State Eligibility Test ndash 2017

Mathematical Sciences

(Model Answer Key)

Part-A

Q1

Among the following choose the odd one

ननलखत म स जो समलत नह ह को चनय

A The axiom of choice

एगिजयम ऑफ चॉइस

B Well - ordering principle

वल - आडरग स$ात

C Pigeon - hole principle

ampपजन-होल स$ात

D Zorns lemma

जोरस लमा ((मयका)

Answer Key C

Q2

If denotes the null set then among the following

the number of true statements is

य)द र+त समय को (दशत करता ह तो ननलखत म स सय कथन1 क2 स3या ह

A one

एक

B Two

दो

C Three

तीन

D Four

चार

Answer Key A

Q3

f(x) is an non-negative function in [0 [ such that f(x) 2f(x) and f(0) = 0 Then

f(x) पर [0 [ एक ऋणतर फलन इस (कार ह 7क f(x) 2f(x) तथा f(0) = 0 तब

A f(x) is always a constant function

f(x) सदव एक अचर फलन ह

B f(x) is increasing function

f(x) एक वधमान फलन ह

C f(x) is decreasing function

f(x) घटता हआ फलन ह

D f(x) changes sign

f(x) का =चgtह बदलता ह

Answer Key A

Q4

The value of

का मान

A is

ह

B can be

हो सकता ह

C does not exist

का अितव नह ह

D both (is ) and (does not exist) are true

( ह) तथा (का अितव नह ह) दोन1 सह ह

Answer Key C

Q5

Which of the following subsets of 2 is Compact

2 क नन उपसमचय1 म स कौन सा सहत ह

A (x y) |x| 1 |y| 2

(x y) |x| 1 |y| 2

B (x y) x

2 y

2 + 5

(x y) x2 y

2 + 5

C (x y) x = y

(x y) x = y

D (x y) |x| 1 |y|

2 3

(x y) |x| 1 |y|2 3

Answer Key D

Q6

For each j = 123 let Aj be a finite set containing at least two distinct elements Then which of the

following is true

(यक j = 123 क लय मानय 7क Aj एक परमत समचय ह िजसम कम स कम दो भनन अवयव ह

तब ननलखत म स कौन सा सय ह

A is uncountable

अगणनीय ह

B is uncountable

अगणनीय ह

C is uncountable

अगणनीय ह

D All of the these

सभी ampवकDप सह ह

Answer Key C

Q7

The value of is

का मान ह

A 0

0

B 2

2

C

D 2

2

Answer Key D

Q8

If f[ab] is a continuous function and f(a) f(b) lt 0 then there is x a lt x lt b

such that f(x) = 0

This result of the consequence of

य)द f[ab] एक सतत फलन हो तथा f(a) f(b) lt 0 तो एक ऐसा x a lt x lt b होता ह 7क f(x) = 0

यह कथन एक नतीजा ह

A Boundedness of [ab]

[ab] क परब$ता का

B Completeness of [ab]

[ab] क पणता का

C Compactness of [ab]

[ab] क ससहतता का

D Connectness of [ab]

[ab] क सब$ता का

Answer Key D

Q9

Which of the following statements are not true

ननलखत म स कौन सा कथन सय नह ह

A Every convergent sequence is bounded

(यक अभसार अनGम परब$ होता ह

B Every bounded sequence is convergent

(यक परब$ अनGम अभसार होता ह

C Every Cauchy sequence of real numbers is convergent

(यक वातampवक स3याओ का कॉशी अनGम अभसार होती ह

D Every convergent sequence is a Cauchy sequence

(यक अभसार अनGम एक कॉशी अनGम होता ह

Answer Key B

Q10

Let f(x) and g(x) be differentiable functions for 0 x 2 such that f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0 and f(x)

= g(x) for all x in [02] then the value of g(2) must be

मान लिजय 7क f(x)और g(x) 0 x 2 क लय ऐस अवकलनीय फलन ह 7क f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0

तथा f(x) = g(x)[02] म x क सभी मान1 क लय तब g(2)का मान होगा

A 2

2

B 4

4

C -4

-4

D -2

-2

Answer Key B

Q11

Let be a function such that and exist Then at (00)

मानय 7क कोई फलन इस (कार ह 7क तथा का अितव ह तब (00)पर

A f must be continuous but not differentiable

f अवशय ह सतत होगा ल7कन अवकलनीय न होगा

B f must be differentiable

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A one

एक

B Two

दो

C Three

तीन

D Four

चार

Answer Key A

Q3

f(x) is an non-negative function in [0 [ such that f(x) 2f(x) and f(0) = 0 Then

f(x) पर [0 [ एक ऋणतर फलन इस (कार ह 7क f(x) 2f(x) तथा f(0) = 0 तब

A f(x) is always a constant function

f(x) सदव एक अचर फलन ह

B f(x) is increasing function

f(x) एक वधमान फलन ह

C f(x) is decreasing function

f(x) घटता हआ फलन ह

D f(x) changes sign

f(x) का =चgtह बदलता ह

Answer Key A

Q4

The value of

का मान

A is

ह

B can be

हो सकता ह

C does not exist

का अितव नह ह

D both (is ) and (does not exist) are true

( ह) तथा (का अितव नह ह) दोन1 सह ह

Answer Key C

Q5

Which of the following subsets of 2 is Compact

2 क नन उपसमचय1 म स कौन सा सहत ह

A (x y) |x| 1 |y| 2

(x y) |x| 1 |y| 2

B (x y) x

2 y

2 + 5

(x y) x2 y

2 + 5

C (x y) x = y

(x y) x = y

D (x y) |x| 1 |y|

2 3

(x y) |x| 1 |y|2 3

Answer Key D

Q6

For each j = 123 let Aj be a finite set containing at least two distinct elements Then which of the

following is true

(यक j = 123 क लय मानय 7क Aj एक परमत समचय ह िजसम कम स कम दो भनन अवयव ह

तब ननलखत म स कौन सा सय ह

A is uncountable

अगणनीय ह

B is uncountable

अगणनीय ह

C is uncountable

अगणनीय ह

D All of the these

सभी ampवकDप सह ह

Answer Key C

Q7

The value of is

का मान ह

A 0

0

B 2

2

C

D 2

2

Answer Key D

Q8

If f[ab] is a continuous function and f(a) f(b) lt 0 then there is x a lt x lt b

such that f(x) = 0

This result of the consequence of

य)द f[ab] एक सतत फलन हो तथा f(a) f(b) lt 0 तो एक ऐसा x a lt x lt b होता ह 7क f(x) = 0

यह कथन एक नतीजा ह

A Boundedness of [ab]

[ab] क परब$ता का

B Completeness of [ab]

[ab] क पणता का

C Compactness of [ab]

[ab] क ससहतता का

D Connectness of [ab]

[ab] क सब$ता का

Answer Key D

Q9

Which of the following statements are not true

ननलखत म स कौन सा कथन सय नह ह

A Every convergent sequence is bounded

(यक अभसार अनGम परब$ होता ह

B Every bounded sequence is convergent

(यक परब$ अनGम अभसार होता ह

C Every Cauchy sequence of real numbers is convergent

(यक वातampवक स3याओ का कॉशी अनGम अभसार होती ह

D Every convergent sequence is a Cauchy sequence

(यक अभसार अनGम एक कॉशी अनGम होता ह

Answer Key B

Q10

Let f(x) and g(x) be differentiable functions for 0 x 2 such that f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0 and f(x)

= g(x) for all x in [02] then the value of g(2) must be

मान लिजय 7क f(x)और g(x) 0 x 2 क लय ऐस अवकलनीय फलन ह 7क f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0

तथा f(x) = g(x)[02] म x क सभी मान1 क लय तब g(2)का मान होगा

A 2

2

B 4

4

C -4

-4

D -2

-2

Answer Key B

Q11

Let be a function such that and exist Then at (00)

मानय 7क कोई फलन इस (कार ह 7क तथा का अितव ह तब (00)पर

A f must be continuous but not differentiable

f अवशय ह सतत होगा ल7कन अवकलनीय न होगा

B f must be differentiable

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A is

ह

B can be

हो सकता ह

C does not exist

का अितव नह ह

D both (is ) and (does not exist) are true

( ह) तथा (का अितव नह ह) दोन1 सह ह

Answer Key C

Q5

Which of the following subsets of 2 is Compact

2 क नन उपसमचय1 म स कौन सा सहत ह

A (x y) |x| 1 |y| 2

(x y) |x| 1 |y| 2

B (x y) x

2 y

2 + 5

(x y) x2 y

2 + 5

C (x y) x = y

(x y) x = y

D (x y) |x| 1 |y|

2 3

(x y) |x| 1 |y|2 3

Answer Key D

Q6

For each j = 123 let Aj be a finite set containing at least two distinct elements Then which of the

following is true

(यक j = 123 क लय मानय 7क Aj एक परमत समचय ह िजसम कम स कम दो भनन अवयव ह

तब ननलखत म स कौन सा सय ह

A is uncountable

अगणनीय ह

B is uncountable

अगणनीय ह

C is uncountable

अगणनीय ह

D All of the these

सभी ampवकDप सह ह

Answer Key C

Q7

The value of is

का मान ह

A 0

0

B 2

2

C

D 2

2

Answer Key D

Q8

If f[ab] is a continuous function and f(a) f(b) lt 0 then there is x a lt x lt b

such that f(x) = 0

This result of the consequence of

य)द f[ab] एक सतत फलन हो तथा f(a) f(b) lt 0 तो एक ऐसा x a lt x lt b होता ह 7क f(x) = 0

यह कथन एक नतीजा ह

A Boundedness of [ab]

[ab] क परब$ता का

B Completeness of [ab]

[ab] क पणता का

C Compactness of [ab]

[ab] क ससहतता का

D Connectness of [ab]

[ab] क सब$ता का

Answer Key D

Q9

Which of the following statements are not true

ननलखत म स कौन सा कथन सय नह ह

A Every convergent sequence is bounded

(यक अभसार अनGम परब$ होता ह

B Every bounded sequence is convergent

(यक परब$ अनGम अभसार होता ह

C Every Cauchy sequence of real numbers is convergent

(यक वातampवक स3याओ का कॉशी अनGम अभसार होती ह

D Every convergent sequence is a Cauchy sequence

(यक अभसार अनGम एक कॉशी अनGम होता ह

Answer Key B

Q10

Let f(x) and g(x) be differentiable functions for 0 x 2 such that f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0 and f(x)

= g(x) for all x in [02] then the value of g(2) must be

मान लिजय 7क f(x)और g(x) 0 x 2 क लय ऐस अवकलनीय फलन ह 7क f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0

तथा f(x) = g(x)[02] म x क सभी मान1 क लय तब g(2)का मान होगा

A 2

2

B 4

4

C -4

-4

D -2

-2

Answer Key B

Q11

Let be a function such that and exist Then at (00)

मानय 7क कोई फलन इस (कार ह 7क तथा का अितव ह तब (00)पर

A f must be continuous but not differentiable

f अवशय ह सतत होगा ल7कन अवकलनीय न होगा

B f must be differentiable

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

अगणनीय ह

D All of the these

सभी ampवकDप सह ह

Answer Key C

Q7

The value of is

का मान ह

A 0

0

B 2

2

C

D 2

2

Answer Key D

Q8

If f[ab] is a continuous function and f(a) f(b) lt 0 then there is x a lt x lt b

such that f(x) = 0

This result of the consequence of

य)द f[ab] एक सतत फलन हो तथा f(a) f(b) lt 0 तो एक ऐसा x a lt x lt b होता ह 7क f(x) = 0

यह कथन एक नतीजा ह

A Boundedness of [ab]

[ab] क परब$ता का

B Completeness of [ab]

[ab] क पणता का

C Compactness of [ab]

[ab] क ससहतता का

D Connectness of [ab]

[ab] क सब$ता का

Answer Key D

Q9

Which of the following statements are not true

ननलखत म स कौन सा कथन सय नह ह

A Every convergent sequence is bounded

(यक अभसार अनGम परब$ होता ह

B Every bounded sequence is convergent

(यक परब$ अनGम अभसार होता ह

C Every Cauchy sequence of real numbers is convergent

(यक वातampवक स3याओ का कॉशी अनGम अभसार होती ह

D Every convergent sequence is a Cauchy sequence

(यक अभसार अनGम एक कॉशी अनGम होता ह

Answer Key B

Q10

Let f(x) and g(x) be differentiable functions for 0 x 2 such that f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0 and f(x)

= g(x) for all x in [02] then the value of g(2) must be

मान लिजय 7क f(x)और g(x) 0 x 2 क लय ऐस अवकलनीय फलन ह 7क f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0

तथा f(x) = g(x)[02] म x क सभी मान1 क लय तब g(2)का मान होगा

A 2

2

B 4

4

C -4

-4

D -2

-2

Answer Key B

Q11

Let be a function such that and exist Then at (00)

मानय 7क कोई फलन इस (कार ह 7क तथा का अितव ह तब (00)पर

A f must be continuous but not differentiable

f अवशय ह सतत होगा ल7कन अवकलनीय न होगा

B f must be differentiable

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q9

Which of the following statements are not true

ननलखत म स कौन सा कथन सय नह ह

A Every convergent sequence is bounded

(यक अभसार अनGम परब$ होता ह

B Every bounded sequence is convergent

(यक परब$ अनGम अभसार होता ह

C Every Cauchy sequence of real numbers is convergent

(यक वातampवक स3याओ का कॉशी अनGम अभसार होती ह

D Every convergent sequence is a Cauchy sequence

(यक अभसार अनGम एक कॉशी अनGम होता ह

Answer Key B

Q10

Let f(x) and g(x) be differentiable functions for 0 x 2 such that f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0 and f(x)

= g(x) for all x in [02] then the value of g(2) must be

मान लिजय 7क f(x)और g(x) 0 x 2 क लय ऐस अवकलनीय फलन ह 7क f(0) = 4 f(2) = 8 g(0) = 0

तथा f(x) = g(x)[02] म x क सभी मान1 क लय तब g(2)का मान होगा

A 2

2

B 4

4

C -4

-4

D -2

-2

Answer Key B

Q11

Let be a function such that and exist Then at (00)

मानय 7क कोई फलन इस (कार ह 7क तथा का अितव ह तब (00)पर

A f must be continuous but not differentiable

f अवशय ह सतत होगा ल7कन अवकलनीय न होगा

B f must be differentiable

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

f अवशय ह अवकलनीय होगा

C f need not to be continuous

f का सतत होना जKर नह ह

D f(x) is continuous

f(x) सतत होगा

Answer Key C

Q12

The integral dx

p gt 0 converges absolutely if

समाकल dx

p gt 0 नरपLीय अभसार ह य)द

A p gt 1

p gt 1

B p = 1

p = 1

C p lt 1

p lt 1

D p gt 0

p gt 0

Answer Key C

Q13

Which of the following statements is correct

ननलखत म स कौन सा कथन सय ह

A f is measurable | f | is measurable

f मय ह | f | मय ह

B | f | is measurable f is measurable

| f | मय ह f मय ह

C | f | is measurable f + | f | is measurable

| f | मय ह f + | f | मय ह

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key A

Q14

Let A be a 5 X 4 matrix with real entries such that AX = 0 if and only if X = 0 where X is a 4 X 1

matrix and 0 is null matrix Then the rank of A is

य)द A एक वातampवक (ampविMटय1 क2 5 X 4 क2 ऐसी आNयह ह 7क AX = 0 य)द और कवल य)द X = 0 जहा X

एक 4 X 1 क2 आNयह ह तथा 0 शgtय आNयह ह तब A क2 जात ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 4

4

Answer Key D

Q15

Let A be a real 3 X 4 matrix of rank 2 Then rank of AA where A

denotes the transpose of A is

मानय 7क A जात 2 का एक वातampवक 3 X 4 आNयह ह तब AA क2 जात जहॉ A

परवत A को (दशत

करता ह होगी

A exactly 2

ठPक 2

B exactly 3

ठPक 3

C exactly 4

ठPक 4

D at most 2 but not necessarily 2

अ=धक स अ=धक 2 ल7कन जKर नह क2 2 हो

Answer Key A

Q16

If A is a 5 X 5 real matrix with trace 14 and if 2 and 3 are eigen values of A each with algebraic

multiplicity 2 then the determinant of A is equal to

य)द A एक 5 X 5 क2 वातampवक आNयह ह िजसका अनरख 14 ह तथा य)द 2 और 3 A क अभलLणक मान

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

(यक बीजीय बहकता 2 क साथ ह तो A क सारणक का मान ह

A 180

180

B 144

144

C 24

24

D 0

0

Answer Key B

Q17

If then A

50 is

य)द तब A50 ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key C

Q18

Let V1 and V2 be subspaces of a vector space V Consider the following statements P amp Q

P V1 V2 is a subspace of V

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 is not subspace of V

Then

य)द V1 तथा V2 एक स)दश समिMट V क उपसमिMटया हो तो ननखलत कथन1 P तथा Q पर ampवचार कर

P V1 V2 एक उपसमिMट ह V का

Q V1 + V2 = x+y x V1 y V2 V का एक उपसमिMट नह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P and Q both are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C P is false while Q is true

P असय ह जब7क Q सय ह

D P and Q both are false

P तथा Q दोन1 असय ह

Answer Key A

Q19

Consider the six vector spaces Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R) and C(C) where Q R and C denotes the

fields of rational numbers real numbers and complex numbers respectively Here the number of finite

dimensional vector spaces is

छ रखक समिMटय1 Q(Q) R(Q) C(Q) R(R) C(R)तथा C(C)पर ampवचार क2िजय जहा Q R तथा C Gमश

परमय स3याओ वातampवक स3याओ तथा सिमR स3याओ क LS1 को (दशत करत ह

यहा परमत ampवमाओ क रखक समिMटय1 क2 स3या ह

A Three

तीन

B Four

चार

C Five

पाच

D Six

छ

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q20

Let V be the vector space of all real polynomials of degree upto 2 and let S = 1 x2 + x x

2 - x

and T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

Choose your answer as

मानय 7क V दो घात तक क सभी वाततवक बहपद1 का रखक समिMट ह तथा मानय 7क

S = 1 x2 + x x

2 - x

तथा T = x x2 + 1 3x

2 - 2x + 3

अपना ऐसा उतर चनय

A S and T both are bases of V

S तथा T V क लय आधार हU

B None of S and T is a basis for V

S तथा T म स कोई V क लय आधार न हो

C S is a basis but T is not a basis for V

S एक आधार हो ल7कन T V क लय आधार न ह1

D S is not a basis but T is a basis for V

S एक आधार न हो ल7कन T V क लय आधार हो

Answer Key C

Q21

Let V denote the vector space of all infinitely differentiable functions and let be the differential

operator

Consider the sets

S1 = 1 x x2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

The sets which span the solution space of the problem D3(f) = 0 are

मान 7क V सभी अनतीय अवकलनीय फलन1 क रखक समिMट को (दशत करता ह तथा अवकलय

सकारक ह समचय1 S1 = 1 x x

2

S2 = x x2 x

3

S3 = 1+x x+x2 1+x

2

पर ampवचार क2िजय व समचय1 जो समया D3(f) = 0 क हल समिMट को पणampवतार करत हो ह1ग

A All the three S1 S2 and S3

सभी तीन1 S1 S2 and S3

B S1 and S2

S1 ताथा S2

C S2 and S3

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

S2 तथा S3

D S3 and S1

S3 तथा S1

Answer Key D

Q22

If V be a vector space over the field of real numbers and a linear transformation is defined

by x V Then the nullity of T

य)द V वातampवक स3याओ क LS पर बना कोई रखक समिMट हो तथा कोई रखक

Kपातरण x V स परभाampषत हो तब T क2 शgtयता

A is zero

शgtय होगी

B is one

एक होगी

C is infinite

अनत होगी

D Cannot be determined unless V is known

नह नकाल जा सकती जब तक 7क V Wात न हो

Answer Key A

Q23

Let x1 = 317

+ 917

and x2 = 517

+ 917

Then which of the following is true statement

मान x1 = 317

+ 917

तथा x2 = 517

+ 917

तब नन म स कौन सा सय कथन ह

A x1 lt x2

x1 lt x2

B x2 lt x1

x2 lt x1

C f(x) = (6-x)

17 + (6+x)

17 is an increasing function in [13]

f(x) = (6-x)17

+ (6+x)17

अतराल [13] म वधमान फलन ह

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q24

If f(z) is analytic throughout the complex plane and its modulus is uniformly bounded then f(z) is

identically zero

The above result is known by the name of

य)द f(z) सपण सिमR तल म ampवशलampषक हो तथा इसका मापाक एकसमान परब$ हो तो f(z) सवथासम शgtय

होता ह

उपरो+त परणाम को 7कसक नाम स जाना जाता ह

A Morera

मोररा

B Cauchy

कॉशी

C Liouville

लयampवल

D Rouche

रॉची

Answer Key C

Q25

Let f(z) be an analytic function whose value lie on a straight line in the complex plane Then

मान 7क 7कसी ampवशलampषक फलन f(z) क मान सिमR तल म एक सरल रखा पर िथत होत ह तब

A f(z) is identically equal to zero

f(z) सवथासम शgtय क बराबर ह

B f(z) is constant

f(z) अचर ह

C f(z) is a linear map

f(z) कोई रखक फलन ह

D f(z) is a bilinear transformation

f(z) कोई Kपातरण ह

Answer Key B

Q26

The image of line x = c under the conformal transformation w = z12

is a

अनकोण Kपातरण w = z12

क अतगत रखा x = c का (तXबब हU

A Circle

वत

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

B Hyperbola

अतपरवलय

C Parabola

परवलय

D None of these are correct

कोई ampवकलप सह नह

Answer Key B

Q27

Under what assumptions on f does Cauchys theorem imply that where c is the unit

circle

7कन परकDपनाओ क अतगत f पर कॉशी (मय स यह नषकष नकलता ह 7क जहा c एक

इकाई वत ह

A f is analytic outside c

f c क बाहर ampवशलampषक ह

B f is analytic at every point of c

c क (यक Xबद पर f ampवशलampषक ह

C f is analytic in a region containing the closed unit disc

f उस परLS म िजसम सवत इकाई Zडक अतampवषट ह ampवशलampषक ह

D f is analytic in the annulus containing c

c य+त वलयकार परLS म f ampवशलampषक ह

Answer Key C

Q28

Let fC C be an entire function such that f(1n) = 1n2 for all positive integers n Then

मान 7क fC C इस (कार का सवS फलन ह 7क सभी धनातमक पणा[क1 n क लए f(1n) = 1n2 हो तब

A Such a function does not exist

ऐस फलन का अिततव नह होता

B f should be bounded

f को परब$ होना चा)हए

C f has a pole at 0

f 0 पर व रखता ह

D f(z) = z2 for all z in C

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

C म (तयक z क लए f(z) = z2

Answer Key D

Q29

Let G be a group of order 99 Consider the following three statements

(i) G has a normal sub group of order 3

(ii) G has a subgroup of order 11

(iii) the group G is abelian

Here the number of true statements is

मान 7क G को)ट 99 का एक समह ह ननलखत तीन कथन1 पर ampवचार क2िजय

क G को)ट 3 का एक (सामाgtय उपसमह रखता ह

ख G को)ट 11 का एक उपसमह रखता ह

ग G एक आबल समह ह

यहा सय कथन1 क2 स3या ह

A zero

शgtय

B one

एक

C two

दो

D three

तीन

Answer Key D

Q30

Every finite group G is isomorphic to a permutation group This statement is

(यक परमत समह G Gमचय1 क समह स तDयकार ह यह कथन ह -

A Cayleys theorem

कल का (मय

B Lagranges theorem

लगरgtज का (मय

C Liovilles theorem

लयोबील का (मय

D None of these are correct

कोई ampवकDप सह नह

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key A

Q31

Let F be a field of 32 elements and A = x F x31 = 1 and x

k 1 for all natural numbers k lt 31

Then the number of elements in A is

मान 7क F 32 अवयव1 का एक LS ह तथा A = x F x31 = 1 एव सभी (ाकत सखयाओ k lt 31 क लए

xk 1 तब A म अवयव1 क2 स3या ह

A 1

एक

B 2

दो

C 30

तीस

D 6

छ

Answer Key C

Q32

Let G be a group of order 36 and H be its subgroup of order 4 If Z(G) denotes the centre of G Then

मानो 7क G को)ट 36 का एक समह ह तथा H इसका को)ट 4 का उपसमह ह य)द Z(G) G क कgt] को (दशत

करता ह तब

A H Z(G)

H Z(G)

B H = Z(G)

H = Z(G)

C H is normal in G

H G म (सामाgtय ह

D H is ableian subgroup

H एक आबल उपसमह ह

Answer Key D

Q33

The number of non-trivial topologies on a three elements set X = abc is

एक तीन अवयवो क समचचय X = abc पर अतचछ सािथत7कय1 क2 सखया ह

A 30

30

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

B 29

29

C 28

28

D 27

27

Answer Key B

Q34

The cofinite topology on an infinite set is

एक अनत समचय पर सह-परमत सािथतक2 होती ह

A T0 compact but not T2

T0 सहत ल7कन T2 नह

B T1 connected but not T2

T1 सब$ ल7कन T2 नह

C T2 but not T3

T2 ल7कन T3 नह

D T2 compact but not T4

T2 सहत ल7कन T4 नह

Answer Key B

Q35

Let be the real line and x be the plane as a topological space Consider the

map defined by f(xy)=(x0) Then the map f is

मान1 7क R वातampवक रखा हो तथा तल x को एक सािथतक2 समिMट क2 तरह समझ

फलन f(xy)=(x0) _वारा परभाampषत ह तब फलन f ह

A Closed and continuous

सवत तथा सतत

B Continuous and open

सतत तथा ampववत

C Open and closed

ampववत तथा सवत

D Closed open and continuous

सवत ampववत तथा सतत

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key B

Q36

Let g be a differentiable function satisfying for all x 0

Then the value of is equal to

मानय 7क g एक अवकलनीय फलन ह जो सभी x 0 क लय को सतMट

करता ह

तब का मान ह

A 6

6

B 3

3

C 4

4

D 2

2

Answer Key C

Q37

If y =e-x is a solution of ODE then the correct relation between P and Q is

य)द y =e-x सा अ समी का एक हल हो तो P तथा Q क म`य सह सबध ह

A 1 + P + Q = 0

1 + P + Q = 0

B P = 1 + Q

P = 1 + Q

C Q = 1 + P

Q = 1 + P

D P + Q = 1

P + Q = 1

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key B

Q38

Given that y = x is one solution of ODE x2y + xy - y = 0 a second linearly independent solution will

be

y = x साअसमी x2y + xy - y = 0 का एक हल )दया गया हो तो दसरा रखक वतS हल होगा

A

B

C

D

Answer Key A

Q39

The region in which the PDE is hyperbolic is

वह LS िजसम आ अ समी अतपरवलय हो ह

A xy gt 1

xy gt 1

B xy 1

xy 1

C xy 0

xy 0

D xy gt 0

xy gt 0

Answer Key A

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q40

The differential equation is

अवकल समीकरण ह

A Linear and homogeneous

रखक तथा समघात

B non-linear and homogeneous

अरखक तथा समघात

C linear and non-homogeneous

रखक तथा असमघात

D Non-linear and non-homogeneous

अरखक तथा असमघात

Answer Key D

Q41

The partial differential equation of the family of surfaces z = (x+y) + Axy is

पMट1 z = (x+y) + Axy क कल का आशक अवकल समीकरण होगा

A xp - yq = 0

xp - yq = 0

B xp - yq = x - y

xp - yq = x - y

C xp + yq = x + y

xp + yq = x + y

D xp + yq = 0

xp + yq = 0

Answer Key B

Q42

The function satisfying the integral equation

समाकल समीकरण को सतMट करन वाला फलन ह

A

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

B

C

D

Answer Key C

Q43

The integral equation is equivalent to

समाकल समीकरण नन म स 7कसक तDय ह

A y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

B y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y - y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

C y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0

D y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

y + y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

Answer Key A

Q44

The variational problem of extremizing the

functional has

फलनक को इMटतम करन क2 ampवचरणीय समया का

A a unique solution

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

एक अamp$तीय हल होता ह

B exactly two solutions

ठPक दो हल होत ह

C an infinite number of solutions

अनत स3या म हल होत ह

D no solution

कोई हल नह होता ह

Answer Key D

Q45

The Newton - Raphson iteration formula can be used to compute the

gtयटन रफशन पनरावित सS को 7कस गणना क लय (योग 7कया जा सकता ह

A square of A

A क वग क लय

B reciprocal of A

A क NयGम क लय

C square root of A

A क वगमल क लय

D logarithm of A

A क लघगणक क लय

Answer Key C

Q46

One bag contains 5 white balls and 7 black balls another bag contains 3 white balls and 5 black balls If

a bag is chosen at random and a ball is drawn from it the probability that it is a white ball is

एक बग म 5 सफद गद तथा 7 काल गद ह दसर बग म 3 सफद गद तथा 5 काल गद ह य)द यaछया एक बग

को चना जाता ह तथा उसम स एक गद नकाल जाती ह तो उस गद क सफद होन क2 (ायकता होगी

A 512

512

B 38

38

C 1924

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

1924

D 1948

1948

Answer Key D

Q47

The function f(x) = ce-x 0 x is a probability density function for

फलन f(x) = ce-x 0 x एक (ायकता घनव फलन ह

A all values of c

c क सभी मान1 क लय

B all values of c gt 1

सभी c gt 1 क लय

C all values of c lt 1

सभी c lt 1 क लय

D c = 1 only

कवल c = 1 क लय

Answer Key D

Q48

For a fixed t consider the linear programming problem

maximize z = 3x + 4y

subject to x + y 100

x + 3y t

and xy 0

The maximum value of z is 400 for t equal to

एक निbचत t क लय रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 3x + 4y

(तबध x + y 100

x + 3y t

तथा xy 0 तब t क 7कस मान क लय z का अ=धकतम मान 400 होगा

A 300

300

B 200

200

C 100

100

D 50

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

50

Answer Key A

Q49

Let X(t) = number of customers in the system at time t in an MMC queuing model with C = 3 arrival

rate gt 0 and service rate gt 0

Consider the following statements P and Q

P If X(t) has a stationary distribution then lt 3

Q The number of customers undergoing service at time t is minX(t)3 Then

C = 3आगमन दर gt 0 तथा सवा गत gt 0 क साथ एक MMC कतार मॉडल म समय t पर नकाय म

cाहक1 क2 स3या X(t) ह ननलखत कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P य)द X(t) का एक तdध बटन ह तो lt 3 ह

Q समय t पर सवा पान वाल cाहक1 क2 स3या gtयन X(t)3 ह तब

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B both P and Q are true

P तथा Q दोन1 सय ह

C None of P and Q is true

P तथा Q म स कोई भी सय नह ह

D Only Q is true

कवल Q सय ह

Answer Key B

Q50

Consider the linear programming problem

Maximize z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

subject to

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

and x1 x2 x3 x4 gt 0

Which of the following is true

रखक (ोcामन समया अ=धकतम करो z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + x4

(तबध

x1 + x2 + x3 = 2

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0

तथा x1 x2 x3 x4 gt 0 पर ampवचार क2िजय तब ननलखत म स कौन सा सतय ह

A (1014) is a basic feasible solution but (2004) is not

(1014) एक आधार ससगत हल ह ल7कन (2004) नह

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

B Neither (1014) nor (2004) is a basic feasible solution

(1014) तथा (2004) म स कोई भी आधार ससगत हल नह ह

C (1014) in not a basic feasible solution but (2004) is

(1014) एक आधार ससगत हल नह ह ल7कन (2004) ह

D Both (1014) and (2004) are basic feasible solutions

दोन1 (1014) तथा (2004) आधार ससगत हल ह

Answer Key C

Part-B

Q1

Let be a convergent series of positive terms Then

मान 7क घनामक पद1 क2 एक अभसार Rणी हU तब

A is always divergent

सदव अपसार ह

B may be divergent

अपसार हो सकती ह

C may be divergent

अपसार हो सकती ह

D all the series are necessarily convergent

सभी Rणय1 का अभसार होना आवशयक ह

Answer Key D

Q2

For a function which one of the following is true

7कसी फलन क लय ननलखत म स कौन सा एक सय ह

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A is Riemann integral on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

B is Riemann intergable on [01] is Riemann integrable

[01] पर रमान समाकलनीय ह रमान समाकलनीय होगा

C is Riemann integrabe on [01] is continuous

[01] पर रमान समाकलनीय ह सतत होगा

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q3

The improper integral converges if

अन=चत समाकल अभसार ह य)द

A m gt 0 and n lt 0

m gt 0 तथा n lt 0

B m gt 0 and n gt 0

m gt 0 तथा n gt 0

C m lt 0 and n gt 1

m lt 0 तथा n gt 1

D m lt 0 and n lt 0

m lt 0 तथा n lt 0

Answer Key B

Q4

Let Q be the set of all rational numbers and T be the set of all irrational numbers then

मान लिजय 7क Q सभी परमय स3याओ तथा T सभी अपरमय स3याओ क समचय ह1 तब

A Both Q and T are countable

दोन1 Q तथा T गणनीय ह

B Q is countable but T is Uncountable

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q गणनीय ह परgtत T गणनीय नह ह

C T is countable but Q is Uncountable

T गणनीय ह परgtत Q गणनीय नह ह

D Both Q and T are uncountable

दोन1 Q तथा T गणनीय नह ह

Answer Key B

Q5

Which of the following is NOT true

ननलखत म स कौन सा असय ह

A A bounded monotonic function is a function of bounded variation

कोई परब`द एक)दMट फलन परब`द ampवचरण वाला फलन ह

B A continuous function is necessarily a function of bounded variation

कोई सतत फलन निbचत ह परब`द ampवचरण वाला फलन ह

C A function of bounded variation is necessarily bounded

परब`द ampवचरण वाला कोई भी फलन निbचत ह परब`द होता ह

D The sum of two functions of bounded variation is also of bounded variation

दो परब`द ampवचरण वाल फलन1 का योग भी परब`द ampवचरण का होता ह

Answer Key B

Q6

Let be a Riemann integrable function on [a b] and let Then

मानय 7क अgtतराल [a b] पर एक रमान समाकलनीय फलन ह तथा य)द ह

तब

A (x) is continuous on [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

B (x) is continuous on [a b] except at finite number of points of [ab]

[ab] क कवल कछ परमत Xबgtदओ को छोड़कर (x) अgtतराल [ab] पर सतत ह

C (x) may be discontinuous at an infinite number of points in [a b]

फलन (x) अgtतराल [ab] क अनgtत Xबgtदओ पर असतत हो सकता ह

D Nothing can be said about continuity of (x)

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

फलन (x) क2 साततयता क ampवषय म कछ नह कहा जा सकता ह

Answer Key A

Q7

Consider the following statements P and Q

P is convergent Series

Q

Then

नन कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजए

P एक अभसार Rणी हU

Q

A P Q

P Q

B Q P

Q P

C P Q

P Q

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q8

For a subset A of a metric space which of the following implies the other three

एक दरक समािMट क उपसमचय A क लय ननलखत म स कौन सा अgtय तीन को स=चत करता ह

A A is closed

A सवत ह

B A is bounded

A परब`द ह

C Closure of B is compact for every B A

(यक B A क लय B का सवरक सहत ह

D A is compact

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A सहत ह

Answer Key D

Q9

For the series and the sequence lt 1n gt which of the following is true

Rणी तथा अनGम lt 1n gt क लय नन म स कौन सा सय हU

A Both and lt 1n gt are convergent

दोन1 तथा lt 1n gt अभसार हU

B is convergent but lt 1n gt is not convergent

अभसार हU ल7कन lt 1n gt अभसार नह हU

C is not convergent but lt 1n gt is convergent

अभसार नह हU ल7कन lt 1n gt अभसार हU

D as well as lt 1n gt both are not convergent

साथ ह साथ lt 1n gt दोन1 अभसार नह हU

Answer Key C

Q10

The function

is both continuous and differentiable at x = 0 if

फलन

x = 0 पर सतत तथा अवकलनीय दोनो हU य)द

A - 1 lt P lt 0

- 1 lt P lt 0

B 0 P 1

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

0 P 1

C 1 lt P

1 lt P

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q11

The series is divergent for all x such that

ऐस सभी x िजनक लय Rणी अपसार होती ह

A 0 lt x lt e

0 lt x lt e

B 0 lt x e

0 lt x e

C X gt e only

कवल X gt e

D X e

X e

Answer Key D

Q12

Let lt fn gt be a sequence of real valued continuous functions defined on [0 1] and suppose

that Then

मान लिजय 7क lt fn gt अgtतराल [01]पर परभाampषत वातampवक मान क सतत फलन1 क2 अनGम ह तथा मान

लिजय 7क

तब

A f is continuous

f सतत होता ह

B f is continuous provided lt fn(x) gt is a uniformly bounded sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक समान परब`द अनGम )दया हो

C f is continuous provided lt fn(x) gt is a decreasing sequence

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt एक fासमान अनGम )दया हो

D f is continuous provided lt fn(x) gt is convergent for some x [0 1]

f सतत होता ह य)द lt fn(x) gt कछ x [0 1] क लय अभसार )दया हो

Answer Key C

Q13

If which of the following theorems enables you to conclude that

c0+c1x+⋯+cnxn = 0 for some x ]01[

य)द तो नन (मय1 म स कौन सी आपको नMकष नकालन म समथ

करती ह 7क c0+c1x+⋯+cnxn= 0 कछ x ]01[ क लए

A Rolles Theorem

रोल क2 (मय

B Intermediate value Theorem

मधयवतg मान (मय

C Fundamental Theorem of algebra

बीज गणत का आधार भत (मय

D Mean value Theorem of integral calculus

समाकल गणत का मा`य मान (मय

Answer Key A

Q14

Let X be a connected subset of real numbers If every element of X irrational then the cardinality of X

is

य)द X वातampवक स3याओ का सब$ उपसमचय ह तथा X का (यक अवयव अपरमय स3या ह तो X क2

काZड नल स3या होगी

A Infinite

अनgtत

B Countably infinite

गणनीय अनgtत

C 2

2

D 1

1

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key D

Q15

Far all x ]01[ which of the following is true

सभी x ]01[ क लय ननलखत म स कौन सा सय ह

A loge (1+x) lt x

loge (1+x) lt x

B e

x lt 1+x

ex lt 1+x

C x lt sinx

x lt sinx

D x lt loge

x

x lt logex

Answer Key A

Q16

Which of the following sets has a non-zero measure

ननलखत समचय1 म स 7कसका माप (मीजर) अशgtय होती ह

A Set of all rational numbers

सभी परमय स3याओ का समचय

B Set of all irrational numbers

सभी अपरमय स3याओ का समचय

C Set of all integers

सभी पणाक1 का समचय

D Set with finite number of elements

समचय िजसम अवयव1 क2 स3या परमत हो

Answer Key B

Q17

Let f X X such that f(f(x)) = x all x X Then

माना 7क f X X इस (कार ह 7क f(f(x)) = x सभी x X क लय ह तब

A f is one-one and onto

f एकक2 तथा आछादक ह

B f is one-one but not onto

f एकक2 ह परgtत आछादक नह हU

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

C f is onto but not one-one

f आछादक ह परgtत एकक2 नह हU

D f is neither one-one nor onto

f ना तो एकक2 ह और ना ह आछादक

Answer Key A

Q18

Let d1 d2 and d3 be metrics on a set X with at least two elements Which of the following is NOT a

metric on X

य)द d1d2 तथा d3 कम स कम दो अवयव1 स)हत समचय X पर मी)h+स ह1 तो ननलखत म स कौन एक X

पर मी)hक नह ह

A mind1 2

gtयन d1 2

B maxd2 2

अ=धक d2 2

C

D

Answer Key B

Q19

Let f be a monotone function Then

य)द f एक एक)दMट फलन ह तब

A f is always continuous

f सदव सतत होता ह

B f has only finitely many discontinuities

f क कवल परमतत असातय होत ह

C f can have at most countably many discontinuities

f क अ=धक स अ=धक गणनीयत असातय हो सकत ह

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

D f can have uncountably many discontinuities

f क अगणनीयत असातय हो सकत ह |

Answer Key C

Q20

If A and B are 5x5 matrices of rank 4 and 2 respectively then rank of AB is

य)द A तथा B 5x5 क2 दो आNयह हो िजसक2 जात Gमश 4 तथा 2 ह तब AB क2 जात होगी

A 5

5

B 4

4

C 3

3

D 2

2

Answer Key D

Q21

The system of equations

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

is consistent if

समीकरण1 का नकाय

-2x + y + z = a

x ndash 2y + z = b

x + y -2 z = c

सगत ह य)द

A a + b + c = 0

a + b + c = 0

B a + b - c = 0

a + b - c = 0

C a - b + c = 0

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

a - b + c = 0

D a + b + c 0

a + b + c 0

Answer Key A

Q22

A is a square matrix of odd order and At is its transpose then A - A

t is always

य)द A एक ampवषम को)ट क2 वग आNयह ह तथा At इसका परवत ह तो A-A

t सदव होता ह एक

A Singular symmetric matrix

ampव=चS सममत आNयह

B Singular Skew-Symmetric matrix

ampव=चS (त सममत आNयह

C Non singular Skew-Symmetric matrix

अampव=चS (त सममत आNयह

D Non-singular matrix

अampव=चS आNयह

Answer Key B

Q23

If

then the trace of A102

is

य)द हो

तो A102 का अनरख ह

A 0

0

B 1

1

C 2

2

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

D 3

3

Answer Key D

Q24

Let A be a non-zero linear transformation on a real vector space V of dimension n Let the subspace

V0 V be the image of V under A Let K = dim V0 lt n and suppose that for some

A2 = A Then

मानो 7क A एक n ampवमीय वातampवक रखक समिMट V पर अशgtय रखक Kपाgtतरण ह मानो 7क उपसमिMट

V0 V A क अgtतगत V का (तXबव ह मानो 7क K = dim V0 lt n एव माना 7क कछ क लय

A2 = A तब

A = 1

= 1

B detA =

n

सारणक A = n

C is the only Eigen value of A

A का एकमाS अभलाLणक मान ह

D There is a non-trivial subspace V1 V such that Ax = 0 all x V1

एक अतचछ उपसमिMट V1 V इस (कार ह 7क सभी x V1 क लय Ax = 0

Answer Key D

Q25

Let A be a non-zero 3x3 matrix with the property A2 = 0 Consider the following three statements

I A is not similar to a diagonal matrix

II A has one non-zero Eigen vector

III A can have at most two linearly independent Eigen vectors

Then the number of true statements is

मानलिजय 7क A एक 3x3 क2 शgtयततर आNयह ह िजसम (गण A2 = 0 ह ननलखत तीन कथन1 पर

ampवचार क2िजय

I A एक ampवकण आNयह क समKप नह हU

II A का एक शgtयतर अभलLणक स)दश ह

III A अ=धक स अ=धक दो रखक वतgtS अभलाLणक स)दश1 को रख सकता ह

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

तब सतय कथन1 क2 सखया ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q26

The Eigen vector of the matrix are

आNयह क अभलLणक स)दश होग

A

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key A

Q27

Let be a linear transformation with T(1-11) = (10) and T(111) = (01) Then T(a-ba)

is given by

मानय 7क एक रखक Kपाgtतरण ह जहॉ T(1-11) = (10) तथा T(111) = (01) तब T(a-ba)

का मान होगा

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A (a+b a-b)

(a+b a-b)

B

C

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q28

Let T 3 be defined by T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 Then Ker(T) is a

मानय 7क T 3 इस (कार परभाampषत ह 7क T(x1x2x3) = x1+2x2+3x3 तब अिMट (T) होगा

A Plane

समतल

B Circle

वत

C Straight line

सरल रखा

D Cone

शक

Answer Key A

Q29

The rank of the linear transformation T 3

3 defined by

T(x1x2x3) = (x20x3) is

T(x1x2x3) = (x20x3) _वारा परभाampषत रखक Kपाgtतरण T 3

3 क2 जात होगी

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

1

D 0

0

Answer Key B

Q30

Choose the correct statement from the following

ननलखत म स सय कथन को चनय

A

Dimension of a subspace of a finite dimensional vector space divides the dimension of the vector space

7कसी परमत ampवमीय रखक समिMट क 7कसी उपसमिMट क2 ampवमा उस रखक समिMट क2 ampवमा को ampवभािजत

करता ह

B The trace of 5x5 identity matrix with entries in 5 is non-zero

5 क अवयव1 स बनी 5x5 तसमक आNयह का अनरख अशgtय होता ह

C For real square matrices A and B the matrix AB-BA can never be the identity matrix

वातampवक वग आNयह1 A तथा B क लय आNयह AB-BA कभी भी तसमक आNयह नह हो सकता

D Every complex square matrix can be diagonalised

(यक सिमR वग आNयह को ampवकणgकत 7कया जा सकता ह

Answer Key C

Q31

For an analytic function f(z) in a domain D consider the following three conditions

P Re(f(z)) is constant

QIm(f(z)) is constant

RArg (f(z)) is constant

Which of these conditions imply that f(z) is constant

एक डोमोन D म 7कसी ampवशलampषक फलन f(z)क लय नन तीन िथतय1 पर ampवचार क2िजय

P वातampवक (f(z)) अचर ह

Q काDपनक (f(z)) अचर ह

R कोणाक (f(z)) अचर ह

इनम स कौन - कौन सी िथतया स=चत करती ह 7क f(z) अचर ह

A P and Q but not R

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

P तथा Q ल7कन R नह

B P and R but not Q

P तथा R ल7कन Q नह

C Q and R but not P

Qतथा R ल7कन P नह

D All P Q and R

सभी P Q तथा R

Answer Key D

Q32

Consider the following two statements

P if f(z) and are analytic in a domain D then f is constant

Q is analytic then so is

Then which of the following is correct

ननलखत दो कथन1 पर ampवचार क2िजय

P य)द f(z) तथा 7कसी डोमन D म ampवशलषक हो तो f अचर होता ह

Q ampवशलampषक हो तो भी ऐसा होता ह

तब नन म स कौन सा सह ह

A P is true but Q is false

P सय ह ल7कन Q असय ह

B P is false but Q is true

P असय ह ल7कन Q सय ह

C Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असतय ह

Answer Key A

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q33

The value of the integral

Where c is positively oriented circle | z | = 2 is

समाकल जहॉ c घनामक अभampवgtयत वतत | z | = 2 ह का मान ह

A

B 0

0

C

D

Answer Key A

Q34

The mobius transformation maps | z | lt 2 onto

मोXबयस Kपाgtतरण | z | lt 2 को आचछादक (त=चXSत करता ह

A It self

अपन पर ह

B | w |gt 2

| w |gt 2 पर

C | w |gt 12

| w |gt 12 पर

D | w |gt 4

| w |gt 4 पर

Answer Key C

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q35

The value of where c is oriented circle | z | = 2 is

जहॉ c घनामक अभampवgtयत वत | z | = 2 ह का मान होगा

A 0

0

B i

i

C

D

Answer Key D

Q36

The singularity of f(z) = esinz

at z = is

z = पर f(z) = esinz

क2 ampव=चSता ह

A a pole

एक व

B a removable singularity

एक अपनय ampव=चSता

C a non-isolated essential singularity

एक अampवय+त अनवाय ampव=चSता

D an isolated essential singularity

एक ampवय+त अनवाय ampव=चSता

Answer Key D

Q37

The function f(z) = x2 + y

2 + ixy where z = x + iy is analytic

फलन f(z) = x2 + y

2 + ixy जहॉ z = x + iy ampवशलampषक होता ह

A at z = 0 only

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

कवल z = 0 पर

B at infinity many points

परमतत कई Xबgtदओ पर

C every where

सवS

D nowhere

कह भी नह

Answer Key D

Q38

defined for z C Then which of the following is false

z C क लय परभाampषत ह तब नन म स कौन सा असय ह

A f is entire function

f सवS ampवशलampषक ह

B only singularities of f are poles

f क2 कवल ampव=चSताय अनतक (व) हU

C f has infinitely many poles on the imaginary axis

अ=धकिDपत अL पर f क अनgtतत कई अनतक ह

D each pole of f is simple

f का (यक अनतक साधारण होती ह

Answer Key A

Q39

Let f C C be a meromorphic function analytic at 0 satisfying for n 1 Then

which of the following is wrong

मानो 7क f C C एक अनतक2 फलन 0 पर ampवशलampषक ह जो n 1 क लय को सतMट

करता ह तब नन म स कौन सा असय (गलत) ह

A f(0) = 12

f(0) = 12

B f has a simple pole at z = -2

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

f पर z = -2 साधारण अनतक रखता ह

C f(2) = 14

f(2) = 14

D no such meromorphic function exists

ऐसा कोई अनतक2 फलन का अितव नह होता ह

Answer Key D

Q40

Let G be a group of order 49 Consider the statements P amp Q

P The normalize of an element x( e) of G is whole group G

Q The centre of G is whole Of G

Then which of the following is correct

मानय 7क G एक 49 को)ट का समह ह कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

P G क एक अवयव x( e) का (सामाgtयक पण समह G ह

Q G का कgt] पण समह G ह

नन म स कौन सा सह ampवकDप ह

A Both P and Q are true

दोनो P तथा Q सय ह

B P is true but Q is false

P सय हल7कन Q असय ह

C Q is true but P is false

Q सय हल7कन P असय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय हU

Answer Key A

Q41

Let Q be the field of rational numbers and let Q(a) be the field obtained by adjoining a Q to Q

Consider the statements P and R

are field isomorphic

Choose your answer as

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

माना 7क Q एक परमय स3याओ का LS ह तथा माना 7क Q(a) को a Q म सलiन करक (ाjत हआ LS ह

कथन1 P तथा Q पर ampवचार क2िजय

LS तDयाकार होत ह

अपना ऐसा उततर चनय 7क

A If P and R are both true

य)द P तथा R दोनो सय ह

B If P is true R is false

य)द P सय ह R असय ह

C If P is false R is true

य)द P असय ह R सय ह

D If P and T are both false

य)द P तथा R दोनो असय ह

Answer Key B

Q42

Consider the following statements

1 Every finite integral domain is a field

2 Every finite division ring (Skew field) is a field

3Every integral domain which is also a division ring is a field

Here the number of true statements is

नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

1 (यक परमत पणा[क2य (ाgtत एक LS होता ह

2 (यक परमत ampवभाजन वलय (Xबषम तलय LS) एक LS होता ह

3 (यक पणा[क2य (ाgtत जो7क एक ampवभाजन वलय भी हो एक LS होता ह

यहॉ सय कथन1 क2 स3या ह

A 3

3

B 2

2

C 1

1

D 0

0

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key A

Q43

The number of group homomorphisms from the symmetric group S3 to the additive group Z6Z is

सममत समह S3 स घनामक समह Z6Z पर समह समाकारताओ क2 स3या होगी

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key B

Q44

Let G be a simple group of order 60 Then

माना 7क G को)ट 60 का एक सरल समह ह तब

A G has six sylow-5 subgroups

G छ सलो-5 उपसमह1 को रखता ह

B G has four sylow-3 subgroups

G चार सलो-3 उपसमह1 को रखता ह

C G has cyclic subgroup of order 6

G को)ट 6 का एक चG2य उपसमह रखता ह

D G has a unique element of order 2

G म को)ट 2 का एक का अamp$तीय अवयव ह

Answer Key A

Q45

The total number of non- isomorphic groups of order 122 is

को)ट 122 क अतDयाकार समह1 क2 कल स3या होती ह

A 1

1

B 2

2

C 61

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

61

D 4

4

Answer Key B

Q46

For a field F of integers modulo 11 consider the following three statements P Q and R

P x2+1 and x

2+x+4 are irreducible over F

Q and are isomorphic fields

R Number of elements in is 121

Then choose the correct option below

पणा[को माडयलो 11 क LS

F क लय नन तीन कथनो P Q तथा R पर ampवचार क2िजय

P F पर x2+1 तथा x2

+x+4 लघकरणीय ह

Q LS तथा तDयाकार होत ह

R म अवयव1 क2 स3या 121 होती ह

तब नमन म सह ampवकDप को चन

A only one of the statements is true

)दय कथन1 म स कवल एक सय ह

B only two statements are true

कवल दो कथन सय ह

C All P Q and R are true statements

सभी P Q तथा R सय कथन ह

D P and Q are true but R is false

P तथा Q सय ह ल7कन R असय ह

Answer Key C

Q47

Let X = a b c and = abab X be a topology on X Then

माना 7क X = a b c तथा = ababX X पर सािथतक2 हो तब

A (X ) is T2 and regular

(X ) T2 तथा रगलर होता ह

B (X ) is regular but not normal

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

(X ) रगलर ह ल7कन नॉमल नह ह

C (X ) is not normal but connected

(x ) नॉरमल नह ह तथा सब$ ह

D (X ) is not connected

(X ) सब$ नह ह

Answer Key C

Q48

Which of the following property is not hereditary in a topological space

7कसी सािथतक2य समिMट म नन म स कौन सा गण आनवशक नह होता ह

A Regularity

रगलरट

B Normality

नामkलट

C Hausdorff property

हाउसडॉफ गण

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q49

Consider usual topology and lower limit topology on the set of real numbers Then choose the

correct option below

वातampवक स3याओ क समचय पर साधारण सािथतक2 तथा नन सीमा सािथतक2 पर ampवचार

क2िजय एव नमन म स सह ampवकDप को चनय

A Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

B Identity mapping is continuous

तसमक फलन सतत होता ह

C

Both (Identity mapping is continuous amp Identity mapping is

continuous) are true

(तसमक फलन सतत होता ह) तथा (तसमक फलन सतत होता ह)

दोन1 सह ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q50

Let be defined by Then

माना 7क _वारा परभाampषत ह

तब

A f is one ndash one continuous but not onto

f एकक2सतत ह ल7कन आछादक नह

B f is onto continuous but not one ndash one

f आछादक सतत ह ल7कन एकक2 नह

C f is one ndash oneonto and continuous

f एकक2 आछादक तथा सतत ह

D f is one ndash one onto but f

-1 is not continuous

f एकक2 तथा आछादक ह ल7कन f-1 सतत नह ह

Answer Key C

Q51

Let P be a continuous function on and W the Wronskian of two linearly independent solutions

y1 and y2 of the ODE

Let W(1) = a W(2) = b and W(3) = c then

माना 7क P पर एक सतत फलन ह तथा W साअसमी

क दो रखक2य वतgtS हलो y1 तथा y2 का रॉस7कयन हो

य)द W(1) = a W(2) = b and W(3) = c हो तो

A a lt 0 and b gt 0

a lt 0 तथा b gt 0

B a lt 0 b lt 0 and c gt 0

a lt 0 b lt 0 तथा c gt 0

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

C a lt b lt c or a gt b gt c

a lt b lt c अथवा a gt b gt c

D 0 lt a lt b and b gt c gt 0

0 lt a lt b तथा b gt c gt 0

Answer Key C

Q52

Solution of ODE ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 is

साअसमी ysin2x dx + (-y2 ndash cos

2x)dy = 0 का हल ह

A 3ycos

2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y

3 = c जहॉ c अचर ह

B 3ycos2x + 2y

3 = c c is constant

3ycos2x + 2y3 जहॉ c अचर ह

C 3y

2sin2x -2y

3 = c c is constant

3y2sin2x -2y

3 जहॉ cअचर ह

D 3ycos2x + y

3 = c c is constant

3ycos2x + y3 = c जहॉ c अचर ह

Answer Key B

Q53

If y1(x) and y2(x) are solution of ODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx then which of the following is also its

solution

य)द y1(x) तथा y2(x) साअ समीODE yrsquorsquo+ xyrsquo + (1-x2)y = sinx क हल हो तो नन म स भी कौन इसका हल

होगा

A y1(x) + y2(x)

y1(x) + y2(x)

B y1(x) - y2(x)

y1(x) - y2(x)

C 2y1(x) - y2(x)

2y1(x) - y2(x)

D y1(x) - 2y2(x)

y1(x) - 2y2(x)

Answer Key C

Q54 If y1(x) and y2(x) are solutions of y + x2y + (1-x)y = 0 such that y1(0) = 0 y1(0) = -1 and y2(0) = -1

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

y2(0) = 1 then the Wronskian W(y1y2) on

य)द y + x2y + (1-x)y = 0 क हल y1(x) तथा y2(x) इस (कार हो 7क y1(0) = 0 y1(0) = -1 तथा y2(0) = -1

y2(0) = 1 तब रॉस7कयन W(y1y2) पर

A is never zero

कभी शgtय नह होता ह

B is identically zero

समानKप स शgtय होता ह

C is zero only at finite number of points

कवल परमतत स3या क Xबgtदओ पर शgtय होता ह

D is zero at countably infinite number of points

गणनीय अनgtत Xबgtदओ पर शgtय होता ह

Answer Key A

Q55

The PDE y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 is

आअसमी y3uxx ndash (x

2 + 1)uyy = 0 ह

A Parabolic in (xy) x lt 0

(xy) x lt 0 म परवलय

B hyperbolic in (xy) y gt 0

(xy) y gt 0 म अतपरवलय

C elliptic in

2

2 म दघवततीय

D parabolic in (xy) x gt 0

(xy) x gt 0 म परवलय

Answer Key B

Q56

If (x) be a solution of ODE xy + y + xy = 0 then which of the following differential equation is

satisfied by the function x12

(x)

य)द (x) साअसमी xy + y + xy = 0 का हल ह तो फलन x12 (x)नमन म स कौन स अवकल समीकरण

को सतMट करता ह

A x

2y + (4x

2 + 1)y = 0

x2y + (4x

2 + 1)y = 0

B x2y + (4x

2 - 1)y = 0

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

x2y + (4x

2 - 1)y = 0

C x

2y + (x

2 + 14)y = 0

x2y + (x

2 + 14)y = 0

D x

2y + (x

2 ndash 14)y = 0

x2y + (x

2 ndash 14)y = 0

Answer Key C

Q57

A particular solution of the PDE is

आअसमी का एक ampवशष हल ह

A

B

C

D

Answer Key A

Q58

Using Eulers method taking step size = 01 the approximate value of y obtained corresponding to x =

02 for the initial value problem dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 is

पगनाप = 01 लकर आयलर क2 ampव=ध का (योग कर (ारिभक मान समया

dydx = x2 + y

2 y(0) = 1 क लय x = 02 क सगत y का सिgtनकट मान ह

A 1322

1322

B 1122

1122

C 1222

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

1222

D 1110

1110

Answer Key C

Q59

A function y(x) is given as y(1) = 324 y(6) = 843 and y(10) = 246 Using Lagrangersquos interpolation

the approximate value of y(4) is

फलन y(x) क लय )दया ह 7क y(1) = 324 y(6) = 843 तथा y(10) = 246 तब लcाgtज अतवkशन क (योग

करन पर y(4) क सिgtनकट मान ह

A 435

435

B 482

482

C 565

565

D 612

612

Answer Key A

Q60

A function f(x) is given as f(10) = 232 f(12) = 468 and f(14) = 648 Using Simpsons rule the value

of is

एक फलन f(x) क लय f(10) = 232 f(12) = 468 तथा f(14) = 648 )दया गया ह सपसन क नयम का

(योग करक का मान होगा

A 181

181

B 183

183

C 185

185

D 189

189

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Answer Key B

Q61

Consider the functional I y(0) = 1 where y C2([01]) If y extremizes I

then

फलनक I y(0) = 1 जहॉ y C2([01]) पर ampवचार क2िजएय)द I को y चरमत

करता हU तब

A

B

C

D

Answer Key B

Q62

If 1 2 be the characteristic numbers and f1 and f2 the corresponding Eigen functions for the

homogeneous integral equation consider the following

statement

Then

य)द समघात समाकल समीकरण क अभलाLणक मान

1 एव 2 हो तथा f1 एव f2 इनक अभलाLणक फलन हो तो नन कथनो पर ampवचार क2िजय

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

A both P and Q are true

दोन1 P तथा Q सय ह

B P is true Q is false

P सय ह Q असय ह

C P is false Q is true

P असय ह Q सय ह

D Both P and Q are false

दोनो P तथा Q असय ह

Answer Key A

Q63

The integral equation has

समाकल समीकरण रखता ह

A no solution

कोई हल नह

B unique solution

अि`दतीय हल

C infinitely many solution

अनgtतत कई हल

D exactly two solutions

ठPक दो हल

Answer Key A

Q64

If L and V are respectively the Lagrangian function and potential energy of a conservative holonomic

dynamical system then

य)द 7कसी सरLी होलोनॉमी गतक2य तS का लcाजी फलन तथा िथतज ऊजा Gमश L तथा V हो तो

A L = constant

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

L = अचर

B L + V = constant

L + V = अचर

C L + 2V = constant

L + 2V = अचर

D L ndash V = constant

L ndash V = अचर

Answer Key C

Q65

Consider the following three statements

i Hamiltons principle follows from the DAlemberts principle

ii Hamiltons principle follows from Lagranges equations

iii Newtons second law of motion follows from the Hamiltons principle

Then the number of true statements is

नन तीन कथनो पर ampवचार क2िजय

i हमDटन स$ात Zडएलवट स$ात का अनगामी ह

ii हमDटन स$ात लcाजी समीकरण1 का अनगामी ह

iii gtयटन का _ampवतीय नयम हमDटन स$ात का अनगामी ह

तब सय कथन1 क2 स3या ह

A 1

1

B 2

2

C 3

3

D 0

0

Answer Key C

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

Q66

For a simple pendulum of length l and mass m consider the following statements

i The Lagrangian function is

ii The equation of motion is

here choose

लबाई l तथा ]Nयमान m क एक साधारण दोलक क लय नन कथन1 पर ampवचार क2िजय

i इसका लcािजयन फलन ह

ii इसका गत का समीकरण ह

यहॉ चनय

A both (i) and (ii) are true

दोनो (i) तथा (ii) सय ह

B (i) is true but (ii) is false

(i) सय ह ल7कन (ii) असय ह

C (i) is false but (ii) is true

(i) असय ह ल7कन (ii) सय ह

D (i) and (ii) are both false

(i) तथा (ii) दोनो असय ह

Answer Key A

Q67

If x is a Poisson random variate with mean 3 then P (|x ndash 3|lt1) will be

य)द x मा`य 3 क साथ एक jवास1 याmिछक ampवचर ह तो P (|x ndash 3|lt1) होगा

A

B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

C

D

Answer Key C

Q68

The mean and variance of the number of defective items drawn randomly one by one with replacement

from a lot are found to be 10 and 6 respectively Then distribution of the number of defective items is

य)द लॉट स याmिछकत पन सथाampपत करत हय एक-एक करक नकाल गय दोष य+त मद1 क2 स3या का

मा`य तथा ampवचरण Gमश 10 व 6 हो तो दोष य+त मद1 क2 स3या का बटन ह

A Poisson with mean 10

jवास1 का मा`य 10 क साथ

B Binomial with n = 25 and p = 04

n = 25 तथा p = 04 क साथ _ampवपद

C Normal with mean 10 and variance 6

मा`य 10 तथा ampवचरण 6 क साथ (सामाgtय

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key B

Q69

From the six letters A B C D E and F three letters are chosen at random with replacement What is

the probability that either the word BAD or the word CAD can be formed from the chosen letters

छ अLर1 A B C D E तथा F म स याmिछकत तीन अLर पन थापन क साथ चन जात ह चन गय अLर1

स शdद BAD या शdद CAD क2 रचना कर सकन क2 (ायकता +या ह

A 3216

3216

B 6216

6216

C 9216

9216

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

D 12216

12216

Answer Key D

Q70

At a doctors clinic patients arrive at an average rate of 10 per hour The consultancy time per patient is

exponentially distributed with an average of 6 minutes per patient The doctor does not admit any patient

if at any time 10 patients are waiting Then at the steady state of this M|M|1|R queque the expected

number of patients waiting is

एक डॉ+टर क +लनक म 10 (त घnट क2 मा`य दर स रो=गय1 का आगमन होता ह (तरोगी परामशकाल

माधय 6 मनट (तरोगी य+त चर घाताकत ब)टत ह 7कसी भी समय य)द 10 रोगी (तीLा कर रह ह तो डॉ+टर

7कसी अgtय रोगी को (वश क2 अनमत नह दता ह तो िथर अवथा म इस M|M|1|R कतार म (याशत

रो=गय1 क2 स3या ह

A 0

0

B 5

5

C 9

9

D 10

10

Answer Key B

Q71

Suppose X has density where gt 0 is unknown Define Y as follows

Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2 then the distribution of Y is

माना 7क X का घनव ह जहॉ gt 0 अWात ह Y क2 परभाषा ननवत

कर Y= k if k X lt k + 1 k = 0 1 2

तो Y का बटन ह

A Normal

(सामाgtय

B Binomial

_ampवपद

C Poisson

jवास1

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

D Geometric

oयामतीय

Answer Key D

Q72

If a primal linear programming problem has degenerate optimal solution then its dual problem has

य)द एक आ_य रखक (ोcामन समया अपpMट इMटतम हल रखती ह तो उसक2 _वती समया का हल होगा

A Alternative optima solution

ampवकDपीय इMटतम हल

B degenerate optimal solution

अपpMट इMटतम हल

C no feasible solution

कोई ससगत हल नह

D no optimal solution

कोई इMटतम हल नह

Answer Key A

Q73

If (1 0 3) is an optimal solution of LPP

Maximize z = c1 x + c2 y + c3 z

Subject to

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 Then

य)द रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = c1 x + c2 y + c3 z

(तबgtध

x + y + z 4

x 2

z 3

3x + z 7

x y z 0 का

(1 0 3) एक इMटतम हल हो तो

A c1 c2 c3

c1 c2 c3

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

B c3 c2 c1

c3 c2 c1

C c2 c1 c3

c2 c1 c3

D c2 c3 c1

c2 c3 c1

Answer Key C

Q74

Consider the LPP

Maximize x1 + x2

Subject to x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 Then

रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो x1 + x2

(तबgtध x1 - 2x2 12

x2 - 2x1 12

x1 x2 0 तब

A The LPP admits an optimal solution

रखक (ोcामन समया इषटतम (ऑिjटमल) हल रखता ह

B The LPP admits no feasible solution

रखक (ोcाम समया कोई ससगत हल नह रखती

C The LPP is unbounded

रखक (ोcामन समया अपरब$ ह

D None of these

इनम स कोई नह

Answer Key C

Q75

The optimal table for the primal LPP

Maximize z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

Subject to x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 and x1 x2 x3 x4 0 is

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B

If y1 and y2 are the dual variables corresponding to the first and second constraints then their values in

the optimal solution of the dual problem are respectively

आ_य रखक (ोcामन समया

अ=धकतम करो z = 6x1 + 12x2 + 12x3 - 6x4

(तबgtध x1 + x2 + x3 = 4

x1 + 4x2 + x4 = 8 तथा x1 x2 x3 x4 0 क2 इषटतम तालका ह-

य)द (थम तथा _ampवतीय आ_य (तबgtधो क सगत _वती समया क चर y1 तथा y2 हो तो _वती समया क

इMटतम हल म उनक मान Gमश होग

A 0 and 6

0 तथा 6

B 12 and 0

12 तथा 0

C 6 and 3

6 तथा 3

D 4 and 4

4 तथा 4

Answer Key B