimisation » se deverouillesur la page d’accueil.

3. Un stock split correspond a une emission de nouvelles actions ; le cours est ajuste de telle sorte que lacapitalisation boursiere reste la meme

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3.4 Analyse du portefeuille

Dans la fenetre d’analyse de portefeuille apparaissent deux onglets consacres respectivementau portefeuille et aux actifs, et un onglet concernant l’optimisation :

3.4.1 L’onglet dedie au portefeuille

Outre des informations telles que la valeur finale du portefeuille et les quatre moments desrendements (esperance µ, ecart-type σ, skewness Sk, kurtosis K), la macro vous proposede calculer la Value at Risk sous 3 formes :

– VaR de Cornish Fisher (2000) : On considere que les rendements des actions suiventune loi Normale dont le quantile zqest corrige :

wq = zq +1

6(z2

q − 1)Sk

La VaR du portefeuille est alors la somme ponderee des VaR de chaque actif.– VaR de Cornish Fisher amelioree (2001) : Le quantile de la loi Normale est corrige

de facon plus precise, en prenant en compte le Kurtosis des rendements :

wq = zq +1

6(z2

q − 1)Sk +1

24(z3

q − 3zq)K − 1

36(2z3

q − 5zq)Sk2

– Par l’estimation classique :

V aR(α) = E(P ) + σ(P )z1−α

ou

E(p) =i=n∑

i=1

θ(i)E(i)

et

σ(P ) =

√ ∑

1<i<j<n

θ(i)θ(j)σij

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En choisissant l’horizon de calcul ainsi que le niveau de confiance (generalement 99%),l’utilisateur peut ainsi comparer les trois valeurs de VaR disponibles.

Egalement, il est possible :

– d’afficher l’evolution dans le temps de la valorisation du portefeuille (« Graphe du por-tefeuille ») ; la sensibilite du portefeuille aux variations du marche est alors visible.

– d’afficher sous forme graphique la repartition des actifs (en valeur, au dernier jour decotation connu).

20

3.4.2 L’onglet consacre aux actifs

Une case permet de selectionner un actif parmi ceux du portefeuille, afin d’acceder a safiche :

Une partie de la fenetre recapitule l’ensemble des informations relatives a l’action, tellesque le nombre d’actions detenues ou encore le marche dont elle est issue (CAC40 ou DJ).La ponderation de l’actif (en montant) calculee precedemment est egalement disponible.

Le β de l’actif en question est mentionne (relativement au portefeuille).

La fiche mentionne egalement les 4 moments des rendements de l’action (µ, σ, Sk, K) ainsique les rendements extremes constates sur la periode de detention du portefeuille.

Il est alors possible de tracer trois types de graphiques :

(a) le graphe historique du cours de l’actif

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(b) le graphe historique de tous les actifs du portefeuille ; il permet de mettre en evidenceles periodes de hausse et de baisse globales des marches

(c) le graphe Esperance des rendements / Beta pour les actifs du portefeuille ; ce graphepermet de reperer les actifs les plus remunerateurs en fonction du risque non diversi-fiable.

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3.4.3 L’onglet consacre a la creation du portefeuille VaR-efficient

L’apparence et les fonctionnalites de cette partie du programme peuvent differer de la versionfinale.

Extraction des donnees necessaires

Il y a plusieurs donnees d’entrees necessaires a l’execution de l’algorithme d’optimisation :

– les ponderations ai de chaque actif (en montant, au dernier jour de cotation connu)

– les rendements Rt−Rt−1

Rt−1pour chaque actif

– le niveau de confiance α relatif a la Value at Risk– le benchmark V aR0, qui est le pourcentage de perte maximal supportable

La premiere etape consiste donc a enregistrer sous plusieurs fichiers chacune de ces donnees.Cette operation est tres rapide et prend moins de 10 secondes en regle generale.

Appel de R et execution de l’algorithme

Ensuite, le logiciel R est appele depuis Excel afin de faire tourner le programme d’optimisa-tion. R va tout d’abord recuperer les donnees extraites a l’etape precedente, puis il va executerla boucle d’optimisation. Le code R est fourni en annexe B.

Une fois l’optimisation effectuee, le resultat est enregistre dans le fichier Resoptim.txt.

Sauvegarde du resultat et recuperation sur Excel

Excel va lire le fichier contenant le resultat de l’optimisation et l’afficher sur la partie droite dela fenetre. En allouant chaque actif selon les proportions indiquees a l’issue de l’optimisation, lerendement espere du portefeuille se voit augmente. Ce point etant encore en phase d’amelioration,le resultat definitif ne peut pas vous etre presente ici.

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3.5 Ameliorations

Plusieurs aspects de notre application informatique restent encore perfectibles. En voiciquelques uns :

1. Tout d’abord, l’application informatique necessite deux logiciels : Excel et R. Si le premier,tres populaire, est susceptible d’etre present sur une grande partie des ordinateurs, ce n’estpas forcement le cas de R 4. En outre, quelques incompatibilites subsistent entre les versionsd’Excel.

2. Autre point faible : l’application informatique est assez lente. Le temps de calcul necessaireau traitement initial des donnees une fois telechargees (cf. 2.3) devient vite importantlorsque plus de 10 actifs sont selectionnes 5. En realite, lorsqu’un actif est selectionne, l’his-torique est d’abord entierement telecharge, puis traite. Une solution plus efficace consiste-rait a garder en memoire les donnees deja disponibles (de par les utilisations anterieures dulogiciel) et de ne telecharger (et traiter) que la partie des cours manquante. Cela reduiraitconsiderablement le temps de calcul car le traitement ne concernerait alors que les informa-tions s’etalant de la derniere utilisation du logiciel a aujourd’hui. Malheureusement, mettreen place un tel systeme necessiterait de revoir totalement le code VBA implemente.

3. Aussi, il serait possible de trouver un moyen de recuperer les cours d’actions d’autresmarches etrangers (FTSE100, Nikkei225...) ; la seule solution gratuite rencontree ne four-nissait que des donnees au mieux hebdomadaires.

4. De la meme maniere, nous aurions pu ajouter un panel d’obligations a notre portefeuille.Cependant, les donnees disponibles sur Internet (gratuitement) sont bien trop pauvres pouretre exploitables dans le cadre de ce projet.

5. Le traitement des donnees et notamment le comblage des lacunes de cours d’action peutetre ameliore. L’exemple du Stock Split (plus dividende) de l’action Total en 2006 nousmontre bien que ces cas sont a la fois frequents et delicats. Notre application se voulantentierement automatisee, nous avons decide de reperer de telles operations (caracteriseespar un rendement journalier exceptionnel) et de considerer que le cours de l’action avaitete inchange ce jour-ci. Une alternative plus appropriee aurait pu etre envisagee (formulesd’ajustement de cours), mais le fait que les ratios de Split soient inconnus complique gran-dement la tache. Le probleme est similaire pour les introductions en Bourse.

6. La vitesse d’execution aurait egalement pu etre amelioree en codant une partie du pro-gramme en C++ (langage bas niveau). Cet outil, s’il permet d’accroıtre la vitesse de calcul,est egalement moins intuitif. Une solution utilisant C++ etant trop complexe a mettre enoeuvre par rapport a notre experience dans ce langage, nous avons decide de recourir aulogiciel libre R.

7. Il serait egalement possible d’ameliorer le choix des actifs en portefeuille ; ici, l’utilisateurchoisit ses actions, puis il fixe une date qui est celle a laquelle il a constitue son portefeuille.On considere donc que tous les actifs sont acquis a cette date 6. Il serait envisageable deconstituer son portefeuille en selectionnant les actifs mais aussi une date d’achat indivi-duelle.

8. L’interface qui presente les principaux indicateurs de performance du portefeuille est egalementperfectible. Nous avons choisi de presenter toutes les caracteristiques pour un actif donne,mais nous pourrions faire l’inverse a savoir presenter pour chaque indicateur (moyenne desrendements, volatilite...) une vue d’ensemble de tous les actifs du portefeuille.

4. Le logiciel R est en telechargement libre sur http ://cran.r-project.org/5. Environ 2 minutes de calcul pour 13 actifs sur Excel 2007 et un processeur de 2.2GHz6. Si l’utilisateur choisit un actif qui n’est pas encore cote, on considere qu’il l’acquiert a la date d’introduction

en Bourse

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Synthese

Nous l’avons vu, la Value at Risk est un indicateur du risque financier a la fois performantet tres synthetique. Elle doit une grande partie de sa popularite aux directives reglementantsles fonds propres des entreprises, permettant a ces-dernieres de mesurer de facon simple leurexposition au risque et les provisionnements necessaires qui en decoulent. Tres encadrees par lalegislation, ces provisions financieres obligatoires sont un moyen efficace de prevenir la faillited’un organisme.

En 1994, la banque JP Morgan devoile sa technique de calcul de la Value at Risk (Risk-Metrics) et marquera alors le debut de l’essor de cet indicateur dans les banques et organismesfinanciers soumis a un risque de marche.

Nous avons mis en evidence la simplicite de la Value at Risk, qui n’est fonction que de deuxparametres soumis a l’appeciation du decideur :

1. le niveau de confiance (generalement impose a 99%) qui constitue en quelque sorte l’aversionau risque de perte

2. l’horizon de calcul, la VaR augmentant evidemment avec celui-ci

Il existe alors plusieurs methodes pour evaluer le montant du patrimoine soumis a une perteprobable : methode historique, variance-covariance, VaR par Monte Carlo, VaR RiskMetrics ouencore VaR par bootstrap. L’investisseur est donc libre de preferer telle methode a une autre,lui laissant le choix entre justesse de la prevision et souplesse de calcul.

Indicateur du risque par excellence, la Value at Risk n’en est pas moins un outil au cœurd’une nouvelle methode d’optimisation de portefeuille. La strategie la plus couramment utiliseeetant celle initiee par Harry Markowitz des 1952, qui consiste a definir la variance comme mesuredu risque. En considerant la VaR comme nouvel indicateur du risque, il devient alors possible deconstruire un portefeuille dit VaR-efficient, c’est-a-dire qui maximise l’esperance de rendementpour une VaR maximale fixee.

Ce programme d’optimisation peut apparaıtre comme plus satisfaisant pour une entreprisedont la strategie serait d’esperer un rendement maximal tout en s’assurant (a un niveau deconfiance donne) de ne pas perdre au-dela d’un montant determine a l’avance. En effet, la VaRapparaıt alors parfaitement appropriee a la gestion de portefeuille, la variance presentant l’in-convenient majeur de na pas pouvoir chiffrer clairement les pertes futures.

L’article de MM. LAURENT, SCAILLET et GOURIEROUX [2000] propose un moyen dechiffrer la sensibilite d’un portefeuille d’actifs a la VaR. la suite de nombreux calculs, ils par-viennent a une formule de recurrence qui permet d’aboutir a la composition optimale des actifsdu portefeuille.

Nous avons alors voulu proposer, au travers d’une application informatique simple d’utili-sation, un outil permettant de constituer soi-meme son propre portefeuille VaR-efficient. Apresavoir compose son portefeuille (parmi les actions du CAC40 et du Dow Jones), l’utilisateur ala possibilite d’executer le programme d’optimisation. Ayant rencontre quelques difficultes pourimplementer correctement cette procedure iterative, nous ne sommes malheureusement pas enmesure de vous presenter ici le resultat de ces simulations.

Neanmoins, cette nouvelle approche d’optimisation de portefeuille, bien que plus complexe amettre en pratique, constitue une avancee importante au vu de la formidable progression de laValue at Risk ces dix dernieres annees.

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Annexe A

Algorithme de Gauss-Newton

L’algorithme de Gauss-Newton est utilise pour resoudre les problemes de moindres carresnon-lineaire, c’est une modification de la methode de Newton aux derivees partielles secondes.

S(p) =m∑

i=1

(fi(p))2

avec : fi des fonctions multivariables.

La solution de cette equation est donnee par l’algorithme iteratif suivant :

pk+1 = pk −[Jf (pk)′Jf (pk)

]−1Jf (pk)′f(pk)

avec : Jf (pk) est le Jacobien de la fonction f au point pk.

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Annexe B

Code de l’optimisation (R)

setwd("C:/VaR")

#Lecture des donnees utilisateur provenant d’Excel

bench=as.double(read.table("benchmark.csv", header=F, sep=",", dec="."))/100

confiance = as.double(read.table("confiance.csv", header=F, sep=",", dec="."))/100

data=read.table("Rdt.csv", header=T, sep=",", dec=".")

a=t(read.table("ponderations.csv", header=T, sep=",", dec="."))

NData=nrow(data)

NAsset=ncol(data)

NSimul=100

mean=matrix(1, NAsset, 1)

for(i in 1:(NAsset))

mean[i]=mean(data[,i])

cov=cov(data)

ptf=matrix(1,NData,1)

sensib=matrix(1,NAsset,1)

convex=matrix(1,NAsset,NAsset)

for(i in 1:NSimul)

ptf=as.matrix(data)%*%a

VaR=-quantile(ptf,1- confiance, na.rm=TRUE)

varp=var(ptf)

Z=qnorm(confiance)

MU=as.matrix(mean)

sensib=-MU+Z*(as.double(varp^-0.5))*(cov%*%a)

convex=Z*(as.double(varp^-0.5)*(cov-(as.double(varp^-1))*(cov%*%a%*%t(a)%*%cov)))

Q=as.double(t(sensib)%*%(solve(convex))%*%sensib)

D=as.double(t(MU)%*%(solve(convex))%*%MU)

a=a-(solve(convex))%*%sensib+(as.double(((2*(bench-VaR)+Q)^0.5)*D^-0.5))*((solve(convex))%*%MU)

a<-t(a)

write.table(a,"Resoptim.txt",sep=";",row.names=FALSE,col.names=FALSE)

quit("no")

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Bibliographie

[ABD03] A. ABDELHEDI, Estimation de la Value at Risk d’un portefeuille d’actions, 2003

[GLS00] J.P. LAURENT, O. SCAILLET, C. GOURIEROUX, Sensitivity analysis of Values at Risk,

2000

[OSS03] A. OSSE , Qu’est-ce que la Value at Risk, 2003

[JPM96] RiskMetrics JPMorgan, Technical document 4th edition, 1996

[FM] M. FEDOR, J.MOREL Value at Risk en assurance : recherche d’une methodologie a long terme

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