optimización de la regulación de máquinas de jaula de

UNIVERSIDAD PQUIÉCMCA DE MADRID / 2 |

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales '%=¡>^

Optimización de la regulación de máquinas de jaula de ardilla basada en

vectores espaciales

TESIS DOCTORAL

Autor

Javier Herrero Fuerte

Ingeniero Industrial

Director

Carlos Mario Vega González

Doctor Ingeniero Industrial

Madrid, 2003

ÍNDICE

Simbología /

1. Planteamiento y composición de la tesis 1

1.1 Introducción 1

1.2 Estructura de la tesis 7

2. Ecuaciones del motor asincrono de jaula de ardilla en

valores por unidad y obtención de los estados de minima

corriente o de máximo par/amperio 11

2.1 Introducción 11

2.2 Obtención de las ecuaciones del motor alimentado

por una fuente de corriente en valores por unidad. 17

2.3 Ecuaciones en régimen permanente. Obtención del

punto de corriente mínima o de máximo

par/amperio. 26

3. Aplicación de la teoría de control óptimo al motor asin

crono de jaula de ardilla 31


3.2 Principio del máximo de Pontriaguin 32

3.3 Solución implícita 39

ÍNDICE

3.4 Variable auxiliar x

3.5 Análisis de la ecuación implícita

3.5.1

3.5.2

3.5.3

3.5.4

3.5.5

3.5.6

3.5.7

Clasificación de las trayectorias

Simetrías

Soluciones de la variable auxiliar x

Curva frontera

Regiones de existencia de las variables ¿mR y X

Asíntotas

Puntos de equilibrio

41

43

46

47

47

50

52

57

57

3.6 Curvas par del motor - corriente magnetizante del

rotor 61

3.6.1 Curvas m{iajs) para las trayectorias óptimas del

grupo I 61

3.6.2 Curvas m(i.^ para las trayectorias óptimas del

grupo II 63

3.7 Trayectorias óptimas en función del tiempo de la

corriente magnetizante del rotor, de la velocidad con

par de carga nulo y del par del motor • 65

3.7.1 Trayectorias del grupo I. Ramas cerradas 66

3.7.2 Trayectorias del grupo I. Ramas abiertas 71

3.7.3 Trayectorias de la separatriz C = 0,5 75

3.7.4 Trayectorias del grupo II 78

11

ÍNDICE

3.8 Superficies 7sd = fí/nR, x), kq = fÍJÍnR, x) y JJi =

f(JV„R,x) 87

4. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac

cionamiento eléctrico con par de carga nulo 91


4.2 Estado de régimen permanente de corriente mínima

con par de carga nulo 92

4.3 Aceleración y desaceleración óptimas en vacío 93

4.4 Incremento de velocidad alcanzado en función de C _ 104

4.5 Comparación de las trayectorias obtenidas con otros

posibles caminos óptimos 107

4.5.1 Posibles caminos óptimos con igual comente

magnetizante del rotor máxima 111

4.5.2 Posibles caminos óptimos con igual tiempo de

proceso 115

4.5.3 Posibles caminos óptimos con igual incremento de

velocidad 120

4.5 Conclusiones 124

5. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac

cionamiento eléctrico con par de carga no nulo 127


iii

ÍNDICE

5.2 Trayectorias óptimas para la aceleración y

desaceleración en carga 128

5.3 Espacios de estado para diferentes pares de carga 137


6. Proceso de restablecimiento de la velocidad del motor

frente a un escalón de par de carga 161

6.1 Introducción • 161

6.2 Procesos óptimos de aplicación del par de carga 162

6.3 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la

velocidad con el par de carga /nt > |»tc | 169


velocidad con el par de carga O < /nt < |mc [ 176


velocidad con el par de carga /nt < -| nic | ' 183


velocidad con el par de carga O > JIÍC > -| wic I 187

6.7 Tabulación de las trayectorias óptimas 191

7. Sistema de control 195


IV

ÍNDICE

7.2 Modelo del motor asincrono de jaula de ardilla 196

7.3 Motor asincrono de jaula de ardilla alimentado por

una fuente de corriente 197

7.4 Estrategia del sistema de control 199

7.4.1 Estructura del sistema de control para la

aceleración/desaceleración óptima 199

7.4.2 Estructura del sistema de control para la aplicación

de la carga 203

7.4.3 Estructura del sistema de control para el

mantenimiento del régimen permanente de

corriente mínima 205

7.5 Programa simulador del sistema de control óptimo 206

7.5.1 Resolución de las ecuaciones del motor asincrono

de jaula de ardilla 207

7.5.2 Modelo para el inversor de tensión realimentado en

corriente del estator 208

7.5.3 Programa simulador para la aceleración y

desaceleración óptimas 213

7.5.4 Programa simulador para la aplicación de la carga 215

7.5.5 Programa simulador para el mantenimiento del

régimen permanente de corriente mínima 215

7.6 Resultados 215

V

ÍNDICE

7.6.1 Parámetros del conjunto motor - carga 216

7.6.2 Aceleración y desaceleración óptimas _^_______ 219

7.6.2.1 Aceleración en vacío 219

7.6.2.2 Desaceleración en vacío 224

7.6.2.3 Aceleración con par de carga positivo 228

7.6.2.4 Aceleración con par de carga negativo 232

7.6.3 Aplicación de la carga 236

7.6.3.1 Aplicación de la carga. Aumento del par de

carga 236

7.6.3.2 Aplicación de la carga. Disminución del par de

carga 240

7.7 Resumen y conclusiones 244

8. Conclusiones y trabajos futuros 247


8.2 Sugerencias para futuros trabajos 251

Bibliografía 253

VI

SlMBOLOGlA

Abreviatura Variable Unidades

histr Ancho de banda de la corriente de A

estator

C, Ángulo del fasor de comente de esta- Rad

tor respecto del eje de estator

5 Ángulo del fasor de corriente de esta- Rad

tor respecto del fasor de corriente

magnetizante del rotor

p Ángulo posición fasor corriente mag- Rad

netizante del rotor respecto sistema

de referencia definido en el estator

s Ángulo posición fasor corriente rotor Rad

respecto sistema de referencia defi

nido en el estator

O Coeficiente de dispersión

as Coeficiente de dispersión del estator

<3R Coeficiente de dispersión del rotor

SlMBOLOGÍA


Ci

TR

Ts

hR, ks, br

ííelec_BASE

a, .mec_BASE

Coeficiente de dispersión total

Constante de la Hamiltoniana

Constante de la Hamiltoniana

Constante de tiempo del rotor

Constante de tierapo del estator

Corriente de línea del motor

s

A

Corriente eléctrica base para el cam- Rad/s

bio de dimensión a valores por uni

dad

Corriente mecánica base para el Rad/s

cambio de dimensión a valores por

unidad

k

Fasor de corriente de estator

Fasor de corriente del estator

Fasor de corriente de rotor

Fasor de corriente del rotor

p.u.

A

p.u.

A

II

SlMBOLOGlA


7mR Fasor de corriente magnetizante del A

rotor que define el sistema de refe

rencia

¿nR Fasor de corriente magnetizante del p.u.

rotor que deñne el sistema de refe

rencia

JmR Fasor de corriente magnetizante del A

rotor que define el sistema de refe

rencia

f/s Fasor de tensión del motor V

fn frecuencia asignada Hz

fo Frecuencia de sincronismio Hz

pi Función auxiliar de la Hamiltoniana

P2 Función auxiliar de la Hamiltoniana

H Función Harailtoniana

Ls Inductancia fase - neutro del estator H

III

SlMBOLOGÍA


LR Inductancia fase - neutro del rotor H

L^, Lo Inductancia mutua entre estator y H

rotor

kn Intensidad asignada A

te Módulo del fasor de corriente de es- p.u.

tator

/mR Módulo del fasor de corriente raagne- A

tizante del rotor que define el siste

ma de referencia

4nR Módulo del fasor de corriente magna- p.u.

tizante del rotor que define el siste

ma de referencia

J Momento de inercia del motor Kg-m^

Mn Par asignado N-m

MBASE Par base para el cambio de dimen- N-m

sión a valores por unidad

Me Par de carga N-m

IV

SlMBOLOGÍA


me

MMEC

m

P

P'

kd

Usd

ba

Par de carga p.u.

Par mecánico motor Nm

Par motor p.u.

Pares de polos del motor

Pares de polos del motor equivalente

adimensional

Potencia asignada W

Proyección sobre el eje de abcisas A

(sistema de referencia de JmR) del fa-

sor de corriente de estator

Proyección sobre el eje de abcisas del V

fasor de tensión de estator,

Proyección sobre el eje de abscisas A

(sistema de referencia de estator) del

fasor de corriente de estator

V

SlMBOLOGÍA


isd Proyección sobre el eje de abscisas p.u.

(sistema de referencia de ¿IR) del fa-


Ish Proyección sobre el eje de ordenadas A

(sistema de referencia de estator) del

fasor de corriente de estator

/sq Proyección sobre el eje de ordenadas A

(sistema de referencia de ImR) del fa


kq Proyección sobre el eje de ordenadas p.u.

(sistema de referencia de ¿IR) del fa


í/sq Proyección sobre el eje de ordenadas V

del fasor de tensión de estator

Xis Reactancia de dispersión del estator Q

XiR Reactancia de dispersión del rotor Q

XR Reactancia de dispersión del rotor Ci

VI

SlMBOLOGfA


Xs Reactancia de dispersión del rotor Q

Xm Reactancia m u t u a Q

Xm Reactancia mu tua Q

XR Reactancia por fase de dispersión del Q

rotor

Xs Reactancia por fase propia del esta- Q

tor

i?s Resistencia fase - neutro del estator Q

i?R Resistencia fase - neutro del rotor Q

Us Tensión asignada del motor V

í/sR, t/ss, UsT Tensiones fase-neutro del motor V

X Tiempo p.u.

t Tiempo S

ismax Valor máximo de la corriente de línea A

del conjunto convertidor - motor

VII

SlMBOLOGÍA


X

n

Un

Qo

C02

O m R

S ¿elec

COelec

(O

i ¿mee

fio

Variable auxiliar

Velocidad angular de deslizamiento Rad/s

Velocidad angular del fasor de co- Rad/s

rriente magnetizante del rotor

Velocidad angular del rotor

Velocidad asignada

velocidad asignada

Velocidad asignada del motor

Rad/s

r.p.m.

r.p.m

Rad/s

Velocidad de deslizamiento del m.otor p.u.

Velocidad de giro de ¿nR P-U.

Velocidad de giro eléctrica de rotor Rad/s

Velocidad de giro eléctrica de rotor p.u.

Velocidad de giro mecánica de rotor p.u.

Velocidad de giro mecánica de rotor Rad/s

Velocidad de sincronismo rad/s

VIII

SlMBOLOGÍA


Cleiec Velocidad eléctrica asignada rad/s

Qiuec Velocidad mecánica asignada rad/s

IX

1. PLANTEAMIENTO

Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

1.1 In t roducc ión

Los accionamientos eléctricos regulados con motores asin

cronos han experimentado un desarrollo considerable debi

do al progreso de la electrónica de potencia y al empleo de

nuevas técnicas de control. La utilización de modernos con

vertidores estáticos y equipos de control basados en micro-

procesador se han mostrado imprescindibles para obtener

accionamientos con prestaciones altas. Actualmente se em

plean satisfactoriamente accionamientos con motores asin

cronos en aquellas aplicaciones que tradicionalmente han

estado reservadas a los accionamientos regulados con mo

tores de corriente continua.

Hoy día se realiza regulación de máquinas asincronas

con técnicas de control vectorial. Inicialmente éstas técnicas

se han limitado a copiar las técnicas de regulación utiliza

das para máquinas de corriente continua, pero, desde pron

to han aparecido otras técnicas de control vectorial, concep-

CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

tualmente distintas, que h a n tratado de aprovechar las par

ticularidades de funcionamiento de las máquinas asincro

nas , como son, por ejemplo, sistemas de control directo del

par o sistemas basados en la aplicación de diferentes crite

rios de optimización.

Precisamente, el problema de optimización del funciona

miento de máquinas asincronas constituye el principal te

ma de esta Tesis. Concretaraente, en este trabajo se plantea

el análisis del comportamiento óptimo de u n motor asincro

no de jaula de ardilla, consistente en pasar de u n punto de

velocidad - par a otro en el mínimo tiempo posible sin que

la corriente de estator supere u n valor previamente fijado en

las condiciones de par de carga constante. Dicho análisis se

h a basado en el principio del máximo de Pontriaguin. Al

mismo tiempo se aborda el problema de minimización de

pérdidas eléctricas en el accionamiento, para lo cual se

plantea colocar el motor, al final del régimen transitorio, en

u n punto de funcionamiento próximo al de máximo rendi

miento.

El principio del máximo de Pontriaguin es u n método va-

riacional que obtiene las condiciones necesarias que deben

cumplir las funciones que optimizan u n índice de coste en

CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

u n sistema de control con entradas acotadas. La aplicación

del principio del máximo a las ecuaciones de estado del mo

tor - definidas mediante su modelo de campo orientado -

obtiene los valores de las variables de entrada al motor que

permiten modificar sus variables de estado en el menor

tiempo posible.

El funcionamiento bajo par de carga constante abarca u n

vasto campo de aplicaciones de los accionamientos eléctri

cos, como son, por ejemplo, ascensores, grúas y otros me-

canisraos de transporte, diferentes miáquinas herramientas,

trenes de laminación etc.

Con la brevedad de los transitorios se consigue u n a ma

yor maniobrabilidad y u n a mayor precisión dinámica del

accionamiento, contribuyendo, especialmente si los transi

torios ocurren frecuentemente, a la mejora de las prestacio

nes del accionamiento.

El ahorro de energía es uno de los retos más urgentes a

resolver hoy día. El ahorro de la energía eléctrica consumi

da por los motores eléctricos, especialmente por los motores

asincronos de jau la de ardilla, que son los más extendidos.


h a sido u n a contribución importante a la solución de este

problema.

Uno de los métodos de reducir las pérdidas eléctricas en

accionamientos eléctricos consiste en la medición directa de

la potencia consumida y su minimización en régimen per

manente . En esta tesis se acomete la minimización de las

pérdidas en régimen permanente, proponiéndose si tuar al

motor, al final del régimen transitorio, en el punto de fun

cionamiento en corriente miínima, el cual es fácil de definir

y muy cercano al de máximo rendimiento [12; 38 y 56].

La máxima brevedad de los transitorios permite, además,

u n mayor tiempo de funcionamiento del motor en el régi

men permanente de corriente mínima.

Ha habido varias propuestas dirigidas a combinar el aho

rro de energía con los procesos transitorios rápidos. En [10]

se propone u n sistema de control que, durante el régimen

transitorio, intenta generar el máximo par del motor posible

y, duran te el régim^en permanente, ajusta el flujo del motor

pa ra minimizar las pérdidas en el cobre. Dicho sistema de

control está basado en u n modelo del motor funcionando en

régimen permanente, y por lo tanto, no puede garantizar u n


funcionamiento óptimo durante el régimen transitorio. En

[14] se propone u n sistema de control que contiene dos bu

cles independientes entre sí, uno controla el flujo y el otro la

velocidad. Cada bucle tiene u n regulador PI. Para obtener

u n a buena respuesta transitoria se asigna u n valor elevado

a la constante proporcional de los reguladores PI. El funcio

namiento independiente de ambos bucles no puede garanti

zar u n a respuesta óptima en el tiempo. Para minimizar las

pérdidas en régimen permanente también se ac túa sobre el

flujo mediante u n tanteo de búsqueda basado en el algorit

mo de Fibonacci. En [49] se propone u n sistema de control

que tiende, al comienzo del régimen transitorio, a aumenta r

el flujo del motor has ta su valor asignado, lo que puede re

sultar lento, por la necesidad de vencer la constante de

tiempo electromagnética del rotor, y excesivo, teniendo en

cuenta que luego, si el par permanente no es elevado,

habrá que reducir el flujo nuevamente. Para minimizar las

pérdidas en régimen permanente se propone ajustar el flujo

basándose en u n algoritmo de lógica borrosa.

En resumen, el objetivo principal que se pretende en es

tos trabajos, aunque sin conseguirlo, es acabar lo más rá

pido posible el proceso transitorio del par y la velocidad del


motor. Una vez establecido el régimen permanente estos

autores buscan reducir las pérdidas adecuando el valor del

flujo.

Finalmente, hay trabajos que se han basado en la Teoría

del Control Óptimo de Pontriaguin para alcanzar la veloci

dad deseada en el menor tiempo posible. En [20] se mantie

ne el flujo constante y actúa sobre la componente de la co

rriente que crea par. Ahora bien, al ser, durante el régimen

transitorio, el flujo constante, modeliza el motor como un

sistema lineal de segundo orden. En [43, 44, 45, 46 y 47] se

trata de aplicar la teoría del control óptimo de Pontriaguin

actuando conjuntamente sobre el flujo y el par.

En ninguno de los citados trabajos se plantea situar al

motor, al final del proceso transitorio, en un punto próximo

al de rendimiento óptimo, por lo que sería necesario un

tiempo adicional para llegar a él que podría durar, si se pre

tende hacerlo sin alterar el par y velocidad, varios segundos

(de 12 a 15 segundos en [49]). Durante todo el tiempo, que

incluye el proceso transitorio de par - velocidad en sí y la

"peregrinación" del motor, durante el régimen permanente,

en busca del punto de máximo rendimiento, se siguen pro

duciendo pérdidas adicionales; de hecho, este es el auténti-


co tiempo que dura el proceso transitorio, de modo que el

planteamiento propuesto en los trabajos citados no resuelve

el problema de reducción de pérdidas en régimen perma

nente junto con procesos transitorios rápidos.

El planteamiento que se propone en esta tesis estriba

precisamente en no separar la regulación del par y veloci

dad de las demás variables y conseguir que el tiempo de

traslado de un punto de funcionamiento con máximo ren

dimiento a otro sea, en estas condiciones, el mínimo posi

ble, contando lógicamente con las limitaciones que impone

la corriente máxima admisible por el accionamiento.

En [38] se ha realizado el trabajo propuesto en esta tesis

para pares de carga del tipo cuadrático.

1.2 Estructura de la tesis

La tesis se estructura en varios capítulos. En el capítulo dos

se obtienen, en valores por unidad, las ecuaciones diferen

ciales que definen el comportamiento de un motor asincro

no de jaula de ardilla alimentado con una fuente de corrien

te. También se estudia la condición de corriente mínima. La

obtención de las ecuaciones del motor y sus variables en

7

CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

valores por unidad nos va a permitir abstraemos de un ac

cionamiento o motor concreto.

En el capítulo tres se aplica la Teoría del Control Óptimo

de Pontriaguin a las ecuaciones de estado del motor, obte

niéndose las condiciones para modificar las variables de

estado en el menor tiempo posible. Se obtiene además, para

el caso de par de carga constante, la solución analítica al

problema de optimización planteado.

En el capítulo cuatro se estudia el comportamiento del

motor en vacío, obteniéndose las condiciones para acelerar

lo o frenarlo, con par de carga nulo, en el menor tiempo po

sible.

En el capítulo cinco se obtiene la forma de acelerar o

desacelerar el motor en el menor tiempo posible y bajo el

par de carga constante.

En el capítulo seis se estudia cómo restablecer la veloci

dad del motor, también de la forma más rápida posible,

frente a un escalón de par de carga.

En el capítulo siete se presenta un sistema de control de

velocidad que, bajo las condiciones estudiadas en los capí-

8

CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN D E LA TESIS

tulos cuatro a seis, obtiene una respuesta óptima en el

tiempo llevando al motor al punto de corriente mínima.

En el capítulo ocho se presentan las conclusiones y apor

taciones de la tesis y se sugieren posibles líneas de investi

gación que se pueden abrir a partir de este trabajo.

2 . E C U A C I O N E S DEL MOTOR

ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN

VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN

DE LOS ESTADOS DE MlNIMA

CORRIENTE O DE MÁXIMO

PAR/AMPERIO

2.1 Introducción

Un control de velocidad con altas prestaciones tiene que

funcionar satisfactoriamente no sólo en régimen permanen

te, sino también en régimen transitorio. El sistema de con

trol debe apoyarse en un modelo del motor que contemple

su funcionamiento en régimen dinámico.

El modelo que se emplea en esta Tesis tiene en cuenta los

valores instantáneos de las diferentes magnitudes electro

magnéticas y mecánicas que intervienen en el funciona

miento del motor asincrono de jaula de ardilla.

11

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR

UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

Para definir dicho modelo nos hemos basado en los faso-

res espaciales. El empleo de éstos permite: una formulación

más compacta de las ecuaciones y su manipulación más

sencilla, realizar gráficos más fáciles de interpretar y, a me

nudo, un desarrollo más lógico y directo de conceptos. Los

fasores espaciales se definen asociándolos a las diferentes

magnitudes electromagnéticas del motor (tensiones,

corrientes, flujos magnéticos, etc).

El modelo matemático del motor asincrono de jaula de

ardilla queda pues definido en las siguientes ecuaciones

diferenciales:

• Ecuación de tensión del estator referida al sistema de

coordenadas del estator:

RsIs^Ls^ + Lofl{kd^)-Us. (2-1)

• Ecuación de tensión del rotor referida al sistema de

coordenadas del rotor:

i?R & + Í R - ^ + io ^ (h e-J ^) = O. (2-2)

12



• Ecuación de la dinámica referida al sistema de

coordenadas del estator:

J - j j - = M n , e c - M c = 3LopImUs(jRe/£) J - Me- (2-3)

La definición de las variables utilizadas se encuentra en el

capítulo de simbología.

En un motor asincrono polifásico de jaula de ardilla, sin

neutro de retorno en los devanados, cada fasor espacial se

corresponde de forma unívoca con dos variables indepen

dientes y por lo tanto es bidimensional, colocándose todos

ellos en un plano perpendicular al eje del motor.

Para determinar las coordenadas de estos fasores se em

plea un sistema de referencia que tiene su origen en el eje

del motor y es perpendicular a éste. La elección de un sis

tema de referencia u otro cambia el aspecto de las ecuacio

nes diferenciales del modelo dinámico del motor asincrono

de jaula de ardilla

Definiendo el fasor de corriente magnetizante /mR del rotor

como

LiR = / s + (1 + CTR) de= /^R e/p

13



y considerando un sistema de coordenadas ortogonal en el

que el eje de abscisas, o eje d, coincide con el fasor ¿nR y el

eje de ordenadas, o eje q, está adelantado jt/2, las ecuacio

nes (2-1) a (2-3) pasan a ser, en las coordenadas d-q:

• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje

d:

Tso ¿^ +Isd-

= - ^ - ( l -a ) ^ (Jsd - /mR) + CT Ts ílniR ^Sq- (2-4)

• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje

d 4 át • ^ q

_ - - ' S q ^ j _

Usa = -^-(l-o)Tsn^ImR-oTsnraRhd- (2-5)

• Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje

d:

d JmR ^R jj f = -fed - 4iR- (2-6)

14


UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

• Ecuación de tensión de rotor proyectada sobre el eje q:

A f~ êlec "*• T^ T ^~ íêlec ^ ^ 2 - (2-7) '^ >• •'R -"mR

• Ecuación de la dinámica del motor:

J - ^ J - = M n , e c - M c . (2-8)

El par mecánico del motor es

2 Mnec = 3" P -í« (1-Cf) 4iR -feq = ^ 4iR 4q , (2-9)

y la velocidad del rotor:

d s j , — iiglec ~ P "mee- (-^"ÛJ

En la figura 2-1 se muest ra u n a posible posición recíproca

momentánea de los ejes del estator y del rotor y de los faso-

res espaciales de la corriente de estator /s y de la corriente

¿nR. Los ángulos eléctricos del fasor /s respecto de los siste

mas de referencia d-q (definido por ínR) y a-b (definido por

el estator) son 5 y ( respectivamente. Los ángulos eléctricos

15

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR


8 y p indican, respectivamente, la posición de los ejes del

rotor e 7mR respecto el estator.

Á^ \6

Te

y

^ -mR

r

\ Sq

4d

Eje Estator

Figura 2-1

En el caso de alimentar al motor con una fuente de corrien

te se simplifica notablemente el modelo de éste, quedando

su comportamiento definido con las ecuaciones (2-6) a

(2-10). El número de variables de.estado, que definen el

comportamiento del motor, se reduce a dos, la corriente

magnetizante del rotor /mR T la velocidad de giro del rotor

O. Las ecuaciones de estado, que definen el comporta

miento de /mR y íímeo son la (2-6) y la (2-8) respectivamente.

16


UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MINIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

2.2 Obtenc ión de l a s ecuac iones del moto r a l imen

tado por u n a fuente de corr iente en valores por

u n i d a d .

En este apartado se obtienen las variables y expresiones

que definen el modelo dinámico del motor asíncrono de jau

la de ardilla en valores por unidad (p.u.), ello perraite:

1. Simplificar las ecuaciones y por lo tanto el análisis de

las mismas.

2. Abstraerse de cualquier accionamiento concreto (mo

tor, convertidor de frecuencia, sistema de transmisión

y mecanismos).

3. Aplicar las conclusiones obtenidas de este modelo a

cualquier accionamiento concreto.

Para obtener las variables en valores por unidad fijamos

para ellas unos valores base que han de ser elegidos del

modo que permita simplificar las ecuaciones, despojándolas

en la medida de lo posible de los parámetros concretos de

un motor o un convertidor y acotando el margen de varia

ción de las variables resultantes.

17

CAPITULO 2 . E C U A C I O N E S D E L MOTOR ASINCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES P O R

UNIDAD y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

Los valores base que escogemos son respectivamente pa

ra el tiempo y para las corrientes, la constante de tiempo

del rotor TR y la mínima de las corrientes máximas que se

asignan al motor y al convertidor /gmax-

Al dividir una magnitud por su correspondiente valor ba

se, se obtiene dicha magnitud en valores por unidad. Así

por ejemplo, el tiempo y la corriente de estator quedan en

valores por unidad:

^ IP--1 = T^ [s]

y

'^ tP-^-1 = isn^ax [AI

Aprovechando estas expresiones se puede presentar las

ecuaciones de estado (2-6) a (2-10) en valores por unidad.

1. Ecuación de tensión del rotor provectada sobre el eje d

Dividiendo oportunamente los términos de la ecuación (2-6)

p o r Jsmax y T R

18


UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MlNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

1 d JmR JmR hd • + •

-'Smax j ( _ t _ | •'Smax •'Smax

se obtiene en valores por unidad

d ¿mR . d T ~ ^Sd - knR,

donde las variables en minúscula lo son en valores por uni

dad, es decir

_ - mR

•'Smax

^Smax

y

Smax

2. Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje q

De la ecuación (2-7) se tiene

19



1

TR TR TR

Definiendo la velocidad eléctrica base como

^elec_BASE "" j - >

se obtiene en valores por unidad

ISq _ «>inR - <f>elec + / " «>elec + « 2 ,

donde

1 d p d p ^^^~ neIec_BASE d í " d x

_ 1 d e ®elec o . _ *^elec j _•

Con la definición adoptada de la velocidad eléctrica base,

los ángulos eléctricos, medidos en radianes, son los mismos

que los medidos en valores por unidad.

20



3. Ecuación de la mecánica

Si al miembro de la parte izquierda de la ecuación (2-8) se le

multiplica y divide por TR y a toda la ecuación se la multi

plica, teniendo en cuenta (2-9), por 2 y se divide por k í^^^^

se tiene

d D ^ e c 1 JmR ho Me

d -^ÍT -'R "- -'Smax -^max ^ - ^ m a x

^^^^ 2 J 2

Si llamamos par base y velocidad mecánica base

respectivamente a

kf M B A S E = - f ^ (2-12)

^R -^BASE ^R ^ 4 m a x "mec_BASE ~ j ~ 2 J '

tenemos que la ecuación (2-11) queda

dco d i

- 2 ¿mR ¿Sq - ' ^ j

21



donde

mee co n •mee BASE

M _k JmR Jsq _

ífeASE -^BASE

-t" '^ -'mK -'sq . . / o 1 0 Í ?^ = T7 = n ü ^ = 2 Z i n R l S q ( 2 - 1 3 )

Me. me Mi BASE

El motivo por el que se elige el par base dado por (2-12) es

obtener u n par del motor máximo 1 p.u. cuando la corriente

de estator es, en régimen permanente, Jsmax.

La relación entre las velocidades eléctrica y mecánica del

rotor en valores por unidad se deduce fácilmente,

i 'elec ~ P '' meo

êlec ^êc_BASE ^ m e c P êlec_BASE íêlec_BASE Q elec_BASE !"'mec_BASE

22



«elec = P 2~J ® = P «•

En valores por unidad, el motor equivalente tiene p' pares

de polos.

Con las variables expresadas en valores por unidad, la

figura 2-1 toma el aspecto de la figura 2-2.

Figura 2-2

En esta figura vemos que el fasor de corriente de estator ¿

se descompone, en el sistema de coordenadas del estator,

en ¿sa e ish- Tomando el sistema de referencia definido por el

fasor de corriente magnetizante de rotor ¿nR, las componen

tes de te son isd e ¿sq. La velocidad eléctrica de giro del eje

23



del rotor es ©eiec, mientras que la velocidad eléctrica de giro

del eje ¿QR es comR.

En la figura 2-3 se mues t ra el primer cuadrante del sis

tema de coordenadas definido por imR. El valor máximo que

alcanza el fasor de corriente de estator fe es 1 p.u. También

se tiene este mismo valor raáximo para sus componentes ¿sd

e teq y para ¿nR. Asimismo observamos que, t ra tándose de

u n sistema de coordenadas basado en el vector ¿IR, la pro

yección de ¿nR sobre sí mismo n u n c a puede ser negativa. En

caso de ¿IR = O, es el vector ÍS el que se convierte en el vec

tor de referencia pa ra el sistema de coordenadas.

De acuerdo con la expresión del par (2-16), la curva de

par constante en las coordenadas (isd (ímR), feq) es u n a hi

pérbola.

Resumiendo, las ecuaciones del motor alimentado con u n a

fuente de corriente son, en valores por unidad:

d ÍmR - ¿ 7 - = f e d - 4 n R , (2-14)

d <o -^=m-mc, (2-15)

24

CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES POR


^max ^

m = l Ejes(t„B,0

Figura 2-3

m- 2 4nR ÍSq (2-16)

de COelec-

25



2.3 Ecuaciones en régimen permanente. Obtención

del pun to de corriente mínima o de máximo

par /amper io .

En este apar tado se obtienen las condiciones en las que el

motor da el máximo par del motor por araperio en régimen

permanente, o lo que es lo mismo, la corriente mínima que

se puede suministrar al motor con u n par dado.

En régim.en perm.anente de giro a velocidad constante las

variables de estado se mantienen constantes, quedando las

ecuaciones de estado (2-14) y (2-15)

- ^ ^ = O : ^ tSd = ImR = Cte

d to „ • ^ = O => 2 imR isq = me = cte.

La expresión general del módulo de ¿

V a ^ 2

26



queda en régimen permanente

k = V 4 R + 4q- (2-17)

Presentando ¿sq = a-imR, las ecuaciones (2-17) y (2-16) que

dan respectivamente

¿s = V w + « ' 4 = I w l V l + a ' (2-18)

y

m = 2 a ¿ R . (2-19)

Si se despeja 4HR de la ecuación anterior, tenemos

W = ±A/-f^. (2-20)

Aunque la corriente de estator imR no puede ser negativa, se

ha optado aquí por tener en cuenta también el signo negati

vo de ella.

Si se sustituye imR, según la expresión (2-20), en la ecua

ción (2-18), se tiene

27



( m ( l + a^)

2 a

Hallando el valor de a que anula la derivada de is respeto de

a, y comprobando que, con dicho valor de a, la segunda de

rivada es positiva, determinaremos la corriente mínima del

estator para u n par dado.

d is ±m (g - l)

indica que is es mínima para m = cte cuando a = ±1, lo que

significa, según la ecuación (2-20),

y al ser feq = a- imR entonces

Como en régimen permanente m = mcy se tiene

4nR = fed = ± ' Y 2 . (2-21)

28

CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES P O R


¿Sq = ± A / " ^ . (2-22)

En la figura 2-4 se muest ran los puntos de funcionamiento

a corriente mínima en régimen permanente. En los cua

drantes I y III el par es positivo, mientras que en los cua

drantes II y IV el par es negativo según indica la ecuación

del par del motor (2-16).

El ángulo

5 = atan -

en régimen permanente es

8 = atan -;—

Para el punto de corriente mínima se tiene 5 = ^ , ~T^, "T~, "~2~"

29


UNIDAD Y O B T E N C I Ó N DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

rrKO m > 0

m>0 m<0

Figura 2-4

30

3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE

CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR

ASÍNCRONO D E JAULA DE ARDILLA

3.1 In t roducc ión

En el capítulo anterior hemos obtenido las ecuaciones de

estado del motor asincrono de jaula de ardilla en valores

por unidad y hemos definido las condiciones que deben

cumplir las corrientes de estator y magnetizante del rotor

para establecer el régimen de corriente mínima.

En este capítulo vamos a definir un procedimiento para

modificar, en el menor tiempo posible, el estado de funcio

namiento del motor asincrono de jaula de ardilla alimenta

do por una fiaente de corriente. Para ello aplicaremos la

Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin a las ecuaciones

de estado del motor.

31

CAPITULO 3 . APUCACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA.

3 .2 P r i n c i p i o d e l m á x i m o d e P o n t r i a g u i n

El principio del máximo de Pontriaguin da u n a s condiciones

necesarias que deben cum.plir las funciones que optimizan

u n índice de coste en los problemas de control con ent radas

acotadas.

Para aplicar este principio es necesario definir, a partir de

las ecuaciones de estado del motor, u n a función Hamilto-

niana. Al buscar el máximo de la Hamiltoniana se obtienen

las expresiones de las entradas al sistema que permiten op

timizar el índice de coste.

En este capitulo obtendremos, con ayuda de la Teoría del

Control Óptimo de Pontriaguin, las trayectorias que deben

seguir las componentes ted e feq de la variable de ent rada is

para, que las variables de estado, ¿nR y (o, se modifiquen en

tiempo mínimo.

1. Ecuación Hamiltoniana. índice de coste y ecuaciones

auxiliares

El índice de coste Ja optimizar es el tiempo, T -TO, empleado

en modificar las variables de estado, es decir:

32

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

/ = / l dT = Ti-xO, (3-1)

xo

donde x es el instante inicial y x el instante final del proce

so transitorio.

Las ecuaciones de estado del raotor alimentado por u n a

fuente de corriente se han obtenido en el capitulo dos y son:

d ¿mRÍ ) ~~^ = ^Sd(x) - ímR(x) (3-2)

^ ^ = 2 4nR(T) feq(x) - me . (3-3)

De (3-1), (3-2) y (3-3), definimos la Hamiltoniana como

H(Ísd(t), feq(x)) =

= 1 + Pi(x)(isd(-t) - 4TIRW) + P 2 ( T ) { 2 isq(x) 4nR(x) - me) , (3-4)

donde piy pz son funciones auxiliares.

La ecuación Hamiltoniana y las funciones auxiliares

cumplen,

33

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

(3-5) S^nRÍt) Sx

5CO(T) dx • ^^^^

Teniendo en cuenta la expresión (3-4), las ecuaciones (3-5)

y (3-6) se transforman en

^ =Pl(x)- i^(T) |^2lsq(x)- ;gT-^

dx d(i}(x)

En esta tesis vamos a suponer que el par de carga es cons

tante, por lo que las dos ecuaciones anteriores quedan

^ ^ = Pl(T)-2p2(T)feq(T) (3-7)

34

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

- ^ = 0 . (3-8)

De (3-8) s e t i ene

P2(x) = Ci = cte, (3-9)

r e s u l t a n d o (3-7)

dpiix) - ^ = PI(T) - 2 Ci ¿sqW . (3-10)

2. Ex t r emo de la H a m i l t o n í a n a

La ecuac ión de la H a m i l t o n i a n a (3-4) co r r e sponde , en el e s

pacio t r i d imens iona l /í(ted,teq), a u n p l a n o inc l inado (si PI(T:),

P2(x) e ¿mR(x) no s o n n u l a s s i m u l t á n e a m e n t e ) y po r lo t a n t o

no t iene ex t remo (ver figura 3-1).

La corriente de estator is está limitada a un valor máximo

de 1 p.u. cumpliéndose

L(-^) + ÍM)<l. (3-11)

La región k < I representa, en el plano H{isd, teq), un cir

culo de radio unidad con el centro en el origen de coorde-

35

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

nadas . Dentro de esta región, la Hamiltoniana (3-4) sí tiene

u n máximo que está si tuado en la frontera de dicha región,

cumpliéndose

%d( ) + IqW = 1- (3-12)

H máxina

Figura 3-1

Despejando ^q de la ecuación anterior

= W feq = i - y 1 - «Sd ,

introduciéndolo en (3-4) y teniendo en cuenta (3-9), se tiene

H = 1 + p i %d - P l ímR± 2 Ci 4 n R ^ l " éd " Q n ^ -

36


JAULA DE ARDILLA

El extremo se obtiene derivando H respecto ¿sd e igualando

la derivada a cero,

• I T

P l = ± 2 Ci ZmR I „ .

Vi-ád

Elevando al cuadrado la ecuación anterior

2 2 ^ ^ ^ 2 ^ d

Pl ^ '-^l hnR , 2 > 1 -^Sd

y despejando ¿sd, se tiene

±Pi ¿Sd = / o 0 3 (3 -13 )

V 2 i 2 C\ IrnR

^ - ^ d - / 2 1^2 • (3-14)

37

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

El extremo será máximo si se exige que la segunda derivada

de H respecto de ísd sea negativa,

d ^ f f - 2 Ci 4nR ^ 7T- = — 3 — < o ,

es decir,

2 Ci 4nR ^ 3 >0-

Sustituyendo la expresión (3-14) de hq en la parte izquierda

de la desigualdad anterior se obtiene que

ijnR debe ser positiva, por tanto las ex

presiones (3-13) y (3-14) quedan

<i = - f T = T = (3-15)

2 Cl ¡mR

^Pi + 4 Cí w

El comportamiento en régimen óptimo del motor está defi

nido por el sistema de ecuaciones diferenciales (3-2), (3-3) y

38


JAULA DE ARDILLA

(3-10) junto con la restricción (3-11). Las expresiones de isá

e ¿sq son respectivamente (3-15) y (3-16).

3 . 3 S o l u c i ó n i m p l í c i t a

Puesto que la variable co no está presente en las ecuacio

nes (3-2) y (3-10), éstas se podrán resolver de forma inde

pendiente de la (3-3).

Sustituyendo (3-15) y (3-16) en (3-2) y (3-10), se tiene

dx VP?(X) + 4 el 4R(T) 4nR( ) (3-17)

= J3I(T:)-—r= j = = • (3-18) d T

Multiplicando la ecuación (3-17) por PI(T), la ecuación (3-18)

por imR(x) y sumándolas resulta

d W(t) ,,^dpM. , , Pi(- ) - 4C^ ¿R(t) ^ ^ ^

39

CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

Multiplicando la ecuación (3-17) por 4Ci4nR> la ecuación

(3-18) por pi y sumándolas se tiene

^ ^ 7 ^ 4C?4nR(x) + ^^Pi(t) = PI(X) - 4C^ 4R(T) . (3-20)

Sustituyendo el numerador de la parte derecha de la ecua

ción (3-19) por su equivalente de la ecuación (3-20) se ob

tiene

operando a continuación resulta

, , , . , , . , , ^ , , 4C 4nR( ) d4nR(T) + Pi(T) dpi(T) P I ( T : ) d lmR(x) + ImR(x) dj9i(T) = , .

El primer sumando es la diferencial de pvimR, mientras que

el segundo sumando es la diferencial de '\/Í3I(T)+4C^IJJJR(X);

por lo que se tiene

d(4nRW Pi(x)) = d(-^p?(T)+4C;¿R(T)).

40

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

Integrando obtenemos la solución implícita

4nR(x) PiW = VAW+4CÍ¿R(T) - K, (3-21)

siendo K la constante de integración.

3.4 Variable auxil iar x

Llam^ando

XW= f ^ (Ci O),

se obtienen nuevas expresiones para las componentes de la

corriente de estator (3-15) y (3-16), para las ecuaciones de

estado (3-2) y (3-3), para la ecuación aiixiliar (3-10), para el

par del motor y para la ecuación implícita (3-21).

Así para la expresión (3-15) de ¿sd se tiene

. - , signo(Ci) X(T) ísd(-c) = / „ ^ = - (3-22)

Para la expresión (3-16) de ¿sq se tiene

41


JAULA DE ARDILLA

. , . signo(Ci) ^R(T) ÍSq(t) = I „ o =^- (3-23)

Vx ( ) - 4R(-Í)

La e c u a c i ó n at ixi l iar (3-10) q u e d a

dj3i(x) 1 1 .

^ ^ = X M - ísq(x). (3-24)

Si e n l a expres ión an t e r io r s u s t i t u i m o s ^q po r s u expres ión

(3-23), t e n e m o s

í ^ = ,W-2MMa. ,3-251 S% ( ) + ímRÍ )

Las e c u a c i o n e s d e e s t ado , (3-2) y (3-3), q u e d a n respec t iva

m e n t e

d 4BR(T) signo(Ci) x(x) . ímR(T), (3-26) d x V ? W + 4RW

doÍT) signo(Ci) 2 4R(t) dT " , / 2, - , 2 , . - ' ^ ' (3-27)

42

CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

siendo el par mecánico interno del motor

signo(Ci} 2 I^R(T) m(x) = 2 kn^(x) q(T) = ¡ ^ ^ - (3-28}

4 X (^) + ZmR(^)

Dividiendo la ecuación (3-21) entre 2-Ci y operando, tene

mos

" ^ 2 C 7 '

r i — 2 — 1 ¿mRÍT;) xW = signo(Ci) '\jx (T) + Z^R(T) - K ^ ^ ,

signo(Ci)4nR(x) XÍT) =A/%^(X) + 4R(X) - K signo(Ci)

2Ci '

signo(Ci)U(x) XW = Vx'(^) + W(^) - C, (3-29)

d o n d e C = K / ( 2 - | C i | ) .

3.5 Análisis de la ecuac ión implíci ta

En este apartado se presenta un estudio de la ecuación im

plícita (3-29). Esta ecuación representa las trayectorias óp-

43


JAULA D E ARDILLA

timas de las variables ¿nR y x en el espacio (¿nR, x)- En la fi

gura 3-2 se representan dichas trayectorias en función del

parámetro C y para Ci positiva.

-2,0

Figura 3-2

En la figura 3-3 se representan estas mismas trayectorias

para Ci negativa.

44


JAULA DE A R D I L L A

Las trayectorias, óptimas o no, de la variable de estado co

dependen del par de carga me (ver (3-3)), y por consiguiente,

las trayectorias en el espacio de estado (¿nR, (o) también de

penden de me. En cambio, la ecuación (3-29) no depende de

771c- Ello nos permite afrontar el estudio del comportamiento

del motor de forma independiente del valor del par de carga

cuando las variables de estado siguen trayectorias óptimas.

Aunque la corriente magnetizante del rotor ¿nR es siempre

positiva o nula, pues define el sistema de referencia de faso-

45


JAULA DE ARDILLA

res espaciales empleado en esta Tesis, se han representado

las trayectorias (únR, x) para ¿QR positiva y negativa, eUo

permite ver el aspecto general de las curvas y entender me

jor su forma.

3.5.1 Clasificación de las trayectorias.

El análisis de las ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-29) permite

clasificar las trayectorias óptimas en tres familias o grupos

principales:

• Grupo I: Trayectorias óptimas pertenecientes al in

tervalo O < C < 0,5.

• Grupo II: Trayectorias óptimas dadas por C > 0,5.

• Grupo III: Trayectorias óptimas dadas por C < O.

Las trayectorias para C = O separan los grupos I y III, mien

tras que las trayectorias para C = 0,5 sirven de separatrices

para los grupos I y II. En las figuras 3-4 y 3-5 se represen

tan, en el plano (úaR, %), las regiones definidas por estos

grupos.

46


J A U L A D E ARDILLA

C^ positiva

Grupo II

Grupo 11

negativa

Figura 3-4 Figura 3-5

3 . 5 . 2 S i m e t r í a s

Las variables ¿nR y x son intercambiables en (3-29), lo que

significa que las curvas ¿nR(x) y x(¿nR) son simétricas respec

to de los ejes % = +¿nR. De modo que los resultados que se

obtienen para x(¿nR) son aplicables a ¿HRÍX)-

3.5.3 Soluciones de la variable auxiliar %.

De la ecuación (3-29) se puede obtener % en función de C,

Ci e imR.

47


JAULA DE ARDILLA

signo(Ci)4nR(-c) XM + C = ^Jx%) + W(^)- (3-30)

Elevando al cuadrado

4R(^) X^(^) + 2 signo(Ci) C i^m x(x) + (f = x^{x) + 4R(^),

agrupando términos en %,

( l - ¿ R W ) X^W - 2 signo(Ci) C imR(T) x(t) = C - ¿R(X),

y multiplicando por [ l - ZmRW), resulta

( l - 4 R W ) ' 1%) - ( l - 4 R M ) 2 signo{Ci) C 4nR(x) X(x) =

( l - w W ) ( c ' - w ( x ) ) .

Sumando {signo{Ci) CwW)^ a las partes derecha e iz

quierda de la ecuación anterior se obtiene un cuadrado per

fecto

({1 - 4 R ( ^ ) ) X(-Í) - signo(Ci) C 4nRW)^ =

= cf 4R(T) + (1 - 4 R W ) { C ' - 4R(-f))-

48


JAULA DE ARDILLA

Tomando la raíz cuadrada

(1 - WW) XÍ-c) - signo(Ci) C 4nR(x) = +^/CR(X) - 4R(T) + &,

y despejando x resulta

, , signo(Ci) C 4nR(T) + ^ / W ( T ) - ¿R(X) + C^ XW = , 2 , , • (3-31)

Esta solución es válida si | feiR| ? 1. En el caso de | ¿nR| = 1,

la ecuación (3-30) queda

signo(Ci) signo(4„R) % + C = A/X^ + 1,

que elevando al cuadrado

X + 2 signo(Ci) signo(4nR) % C + C = x + 1,

y despejando %, obtenemos

l-C" X= signo(Ci) signo(4nR) -2^- (3-32)

Nótese que las expresiones (3-31) y (3-32) son también so

luciones de la ecuación

49


JAULA DE ARDILLA

signo(Ci)4nR(^) X( ) = -•\¡1%) + 4R(^ ) - C- (3-33)

La ecuación (3-33) no se corresponde con solución alguna

de las ecuaciones diferenciales (3-2) y (3-10), y por tanto no

se identifica con trayectoria óptima alguna de las variables

de estado del motor.

De los dos posibles valores de (3-31) u n a s veces se verifi

ca (3-29) y otras (3-33). Hay que diferenciar las soluciones

que corresponden a (3-29) y a (3-33).

3.5.4 Curva frontera

De la expresión (3-31) obtenemos dos posibles valores:

, , signo(Ci) C 4nR(-c) + V4R( -C) - W('^) + ^ X+('c)= , 2 , , (3-34)

1 - ímR(^)

signo(Ci) C 4nR(T) - A / 4 R ( T ) - 4R(-^:) + <^ . , ,_ . XÁV - , 2 , , ' (o-o5)

1 - hnd-^)

donde los subíndices + y — de x indican el signo de la raíz.

50


JAULA DE ARDILLA

En el plano (imR, %) coexisten %+ y %- en sendas regiones

perfectamente separadas, siendo el lugar geométrico que

separa x+ de %- u n a curva frontera si tuada en el límite entre

dos ramas de %. En esta curva, que llamaremos Xfrontera, se

cumple x+ ^ X- = Xfrontera- Paxa obtener este lugar geométrico

se anula el radicando de la ecuación (3-31), se despeja C y

se sustituye en la misma ecuación, es decir:

.4 2 .4 2 -J2

^ _ .4 2

^ ~ ' ^ R " ^ R '

C = ± ^URA/I - 4R-

Como C es real , e n t o n c e s | ¿nR | < 1, y en e s t a región, s e g ú n

se obse rva en l as figuras 3-2 y 3 - 3 , C es posi t iva luego

C = IUlVl-¿R- (3-36)

La ecuación (3-31) queda

_ SÍgno(Ci) C 4nR ,_ _„ . Xfrontera 2 ' io-o /)

1 " W

51


JAULA DE ARDILLA

y s u s t i t u y e n d o (3-36) e n (3-37) se t iene

SÍgno(Ci) | 4nRl \ / l - tgiR W Zfrontera 2

1-W

2 koR

= signo(Ci) signo(4nR) , ^ V ^ R

donde | 4nR I < 1 •

Esta ecuación representa la curva frontera que separa la

región de x+ de la región de x- (ver figuras 3-8 y 3-9).

3.5.5 Regiones de existencia de las variables 4nR y %

Atendiendo a la clasificación hecha en el apartado 3.5.1 te

nemos los rangos de existencia de nR

1. Para las trayectorias pertenecientes al grupo I, Í^R está

A B

acotada por dos valores, I^R y I^R, verificándose ¿nR ^ -B A A B A ímR. -ímR ^ ¿nR < «mR Y «mR ^ ¿nR. E s t O S d o S V a l o r e S , 1 „ R y

B

ZniR, son las raíces del radicando de (3-31), es decir,

52


JAULA DE ARDILLA

tu-\l'-'^ (3-38)

B ^ / I + A / I - 4(f

En estos valores de ¿nR se cumple x+ = X- Las trayecto-A JB

rias óptimas {imR, x) tienen en los puntos Z R y imR tan

gente vertical. Los rangos de existencia de I^R y I^R son

0 < 4 R < 1 / V 2 < W ^ 1 -

Las figura 3-6 muestra, para Ci positiva, una trayec-A B

toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.

Las figura 3-7 muestra, para Ci negativa, una trayec-A B

toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.

2. Para las trayectorias pertenecientes al grupo II (C >

0,5) icnR existe para Ci > O y para la rama inferior en el

rango de -1 a co y para la rama superior en el rango de

-00 a 1, para Ci < O Í^R existe para la rama superior en

53


JAULA DE ARDILLA

el rango de -1 a co y para la rama inferior en el rango

de -co a 1

Cj positiva

Figura 3-6

3. Para las trayectorias pertenecientes al grupo III (C < O)

el rango de existencia de ímR es | w l > 1-

54


JAULA DE ARDILLA

Tal y como se h a dicho anteriormente, por simetría de la

ecuación implícita, los intervalos de existencia de la variable

X son análogos a los de la variable Í^R-

aliva

- 2 , 0 - -

Figura 3-7

Analizando las ecuaciones (3-25), (3-26), (3-29) y (3-33) se

obtienen las regiones de existencia de las variable % en fun-

55

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LÁ TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

ción de ¿nR y por tanto las soluciones que verifican (3-29) y

no (3-33).

En la región | ÍOIRI > 1 T para Q positiva son valores váli

dos de (3-31) los siguientes valores de x-

• x+ si 4nR < - 1 ,

• X-SÍ4nR> +1-

Análogamente, para C\ negativa son soluciones válidas

• X- si 4nR < - 1 ,

• X+SÍ4nR>+l-

Los otros posibles valores de 4nR y X no son solución de la

ecuación (3-29), sino de la ecuación (3-33) y por tanto se

desechan.

Tal y como se h a visto, en la región | 4nR I < 1 > son válidos

ambos valores de (3-31).

56



3.5.6 As ín to tas

Todas las trayectorias óptimas, excepto las ramas cerradas

del grupo I, convergen asintóticamente en el infinito, siendo

las asíntotas i^^ = ±ly % = ±1.

3.5.7 Puntos de equilibrio

Los puntos de equilibro son aquellos en los que imR y x. ^ o

varían en el tiempo. Éstos se obtienen anulando las ecua

ciones (3-2) y (3-24), es decir

d ímRÍT) d ^ = O ^ isd(x) = 4nR(T) ( 3 - 4 0 )

^ = 0 = » ^ q ( T ) = x ( T ) . (3-41)

Sustituyendo la expresión (3-22), de ¿sd» en (3-40) se obtiene

signo(Ci) x(x)

4 2 2 = ^ R ( ^ ) - ( 3 - 4 2 )

57


JAULA DE ARDILLA

Análogamente, sustituyendo la expresión (3-23), de kq, en

(3-41), se obtiene

signo(Ci) 4nR(-c)

A/x ( ) + 4R(^)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores entre si, se tiene

^ = % r ^ ^ R ( ^ ) = ±x(x) (3-44)

y sustituyendo el valor anterior en la ecuación (3-42), o en

la (3-43), obtenemos

±signo(Ci) - j ^ = 4nR. (3-45)

De las expresiones (3-44) y (3-45) se obtienen, para Ci > O y

para Ci < O, cuatro combinaciones diferentes de 4nR y <ie X

para los puntos de equilibrio:

W = ±1 /A/2 ;X = ± 1 / > / 2 . (3-46)

Se verifica un punto de equilibrio cuando los valores de

(3-46) anulan las ecuaciones (3-25) y (3-26), es decir, los

58


JAULA DE ARDILLA

puntos de equilibrio son ¿mR "^ % ^ ± 1 / v ^ para Ci > O y 4nR ~

-% = ±\/'\¡2 para Q < 0. En ambos casos C = 0,5; C se ha

obtenido susti tuyendo los valores de ¿nR y x en (3-29). Otro

punto de equilibrio es la solución trivial ¿nR = x = O-

En la figura 3-8 se mues t ra para Ci positiva el aspecto de

las trayectorias (¿nR, x)-

Curva Frontera

Curva Frontera

Figura 3-8

59


JAULA DE ARDILLA

Las asíntotas son |ímRl = 1 y Ixl "^1- También se m u e s t r a n

las separatrices ( C = O y C = 0,5), la curva frontera, y los

puntos de equilibrio.

En la figuras 3-9 se muestran las mismas trayectorias

para Ci negativa.

Curva Frontera

Curva Frontera

Figura 3-9

60


JAULA DE ARDILLA

3.6 Curvas par del motor - corriente magnetizante

del rotor

En este apartado se analizan las trayectorias del par del

motor m{ímR) cuando las variables de estado siguen una tra

yectoria óptima según las ecuaciones (3-25), (3-26), (3-27) y

(3-28).

Las trayectorias que se muestran sólo abarcan el rango O

< U < 1.

3.6.1 Curvas m(¿nR) para las trayectorias óptimas

del grupo I.

En la figura 3-10 se muestran las curvas (4nR, m) para las

trayectorias del grupo I y para Ci positiva. También se

muestra la evolución del par del motor si las variables imR y

X siguen la curva frontera. En la figura 3-11 se muestran

estas mismas trayectorias para Ci negativa

Observamos que hay trayectorias que parten del origen

4nR = O y m = O, son cerradas y terminan en el origen; co

rresponden a las ramas cerradas del grupo I (ver figuras 3-8

61


JAULA DE ARDILLA

y 3-9). Las trayectorias que terminan en ¿mR = 1 y m = O

corresponden a las ramas abiertas del grupo. También se

muestra la evolución del par cuando 4nR y x siguen la sepa-

ratriz C = 0,5. Las flechas indican el sentido en el que se

recorren las trayectorias para x creciente.

0,2 0,4 0,6 0.8 1 •¿mR

Figura 3-10

62


JAULA DE ARDILLA

Figura 3-11

3.6.2 Curvas m(¿nR) para las trayectorias óptimas

del grupo II.

En la figura 3-12 se mues t ran las curvas (imR, m) para las

trayectorias del grupo II y Ci positiva. También se mues t ra

la evolución del par del motor si ¿nR y x siguen la curva

frontera y la separatriz C = 0,5. Tal y como se h a dicho, fi

jado C y para -1 < ¿nR < 1, cada uno de los dos posibles va

lores de X, x+ y X-? fíj^ u n a trayectoria para el par.

63

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

Las flechas indican el sentido en que se recorren las tra

yectorias para x creciente.

m 2

1,5

0,5--

n

{c)x±

Curva frontera (C=0,5) \ ^

- ^ - ' ^ ^ l ^ 1 (1.1)£

y///

(0,7)X^ "ló^sbcr

''(i.3)xr' -1

^y^ "^y^

^ ^ > //•^y y4y 4-

\ c . \

H - ^ . o 0,2 0,4 0,6 0,8 1 imR

Figura 3-12

Análogamente, en la figura 3-13 se presenta el aspecto de

las trayectorias óptimas del par del motor m. = f(4nR, Q para

C\ negativa.

64


JAULA DE ARDILLA

o 0,2 0,4 0,6 0,8 l ' imR

Figura 3-13

3.7 Trayectorias óptimas en función del tiempo de

la corriente magnetizante del rotor, de la velocidad

con par de carga nulo y del par del motor.

En este apartado se muestran las trayectorias óptimas de

las variables de estado y del par del motor, todas en función

del tiempo. Estas trayectorias se obtienen resolviendo las

65


JAULA DE ARDILLA

ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-27) jun to con la expresión del

par (3-28).

El rango de la comente magnetizante del rotor es O < Í^R

< 1. Las gráficas de la velocidad muestran el incremento de

ésta durante el régimen óptimo y con par de carga nulo.

3.7.1 Trayectorias del grupo I. Ramas cerradas.

Las figuras 3-14, 3-15 y 3-16 mues t ran las trayectorias óp

t imas, correspondientes a las ramas cerradas del grupo I y

con Ci positiva, de la corriente magnetizante del rotor, de la

velocidad del motor con par de carga nulo y del par del mo

tor; todas ellas en función del tiempo. Tarabién se mues t ran

las trayectorias óptimas pa ra C = 0,5.

Los valores iniciales de las variables de estado (en el ins

tante xO) son ijuR = O y Aro" = O. De las expresiones (3-22),

(3-23) y (3-28) se tiene respectivamente isd = 1> feq = O y

m° = 0. Según las expresiones (3-34) y (3-35), la variable %

puede tomar dos valores iniciales diferentes; el valor ade-

66


JAULA DE ARDILLA

cuado es el dado por (3-34), pues hace que Í^R vaya a valo

res positivos.

C=0,5

O 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Figura 3-14

C=0,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Figura 3-15

67

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE tA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Figura 3-16

Al final del proceso óptimo se tienen los siguientes valores

(excepto para la trayectoria C = 0,5): 4nR ~ ^, X = -C, m -O,

.1 . .1 „ %d = - l e isq = o .

Las figuras 3-17, 3-18 y 3-19 muestran estas mismas

trayectorias con Ci negativa.

68


JAULA DE ARDILLA

C=0,5

69


JAULA DE ARDILLA

c n U

0,2-

0,4-

0,6-

0,8-

1,0-

1.2-

1,4-

1,6-

) 0 ,1^

. C=

0 |5 ^ S ü ^ 1

= 0 , 2 ^ ^ ^

C=0,3

Ci<0

1.0 1 1

C=0.4

1.5

C=0,45

2,0 1 i

C=0,5

2,5 1 ^ T

Figura 3-19

Análogamente al caso Ci positiva, para Ci negativa tenemos

los siguientes valores iniciales: ímR ~ 0> o> = 0 , isa =-1?

feq = O y " ^ = O' El valor inicial de % se elige también de for

m a que faiR vaya a valores positivos, es decir, el dado por

(3-35)

o XO = X- = - C .

70


JAULA DE ARDILLA

Los valores de las variables al final de este proceso óptimo

(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: 4nR ""O? X "= Q

" ^ = O, 4d = 1 e 4q = 0.

En las figuras 3-14 a 3-19 se observa que imR evoluciona

de idéntica forma tanto para Ci positiva como negativa,

mientras que el incremento de velocidad Acó y el par del mo

tor m cambian de signo.

3.7.2 Trayector ias del g rupo I. R a m a s ab ie r t a s

Las figuras 3-20, 3-21 y 3-22 muestran las trayectorias óp

timas, correspondientes a las ramas abiertas del grupo I y

con Ci positiva, de la corriente magnetizante del rotor, del

incremento de velocidad del motor con par de carga nulo y

del par del motor; todas ellas en ñanción del tiempo.

Los valores iniciales de las variables son I^R = 1 y Aoo = 0.

Según (3-32) se tiene

o o i-cf X =X- = 2 C

71


JAULA DE ARDILLA

1.5

0,5-

roR

C=0 ,1

-C=0 ,45

C=[0 ,1 0,2 0,3 0,4 0 ,45]

1,0 2,0 3,0

Figura 3-20

4,0

3,0-

2,5-

2,0-

1,5-

1,0-

0,5-

n-

Aoj

c= -[0,1

Ci>0

0,2

H —

0,3 0,4 0,45]

_l

C=0,45

C=0.40

C=0,30

C=0,20

C=0,10

\ T

1—^-1,0 2,0 3,0

Figura 3-21

4,0

72


JAULA DE ARDILLA

Figura 3-22

Los valores de las variables al final de este régimen óptimo

(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: ¿mR = 1> X = °0J

^ = o. fed = 1 e zsq = o.

Las figuras 3-23, 3-24 y 3-25 muestran estas mismas

trayectorias con Ci negativa. Análogamente se tiene ZmR ~ 1

y A©° = O y

0^ o_ 1 - cf 1 - X+ - - 2 C •

73


JAULA DE ARDILLA

1,0 2,0 3,0

Figura 3-23

4,0

( n -1

0 . 5 -

1,0-

1,5-

2 , 0 -

2 . 5 -

3 .0 -

) 1,0 2.0

- Ci<0 \ . ,„,^^

- C = [ 0 . 1 0,2 0,3 0,4 0 ,45]

• Au

3.0

C = 0,10

C = 0 , 2 0

C = 0 , 3 0

C = 0,40

C = 0 , 4 5

4,0

T

Figura 3-24

74


JAULA DE ARDILLA

Figura 3-25

Los valores de las variables al final de este régimen óptimo

(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: 4nR = 1» X = -°°»

" ^ = O. 4d = - l e 4q = O.

3 . 7 . 3 T r a y e c t o r i a s d e l a s e p a r a t r i z C = 0 , 5 .

Las figuras 3-14, 3-15 y 3-16 muestran, respectivamente,

las trayectorias óptimas de las variables ^ R , m y ACÓ para C

= 0,5 y Ci = 1. Se parte de (Z^R; X°) = (O; 0,5) y se llega, en

tiempo infinito, a {^¿R; %^) = (1/^/2; l / v ^ ) - Las figuras 3-17,

3-18 y 3-19 mues t ran esta misma trayectoria para Ci nega-

75

CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

tiva, se parte de (£,R; X°) = (0; -0,5) y se llega a ( 4 R ; X^)

(1/V2; - 1 / A / 2 ) .

Las figuras 3-26, 3-27 y 3-28 muest ran, para Ci positiva

y para la r ama de la separatriz que va desde (I^R; X°) =

{ l / \ 2 ; I/V2) has ta (i^ji; %!) = (O; -0,5), análogas trayecto

rias.

Ci>0 i . C=0,5 ímR

0,5

_l 1-

Figura 3-26

Figura 3-27

76


JAULA DE ARDILLA

-co -« r

Figura 3-28

En las figuras 3-29, 3-30 y 3-31 se muest ran dichas trayec

torias para Ci negativa.

0,5

Ci<0 C=0,5

^mR

H h

Figura 3-29

77


JAULA DE ARDILLA

Figura 3-30

- co - * T

Figura 3-31

3.7.4 Trayectorias del grupo 11.

Las figuras 3-32, 3-33 y 3-34 muestran las trayectorias óp

timas, correspondientes a las ramas del grupo II para Ci

78



positiva, de la corriente magnetizante del rotor, del par del

motor y del incremento de velocidad con par de carga nulo;

todas ellas en función del tiempo.

Los valores iniciales de las variables de estado son i^^i ~ O

y Aco° = O. Según las expresiones (3-22), (3-23) y (3-28) se

tiene ig^ = 1, Zgq = O y m° = 0. Según (3-36) se tiene

o o „

i

0,8-

0,7-

0,6-

0,5-

0,4-

0,3-

0,2-

0,1-

n-

/C= Q

1

= [0, >0

— h

C=l ,5 . « ^ ^ ^ ^

^ ^ C=0,6

3 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

\ 1 1 1 \ h ^ O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,

Figura 3-32

79


JAULA DE ARDILLA

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

C=Í0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci >0

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

Figura 3-33

0,6--A« C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

Ct >0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

F i g u r a 3 -34

80


JAULA DE ARDILLA

Las figuras 3-35, 3-36 y 3-37 mues t ran estas mismas

trayectorias pero para Ci negativa. En este caso tenemos los

siguientes valores iniciales: I¡J,R = O, Acó = O, Zsd = 1, sq = O Y

m° = O. Según (3-35) se tiene i = X- = -C

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

^mR C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci <0

C=l,5

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1

Figura 3-35

Se observa en las figuras 3-32 a 3-37 que 4nR evoluciona de

la misma forma tanto para Ci positiva como para Ci negati

va, mientras que el incremento de velocidad Acó y el par del

miotor m cambian de signo.

81


JAULA DE ARDILLA

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

-0,7--C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1.3 1,4 1,5]

Figura 3-36

0 -

- 0 , 1 -

- 0 , 2 -

- 0 , 3 -

- 0 . 4 -

- 0 , 5 -

- 0 , 6 -

- 0 , 7 -

- a c= C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

Figura 3-37

82


JAULA DE ARDILLA

Las figuras 3-38, 3-39 y 3-40 muestran respectivamente el

aspecto de las trayectorias óptimas de la corriente magneti

zante del rotor, del par del motor y del incremento de velo

cidad con par de carga nulo; todas ellas en función del

tiempo. Estas trayectorias óptimas corresponden a las ra

mas del grupo II para Ci positiva e 4IR decreciente.

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

O O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 3-38

Los valores iniciales de las variables de estado son Z R =

1/^/2 y A© = O. De la ecuación (3-35) se tiene

n

""%5~- .

_. \

--

--

C=[0,6

a >o

C = l , 5

H 1

0,7

—H-

0,8

h

0,9

C=

1,0

0,6

H - ^

1,1 1,3 1,3 1,4

f —

1,5]

T 1 >

83


JAULA DE ARDILIA

0^ o _ l•C•l/^/2-^/(l/^/2)'^-(l/^/2)^+C^ '^ '^ 1 - {\¡^f

= yj2-C - 2-Vc^ - 1/4.

C=[0,6 0.7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

O 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 3-39

84


JAULA DE ARDILLA

'^'^ C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1.5] C, >0

O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0.6 0.7 0,8 0.9

Figura 3-40

Las figuras 3-41, 3-42 y 3-43 mues t ran estas mismas tra

yectorias, pero para Ci negativa. Los valores iniciales de las

variables de estado, de las componentes de la corriente de

estator y del par del motor son los mismos que para Ci po

sitiva. De la ecuación (3-34) se tiene

X ° = xl = V2-C + 2-\¡Cf- 1/4.

85

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

0 ,8 -

0 ,7 -

0 .6-

0 ,5 -

0 , 4 -

0 , 3 -

0 , 2 -

0 , 1 -

n-

C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci <0

^ ^ ^ Í X \ ^ \ . C=0,6

C=l,5 ^ ^ X \ \

1 1 1— 1 1 ^ ^ ^ > -F:== 1-^ O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 O,'

Figura 3-41

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 .0,6 0,7 0,8 0,9

C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

Figura 3-42

86


JAULA DE ARDILLA

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

-0,1

-0,2--

-0,4

-0,4

-0,5-1-

-0,6

-0,7-F

Ci <0

C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]

Figura 3-43

Sirven las mismas observaciones que las comentadas al fi

nal del apartado 3.7.1.

3 . 8 S u p e r f i c i e s 4d = f(4nR, x). feq = f (W, X)Y rn= f ( w ,

X)

En este apartado se presentan las superficies ÍSA = f(4nR> j),

¿sq = f(4nR, X) y "T- = f(4nR, X)J con C\ positiva, quc mues t ran la

dependencia recíproca de las variables.

87



-1 O

Figura 3-44

- 0 , 5 - 1 0

Figura 3-45

88

CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LATEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

89

4 . P R O C E S O S DE

ACELERACIÓN / DESACELERACIÓN

ÓPTIMOS DEL ACCIONAMIENTO

ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO

4.1 Introducción

En el capítulo anterior hemos obtenido, con ayuda de la

Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, las trayectorias

que deben seguir las variables de estado para modificar su

valor en tierapo mínimo.

En este capítulo se obtiene un procedimiento para que el

motor acelere, o desacelere, en tiempo mínimo, desde un

estado inicial de régimen permanente de corriente mínima,

hasta uno final también permanente y de corriente mínima.

El par de carga se mantendrá nulo durante todo el proceso.

Durante estos procesos las variables de estado deberán

seguir la trayectoria óptima adecuada.

91

CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL

ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO

4 . 2 E s t a d o d e r é g i m e n p e r m a n e n t e d e c o r r i e n t e

m í n i m a c o n p a r d e c a r g a n u l o

Decimos que el régimen permanente es de corriente mínima

cuando la corriente magnetizante del rotor y las componen

tes de la corriente de estator valen, según (2-21) y (2-22):

= 4nR=AJ" ¿Sd= 4nR=A/~0~ (''•-I)

/1 mol isq = signo(mc) \ ¡ ^ ~ • " " ^

Se h a tenido en cuenta, además, que imR es siempre positiva

o nula.

En el caso de par de carga nulo se tiene

^d = feq = 4nR = O, (4-3)

es decir, en ausencia de par de carga se obtiene el régimen

permanente de corriente mínima con u n a corriente de esta

tor nula.

92



4.3 Aceleración y desaceleración óptimas en vacío

Definimos como régimen transitorio óptimo a aquél que tie

ne lugar cuando las variables de estado siguen una trayec

toria óptima.

De la expresión (3-27), y teniendo en cuenta me = O, te

nemos

d(o(x) . 2 ¿R(T)

El motor acelera cuando Ci es positiva y desacelera cuando

Ci es negativa 1. De (3-28) vemos que la constante Q y el

par del motor m tienen el mismo signo.

1 Se ha considerado, una vez fijado © > O para uno de los sentidos de

giro, la aceleración deo/dx positiva cuando és ta contribuya al aumento

de la velocidad en sentido positivo y la desaceleración en el caso contra

rio.

93

CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


A continuación deduciremos la familia de trayectorias

óptimas con las que se obtiene aceleración y desaceleración

óptima en vacío.

Por u n lado observamos que los valores de ¿mR en x° y x

son ijnR = itjiR ^ 0 > y poi* otro, observamos en las figuras 3-8

y 3-9 que las únicas trayectorias en las que imR "= 4nR " son

las ramas cerradas del grupo I. El resto de las familias no

sirven para realizar estos procesos, pues las ramas abiertas

del grupo I y el grupo III no contienen el valor ^IR = O, mien

tras que las trayectorias del grupo II contienen el valor imR =

O en u n único punto .

La trayectoria óptima de x comienza con el valor x' y ter

mina Gon el valor x^- X° se obtiene de la expresión (3-31),

esta es

2 Emplearemos los superíndices O y 1 en las variables para indicar el

valor de éstas en los instantes inicial y final del proceso transitorio res

pectivamente.

94



signo(Ci) imRC± - \ / 4 R - ¿ R + C^ X = ^ 2" • (4-5)

Sustituyendo I^R == O en la expresión anterior tenemos

X° = ±'V? = ±|C1.

La constante C es siempre positiva cuando Í^R es nu la (ver

figuras 3-6 y 3-7), por lo que la expresión anterior queda

X° = ±C. (4-6)

Debido a que ¿HR > O se debe elegir, para Ci positiva, x* ~ C

y para Ci negativa, x° = -C, resultando de forma general

X° = signo(Ci) C. (4-7)

Aceleración óptima en vacio

En la figura 4-1 se presenta el espacio de estado para la

aceleración óptima en vacío (Ci positiva y las ramas cerra

das del grupo I de trayectorias óptimas).

95



Este espacio de estado se h a obtenido combinando las

ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones

(3-22) y (3-23). Obseivamos que con diferentes trayectorias

óptimas se alcanzan diferentes incrementos de velocidades,

y además que éstas son mayores según lo sea C.

J

2-

1,5-

1-

0,5-

n-

Aco = cj —cj°

C=0,45

C=0,4

C=0,35 ^~~^

C=0,3 """"""""-^^ _ £ s 5 ^ 2 5 "" ~ - \ )

1

C=0.5

1 0,2 0,4

Figura 4-1

0.6 "mR

En la figura 4-2 se mues t ran las curvas del par del motor

m, en función de ¿nR, cuando se efectúa u n a aceleración óp

t ima en vacío. Estas curvas se h a n obtenido al sust i tuir (3-

96



29) en (3-28). El sentido de recorrido de las curvas está in

dicado con flechas.

1,2-

0,8-

0.6-

0,4-

0,2-

n-

m

C= =0,1

c=

C = 0 , 4 /

C=0,3 / / /

=0,2 /// / y*

i 1 1

C=0,5 / ^

1 1 H

1

\^ l - i -

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.

Figura 4-2

Observamos en la figura que, fijado ¿nR en cualquiera de

estas trayectorias, el par del motor en la rama ascendente

de ¿nR es menor que en la raraa descendente. Esto es debido

a que ¿nR es una corriente "lenta", pues su comportamiento

está regido por la ecuación (2-14). Podemos decir que ¿nR

"sigue" a isd, es decir, si ¿nR está creciendo, es porque ¿d es

tá siendo mayor que ¿nR, y si ¿HR está decreciendo, es porque

97



isd está siendo menor que ¿nR. En la rama en la que ¿nR dis

minuye, isd será menor que en la rama en la que aumenta .

Como I isql = ^j^-^d) resul ta que isq, será mayor en la r ama

descendente de ¿QR que en la r a m a ascendente, y según (3-

27), el par también lo será.

En las figuras 4-3 y 4-4 se presenta u n ejemplo de acele

ración óptima en vacío. En la figura 4-3 se mues t ra la evo

lución de la variable auxiliar %, del par del motor m y del

incremento de velocidad Ao, todas en función de ¿nR, cuan

do las variables de estado recorren la trayectoria óptima

dada por Ci positiva y C = 0,45.

Acó y X se h a n obtenido combinando las ecuaciones (2-

14), (2-15) y (3-24) jun to con las expresiones (3-22) y (3-23),

mientras que el par del miotor se h a obtenido de las expre

sión (3-28).

La figura 4-4 mues t ra la evolución, en función del tiem

po, de todas las variables mencionadas.

98

CAPITULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


- 0 , 5 -

Au = cj — oP

Figura 4-3

Desaceleración óptima en vacío

La desaceleración óptima en vacío es u n caso simétrico de

la aceleración, la única diferencia con ésta es el signo de Ci.

En la figura 4-5 se presenta el espacio de estado para la

desaceleración óptima en vacío (Ci negativa y ramas cerra

das del grupo I de trayectorias óptiraas). Este espacio de

99



estado se ha obtenido combinando las ecuaciones (2-14),

(2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y (3-23).

-0 ,5- -

Figura 4-4

Observamos que con diferentes trayectorias óptimas se

consiguen diferentes velocidades finales, y además que és

tas son mayores en valor absoluto según lo sea C.

100



Figura 4-5

En la figura 4-6 se muestran las curvas del par del motor

m, en función de ¿mR, cuando las variables de estado reco

rren, para Ci negativa, las ramas cerradas del grupo I de

trayectorias óptimas. Estas curvas se han obtenido al susti

tuir (3-29) en (3-28). El sentido de recorrido de las variables

está indicado con flechas.

Se observa que para una misma trayectoria m(ímR) el par

es menor en valor absoluto para una misma corriente 4nR

cuando esta crece que cuando decrece.

101



O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 -

0,2-

0,4-

0,6-

0,8-

1,2-

c=

•

^ - 1

0,1 \ ; ^ ^ > \

c=o,2 y^

C=0,3

-1 1

C=0,4 \^

—1 1

\ C=0,5

^

Figura 4-6

En las figuras 4-7 y 4-8 se presenta u n ejemplo de desace

leración óptima en vacío. En la figura 4-7 se mues t ra la evo

lución de la variable auxiliar %, del par del motor m y del

incremento de la velocidad Acó, todas en función de ¿nR,

cuando las variables de estado recorren la trayectoria ópti

ma dada por Ci negativa y C = 0,45. Acó y x se h a n obtenido

combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to con

las expresiones (3-22) y (3-23), mientras que el par del mo

tor se h a obtenido de las expresión (3-28).

102



La figura 4-8 mues t ra la evolución de las mismas varia

bles en función del tiempo.

es-

Figura 4-7

Finalmente observamos que las figuras 4-5 a 4-8 son simé

tricas a las figuras 4-1 a 4-4.

1 0 3



0,5--

- 1 , 5

-0 ,5

- 1 - -

Figura 4-8

4.4 Incremento de velocidad alcanzado en función

deC

Para poder efectuar una aceleración/desaceleración óptima

en vacío que permita alcanzar la nueva velocidad deseada,

hay que fijar previamente el signo de Ci y el valor de C. Se

puede obtener C por interpolación de valores tabulados. La

tabla 4-1 muestra, para cada valor de C, el incremento de

104



velocidad alcanzado en valor absoluto | co - ©o | y el tiempo

empleado x^ - x^.

0,0100

0,0250

0,0500

0,0750

0,1000

0,1250

0,1500

0,1750

0,2000

0,2250

0,2500

0,2750

I col - coo I

0,00031422

0,00196580

0,00789104

0,01786064

0,03202091

0,05058737

0,07385674

0,10222496

0,13621337

0,17650736

0,22401429

0,27995263

Tabla

T1 -XO

4-1

0,03141985

0,07860127

0,15757347

0,23729813

0,31818173

0,40066586

0,48524530

0,57249392

0,66308757

0,75785181

0,85781590

0,96430707

c 0,3000

0,3250

0,3500

0,3750

0,4000

0,4250

0,4500

0,4750

0,4900

0,4990

0,4999

1 ©1 - 0)0 1

0,34599429

0,42450289

0,51895675

0,63476048

0,78097141

0,97455151

1,25350351

1,73874647

2,38604352

4,01595965

5,64467788

xi -x°

1,07909428

1,20462583

1,34445557

1,50405031

1,69251988

1,92686523

2,24511128

2,76817079

3,43742207

5,08022327

6,71021636

En las figuras 4-9 y 4-10 se muestran, dibujados con círcu

los y unidos con rectas, los valores |Aco| y Ax de la tabla

anterior.

105



Icji-w^i

Figura 4-9

Una vez determinada la trayectoria óptima adecuada, hay

que obligar a las variables de estado a que la recorran. Para

ello se actúa sobre las entradas fea e isq según (3-22) y (3-

23). Estas expresiones dependen de Ci, ¿nR y x» Por lo que

106



también se debe resolver la ecuación diferencial auxiliar (3-

24).

0,1 0,2 0,3 0,4

Figura 4-10

0,5

4.5 Comparación de las trayectorias obtenidas con

otros posibles caminos óptimos

La Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin aplicada a las

ecuaciones de estado del motor de inducción nos ha facili

to?

CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELEÍÍACIÓN/DESACELERA.CIÓN ÓPTIMOS DEL


tado las trayectorias óptimas para las variables de estado y

la forma de recorrerlas.

Puesto que las trayectorias aportadas por la aplicación de

la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin no son necesa

riamente las óptimas, cabe preguntarse si existen otros ca

minos alternativos que mejoren el tiempo de respuesta.

La variable aixxiliar x es una variable que no tiene signifi

cado físico alguno. Esta "no existencia física de x" nos per

mite intentar buscar posibles caminos alternativos que res

tablezcan ¿nR a su valor inicial nulo y modifiquen la veloci

dad del motor en un tiempo más corto que el del proceso

óptimo.

Buscaremos estos caminos alternativos "acortando" las

trayectorias óptimas, es decir, "saltando" de un punto a otro

de una misma trayectoria mediante el cambio instantáneo

de X y conservando foíR y ca en el instante de salto.

A los caminos óptimos descritos en los apartados anterio

res, en los que x no varía bruscamente, les llamaremos ca

minos óptimos "continuos en x"- A partir de un camino óp

timo "continuo en x" generaremos una serie de caminos al-

1G8

CAPITULO 4 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


ternativos en los que % "salta", y compararemos entre ellos

los tiempos de respuesta, velocidad final alcanzada, aspecto

de las trayectorias etc.

En u n a trayectoria "continua en %" hay tres valores ca

racterísticos que emplearemos para la generación de los po

sibles caminos "alternativos":

1. Valor máximo alcanzado por la corriente magnetizante

del rotor O fanRmax.

2. Tiempo empleado en el proceso t i - xO.

3. Incremento de velocidad alcanzado | coi-(o° | .

Identificando el camino "continuo en x" por CQ, elegimos va

lores de C > Cb (valores de C menores que Co nunca alcan

zarán la velocidad final obtenida con Co y por tanto se des

echan), y para cada C creamos tres tipos de posibles cami

nos óptimos "alternativos" en los que salta x- Estos son:

1. Las variables de estado siguen u n a trayectoria óptima,

según C, has ta que ¿nR alcanza el valor ¿nRmax, en ese

instante % "salta" y se termina el proceso cuando ¿nR

vuelve a ser nula.

109

CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


2. Las variables de estado siguen una trayectoria óptima,

según C, hasta un instante x^ en el que % "salta". Se

termina el proceso cuando ¿nR vuelve a ser nula. El ins

tante x^ es tal que el tiempo de duración del régimen

transitorio es el mismo que para Cb.

3. Las variables de estado siguen una trayectoria óptima,

según C, hasta un instante x^ en el que % "salta". Se

termina el proceso cuando ¿nR vuelve a ser nula. El ins

tante T es tal que la velocidad final alcanzada es la

misma que la del proceso CQ.

Las comparaciones planteadas, según estos caminos

"alternativos", se limitan a varios casos concretos y no

pueden servir como prueba concluyente de que las

trayectorias óptimas realmente lo sean. No obstante, si

dicha comprobación resulta positiva, nos afianza en la

seguridad de que realmente lo son.

A continuación se muestran estas comparaciones con Co

= 0,3 y sólo para el proceso de aceleración, pues el proceso

de desaceleración es completamente simétrico.

IIG



4.5.1 Posibles caminos óptimos con igual corriente

magnetizante del rotor máxima

Este criterio consiste en que todos los procesos "alternati

vos" alcancen la misma corriente magnetizante del rotor

máxima que la del proceso "continuo".

En la figura 4-11 se muest ran, en el espacio (¿nR, x) los

caminos obtenidos con Co = 0,3 y con C = {0,5; 0,7; 0,9; 1,0;

1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se han obtenido

combinando las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las ex

presiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de

contorno adecuadas.

El espacio de estado (Aoo, únu) para estos procesos se pre

senta en la figura 4-12. Este espacio de estado se h a obte

nido combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to

con las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones

iniciales y de contomo adecuadas.

Se observa que en los procesos "alternativos" el motor

nunca llega a la velocidad alcanzada en el proceso "conti

nuo".

111



C= 0,3; 0,5; 0.7; 0,9; 1,0; 1,1; 1.3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1

C=2,l

0,1 0,2 0,3

Figura 4-11

0,4

En las figuras 4-13 y 4-14 se presentan estas mismas cur

vas, pero en función del tiempo.

Se observa que, aunque el proceso "continuo" tarda más

tiempo en completarse, la velocidad alcanzada por el motor,

en los tiempos que duran los procesos "alternativos", es

siempre mayor.

112



0,30

0,30

O,as

eso

0,15--

0,10

0,05--

O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

Figura 4-12

En la figura 4-15 se presenta la evolución del par del mo

tor en función del tiempo. El par se h a obtenido combinan

do las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las expresiones

(3-22), (3-23) y (3-28) y con las condiciones iniciales y de

contomo adecuadas .

113



0,35-

0,30-

0,25-

0,20-

0,15-

0,10-

0,05-

0-

i mR

1

/ / ,V\C=0,5

\V^C'=0.'í'

1 |_J^A—

\Q,=0,3

—í 1 — ^

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Figura 4-13

1,2 T

0.4 0,6 0,8

Figura 4-14

114



Cb = 0,3

0,2 0.4 0,6 0.8 1,0

Figura 4-15

1,2 T

Se observa que en los caminos alternativos hay un salto

brusco del par del motor en T^.

4.5.2 Posibles c a m i n o s óp t imos con igual t iempo

de proceso


vos" tarden el mismo tiempo que el proceso "continuo".

115



En la figura 4-16 se muestran, en el espacio (imR, %), los

caminos obtenidos con Cb = 0,3 y con C= {0,5; 0,7; 0,9; 1,1;

1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se han obtenido com

binando las ecuaciones (2-14) y (3-24) junto con las expre

siones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de

contorno adecuadas.

5

4

3

2-^

C=0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1

-f- H- -+- -+- -+-O 0,05 0.10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5

Figura 4-16

El espacio de estado (Acó, ¿ÜR) para estos procesos se presen

ta en la figura 4-17. Este espacio de estado se ha obtenido

116



combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con

las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones inicia

les y de contorno adecuadas.

Se observa que en. el proceso "continuo" el motor alcanza

u n a mayor velocidad y u n menor valor de ¿nRmax que en los

procesos "alternativos".

En las figuras 4-18 y 4-19 se presentan estas mismas

curvas en función del tiempo.

117



0,2 0,4 0,6 0,1

Figura 4-18

1,2

Se observa que la velocidad alcanzada por el motor en el

proceso "continuo" es sierapre mayor.

En la figura 4-20 se presenta la evolución del par del mo

tor en función del tiempo. El par se ha obtenido combinan

do las ecuaciones (2-14) y (3-23) junto con las expresiones

(3-22), (3-23) y (3-28) y con las condiciones iniciales y de

contorno adecuadas.

118



0,4 0,6

Figura 4-19

Figura 4-20

119



Se observa que en los caminos "alternativos" hay u n salto

brusco del par del motor en x^.

4 . 5 . 3 P o s i b l e s c a m i n o s ó p t i m o s c o n i g u a l i n c r e

m e n t o d e v e l o c i d a d


vos" alcancen el mismo incremento de velocidad que el ob

tenido en el proceso "continuo".

En la figura 4-21 se muest ran, en el espacio (¿nR, x)» 1°^

caminos obtenidos con Co = 0,3 y con C = {0,5; 0,7; 0,9; 1,1;

1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se h a n obtenido com

binando las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las expre

siones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de

contorno adecuadas .

El espacio de estado (Aro, ¿nR) para estos procesos se pre

senta en la figura 4-22. Este espacio de estado se h a obte

nido combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to

con las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones

iniciales y de contomo adecuadas .

120

CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


C=0,3 ; 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1

O 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Figura 4-21

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 4-22

121

CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


Se observa que en el proceso "continuo" el motor alcanza un

menor valor de ímRinax que en los procesos "alternativos".

En las figuras 4-23 y 4-24 se presentan estas mismas

curvas en función del tiempo.

0,5 1.0 1,5 2,0

Figura 4-23

Se observa que en los caminos "alternativos" hay un salto

brusco del par del motor en -r .

122



Figura 4-24

1,2 0.9 1.3 1,7 2,1

1,1 1.5 1,9

0,5 1,0 1,5 2,0

Figura 4-25

123



4.6 Conclusiones

En este capítulo hemos presentado u n procedimiento para

acelerar/desacelerar u n motor de inducción en vacío.

Para obtener estos procesos nos hemos apoyado en la

Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, que nos da las

trayectorias de las variables de estado que requieren el me

nor tiempo posible para concluir el proceso transitorio.

En estos procesos, el motor va desde régimen permanen

te de corriente mínima has ta régimen permanente de co

rriente mínima. Durante el régimen transitorio óptimo el

motor se alimenta con corriente limitada.

De todas la trayectorias óptimas posibles, solamente nos

sirven aquellas en las que la corriente magnetizante del ro

tor restablece su valor inicial nulo (pues me = O), es decir,

las ramas cerradas del grupo I de trayectorias óptimas.

Hemos deducido también que la aceleración y desacelera

ción óptimas en vacío son dos procesos completamente si

métricos debidos a diferentes signos de Q .

124



Finalmente nos hemos preguntado si estos procesos son

los que realmente minimizan el tiempo de recorrido de las

variables de estado, pues el principio del máximo de Pon-

triaguin da las condiciones necesarias, pero no suficientes,

de u n a s funciones, con u n a s entradas acotadas, que opti

mizan u n índice de coste.

Para ello hemos buscado unos procesos "alternativos"

también basados en trayectorias óptimas (condición necesa

ria de Pontriaguin).

Se han generado procesos "alternativos" según tres crite

rios. En los procesos "alternativos", según el primero y se

gundo criterios, el motor alcanza u n a velocidad final menor

que en el proceso "continuo". Los procesos "alternativos"

generados con el tercer criterio tienen u n tiempo de res

puesta mucho mayor que el proceso "continuo". Además, en

todos los posibles caminos "alternativos" hay u n salto brus

co del par en el instante T^.

La comparación efectuada entre los procesos óptimos

"continuos" y los "alternativos", y resuelta en todos los ca

sos a favor de los óptimos "continuos", no permite llegar a

las conclusiones definitivas acerca del carácter óptimo de

125



los procesos "continuos", pero nos permite afirmar con más

seguridad que éstos son realmente óptimos.

126

5. P R O C E S O S DE

A C E L E R A C I Ó N / DESACELERACIÓN

ÓPTIMOS DEL ACCIONAMIENTO

ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA

NO NULO

5.1 In t roducción

En el capítulo anterior se han desarrollado unos procesos

para obtener aceleración y desaceleración óptimas en vacío.

En esos procesos el motor, que inicialmente se encuentra

girando en régimen permanente con corriente nula, acelera

o desacelera hasta alcanzar en tiempo mínimo la velocidad

deseada, pasando a continuación instantáneamente al ré

gimen permanente con corriente nula. La corriente de esta

tor siempre está limitada.

En este capítulo se desarrollan los procesos en los que el

motor, sometido a un par de carga constante y no nulo,

acelera o desacelera desde un estado inicial de régimen

127


ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO

permanente de corriente mínima, hasta un estado final,

también de régimen permanente de corriente mínima. El

tiempo que transcurre entre ambos estados - régimen tran

sitorio - es mínimo. A este tipo de procesos los llamaremos

aceleración/desaceleración óptima en carga. La corriente de

estator también está limitada.

5.2 Trayectorias óptimas para la aceleración y des

aceleración en carga

Al seguir las variables de estado trayectorias óptimas, el

tiempo de duración del régimen transitorio óptimo será mí

nimo.

La trayectoria óptima adecuada para este tipo de proce

sos comienza y termina con el mismo valor de la corriente

magnetizante del rotor. Estos dos valores sólo dependen de

me y son, según (2-21),

JO _ .1 _ ^ / ^ R ^ R \ /

\Tnc\ -T^- (5-1)

En las figuras 3-7 y 3-8 se observa que las únicas trayecto

rias que pueden cumplir (5-1) son las mismas ramas cerra-

128



das del grupo I de trayectorias óptimas que se utilizan para

los procesos óptiraos en vacío, pues éstas son las únicas en

las que, al final del régimen transitorio óptimo, la corriente

magnetizante del rotor puede recuperar su valor inicial. En

los instantes inicial y final tenemos i^^ = 4nR > 0.

En la figura 5-1 se muestra , en trazo grueso, el recorrido

de ¿nR y X por u n a de las ramas cerradas x(¿nR) del grupo I

de trayectorias óptimas siendo Ci positiva. Este recorrido

corresponde al régimen transitorio óptimo.

%iRmax

Figura 5-1

129



El recorrido comienza en el punto A(in,R,x°) y termina en el

punto B(itnR> X )- La trayectoria, a la que dicho recorrido per

tenece, se obtiene resolviendo el sistema formado por las

ecuaciones (2-14) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y

(3-23).

El valor inicial %o, necesario para si tuar las corrientes hd

e feq al inicio del régimen transitorio óptimo y para resolver

las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24), se obtiene a partir de

la expresión (3-31), ésta es

signo(Ci) 4nR C ± " \ / W - W + <^ X = 2 • (5-2)

1" W

Sustituyendo 4nR por mR en la expresión anterior se tiene

n sígno(Ci) W C±-\ / (w)^ - (W) ^ + ^ /O = r r : , , J O , 2 • > (5-3)

1- ( W

donde observamos que, fijados C, Z^R y el signo de Ci, se

obtienen dos valores de %", uno está dado con la raíz positi

va y el otro por la raíz negativa. En el caso de Ci positiva se

130

CAPITULO 5. P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


debe elegir para %^ el valor dado con la raíz positiva pues la

trayectoria óptima lleva a valores de 4nR mayores que 1 , , lo

que permite alcanzar i^^ = I^^Í- Por ^^ misma razón, en el

caso de Ci negativa se debe elegir el valor dado con la raíz

negativa, resultando en general

XO = signo(Ci) ^ -^—^ . (5-4)

La trayectoria óptima, a la que pertenece el recorrido entre

A y B (ver figura 5-1), forma parte de una familia de trayec

torias óptimas que, tal y como se ha dicho, permiten alcan

zar el valor final Í^R = imR- Esta familia está definida por la

constante C que obedece a la condición Gnin < C < Gnax. El

límite inferior Gnin se corresponde con una trayectoria que

degenera en un punto A = B, mientras que el límite superior

Cmax se corresponde con la trayectoria de la separatriz C =

0,5.

Gnin se obtiene anulando el radicando de (5-3), es decir

131



Despejando Cmin se tiene

Qnin = ^ / ( W ) ^ ( 1 - ( ¿ R ) ^ ) -

Expresando i^^ mediante me según (5-1), se tiene

^^.^i^rrmy^iHúMi, „.,, En la figura 5-2 se muestra la expresión (5-5). En el eje de

abscisas se sitúa el valor absoluto del par de carga, mien

tras que en el eje de ordenadas se sitúa Gnin. Se observa

que a mayores | me | el rango de C de las trayectorias ópti

mas, que permiten realizar un proceso de aceleración o

desaceleración óptima, disminuye.

Hasta ahora hemos visto que las ramas cerradas del gru

po I de trayectorias óptimas permiten restablecer la corrien

te magnetizante del rotor a su valor inicial. A continuación

vamos a deducir qué condiciones se deben cumplir, ade

más, para obtener aceleración o desaceleración óptimas.

Si sustituimos en la ecuación de estado (2-15) las expre

siones (3-28) y (5-1), que indican respectivamente los valo-

132



res del par motor en régimen transitorio óptimo y del par de

carga en función de ij^^, tenemos

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Figura 5-2

dco(T) signo(Ci) 2 i^^(x) , , ,o ,2 " S T " " —< o o ' - 2 signo(mc) (w)

V x ' w + 4R(-^) (5-6)

Todas las r amas cerradas del grupo I de trayectorias ópti-

2 2

raas están dentro de la región i^^ + % < 1 (ver figuras 3-7,

3-8 y 5-1). Por otro lado, en la figura 5-1 observamos que,

133

CAPITULO 5 . P R O C E S O S D É ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL


durante el régimen transitorio óptimo, se cumple 4nR ^ imR-

Es decir, siempre se verifica

^ m R ^ . , 0 .2

4 2 a ^ ( W ) - (5-7)

X (t) + ímR(^)

Teniendo en cuenta (5-7) en (5-6) vemos que Ci tiene que

ser positiva para que el motor acelere, y negativa para que

desacelere. Este resultado es independiente del signo del

par de carga.

Finalmente observamos en (5-7) que, durante el régimen

transitorio óptimo, el par raotor siempre supera en valor

absoluto al par de carga, es decir | m| > | me | .

Resumiendo, obtenemos aceleración óptima en carga

cuando Ci es positiva y cuando las variables de estado si

guen u n a de las r amas cerradas del grupo I de trayectorias

óptimas que verifican CWi < C < Cmax, y obtenemos la des

aceleración óptima con los mismos valores de C pero con Ci

negativa.

A diferencia de lo que ocurre con la aceleración y

desaceleración óptimas en vacío, que son procesos

completamente sim.étricos donde u n a misma C lleva al



simétricos donde u n a misma C lleva al mismo incremento

de velocidad en valor absoluto, en la aceleración y desacele

ración óptimas en carga se llega a diferentes incrementos de

velocidades en valor absoluto dependiendo de los signos de

me y Ci. Cuando me y Ci tienen signos diferentes se obtiene

u n incremento de velocidad en valor absoluto mayor que

cuando éstos tienen signos iguales, ya que tanto el par mo

tor como el de carga ac túan en el primer caso en el mismo

sentido (ver ecuación (5-5)).

En la figura 5-3 se presenta u n ejemplo de aceleración

óptima mostrándose la variación en función del tiempo de

distintas variables del motor. Se tiene (Ci >0), me = 0,3 y C

= 0,45.

Inicialmente el motor está girando en régimen permanen

te de corriente mínima has ta el instante -c , donde comienza

el régimen transitorio óptimo. El instante x^, final del régi

men transitorio óptimo, ocurre cuando se alcanza la nueva

velocidad deseada y simultáneamente se restablece la co

rriente magnetizante del rotor. En x se restablece instantá

neamente el régimen permanente de corriente mínima.

135



C=0,45 Ci positiva •mc=0,3 p.u

1,0-

0.9-

0,8-

0,7-

0,6

0,5

0,4

0.3-

0,2

0,1

O

-0,1-

-0,2

-0.3

Figura 5-3

Las curvas correspondientes al régimen transitorio ópti

mo se h a n obtenido resolviendo el sistema formado por las

dos ecuaciones de estado (2-14) y (2-15) junto con la ecua

ción a\xxiliar (3-24). Las expresiones de fea, teq y m son (3-

22), (3-23) y (2-16) respectivamente.

Los valores iniciales son I^R = ^\Tnc\¡2 = 0,3873 p.u., x°

= 0,5272 p.u. - ver expresión (5-4) - y Aro = o p.u.

136



El incremento de velocidad alcanzado es Acó = co co' ,0 =

0,6409 p.u., y el tiempo de proceso es AT = x - x = 1^2834

p.u.

Para llevar al motor a la nueva velocidad deseada, se de

be elegir previamente la trayectoria adecuada a través del

signo de Ci y de C. Una forma de obtener C en función de la

velocidad deseada co es con u n a función tabulada.

5 .3 E s p a c i o s d e e s t a d o p a r a d i f e r e n t e s p a r e s d e

c a r g a

En este apartado se mues t ran gráficas del espacio de esta

do, velocidad alcanzada y tiempo del proceso, tanto para la

aceleración como para la desaceleración, para diferentes

pares de carga. El par de carga me va desde 0,1 p.u. a 0,9

p.u. en incrementos de 0,1 p.u.

Según (5-5), los valores de Gnin según me son:

me

Qnin

0,1

0,2179

0,2

0,3000

0,3

0,3571

0,4

0,4000

0,5

0,4330

0,6

0,4583

0,7

0,4770

0,8

0,4899

0,9

0,4975

137

CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓÍPTIMOS DEL


En las figuras 5-4 a 5-12 se presentan los espacios de esta

do para estos procesos de aceleración óptima (Gnin < C <

Gnax). El espacio de estado se obtiene combinando las ecua

ciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-

22) y (3-23).

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Figura 5-4

138



1,8

1,6

1,4--

1,2-

1,0

0,8--

0,6

0,4-f

0,2

O

Acj

me =0,2

Ci >0 Aceleración

C=0,45

C=0,5 ,

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O

Figura 5-5

1,5-

1,0--

0,5

mc=0,3

C\ >0 Aceleración

C=0,465

C=0,5

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O

Figura 5-6

139



1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0.2

O

Acj

m e =0,4 C-[ >0 Aceleración

C=0,48

C=0,46

C=0,44 . ^

C=0,42 \ ^

1 \ 1 1 ' ^

C=0,5

1 h - P-

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Figura 5-7

2,0-

1,5-

1,0--

Ac j

me =0,5

Ci >0 Aceleración

C=0,5

O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8

Figura 5-8

140



1,5-

1,0

0 , 5 -

A c j

me =0,6 Ci >0 Aceleración

C=0,50

C=0,49-

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O

Figura 5-9

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

O

Aw

me =0,7 C-i >0 Aceleración

C=0,495

C=0,490 C=0,485 C=0,480 >

\ 1 1 1 i e

C=0 5

X 1 í)^ ."¿mR

H "• O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,¡

Figura 5-10

141



1,0-

0,8-

0,6

0,4

0,2

Aoj C = 0 , 5

C = 0 , 4 9 9

me =0,8 Cj >0 Aceleración

C=0,490

^ m R

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,

Figura 5-11

0,5-

0,4-

0,3-

0,2-

0,1

O

Acj

mc=0,9 C¡ >0 Aceleración

C=0,5

C=0,4995,^ C=O,499O0 C=0,4980il

-4- ¡4 h ,^mR

O 0,1 0,2 0 ,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Figura 5-12

En la figuras 5-13 a 5-21 se presentan los espacios de esta

do para los procesos de desaceleración óptima.

142



O 0,1 0,2 0 ,3 0 ,4 0,5 0,6 0 ,7

-3,0--

m c = 0 , l Ci <0 Desaceleración

C=0,5

Acj

Figura 5-13

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

-3 ,0 - -

mc=0,2 C] <0 Desace le rac ión

C=0,5

hu

Figura 5-14

143



O O

-0,5

-1,0--

-1.5

- 2 , 0 -

-2,5--

-3,0

-3,5

-4,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 _l q —

Ac j

^mR

C=0.465

mc=0,3 Ci <0 Desaceleración

C=0,5

Figura 5-15

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O

C=0,5

Figura 5-16

144



O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O

-0,5

-1,0

- 1 , 5 -

-2 ,0--

-2 ,5

-3,0

-3 ,5

-4 ,0--

C=0,44

C=0,46

C=0,48

me = 0 , 5

C\ <0 Desaceleración

ImR

C=0,5

Aw

F i g u r a 5 - 1 7

O

-0,5

-1,0--

- 1 , 5 -

- 2 , 0 -

-2,5

-3,0--

-3 ,5- -

-4,0

-4,5-f

-5,0

0,1 0,3 0,3 0,4 0 , 5 ^ 0 , 6 0,7 0 .

C=0,49

me =0,6 Ci <0 Desace le rac ión

^mR

C=0,50 Au

Figura 5-18

145



O O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

-0 ,5- -

-1,0

-1,5

-2,0--

- 2 , 5 -

-3,0

-3,5-t-

-4,0 '

[ 1 1 ^mR

C=0,480

C=0,485

C=0,490

C= 0,495 m e =0,7

Ci <0 Desace le rac ión

Aw C=0,5

O

Figura 5-19

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.

- 1 -

- 2 - -

- 3 - -

-4

- 5

-6

- 7 -

C=0,49 ^mR

C=0,4990

m e =0 .8

Cx <0 D e s a c e l e r a c i ó n

C=0,4999

Acó C=0,5

Figura 5-20

146



O

-0,5-

-1,0-

-1,5

-2,0-

-2,5-

-3,0-

-3,5-

-4,0-

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,£

^mR

C=0,498

me =0,9 C] <0 Desaceleración

C=0,4990

C=0,4995 C=0,5

Aw

Figura 5-21

En la figuras 5-22 y 5-23 se mues t ra el incremento de velo

cidad alcanzado en función de C para la aceleración y de la

desaceleración óptimas.

147



0,50-

0,45-

0,40-

0,35-

0,30-

0,25-

OPO-

C

y V / / ^TTlc'-

(/ / ^ • " ^ c =0,S

/ / \ m c = 0 , 4

/ \ m c = 0 , 3

^ m c = 0 , 2

•^mc=0, l

—1 1 ¥

mc-

=0,6

= 0,7

C i > 0

Aceleración

m c = [ 0 , l .. 0,9]

_l 1 1_ 1 -1 1 ^ O 0,5 0,10 0,15 0,20 0.25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 5-22

- M \

Ci<0

Desaceleración

m c = [ 0 , l .. 0,9]

1 \

m e =0,7 — ^ ^ ^ 5 m e = 0 , 6 — " ^ ^

H

TTlc =0,5 ~Y

m e =0,4

m e = 0 , 3 —

me = 0 , 8 -

m e = 0 , l

—1 1

1 C

\"

+ 0,50

0,45

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20 -14 - 1 2 - 1 0 - 8

Figura 5-23

1 4 8



Estas gráficas se han obtenido resolviendo las ecuaciones

(2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y (3-

23).

En la figura 5-24 se presenta la duración del proceso en

ñinción de C, tanto para la aceleración como para la

desaceleración. Estas gráficas se han obtenido resolviendo

las ecuaciones (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-

22) y (3-23).

7+

6

í ' - í "

Tiempo de régimen t rans i tor io

mc=[0,l .. 0,9]

0,05 0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Figura 5-24

149

C A P I T U L O 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN Ó P T I M O S DEL


Las siguientes tablas muestran, para Wc = [0,1; •••; 0,9], el

tiempo de duración del proceso y el incremento de velocidad

alcanzado para distintos valores de C.

Tabla 5-1

me = 0 ,1

c

0,217945 0,218000

0,225000

0,250000 0,275000

0,300000

0,325000

0,350000

0,375000

0,400000

0,425000

0,450000 0,475000

0,490000

0,499000

T;1-XO

0,000000 0,011163

0,129627

0,300995 0,436225

0,567730

0,704327

0,852021

1,017475

1,210460

1,448376

1,769505 2,294931

2,965406

4,608881

CO 1-0)0

Aceleración 0,000000 0,003750

0,044162

0,108078 0,165505

0,227978

0,299725

0,384708

0,488207

0,618615

0,791346

1,040705 1,475592

2,057022

3,523257

(o^-aP Desaceleración

0,000000 -0,005983

-0,070088

-0,168277 -0,252750

-0,341524

-0,440591

-0,555112

-0,691702

-0,860707

-1,081021

-1,394606 -1,934578

-2,650103

-4,445034

150



Tabla 5-2

mc = 0,2

c 0,300000 0,320000 0,340000

0,360000

0,380000

0,400000

0,420000

0,440000

0,460000

0,480000 0,490000

0,499000

0,499900

T^-TO

0,000000 0,309581 0,470293

0,620531

0,775445

0,944671

1,139304

1,377417

1,697646

2,221200 2,728619

4,373798

6,004019

0)1-0)0

Aceleración

0,000000

0,128187 0,202036

0,277152

0,360838

0,459053

0,579834

0,737178

0,961722

1,350278

1,741553

3,044785

4,347687

©1-0)° Desaceleración

0,000000

-0,252019 -0,390153

-0,525364

-0,671016

-0,836922 -1,035556

-1,288144

-1,640781

-2,238758 -2,833001

-4,794304

-6,749295

151



Tabla 5-3

mc = 0,3

c 0,357071

0,360000

0,370000

0,380000

0,390000

0,400000

0,410000 0,420000

0,430000

0,440000

0,450000

0,460000

0,470000

0,480000

0,490000

0,499000

xi-to

0,000000

0,143396

0,313812

0,435936

0,545931

0,652829 0,761241

0,874626

0,996405

1,130725

1,283432

1,463858

1,689104

1,997154

2,508605

4,157036

(d^-Gp Aceleración 0,000000

0,059669

0,132781

0,187703

0,239390

0,291769

0,347065 0,407170

0,474166

0,550754

0,640888

0,751004

0,893006

1,093431

1,436665

2,577620

(Ú^-GP

Desaceleración 0,000000

-0,145707

-0,321068

-0,449265

-0,566948

-0,683467

-0,803810

-0,931946

-1,072009

-1,229189

-1,410947

-1,629319

-1,906468

-2,291723

-2,941828

-5,071841

152



Tabla 5-4

ntc = 0,4

c 0,400000

0,410000

0,420000 0,430000

0,440000

0,450000

0,460000 0,470000

0,480000

0,490000

0,499000

xi-xO

0,000000

0,350884

0,524237 0,681411

0,840030

1,010753

1,205197 1,441724

1,759079

2,278354

3,932841

coi-coO Aceleración 0,000000

0,142789

0,217278 0,287998

0,362561

0,446244

0,545462 0,670914

0,845649

1,142195

2,121873

co^-afi Desaceleración

0,000000

-0,423496

-0,636667 -0,833127

-1,034585

-1,254846

-1,509619

-1,824293

-2,252912

-2,964878

-5,268145

153



Tabla 5-5

nic = 0 ,5

c 0,433013

0,440000

0,445000

0,450000

0,455000

0,460000

0,465000 0,470000 0,475000

0,480000

0,485000

0,490000

0,495000

0,499900

x^-x°

0,000000

0,377281

0,513026

0,635604

0,754840

0,876143

1,003863 1,142678 1,298741

1,481578

1,708405

2,017249

2,528636

5,315691

oji-coO

Aceleración 0,000000

0,139921

0,192165

0,240577

0,288868

0,339212

0,393500 0,453896

0,523362

0,606580

0,712102

0,858899

1,107202

2,493695

a>i-co°

Desaceleración 0,000000

-0,517202

-0,705190

-0,876182 -1,043708

-1,215356

-1,397363 -1,596574

-1,822102

-2,088158

-2,420507

-2,876148

-3,635838

-7,809386

154



Tabla 5-6

me = 0,6

c

0,458258 0,459000

0,460000

0,463000

0,466000

0,469000

0,472000

0,475000

0,478000

0,481000

0,484000

0,487000 0,490000

0,493000

0,496000

0,499000

xi- o

0,000000 0,157063

0,243092

0,414034

0,547266 0,668442

0,786163

0,905368

1,030043 1,164387

1,313773

1,486213 1,695528

1,970047

2,386898

3,387522

00^-0)°

Aceleración 0,000000 0,049791

0,077229

0,132409

0,176233 0,216824

0,256966

0,298332

0,342346 0,390582

0,445117

0,509106 0,588042 0,693227

0,855491

1,251396

©1-0)°

Desaceleración 0,000000 -0,238267

-0,368940

-0,629250

-0,832952 -1,018954

-1,200362

-1,384774

-1,578398 -1,787847

-2,021644

-2,292562 -2,622676 -3,057284

-3,719768

-5,316423

155



Tabla 5-7

me = 0,7

c

0,476970 0,477000

0,480000

0,481500

0,483000 0,484500

0,486000

0,487500 0,489000 0,490500

0,492000

0,493500 0,495000 0,496500

0,498000

0,499500

T1-XO

0,000000 0,044604

0,469445

0,591113

0,703710 0,813298

0,923620

1,037731 1,158717 1,290280

1,437487

1,608171 1,816006 2,089220

2,504843

3,504174

(O^-GP

Aceleración 0,000000 0,011328

0,120200

0,152013 0,181794 0,211109

0,240951

0,272162 0,305616 0,342391

0,383982

0,432720 0,492692 0,572356

0,694812

0,992442

0)1-0)0

Desaceleración 0,000000 -0,073774

-0,777423

-0,979571 -1,166987 -1,349726

-1,534020

-1,724985 -1,927820 -2,148783

-2,396463

-2,684158 -3,035101 -3,497264

-4,201592

-5,898285

156



Tabla 5-8

me = 0,8

c

0,489898

0,492000

0,495000

0,497000

0,499000

0,499500

0,499900

0,499950

0,499990

0,499995

0,499999

Tl-tO

0,000000

0,637509

1,165548

1,612956

2,459362

2,965093

4,115240

4,606868

5,746113

6,236394

7,374559

CD1-G)°

Aceleración 0,000000 0,115576

0,214337

0,300293

0,466464

0,566879

0,796336

0,894590

1,122383

1,220432

1,448059

oo^-coO

Desaceleración -0,000000 -1,135591

-2,079213

-2,881023

-4,401443

-5,311028

-7,380720

-8,265580

-10,316163

-11,198662

-13,247354

157



Tabla 5-9

mc = 0,9

c

0,497494 0,498000

0,499000

0,499500

0,499900

0,499950

0,499990

0,499995 0,499999

T1-TO

0,000000 0,654194

1,409382

1,983791

3,178514

3,675223

4,818465

5,309245

6,447801

(o^-(ifi

Aceleración 0,000000 0,062374

0,135651

0,192257

0,311129

0,360728

0,474996

0,524067

0,637916

(O^-GP

Desaceleración -0,000000 -1,239924

-2,672539

-3,763081

-6,032458

-6,976129

-9,148232

-10,080708 -12,243957

158

CAPITULO 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS D E L


5.4 C o n c l u s i o n e s

En este capítulo hemos presentado los procesos de acelera

ción y desaceleración óptimas de u n motor asincrono de

jaula de ardilla con u n par de carga constante.

En estos procesos el motor gira desde u n régimen per

manente de corriente miniraa has ta u n régimen permanente

de corriente mínima. Durante el régimen transitorio óptimo,

el motor se alimenta con u n a corriente liraitada a u n valor

prefijado.

Para obtener las trayectorias óptimas de las variables del

motor nos hemos basado en la Teoría del Control Óptimo de

Pontriaguin. Las únicas trayectorias óptimas validas perte

necen a las ramas cerradas del grupo I.

Para obtener aceleración es suficiente que la constante Q

tenga el signo positivo, y para obtener desaceleración Ci

debe ser negativa.

Con un mismo par de carga y una misma constante C, se

obtienen diferentes incrementos de velocidad, en valor ab-

159



soluto, en la aceleración y en la desaceleración, siendo éste

mayor cuando el par motor y el par de carga tienen signos

contrarios. Es decir, la aceleración y la desaceleración óp

t imas en carga no son procesos simétricos.

160

6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO

DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR

FRENTE A UN ESCALÓN DE

PAR DECARGA

6.1 In t roducción

En los dos capítulos anteriores se han estudiado los proce

sos óptimos de aceleración/desaceleración de un motor

asincrono de jaula de ardilla con un par de carga constante.

Durante estos procesos óptimos las variables de estado re

corren trayectorias óptimas.

El objeto del presente capítulo es el estudio de los proce

sos óptimos que restablecerán en el menor tiempo posible el

estado de régimen permanente de corriente mínima cuando

se aplica, o retira, al motor un par de carga constante en

forma de escalón. Para ello, nos basaremos también en la

Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, obligando a las

variables de estado a recorrer las trayectorias óptimas ade-

161

CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A

UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA

cuadas. Los procesos obtenidos en este capítulo los llama

remos óptimos de aplicación de la carga.

Lo primero que haremos en este capítulo es definir con

detalle los procesos óptimos de aplicación de la carga, se

guidamente estudiaremos los distintos casos de aplicación

de la carga que aparecen y finalmente obtendremos las fa

milias de trayectorias óptimas que los resuelven.

6.2 Procesos óptimos de aplicación del par de car

ga

En este tipo de procesos el motor está inicialinente girando

en régimen permanente de corriente mínima con u n par de

carga constante nulo o no nulo. Al aparecer el nuevo par de

carga comienza el régimen transitorio, las variables de esta

do viajan entonces por la trayectoria óptima oportuna has t a

que, simultáneamente, se restablece la velocidad y se al

canza la nueva corriente magnetizante del rotor correspon

diente al régimen de corriente mínima con el nuevo par de

carga.

162

CAPITULO 5 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A


La figura 6-1 mues t ra la evolución del par del motor y del

incremento de velocidad en u n posible proceso de este tipo.

Régimen perm.

Régimen transitorio

Régimen perm.

1

1

m. ='m°~

' ' • 1 .

'^ . . . ^ J J ^

p-1 1

1 ^" ^ ' - * - ^ ' •

m-m^

T

T

Figura 6-1

Observamos en dicha figura que el proceso transitorio óp-

tirao tiene lugar entre los instantes T^ y T^. Antes del instan

te T , y después del instante -u , el motor se encuentra gi

rando en regímenes pennanentes de corriente mínima.

De la ecuación de la mecánica (2-15) se deduce que, al

restablecerse la velocidad, el área neta entre las curvas par

del motor y par de carga (área sombreada en la figura 6-1)

es nula. Por otro lado, de la expresión (3-28), que da el valor

163



del par del motor durante el régimen transitorio, se deduce

que el signo del par del motor no varía. Es decir, durante el

régimen transitorio óptimo, y por consiguiente durante todo

el proceso óptimo de aplicación de la carga, m y me tienen el

mismo signo e invariable. La expresión (3-28) se reproduce

a continuación,

2

m = 2 s i g n o ( C i ) - r = = . • (6-1)

De la ecuación (2-21), que nos da la corriente magnetizante

del rotor en función del par de carga en régimen permanen

te de corriente mínima, tenemos i,

(6-2)

1 Los signos "+" ó "-" que acompañan, en su caso, a los superíndices "O"

y " 1" indican que los valores de las variables marcadas por dichos índi

ces corresponden al ins tante inmediatamente anterior ("-") o inmedia

tamente posterior ("+") al cambio de las variables en los ins tantes "O" o

«1»

164



1 / ?"C

u=\rV-- (6-3)

En las expresiones (6-2) y (6-3) observamos que, si el esca

lón de par de carga cumple | me | > i ^ c I, entonces 4nR > mR

; mientras que si | me | < | m^ \, entonces 4TIR < mR- Al final

del régimen transitorio óptimo la corriente magnetizante del

rotor habrá aumentado o disminuido según lo haya hecho

el valor absoluto del par de carga.

Entonces, sabiendo que m y me tienen el mismo signo

invariable durante el régimen transitorio óptimo y que, al

restablecerse la velocidad, el área neta que forman las cur

vas par del motor y par de carga es nula, podemos adelan

tar en la figura 6-2 el aspecto que adquiere la corriente

magnetizante del rotor y el par del motor durante el régimen

transitorio óptimo de aplicación de la carga.

165



.>

"

|m°i

7

P^ 1 1

" K1< Kl ' ' m ü ^ '•inR

a)

,

T

T

F i g u r a €

.

K l

, _ ^

? ? ^ w - -« í^ 1 " ^

7

5-2

K1>H '

b)

T

T

I

En dicha figura se muestran los dos casos posibles. En el

caso "a" el par de carga ha aumentado en valor absoluto.

Durante el régimen transitorio óptimo la corriente magneti

zante del rotor también habrá aumentado. El valor absoluto

del par del motor tendrá el aspecto que se indica en la figu

ra. En el caso "b" el par de carga habrá disminuido en valor

absoluto. Durante el régimen transitorio óptimo ¿mR también

habrá disminuido. El par del motor tendrá el aspecto indi

cado.

166



Durante los regímenes permanentes el par del motor y el

par de carga son iguales, es decir m(x) = m^ (si x < 1;°) y m(x)

= me (si T > xi). Finalraente observamos en el caso "a" que

I m.o+1 < I me I < I nn}- \ y en el caso "b" que | mP* | > | me | >

I mi-1.

Atendiendo al signo de me durante el régimen transitorio

óptimo y teniendo en cuenta que el signo de m¿ no influye

en dicho régimen, podemos clasificar los procesos óptimos

de aplicación de la carga en cuatro tipos:

1 I o - 1

1. me > I me I

Zona ubicación

7r&-

1--

Figura 6-3

o-, 2. O < me < I me I

1 6 7



Zona ubicacióní

•nVir ,

-rrir

3. me < - |me I

Figura 6-4

Zona

ubicación

,

1-

mg--

- m g - .

- 1 -

.

-771^

T O

T

" " '•u

Figura 6-5

0-4. -1 me I < me < O

168

CAPITULO 5. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A


Z o n a / ^ ubicación/

m o - .

—

mP- J "x 1

- - - 1 -

- - • ^ c

TO

T

m^.

Figura 6-6

Los casos uno y tres son análogos, al igual que los dos y

cuatro, pues sólo se diferencian en el signo del par de carga

me.

6.3 Trayectorias óptimas para el restablecimiento

de la velocidad con el par de carga me > \mc\

Al ser me > \mc\ tenemos Í^R > ZmRj Y como me es positivo,

Ci también lo es.

De las expresiones (6-1) y (5-3) tenemos

|mi-| = 2 (ímR)

•\¡iÍn/ + (xV

169



l"^l = 2 ( 4 R ) •

Al ser I m}- \ > | me | (ver figura 6-2), entonces

En la figura 6-7 se muestra, en el plano {imR, %), la región

donde se encuentran las trayectorias óptimas que resuelven

este tipo de procesos. Dicha región está limitada por:

1. O < ¿nR ^ ' \ / l /2 , pues, por la condición de corriente

míniraa, se tiene 4nR ^^[max{\mc\)/2 .

3. Rama correspondiente a la trayectoria dada por C -

0,5 y X = X-, p u e s i„,R < i„R.

Dentro de esta región, cada pareja (| me I, ^c) fija una úni

ca trayectoria óptima que resuelve un proceso óptimo de

aplicación de la carga.

170



Fijado el par de carga me (y por tanto Í^RIJ Y para todo | rriQ |

tal que O < | m^ \ < me, el conjunto de trayectorias óptimas,

que resuelven u n proceso^ óptimo de aplicación de la carga,

está acotado entre las trayectorias pertenecientes a ciertas

constantes C mínima y máxima, Gnm y Cmax respectivamen

te.

Gnin es el valor en el que se cumple | ruc | = me, es decir,

W ~ 4nR- Trayectorias con valores menores de C no alcan-

171



zan 4nR (ver figura 6-8). Gnín se obtiene anulando el radi

cando de la expresión (3-31),

1 4 J 2 2 ( W ) " ( W ) ••" Qnin ~ O»

Al ser 4nR = VT"^cT72 , tenemos

dn O V - ~ Cmm-^Ml-{l-mcf (6-4)

Gnax es el valor de C cuya trayectoria óptima de imR alcanza

el valor 4nR en la circ-unferencia «mR + x^ = 1 •

1 2 1 2

Sustituyendo (¿mR) + (x ) = 1 en la ecuación (3-29) y te

niendo en cuenta que 4nR > 0>%^ > Oy C i > 0> tenemos

'mR ' X 1 ~ í-max>

Qnax= 1 - ^ 1 - ( 4 R ) - (¿R)"^ .

Al ser 4nR = VI me I / 2 , tenemos

172



Qnax= 1 - ^ V^ " (^ " ^ ^ " 1 - *^ii (6-5)

Si O < me < 1 entonces, O < Gnin < 0,5 y 0,5 < Gnax 1.

En la figura 6-8 se muestran, en el plano (¿nR, x)> las tra

yectorias Gnin y Cmax para un valor de ¿n,R < 1 /^J2 .

Figura 6-8

En la figura 6-9 se muestra la relación entre el par de carga

me y los límites Gnin y Cmax según las expresiones (6-4) y

(6-5).

1 7 3



, 1,0-

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

n-

l ^ c

Curva de

- 1 —

1

^min 1

1

\ Curva de

\ /

Y

1 — 1 — 1 —

^máx

>^_ c o 0,2 0,4 0,5 0.6 0,8 1,0

Figura 6-9

Para finalizar, en la figura 6-10 se presenta un ejemplo de

restablecimiento de la velocidad frente a un escalón del par

de carga con me = ±0,1; me = 0,3. Se tiene I R = 0,2236; ¿ R

= 0,3873, xi - TO = 0,288594, C = 0,475346 y Ci positiva.

174



,05 ,10 ,15 ,20 ,25

•I 1 h

T - I — -

Figura 6-10

175

CAPITULO 6 . P R O C E S O DE RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A


6.4 Trayec tor ias ó p t i m a s p a r a el res tab lec imiento

de l a velocidad c o n el p a r de ca rga O < me < 1 me |

Al ser me < 1 HTc I tenemos Í^R < imR y como me es positivo,

Ci también lo es.

De la expresiones (6-1) y (6-3) teneimos

l i o ^"^^

-X/ÍÍR)^ + (%')'

|mc| = 2 ( 4 / .

Al ser I mi-1 < |mc| (ver figura 6-2), entonces

( ¿ R ) ' + ( X ' ) ' > 1 .

En la figura 6-11 se muestra, en el plano {imR, %), la re

gión donde se encuentran las trayectorias óptimas que re

suelven este tipo de procesos. Dicha región está limitada

por:

176



1. o < imR < ^jí/2 , pues , por la condición de corriente

mínima, se tiene 4R ^ A/maxí | rr^ | )/2

2. (Lnf-^(xf^í-

ÍmR=l/\Í2

Figura 6-11

Dentro de es ta región, cada pareja (| m^ \, me) fija u n a úni

ca trayectoria óptima que resuelve u n proceso óptimo de


177



Fijado el par de carga me (y por tanto i^^, y para todo

I me I tal que O < me < | me |, el conjunto de trayectorias

óptimas, que resuelven un proceso óptimo de aplicación de

la carga, está acotado entre las trayectorias pertenecientes

a ciertas constantes C mínima y máxima, Qnin y Qaax res

pectivamente.

Gnin es aquel valor cuya trayectoria cumple simultánea-jQ 2 1 2 1 2

mente I^R = Í^R y (Í^R) + (%) = 1 (ver figura 6-14). Se la

llama así porque valores menores de C no alcanzan 4nR- Gnin

se obtiene de la expresión (3-29), siendo 4nR positiva, x^ ne

gativa y Ci positiva,

.1 1 = 1 r

Al ser ítnR = V I m c | / 2 , tenemos

Qnin = 1 + hyjí-i^-mcf . (6-6)

178

CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L M O T O R FRENTE A


Análogamente llamamos Gnax al valor correspondiente a la

trayectoria donde el par de carga inicial es ¡TUQ] = 1, o lo

que es lo mismo por la condición de corriente mínima, I^R =

1/A/2 . El mínimo valor posible de Cmax es 1,5 y corresponde

al valor inicial ( w , x») = {1/A/2 , -1 /^2 ).

Cmax se obtiene por métodos numéricos. Para cada valor

¿mR, o lo que es lo mismo, me, hay una trayectoria Gnax. En

la figura 6-12 se muestra la dependencia de me respecto de

trnax-

1 m,

Figura 6-12

179



Es interesante observar en la figura 6-13 el aspecto casi

rectilíneo de la función inversa de la gráfica anterior.

10 15 20 25 30 35 40 45

Figura 6-13

En la figura 6-14 se muestran, en el plano (4nR, %), las tra

yectorias Gnin y Cmax para un valor 4nR-

18G

CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A


-2,0-L

Figura 6-14

En la figura 6-15 se presenta u n ejemplo de restablecimien

to de la velocidad frente a u n escalón del par de carga con

rr^ = ±0,8; me = 0,2. Se tiene 4 R = 0,6325; 4 R = 0,3162, x^

- xo = 0,218539, C = 3,404098 y Ci positiva.

181



1

0 , 9 -

m°--0 , 7 -0 , 6 -

0 , 5 -0 , 4 -

0 , 3 -

m¿ -0 , 1 - - 1

,

0 ,5 -

0 ,4 -

"-mR-

0,01-, 0 0 5 -

0 -

,

1

, 1 ' t - 1

T°

- ^

^^^-^^. . ,__^mR

Aw=aj-w°

.05 .10

a)

m^

ÍT

1 1 ' '^.

L5 ,20 T 1

0,4-0 , 3 -

m¿ -0 , 1 -

- 0 , 1 -

- 0 , 2 -

- 0 , 3 -

- 0 , 4 -

- 0 , 5 -

- 0 , 6 -

-0,7-

1 ,

'faR-

0 , 5 -

0 , 4 -

'mR-

0 , 0 1 -

, 0 0 5 -

0 -

i 1

1 • 1

- 1

u

, 1 ' 1 - 1

T°

• ^

^^-^. . .^^'taR

Aw=w-ü°

,05 ,10

b)

m j .

iT

1 1 l'^.

15 ,20 T 1

Figura 6-15

182




de la velocidad con el par de carga TTÍC < - | m¿ |

Al ser I me | > | TUQ | tenemos 4nR ^ mR J como me es negati

vo, Ci también lo es.

De la misma forma que la indicada en el apartado 6.3, se

cumple (^R) + ix^] < 1.

En la figura 6-16 se muestra, en el plano {imR, x)? ^^ región

donde se encuentran las trayectorias óptimas que resuelven

este tipo de procesos. Dicha región está limitada por:

1. O < imR A/1 /2 , pues, por la condición de corriente

mínima, se tiene ij^^ < •\/max(|77Tc|)/2

2. (4R)' + (x f ^ 1 -

3. Rama correspondiente a la trayectoria dada por C

0,5 y X = X+, pues £ R < ¿ R .

183



Figura 6-16

Dentro de esta región, cada pareja (| m^ |, me) fija una úni

ca trayectoria óptima que resuelve un proceso óptimo de


Fijado el par de carga me (y por tanto 4QR), y para todo

I rrjc I tal que me < -1 me |, el conjunto de trayectorias ópti

mas, que resuelven un proceso óptimo de aplicación de la

carga, está acotado entre las trayectorias pertenecientes a

184



ciertas constantes C mínima y máxima, Gnm y Gnax

respectivamente.

Gnin y Gnax se obtienen de forma idéntica a la indicada en

el apartado 6.3.

En la figura 6-17 se muestran, en el plano (¿mR, %), las

trayectorias Cmin y Gmax para u n valor 4nR < 1 / v2 •

^ áín.

0,5

-0,5

Figura 6-17

En la figura 6-18 se presenta u n ejemplo de restablecimien

to de la velocidad frente a u n escalón del par de carga con

1 8 5



rr^ = ±0,1; me = -0 ,3 . Se tiene ¿ R = 0,2236; 4 R = 0,3873, x

TO = 0,288594, C = 0,475346 y d negativa.

O ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30

Figura 6-18

186




de la velocidad con el par de carga O > /ric > -1 me |

Al ser I me I < | me | tenemos ¿mR < W» Y como me es negati

vo, Ci también lo es.

De la misma forma que la indicada en el apartado 6.4, se

cumple (4R) + (x ) > 1.

En la ñgura 6-19 se muestra, en el plano (4nR, %], la re

gión donde se encuentran las trayectorias óptimas que re

suelven este tipo de procesos. Dicha región está limitada

por:

, pues, por la condición de corriente míni

ma, se tiene 4nR ^ "s/maxd mc|)/2 .

Dentro de esta región, cada pareja (| m¿ | , me) Aja u n a úni

ca trayectoria óptima que resuelve u n proceso óptimo de


187

CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A


'¿n,R=l/\I^

Figura 6-19

Fijado el par de carga me (y por tanto i^, y para todo ] rUc |

tal que O > me > -1 "TC |, el conjunto de trayectorias óptimas,

que resuelven un proceso óptimo de aplicación de la carga,

está acotado entre las trayectorias pertenecientes a ciertas

constantes C mínima y máxima, Gnin y Gnax respectivamen

te.

Gnin y Cmax sc obtienen de forma idéntica a la indicada en

el apartado 6.4.

188



En la figura 6-20 se muestran, en el plano [imR, %), las

trayectorias Cmin y Gnax para un valor 4nR-

Figura 6-20

En la figura 6-21 se presenta un ejemplo de restablecimien

to de la velocidad firente a un escalón del par de carga con

189

CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A


n^ = ±0,8; me = -0,2. Se tiene w = 0,6325; w = 0,3162, xi

- TO = 0,218539, C = 3,404098 y Ci negativa.

Figura 6-21

190

CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A


6.7 Tabulación de las trayectorias óptimas

Para poder llevar a cabo u n proceso óptimo de aplicación de

la carga, es necesario conocer previamente la trayectoria

óptiraa adecuada. Una forma de obtener la mejor trayecto

ria es por interpolación del parámetro C. En la tabla 6-1 se

mues t ran los valores de C y tiempo de duración del proceso

según diferentes combinaciones de TTIQ y me. La columna de

la izquierda indica el valor del par de carga inicial m^. La

fila superior indica el valor del par de carga me. En la inter

sección de las filas con las columnas hay dos valores, el va

lor si tuado en la parte superior corresponde al valor de C

que resuelve el proceso óptimo entre TTIQ y me, mientras que

el valor situado en la parte inferior es el tiempo del proceso

transitorio óptimo. Los pares de carga van de 0,1 en 0,1

unidades. Por ejemplo, para u n par de carga inicial m¿ =

0,1 , y u n par de carga final me = 0,5, la trayectoria óptima

es C = 0,443501 y el tiempo del estado transitorio es x - x°

= 0,718048.

191

CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A


En el caso particular de par de carga me = O se pueden

obtener las trayectorias óptimas de forma analítica. Hacien

do ^q = O e isd = -1 se obliga a que 4nR llegue a cero en tiem

po mínimo. El p£ir del motor se mantiene nulo y, por consi

guiente, no hay variación de velocidad. La solución analítica

de la ecuación (2-14) queda, pa ra este caso,

W = ( l + ímR) exp(-t)- 1, (6-7)

siendo x< = O y ¿ R = ^ | mj' | / 2 .

La evolución de 4nR en el tiempo, de acuerdo con (6-7), se

presenta en la figura 6-22.

1,0-

1 / ^ -

0,4-

0 , 2 -

- 0 . 2 -

-0 ,4-

- V E

- i ^ - 1

0 ,2 r ,6 ,8

T

1,0

Figura 6-22

192



El instante x , correspondiente a imR "= 0> se obtiene de la

expresión (6-7), es decir, -ci = InfímR + 1).

193

Tabla 6-1

mc-^ 0-

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00

Ver texto

0,201803

Ver texto

0,274770

Ver texto

0,327358

Ver texto

0,369640

Ver texto

0,405465

Ver texto

0,436785

Ver texto

0,464745

Ver texto

0,490085

Ver texto

0,513315

Ver texto

0,534800

0,10

0,321046

0,276543

1,861526

0,073965

2,484597

0,126836

3,101882

0,169205

3,718524

0,205044

4,336836

0,236347

4,958005

0,264277

5,582677

0,289581

6,211211

0,312772

6,843785

0,334219

0,20

0,338477

0,462295

0.552967

0,140584

1,660304

0,054238

2,012907

0,097307

2,361952

0,133541

2,709478

0,165078

3,056629

0,193149

3,404098

0,218539

3,752328

0.241778

4,101569

0,263249

0,30

0,366111

0,674426

0,475346

0,288594

0,565164

0,128616

1,615371

0,044371

1,869593

0,081411

2,121773

0,113477

2,372628

0,141911

2,622902

0,167553

2,873026

0,190974

3,123298

0,212575

0,40

0,400128

0,939499

0,446040

0,470472

0,500805

0,278503

0,553185

0,130190

1,605653

0,038247

1,806816

0,071140

2,007482

0,100157

2,207200

0,126227

2,406371

0,149966

2,605281

0,171810

0,50

0,435950

1,288795

0,443501

0,718048

0,471204

0,476301

0,504437

0,294626

0,537234

0,140547

1,604127

0,034024

1,773599

0,063858

1,941948

0,090535

2,109546

0,114737

2,276635

0,136939

0,60

0,457808

1,778744

0,458336

1,082298

0.465448

0,768758

0,481392

0,531181

0,501700

0,334694

0,522577

0,161331

1,606259

0,030911

1,753143

0,058393

1,899106

0,083213

2,044451

0,105899

0,70

0,489822

2,542406

0,480146

1,663473

0,477020

1,250547

0,479061

0 ,923883

0 ,486523

0,650062

0,498122

0,413166

0,510978

0,200171

1,608046

0,028518

1,738267

0,054132

1,867719

0,077442

0,80

0,498966

4,001079

0,496132

2,752543

0,493483

2,168728

0,491046

1,694928

0,489897

1,277484

0,491434

0,912094

0,496232

0,581887

0,503142

0,282110

1,607999

0,026623

1,725401

0,050721

0,90

0,499999

8,351720

0,499972

5,897412

0,499891

4,773492

0,499685

3,874994

0,499258

3,093121

0,498540

2,383824

0,497715

1,724700

0,497643

1,107598

0,499484

0,535148

1,605356

0,025091

1,00

0,5

00

0,5

00

0,5

00

0,5

00

0,5

00

0,5

00

0,5

00

0,5

oo

0,5

00

0,5

co

7. SISTEMA DE CONTROL

7.1 Introducción

En los capítulos anteriores se han desarrollado dos proce

sos que permiten modificar de forma óptima el estado de

funcionamiento del motor: en uno de ellos el accionamiento

acelera y desacelera, en el menor tierapo posible, desde u n

estado de régimen permanente de corriente mínima has ta

otro estado de régiraen permanente de corriente mínima; en

el otro proceso el accionamiento restablece, también en el

menor tiempo posible, la velocidad y el estado de régimen

permanente de corriente mínima frente a u n a variación del

par de carga.

En ambos procesos las variables de estado del motor si

guen u n a s trayectorias óptimas prefijadas. Estas trayecto

rias se obtienen con ayuda de la Teoría del Control Óptimo

de Pontriaguin (ver capítulo 3).

En el presente capítulo se propone u n sistema de control

de velocidad de accionamientos que realiza los dos procesos

óptimos mencionados anteriormente y mantiene el motor

girando en régimen permanente de corriente mínima.

195

CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL

7.2 Modelo del motor asincrono de jaula de ardilla

El sistema de control que se propone controla el raotor tan

to en el régiraen transitorio como en el régimen permanente .

Para ello, h a sido necesario emplear u n modelo matemático

del motor que contemple el funcionamiento del motor en

ambos regímenes. Dicho modelo se basa en la teoría del

campo orientado y se obtiene a partir de las ecuaciones

electromagnéticas y mecánicas del motor:

• Ecuaciones del estator

dJgd {/gd Tg Ts o - ^ + Isd = ^ ^ - (1-Cr) -jT (7sd - ImRl + « ^S í^mR -feq, (7-1)

dJsq USQ l's^ ¿ ¿ "*" - Sq = O - (1-cy) Ts í2niR JmR " c? ^S ^mR kd- (7-2)

• Ecuaciones del rotor

^R ¿¿ - ^ d - ínR> (7-3)

d p /sq ¿ f = ^elec "*" TRI R^ ^ ' "^ + f22- (7-4)

• Ecuación de la velocidad

196


dí l r j^r-M-^o> (7-5)

siendo

M=3Ls( l - a ) /mR/sq ,

^^mec P ^^eleo

7 . 3 M o t o r a s i n c r o n o d e j a u l a d e a r d i l l a a l i m e n t a d o

p o r u n a f u e n t e d e c o r r i e n t e

Si se alimenta u n motor asincrono de jaula de ardilla con

u n a fuente de corriente, es posible realizar el sistema de

control sin tener en cuenta las ecuaciones del estator (7-1) y

(7-2); ello simplifica notablemente el diseño de dicho siste

ma.

Como fuente de corriente se propone u n inversor de ten

sión trifásico realimentado por las corrientes del estator. En

la figura 7-1 se presenta u n esquema del inversor.

197


Figura 7-1

El inversor está formado por un puente de semiconductores

que supondremos ideales. Para funcionar como fuente de

corriente trifásica, el inversor de tensión hace conmutar los

transistores de forma que la diferencia entre la corriente de

cada fase y la correspondiente de referencia esté dentro de

la zona de histéresis fijada por sendos comparadores.

198

CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL

7.4 Es t ra teg ia del s i s t e m a de control

El sistema de control de velocidad, que se presenta, emplea

diferentes estrategias dependiendo de la acción de control

que se vaya a realizar, así tenemos una estrategia de control

para la aceleración y desaceleración óptimas, otra para la

aplicación de la carga y otra para mantener el régimen per

manente de corriente mínima.

Para cada estrategia, el sistema de control adopta una

estructura diferente.


ace le rac ión / desace le rac ión óp t ima

El sistema de control realiza los procesos de acelera

ción/desaceleración óptima que se han visto en los capítu

los cuatro y cinco. El sistema de control identifica las tra

yectorias óptimas conforme a las condiciones iniciales y fi

nales del accionamiento, genera dichas trayectorias y ga

rantiza el seguimiento de las mismas por las correspondien

tes variables reales del motor. En la figura 7-2 se presenta

el diagrama de bloques del sistema de control.

199


Figura 7-2

200


• Cálculo de Cy Ci.

El bloque Interpaf, que se muestra en la figura 7-2, se en-rcf rcf

carga de calcular C y Ci. Las entradas son me, COQ Y < I •

Interpaf emplea las tablas mostradas en los capítulos 4 y 5

y, por interpolación lineal, obtiene C y Ci.

• Valores iniciales de x e Í^R

Suponiendo que el motor se encuentra inicialmente traba

jando en régimen de corriente mínima, tenemos según (5-1)

y (5-4):

•o ^ / "Te , „ , ,

o 1/0 \ 4 /O \ 2 2

lO = signo(Ci) ^ ;.o ^2 ' (7-7) 1 - (kaR)

• Resolución de la ecuación diferencial auxiliar

Para que las variables de estado sigan una trayectoria óp

tima, es necesario resolver en tiempo real la ecuación dife

rencial (3-24)

201

CAPÍTULO 7 . SISTEMA DE C O N T R O L

fí=X-ísc (7-8)

• Obtención de 1Q¿ e isq

Durante el régimen transitorio óptimo las corrientes ^^ e /gq

adquieren los valores dados por las fórmulas (3-22) y (3-23);

por ello, las corrientes de referencia igd e 4q toman dichos

valores, estos son:

xef isd = signo(Ci) i ^- 2

reí . , , mR Igq = Slgno(Ci) i ^ ^

• Final del régimen transitorio óptimo

Cuando la diferencia entre la velocidad deseada y la veloci

dad del motor es menor que un cierto valor, el sistema de

control cambia de estrategia, pasando a mantener el régi

men permanente de corriente mínima (ver apartado 7.4.3).

202



aplicación de la carga

El sistema de control realiza los procesos de aplicación de la

carga que se han estudiado en el capítulo seis.

El sistema de control identifica las trayectorias óptimas

conforme a los pares de carga inicial y final, las genera y

garantiza el seguimiento de las mismas por las correspon

dientes variables reales del motor. En la figura 7-3 se pre

senta el diagrama de bloques del sistema de control pro

puesto.

Todos los bloques son idénticos a los de la figura 7-2, ex

cepto el bloque Interpac. Las entradas a dicho bloque son m^

y me. Interpaf emplea las tablas m^ostradas en el capítulo 6

y, por interpolación lineal, obtiene C y Q .

203


..f ^ t j

s Qn

N £

+ X

X

o o b£i Ü3

+

Figura 7-3

204

CAPITULO 7 . S ISTEMA D E CONTROL

7.4.3 Estructura del sistema de control para el

mantenimiento del régimen permanente de corrien

te mínima

Una posible estrategia que asegura el régimen permanente

de corriente mínima es isd = | ¿sq I • El siguiente esquema de

control de velocidad asegura ¿sd = \hq\ ^ igualar las co

rrientes de referencia, es decir 4d = I 4q I •

Coordenadas del e s ta to r

Conversión a-— b

Var. Var. p.u., dim.

Figura 7-4

205


7.5 P rog rama s i m u l a d o r del s i s t e m a de cont ro l óp

t imo

El control de velocidad propuesto ha sido comprobado con

un programa simulador.

El programa simulador incluye: los sistemas de control

propuestos en el apartado 7.4, el m.odelo del motor presen

tado en el apartado 7.2 y el sistema de alimentación pro

puesto en el apartado 7.3.

El sistema de control realiza la acelera

ción/desaceleración óptima, la reacción óptimia a la aplica

ción de la carga y el mantenimiento del régiraen permanen

te de corriente mínima.

El motor es alimentado por un inversor de tensión trifási

co realim^entado por la corriente del motor (ver apartado

7.3).

El paso de integración, empleado por el programa simu

lador en la resolución de los sistemas inversor y motor, es

lo suficientemente pequeño para considerar que éstos son

sistemas continuos. Por otro lado, el simulador trata el sis

tema de control como un sistem.a discreto, es decir, tiene un

206


cierto tiempo de respuesta. De esta forma se simula el com

portamiento real de un accionamiento controlado por este

sistema de control.

El programa simulador considera que los parámetros

electromagnéticos del motor son constantes (resistencias,

inductancias, etc.), así por ejemplo, no se tiene en cuenta

las derivas de la constante de tiempo del rotor Tr con la

temperatura.

El programa simulador considera que el mom.ento de

inercia del conjunto motor - carga es constante.

7.5.1 Resolución de las ecuac iones del motor as in

crono de j a u l a de ardi l la

El simulador calcula los estados del motor resolviendo las

ecuaciones diferenciales (7-1) a (7-5). Para ello emplea el

algoritmo Runge - Kutta con un paso de integración lo sufi

cientemente pequeño que permita considerar el motor

simulado como un sistema continuo.

Las ecuaciones del motor (7-1) a (7-5) se presentan de la

forma y' = f(x, y, t) es decir:

207


~ ¿ ¡ " = Y^ (" Sd + Rg - (1-Cf) 'p^ (kd - -fmR) +<y Ts Q^R kqí

d%a__I_,, , í ^ ¿17 = " ^ (-4q "*• " R ^ - (l-'^') ^S í^mR ínR " Cf Ts HjnR ká)

d4iR i ,-. d i "TR^^sd-

áE „ ^ , .

• ITOR)

/se, P '"'mee -TU r

^R -ind i - Í R imR

d i = -J I 3 P -t« (I-CJ) IniR -feq - Me

Las variables de entrada a este sistema de ecuaciones son

Usd,UsqyMc.

7,5.2 Modelo para el inversor de tensión realimen-

tado en corriente del estator

Tal y como se h a dicho, el inversor está formado por u n a

serie de transistores conectados según se indica en la figura

7-2 y que funcionan en corte y conducción. Los transistores

se consideran ideales, es decir, u n a s llaves de paso de co

rriente abiertas o cerradas.

208


La ley de conmutación de los transistores es de forma

que la diferencia entre la corriente de fase y la corriente de

referencia esté dentro de u n a zona de histéresis, es decir,

•ceí histr ^ ^ ^ feí ^ histr

Para ello, se compara la corriente de cada fase con la co

rriente de referencia correspondiente. Si la diferencia su

pera la mitad del valor de histéresis, entonces se provoca

u n cambio de estado en los transistores que controlan esa

fase.

jref

Así por ejemplo, cuando ÍSR - histr/2 > ISR, el transistor Ti

pasa al estado de conducción (ver figuras 7-5 y 7-6) y el T4

al estado de circuito abierto, mientras que si j -ef

ISR + histr/2 < ISR, T4 conduce y Tj corta la corriente.

La figura 7-7 mues t ra el diagrama de flujo del algoritmo

que rige la conmutación de los transistores.

Con este tipo de fuente de corriente, la corriente de esta

tor no coincidirá exactamente con la comente de referencia.

209


Figura 7-5

1

1

h-^

é

1

A l

1

t'

1

1

1

í^

^j^^rref, histr

/ „ , rref

y _ J ^ r>'ef_ h is t r

1 x=l, 3. 3 t

t'

Figura 7-6

210


t^ = í '< las

= mínimo valor t^<tl tres

canza el

en el que corrientes

de í, tal que cualquiera de de esta

valor is^+histr/2 tor al— igp, ígge íg^ desde í ' a í^

Figura 7-7

211


Dependiendo de los transistores que conducen y teniendo

en cuenta que en todo instante se cumple USR+ Í7SS+ Í ST = 0>

se tiene que las tensiones fase - neutro del motor son:

Transistores

conduciendo

[Ti; Tsi T2]

[T4; n; T2]

[T4; n; Ts]

[T4; Te, Ts]

[TúTe;Ts]

[Tü Te, T2]

[Ti; Ts, Ts]

IT4; Te; T2]

UsR

i-^ -

1-

^ -

h h

0

0

l ss

é-h

1-

^ -

í--H

0

0

Usr

í--i-

i-

ir h í^

0

0

212


7.5.3 P rog rama s imu lado r p a r a la aceleración y

desace lerac ión óp t imas

El programa simulador ejecuta el control representado por

el diagrama de bloques de la figura 7-2.

El algoritmo de control funciona en bucle. Primero lee las

variables de entrada, después procesa la información y fi

nalmente establece los nuevos valores calculados en las va

riables de salida.

El simulador ejecuta las siguientes tareas durante la ace

leración/desaceleración óptima:

1. Identifica la trayectoria óptima adecuada. Obtiene C y

Ci en función de a)°, © y del par de carga me. Esta ta

rea sólo se efectúa una vez durante un mismo proceso

y se encarga al bloque Interpaf.

2. Obtiene el valor inicial de la variable auxiliar %, dado

por la ecuación (7-7).

3. A partir de aquí se establece un bucle, se calcula el

nuevo valor de la variable % a través de la ecuación di-

213


ferencial (7-8). Con los valores de x> ^ R y Q se calcula

xef jref

La variable x se calcula en tiempo real a partir de la

ecuación (7-8) resultando

t X = X° + / (x - ¿sqjdt.

o

4. Las corrientes 4d ^ 4q se convierten, con las transfor-

maciones adecuadas, en %R, ^ S ^ %T- Estas son las en

tradas al inversor.

5. Según el valor de las corrientes de referencia 4R> 4 S e j-gf

ZsT y de las de estator ¿SR, iss e ÍST, el inversor seleccio

n a las tensiones de alimentación al motor.

6. Esta situación se mantiene has t a que, o bien cambia

el estado del inversor (al menos u n a de las tres co

rrientes se "sale" de la zona de histéresis), o bien el

sistema de control haya calculado u n nuevo valor de

las corrientes de referencia. En el primer caso se sal ta

al punto 5, en el segundo al punto 3.

214

CAPITULO 7 . SISTEMA D E C O N T R O L

7.5.4 P rograma s imu lador p a r a la apl icación de la

carga

El programa simulador para la aplicación de la carga es

análogo al empleado para la aceleración/desaceleración óp

tima. En este caso ejecuta el control mostrado en el dia

grama de bloques de la figura 7-3.

7.5.5 Programa simulador para el mantenimiento

del régimen permanente de corriente mínima

El programa simulador ejecuta, para este caso, el diagrama

de bloques de la figura 7-4.

El regulador de velocidad es del tipo Pl, siendo las constan

tes proporcional e integral KR y Ki respectivamente.

7.6 Resu l t ados

En este apartado se muestran algunas simulaciones reali

zadas con el simulador del sistema de control.

215


7.6.1 P a r á m e t r o s del con jun to moto r - ca rga

Us = 380 V Tensión asignada

/an = 11,8 A Intensidad asignada

Pn = 5.500 W Potencia asignada

rin = 1400 r.p.m. Velocidad asignada

fn = 50 Hz Frecuencia de sincronismo

p = 2 Número de pares de po

los

i?s = 0,77 Q Resistencia fase - neutro

del estator

Xis = 2-7ff-Los = 1,425 O Reactancia de dispersión

del estator

i?R = 0,752 Q Resistencia fase - neutro

del rotor

Xir = 2-ii-í-Lar = 1,425 Q Reactancia por fase de

dispersión del rotor

216


Xm = 2-K-í-L^ = 1,425 Q Reactancia m u t u a

J = 0,04 Kg-m2 Momento de inercia del

conjunto motor - carga

^mec = 146,6077 r a d / s Velocidad mecánica

asignada

¡Qeiec = P í mec = 293.2153 r a d / s Velocidad eléctrica asig

nada

fío = 2-7f fo = 314,1593 r a d / s Velocidad de sincronis

mo

Mn = Pn/í^mec = 37,5151 N'm Par asignado

Xs = Xis + Xm = 39,1250 Q Reactancia por fase pro

pia del estator

Xr = Xir + Xm = 39,1250 ü Rcactancia por fase pro

pia del rotor -

cfs = Xis / Xm = 0,0378 Coeficiente de dispersión

del estator

c?r = Xii- / Xm = 0,0378 Coeficiente de dispersión

del rotor

217


CT = 1 - l / ( l+as) / ( l+ (Jr)= 0,0715 Coeficiente de dispersión

total

Ls = 0,1245 H Inductancia fase - neu

tro del estator

Lr = 0,1245 H Inductancia fase - neu

tro del rotor

Ljn = 0,1245 H Inductancia m u t u a

Tr = Lr/Rj- = 0,1656 s Constante de tiempo del

rotor

Ts = Lg/Rs = 0,1617 s Constante de tiempo del

estator

k = (2/3)-Lni/(l+ CTr) = 0,0771

Tensión equivalente de vacío de la fuente continua del in

versor: 380/^ /3 .

Los transistores que forman el puente se consideran

ideales.

VALORES BASE:

Los valores base elegidos son:

218


tbase ^ r

4ase = 31,2 A

í mec_base = 155,382 rad/s

7.6.2 Aceleración y desaceleración óptimas

7.6.2.1 Aceleración en vacío

En este caso el motor acelera desde cero hasta las 1000

r.p.m. siendo el par de carga nulo.

Tal y como se ha visto en el capítulo cuatro, hay una úni

ca trayectoria óptima con la que puede realizarse este pro

ceso. Ésta estaría dada por C = 0,495; Q = 1; ij ^ = 0; Í2° =

0 y x ° = 0,495.

Ahora bien, al estar el motor alimentado por un inversor,

las corrientes no seguirán exactamente la trayectoria ópti

ma adecuada, sino que se encontrarán dentro de una zona

de histéresis alrededor de la misma. Por ello, es presumible

que con este valor de C, el motor no alcance la velocidad

deseada y no se restablezca la corriente magnetizante del

rotor. El simulador ha perraitido comprobar que efectiva-

219


mente no se consigue restablecer completamente la veloci

dad del motor. Para paliar esta circunstancia se elige u n a

trayectoria óptima con u n valor de C algo mayor, resultando

C= 0,499; Q = 1; w = O; QO = o y xo = O, 499.

La relación entre el valor de C teórico y el que obtiene la

respuesta óptima más aproximada depende, entre otros fac

tores, del ancho de la zona de histéresis, del pa r de carga,

del incremento de velocidad deseado y del tiempo de res

puesta del sistema de control. Por ello, en el algoritm:o de

simulación, el coeficiente C obtenido de la tabla se aumenta

ligeramente.

Las figuras 7-8 a 7-13 mues t ran respectivamente la co

rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator igd e

¿sq, las corrientes de estator, ¿sRr %s e isT> la velocidad del

rotor, -el par del motor y la posición del rotor; todas en fun

ción del tiempo.

220


20-

15-

10-

5-

n-

^^mRÍA]

/ / /

/ / / /

1

i 1 1 1

\

\ \

\ \

-1 1 \ i—^==H í[s]

H h^ O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.

Figura 7-8

0,9 1

Figura 7-9

2 2 1


'^SRW-isstAJ^STÍAJ

O 0,1 0,8 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 7-10

1000-f^mec[l"-P-I"-]

900

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 7-11

222


O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 O,

Figura 7-12

, 120-

100-

8 0 -

6 0 -

4 0 -

2 0 -

n-

p[rad]

- 1 ^1 1 1 1

X /

í[s] — 1 1 \ 1 V*-

O 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 0,9 1

Figura 7-13

223


7.6.2.2 Desaceleración en vacío

En este caso el motor desacelera desde cero hasta -1000

r.p.m. siendo el par de carga nulo.

La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,495; Q

= l ; W = 0;no=:OyxO = 0,495.

De forma análoga a lo comentado en el apartado 7.6.2.1,

es necesario aumentar C para obtener una respuesta ópti

ma adecuada, resultando C = 0,499; Q = 1; i^^ = O; QP = 0

y X« = 0,499.

Las figuras 7-14 a 7-19 muestran respectivamente la co

rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator isd e

^q, las corrientes de estator, ÍQR, iss e ÍST, la velocidad del

rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun

ción del tiempo.

224


20

1 5 -

1 0 -

-¿mRÍA]

H 1 1 1 h H h í [ s ]

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 7-14

Figura 7-15

225


o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

F i g u r a 7 - 1 6

O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 7-17

226


O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 O 0,7 0,8 0,9 1 \~í—I 1 h

Figura 7-18

o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

•100

- 2 0 -

- 4 0 -

- 6 0

- 8 0

Figura 7-19

227

CAPITULO 7. SISTEMA DB CONTROL

7.6.2.3 Aceleración con par de carga positivo

El proceso de aceleración simulado consiste en acelerar el

motor desde cero has ta las 250 r.p.m. siendo el par de car

ga de 20 N-m.

La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,491; Ci

= 1; 4 R = 16,110; Qo = Q; ^O = o,639.

De forma análoga a lo comentado en el apartado 7.6.2.1,

es necesario aumenta r C para obtener u n a respuesta ópti-

raa adecuada, resultando C = 0,494; Ci = 1; I^R = 16,110;

QO = o y x^ = 0,650.

Las figuras 7-20 a 7-25 mues t ran respectivamente la co

rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator isá e

isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e %rj la velocidad del


ción del tiempo.

228


20-

19-

18-

17-

I f i -

^ímRÍA]

. / / / /

• /

• /

/ - / /

/ 1

1 1

\

\ \ \ \ 1

\

\ 1 ^ í [ s ] —1 1—>-

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Figura 7-20

0,1 0,2 0,3 0,4

Figura 7-21

229


0,1 0,2 0,3 0,4

Figura 7-22

0,5 0,6

250-

200-

150-

100-

5 0 -

0-

'^mec[r-P-m.]

-=¿:_ 1 1 1 í[s]

— 1 1 1—*-0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Figura 7-23

230


0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6

Figura 7-24

231


7.6.2.4 Aceleración con par de carga negativo

En este caso el motor acelera desde cero hasta las 250

r.p.ra. siendo el par de carga de -20 N-m.

La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,455;

Ci = 1; w =16,110; fi» =0 y x^ = 0,465.

La trayectoria óptima aplicada está dada por C = 0,457;

Ci = 1; ¿R = 16,110; no =0 y xo = 0,478.


rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ¿sd e

¿sq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS C ÍST, la velocidad del


ción del tiempo.

232

CAPÍTULO 7 . SISTEMA D E CONTROL

O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Figura 7-26

40

30-

30-

10

O

"¿SdÍA] -¿SnÍA]

- i — h

w p l -H h

í[s]

-10- -

-20

-30

-40

MiÉiyiLiki «iili

_l 1_ H h-0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Figura 7-27

233


30

-30

. [A] iss [A] -¿ST [A]

**f»fíf||¡. |i#| V''"1kj|ii|L

wMm H h

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Figura 7-28

¡

250-

200-

150-

100-

50-

0-

^mec [r.p.m.]

— 1 1 1 1 —1 1 1 1—-O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Figura 7-29

234


50

40

30

20

10 +

O

m [N*m]

S |!f«fPÍ*Í + H h

í[s]

-10

-20 +

-30

-40

-50-^

0,03 0,04 0,06 0,08 0,12, ,0,14

¡fRfilfÍ|f

Figura 7-30

fp[rad]

O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Figura 7-31

235


7 . 6 . 3 A p l i c a c i ó n d e l a c a r g a

7.6.3.1 Aplicación de la carga. Aumento del par de carga

En este caso el motor, que se encuentra girando en régimen

permanente de corriente mínima con u n par de carga de 5

N-ra, recibe u n par de carga de 25 N-m.

La trayectoria óptima está dada por C = 0,473; Ci = 1; Í^R

= 8,055; no =0 y 50 = 0,561.

Las figuras 7-32 a 7-37 mues t ran respectivam.ente la co

rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ¿sd e

isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e ¿ST, la velocidad del


ción del tiempo.

236


80--

18

16

14

12

10

';S^w

- /

- / /

1 — 1 — 1 — \ — \

^ _ _ , — — - — ~

í[s] 1 1 \ 1—-

o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-32

o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-33

237

CAPITULO 7 . S I S T E M A D E C O N T R O L

30-- ÍSR[A] Í S S W is i fA]

O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0.30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-34

o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

A'Vec[''-P-m.]

Figura 7-35

238


o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-36

1,8-

1,6-

1,4-

1,2-

1,0-

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

0-

p[ rad]

1 1 1 1 h í[s]

1 1 1 f—-0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0.45

Figura 7-37

239


7.6.3.2 Aplicación de la carga. Disminución del par de

carga

En este caso el motor, que se encuentra girando en régimen

permanente de corriente mínima con un par de carga de 5

N-m, recibe un par de carga de -25 N-m.

La trayectoria óptim.a está dada por C = 0,473; Q = - 1 ;

¿R = 8,055; OO =0 y x^ = -0,561.


rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ÍQ¿ e

isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e ÍST, la velocidad del


ción del tiempo.

240

CAPITULO 7 . SISTEMA D E CONTROL

O 0,05 0,10 0,15 0,20 0 ,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-38

1 40

30

20

10

O

-10

-20

-30

- 4 0 - -

•¿SdÍA] ísq[A]

1 1 i]

í [s] H \ \—I 1 1 1 \ h - »

II 0,05 0,10 0,15 0 ,20 , 0,25 0,30 0,35 0,40 0.45

lipfl llliWiir ip i j I

Figura 7-39

241


o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-40

A^mec [r.p.m.]

-t' K—'=' -+-í[s]

- t ™ 1 — • 0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-41

242


o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-42

O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Figura 7-43

243


En este caso el par del motor y el par de carga están dirigi

dos en el mismo sentido, mientras que en caso del apartado

7.6.3.1 el par de carga se opone al par delmotor. Aquí, al

ayudarse ambos pares, los procesos son mucho mas rápi

dos.

7.7 Resumen y conclusiones

Los ensayos realizados con este simulador confirman la va

lidez de la teoría del control óptimo para el desarrollo de un

sistema de control de velocidad.

Se han realizado simulaciones para la aceleración y des

aceleración óptimas, tanto en vacío como con carga y simu

laciones para la aplicación de la carga. Los resultados de

simulación confirman plenamente los planteamientos teóri

cos previos.

No obstante, debido a que en el sistema simulado el mo

tor está alimentado por un inversor cuyas corrientes están

confinadas dentro de una zona de histéresis alrededor de la

trayectoria, óptima de referencia, las variables de estado no

podrán seguir exactamente la trayectoria óptima adecuada.

Eligiendo una trayectoria óptima con un valor de C algo

244

CAPITULO 7 . SISTEMA D E CONTROL

mayor que el "teórico", se consigue que, al final del régimen

transitorio, la corriente magnetizante del rotor y la veloci

dad hayan alcanzado unos valores cercanos a los deseados.

Se ha observado que, cuanto más estrecha es la banda de

histéresis, las variables de estado se acercan más a la tra

yectoria óptima "teórica".

245

8. CONCLUSIONES Y

TRABAJOS FUTUROS

8.1 Conclusiones

En esta tesis se h a presentado u n a nueva estrategia de con

trol de motores de inducción que combina la mínima dura

ción del régimen transitorio con u n alto rendimiento en ré

gimen permanente. El motor está alimentado con u n a fuen

te de corriente y el par de carga es constante durante el ré

gimen transitorio.

Para realizar procesos transitorios de mínima duración

nos hemos basado en la Teoría del Control Óptimo de Pon-

triaguin. Hemos obtenido las trayectorias del fasor de la co

rriente de estator necesarias pa ra que las variables de esta

do modifiquen s u s valores en el menor tiempo posible. Du

rante el régimen transitorio óptimo, el motor está alimenta

do con u n a corriente de estator cuyo módulo es fijado pre

viamente con la máxima corriente admisible por el accio

namiento.

247

CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

Para minimizar las pérdidas en régimen permanente si

tuamos al motor, al final del régimen transitorio, en el pun

to de funcionamiento en corriente mínima, el cual es fácil

de establecer y muy cercano al de máximo rendimiento. Tal

y com.o se h a dicho en el capítulo uno , la brevedad de los

transitorios permite, no solamente u n a mayor maniobrabi-

lidad y precisión dinámica, sino también u n mayor tiempo

de funcionamiento del motor en el punto de régimen per

manente de corriente mínima muy próximo al de máximo

rendimiento del motor. Adicionalmente, se h a comprobado

en [38] y [56] que la regulación óptima produce en el ar ran

que menores pérdidas que los métodos tradicionales como

el ar ranque directo, arranque suave, etc.

Se h a obtenido u n modelo matemático del comportamien

to del motor de jaula de ardilla durante el régimen transito

rio óptimo. El sistema formado por las tres ecuaciones de

estado - corriente magnetizante del rotor, velocidad y varia

ble auxiliar - definen dicho modelo. También se h a n obteni

do las expresiones analíticas de las componentes de la co

rriente de estator durante el régimen transitorio óptimo.

Se h a realizado u n análisis exhaustivo del comportstmien-

to del motor durante el régimen transitorio óptimo, obte-

248


niéndose la expresión analítica de la corriente magnetizante

del rotor y de la variable aioxiliar. Al resultar la corriente

magnetizante del rotor y el par del motor desvinculados del

par de carga y de la velocidad del rotor, es posible trazar las

trayectorias óptimas de las primeras separadamente de es

tas últimas.

Se ha desarrollado el procedimiento que permite acabar

el proceso transitorio óptimo directamente en el punto de

corriente mínima próximo al máximo rendimiento del mo

tor.

Se ha determinado el campo total de trayectorias óptimas

en las coordenadas de variables de estado. Se h a n clasifica

do los grupos de trayectorias dentro del campo de trayecto

rias total. Los grupos obtenidos son, en función de la cons

tante C:

Grupo I: O < C < 0, 5

Grupo II: C > 0,5

Grupo III: C < O.

Las trayectorias del grupo I tienen tres ramas , u n a cerrada

y dos abiertas, todas ellas bivaluadas, mientras que aque-

249


Has de los grupos 11 y III tienen dos ramas , ambas abiertas y

unívocas. Dependiendo del tipo de proceso transitorio

emplea u n a familia de trayectorias óptimas u otra.

se

Se h a realizado u n estudio de la aceleración y desacelera

ción óptima con par de carga constante. Por primera vez se

han planteado y analizado los procesos óptimos de aplica

ción de la carga. En todos los casos el par de carga puede

ser positivo o negativo, menor o mayor que el precedente.

Se h a comprobado que las trayectorias óptimas obtenidas

por el método de Pontriaguin son las que realmente crean

procesos transitorios de mínima duración.

Se h a n acotado las zonas del campo de trayectorias ópti

mas que ac túan en diferentes procesos transitorios ópti

mos. Demostrándose que u n a sola familia de trayectorias

óptimas resuelve todos los casos de aceleración y desacele

ración óptimas, mientras que son necesarias dos familias

de trayectorias óptimas para solucionar todos los casos de

aplicación óptima de la carga.

Se h a presentado u n sistema de control óptimo que por

u n lado realiza los procesos transitorios óptimos de acelera

ción/desaceleración y de aplicación de la carga por otro

250


mantiene la velocidad de referencia en régimen permanente

de corriente mínima. En cada transitorio óptimo la trayecto

ria óptima adecuada es elegida directamente de u n a tabla o

por interpolación de los valores de ésta.

8.2 Sugerencias para futuros trabajos

Los escasos trabajos que hay has ta hoy sobre la aplicación

del principio del máximo de Pontriaguin a motores de jaula

de ardilla dejan u n amplio campo para futuros desarrollos e

investigaciones.

Una línea de trabajo muy interesante sería repetir el es

tudio realizado en esta tesis para otros tipos de pares de

carga.

Puede estudiarse el grado de aproximación del compor

tamiento óptimo del motor a los procesos óptimos teóricos

en función del ancho de banda de histéresis de la corriente

de estator.

Desde el punto de vista del principio del máximo, es

interesante estudiar el comportamiento óptimo del motor

con otros criterios de optimización que no sean el mínimo

tiempo de duración del régimen transitorio.

251


Finalmente, este trabajo podría ampliarse estudiando

cómo obtener mínimo tiempo de respuesta cuando el par de

carga varía durante proceso transitorio.

2 5 2

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Optimization Controller for Induction Motor Drives".

IEEE Power Engineering Review. May-1998.

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