P1 June 2010 Solutions: 

A1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Cross product – result is a vector [1 mark], perpendicular to both given vectors [1 

mark] whose magnitude is equal to the area of the parallelogram defined by the two 

given vectors (when sketched such to start from the same point) [1 mark]. 

5 1 11 5 1

1 5 5 1 25 1 4 4 24      [2 marks] 

| | 4 4 24 24.66    

5 1 

1 

1 1 

5 

x 

y z 

 

A2 

32

12

1 1

00 

 

[1 mark] 

For m=1 and k=2, 

 

3 12 2

00 

3 12 2

00 

[1 mark] 

3 12 2 0 

[1 mark] 

3 2 2 0 

1; 4 

[1 mark] 

1; 2 

[1 mark] 

 

   

 

A3 

 

[5 marks] 

 

 

 

 

 

 

 

   

F 

c 

k 

m 

x 

A4 (Calculus II) 

a) 

⁄ ⁄ ⁄  

⁄ ⁄ ⁄  

⁄ ⁄ ⁄ 

[1 mark] 

⁄ ⁄ ⁄ 

32

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄  

32

⁄ ⁄ / 23

⁄  

⁄ ⁄ /

⁄  

⁄ /

⁄

⁄

⁄

⁄ 

[1 mark] 

b) 

1  

[1 mark1] 

⁄

⁄  

1⁄

⁄ 1⁄

⁄

⁄

⁄

32

 

[2 marks] 

 

   

 

B1 

a) Determinant of the matrix is  

 

[1 mark] 

Solving 

 

[2 marks] 

b)  

1 0 0 

[1 mark] 

Determinant 

1 0 0 

 

[3 marks] 

c)  

1 1 10 2 30 4 9

 

1 1 10 2 30 4 9

0 

1 11 6 0 

[2 marks] 

  eigenvalues 

11 √97

2; 1;

11 √972

 

0.575571; 1; 10.42443 

 [2 marks] 

  corresponding eigenvectors (normalised) 

1 1 10 2 30 4 9

000 

    For  0.575571 

1 0.575571 1 10 2 0.575571 30 4 9 0.575571

1 000 

15 √97

611 √97

3

10.80814

0.383714

0.745280.60229

0.28597 

    For  1 

1 1 1 10 2 1 30 4 9 1

1 000 

100

100 

     For  10.42443 

1 10.42443 1 10 2 10.42443 30 4 9 10.42443

1 000 

15 √97

611 √97

3

12.47481

6.949619

0.134330.332430.93351

 

 [4 marks] 

   

 

B2 (Vectors) 

a) At intersection point   the expressions for the plane is 

·  

while for the line is 

 

[2 marks] 

Substituting into the equation of the plane we get 

·  

· ·  

··

 

Hence 

··

 

[5 marks] 

b) Firstly, find the plane perpendicular to the line through point denoted by  . 

Plane perpendicular to the line is that for which 

 

[1 mark] 

Hence the equation for the plane 

·  

becomes 

·  

 [1 mark] 

when point   is on that plane 

·  

 [1 mark] 

The plane is defined  by the following equation 

· ·  

 [1 mark] 

Then, intersection between that plane and the line 

 

is  

· ·  

such that 

· ··

· · · ·1

· · ·  

and 

· · · ·  

Hence, the distance between the points   and   

| | | · · · |  

 

 

   

 

B3 (Calculus II) 

a)    

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Substitution  

, ,  

reveals unit sphere in u‐v‐w coordinate system 

1 

c) Using 

, ,  

Jacobian can be obtained as follows 

, ,, ,

0 00 00 0

 

d) The volume of the ellipsoid in x‐y‐z space is replaced by the unit sphere is u‐v‐w space.  The 

value of the integral once the constant   has been taken out of the integral is   (i.e. the 

volume of the unit sphere) 

 

 

43 

 

x 

y 

z 

 

a 

b b 

e) The mass is calculated as follows 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quick solution 

43

, 1 

43

 

   

x 

y 

z (out of plane) b 

a 

 

 

x 

 

u 

v 

w (out of plane)  1

1

x

 

1

Unit sphere 

Ellipsoid 

 

Long solution 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

123 9

· 01

121 9 1 9  

· 01

121 9 1 9

43 

1 

43 

w (out of plane) 

Unit sphere 

u 

v 

1 

1 

r 

u