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7/22/2019 PDF 5 Tratados

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Las estructuras de maderaen los Tratados de Arquitectura

(15001810)


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Las estructuras de madera en los Tratados de Arquitectura(15001810)

Depsito Legal:ISBN:

Imprime Artes Grficas Palermo, S.L.Avda. de la Tcnica, 7. Pol. Ind. Santa Ana. 28529 Rivas, (Madrid).

Autora: Isabel Gmez SnchezArquitecto

ASOCIACIN DE INVESTIGACIN TCNICA DE INDUSTRIAS DE LA MADERA Y CORCHO

Isabel Gmez Snchez Asociacin de Investigacin Tcnica de Industrias de la Madera y Corcho.2006

Maqueta: L. SnchezSeco


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Las estructuras de maderaen los Tratados de Arquitectura

(15001810)

Isabel Gmez SnchezArquitecto

Coleccin ArquitecturaAITIM


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Sumario

Prlogo 1

1. INTRODUCCIN 5

1.1. Propuesta de trabajo 51.1.1. Justificacin del tema propuesto 6

1.2. Descripcin del trabajo 71.2.1. mbito de estudio 7

1.2.1.a. Aspectos a tratar 71.2.1.b. Lmites temporales 81.2.1.c. mbito geogrfico 9

1.2.2. Metodologa 91.2.2.a. Fuentes de informacin 91.2.2.b. Tratamiento de la informacin: descripcin del trabajo 101.2.2.c. Obtencin de resultados: objetivos iniciales 11

1.3. Trabajos y estudios relacionados con el tema 111.3.1. Temas afines al del presente estudio 111.3.1.a. Estudios histricos 111.3.1.b. Estudios recientes 12

1.3.2. Estudios sobre carpintera de armar en Espaa 131.3.2.a. Estudios recientes 14

1.4. Anlisis de textos 171.4.1. Clasificacin y mbito de estudio 171.4.2. Carcter y contenidos de los tratados 19

1.4.2.a. El proyecto en los textos 191.4.2.b. La carpintera en construccin y su presencia en los tratados 20

1.4.3. Textos a considerar 201.4.3.a. Tratados anteriores al siglo XVI 201.4.3.b. El siglo XVI 201.4.3.c. Tratados del siglo XVII 251.4.3.d. El siglo XVIII 291.4.3.e. La transicin al siglo XIX 341.4.3.f. Las teoras y experiencias cientficas 36

Los primeros textos 411. Tratados anteriores al siglo XVI 43

2. Tratados del siglo XVI 442.1. Italia 452.1.1. Vitruvio 45

2.1.1.a. Indicaciones sobre el material 452.1.1.b. Estructuras de madera: cubiertas 45

PRIMERA PARTELa carpintera en los tratados.

Reglas de construccin prctica


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2.1.2. Alberti 462.1.2.a. Consideraciones sobre el material 482.1.2.b. Puentes 492.1.2.c. Cubiertas 50

2.1.3. Serlio 512.1.3.a. Forjados 512.1.3.b. Cubiertas 512.1.3.c. Puentes 53

2.1.4. Vignola 55

2.1.4.a. Armaduras de cubierta 562.1.5. Palladio 57

2.1.5.a. El material 582.1.5.b. Cubiertas 582.1.5.c. Puentes 58

2.2. Tratados espaoles 612.2.1. Juanelo Turriano 61

2.2.1.a. Puentes: clasificacin 612.2.1.b. Otros contenidos: medios auxiliares

y consideraciones sobre el material 64

2.3. Francia 652.3.1. Philibert De LOrme 65

2.3.1.a. La solucin constructiva de De LOrme 652.3.1.b. Cubiertas 652.3.1.c. Forjados de gran luz 68

3. Tratados del siglo XVII 73

3.1. Tratados espaoles 743.1.1. Tratados de carpintera espaola 74

3.1.1.a. Reglas de trazado de armaduras 743.1.1.b. Reglas de dimensionado de armaduras 76

3.1.2. El Arte y uso de Arquitectura de Fray Lorenzo de San Nicols 78

3.1.2.a. La carpintera en el tratado 783.1.2.b. Cubiertas: reglas de trazado 803.1.2.c. Clasificacin de armaduras 813.1.2.d. Proceso constructivo 843.1.2.e. Sistemas y materiales de cubierta 86

3.1.3. El Compendio de Arquitectura de Simn Garca 87

3.2. Tratados franceses 883.2.1. El tratado de Le Muet 88

3.2.1.a. Forjados 893.2.1.b. Entramados verticales 893.2.1.c. Armaduras de cubierta 90

3.2.2.LArchitecture franoise de Savot 963.2.2.a. Contenidos sobre madera 96

3.2.2.b. Cubiertas 973.2.3. El tratado de Mathurin Jousse 100

3.2.3.a. Las armaduras de cubierta en el tratado 1013.2.3.b. Tipologa estructural 102


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3.2.3.c. Proceso constructivo y reglas de trazado 1033.2.3.d. Otras estructuras: puentes, cimbras y refuerzos de vigas 106

3.2.4. Franois Blondel 1083.2.5. Augustin-Charles DAviler 108

3.2.5.a. Armaduras de cubierta 1093.2.5.b. Clasificacin de armaduras 1113.2.5.c. Regla de trazado para armaduras quebrantadas 111

3.2.6. Pierre Bullet 1123.2.6.a. Armaduras de cubierta: tipos 113

3.2.6.b. Reglas de trazado de armaduras 1143.2.6.c. Consideraciones constructivas y propuesta de dimensionado 1163.2.6.d. Vigas y forjados 1173.2.6.e. Entramados y tabiques 118

3.3. Tratados italianos 1183.3.1. Scamozzi 118

3.3.1.a. Puentes de madera 118

3.4. Gran Bretaa 1203.4.1. Henry Wotton 120

3.4.1.a. El autor y su obra 1203.4.1.b. Contenidos sobre madera 121

3.4.2. igo Jones 1223.4.2.a. La introduccin de la celosa en Inglaterra 123

3.4.3. Christopher Wren 1233.4.3.a. Soluciones estructurales en madera 124

3.4.4. LosMechanick Exercises de Joseph Moxon 125

3.5. Alemania 1293.5.1. Johann Wilhelm 129

3.5.1.a. Armaduras de cubierta 130

4. Tratados del siglo XVIII 135

4.1. Tratados espaoles 1374.1.1. Garca Berruguilla 137

4.1.1.a. Armaduras de cubierta: clasificacin y tipos descritos 1374.1.1.b. Reglas de trazado y dimensionado 138

4.1.2. La influencia francesa en los tratados: el padre Rieger 1404.1.2.a. Armaduras de cubierta: clasificacin y reglas de trazado 141

4.1.3. El clculo en madera en la Espaa del XVIII: Benito Bails 1424.1.3.a. El tratado de Bails 1444.1.3.b. Clculo cientfico: reglas de dimensionado 1454.1.3.c. De los entramados de madera 1474.1.3.d. De los suelos 1484.1.3.e. Armaduras de cubierta 149

4.2. Tratados franceses 1514.2.1. Gautier 151

4.2.1.a. Contenidos sobre madera 1514.2.1.b. Soluciones constructivas 152


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4.2.2. Jombert 1544.2.2.a. Vigas, forjados y entramados verticales 1554.2.2.b. Armaduras de cubierta 1574.2.2.c. Tablas de dimensionado estricto 160

4.2.3. Belidor 1624.2.3.a. Armaduras de cubierta 1624.2.3.b. Contenidos tcnicos 164

4.2.4. Mesange 1644.2.5. Fourneau 166

4.2.5.a. Armaduras de cubierta 1674.2.5.b. Vigas y forjados 1694.2.6. Patte y J. F. Blondel 170

4.2.6.a.Instructions pour un jeune architecte 1714.2.6.b. La continuacin del Cours dArchitecture de Blondel 173

4.2.7. Camus de Mzires 1744.2.7.a. Forjados y vigas 1754.2.7.b. Armaduras de cubierta 177

4.2.8. Obras enciclopdicas 1784.2.8.a. Duhamel du Monceau 1784.2.8.b. LaEncyclopdie 180

4.3. Gran Bretaa 184

4.3.1. James Smith 1844.3.2. Francis Price 186

4.3.2.a. Contenidos tcnicos 1864.3.2.b. Armaduras de cubierta 1874.3.2.c. Otras estructuras 1904.3.2.d. Indicaciones sobre dimensionado 190

4.3.3. John Muller 1914.3.3.a. La madera en el tratado 1924.3.3.b. Dimensionado de elementos 1934.3.3.c. Entramados verticales 1944.3.3.d. Suelos y techos 1954.3.3.e. Armaduras de cubierta 195

4.3.4. William Pain 1994.3.4.a. Armaduras de cubierta 2014.3.4.b. Forjados, vigas compuestas y vigas armadas 202

4.3.5. El tratado de Peter Nicholson 2044.3.5.a. Forjados y entramados verticales 2044.3.5.b. Armaduras de cubierta 2054.3.5.c. Contenidos tcnicos 206

4.4. Italia 2094.4.1. Francesco Milizia 209

5. Tratados del siglo XIX 215

5.1. La transicin al siglo XIX en Francia 2155.1.1. Krafft 215

5.1.1.a. Indicaciones sobre el comportamiento resistente de la madera 2165.1.1.b. Armaduras de cubierta 2175.1.1.c. Entramados 220


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5.1.2. Rondelet 2225.1.2.a. Tabiques y entramados verticales 2235.1.2.b. Forjados y vigas 2245.1.2.c. Armaduras de cubierta 2285.1.2.d. Soluciones constructivas y reglas de trazado de armaduras

de faldones rectos 2295.1.2.e. Ejemplos de armaduras construidas 2315.1.2.f. Cubiertas curvas 233

5.1.3. Durand 234

5.1.3.a. El material 2365.1.3.b. Entramados verticales 2365.1.3.c. Armaduras de cubierta 2365.1.3.d. Forjados y vigas 238

5.2. Armand Rose my 2385.2.1. El Trait de lArt de la Charpenterie 239

5.2.1.a. Consideraciones sobre resistencia de la madera 2405.2.1.b. Entramados verticales 2405.2.1.c. Forjados 2415.2.1.d. Armaduras de cubierta: reglas de trazado y dimensionado 2425.2.1.e. Armaduras singulares 244

5.2.2.Description d'un nouveau systme

d'arcs pour les grandes charpentes 246

6. Historia del clculo cientfico en madera 255

6.1. Los orgenes del clculo de estrcturas 2566.1.1. Jordano Nemorario 256

6.1.1.a. Teoremas de flexin de vigas: 2576.1.2. Leonardo da Vinci 257

6.1.2.a. Flexin de vigas 2586.1.2.b. Columnas 259

6.1.2.c. Ensayos 2596.2. El clculo de estrcturas en el siglo XVII 2606.2.1. Bernardino Baldi 2616.2.2. Galileo Galilei 2616.2.3. Robert Hooke 2626.2.4. Mariotte 2636.2.5. Leibniz 264

6.3. El clculo en el siglo XVIII 2646.3.1. Varignon 2656.3.2. Jaime Bernoulli 2666.3.3. Parent 267

6.3.3.a. Ensayos y experiencias 2686.3.4. Musschenbroek 270

6.3.4.a Estudios experimentales 2716.3.5. Belidor 272

6.3.5.a. Teora de flexin 2726.3.5.b. Experiencias 273

SEGUNDA PARTE:Teoras cientficas

y estudios experimentales


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6.3.6. Couplet 2746.3.7. Buffon 277

6.3.7.a. Experiencias con piezas pequeas 2796.3.7.b. Experiencias con piezas grandes 280

6.3.8. Duhamel du Monceau 2826.3.8.a. El ensayo de pretensado de Duhamel 2836.3.8.b. Otras experiencias 283

6.3.9. Emerson 2846.3.10. Coulomb 284

6.3.11. John Muller 2856.3.11.a. Resistencia de la madera: estudios experimentales 2856.3.11.b. Contenidos tericos 286

6.3.12. El Trait de la force des bois de Camus de Mzires 2906.3.12.a. Objeto y carcter del tratado 2906.3.12.b. Contenidos tcnicos 2926.3.12.c. Teora de flexin de vigas 2936.3.12.d. Ensayos de resistencia de la madera 2956.3.12.e. Indicaciones prcticas de proyecto 296

6.3.13. Girard 2996.3.13.a. Historia de la mecnica: teoras de flexin 2996.3.13.b. Historia de la elasticidad: pandeo de columnas 300

6.3.13.c. Historia del anlisis experimental 3006.3.13.d. Fundamentos tericos 3016.3.13.e. Ensayos y experiencias 302

6.4. Estado de la cuestin a principios del siglo XIX 3036.4.1. Hassenfratz 303

6.4.1.a. Contenidos tcnicos 3046.4.1.b. Consideraciones sobre resistencia de la madera 305

6.4.2. Rondelet 3076.4.2.a. Consideraciones sobre resistencia de la madera 307

6.5. Los tratados tcnicos del siglo XIX 3106.5.1. Principios de la carpintera cientfica del siglo XIX 3116.5.2. Thomas Tredgold. 312

6.5.2.a. Armaduras de cubierta 3136.5.2.b. Forjados y vigas 315

6.5.3.Newlands 3156.5.3.a. Carpintera terica 3166.5.3.b. Carpintera prctica 318

7. Coclusiones 323

8. Bibliografa 333

8.1. Estudios sobre carpintera de armar 368

Resmenes 372


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Deseo colocar en cada uno de estos cinco arcos de

igual curvatura y longitud, un peso tal que se pueda medir entodos la misma sagita...(fig. 6.2 n 5)15.

4) En el caso de la mnsula cargada, Leonardo considera que la carga soportada es

inversamente proporcional a la longitud del voladizo16.

6.1.2.b. Columnas

Leonardo defini la existencia de una proporcionalidad inversa entre resistencia y lon-

gitud de la columna (aunque de nuevo pasa por alto el carcter cuadrtico de la relacin) y

directa entre resistencia y seccin. Segn algunos autores17, en la prctica Leonardo utiliza-

ba reglas de clculo de columnas sin ninguna justificacin aparente:

P = d3 siendo P = carga actuante, d = dimetro de la columna

P = A/L siendo A = seccin transversal, L = longitud de la columna

6.1.2.c. Ensayos

Aparte del ensayo de clculo de empujes en arcos de fbrica, que le permiti refutar

la peligrosa y errnea creencia (asumida sin embargo por autores tan respetados e imita-

dos como el propio Alberti) segn la cual la carga de un arco de medio punto sigue la

17. Dorn (op. cit., pg. 21) cita aTruesdell y Parsons entre los autoresque hacen referencia a estas reglas.C. A. Truesdell,Ensayos de historiade la mecnica, en Madrid: Tecnos,1975 (1968).

15. Ibdem, fol. 136 verso.

16. Sobre los estudios de Leonardo,vase W. B. Parsons,Engineers andEngineering in the Renaissance .Cambridge: MIT Press, 1976 (1939),pp. 6782.

Los orgenes del clculo de estructuras 269

Figura 6.2. Flexin en vigas.


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pp. 21 y ss.). Para Parsons, sinembargo, el error es tan evidente quepodra tratarse de una simple confu-sin del autor a la hora de redactar elprincipio (W. B. Parsons, op. cit. ,pg. 73).

20. Figura tomada de Truesdell, op.cit., pg. 30.

18. W. B. Parsons, op. cit., pg. 73.

19. Segn Truesdell, aunque Leonardohabla de experimentos en su tratado,siempre lo hace en tiempo futuro ynunca hace referencia a resultados(C.A. Truesdell, op. cit., I: La mec-nica de Leonardo da Vinci, 3:Realizaba Leonardo experimentos?,

direccin del arco, y por lo tanto no transmite empujes horizontales en su base,

Leonardo describe en sus cuadernos de notas un ensayo para medir la resistencia a

traccin en barras, pensado para determinar la carga de rotura de una barra de hie-

rro. Para ello propone un curioso sistema con el que se carga una barra de 2 brazos

de longitud suspendida de un soporte firme, llenando de arena una cesta que cuel-

ga de la barra, hasta producirse su rotura. Leonardo debera haber constatado quela resistencia a traccin es independiente de la longitud de la barra, y no inversa-

mente proporcional a ella, como admite en sus escritos18. Errores tan bsicos como

ste, o el no haber considerado el canto de la viga flexionada, podran confirmar la

creencia de algunos autores de que Leonardo nunca lleg realmente a ensayar nin-

gn material ni estructura19.

En cualquier caso, su preocupacin por el estudio de la estabilidad de las

estructuras y la descripcin de algunos ensayos de resistencia de materiales, le con-

vierten en el padre de la formulacin de los problemas de la mecnica aplicada. Sin

embargo, Leonardo fue un pionero en su poca, muy alejado de las prcticas tradi-

cionales imperantes en su entorno y no logr influir en ellas (de hecho, sus inves-

tigaciones no se publicaron hasta ms de dos siglos despus de su muerte).

6.2. El clculo de estructuras en el siglo XVII

Tras las primeras aproximaciones de Leonardo a los problemas de la mecnica

(que por otro lado fueron desconocidas en su tiempo), slo a partir de Galileo pode-

mos decir que comenzaron a plantearse con carcter cientfico las investigaciones

en este rea de estudio.

El anlisis de la flexin de vigas, y en menor medida la compresin de piezas

y el comportamiento global de las estructuras, son los temas principales de estudio

de los cientficos de esta poca en el campo de la mecnica. Desde un primer

momento se proponen modelos tericos y se realizan ensayos para comprobar su

validez, que quedan recogidos en los textos tcnicos y ponen de manifiesto las difi-

cultades encontradas, especialmente en el caso de las teoras de flexin.

270 Teoras cientficas y estudios experimentales

Figura 6.3. Dibujos de Leonardocon estudios sobre pandeo de pila-res: Ms A (1492) 45v.20.


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6.2.1. Bernardino Baldi

En la obra de Bernardino Baldi (15531617) tituladaIn mechanica Aristotelis proble-

mata exercitationes y publicada en Mainz en 1621, encontramos la primera descripcin de

la forma de trabajo de una armadura de madera21. Se aprecian con bastante detalle las solu-

ciones de encuentro del pendoln con los pares y el tirante (fig. 6.4). En ste ltimo sepuede observar la disposicin de una abrazadera metlica, como corresponde a una unin

a traccin, puesto que la misin del pendoln es definitiva es sujetar al tirante. Baldi des-

cribe el funcionamiento de los pares a compresin y del tirante a traccin, lo que eviden-

cia su comprensin del comportamiento resistente del cuchillo de par y pendoln22.

6.2.2. Galileo Galilei

El nacimiento de la ciencia de la resistencia de materiales se suele situar comnmen-

te en torno a la figura de Galileo Galilei (15641642). En sus Dilogos en torno a dos

nuevas ciencias (Leyden, 1638), encontramos el primer libro conocido en el que se inclu-

yen estudios sobre el comportamiento resistente de las estructuras. Galileo es considera-

do el padre del mtodo cientfico, basado en la experimentacin, y fue el primer investi-gador cuyas teoras se aplicaron en la prctica, cambiando algunos de los mtodos tradi-

cionales de construccin. Por otro lado, es tambin para muchos autores el fundador de la

teora de resistencia de materiales, al analizar (no tan slo plantear, como ya haba hecho

Leonardo) el problema de la flexin.

Estableci la relacin matemtica entre tensiones normal y de cortadura (las que l

denomina resistencias absoluta y relativa respectivamente), aunque quiz su aportacin

ms destacable sea la constatacin de la influencia de la esbeltez en la resistencia de las

estructuras.

En el caso de la flexin de vigas, Galileo plante tanto el clculo de las tensiones

como el anlisis de las deformaciones, utilizando como ejemplo de estudio la pieza en

voladizo.

ta), pero ninguno mas doctamente,que Bernardino Baldo, Abad deGuastala, el qual fundamental, yMathematicamente demostr las masfirmes ligaduras de las Vigas superio-res, que constituyen el Techo.(Wotton, 1624: Primera parte, pg.79).

21

. En el tratado de Henry Wotton,The Elements of Architecture(Londres, 1624), ste presenta a

Bernardino Baldi como el primerautor que describi matemticamenteel comportamiento estructural de unacubierta de madera: Trataron poresto muchos esta materia (la cubier-

22

. Se haban construido con anteriori-dad estructuras aparentemente depares, t irante y pendoln. Sin embar-go, en muchos casos ste ltimo ele-mento no trabajaba en realidad comotal, sino como pieza de descarga delos pares sobre el tirante, solucionan-do su encuentro con l como una sen-cilla unin a compresin.

Figura 6.4. Esquema de anlisis de laarmadura de par y pendoln deBernardino Baldi: es quiz el primerdocumento impreso conocido (1621)en el que se estudia el comportamientoresistente de una armadura.

El siglo XVII 271


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Por primera vez intenta encontrar una teora que permita determinar la resistencia a

flexin, aunque cometi un importante error de partida al suponer una distribucin uni-

forme de tensiones en todos los puntos de la seccin transversal y situar la fibra neutra

en la cara inferior de la viga23. Galileo considera la pieza rgida y supone que la rotura se

produce simultneamente en todas las fibras de la seccin del empotramiento, que gira entorno a su base (B en la fig. 6.5 dcha.), lo que equivale a aceptar que toda la seccin tra-

baja traccionada, obtenindose un mdulo resistente de valor 1/2bd2.

Galileo tambin es autor de las primeras descripciones de ensayos de estimacin de

resistencias. Aplicables al caso de la madera, encontramos (adems del mencionado de

flexin de vigas) un ensayo de traccin de una pieza cilndrica, con el que calcula lo que

l denomina resistencia absoluta a la rotura (tensin ltima en la direccin de las

fibras), llegando acertadamente a la conclusin de que su valor es directamente propor-

cional a la seccin de la pieza e independiente de la longitud, aunque no aporta valores

de las cargas de rotura obtenidas.

6.2.3. Robert Hooke

Robert Hooke (16351703) public en 1678 sus Lectures de potentia restitutiva, or

of Springs... una obra en la que declara la existencia de una proporcionalidad directa entre

carga y variacin de longitud (que lo es en realidad entre tensin y deformacin, pero

resulta vlida al comparar cargas y deformaciones manteniendo constante la seccin); en

todo caso, con este principio Hooke sienta las bases de la teora de la elasticidad. Al ana-

lizar la deformacin de la viga flexionada, seala tambin muy acertadamente que en sus

fibras existen tanto acortamientos como alargamientos.

Pero aunque relaciona en todo momento las deformaciones con las fuerzas actuantes

y acepta la relacin lineal, no plantea todava el equilibrio de momentos de dichas fuerzas.

Por otro lado, a Hooke le debemos tambin las primeras experiencias de estimacin

de resistencia de la madera de que se tiene noticia. Fueron realizadas bajo el patrocinio

de laRoyal Society, en 1664: se trata de ensayos de flexin de vigas de pequeo tamao,

con los que se pretenda calcular la resistencia de distintas especies. Se cargaron hasta larotura piezas de entre 0,25 pulgadas de dimetro y 4 de escuadra, con longitudes que

iban desde tan slo 15 pulgadas hasta 4 pies, en roble, fresno y pino.

23. Resulta sorprendente la equivoca-cin, que contradice principios noslo evidentes sino adems fcilmen-te constatables mediante sencillosensayos, que Galileo con toda seguri-dad no realiz.


Figura 6.5. Dibujos de ensayos deresistencia de Galileo.


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6.2.4. Mariotte

Edme Mariotte (16201684), representa un paso adelante en el desarrollo de la teo-

ra de flexin de vigas, al corregir el modelo de distribucin uniforme de tensiones de

Galileo en favor del triangular.

En su Trait du Mouvement des Eaux et des autres corps fluides, publicado en 1686

despus de su muerte, fruto de sus ensayos con piezas de madera, lleg a la conclusin

de que la teora de Galileo, vlida para materiales completamente rgidos, difcilmente

puede aplicarse a los reales, y mucho menos en el caso de la madera. En la viga flexio-

nada las fibras se acortan o alargan en funcin del esfuerzo a que estn sometidas (comoya haba indicado Hooke), y no slo hay tracciones, como supuso Galileo, sino tambin

compresiones.

24. E. Mariotte, Oeuvres completes surles sciences..., La Haye: JeanNeaulme, 1740.

El siglo XVII 273

argaderotura(libras)

DimensionesdelaspiezasEscuadra

(pulgadas)

1 x 1

1/2 x 1/2

1/2 x 11/2 x 1

Longitud

(pies)

2

1

11

Pino

200

Roble

250

Fresno

325

Tabla 6.1. Tabla de ensayos de vigas de Hooke (las car-gas indicadas corresponden al informe de 23 de marzo

de 1664; las dimensiones de la parte inferior, a las con-diciones de otros ensayos).

Figura 6.6. Lmina de Mariotte,con figuras de ensayos de fle-

xin de vigas y anlisis de resul-tados24.


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En un principio, y tras constatar en sus ensayos la existencia de una

relacin lineal entre carga y variacin de longitud, propuso para la viga en

voladizo un modelo en el que supona una distribucin triangular de tensio-

nes en la seccin transversal; pero de nuevo situ equivocadamente la fibra

neutra en la cara inferior de la pieza (con lo que se obtiene un mdulo resis-

tente 1/3 bd2). Posteriormente pas a considerar la existencia de compresio-

nes en la parte inferior de la viga, lo que supone localizar la fibra neutra en

el interior de la seccin, pero no supo determinar exactamente su posicin.

Asumi un comportamiento elstico lineal e igual en traccin y compre-

sin, calculando errneamente en 1/3 bd2 el valor del mdulo resistente

(que en tal supuesto es 1/6 bd2). En cualquier caso, y pese a errores de cl-

culo, con Mariotte quedan definidos los principios bsicos del anlisis de flexin de

vigas.

Para verificar su teora, realiz ensayos de traccin y flexin de piezas de madera,

con los que sin embargo no obtuvo los resultados esperados. Aparte de los errores del

modelo terico adoptado, parte de las diferencias pudieron deberse a que fueron realiza-

dos con vigas cilndricas extrapolando equivocadamente los resultados al caso de la sec-cin rectangular. O a haber trabajado con piezas de reducido tamao (de tan slo 1/4 de

pulgada de dimetro y 4 de longitud), a las que afectan notablemente las propiedades fsi-

cas del material. El hecho es que pese a que no servan para apoyar su teora, Mariotte

continu defendindola, justificando las diferencias en el efecto del tiempo de aplicacin

de la carga. Tambin fruto de sus experimentos lleg a determinar, en este caso con ms

acierto, que la resistencia (carga ltima) de la viga con los extremos fijos es el doble de

la biapoyada, aunque no supo encontrar una explicacin terica a este dato.

6.2.5. Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) coincide con Mariotte, de nuevo en contra

de la teora de Galileo, en la hiptesis de la deformabilidad. En sus Demonstrationesnovae de resistentia solidorum (Acta Eruditorum de 1684), sita la fibra neutra en la cara

inferior de la viga en voladizo y supone una distribucin lineal de tensiones en las fibras

de la seccin.

Su modelo propone imaginar cada fibra de la viga unida al empotramiento mediante

un pequeo muelle, cuya elongacin es proporcional a su distancia y al punto de giro, A.

Acepta igualmente que la elongacin es proporcional a la tensin o fuerza actuante

sobre cada fibra. De donde se obtiene que la tensin en una fibra a distancia y de A es

funcin de y ( = max y/h), y su momento lo es de y2.

De este modo, la suma de fuerzas se identifica con el valor del mdulo resistente, y

la de momentos con el del momento de inercia de la seccin.

6.3. El clculo en el siglo XVIII

Como venimos observando hasta el momento (Galileo, Mariotte, Leibniz), en el estu-

dio de la flexin de vigas no hubo acuerdo entre los cientficos del XVII sobre el modelo

terico a adoptar. Pero tampoco se alcanz en el XVIII, sucedindose las teoras que anali-

zaban la distribucin de tensiones en la seccin de la pieza y la situacin de la fibra neutra.

Figura 6.7. Modelo de Leibniz del com-portamiento de las fibras en la seccin

transversal de la viga flexionada utiliza-do para el clculo del momento flector.



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6.3.1. Varignon

Pierre Varignon (16541722) representa un nuevo

paso hacia la formulacin de la ley del paralelogramo

de fuerzas, al enunciar el principio de superposicin de

momentos, segn el cual el momento esttico de la resultante de dos fuerzas es igual a la

suma de los momentos de cada una de ellas.

En el caso del problema de la flexin de vigas, cuestiona tanto el modelo rectangular

de tensiones de Galileo como el triangular de Mariotte y Leibniz, en 1702 25. Coincide ensuponer la fibra neutra en la base de la viga, pero pone en duda que entre tensiones y

deformaciones tenga que existir una relacin lineal. Propone una teora segn la cual la

tensin en cada punto es una funcin de su distancia a la fibra neutra del tipo = km (para

m = 0 obtenemos la solucin de Galileo, de tensin constante; para m = 1 la tensin line-

al de Mariotte). Integrando entre ambos valores se obtiene el propuesto por Varignon para

el clculo del momento resistente.

Varignon compara la carga ltima a traccin Q con la de flexin P, en voladizos de

distinta seccin, sin tener en cuenta el peso propio, y segn los modelos de Galileo y

Mariotte. Para ello plantea el equilibrio esttico de momentos de dichas fuerzas respecto

al punto D (fig. 6.8):

Segn la hiptesis de Galileo:P = Q DS / DT (siendo S el centro de gravedad de la seccin); Segn la de Mariotte:P = Q DS DV / DT DB

(donde V es el centro de gravedad del tringulo de tensiones de la seccin).

25. P. Varignon, De la rsistance des

solides en gnral pour tout ce quonpeut faire dhypothses touchant laforce ou la tnacit des Fibres desCorps rompre; Et en particulierpour les hypothses de Galile & deM. Mariotte.Mmoires delAcadmie Royale des Sciences dePars, 1702, pp. 66-94.

Figura 6.8. Lmina deVarignon con estudios de fle-

xin en piezas en voladizo.

El siglo XVIII 275

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