ormation funktionen ransf e quadratintegrierbarhilbert.math.uni-mannheim.de/hm2/teil05.pdf · v x h...

22
ohere Mathematik II WS 2005/2006 wir haben also die Beziehung ( )( ) = ()() . () Um daraus Aussagen ¨ uber das HERMITEsche Skalarprodukt herzuleiten, benutzen wir die Beziehungen ()=2 ˇ ( )=2 ( ) oder ()= 1 2 ( ) ( ) und ( )= () = () = ( ) = ( ) = ( ), ( ) wobei der ¨ Ubersichtlichkeit halber ur diejenige Funktion steht, die jedem Wert den Funktionswert ()= ( ) zuordnet; entsprechend ist ()= ( ). Damit l¨ aßt sich das HERMITEsche Skalarprodukt folgendermaßen um- formen: ( )= () () = ( ) 1 4 2 ( ) ( ) = () 1 4 2 ( ) ( ) = ( ) 1 4 2 2 () ( ) = ( ) 1 2 () () = 1 2 ( ). Kap. 3: Harmonische Analyse und Integraltransformationen Die Aussage ¨ uber das Produkt der inversen FOURIER-Transformierten folgt nun einfach daraus, daß die beiden Transformationen zueinander invers sind: ( ˇ ˇ) = 1 2 ( ˇ ˇ) = 1 2 ( ). Bemerkung: Falls wir f ¨ ur beide Transformationen den Vorfaktor 1 2 gew¨ ahlt h¨ atten, w¨ urden beide das HERMITEsche Skalarprodukt respek- tieren, allerdings m¨ ußten wir uns dann st¨ andig mit dieser Wurzel vor den Integralen herumschlagen. So hat jede Normierung ihre Vor- und Nachteile. §8: Die Fourier-Transformation auf L 2 , Wie wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, verh¨ alt sich die FOURIER-Transformation auf dem SCHWARTZ-Raum genau so, wie wir es erwarten. Leider sind aber die Funktionen aus dem SCHWARTZ-Raum ur die meisten Anwendungen zu sch ¨ on, um n ¨ utzlich zu sein. Wir brau- chen daher einen gr¨ oßeren Funktionenraum, auf dem wir die FOURIER- Transformation immer noch gut verstehen k¨ onnen. Darum geht es in diesem Paragraphen. a) Quadratintegrierbare Funktionen Definition: Eine integrierbare Funktion : heißt quadratinte- grierbar, wenn () 2 existiert und konvergiert. Der Vektorraum aller quadratintegrierbarer Funktionen wird mit L 2 ( ) bezeichnet. Nach Aussage c) des ersten Lemmas aus 7a) ist jede stark abfallen- de Funktion quadratintegrierbar, d.h. der SCHWARTZ-Raum ( ) ist ein Untervektorraum von L 2 ( ). Er ist allerdings deutlich kleiner als

Upload: others

Post on 27-Sep-2019

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

�� �

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

wir

habe

nals

odi

eB

ezie

hung

��� ���� (

)� (

)� =

��� ��� (

)

� � ( )

� .(

� )

Um

dara

usA

ussa

gen u

berd

asH

ER

MIT

Esc

heS

kala

rpro

dukth

erzu

leite

n,be

nutz

enw

irdi

eB

ezie

hung

en

� � � (

)=

2

�ˇ��� (

� )=

2

�� (

� )od

er

� (

)=

1 2

�� ��� (

� )(

�� )un

d

� � ( )=

��� ��� ( )

��� �� � =

��� ��� ( )

�� ���

=

��� � �� (� )

��� �� � =

��� ��� (� )

��� �� �

=

� � (� ),

(

��� )

wob

eide

rUbe

rsic

htlic

hkei

tha

lber

� furdi

ejen

igeF

unkt

ion

steh

t,di

eje

dem

Wer

t

den

Fun

ktio

nsw

ert

� ( )=

� ( )zu

ordn

et;e

ntsp

rech

endis

t

� � ( )=

� � ( ).

Dam

itla

ßts

ich

dasH

ER

MIT

Esc

heS

kala

rpro

dukt

folg

ende

rmaß

enum

-fo

rmen

:

(

���� )=

��� ��� (

)

� ( )

� = (

�� )1 4

� 2

��� ��� �� (

� )

��� � (� )

� = (

� )1 4

� 2

� � ��� ��� � (

� )

� � (� )

� = (

�� )1 4

� 2� 2���� ����� (

)� � (� )

=(

��� )1 2

�� � ��� � (

)

� � ( )

� =1 2

�(� � �� � ).

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n���

Die

Aus

sage

uber

das

Pro

dukt

deri

nver

senF

OU

RIE

R-T

rans

form

iert

enfo

lgt

nun

einf

ach

dara

us,d

aßdi

ebe

iden

Tra

nsfo

rmat

ione

nzue

inan

der

inve

rssi

nd:

(ˇ� � ˇ� )

=1 2

�(� ˇ� �� ˇ� )=1 2

�(���� ).B

emer

kung

:Fal

lsw

irf u

rbei

deT

rans

form

atio

nend

enV

orfa

ktor

1

�� 2

gew

ahlt

h atte

n,w

urde

nbe

ide

dasH

ER

MIT

Esc

heS

kala

rpro

dukt

resp

ek-

tiere

n,al

lerd

ings

muß

ten

wir

uns

dann

stan

dig

mit

dies

erW

urze

lvor

den

Inte

gral

enhe

rum

schl

agen

.So

hatj

ede

Nor

mie

rung

ihre

Vor

-un

dN

acht

eile

.

§8:

Die

Fou

rier-

Tra

nsfo

rmat

ion

aufL

2

� ,

!"

Wie

wir

imvo

rigen

Para

grap

heng

eseh

enha

ben,

verh

alt

sich

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

atio

nauf

dem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

gena

uso,

wie

wir

eser

war

ten.

Leid

ersi

ndab

erdi

eF

unkt

ione

naus

dem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

furd

iem

eist

enA

nwen

dung

enzu

scho

n,um

nutz

lich

zuse

in.W

irbr

au-

chen

dahe

rein

engr

oßer

enF

unkt

ione

nrau

m,au

fdem

wir

die

FOU

RIE

R-

Tra

nsfo

rmat

ioni

mm

erno

chgu

tver

steh

enko

nnen

.Dar

umge

htes

indi

esem

Para

grap

hen.

a)Q

uadr

atin

tegr

ierb

are

Fun

ktio

nen

Defi

nitio

n:E

ine

inte

grie

rbar

eFun

ktio

n

� :

# $% he

ißtq

ua

dra

tinte

-g

rie

rba

r,w

enn

��� ��& � (

)& 2�

exis

tiert

und

konv

ergi

ert.

Der

Vek

torr

aum

alle

rqu

adra

tinteg

rierb

arer

Fun

ktio

nenw

irdm

itL2

(

# �% )be

zeic

hnet

.

Nac

hA

ussa

gec)

des

erst

enLe

mm

asau

s

' 7a)

ist

jede

star

kab

falle

n-de

Fun

ktio

nqu

adra

tinteg

rierb

ar,d

.h.d

erSC

HW

AR

TZ-R

aum

( (

# )is

tein

Unt

erve

ktor

raum

von

L2(

# �% ).E

ris

tal

lerd

ings

deut

lich

klei

ner

als

���

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

L2(

# �% ),de

nnbe

ispi

elsw

eise

ist

auch

jede

rRec

htec

kim

pulsq

uadr

a-tin

tegr

ierb

arun

dal

lgem

eine

rjede

stuc

kwei

sest

etig

eFun

ktio

n,di

eau

erha

lbei

nese

ndlic

henI

nter

valls

[

) �* ]id

entis

chve

rsch

win

det.A

uch

Fun

ktio

nenw

ie

��+ �+

liege

nin

L2(

# �% ),de

nn

��� ��,-,-,��+�+,-,-,2

� =2

� �

0

�� 2�� =

1.

Fun

ktio

nenw

iesi

n

sind

natu

rlich

nich

tqua

drat

integ

rierb

ar;a

berb

eipe

riodi

sche

nFun

ktio

nen

betr

acht

etm

anoh

nehi

nsi

nnvo

llerw

eise

nur

Inte

gral

eub

erei

neP

erio

de,n

icht

solc

heub

erdi

ege

sam

tere

elle

Ach

-se

.(D

asis

tder

ausd

erE

lekt

rote

chni

kbek

annt

eUnt

ersc

hied

zwis

chen

Ene

rgie

-und

Leis

tung

ssig

nale

n;die

Ene

rgie

sign

ales

ind

gena

udie

qua-

drat

integ

rierb

aren

.)

Auf

dem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

habe

nw

irei

nH

ER

MIT

Esc

hes

Pro

dukt

,be

zugl

ich

dess

enw

irda

sIn

tegr

alub

er

& �& 2ku

rzal

s

� (

���� )sc

hrei

-be

nko

nnen

;wir

wol

len

uns

als

nach

stes

uber

legen

,daß

zum

inde

stdi

eD

efini

tion

(

���� )=

��� ��� (

)

� ( )

auch

f ur

����. L2

(

# �% )si

nnvo

llis

t:

Da

� & � (

)& �&� ( )&" 2

/ 0fu

ralle

.# ,i

stna

chde

rbin

omis

chen

Form

elau

ch

& � (

)& �&� ( )& 0

1 2

1 & � (

)& 2 +

& � ( )& 22 ,

also

3 � 4& � (

)

� ( )& � 0

1 2

3 � 4� (

)

� ( )

� +1 2

3 � 4� ( )

� ( )�

fura

lle

5 06 .# .R

echt

skon

verg

iere

nbei

deIn

tegr

alef

ur

5 $�7

und

6 $7 ,als

oau

chlin

ks,u

ndda

mit

konv

ergi

ertd

asIn

tegr

alzu

(

���� )sog

arab

solu

t.

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n��8

Es

hata

lleE

igen

scha

ftene

ines

HE

RM

ITEsc

henP

rodu

ktsm

itA

usna

hme

derp

ositi

ven

Defi

nith

eit–

gena

uwie

wir

esvo

mpe

riodi

sche

nFal

lher

gew

ohnt

sind

.Wie

dort

beze

ichn

enw

ir

9 �9 2= de

f

: (

���� )

kurz

,wen

nauc

hsch

lam

piga

lsL2

-Nor

mvo

n� ,d

enn–

wie

scho

nbei

den

perio

disc

henF

unkt

ione

n–ko

nnen

die

Fun

ktio

nen

�; =0

mit

9 �9 2=

0fu

rdie

mei

sten

Anw

endu

ngen

pra

ktis

chve

rnac

hl ass

igtw

erde

n.

Defi

nitio

n:

� . L2(

# �% )he

ißtN

ullf

un

ktio

n,w

enn

9 �9 2=

0is

t.

Nac

hde

rC

AU

CH

Y-S

CH

WA

RZsc

hen

Ung

leic

hung

,die

wir

in[H

M1]

,K

ap

.1,

' 6c)

ausg

utem

Gru

ndau

chfu

rP

rodu

kteb

ewie

senh

aben

,die

nurb

isau

fdie

posi

tive

Defi

nith

eitH

ER

MIT

Esc

hsi

nd,i

stda

nnfu

rei

nebe

liebi

geF

unkt

ion

�. L2(

# �% )

& (

���� )& 09 �9 2

�9 �9 2

=0

,

fure

ineN

ullfu

nktio

n

� vers

chw

inde

talso

jede

sPro

dukt

(

���� ),un

dum

-ge

kehr

tista

uchj

edeF

unkt

ionm

itdi

eser

Eig

ensc

hafte

ineN

ullfu

nktio

n,de

nn

9 �9 2is

tja

die

Wur

zela

us(

���� ).

b)D

istr

ibut

ione

nau

fdem

Sch

war

tz-R

aum

Jede

quad

ratin

tegrie

rbar

eFun

ktio

n

� . L2(

# �% )de

finie

rtei

nelin

eare

Abb

ildun

g

<�=?> :

@BAAAC A�AADL2(

# �% )

$% �E$�F� ��

� (

)

� ( )

Man

beac

hted

aßhi

er,

trot

zde

rko

mpl

exw

ertig

enF

unkt

ione

n,ke

ine

kom

plex

eK

onju

gatio

nst

eht!

Ver

glei

chm

itde

mP

rodu

kt

(

���� )=

� � ��� (

)

� ( )

��G

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

zeig

t,da

ß

<=H> (� )=

(

���� )=(

� �� )

ist.

Insb

eson

derei

st

<�=H> gena

udan

ngl

eich

derN

ulla

bbild

ung,

wen

n

eine

Nul

lfunk

tion

ist.

Da

derS

CH

WA

RT

Z-R

aum

ein

Unt

erve

ktor

raum

von

L2(

# �% )is

t,ko

nnen

wir

< =?> auf

( (

# )ei

nsch

ranke

nun

ddi

elin

eare

Abb

ildun

g

=H> :

@BAAAC AAAD( (

# )

$% IE$��� ��

� (

)

I ( )

betr

acht

en.M

itH

ilfe

dies

erA

bbild

ung

wol

len

wir

imfo

lgen

denE

i-ge

nsch

afte

nvon

� und

sein

erFO

UR

IER-T

rans

form

iert

en(u

berd

eren

Exi

sten

zwir

noch

nich

tsw

isse

n)au

fEig

ensc

hafte

nsta

rkab

falle

nder

Fun

ktio

nenz

uruc

kfuh

ren.

Die

Abb

ildun

g

=?> exis

tiert

nich

tnur

fur

quad

ratin

tegrie

rbar

eFun

ktio

-ne

n

� ,so

nder

nallg

emei

nerfu

rje

de

Fun

ktio

n,de

renB

etra

gho

chst

ens

poly

nom

iala

nste

igt:

Lem

ma:

Falls

eszu

eine

rstu

ckw

eise

stet

igen

Fun

ktio

n

� :

# $%

Kon

stan

ten

J .K 0

und

L.#�M 0

gibt

,so

daß

& � (

)& 0L �& &

N

ist,

exis

tiert

=?> (I )fu

ralle

I.( (

# ).

Bew

eis

:Fur

I.( (

# )ist

O I (

)bes

chran

ktfu

ralle

P .K 0

,ins

beso

nder

eal

sofu

r

P =

J und

P =

J +2.

Dam

itis

tauc

hder

enS

umm

ebes

chran

kt,

esgi

btal

soei

neK

onst

ante

6 Q 0,fu

rdie

,-,�, N (1+

2 )

I ( ),-,�,=,-,�, NI ( )+

N +2

I ( ),-,�,06

ist.

Dam

itfo

lgt ,-,-,(1+

2 )

� (

)

I ( ),-,-,0,-,-,(1+ 2 )

L N I ( ),-,-,0L6

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n��R

und

& � (

)

I ( )& 0L6

1+

2.D

a

�F� ��L6

1+

2� =

L6 arct

an

,-,-,-,� ��=

L6�

konv

ergi

ert,

ist

auch

dasI

nteg

ral

=H> (I )ub

erdi

elin

keS

eite

derG

lei-

chun

gabs

olut

konv

erge

nt.

Auß

erde

mha

t

=?> eine

Ste

tigke

itsei

gens

chaf

t,die

wir

imH

inbl

ick

auf

spat

ereA

nwen

dung

engl

eich

etw

asal

lgem

eine

rform

ulie

renw

olle

n:

Lem

ma:

ITS :# $% un

d

���I :

# $% se

ienF

unkt

ione

nder

art,d

aßdi

eIn

tegr

ale

��� ��� (

)

I S ( )

� und

� � ��� (

)

I ( )

exis

tiere

n.A

ußer

dem

sei

� besc

hrank

tund

��� ��& I ( )

�ITS (

)& � $ 0

fur

U$7

Dan

nis

t

lim SV�

��� ��� (

)

I S ( )

� =

��� ��� (

)

I ( )

� .

Bew

eis

:Ist

& � (

)& 06 fu

ralle

.# ,s

ois

t

,-,�,-,-,-,� � ��

� (

)

I ( )

� �� � ��

� (

)

ITS ( )

� ,-,�,-,-,-,

0��� ��

& � (

)& �&I ( )

�IWS (

)& �

��X

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

06

��� ��& I ( )

�ITS (

)& � ,

und

letz

tere

istd

as

6 -fac

heei

nerN

ullfo

lge,

also

selb

stN

ullfo

lge.

Wir

wol

len

dies

anw

ende

nauf

Fun

ktio

nen

I ausde

mSC

HW

AR

TZ-R

aum

und

Fun

ktio

nen

� ,di

eho

chst

ensp

olyn

omia

lans

teig

en,d

ieab

erni

cht

notw

endi

gerw

eiseb

esch

r ankt

sind

.Um

dasz

uko

mpe

nsie

ren,f

uhre

nwir

furF

olge

naus

dem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

eine

nsta

rker

enK

onve

rgen

zbeg

riff

ein,

wob

eiw

ir(w

iesc

hon

beid

erD

efini

tion

eine

rsta

rkab

falle

nden

Fun

ktio

n)gl

eich

sovi

elw

ienu

rirg

endw

iem

oglic

hfo

rder

n:

Defi

nitio

n:E

ine

Folg

e

� ITS" SYZ von

Fun

ktio

nen

I S.( (

# )ko

nver

-gi

ertg

egen

I.( (

# ),w

enn

f ura

lle

[ �J.K 0

gilt:

sup � Y\,-,�, N �

I(] ) (

)

�I(

] ) S (

)

",-,�,$ 0

f ur

U$7 .

Wir

ford

ern

also

,daß

alle

Pro

dukt

evon

-Pot

enze

nund

Abl

eitu

ngen

von

ITS gege

ndie

ents

prec

hend

eKon

stru

ktio

nfur

I konve

rgie

ren.

Unt

erdi

eser

extr

emst

arke

nV

orau

sset

zung

verw

unde

rtnic

ht

Lem

ma:

� seie

ine

stuc

kwei

sest

etig

eFun

ktio

n,di

eei

nerA

bsch

atzu

ngde

rFo

rm

& � (

)& 0L N ge

nuge

.Dan

nis

tfu

rje

dege

gen

I.( (

# )ko

nver

gent

eFol

gevo

nF

unkt

ione

n

I S.( (

# )

lim SV�=H> (ITS

)=

=H> (I ).

Bew

eis

:Wir

gehe

nahn

lichv

orw

iebe

imB

ewei

sder

Exi

sten

zvon

= > (I ):

Furj

edes

P .K 0

ist

sup � Y\,-,�, O �

I ( )

�IWS (

)

",-,�,ei

neN

ullfo

lge,

esgi

btal

sozu

jede

m

^Q 0ei

n

5 .K ,s

oda

ß

sup � Y\,�,-, O �

I ( )

�IWS (

)

",�,-,_^ fu

ralle

UQ5 .

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n��`

Insb

eson

dereg

ibte

ssol

cheW

erte

fur

P =

J und

fur

P =

J +2,

und

dam

itgi

btes

auch

zuje

dem

^Q 0ei

n

5 .K ,s

oda

ß

sup � Y\,�,-, N (1

+

2 )

� I ( )

�IWS (

)

",�,-,_^ fu

ralle

UQ5 ,

d.h.

,-,-, N �I ( )

�IWS (

)

",-,-,_^

1+

2fu

ralle

UQ5 un

d

.# .

Dam

itis

t

,-,=?> (

I )�=?> (IWS

),-,0��� ��

,-,� (

)

� I ( )

�I S (

)

",-,�

0� � ��,-,-,L N� I ( )�ITS ( )

",-,-,� 0

��� ��L^

1+

2� =

L � �^

fur

alle

UQ5 0

.D

a

L und

� konst

ants

ind

und

wir

^ belie

big

klei

nm

ache

nkon

nen,

folg

tdie

Beh

aupt

ung.

Defi

nitio

n:E

ine

Dis

trib

utio

nau

fdem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

iste

ine

line-

are

Abb

ildun

g

= :

( (

# )

$% ,so

daß

fur

jede

gege

nei

n

I.( (

# )ko

nver

gent

eFol

gest

arka

bfal

lend

erF

unkt

ione

n

I S gilt:

lim SV�= > (I S

)=

=?> (I ).

Nac

hde

mge

rade

bew

iese

nenL

emm

ais

tal

so

=?> fur

jede

stuc

kwei

-se

stet

ige

Fun

ktio

n

� ,di

eni

chts

tark

eral

sei

nP

olyn

omw

achs

t,ein

eD

istr

ibut

ion

aufd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

.

Das

sind

alle

rdin

gsbe

iwei

tem

noch

nich

talle

Dis

trib

utio

nen

aufd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

:Bei

spie

lsw

eise

istf

urje

des

).# au

ch

acb :

d ( (

# )

$% IE$I () )

eine

Dis

trib

utio

n:D

ieLi

near

itati

stkl

ar,u

ndfu

rei

nege

gen

I.( (

# )ko

nver

gent

eFol

gest

arka

bfal

lend

erF

unkt

ione

n

I S isti

nsbe

sond

ere

sup � Y\& I ( )

�I S (

)&

��e

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

eine

Nul

lfolg

e,er

stre

chta

lso

& I (

) )�ITS () )

& ,so

daß

esau

chm

itde

rS

tetig

keit

kein

eP

robl

emeg

ibt.

Die

seD

istr

ibut

ion

beze

ichn

etm

anal

sD

IRA

Csc

heD

elta

-Dis

tribu

tion.

Nic

htga

nzko

rrek

tsp

richt

man

auch

von

eine

rD

IRA

Csc

hen

Del

ta-

Fun

ktio

nun

dsc

hrei

bt,g

erad

eso

als

sei

afb von

derF

orm

=hg ,

a 0(

� )=

��� ��i (

)

� (

)

� und

afb (

� )=

��� ��i (

�) )� (

)

� .

Die

Sch

reib

wei

se

��j ��i (

�) )� (

)=

� (

) )finde

tman

nich

tnu

rfu

r

Fun

ktio

nen

� ausd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

,son

dern

ofta

uchf

urbe

liebi

gest

etig

eFun

ktio

nen

� .PA

UL

AD

RIE

NM

AU

RIC

ED

IRA

C(1

902–

1984

)wuc

hsau

fin

Eng

land

als

Soh

nei

nes

Sch

wei

zerV

ater

sun

dei

-ne

reng

lisch

enM

utte

r.T

rotz

groß

emIn

tere

ssea

nde

rM

athe

mat

ikst

udie

rte

ervo

n19

18–1

921E

lekt

rote

ch-

nik

ande

rU

nive

rsita

tB

risto

l,da

erau

fke

inen

Fall

Lehr

erw

erde

nw

ollte

.19

21er

hiel

ter

ein

Stip

endi

-um

der

Uni

vers

itat

Cam

brid

ge;d

adi

eses

aber

nich

tzu

mLe

ben

gere

icht

hatte

,blie

ber

inB

risto

l,w

oih

ndi

eU

nive

rsita

tvon

Stu

dien

gebuh

ren

befr

eite

und

sei-

nen

Wec

hsel

indi

eM

athe

mat

iker

laub

te.A

b19

23ar

-be

itete

erin

Cam

brid

gean

sein

erD

isse

rtat

ion

uber

Qua

nten

mec

hani

k,die

er19

26ab

schl

oß.1

930

folg

teei

nB

uch

uber

Qua

nten

mec

hani

k,fur

das

er19

33m

itde

mN

obel

prei

sfur

Phy

sik

aus-

geze

ichn

etw

urde

.193

2be

kam

erei

nen

Lehr

stuh

lfur

Mat

hem

atik

ande

rU

nive

rsita

tC

ambr

idge

.Nac

hse

iner

Em

eriti

erun

gleb

teer

inF

lorid

a,w

oer

1971

Phy

sikp

rofe

ssor

ande

rFlo

rida

Sta

teU

nive

rsity

wur

de.Z

entr

ales

The

mas

eine

rArb

eite

nwar

die

Anw

endu

ngm

athe

mat

isch

erMet

hode

nauf

die

Qua

nten

mec

hani

kund

die

Rel

ativi

tats

theo

rieso

wie

auch

Ans

atze

zur(

bis

heut

enic

htbe

frie

dige

ndge

lost

en)V

erei

nhei

tlich

ungd

iese

rbei

den

The

orie

n.

Wen

nes

wirk

lich

eine

Fu

nkt

ion

i :

# $% ga

be,fu

rdie

��� ��i (

)

� (

)

� =

� (0)

war

efur

jede

(sta

rkab

falle

ndeo

dera

uche

infa

chst

etig

e)F

unkt

ion

� ,so

muß

te

i (

)fu

r

; =0

vers

chw

inde

n–ab

gese

henev

entu

ellv

onei

nige

n

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n���

isol

iert

enP

unkt

en,d

iefu

rdi

eIn

tegr

atio

nbe

deut

ungs

loss

ind.

Dam

itm

ußte

aber

unab

h ang

igvo

mF

unkt

ions

wer

t

i (0)

und

unab

h ang

igvo

nde

rFun

ktio

n

� dasI

nteg

ralv

ersc

hwin

den.

Die

”Los

ung“

,

i (0)=

7 zuset

zen,

fuhr

tnic

htzu

eine

rsin

nvol

len

Inte

r-pr

etat

iond

eslin

ksst

ehen

denIn

tegr

als,

denn

wen

nm

anei

nenA

usdr

uck

wie

2

�7

uber

haup

tinte

rpre

tiere

nkan

n,da

nnw

ohln

urim

Sin

nevo

n2

�7

=

7 tun,u

ndda

mit

war

e2

i (

)=

i ( ),

obw

ohld

ieD

istr

ibut

ione

n

d ( (

# )

$% IE$I (0)

und

d ( (

# )

$% IE$

2

I (0)w

ohld

efini

ertu

ndof

fens

icht

lichv

ersc

hied

ensi

nd.

Die

Sch

reib

wei

sem

itei

ner ”F

unkt

ion“

i ista

lsoi

nm

ehrfa

cher

Hin

sich

tpr

oble

mat

isch

,hat

sich

aber

gera

dein

dert

echn

isch

enLi

tera

ture

in-

gebu

rger

tund

soll

dahe

rauc

hhi

erve

rwen

detw

erde

n.M

anso

llte

sich

aber

klar

mac

hen,

daß

man

nurA

usdr

ucke

wie

��� ��i (

�k )� (

)

� =

� (

k )si

nnvo

llin

terp

retie

renk

ann,

inan

dere

nZus

amm

enh an

genh

at

i (

)kei

neve

rnun

ftige

Bed

eutu

ng.

Pro

blem

losu

nter

eine

mIn

tegr

alze

iche

nsin

dau

chLi

near

kom

bina

tione

nde

rArt

Sml N =1

) Ni (

� N ),

denn

Line

arko

mbi

natio

nenv

onD

istr

ibut

ione

nsin

dw

iede

rDis

trib

utio

-ne

n.Im

vorli

egen

denF

allw

are

dies

die

Dis

trib

utio

n

S l N =1

) Na� n,

fure

ine

star

kabf

alle

ndeF

unkt

ion

I istals

o

� � ��o S l N =

1

) Ni (

� N )p I ( )

� =

Sml N =1

) Na� n(I )

=

S l N =1

) NI (

N ),

���

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

und

dam

anzu

min

dest

die

DIR

AC-D

istr

ibut

ion

auch

einf

ach

als

linea

reA

bbild

ung

auf

q 0 (

# �% )be

trac

htet

,kann

man

dies

auch

f ure

ine

belie

-bi

gest

etig

eFun

ktio

n

I sinnv

olli

nter

pret

iere

n.So

istb

eisp

iels

wei

se

��� ��i (

� 1)

�� ��� =

�� �

und

��� ��

1 2

� i (

� 1)+

i (

+1)

" �� �� �

=

�� � +

��� �

2=

cos

.

Da

wir

nurD

istr

ibut

ione

nau

fdem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

betr

acht

en,si

ndau

chvi

ele

unen

dlic

heLi

near

kom

bina

tione

nwie

etw

a

� l N =1

a N

oder

� l N =1

Ja N

woh

ldefi

nier

t,de

nnfu

rei

nest

ark

abfa

llend

eFun

ktio

n

I konve

rgie

ren

sow

ohl

� l N =1

I (J )al

sau

ch

� l N =1

J I (J ).

Wir

konn

enei

neD

istr

ibut

ion

= aufd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

nich

tnur

mit

Kon

stan

tenm

ultip

lizie

ren,

sond

erna

llgem

eine

rauc

hmit

mit

eine

rbel

ie-

big

ofts

tetig

diff

eren

zier

bare

nFun

ktio

n

� ,dieho

chst

ensp

olyn

omia

les

Wac

hstu

mha

t:Fu

rein

eD

istr

ibut

ion

derF

orm

=?> ist

=mr> (

I )=

� � ��� ( )

� (

)

I ( )

� =

��� ��� (

)

� � ( )

I ( )

" � =

=H> (�I ),

daau

ch

�I eine

star

kabf

alle

ndeF

unkt

ioni

st.S

omitk

onne

nwir

fure

ine

belie

bige

Dis

trib

utio

n

= aufd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

dasP

rodu

kt

�= :

d ( (

# )

$% IE$= (

�I )de

finie

ren.

Bei

spie

lsw

eise

geho

rt

i (

)zu

rDis

trib

utio

n

a 0:

d ( (

# )

$% IE$a 0

(

I )=(

I )(0)=

0�I (0

)=0

,

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8��

d.h.

i =0.

Man

uber

legts

ich

leic

ht,d

aßfu

rjed

eF

unkt

ion

� wieob

engi

lt

�i =

� (0)

i .

Pro

blem

atis

cheri

stdi

eD

efini

tion

eine

sPro

dukt

svon

Dis

trib

utio

nen:

Die

obig

eRec

hnun

gdr u

ckt

=sr> aus

durc

h

=?> und

� ,nicht

aber

durc

h

=?>

und

=mr ,wie

wir

esbr

auch

ten,

umei

nP

rodu

ktzw

eier

Dis

trib

utio

nenz

ude

finie

ren.

Auc

hso

nstig

eVer

such

e,den

Aus

druc

k

=sr> (

I )umzu

form

en,

fuhr

enni

chtz

ubr

auch

bare

renE

rgeb

niss

en,un

din

derT

atka

nnm

anin

derT

heor

iede

rDis

trib

utio

nene

inP

rodu

ktnu

rals

Line

arfo

rmau

fdem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

ders

tark

abfa

llend

enF

unkt

ione

nzw

eie

rVer

ande

r-lic

her

defin

iere

n.D

iese

rRau

mw

irdw

eite

rhin

ten

zwar

kurz

erw

ahnt

wer

den,

esw

urde

aber

zuw

eitf

uhre

n,ih

nw

irklic

hzu

beha

ndel

n.Wir

wol

len

dahe

rnur

fest

halte

n,da

ßP

rodu

kte

von

i - ”Fun

ktio

nen“

nich

tsi

nnvo

llal

sD

istr

ibut

ione

nauf

( (

# )de

finie

rtw

erde

nkon

nenu

nd.

Ahn

lich

iste

smit

Aus

druc

ken

derF

orm

�g (

� )od

ersi

n

i (

):D

abe

ispi

els-

wei

se��� ��

�> (

� )

I ( )

� und

��� ��� (

)

�t (� )

nich

tsm

itein

ande

rzu

tun

habe

n(un

d

�t (� )ni

chte

inm

alei

nest

arka

bfal

-le

ndeF

unkt

ion

ist)

,kon

nenw

irhi

erni

chte

infa

chdi

eE

xpon

entia

lfunk

-tio

nin

sA

rgum

entv

on

=?> schi

eben

,und

esis

tgib

tauc

hkei

neso

nstig

e

Art

und

Wei

se,A

usdr

ucke

nw

ie

�g (

� )od

ersi

n

i (

)ei

nenS

inn

zuge

ben.

Bei

derF

unkt

ions

schr

eibw

eisev

onD

istr

ibut

ione

nm

ußm

ansi

chal

sost

etss

orgf

altig

uber

legen

,ob

ein

gege

bene

rAus

druc

kwirk

lich

sinn

voll

isto

dern

icht

.

c)D

ieF

ourie

r-T

rans

form

iert

eei

nerD

istr

ibut

ion

� seie

ine

abso

lutin

tegr

ierb

areF

unkt

ion,

d.h.

dasI

nteg

ral

��� ��& � (

)& �

konv

ergi

ereg

egen

eine

nend

liche

nWer

t.D

anni

stau

ch

� (

)

��� �� ab

solu

tin

tegr

ierb

ar,

dadi

ese

Fun

ktio

nde

ngl

eich

enB

etra

gha

twie

� (

),un

d

8��

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

dam

itko

nver

gier

tauc

hdas

FOU

RIE

R-I

nteg

ral

�� (

)=

��� ��� (

)

��� �� �

abso

lut.D

aM

ultip

likat

ion

desI

nteg

rand

enm

itei

ners

tark

abfa

llend

enF

unkt

ion

I nicht

san

dera

bsol

uten

Inte

grie

rbar

keit

ande

rt,is

tauc

hdie

linea

reA

bbild

ung

= � > :

@BAAAC AA�AD( (

# )

$% IE$��� ����� (

)

I ( )

woh

ldefi

nier

t,und

nach

dem

Sat

zvon

FUB

BIN

Igi

ltf u

ralle

star

kabf

al-

lend

enF

unkt

ione

n

I.( (

# )

= � > (I )=

��� ���� (

)I (

)� =

��� ��u v��� ��

� (

)

��� �� �

w xI (

)�

=

��� ��� (

)

u v��� ��

I ( )

��� �� �

w x�

=

��� ��� (

)

� I ( )

� =

=H> (� I ).D

ies

legt

folg

ende

Defi

nitio

nna

he:

Defi

nitio

n:D

ieFO

UR

IER-T

rans

form

iert

eder

Dis

trib

utio

n

= :

( (

# )

$%is

tdie

Dis

trib

utio

n

� = :

d ( (

# )

$% IE$= (

� I );

die

inve

rseF

OU

RIE

R-T

rans

form

iert

evon

= ist

ˇ= :

d ( (

# )

$% IE$= (

ˇI ).

Zun

achs

tmus

senw

irun

sube

rlege

n,ob

dasu

berh

aupt

sinn

voll

ist:

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�8

Lem

ma:

Fure

ineD

istr

ibut

ion

= :

( (

# )

$% sind

auch

�y= und

ˇ= wie

der

Dis

trib

utio

nenu

ndˇ� = =

� ˇ= =

= .

Bew

eis

:Die

letz

teA

ussa

gefo

lgts

ofor

taus

den

Defi

nitio

nens

owie

der

ents

prec

hend

enAus

sage

fur

star

kabfa

llend

eFun

ktio

neni

n

' 7c).

Auc

hdi

eLi

near

itatv

on

� = istk

lar,

dadi

eFO

UR

IER-T

rans

form

atio

nauf

dem

SCH

WA

RT

Z-R

aum

eine

linea

reO

pera

tioni

st,d

.h.d

ieFO

UR

IER-T

rans

for-

mie

rte

von

z I +

{| fur

z �{.% is

tz� I +{� | .

Furd

ieS

tetig

keit

von

� = genu

gtes

weg

ende

rSte

tigke

itvo

n

= ,wen

nwir

zeig

en,d

aßfu

rei

neko

nver

gent

eFol

gevo

nF

unkt

ione

n

IWS ( )

.( (

# )m

itG

renz

wer

t

I.( (

# )au

chdi

eFo

lge

derF

OU

RIE

R-T

rans

form

ier-

ten

} ITS gege

n

� I konve

rgie

rt.W

irm

usse

nals

oze

igen

,daß

f ur

jezw

eiZ

ahle

n

J �[.K 0

gilt

lim SV�sup �Y\,-,-,N

} IWS(

] ) (

)�N � I(

] ) (

),-,-,=0.

Nac

hde

nFo

rmel

nau

s

' 6b)i

st

N � I(] ) ( )=N � (�~ )

]� ] I

(

)=(

�~ )

] �N� ] I (

)=

(

�~ )

] � (

�~ )

N � | (

)=(

�~ )

] +N� | (

)mit

| =

�N � ] I ( )

"� N

.

Dur

ch

J -fac

heA

nwen

dung

derP

rodu

ktreg

elfo

lgt,

daß

| Line

arko

mbi

-na

tionv

onTe

rmen

derF

orm

O I(

� ) ist.

Weg

ende

rDre

ieck

sung

leic

hung

reic

htes

also

,zu

zeig

en,d

aßfu

ralle

P ��.K 0

gilt

lim SV�sup �Y\,-,-,-,

� O I(

� ) S (

)�� O I (

� ) ( )

,-,-,-,=0.

Nac

hDefi

nitio

nde

rKon

verg

enzi

n

( (

# )gi

btes

zu

P �� und

jede

m

^Q 0ei

n

5 1

.K ,so

daß

fur

U/5 1

gilt

sup � Y\,-,-, O I(

� ) S (

)

� OI(� ) (

),-,-,_^ 2

.

Gen

auso

gibt

esau

chei

n

5 2

.K ,so

daß

fur

U/5 2

sup � Y\,�,-, O +

2

I(� ) S (

)

� O +2

I(� ) (

),�,-,_^ 2

8�G

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

ist;

fur

U groß

erod

ergl

eich

dem

Max

imum

5 0vo

n

5 1un

d

5 2gi

ltal

so

,-,-, O I

(

� ) S (

)

� OI(� ) (

),-,-,_^

1+

2un

d

,-,�,-,� O I(

� ) S (

)�� O I (

� ) ( )

,-,�,-,=,-,-,�,-,-,� � ��

� O I(

� ) S (

)

� OI(� ) (

)

" ��� �� � ,-,-,�,-,-,

0��� ��,-,-, O I

(

� ) S (

)

� OI(� ) (

),-,-,� 0^

� � ���

1+

2=

^ � ,de

rLim

esfu

r

U$7 ista

lso

glei

chnu

ll,w

iebe

haup

tet.

Um

zuse

hen,

was

die

neue

Defi

nitio

nbr

ingt

,wol

len

wir

die

FOU

RIE

R-

Tra

nsfo

rmie

rted

esS

inus

bere

chne

n:Im

klas

sisc

henS

inne

als

sin

=

��� ��

sin

���� ���

exis

tiert

sie

beka

nntli

chni

chts

.ImD

istr

ibut

ione

nsin

neis

t

�y= sin(

I )=

= sin(

� I )=

��� ��sin

� I (

)� =1 2

~� � ��(

�� ����

� � )

� I ( )

=1 2

~� � ��

� I ( )

�� �� �1 2

~��� ��

� I ( )

�� ��

=2

2

~1 ˇ� I (1)

�ˇ� I (

� 1)2 =

��~�I (1)

�I (

� 1)" ,

denn

furj

ede

Fun

ktio

n

� istˇ� (1)

=1 2

�� � ��

� ( )

�� ��

und

ˇ� (� 1)

=1 2

���� ��

� ( )��� �� .

Furd

ieob

enei

ngef

uhrt

eD

IRA

C-D

istr

ibut

ion

gilt

acb (I )=

��� ��i (

�) )I ( )

� =I () ),

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�R

und

dam

itis

t

��= sin

=

��~�a 1

�a� 1" =

�~�a � 1�a 1" .

Kur

z,w

enn

auch

etw

askr

imin

ell,

konn

enw

irdi

esal

s

sin(

)=

�~� i (

+1)

�i ( � 1

)

"

schr

eibe

n.

Falls

dies

eRec

hnun

gauf

ein

sinn

volle

sE

rgeb

nisf

uhrt

e,so

llte

sin

=1 2

���� ��

sin

��� �� �

sein

,und

inde

rTat

ist

1 2

�� � ��(

��~ )

� i (

� 1)

�i (

+1)

" �� �� �

=

�~ 2

��� ��i (

� 1)

�� ��� +

~ 2

��� ��i (

+1)

�� ���

=

�~ 2

� �� ����

� � " =

�� ����

� �

2

~

=si

n

.

d)D

erS

atz

von

Rie

sz

Der

letz

teA

bsch

nitt

hatg

ezei

gt,d

aßdi

eFO

UR

IER-T

rans

form

atio

nauf

dem

Niv

eaud

erD

istr

ibut

ione

nwei

tgeh

endu

npro

blem

atis

chist

.Was

uns

iner

ster

Lini

ein

tere

ssie

rt,si

ndab

erA

ussa

genu

berd

ieFO

UR

IER-T

rans

-fo

rmat

iona

ufde

mN

ivea

uder

Fu

nkt

ion

en

;wir

mus

sena

lsow

isse

n,w

iew

irvo

nD

istr

ibut

ione

nwie

derz

uruc

kkom

men

zuF

unkt

ione

n.W

ieda

sB

eisp

ield

erD

IRA

C-D

istr

ibut

ion

zeig

t,is

tdas

nich

tim

mer

mog

lich;

wir

mus

senu

nsal

sozu

erst

uber

legen

,was

Dis

trib

utio

nend

erFo

rm

= > mit

� . L2(

# �% )au

szei

chne

t.

8�X

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Bet

rach

tenw

irda

zufu

r

� . L2(

# �% )zu

nach

stdi

elin

eare

Abb

ildun

g

<�= > :

@�A�AAC AAA�DL2(

# �% )

$% �E$�F� ��

� (

)

� ( )

� .

Wie

imFa

llvo

n

=?> rech

netm

anau

chhi

ersc

hnel

lnac

h,da

ß

< =?> der

Ste

tigke

itsbe

ding

ung lim SV

�<�=?> (� S

)=

<�=?>� lim SV�� S"

genu

gt,

hier

alle

rdin

gsfu

rbe

zugl

ich

der

L2-N

orm

konv

erge

nte

Fol-

gen

(

� S ).A

ußer

dem

istn

achd

erC

AU

CH

Y-S

CH

WA

RZsc

henU

ngle

ichu

ng

,�,=?> (

� ),�, =& (

���� )& 09 �9 2

�9 �9 2

=

9 �9 2

�9 �9 2

,

furj

ede

Fun

ktio

n

�. L2(

# �% )la

ßts

ich

,-,=?> (

� ),-, also

absc

hatz

endu

rch

ein

von

� unabh

angi

gesV

ielfa

ches

derL

2-N

orm

von

� .D

iese

Eig

ensc

hafth

atni

chtj

edes

tetig

elin

eare

Abb

ildun

gvo

nL2

(

# �% )na

ch

% :B

eisp

iels

wei

seis

tfur

die

Fort

setz

ung

< a 0:

d L2(

# �% )

$% �E$� (0)

derD

IRA

C-D

istr

ibut

ion

a 0au

fL2(

# �% )un

dde

nR

echt

ecki

mpu

ls

� b :

@�AC A�D# $%

E$� )

falls

& & 0

1 b 20

sons

t

die

L2-N

orm

unab

hang

igvo

n

) gleic

h

9 � b9

2=

���-�-������ ��& � b& 2

(

)

� =

���-���-�-�1

� b 2 � � 1� b 2) 2�

=

� 2,

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�`

aber

a 0(

� b )=

� b (0)=

) kann

belie

big

groß

eW

erte

anne

hmen

.Hie

rka

nn

& a 0(

� )& also

nich

tdur

chei

nko

nsta

ntes

Vie

lfach

esvo

n

9 �9 2ab

-ge

scha

tztw

erde

n.

Defi

nitio

n:E

ine

linea

reA

bbild

ung

= :L2(

# �% )$% he

ißtb

esc

hra

nkt

,w

enn

esei

neK

onst

ante

L.# gi

bt,s

oda

ß

& = (

� )& 0L9 �9 2

fura

lle�. L2

(

# �% ).

Das

Infim

umal

ler

Zah

len

L ,diedi

ese

Eig

ensc

hafth

aben

,bez

eich

nen

wir

als

die

No

rm

9 =9

von

= .

Fur

� . L2(

# �% )is

t

< =H> also

besc

hrank

tund

hatd

ieN

orm

9 �9 2,d

enn

wie

wir

gera

dege

sehe

nhab

en,is

t

,-,<�=?> (

� ),-,09 �9 2

�9 �9 2

fura

lle

� ,und

spez

iellf

ur

� =� is

t,-,<= > (� ),-, =(

���� )=

(

���� )=

9 �9 2 2.

Das

Sch

one

anqu

adra

tinteg

rierb

aren

Fun

ktio

nen

ist,

daß

sich

dies

eA

ussa

geau

chum

kehr

enla

ßt:Z

uje

derb

esch

rankt

enD

istr

ibut

ion

= gibt

esei

neF

unkt

ion

� . L2(

# �% ),so

daß

= =

< =?> ist.

Zum

Bew

eis

brau

chen

wir

unte

rand

erem

,daß

L2(

# �% )bi

sau

fda

sP

robl

emm

itde

nN

ullfu

nktio

nen

ein

HIL

BE

RT-R

aum

ist,

d.h.

Lem

ma:

InL2

(

# �% )ha

tjed

eC

AU

CH

Y-F

olge

eine

nGre

nzw

ert.

Die

sesL

emm

aist

,so

wie

wir

L2(

# �% )de

finie

rtha

ben,

leid

erfa

lsch

;es

gilt

nur,

wen

nw

irL2

(

# �% )er

setz

endu

rch

den

etw

asgr

oßer

enR

aum

alle

rLE

BE

SG

UE-

inte

grie

rbar

erF

unkt

ione

n,fu

rdie

dasI

nteg

ralu

berd

asB

etra

gsqu

adra

tendl

ich

blei

bt.D

aL

EB

ES

GU

E-In

tegr

ale

indi

eser

Vor

le-

sung

nich

tdefi

nier

twur

den,

muß

also

hier

eine

Luc

kebl

eibe

n;w

oes

Pro

blem

egib

t,ze

igtd

er

”Bew

eis“

:

� S seie

ineC

AU

CH

Y-F

olge

von

Fun

ktio

nena

usL2

(

# �% ),d.

h.zu

jede

m

^Q 0gi

btes

ein

5 Q 0,so

daß

fur

U ��/5 gi

lt

9 � S��W�9 2

_ ^ .O

ffens

icht

liche

rKan

dida

tfur

eine

Gre

nzfu

nktio

nist

jene

Fun

ktio

n

� ,di

eje

dem

Wer

t

den

Lim

esde

r

� S ( )zu

ordn

et;le

ider

gibt

esab

er

8�e

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

zuna

chst

kein

enG

rund

,war

umdi

ese

Folg

evo

nF

unkt

ions

wer

tenf

urje

des

konv

ergi

eren

sollt

e.W

irm

usse

ndah

eret

was

h art

erar

beite

n.

Wir

vers

chaff

enun

szun

achs

tein

eFo

lge

von

Wer

ten

^��Q

0,f u

rdie

� l � =1

^��_7

konv

ergi

ert–

beis

piel

swei

sek o

nnen

wir

^W� =1 � 2s

etze

n.D

a(

� S )ein

eC

AU

CH

Y-F

olge

ist,

gibt

eszu

jede

mdi

eser

^ � ein

UW� ,soda

ß

9 � S�� �9 20^�� f

ural

le

U ��QUW� .

Insb

eson

derei

stal

so

�-�� S � +1

�� S ��-� 20^�� .

Dam

itis

tfur

jede

nat u

rlich

eZ

ahl

J

� l � =N^��/

lim O V�O l � =N

�-�� S � +1

�� S ��-� 2

/ lim O V��-�-�-���O l � =N(

� S � +1

�� S �

)

�-�-�-��� 2

=lim O V

��-�� S � +1

�� S n�-� 2

.

Da

die

linke

Sei

tefu

r

J $7 we

gen

der

Kon

verg

enz

der

Sum

me

der

^ � gege

nnu

llge

ht,g

iltdi

esau

chf u

rdie

rech

te.D

aher

muß

esei

neF

unkt

ion

� geben

,die

fast

uber

allm

it

E$

lim �V�� S �(

)

uber

eins

timm

tund

furd

ie

lim �V��-�< �

�� S ��-� 2

=0

ist.

Da

alle

� S �inL2

(

# �% )lie

gen,

zeig

tdie

Dre

ieck

sung

leic

hung

,daß

auch

� dortl

iege

nmuß

–fa

lls

� integr

ierb

aris

t.M

anka

nnze

igen

,daß

inje

dem

Fall

LE

BE

SG

UE-

inte

grie

rbar

ist,

auch

wen

ndie

� S eben

falls

nur

LE

BE

SG

UE-

inte

grie

rbar

sind

;

� muß

aber

nich

tR

IEM

AN

N-in

tegr

ierb

arse

in.E

ine

letz

teA

nwen

dung

derD

reie

cksu

ngle

ichu

ngze

igtn

och,

daß

nich

tnur

die

Teilf

olge

der

� S n,son

dern

die

Folg

eal

ler

� S inde

rL2-N

orm

gege

n

� konve

rgie

rt.

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8��

Dam

itko

mm

enw

irzu

mei

gent

lichi

nter

essa

nten

Sat

zvon

Rie

sz:Z

uje

derb

esch

r ankt

enun

dst

etig

enlin

eare

nAbb

ildun

g

= :L2(

# �% )

$% gibt

esei

neF

unkt

ion

� . L2(

# �% ),so

daß

= =

< =?>

istu

nd

9 �9 2=

9 =9 .Die

Fun

ktio

n

� istb

isau

fNul

lfunk

tione

nein

deut

igbe

stim

mt.

Der

Bew

eis

iste

twas

lang

wie

rig,a

bers

eine

Gru

ndid

eeis

tein

fach

:

Ang

enom

men

,wir

betr

acht

eten

anst

elle

von

L2(

# �% )de

nen

dlic

hdi-

men

sion

alen

Vek

torr

aum

# 3 und

eine

linea

reA

bbild

ung

= :

# 3

$# .D

ann

wis

senw

irna

turli

ch,d

aßsi

ch

=� � k"sc

hrei

benl

aßta

ls

=� � k"=

) 1

k 1+

) 2

k 2+

) 3

k 3

mit

geei

gnet

enre

elle

nZ

ahle

n

) 1

�) 2un

d

) 3.D

iese

konn

enw

irzu

sam

-m

enfa

ssen

zuei

nenV

ekto

r� ).# 3 ,f

urde

n

=� � k"

=

� ) ��k

ist.

Die

serV

ekto

r� ) ents

pric

htde

rges

ucht

enF

unkt

ion

� ;ers

teht

offe

n-si

chtli

chse

nkre

chta

ufde

mU

nter

vekt

orra

um

� =

� � k.# 3

,-,=� � k" =

0

� ,

dera

ußer

f ur� ) =

� 0ei

neE

bene

besc

hrei

bt,u

nder

istd

urch

� bis

auf

eine

Pro

port

iona

litats

kons

tant

eein

deut

igbe

stim

mt.

InA

nalo

gie

dazu

betr

acht

enw

irau

chf u

rden

Sat

zvon

RIE

SZ

den

Ker

n

5 = def

� �.

L2(

# �% )

,�,= (

� )=0

von

= .Fal

ls

5 =L2

(

# �% )is

t,si

ndw

irfe

rtig

:Dan

nve

rsch

win

det

= (

� )ub

eral

l,und

� � 0er

fullt

alle

Beh

aupt

unge

n.

And

ernf

alls

gibt

esei

neF

unkt

ion

� . L2(

# �% ),di

eni

chti

n

5 liegt

.

Der

erst

eund

umsta

ndlic

hste

Bew

eiss

chrit

tbes

teht

darin

,daß

wir

uns

uber

legen

,daß

esin

L2(

# �% )

�5 auch

eine

Fun

ktio

n

< � gibt

,die

auf

5

senk

rech

tsteh

t,fur

die

also

�< � ��" =

0is

tfur

alle

�.5 .

Daz

ube

trac

hten

wir

den

Abs

tand

� = defin

frY49 ���9 2

von

� und

� .

8��

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Zu

rErin

ne

run

g:I

nde

rSch

uled

efini

ertm

ande

nA

bsta

ndei

nesP

unkt

svo

nei

nerE

bene

nals

denA

bsta

ndzu

mn a

chst

geleg

enen

Pun

ktde

rEbe

-ne

n.D

iese

rPun

ktis

tder

Fuß

punk

tdes

Lots

vom

gege

bene

nPun

ktau

fdi

eE

bene

;der

Ver

bind

ungs

vekto

rste

htal

sose

nkre

chta

ufde

rEbe

nen.

Bei

eine

mun

endl

ichd

imen

sion

alenR

aum

wie

5 konn

enw

irni

chts

i-ch

erse

in,d

aßes

soet

was

wie

eine

n”Lo

tfuß

punk

t“gi

bt–

inde

rTat

best

ehtd

ieH

aupt

arbe

itdes

erst

enB

ewei

ssch

ritts

gena

udar

in,d

ies

zuze

igen

.Des

halb

konn

enw

ir(n

och)

nich

tvon

eine

mm

inim

alen

Abs

tand

rede

n,so

nder

nmus

senu

nszu

nach

stm

itei

nem

Infim

umbe

gnug

en.W

irho

ffen

aber

(zu

rech

t,wie

sich

bald

zeig

enw

ird),

daßd

er”Lo

tfuß

punk

t“au

chin

unse

rem

Fall

exis

tiert

und

daß

der ”Lo

tvek

tor“

senk

rech

tauf

5

steh

t.

Obw

ohl

� nich

tin

5 liegt

,ko

nnen

wir

zum

inde

sta

prio

rini

chts

i-ch

erse

in,d

aßob

iges

Infim

umpo

sitiv

ist

–w

enn

wir

anst

elle

eine

rb

esc

hr a

nkt

ens

tetig

enlin

eare

nAbb

ildun

g

= beis

piel

swei

sedi

est

etig

elin

eare

Abb

ildun

g

< a 0be

trac

hten

wur

den,

war

e

� =0.

Da

unse

r

= aber

besc

hrank

tist

,hab

enw

irei

neK

onst

ante

LQ 0,so

daß

& = (

� )& 0L9 �9 2

fura

lle

�. L2(

# �% ).

Insb

eson

derei

stfu

rjed

es

�.5

& = (

� )& =

& = (

� )

�= (

� )& =

& = (

� �� )& 0L9 ���9 2

.

= (

� )ve

rsch

win

detn

icht

,da

� nich

tin

5 liegt

;fol

glic

his

t

9 ���9 2

/,-,�,-,= (

� ) L,-,�,-,fur

alle

�. L2(

# �% ).

Dam

itis

tau

chda

sIn

fimum

� alle

rdi

eser

Wer

tegr

oßer

oder

glei

ch

& = (

� )&� L ,al

sopo

sitiv

.

Ein

Infim

umm

ußni

chta

ngen

omm

enw

erde

n,m

anka

nnih

mab

erbe

lie-

big

nahe

kom

men

.Som

itgi

btes

eine

Folg

e(

� S )von

Fun

ktio

nena

us

5 ,so

daß

lim

SV�9 ��� S9 2

=

� ist.

Ein

e(z

iem

lich

lang

wei

lige)

Abs

chat

zung

zeig

t,da

ßdi

ese

Folg

eei

neC

AU

CH

Y-F

olge

ist,

d.h.

furj

edes

^Q 0gi

btes

eine

natu

rlich

eZ

ahl

U 0,

soda

ß

9 �W��� S9 20^ fu

r

U ��QU 0

.

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8��

Die

Ein

zelh

eite

nsei

enzu

mle

icht

eren

Ube

rlese

nim

Kle

indr

uck

ange

-ge

ben:

Zun

achs

tistf

urbe

liebi

geF

unkt

ione

n

� und

� � +

�� 2 2=

(

� +���� +� )

=(

� �� )+(

� �� )+(

���� )+(

���� )un

d

� � ��� 2 2

=(

� ����� �� )

=(

� �� )�(

� �� )�(

���� )+(

� �� ),al

so

� � +

�� 2 2+

� � ��� 2 2

=2

� � �� 2 2+

� �� 2 2

� .

Dam

iter

halte

nwir

��  ¡�  ¢� 2 2

=

� (

£ �  ¡)� (

£ �  ¢)

� 2 2

=2

� � £ �  ¡�

2+

� £ �  ¢� 2 2

� ��

2

£ �  ¡�  ¢� 2 2

=2

� � £ �  ¡�

2+

� £ �  ¢� 2 2

� � 4

¤¥¤¦¤¦¤£ �  ¡�  ¢ 2

¤¥¤¦¤¦¤2 2§ 2

� � £ �  ¡�

2+

� £ �  ¢� 2 2

� � 4

¨ 2 ,

denn

mit

  ¡ und

  ¢ lieg

tauc

h(

  ¡ +

  ¢ )

© 2in

ª ,hat

also

min

dest

ensA

bsta

nd

¨ von

£ .

Da

fur

die

Folg

ede

r  ¢ die

Abs

tand

e

� £ �  ¢� 2

gege

n

¨ konv

ergi

ert,

konv

ergi

erta

uch

die

Folg

ede

rAbs

tand

squa

drat

egege

n

¨ 2 ,und

esgi

btzu

jede

m

«¬ 0ei

n

­ 0,s

oda

ß

� £ �  ¢� 2 2

§¨ 2 +

« 4fu

r

­¬­ 0

.

Fur

­ �®¬ ­ 0

istd

aher ��  ¡�

  ¢� 2 2

§ 2

� ¨ 2 +

« 4+

¨ 2 +

« 4

� � 4

¨ 2 =

« ,w

iebe

haup

tet.

Da

inL2

(

# �% )na

chde

mvo

rigem

Lem

maj

ede

CA

UC

HY-F

olge

konv

er-

gier

t,fo

lgtd

aßde

rGre

nzw

ert < � =

lim SV�� S

inL2

(

# �% )ex

istie

rt.D

a

=� < �"

=

=� lim SV�� S

" =lim SV

�= (

� S )=lim SV

�0=0

ist,

liegt

< � in

5 .

Die

Fun

ktio

n

< � entsp

richt

dem

”Lotfu

ßpu

nkt“;

der ”Lo

tvek

tor“

< � =

� �< � ,

8��

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

von

dem

wir

bisl

angn

urw

isse

n,da

ß

�-�< ��-� 2=

� ist,

sollt

eal

soor

thog

onal

zu

5 sein

.

Fure

ineb

elie

bige

Fun

ktio

n

�.5 un

dei

nere

eleZ

ahl

z; =0

betr

acht

enw

irde

nA

bsta

nd

�-���� < � +

z �"�-�

2.

Da

< � +

z � in

5 liegt

,ist

dies

erA

bsta

ndm

inde

sten

sgle

ich

� ,d.h

.

� 20�-���� < � +

z �"�-�

2 2=

�-�� ��< �"�z �

�-�2 2=

���-�< � �z ����-�2 2

=

�< ��z ��< � �

z �" =

�-�< ��-� 2+

z 29�9 2 2

�z�� �< �" �z�< � ��" .

Da

���< ���� 2=

� 2 und

z =

z ist,

folg

tnac

hDiv

isio

ndu

rch

z ,daß

00z9 �9 2 2

�1 � � �< �" +

�< � ��"2 =

z9 �9 2 2

�1 � � �< �" +

� �< �"2

=

z9 �9 2 2

� 2

¯ °� ��< �"

fur

alle

reel

len

z; =0.

Lass

enw

ir

z ,so

woh

lvon

links

,al

sau

chvo

nre

chts

,geg

ennu

llge

hen,

folg

tals

o ¯ °� ��< �" =

0.

Die

Fun

ktio

n

�.5 w

arbe

liebi

g;da

mit

� auch

~ � in

5 liegt

,ist

also

auch

¯ °� ~� �< �" =

¯ °1 ~�� � �

< �"2 =

�± ²� � �< �" =

0,

also

vers

chw

inde

tauc

hde

rIm

agin

arte

ilvo

n(

� �< �" und

dam

it(

� �< �"se

lbst

.

< � steh

tals

oin

derT

atse

nkre

chta

ufal

len

�.5 .

< � istn

urbi

sau

fein

eKon

stan

tebes

timm

t;wir

wol

len

unsu

berle

gen,

daß

� = def

=�< �" �-�< ��-�2�< �

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�8

dasr

icht

ige

Vie

lfach

emit

=?> =

= ist:

Fur

�. L2(

# �% )is

t

< =H> (� )=

� � ��" =

u v� �=�< �" �-�< ��-�2

�< �w x =u v� �=�< �" �-�< ��-�2

�< �w x

=

=�< �" �-�< ��-�2

� � �< �" .

Insb

eson

dereis

tals

o

<�=?> (� )=

0fu

ralle

�.5 na

chK

onst

rukt

ionv

on

< � .

Fure

inV

ielfa

ches

z< � von

< � ist

<=H>� z< �" =

=�< �" ���< ����21 z< � �< �2 =

=�< �" ���< ����2

z�������2 2

=

z =�<³�" =

=� z< �" ,

auch

indi

esem

Fall

stim

men

=?> und

= som

itub

erei

n.W

egen

derL

ine-

arita

tvon

= und

von

<= > istda

her

< =?>� �+

z< �" =

=� � +

z< �"

fura

lle

�.K �z.% .

Ein

ebe

liebi

geF

unkt

ion

� . L2(

# �% )ko

nnen

wir

inde

rFor

m

� =

o � �= (

� ) =�< �"< �p +

= (

� ) =�< �"< �

dars

telle

n.D

a

=o � �= (

� ) =�< �"< �p =

= (

� )

�= (

� ) =�< �"=�< �"

=

= (

� )

�= (

� )=

0

vers

chw

inde

t,lieg

tder

erst

eSum

man

din

5 ,und

derz

wei

teis

tnat

urlic

hei

nV

ielfa

ches

von

< � .Als

ola

ßts

ich

jede

quad

ratin

tegrie

rbar

eFun

ktio

nda

rste

llena

lsS

umm

eein

erF

unkt

iona

us

5 und

eine

mV

ielfa

chen

von

< � ,di

elin

eare

nAbb

ildun

gen

= und

< =H> stim

men

also

uber

ein.

Dam

itsi

ndw

irfa

stfe

rtig

:Wen

n

= =

<�=H> ist,h

aben

beid

eAbb

ildun

gen

natu

rlich

auch

dies

elbe

Nor

m,u

ndw

irw

isse

nber

eits

,daß

<�= > diese

lbe

Nor

mha

twie

� ,d.h

.

9 =9

=

�-�<�= >�-� =

9 �9 2.

8�G

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

FRIG

YE

SR

IES

Z(1

880–

1956

)stu

dier

teM

athe

mat

ikin

Bud

apes

t,Got

tinge

nund

Zur

ich.

1902

prom

ovie

rte

erin

Bud

apes

tmit

eine

rArb

eit u

berG

eom

etrie

s,191

1w

ur-

deer

Pro

fess

oran

derd

amal

sung

aris

chen

Uni

vers

itat

Kol

ozsv

ar.N

achd

emK

oloz

svar

1920

rum

anis

chw

urde

,zo

ger

mit

derU

nive

rsita

tum

nach

Sze

ged.

1945

beka

mer

eine

nLeh

rstu

hlan

derU

nive

rsit a

tBud

apes

t.

RIE

SZ

iste

iner

derV

ater

derF

un

ktio

na

lan

aly

sis,j

ener

mat

hem

atis

chen

Dis

zipl

inal

so,d

ieF

unkt

ione

nr aum

em

itan

alyt

isch

enM

etho

denu

nter

such

tundi

nsbe

sond

ere

auch

fund

amen

talfu

rdi

eFO

UR

IER-A

naly

sis

ist.

Den

obig

enS

atzb

ewie

ser

1907

.

e)D

ieP

lanc

here

l-For

mel

Der

Sat

zvo

nR

IES

Zsa

gtun

s,w

ann

linea

reF

unkt

ione

nauf

L2(

# �´ )in

der

Form

<=H> gesc

hrie

benw

erde

nko

nnen

mit

eine

rF

unkt

ion

ausL

2(

# �´ ).D

aw

irdi

eFO

UR

IER-T

heor

ieau

fL2(

# �´ )zu

r uck

fuhr

enw

olle

nau

fdie

fur

Dis

trib

utio

nen

aufd

emSC

HW

AR

TZ-R

aum

,mus

sen

wir

wir

dahe

rver

such

en,so

lche

Dis

trib

utio

nena

ufL2

(

# �´ )fo

rtzu

set-

zen.

Als

erst

esw

olle

nw

irun

sda

zuub

erleg

en,d

aßw

irje

deF

unkt

i-on

aus

L2(

# �´ )al

sG

renz

wer

tein

erFo

lge

von

Fun

ktio

nena

usde

mSC

HW

AR

TZ-R

aum

( (

# )sc

hrei

benk

onne

n.

Wir

begi

nnen

mit

dem

Bei

spie

ldes

Rec

htec

kim

puls

es

� (

)=

µ 1fu

r

)0 0*

0so

nst

,

dero

ffens

icht

lichi

nL2

(

# �´ )lie

gt,w

egen

derb

eide

nUns

tetig

keits

stel

-le

nab

erna

t urli

chni

chti

n

( (

# ).

Wir

kenn

enbe

reits

eine

Fun

ktio

nin

( (

# ),di

eau

chau

ßer

halbd

esIn

-te

rval

ls[

) �* ]ve

rsch

win

detun

din

dess

enIn

nern

posi

tivis

t,na

mlic

hdi

eF

unkt

ion

� :@�AAC AAD# $#

E$@BC D�� 1

(

�) )(* � )

falls

)_ _*

0so

nst

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�R

Allg

emei

nerh

atf u

rjed

ere

elle

Zah

l

[Q 0au

ch

� ] :

@�AAC AAD# $#

E$@BC D��[

(

�) )(* � )

falls

)_ _*

0so

nst

dies

elbe

Eig

ensc

haft.D

a(

�) )(* � )

bei

=(

) +* )

� 2m

axim

alw

ird,

hat

� ] dort

sein

einz

iges

Max

imum

und

� ]¶ ) +*

2

· =

�� 4[

(

* �) )2

.

Uns

erR

echt

ecki

mpu

lshat

eins

alsM

axim

alw

ert;

desh

albb

etra

chte

nwir

bess

eran

stel

lede

r� ] di

em

itde

mK

ehrw

ertd

esM

axim

umsm

ultip

li-zi

erte

nFun

ktio

nen

� ] :@�AA�C AAD# $#

E$@�C D�4

[

(

* �) )2

��[

(

�) )(* � )

falls

)_ _*

0so

nst

,

die

alle

bei(

) +* )

� 2ih

ren

Max

imal

wer

tein

sann

ehm

en.

0

0.2

0.4

0.6

0.81

24

68

Abb

.24:

App

roxi

mat

ion

des

Rec

htec

kim

puls

esdu

rch

star

kab

falle

nde

Fun

ktio

nen

8�X

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Abb

ildun

g24

zeig

tfur

) =2un

d

* =7

die

ents

prec

hend

enFun

ktio

nen

mit

[ =10

,

[ =1

und

f ur

[ =0

� 1.Die

inne

rste

Kur

vef u

r

[ =10

zeig

tnoc

hei

nkl

arau

sgep

ragte

sMax

imum

,die

Kur

vefu

r

[ =1

ist

scho

ndeu

tlich

flach

erim

mitt

lere

nTe

il,un

ddi

ef u

r

[ =0

� 1schl

ieß

lich

erin

nert

scho

nrec

htgu

tan

den

Rec

htec

kim

puls

� .

Die

seA

bbild

ung

legt

die

Ver

mut

ungn

ahe,

daß

die

� ] fur

[$

0in

der

L2-N

orm

gege

n

� konv

ergi

eren

.Lei

derk

onne

nwir

aber

9 ��� ]9 2

nich

t

ausr

echn

en,da

wir

kein

eSta

mm

funk

tionv

on

� ] kenne

n.(S

chon

��� 2 ist

schl

ieß

lichn

icht

elem

enta

rinte

grie

rbar.

)D

esha

lbm

usse

nwir

uns

mit

Abs

chat

zung

enbe

gnug

en.W

irer

war

ten,

daß

� ] imm

ittle

ren

Ber

eich

imm

erbe

sser

mit

derG

erad

enau

chH

ohe

eins

uber

eins

timm

t,wah

rend

esam

Ran

ddes

Inte

rval

lsim

mer

stei

lerg

egen

null

geht

.Dah

erw

ahle

nw

irei

n

i Q 0un

dbe

trac

hten

getr

ennt

denn

mitt

lere

nTe

il[

) +i �*�i ]

desI

nter

valls

und

die

beid

enR

andi

nter

valle

[

) �) +

i ]un

d[

* �i �* ].

Ube

rdas

Ver

halte

nvon

� ] inden

Ran

dint

erva

llen

k onn

enw

irso

gutw

ieni

chts

sage

n;w

irw

isse

nnur

,daß

aufj

eden

Fall

00� ] ( )0

1is

tund

scha

tzen

die

Dif

fere

nzzw

isch

en

� (

)=

1un

d

� ] ( )da

hera

bdu

rche

ins.

Imm

ittle

ren

Inte

rval

list

die

Dif

fere

nzzw

isch

en

� (

)un

d

� ] ( )im

In-

terv

allm

ittel

punk

t(

) +* )

� 2gl

eich

null

und

wac

hstd

ann,

wie

man

sich

durc

hA

blei

ten

von

� ] leicht

uber

zeug

t,mon

oton

.Insb

eson

derei

st

� ]

mon

oton

wac

hsen

dsow

ohli

n

�) als

auch

in

* � ;

wir

erha

ltend

a-he

rfur

dasm

ittle

reIn

terv

alle

ine

unte

reS

chra

nke,

wen

nw

irfu

rbe

ide

Dif

fere

nzen

den

Wer

t

i eins

etze

n,was

auf

�4

[

(

* �) )2

��[ i (1

�i )=

��[¶

1 i (1

�i )

4(

* �) )2

·fu

hrt.

Fur

. [

) +i �*�i ]

gilt

dahe

r

� (

)

�� ] (

)0

1

���[¶

1 i (1

�i )

4(

* �) )2

· .

Die

serA

usdr

ucki

stni

chts

ehra

ngen

ehm

,wir

wol

len

ihn

noch

wei

ter

absc

hatz

en.N

ach

Kon

stru

ktio

nvon

� ] istde

rExp

onen

tneg

ativ

,und

f ur

alle

k/ 0is

t1

���¸ 0k ,de

nndi

esgi

ltfu

rk =0

,und

die

Abl

eitu

ng

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8�`

��¸ von

1

���¸ is

tfur

jede

spos

itive

k klein

eral

sdi

eA

blei

tung

eins

von

k .Dahe

ristf

ur

. [

) +i �*�i ]

� (

)

�� ] (

)0

1

���[¶

1 i (1

�i )�

4(

* �) )2

·

0[¶

1 i (1

�i )�

4(

* �) )2

· .

Wir

inte

ress

iere

nuns

vor

alle

mf u

rkl

eine

Wer

tevo

n

i ;de

shal

bbe-

trac

hten

wir

imfo

lgen

denn

urno

chW

erte

i 01 2.D

ann

ist1

�i/ 1 2

und

� (

)

�� ] ( )0[¶ 2 i�

4(

* �) )2

· .

Dam

itk o

nnen

wir

die

L2-N

orm

derD

iffe

renz

absc

h atz

en:

9 ��� ]9 2 2

=

� � ��& � (

)

�� ] (

)& 2�

=

b +g � b& � (

)

�� ] (

)& 2� +

¹ �g � b +g& � (

)

�� ] (

)& 2�

+

¹ � ¹ �g& � (

)

�� ] (

)& 2�

0i +

[2 (

* �) )¶ 2 i�

4(

* �) )2

· 2 +

i .

Set

zenw

irhi

ersp

ezie

ll

i =

� [ ,was

wir

furh

inre

iche

ndkl

eine

[ durfe

n,so

wird

dies

zu

� [ +

[2 (

* �) )¶ 2 � [�

4(

* �) )2

· 2 +

� [

=2

� [ +

[ (* �) )¶ 2

�4

� [

(

* �) )2

· 2 ,

und

dies

erA

usdr

uck

geht

gege

nnu

llfu

r

[$

0.A

lso

konv

ergi

eren

die

� ] fur

[$7 ind

erL2

-Nor

mge

gen

� .

8�e

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Der

Vol

lst a

ndig

keit

halb

erw

olle

nw

irun

snoc

hub

erleg

en,d

aßau

chdi

eF

lach

ezw

isch

ende

nG

raph

envo

n

� ] und

von

� fur

[$7 geg

ennu

llge

ht:W

enn

wir

wie

eben

vorg

ehen

,erh

alte

nwir

die

Ung

leic

hung

�F� ��& � (

)

�� ] (

)& � 0i +

[ (* �) )¶ 2 i�

4(

* �) )2

· +

i ,

und

wen

nw

irhi

erw

iede

rspe

zial

isie

rena

uf

i =

� [ wird

dies

zu

� [¶ 2+

(

* �) )¶ 2

�4

� [

(

* �) )2

·· ,

was

fur

[$7 geg

ennu

llge

ht.

Da

� sow

iesa

mtli

che

� ] auß

erha

lbdes

Inte

rval

ls[

) �* ]ve

rsch

win

den,

geht

dam

itau

ch

��� ��& � (

)

�� ] (

)& �

fur

[$7 geg

ennu

ll.D

iese

sInt

egra

lbez

eich

netm

anal

sdie

º 1 -Nor

mvo

n

� �� ] ;di

eFo

lge

derF

unkt

ione

n

� ] konv

ergi

erta

lso

auch

inde

r

º 1 -Nor

mge

gen

� .

Die

seA

nnah

erun

gdes

Rec

htec

kim

puls

esdur

chst

arka

bfal

lend

eFun

k-tio

nenw

olle

nw

irim

nach

sten

Lem

maa

ufbe

liebi

gequ

adra

tinteg

rierb

are

Fun

ktio

nena

usde

hnen

:

Lem

ma:

Zu

jede

rFun

ktio

n

� . L2(

# �% )gi

btes

eine

Folg

evo

nF

unk-

tione

n

ITS.( (

# ),so

daß lim SV

�9 ��ITS9 2

=0

ist;

� laß

tsic

hal

sobe

zugl

ich

der

L2-N

orm

belie

big

gut

durc

hst

ark

abfa

llend

eFun

ktio

nena

nnah

ern.

Bew

eis

:In

eine

mer

sten

Sch

ritt

sollt

enw

irun

sub

erleg

en,d

bezu

glic

hde

rL2-N

orm

als

Gre

nzw

erte

iner

Folg

evo

nT

repp

enfu

nktio

-ne

n

» S mit

jew

eils

nure

ndlic

hvi

elen

Spr

ungs

telle

ndar

gest

elltw

erde

nka

nn.

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8��

Da

� nach

Vor

auss

etzu

ngin

tegr

ierb

aris

t,ko

nnen

wir

die

Fun

ktio

nzu

-m

inde

stau

fjed

emen

dlic

henI

nter

vall

durc

hso

lche

Tre

ppen

funk

tione

nan

nahe

rn,u

ndin

dem

wir

die

Inte

rval

lgre

nzen

gege

nun

endl

ich

gehe

nla

ssen

,gilt

dass

elbe

f ur

ganz

� .D

erB

ewei

s,da

ßw

irso

eine

Folg

evo

nT

repp

enfu

nktio

nenb

ekom

men

,die

be

z ug

lich

de

rL2-N

orm

gege

n

konv

ergi

erti

stzi

emlic

hte

chni

schu

ndm

ußdi

ega

nzeK

onst

rukt

iond

esR

IEM

AN

N-I

nteg

rals

nach

vollz

iehe

n;w

irw

olle

nda

hera

ufdi

eE

inze

lhei

-te

nve

rzic

hten

und

obig

eA

ussa

geei

nfac

hgl

aube

n.

Jede

derT

repp

enfu

nktio

nen» S is

tein

eSum

mev

onen

dlic

hvie

lenR

echt

-ec

kim

puls

en

¼ S� ,von

dene

nwie

deru

mje

dera

lsG

renz

wer

tein

erFo

lge

(

| S�½ )½YZ st

arka

bfal

lend

erF

unkt

ione

nges

chrie

benw

erde

nkan

n.M

itIWS½ =

l �| S�½

istd

anna

uch

lim ½ V�IWS½ =

lim ½ V�l �| S�½ =

l �¼ S� =

» S ,de

nndi

eS

umm

enub

er

~ sind

endl

ich.

Gen

aude

shal

blie

gen

die

Fun

k-tio

nen

IWS� auc

hin

( (

# ),un

dda

mit

ist

lim SV�I SS =

lim SV�» S =

� ,

wie

beha

upte

t.

Kor

olla

r:Z

uje

derD

istr

ibut

ion

= :

( (

# )

$% gibt

esei

nest

etig

elin

eare

Abb

ildun

g

< = :L2(

# �% )

$% ,die

auf

( (

# )

$% mit

= uber

eins

timm

t.

Bew

eis

:Jed

eFun

ktio

n

� . L2(

# �% )la

ßts

ich

als

Lim

esei

nerF

olge

ITS

star

kabf

alle

nder

Fun

ktio

nens

chre

iben

;wir

setz

enei

nfac

h

<�= (

� )=

lim SV�= (

I S ).D

amit

habe

nwir

alle

Vor

bere

itung

enzu

sam

men

und

k onn

enen

dlic

hbe

wei

sen,

wor

aufe

swirk

lich

anko

mm

t:

8��

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Sat

zvo

nP

lanc

here

l:Z

uje

derF

unkt

ion

� . L2(

# �% )gi

btes

Fun

ktio

-ne

n

��� und

ˇ� inL2

(

# �% ),so

daß

� =?> =

= � > und

ˇ=?> =

= ˇ>

ist;

FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

eund

inve

rseF

OU

RIE

R-T

rans

form

iert

evon

exis

tiere

nal

soal

sF

unkt

ione

n.ˇ� � un

d

� unte

rsch

eide

nsic

hho

chst

ens

durc

hei

neN

ullfu

nktio

n.A

ußer

dem

ist

���-������-� 2=

� 2

�9 �9 2

und

���-�ˇ����-� 2=

1 � 2

�9 �9 2.

Bew

eis

:Nac

hde

rC

AU

CH

Y-S

CH

WA

RZsc

hen

Ung

leic

hung

ist

fur

jede

star

kabf

alle

ndeF

unkt

ion

I.( (

# )

,-,-,� =H> (I )

,-,-,=,-,=H>� � I",-,

=

,-,-,� ���� I",-,-,09 �9 2

9� I9 2.

Wie

wir

aus

' 7c)w

isse

n,is

t

9� I9 2=

� 2

�9 I9 2

,als

o

,-,�,� = > (I )

,-,�,0� 2

�9 �9 2

9 I9 2.

Nac

hdem

Sat

zvon

RIE

SZ

gibt

esda

here

ineF

unkt

ion

� � . L2(

# �% ),fu

rdi

e

� = > =

= � >

ist.

Ihre

Nor

mis

tgle

ich

derv

on

� =?> ,also

istn

acho

bige

rAbs

chat

zung

�-�-�� ��-�-� 20� 2

�9 �9 2

.

Gen

auso

zeig

tman

auch

die

Exi

sten

zvon

ˇ� und

daß

gilt

�-���ˇ��-��� 20

1 � 2

�9 �9 2.

Da

die

Dis

trib

utio

nen

ˇ� = und

= uber

eins

timm

en,u

nter

sche

iden

sich

ˇ� � und

� hoch

sten

sdur

chei

neN

ullfu

nktio

n,ha

bena

lso

insb

eson

dere

dies

elbe

Nor

m.N

ach

den

bisl

angb

ewie

sene

nUng

leic

hung

enis

t

�-���ˇ� ��-��� 20

1 � 2

��-���� ��-��� 209 �9 2

;

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n88�

dalin

ksun

dre

chts

dies

elbe

Zah

lste

ht,m

ußin

beid

enU

ngle

ichu

ngen

dasG

leic

hhei

tsze

iche

ngel

ten,

und

derS

atzi

stbe

wie

sen.

MIC

HE

LPL

AN

CH

ER

EL

(188

5–19

67)w

arP

rofe

ssor

f ur

hohe

reM

athe

mat

ikan

der

Eid

geno

ssis

chen

Tech

ni-

sche

nH

ochs

chul

eZur

ich,

publ

izie

rte

sein

eA

rbei

ten

aber

infr

anz o

sisc

herS

prac

he.D

iese

befa

ssen

sich

nich

tnu

rm

itde

rde

rFO

UR

IER-T

heor

ieei

neru

ndm

ehre

rer

Ver

rand

erlic

her,s

onde

rnen

thal

tenb

eisp

iels

wei

seau

chw

icht

ige

S atz

eaus

ders

ogen

annt

enErg

oden

theo

rie,de

ral

lgem

eine

nThe

orie

dyna

mis

cher

Sys

tem

e.S

eine

letz

-te

,196

2er

schi

enen

eArb

eit,

befa

ßts

ich

mit

dem

Ein

-flu

ßde

rSte

uerge

setz

eauf

die

Sta

bilit

atei

nerV

olks

wirt

-sc

haft.

Den

obig

enS

atzb

ewie

ser

1910

;oft

wird

auch

nurd

esse

nletz

teA

ussa

geal

sPL

AN

CH

ER

EL-

Form

elbe

-ze

ichn

et.

Der

gera

debe

wie

sene

Sat

zsag

tuns

also

,daß

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

a-tio

nau

chau

fL2(

# �% )zu

min

dest

bis

aufN

ullfu

nktio

nen

woh

ldefi

nier

tis

t,w

asfu

rdi

em

eist

enZ

wec

kege

nugt

.Auß

erde

mgi

bter

uns

eine

Aus

sage

uber

die

Nor

men

,die

dem

Sat

zvon

PAR

SE

VAL

ausd

erT

heor

iede

rFO

UR

IER-R

eihe

nper

iodi

sche

rFun

ktio

nene

ntsp

richt

und

die

Aus

sa-

ge,d

aßFO

UR

IER-T

rans

form

atio

nund

inve

rseF

OU

RIE

R-T

rans

form

atio

nzu

min

dest

bis

aufN

ullfu

nktio

nen

tatsa

chlic

hin

vers

zuei

nand

ersi

nd.

Gel

egen

tlich

wol

len

wir

aber

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

atio

nan

eine

rbe-

stim

mte

nSte

llew

irklic

hke

nnen

,und

dazu

istd

erob

igeS

atzz

usc

hwac

h:D

adi

eD

istr

ibut

ion

=?> dieF

unkt

ion

¾ nurb

isau

fNul

lfunk

tione

nei

n-de

utig

best

imm

t,leg

t

=?> fur

kein

einz

iges

Arg

umen

t

den

Wer

t

� (

)w

irklic

hfe

st.

ImR

estd

iese

sAbs

chni

ttsw

olle

nw

irun

sube

rlege

n,da

ßauc

hder

Fun

k-tio

nsw

ertv

on

� anal

len

Ste

tigke

itsst

elle

nvon

� durc

h

=?> eind

eutig

best

imm

tist.

Wir

gehe

nals

oau

svon

zwei

stuc

kwei

sest

etig

eFun

ktio

nen

� und

� mit

=?> =

= r ist.F

urje

dest

arka

bfal

lend

eFun

ktio

n

I istdan

n

=?> (I )=

= r (I )od

er

��� ��� (

)

I ( )

� =

� � ��� ( )

I ( )

� .

88�

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Die

sw

olle

nw

iran

wen

dena

ufdi

ezu

Beg

inn

dies

esA

bsch

nitt

betr

ach-

tete

nFun

ktio

nenu

nddo

rtei

nfac

hm

it

� ] beze

ichn

eten

Fun

ktio

nen

I b ¿¹ ¿] :@�AA�C AAD# $

# E$

@�C D�4

[

(

* �) )2

��[

(

�) )(* � )

falls

)_ _*

0so

nst

,

von

dene

nwir

dort

geze

igth

atte

n,da

ßsi

efu

rfe

steW

erte

von

) �* und

ein

varia

bles

[Q 0fu

r

[$

0ge

gen

den

Rec

htec

kim

puls

¼ b ¿¹ :

@BC D# $%

E$µ 1

falls

)0 0*

0so

nst

konv

ergi

eren

.Die

seK

onve

rgen

zha

benw

irso

woh

lbez

uglic

hde

rL2-

Nor

mal

sau

chbe

zugl

ich

derL

1-N

orm

nach

gere

chne

t.Weg

enle

tzte

rer

konn

enw

irau

sden

Gle

ichu

ngen

= > (I b ¿¹ ;

] )=

=sr (I b ¿¹ ;

] )od

er

� � ��� (

)

¼ b ¿¹ (

)

� =

� � ��� ( )

¼ b ¿¹ (

)

schl

ieß

en,da

ßau

ch

¹ � b� (

)

� =

¹ � b� ( )

� fura

lle

) �* .

Als

inte

grie

rbar

eFun

ktio

nenh

aben

� und

� Stam

mfu

nktio

nen

¾ und

À ;da

mit

ausg

edruc

ktis

t

¾ (

* )

�¾ (

) )=

À (

* )

�À (

) )fur

alle

) �*.# .

(Str

engg

enom

menh

aben

wir

dasn

urge

zeig

tfur

* Q) ,ab

erim

Falle

* _) kon

nen

wir

einf

ach

obig

eU

berle

gung

fur

das

Inte

rval

l[

* �) ]w

iede

rhol

en.)S

etze

nwir

* =

) +

� ,so

gilt

dahe

rauc

h

¾ (

) +

� )

�¾ (

) )=À (

) +� )�À (

) )

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n888

und

¾ (

) +

� )

�¾ (

) )

=

À (

) +

� )

�À (

) )

�fu

ralle

) ��.# m

it

�; =0.

Lass

enw

irin

dies

erG

leic

hung

� gege

nnul

lgeh

en,e

rhal

tenw

ir,s

ofer

n

¾

bzw

.

À imP

unkt

) differ

enzi

erba

rist,

denW

ertd

erje

wei

ligen

Abl

eitu

ngim

Pun

kt

) .Fa

llsdi

eF

unkt

ione

n

� und

� inder

Um

gebu

ngei

nesP

unkt

sste

tigsi

nd,

habe

sie

dort

diff

eren

zier

bare

Sta

mm

funk

tione

nund

sind

glei

chde

ren

able

itung

;dam

itis

t

� (

)=

� ( )fa

lls

� und

� imP

unkt

stet

igsi

nd.

Die

Fun

ktio

nen

� und

� konne

nsic

hal

soho

chst

ensa

nih

ren

Uns

tetig

-ke

itsst

elle

nunt

ersc

heid

en.

Sin

d

� und

� sogar

stet

ig,i

stal

so

� =

� ,und

das

gilt

auch

,wen

nso

woh

l� al

sauc

h

� nurst

uckw

eise

stet

igsi

ndun

dzu

satz

lich

die

in

' 4e)

betr

acht

eteM

ittel

wer

teig

ensc

haft

� (

)=

� (

+ )+

� (

� )2

und

� ( )=

� ( + )+

� ( � )2

erfu

llen,

denn

die

links

-und

rech

tsse

itige

nGre

nzw

erte

h ang

ennu

rvon

den

Wer

ten

ab,d

iedi

eF

unkt

ione

nan

Ste

llen

anne

hmen

,ande

nens

iest

etig

sind

.

Das

wird

unsi

nde

nm

eist

enFa

llen

reic

hen,

insb

eson

derew

enn

wir

uns

aufa

bsol

utin

tegr

ierb

areF

unkt

ione

nbes

chran

ken:

Lem

ma:

Istd

ieF

unkt

ion

� . L2(

# �% )ab

solu

tinte

grie

rbar

,so

exis

tiert

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

evon

� alsF

unkt

ion;

dies

eFun

ktio

nist

stet

igun

dbe

schra

nkt.

Bew

eis

:Nac

hD

efini

tion

ist � � (

)=

��� ��� (

)

��� �� � .

88G

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Der

Bet

ragd

esIn

tegr

ande

nist

& � (

)& ;da

� abso

lutin

tegr

ierb

aris

t,ko

n-ve

rgie

rtda

sInt

egra

labs

olut

und

istd

amit

insb

eson

derek

onve

rgen

t.

Der

Inte

gran

d

� (

)

��� �� is

tal

sF

unkt

ion

von

f urje

den

Wer

tvon

stet

igun

dal

sF

unkt

ion

von

imm

erhi

nno

chst

uckw

eise

stet

ig.D

aher

zeig

tdas

Lem

maa

us

' 6a)z

unac

hst,d

aßfu

rInt

erva

lle[

) �* ],in

dene

n

stet

igis

t,au

ch

¹ � b� (

)

��� �� �

eine

stet

igeF

unkt

ion

von

ist.D

amit

gilt

dass

elbe

fur

jede

send

liche

Inte

rval

l,de

nnen

dlic

heS

umm

enst

etig

erF

unkt

ione

nsin

dw

iede

rste

tig.

Fur

)$�7 u

nd

* $7 schlie

ßlic

hko

nver

gier

tdas

Inte

gral

nach

Vor

auss

etzu

ngab

solu

t,als

oau

chgl

eich

maß

ig,u

ndda

mit

ista

uch

die

Gre

nzfu

nktio

n

� � (

)stetig

und

besc

hr ank

t.

Dam

itfo

lgt

insb

eson

dered

erz.

B.f

urdi

eId

entifi

katio

nvo

nL

osun

gen

von

Dif

fere

ntia

lgle

ichu

ngen

wic

htig

e

Sat

z:

����. L2

(

# �% )se

iens

tetig

eFun

ktio

nen.

a)F

alls

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

en

��� und

� � ubere

inst

imm

en,ist

� =

� .b

)Fal

lses

ein

[Q 0gi

bt,s

oda

ß

ÁÂ � (

)

à (

� )=

ÁÂ � (

)

à (

� )fural

le

�.%

mit

¯ ° � =

[ ,ist

� (

)=

� ( )fu

ralle

Q 0.

Bew

eis

:a)

folg

tun

mitt

elba

raus

dem

gera

debe

wie

sene

nLem

ma,

und

b)f

olgt

dara

us,d

aßm

andi

eses

Lem

maa

ufdi

eF

unkt

ione

n

� ] :@�AC AD# $%

E$� 0

falls

_ 0

� (

)

��]�

sons

t

und

� ] :

@�A�C AD# $%

E$� 0

falls

_ 0

� ( )

��]�so

nst

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n88R

anw

ende

t,die

zum

inde

stfu

r

Q

0st

etig

sind

,und

dere

nFO

UR

IER-

Tra

nsfo

rmat

ione

nger

aded

ieL

AP

LAC

E-T

rans

form

atio

nenv

on

� und

fur

¯ ° � =

[ sind.

f)A

blei

tung

envo

nD

istr

ibut

ione

n

Wie

wir

in

' 6b)

gese

henh

aben

,ist

f ur

alle

min

dest

ens

[ -fach

stet

igdi

ffer

enzi

erba

reF

unkt

ione

n

� ,so

fern

alle

vork

omm

ende

nFO

UR

IER-

Tra

nsfo

rmie

rten

exis

tiere

n, �] � ]�� ( )=(�~ )

]} ]� (

)un

d]� � (

)=(

�~ )

]� � (

] ) ( );

eine

ahnl

iche

,leic

htko

mpl

exer

eFo

rmel

gilt

auch

f ur

die

LA

PLA

CE-

Tra

nsfo

rmat

ion.D

ies

hatte

nwir

imw

eite

renV

erla

ufvo

n

' 6zu

rLos

ung

erst

erD

iffe

rent

ialg

leic

hung

enve

rwen

det.

Inzw

isch

enko

nnen

wir

die

Vor

auss

etzu

ngene

twas

praz

iser

form

ulie

-re

n;in

sbes

onde

reist

klar

,daß

dies

eFor

mel

nfu

ral

lest

ark

abfa

llend

enF

unkt

ione

nund

alle

[.K ge

lten.

Auc

hw

isse

nwir

,da

ßsi

efu

rqu

a-dr

atin

tegrie

rbar

eFun

ktio

neng

elte

n,fa

llsau

chal

leA

blei

tung

enbi

szu

rje

wei

lsbe

trac

htet

enqu

adra

tinteg

rierb

arsi

nd.

Indi

esem

Para

grap

henw

olle

nw

irun

sube

rlege

n,w

iem

andi

esen

For-

mel

nau

chfu

rbe

lieb

igequ

adra

tinteg

rierb

areF

unkt

ione

nmit

Hilf

evo

nD

istr

ibut

ione

nzum

inde

stbis

aufN

ullfu

nktio

nene

inen

Sin

nge

benk

ann.

Daz

uub

erleg

enw

irun

szun

achs

t,was

Abl

eitu

ngen

aufd

emN

ivea

uder

Dis

trib

utio

nenb

edeu

ten,w

iem

anal

sobe

ispi

elsw

eisee

ineA

blei

tung

der

DIR

ACsc

hen

i -Dis

trib

utio

nde

finie

renk

ann.

Es

istk

lar,

daß

ein

Ans

atz

wie

Ä i (

)=

lim Å V 0

i (

+

� )

�i (

)

zuke

inem

vern

unfti

genE

rgeb

nisf

uhre

nkan

n;w

irm

usse

nuns

erer

alte

nS

trat

egie

folg

enun

dfu

rein

edi

ffer

enzi

erba

reFun

ktio

n

� die

Dis

trib

uti-

on

=yÆ > ausr

echn

enin

derH

offn

ung,

daß

dies

zuei

nerF

orm

elfu

hrt,

die

sich

aufb

elie

bige

Dis

trib

utio

nenv

eral

lgem

eine

rnlaß

t.

88X

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Fure

ine

diff

eren

zier

bareF

unkt

ion

� mit

derE

igen

scha

ft,daß

sow

ohl

als

auch

die

Abl

eitu

ng

Ä � hoch

sten

spol

ynom

iale

sWac

hstu

mha

ben,

ist

=�Æ > (I )=

� � ��Ä � (

)

I ( )

� .

defin

iert

und

nach

derR

egel

furp

artie

lleIn

tegr

atio

nis

t

= Æ > (I )=

� (

)

I ( )

,-,�,-,� ���

� � � (

)

Ä I ( )

� .

Da

� hoch

sten

spol

ynom

iale

sWac

hstu

mha

t,is

t

& � (

)& klei

ner

oder

glei

chei

nem

Aus

druc

kder

Form

L& &N

fur

eine

reel

leZ

ahl

LQ 0un

dei

nena

turli

che

Zah

l

J .Da

auß

erde

m

I eine

star

kab

falle

ndeF

unkt

ion

ist,

blei

bt

,�,-, N +1

I ( ),�,-,besch

rankt

fura

lle

,d.h

.

& I ( )& 06 & &N +

1

fure

ine

reel

leZ

ahl

6 Q 0.D

amit

ist

& � (

)

I ( )& 0,-,�,-,L N �6 N +

1

,-,�,-,0L6 & & .

Som

itge

htda

sPro

dukt

I ( )

� (

)ge

gen

Nul

lfur

$È 7 und

=yÆ > (I )=

�� � � (

)

Ä I ( )

� =

�=?> (

Ä I ).D

amit

istk

lar,

wie

wir

die

Abl

eitu

ngei

nerD

istr

ibut

ion

defin

iere

n:

Defi

nitio

n:D

ieA

blei

tung

eine

rDis

trib

utio

n

= :

( (

# )

$% istd

ieD

is-

trib

utio

n

Ä = :

d ( (

# )

$% IE$�= > (

Ä I ),

die

U -teAbl

eitu

ngen

tspr

eche

nd

= (S ) :

@BC D( (

# )

$% IE$

(

� 1)S =?>1 I(S )2 .

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n88`

Zum

Nac

hwei

s,da

ß

Ä = und

allg

emei

nera

uch

= (S ) Dis

trib

utio

nen

sind

,m

usse

nwir

zeig

en,d

aßdi

eslin

eare

Abb

ildun

gen

sind

–an

gesi

chts

derL

inea

ritat

derD

iffe

rent

iatio

nist

dask

lar.

Zum

Nac

hwei

sder

Ste

-tig

keit

aber

mus

senw

irw

isse

n,da

ßf u

rei

neko

nver

gent

eFo

lge

von

Fun

ktio

nena

usde

mSC

HW

AR

TZ-R

aum

auch

die

Folg

ede

rabg

elei

tete

nF

unkt

ione

nkon

verg

iert

;die

sgilt

nurd

esha

lb,w

eilw

irdi

eK

onve

rgen

zim

SCH

WA

RT

Z-R

aum

sode

finie

rtha

ben,

daß

auch

alle

Abl

eitu

ngen

und

dere

nPro

dukt

emit

-Pot

enze

nkon

verg

iere

nmus

sen.

Bei

spie

lsw

eise

ista

lso

furd

ieD

IRA

C-D

istr

ibut

ion

a (S ) b (I )=(� 1)S I(S

) (

) )od

er,m

itde

r

i - ”Fun

ktio

n“au

sged

ruckt

��� ��i (S ) (

�) )I (

)

� =(

� 1)S I(S

) (

) ).A

uch

Spr

ungf

unkt

ione

nwie É :

@�AC AD# $%

E$� 0

fur

_ 01

fur

/ 0

lass

ensi

chin

ders

chon

enne

uenW

elt

derD

istr

ibut

ione

npr

oble

mlo

sdi

ffer

enzi

eren

:

=?Ê (I )=

�F� ��É (

)

I ( )

� =

�F�

0

I ( )

hata

lsA

blei

tung

die

Dis

trib

utio

n

Ä = Ê mit

Ä =HÊ (

I )=

�� � ��

É (

)

Ä I ( )

� =

����

0

Ä I ( )

� =

�I ( )

,-,-,-,�

0

=

I (0),da

I ( )be

iein

erst

ark

abfa

llend

enF

unkt

ion

fur

$7 geg

ennu

llge

ht.D

iese

Dis

trib

utio

nke

nnen

wir

aber

:Es

ist

gera

dedi

eD

IRA

C-

Dis

trib

utio

n

a 0.A

lso

ist

Ä =HÊ =

a 0,

88e

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

was

sich

inF

unkt

ione

naus

gedr u

ckt(

mit

alle

rgeb

oten

enV

orsi

cht)

auch

als

Ä É (

)=

i (

)

schr

eibe

nlaß

t.E

ntsp

rech

endla

ssen

sich

imD

istr

ibut

ione

nsin

neau

chan

dere

Spr

ungf

unkt

ione

ndiff

eren

zier

en;di

eA

blei

tung

anei

nerS

prun

g-st

elle

=

0is

tjew

eils

Spr

ungh

ohe

mal

i (

� 0

).

Auc

hm

itde

rAbl

eitu

ngde

rBet

rags

funk

tionh

aben

wir

aufD

istr

ibu-

tione

nnive

auke

ine

Pro

blem

e:F u

r

� (

)=

& & zeig

tpar

tielle

Inte

grat

ion,

daß

Ä =H> (

I )=

���� ��

& & �I ( )

� =

0

� �� �I (

)

� ����

0

�I (

)

=

I ( )

,�,-,-,0

���0

� ��I ( )

� � I ( )

,�,-,-,�

0

+

���

0

I ( )

=

�0

� ��I ( )

� +

���

0

I ( )

� =

=sr (I )m

it

� ( )=

µ � 1f u

r

_ 01

fur

Q 0.

An

derS

telle

=0

k onn

enw

irei

nenb

elie

bige

nFun

ktio

nsw

ertw

ahle

n,de

nn

=mr hang

tnic

htvo

ndi

esem

Wer

tab.

Wir

beko

mm

enal

sof u

r

; =0,

wo

� (

)=

& & diff

eren

zier

baris

t,di

eer

war

tete

nE

rgeb

niss

e,un

df u

r

=0

kein

eA

ussa

ge.N

icht

sdes

towen

iger

istd

ieD

istr

ibu

tion

Ä =?> woh

l-de

finie

rt.A

ufde

mN

ivea

uder

Dis

trib

utio

nens

ind

Abl

eitu

ngen

also

auch

furn

urst

uckw

eise

diff

eren

zier

bareF

unkt

ione

npro

blem

los.

Das

Pro

dukt

eine

rDis

trib

utio

nm

itei

nerb

elie

big

oft

stet

igdi

ffer

en-

zier

bare

nFun

ktio

nm

itho

chst

ensp

olyn

omia

lem

Wac

hstu

mha

benw

irbe

reits

defin

iert

;das

konn

enw

irin

sbes

onde

reanw

ende

nauf

die

Fun

k-tio

] :# $% ;

E$ ] .

Wir

erw

arte

n

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n88�

Lem

ma:

Furj

edeD

istr

ibut

ion

= :

( (

# )

$% und

jede

natu

rlich

eZ

ahl

[

ist

� = (] ) =(

�~ )

]�

Π

]=

und

Π

]� = =(

�~ )]� = (] ) .

Bew

eis

:Fur

I.( (

# )gi

ltna

chde

nen

tspr

eche

ndenF

orm

eln

fur

star

kab

falle

ndeF

unkt

ione

naus

' 6b)

�y= (] ) (

I )=(

� 1)]� = (

I(] ) )=

(

� 1)] =�� I (] )"

=(

� 1)] =�~] Π

]� I"

=(

�~ )

] = (Π

]� I )=(

�~ )] Π]= (

� I )=(

� 1)]�

Π

]= (

I ),de

nnau

sder

Form

el

] � I ( )=(�~ )

]� I (] ) (

)folgt

� I (] ) ( )=

~] ]� I ( )

.

Ent

spre

chen

dzei

gtm

anau

chdi

ezw

eite

Form

el

Π]��= (I )=

��= (Π

]I )=

=��

Π

]I" =

=� ~]� I(] )"

=

~] =� � I(] )

" =(

�~ )

] = (] )(

� I )=(

�~ )

]� = (] ) .

Ruc

kube

rset

ztfur

Fun

ktio

nenh

eiß

tdas

,daß

die

Form

eln

�] � ]�� (

)=(

�~ )

]} ]� (

)un

d

]� � (

)=(

�~ )

]� � (

] ) ( );

zum

inde

stbi

sau

fNul

lfunk

tione

nau

chda

nnfu

rqu

adra

tinteg

rierb

are

Fun

ktio

neng

elte

n,w

ennd

iese

nuri

mD

istr

ibut

ione

nsin

ndiff

eren

zier

bar

sind

.Die

ents

prec

hend

eForm

elfu

rdi

eL

AP

LAC

E-T

rans

form

atio

n,di

ezu

satz

lichd

ieF

unkt

ions

-und

Abl

eitu

ngsw

ertea

nder

Ste

lleN

ulle

ntha

lt,is

tna

turli

ch(a

uch

mod

ulo

Nul

lfunk

tione

n)nu

rda

nnsi

nnvo

ll,w

enn

dies

eWer

tew

ohld

efini

erts

ind.

g)F

altu

ngen

Bei

der

Unt

ersu

chun

gvon

FOU

RIE

R-R

eihe

nin

' 4a)

erw

ies

sich

die

(per

iodi

sche

)Fal

tung

zwei

erF

unkt

ione

nals

wic

htig

esIn

stru

men

tzum

88�

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Nac

hwei

sder

Kon

verg

enz;

auß

erde

mw

arsi

eof

tnu

tzlic

h,um

ohne

groß

enA

ufw

and

neue

FOU

RIE

R-R

eihe

naus

beka

nnte

nher

zule

iten.

Hie

rim

nich

tper

iodi

sche

nFal

lis

tsi

eei

nfac

heru

ndan

scha

ulic

herzu

vers

tehe

nals

impe

riodi

sche

nFal

l:

� (

Ë � )(

)is

tein

fach

dasg

ewic

htet

eM

ittel

derF

unkt

ions

wer

tevo

n

� inde

rUm

gebu

ngvo

n

,w

obei

� dieG

ewic

htsf

unkt

ione

nist

.A

mei

nfac

hste

nist

es,w

enn

man

sich

� alsei

neF

unkt

ion

vors

tellt

,die

imP

unkt

Nul

lei

nM

axim

umha

tund

dann

nach

beid

enS

eite

nmon

oton

abfa

llt;d

annk

ann

man

sich

� Ë �

als

eine

”vers

chm

iert

e“(o

dera

uch

gegl

atte

te)V

ersi

onvo

n

� vors

telle

n.In

dem

man

fur

� ( )G

AU

SSs

che

Glo

cken

kurv

enni

mm

t,ka

nnm

anbe

ispi

els-

wei

seun

scha

rfe(

oder

wei

chge

zeic

hnet

e)Pho

togr

aphi

ensi

mul

iere

n–je

groß

erde

rPar

amet

er

Ì ,dest

ouns

char

feri

stda

sRes

ulta

t.

Fur

die

form

ale

Defi

nitio

nla

ssen

wir

alle

rdin

gsbe

liebi

geF

unkt

ione

n

� und

� zu;sp

ater

wer

den

wir

soga

rFa

ltung

envo

nF

unkt

ione

nm

itD

istr

ibut

ione

nbet

rach

ten.

Defi

nitio

n:Fu

rzw

eiF

unkt

ione

n

���� :

# $% he

ißt

� Ë � :

@BAAAC AAAD# $%

E$��� ��

� (

�� )� (

� )� �,

falls

dies

esIn

tegr

alex

istie

rt,F

altu

ng

von

� mit

� .Le

mm

a:Fu

r

����. L2

(

# �% )ex

istie

rtdi

eFa

ltung

� Ë � .B

ewe

is:M

it

� liegt

fur

jede

s

.# au

chdi

eF

unkt

ion

�E$� (

�� )

inL2

(

# �% );di

eA

bsch

atzu

ngen

aus

' 8a)z

eige

ndah

erdi

eE

xist

enzd

esIn

tegr

als

� Ë � (

).

Ebe

nfal

lsin

volli

gerA

nalo

gie

zum

perio

disc

henF

allg

ilt

Lem

ma:

Falls

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

atio

nenv

on���� u

ndvo

n

� (

)=

(

� Ë � )(

)al

sF

unkt

ione

nexi

stie

ren,

ist

� � (

)=�� ( )�� � ( ).

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8G�

Bew

eis

:Nac

hde

mS

atzv

onFU

BIN

Iis

t

� � (

)=

��� ��� (

)

��� �� � =

� � ��u v��� ��

� (

�� )� (� )� �w x��

� ���

=

��� ��u v� � ��

� (

�� )� (

� )��� ��� w x��

= Í =� ��

��� ��u v��� ��

� (

Π)� (� )��

� � (Í +� )� Îw x��

=

�F� ��u v� � ��

� (Π)��

� �Í� Îw x� (

� )��� ��� �

=u v��� ��

� (

Î )��� �Í� Îw x�

u v� � ��

� (� )

��� �� � �

w x =

� � (

)�� � ( )

,

wie

beha

upte

t.

Als

erst

eAnw

endu

nghi

ervo

nko

nnen

wir

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

eei

nesP

rodu

ktsd

urch

die

FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

ende

rFak

tore

nau

s-dr

ucke

n:

Kor

olla

r:

} � � ( )=

1 2

�(� � � � )(

).B

ewe

is:W

irw

ende

ndas

gera

debe

wie

sene

nLem

maa

nauf

die

FOU

RIE

R-

Tra

nsfo

rmie

rten

von

� und

� ;dann

ist

� �� � � (

)=

��� � (

)

���� � ( ).

Wie

wir

wis

sen,

unte

rsch

eide

nsic

hFO

UR

IER-T

rans

form

atio

nund

in-

vers

eFO

UR

IER-T

rans

form

atio

ndur

chde

nFa

ktor

1

� 2

� vorde

rinv

erse

nT

rans

form

atio

nund

dasV

orze

iche

ndes

Arg

umen

t,d.h

.

� �� (

)=

2

� �� (

� )�� � � ( )

=2

� �� (

� )un

d

� � � � � (

)=

4

�2 �� (

� )

� (� ).

8G�

Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

05/2

006

Aus

dem

glei

chen

Gru

ndis

t

� � �� � � (

)=

2

� � (

�� � � )(

� ),a

lso

2

� � (

��� � � )(

� )=

4

�2 �} � � (� )

oder

} � � (� )

=1 2

�(��� � � )(

� ).

Die

sgilt

fura

llere

elle

nZah

len

,des

halbk

onne

nwir

dasM

inus

zeic

hen

links

und

rech

tsau

chw

egla

ssen

und

habe

ndan

ndi

eB

ehau

ptun

gdes

Kor

olla

rs.

Wie

impe

riodi

sche

nFal

lfo

lgt

auch

,daß

die

Faltu

ng(a

bges

ehen

von

even

tuel

lvor

hand

enen

Uns

tetig

keits

stel

len)

kom

mut

ativ

und

asso

ziat

ivis

t:

� Ë �

=

�� un

d

� Ë (

��

)=

(

� Ë � )

� ,

denn

furd

ieFO

UR

IER-T

rans

form

atio

nend

erbe

iden

Sei

tens

ind

jew

eils

glei

chna

chde

mK

omm

utat

ivita

tsge

setzu

ndA

ssoz

iativ

itats

gese

tzfur

die

Mul

tiplik

atio

nko

mpl

exer

Zah

len.

Ein

ew

eite

rein

tere

ssan

teKon

sequ

enzd

iese

sLem

mas

ist,

daß

sich

Fal-

tung

enge

legen

tlich

ruck

gang

igm

ache

nlas

sen:

� Ë �

ist

durc

hse

ine

FOU

RIE

R-T

rans

form

atio

n

�� �� � (fa

stub

eral

l)be

stim

mt;f

alls

� ( )ke

ine

Nul

lste

llen

hat,

kann

man

die

Mul

tiplik

atio

nm

it

� ( )du

rch

eine

Div

i-si

onr u

ckga

ngig

mac

hen.

Ein

eG

rund

idee

zum

Ruc

kgan

gigm

ache

nder

Faltu

ngw

are

also

die

folg

ende

:Ist

� (

)di

ein

vers

eFO

UR

IER-T

rans

for-

mat

ion

von

1

�� � (

),so

hat(

� Ë � )

� FOU

RIE

R-T

rans

form

iert

e

� � (

)�� � ( )

��y� (

)=

� � (

)�� � ( )

�1 � � (

)=

� � (

),(

� Ë � )

� stim

mta

lso

fast

uber

allm

it

� uber

ein.

Leid

eris

tdi

eS

ache

aber

doch

nich

tga

nzso

einf

ach,

denn

die

Exi

-st

enzv

on

� ista

llesa

nder

eals

klar

:Fur

eine

star

kabf

alle

ndeF

unkt

ion

� ( )is

t1

� � (

)”st

arka

nste

igen

d“,un

dna

turli

chgi

btes

auch

Pro

blem

em

itde

nN

ulls

telle

nvo

n

� .Die

Mat

hem

atik

kenn

tjed

och

eine

ganz

eR

eihe

von

Reg

ular

isie

rung

stec

hniken

,mit

dene

nman

solc

heP

robl

eme

umge

henk

ann.

Insb

eson

derek

ann

man

fur

prak

tisch

eZw

ecke

sow

ohl

den

Fre

quen

zber

eich

, uber

den

inte

grie

rtw

ird,a

lsau

chde

nZ

eit-

oder

Ort

sber

eich

ofta

bsch

neid

en,so

daß

nure

inIn

tegr

alub

erei

nen

dlic

hes

Inte

rval

lbet

rach

tetw

erde

nmuß

.

Kap

.3:H

arm

onis

che

Ana

lyse

und

Inte

gral

tran

sfor

mat

ione

n8G8

Die

Form

el,d

iew

irge

rade

benu

tzth

aben

,gel

ten,

wen

nm

anso

lche

Tech

nike

nbe

nutz

t,na

t urli

chni

cht

meh

rexa

kt,a

berd

och

oft

mit

ei-

nerG

enau

igke

it,di

efu

rpra

ktis

cheZ

wec

kevo

llig

ausr

eich

t.So

konn

tebe

ispi

elsw

eise

die

NA

SA

die

Bild

erde

sfa

lsch

foku

sier

tenH

UB

BLE

-Te

lesk

ops

durc

hdi

gita

leN

achb

ehan

dlun

gso

deut

lich

verb

esse

rn,da

ßdi

eB

ildqu

alita

tauc

hvor

derR

eper

atur

nich

tvie

lsch

lech

terw

aral

sbe

iei

nem

korr

ektf

okus

iert

enTe

lesk

op.

Ein

ene

uere

Anw

endu

ngis

tdie

soge

nann

tebre

nn

pu

nkt

freie

Op

tik,d

ievo

nC

MD

Opt

icsi

nB

ould

er,C

olor

adoe

ntw

icke

ltw

urde

.Dor

tben

utzt

man

eine

(von

Zei

sssp

ezie

llzu

dies

emZ

wec

kko

nstr

uier

te)L

inse

ohne

Bre

nnpu

nkt;p

aral

lele

einf

alle

nde

Str

ahle

ngeh

enal

son

iedu

rch

den-

selb

enP

unkt

derB

ildeb

ene,

soda

ßgr

unds

atzl

ich

jede

sBild

unsc

harf

ist.

Die

seU

nsch

arfe

wird

durc

hdi

gita

leN

achb

earb

eitu

ngin

dero

ben

skiz

zier

tenW

eise

sogu

tesg

ehtk

ompe

nsie

rt.

Zw

eck

dies

erau

fden

erst

enB

lick

unsi

nnig

enV

orge

hens

wei

seis

tdi

eE

rhoh

ung

derT

iefe

nsch

arfe

:Ein

klas

sisc

heso

ptis

ches

Sys

tem

bild

et,

insb

eson

derew

enn

esm

itw

enig

Lich

tau

skom

men

muß

und

dahe

rei-

negr

oßeB

lend

ebra

ucht

,nur

inei

nem

sehr

klei

nen

Ent

fern

ungs

bere

ich

scha

rfab.

Die

bren

npun

ktfr

eieL

inse

bild

etna

turli

chub

erha

uptni

rgen

dssc

harf

ab,a

berd

asG

esam

tsys

tema

usLi

nse

und

digi

tale

rNac

hbea

rbei

-tu

nglie

fert

scha

rfeB

ilder

ause

inem

deut

lich

groß

eren

Ent

fern

ungs

be-

reic

hal

sdi

esm

itko

nven

tione

llerO

ptik

mog

lich

ist.

Bes

onde

rsein

fach

sind

Faltu

ngen

mit

i -Fun

ktio

nenz

ube

rech

nen:F

ur

Ï ( )=

i (

� 0

)ze

igtd

ieS

ubst

itutio

nsreg

elm

it

Î = � 0

�� ,daß

ÏË� =

��� ��i (

� 0

�� )

� (� )

� � =

��� ��i (

Î )� ( � 0

�Π)

� Î =

� ( � 0

)

ist,

Faltu

ngm

it

i (

� 0

)ve

rsch

iebt

also

einf

ach

dasA

rgum

entu

m

0.

Insb

eson

derei

st

i � =

� .

ImFa

lleei

nerF

unkt

ion,

die

auß

erha

lbei

nesg

ewis

sen

Inte

rval

lsnu

ll(o

derp

rakt

isch

null)

ist,

laß

tsic

hdu

rch

Faltu

ngm

itei

nerS

umm

evon

i -Fun

ktio

nend

erG

raph

anve

rsch

iede

neS

telle

nve

rsch

iebe

n;A

bbil-

dung

25ze

igtd

iesf

urdi

eFa

ltung

eine

s(fe

ttei

ngez

eich

nete

n)Dre

ieck

-