Simulación de una Carta de Smith mediante un software

Alfonso Torres Nunes CurtoStudent from Ricardo Palma University

Benavides 5440 Avenue - Santiago de Surco Lima 33 Perú

ABSTRACTWhen you design a transmition line, you have to be careful of not just the primary parameters (resistance, inductance and capacitance) but also a very important parameter that tells you how well the wave will travel through the line and that is the characteristic impedance.This factor must not vary in all the line; we are talking about from the emitter to the receiver, because if it varies even a little bit it will cause a wave reflection and this will cause the loss of information and in the worst of cases, the information does not reach the receiver.Another parameter that is included in the analysis of this chart is the load resistance. This parameter, which is at the end of the line, helps us to determine a range of frequencies and how the matching a frequency with an input impedance.With all this mentioned we now can define what this chart is for, and it is the reflection coefficient.

Key words: Transmition, Parameter, Impedance, Reflection, Load resistance, Frequency

INTRODUCCION

Al trabajar con altas frecuencias las pistas de un circuito impreso o los cables que unen dos circuitos no pueden ser considerados como simples nodos, sino que deben ser tratados como líneas de transmisión. En el presente paper se presentará un resumen de los conceptos y fórmulas que son necesarios manejar para entender satisfactoriamente los fenómenos que se presentan en electrónica de RF, además del tema a tratar. Se utilizará un enfoque de circuito equivalente y no un enfoque basado en la teoría electromagnética.

En una línea de transmisión se presentan diversos fenómenos. El primero corresponde a la auto inductancia que presenta el cable y es representado por una inductancia por unidad de longitud L. El segundo efecto a considerar es la capacitancia de la línea respecto a tierra, que es

representada por el condensador C. Finalmente es necesario considerar las pérdidas que se producen en la línea. Existen dos principales fuentes depérdidas, el calentamiento de la línea representado por una resistencia serie R, y las corrientes de pérdida hacia tierra representadas por una admitancia G.

Figura 1. Circuito equivalente por unidad de una línea de transmisión

Al desarrollar las ecuaciones de voltaje y corriente se obtiene:

Realizando algunos reemplazos se obtiene la siguiente ecuación para el voltaje a lo largo de la línea:

(1)

(2)

(3)

Donde g corresponde a la constante de propagación de la onda y se define como:

La solución de la ecuación (3) para el voltaje corresponde a:

Trabajando de forma similar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene la siguiente solución para la corriente en la línea:

Donde I+ e I- se relacionan con V+ y V- a través de Z0, la impedancia de línea de la siguiente forma:

La solución de la ecuación para los voltajes se compone de dos ondas viajeras que se propagan por la línea, una de izquierda a derecha y la otra en sentido inverso. Estas ondas se propagan con una velocidad de fase dada por:

A continuación veremos qué sucede con estas ondas cuando la línea de transmisión es terminada en una discontinuidad, caracterizada por una impedancia Z al final de la línea.

1. LÍNEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN UNA CARGA

Si una línea de transmisión de largo L e impedancia Zo tiene conectada en su extremo final una carga ZL tal como lo indica la figura (2).

Figura 2. Línea de transmisión alimentando una carga

En este caso, parte de la onda incidente en la carga será reflejada. Se define el coeficiente de reflexión como la razón entre la onda incidente y la onda reflejada:

Donde Γo corresponde al coeficiente de reflexión en la carga, es decir x=0.Se define la impedancia a lo largo de la línea como el cociente entre el voltaje y la corriente en un punto cualquiera de la línea:

Reemplazando las ecuaciones (5), (6) y (8) en (9), y considerando que la impedancia en x=0 tiene que ser igual a la impedancia ZL de la carga, se obtiene la siguiente expresión para el coeficiente de reflexión en la carga:

Por otra parte la impedancia equivalente de la línea vista desde –L será:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(8)

(9)

(10)

Muchas veces es posible despreciar las pérdidas de la línea, luego la parte real de γ se puede considerar como cero. En este caso, la constante de propagación queda como:

Y la impedancia equivalente de la línea sería:

La conclusión más importante de este desarrollo para las líneas de transmisión, es la necesidad de utilizar adaptadores de impedancia para conectar una carga a una línea.Si una onda que viaja por una línea de transmisión llega a una carga distinta a Z0 (la impedancia de la línea), una fracción importante de la potencia será reflejada hacia la fuente, mientras que otra fracción de la potencia será entregada efectivamente a la carga. Es claro que la máxima transferencia de potencia se logra cuando la impedancia de la carga es igual a la impedancia de la línea.Desarrollando las ecuaciones anteriores, se obtiene que la potencia transmitida a la carga en función del coeficiente de reflexión corresponde a:

Al trabajar con circuitos que operan en RF es necesario utilizar adaptadores de impedancia que impidan que la potencia entregada a la carga sea reflejada.En un sistema en régimen permanente se produce una onda estacionaria de voltaje. Si tratamos un poco la ecuación (5) llegamos a la siguiente expresión para el voltaje en la línea:

Donde es el angulo del coeficiente de reflexion .Notemos que cuando no hay reflexion, es decir =0, no existe onda estacionaria, o mejor dicho la

amplitud de la onda es cero, y el voltaje en toda la linea es V+. A mayor reflexión mayor sera la amplitud de la onda. Para visualizar este fenomeno se define la razon de onda estacionaria como el coeficiente entre el maximo y el minimo voltaje existente en la linea:

2. PARAMETROS S

Para visualizar rápidamente las reflexiones y transmisiones de potencia que se producen en un sistema es conveniente trabajar con los parámetros S o de Scattering de dicho sistema.Los parámetros S permiten visualizar el comportamiento de una red de dos entradas en función de sus coeficientes de reflexión y transmisión.

Figura 3. Los parámetros de Scattering

Se definen matricialmente como:

De la definición es claro que S11 es el coeficiente de reflexión del puerto 1 de la red, S22 es el coeficiente de reflexión del puerto 2. En cambio S12 y S12 son respectivamente el coeficiente de transmisión desde el puerto 1 al 2 y desde el 2 al 1.

Considerando que la red no presenta pérdidas ni ganancias y dadas las definiciones de los coeficientes de reflexión t transmisión, se debe cumplir que:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

A partir de otras propiedades del sistema es posible determinar otras propiedades de la matriz, como por ejemplo la simetría, cuando estamos en presencia de un sistema simétrico. Esta definición es ampliable al caso de redes de más de 2 puertos. Existen transformaciones que permiten a partir de la matriz S determinar los parámetro Z, Y o ABCD del sistema.

3. LA CARTA DE SMITH

Otra herramienta útil para trabajar cómodamente las reflexiones de onda que se producen en RF es la carta de Smith.Esta es una herramienta gráfica ampliamente utilizada para realizar cálculos rutinarios que aparecen en el proceso de diseño en RF y Microondas. Fue inventada en 1939 por P.H.Smith, un ingeniero de los laboratorios Bell.

La matemática que dio origen a esta carta corresponde a lo siguiente:Se define la impedancia normalizada como

Luego la expresión para el coeficiente de reflexión resulta ser:

Despejando se obtiene:

La ecuación (5) corresponde a un círculo en el plano centrado en R/(R+1) y de radio 1/(R+1). Todos estos círculos son denominados círculos de resistencia constante.A su vez la ecuación (6) representa círculos centrados en 1/x de radio 1/x. Estos círculos sonde X constante. Al graficar estos círculos en el plano complejo resulta la carta de Smith

Figura 4. La carta de Smith

Dada la construcción de la carta de Smith resulta clara la facilidad para calcular coeficientes de reflexión a partir del valor de la impedancia normalizada de la carga.Al situar el valor de la carga en el plano de Smith es inmediato el valor del coeficiente de reflexión.

Por ejemplo en la figura (5) se ubicó el punto de impedancia normalizada 0.5+0.5j.El coeficiente de reflexión corresponde al vector que une el punto ubicado anteriormente con el centro del plano complejo Γ.

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Figura 5. Uso de la carta de Smith

3.1 Cálculo del coeficiente de Reflexión

Dada la construcción del diagrama de Smith, mostrada en la figura (4), es posible calcular en forma gráfica el coeficiente de reflexión de una carga Z conectada con una línea de impedancia conocida.

Consideremos el siguiente caso: Una carga de impedancia Z= 100 +150j Ω es conectada a una línea de impedancia 50Ω. Se desea calcular el coeficiente de reflexión.

En primer lugar es necesario calcular la impedancia normalizada de la carga, dada por el cociente entre Z y la impedancia de línea. Se obtiene: Zn = 2 +3j.Luego se ubica el punto Zn en el diagrama de Smith, marcado con una cruz roja en la Figura 6. El coeficiente de reflexión viene dado en modulo y magnitud por el vector que une el origen del plano Γ con el punto Zn, indicado en la figura 6 por una flecha azul.

Figura 6. Calculo del coeficiente de reflexión

Finalmente el coeficiente de reflexión corresponde a Γ = 0.75 < 26°.

Tambien es posible encontrar la razón de onda estacionaria. Para ello es necesario dibujar un circulo de || constante, dibujado con linea punteada en la Figura 6, entonces el VSWR sera el valor de la interseccion de este círculo con el eje real. En este caso VSWR= 7.

Otra posibilidad que ofrece el diagrama de Smith es calcular la impedancia a una distancia L de la carga. Por ejemplo si se desea saber la impedancia del sistema anterior a una distancia 0.2l de la carga es necesario desplazarse a lo largo del círculo de || constante una distancia 0.2en sentido horario.En este caso la impedancia normalizada de entrada en ese punto de la línea sería Z=0.2 – 0.6j y por lo tanto la impedancia sería Z=10-30j.

Para realizar en forma precisa estos cálculos es necesario utilizar diagramas de Smith completos, con todas las escalas necesarias. Un ejemplo de este tipo de carta se presenta en la Figura 7. Es posible encontrar diagramas de este tipo en la web[1].

Figura 7. Diagrama de Smith

3.2 Cálculo de impedancias y admitancias

Otra aplicación del diagrama de Smith es realizar transformaciones de admitancia a impedancia y viceversa, en forma gráfica. Para ello se utiliza un diagrama de Smith como la de la Figura 8. Donde la malla en línea punteada es la malla de admitancia y la otra es de impedancia.

Por ejemplo sea una carga de Z=10+20j Ω. En primer lugar se calcula la impedancia normalizada, la que corresponde a Zn=0.2+0.4j. Se ubica ese punto en la malla de impedancias, marcado con una cruz roja en la Figura 8.Luego se busca el valor de la admitancia normalizada utilizando la malla de admitancia. En este caso este valor corresponde a Y= 1-2j. Desnormalizando tenemos que la admitancia de esa carga es Y= 0.02- 0.04j Ω-1.

Figura 8. Transformaciones de impedancia a admitancia

3.3 Cálculo de adaptadores de impedancia

Utilizando la facilidad para convertir admitancias en admitancias y viceversa es posible realizar los cálculos para diseñar un adaptador de impedancia en forma gráfica.Supongamos que se desea conectar una carga de impedancia normalizada igual a Z=0.2+0.2j a una línea de impedancia normalizada 1.

En primer lugar se ubica en el diagrama de Smith el punto donde se ubica la impedancia de la carga. En la Figura 9 este punto se indica con una cruz roja.

Se desea agregar elementos a la carga de tal forma que la impedancia de la carga con adaptador sea igual a uno. Este punto se ubica en el centro del diagrama y corresponde al punto donde no habrá reflexión. En la figura 9 se encuentra marcado con otra cruz roja.Para diseñar el adaptador se realiza un camino en el diagrama que una la impedancia de la carga con el centro del diagrama. Este camino debe ir por sobre los círculos de igual resistencia o igual conductancia pues el adaptador no debe disipar potencia.

Veamos el ejemplo: En primer lugar se agrega una inductancia serie de X=0.2. De esa forma la impedancia de la carga más la inductancia es Z= 0.2+0.4j, la impedancia es Y= 1-2j. Para llegar al centro del diagrama agregamos un condensador de valor B=2.

Figura 9. Diseño de adaptadores

En la Figura 9 se muestra el camino que se recorrió en el diagrama de Smith. Finalmente el adaptador diseñado corresponde a:

Figura 10. Adaptador de impedancia resultante

4. CARACTERÍSTICAS DE LA CARTA DE SMITH

4.1 Precision de la carta

La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0,72 grados) y la escala del coeficiente de reflexión se puede leer a una precisión de 0,02, con lo que se demuestra que es absolutamente suficiente para la mayoría de los propósitos. Por ejemplo, si la longitud de onda en cable coaxial en 1 GHz es 20 centímetros, la carta de Smith localiza la posición a lo largo del cable a 20/500 centímetros o 0,4 milímetros y resulta claro a cualquier persona que ha manejado el cable en el 1GHz que no puede ser cortado a esta precisión.Si se requiere mayor precisión, una sección agrandada de la carta se puede hacer fácilmente con una fotocopia.NOTA: La carta es periódica con la longitud eléctrica, de periodicidad circular lambda / 2

4.2 Ventajas principales

Esta carta es una representación gráfica directa, en el plano complejo, del coeficiente de reflexión complejo. Es una superficie de Riemann, en que el coeficiente de reflexión es cíclico, repitiéndose cada media longitud de onda a lo largo de la línea. El número de medias longitudes de onda se puede representar por un valor de reactancia. Puede ser utilizado como calculadora de la impedancia o de la admitancia, simplemente dándo la vuelta 180 grados (simetría con el origen).El interior del círculo unidad representa el caso de reflexión de un circuito pasivo (en el origen no hay reflexión y en el borde, ρ=1, la reflexión es completa), por lo que es la región de interés más habitual. El movimiento a lo largo de la línea de transmisión sin pérdidas da lugar a un cambio del ángulo, y no del módulo o del radio de gamma. Así, los diagramas se pueden hacer fácil y rápidamente.Muchas de las características más avanzadas de los circuitos de microondas se pueden representar sobre la carta de Smith como círculos, por ejemplo, las regiones de la figura de ruido y de estabilidad de los amplificadores. El "punto en el infinito" representa el límite del aumento muy grande de la reflexión y, por lo tanto, nunca necesita ser considerado para los circuitos prácticos. Una proyección simple del lugar geométrico de la impedancia (o admitancia) en el diagrama sobre el eje real da una lectura directa del coeficiente de onda estacionaria (ROE o VSWR) a través de la escala inferior correspondiente.

4.3 Usos de la carta

La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar un coeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. Se puede utilizar para una variedad de propósitos, incluyendo la determinación de la impedancia, la adaptación de la impedancia, la optimización del ruido, la estabilidad y otros. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas las operaciones con números complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga.El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión de tension y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismo punto de la línea, están relacionados por la carta de Smith. En la parte exterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta está una escala llamada "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", a partir de ésta se puede obtener directamente el valor del argumento del coeficiente de reflexión.Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la línea de transmisión desde el inicio con el coeficiente de reflexión. Una de estas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y la otra corre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina wavelengths toward generator (longitudes de onda hacia el generador), lo cual indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea. La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina wavelenghts toward load (longitudes de onda hacia la carga); esto indica que, si se utiliza esta escala, se estará avanzando hacia la carga o final de la línea.En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales se denomina Reflection coeff. Vol (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje.

4.4 Aplicaciones

- Correspondencia

- Lectura de la ROE

- Lectura de

- Impedancia de entrada de la línea a d metros de la carga

De donde se comprueba que si d

aumenta, entonces disminuye.

- Lectura de yN

- Adaptación con un stub

5. SELECCIÓN DEL SOFTWARE

Se realizo una búsqueda, análisis y selección de el software o programa más indicado para simular el funcionamiento de una carta de Smith y se eligio al software Matlab, 2 applets y el software Microsoft Excel.

5.1 Simulacion en Matlab

Uso: plotsmithchart(Zl,Zo)

Donde Z1 es la impedancia de carga (puede ser complejo) y Zo es la impendancia caracteristica de la línea.Dibuja una carta de Smith, incluyendo el círculo del coeficiente de reflexión y la linea de interseccion con el componente resistivo igual a 1.

Uso: plotsmithchart

Sin ningun parametro predefinido, dibuja una Carta de Smith en blanco.Las longitudes de onda hacia el generador son designadas alrededor del perimetro.

Por ejemplo: plotsmithchart(25,50)

Dibuja una carta de Smith, calcula y dibuja el coeficiente de reflexion para una impedancia caracteristica de 50 ohm y una impedancia de carga de 25 ohm y ademas dibuja la linea de interseccion con el circulo R=1.

NOTA: El archivo .m está incluido en el CD

5.2 Simulacion en los applets

5.2.1 Applet 1 [2]

Muestra los valores primarios, la impedancia característica y los parámetros de reflexión.Ademas puedes observar la onda a través de la línea con carga a medida que recorres con el puntero la carta de Smith.Al trazar el circulo VSWR, puedes reposicionar el valor de gamma. Solamente debes presionar el botón play para dibujar el circuilo R unitario y el arco X constante.

Figura 11. Imagen del applet en funcionamiento

5.2.2 Applet 2 [3]

Funcionamiento:- Pone la impedancia característica si esta

difiere de 50 ohm- Ingresado una secuencia de 3 columnas

donde la primera columna siendo la longitud eléctrica (EL) en grados, o la frecuencia en Hz. La segunda columna y la tercera son la parte real e imaginaria de un valor complejo para una de las 3 cantidades un (1) Z, impedancia; (2) Y, admitancia; (3) Gamma, el coeficiente complejo de reflexión.

- Click en “Get Data” hará que el applet lea y analice todos los puntos

- Click en “Clear” borra los datos- “Input 1” e “Input 2” genera secuencia de

datos aleatorios de entrada como muestra- "Z Chart", "Y Chart", o "Z&Y Charts"

muestra los trazos de impedancia, admitancia o ambos.

Figura 12. Imagen del applet en funcionamiento

5.2 Simulacion en Excel

El grafico puede rediseñarse y te permite ingresar impedancias complejas y observar los efectos en la gráfica.

NOTA: El archivo está incluido en el CD

1. CONCLUSIONES

Como conclusión, se puede decir que la carta de Smith es una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea, y que utilizando la carta se evitan los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la línea o el coeficiente de reflexión, por lo que son de mucha utilidad en el acoplamiento de las líneas de transmisión y en el cálculo del inverso de un número complejo.Hoy en día, cuando los métodos numéricos de cálculo son de uso común, la carta de Smith ha pasado de ser un método de cálculo a representar gráfica e intuitivamente la curva de impedancia de los dispositivos en función de la frecuencia. De un vistazo se puede apreciar la cercanía al origen de dicha curva. Tanto los programas de simulación como los instrumentos de medida pueden presentar los resultados en la carta de Smith.

1. REFERENCIAS

Libros:[1] Robert A. Chipman. Teoría y Problemas de Líneas de Transmisión. McGraw-Hill, 1971.

[2] Aldo Bianchi. Sistemas de Ondas Guiadas. Marcombo Boixareu Editores, 1980.

[3] M. A. Plonus. Electromagnetsimo aplicado. Editorial Reverté, 1982.

[4] Ron Schmitt. Electromagnetics Explained. Newnes, 2002.

[4]Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998, Capitulo1.3.1

[5] Freeman J., “ Fundamentals of Microwave Transmisión Line”, John Wiley & Sons, 1996,Capitulo 3.

[6]Chang K.,”RF and Microwave Wireless Systems”, John Wiley & Sons, 2000, Capitulo 2.10

[7] Bowick C., “RF circuit design”, Newnes, 1982, Cap 4.

[8] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for WirelessSystems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.

Web:

[1] http://www.ife.ee.ethz.ch/rfic/

[2]http://enlaces2001.tripod.com/com/smith/applet.html

[3]http://www.eecircle.com/applets/006/JSmith.html

[4] http://es.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Smith