pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem …digilib.unila.ac.id/61755/3/skripsi tanpa bab...

PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN SISTEM SIMPLE

TRIPLE PENDULUM

(Skripsi)

Oleh

RATU MUTIARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

ABSTRACT

PARAMETER INFLUENCE ON THE STABILITY BEHAVIOR OF A

SIMPLE TRIPLE PENDULUM SYSTEM

By

Ratu Mutiara

Simple triple pendulum system is the development of a simple double pendulum

system. The system has 6 parameters that is, , , , , , and with

influenced by earth gravitation . Mathematical model equations of the simple triple

pendulum system can be solved using Lagrange equation or Lagrangian by assuming

the pendulum displacement angle ( ) is small. The results of the analysis of the

behavior of a simple triple pendulum system obtained a trivial fixed point and has

asymptotic stability type.

Keywords :Simple triple pendulum system, Lagrange equation, fixed point,

stability.

ABSTRAK


TRIPLE PENDULUM

Oleh

Ratu Mutiara

Sistem simple triple pendulum adalah pengembangan dari sistem double pendulum.

Sistem ini memiliki 6 parameter yaitu, , , , , , dan dengan dipengaruhi

oleh gaya grafitasi . Persamaan model matematika dari sistem simple triple

pendulum dapat diselesaikan menggunakan persamaan Lagrange atau Lagrangian

dengan mengasumsikan sudut perpindahan benda ( ) yang kecil. Hasil analisis

perilaku sistem simple triple pendulum diperoleh titik kesetimbangan yang trivial dan

memiliki tipe kestabilan asimtotik.

Kata Kunci :Sistem simple triple pendulum, persamaan Lagrange, titik

kesetimbangan, kestabilan.


TRIPLE PENDULUM

Oleh

RATU MUTIARA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA MATEMATIKA

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Metro pada tanggal 25 Maret 1998. Sebagai anak keempat dari

empat bersaudara yang merupakan putri dari Bapak Drs. H. Tamrin dan Ibu Hj.

Roslina.

Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN 4 Metro Timur pada tahun

2010. Sekolah Menengah Pertama di SMPN 2 Kota Metro pada tahun 2013 dan

Sekolah Menengah Atas di SMAN 1 Kota Metro pada tahun 2016. Pada tahun yang

sama penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Unila melalui

jalur SNMPTN (Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri).

Pada tahun 2019 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan Pengelola Pajak

dan Retribusi Daerah (BPPRD) Kota Bandar Lampung. Pada tahun 2019 penulis

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Betengsari, Kecamatan Jabung,

Kabupaten Lampung Timur, Provinsi Lampung.

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahhirabbil’alamin

Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang

dan Segala Puji dan Syukur kepada Allah SWT

Ku persembahkan karya sederhana penuh perjuangan dan kesabaran ini kepada :

Kedua orang tua ku, Ayahanda tercinta Tamrin dan

Ibunda tercinta Roslina yang tak henti-hentinya

memberi kasih sayangnya, do’a dan motivasi dalam

segala hal. Dan terima kasih atas kepercayaannya

yang telah ayah dan bunda berikan selama ini. Serta

keluarga besar yang selalu memberikan semangat.

Almamater yang kucintai, Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

“Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan”.

(Q.S. Al-Inshirah ayat 6)

“Man Jadda Wa Jadda”

“Itu terlihat tidak mungkin sampai kamu bisa melakukannya”.

(Nelson Mandela)

“Tidak ada penyesalan dalam hidup, hanya pelajaran”. (Jennifer Aniston)

“Sesungguhnya jika kalian bersyukur, pasti Aku akan tambah nikmat kepadamu, tapi bila kalian kufur akan nikmatKu, maka sesungguhnya adzabKu sangat

pedih”. (Q.S. Ibrahim:7)

SANWACANA

Alhamdulillah penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, serta

sholawat dan salam selalu tercurah kepada nabi besar kita, Nabi Muhammad SAW.

Karena dengan ridho dan karunia-Nya serta atas berkah dan rahmat-Nya sehinga

penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pengaruh Parameter Terhadap

Kestabilan Sistem Simple Triple Pendulum”. Selesainya penulisan skripsi ini adalah

berkat motivasi, pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Dengan segala

kerendahan dan ketulusan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih

kepada :

1. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku pembimbing pertama atas saran, bimbingan,

arahan, motivasi, dan kesabaran dalam membimbing penulis selama penelitian

hingga penyelesaian skripsi.

2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si. selaku pembimbing kedua yang telah

memberihan arahan, saran, waktu, serta bantuan selama penulis menyelesaikan

skripsi.

3. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku pembahas yang telah

memberikan ide, kritik , saran serta nasehat yang sangat berharga untuk perbaikan

skripsi ini.

4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing akademik atas saran, bimbingan,

motivasi, serta arahan kepada penulis selama menuntut ilmu di Universitas

Lampung.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D. selaku Kepala Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas

Lampung.

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung

7. Para Dosen dan Staff Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

8. Ayah, bunda, kanjeng, kiyai, gusti, junjungan, angguman, adek Nabila, adek

Akbar, adek Reynand, adek Rafa, mamah Suri, teteh dan keluarga besar yang

selalu memberikan motivasi, semangat, dan doa yang tak terhingga kepada

penulis.

9. Ayew, Jihan, Fiska, Desy yang selalu memberi semangat, doa dan motivasi

kepada penulis.

10. Sahabat-sahabat penulis Dio, Ajeng, Handoko, Yolanda, Hanna, Stevi yang telah

membantu, memberikan semangat dan kecerian pada penulis.

11. Teman-temanku Mona, Astri, Devita, Desfan, Febi, Indah, yang telah

memberikan keceriaan dan semangat bagi penulis.

12. Teman-teman Matematika angkatan 2016 khususnya kelas B, terimakasih suka

dan duka selama kurang lebih 3,5 tahun perkuliahan.

13. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi yang tidak dapat penulis

sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan tetapi besar

harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Maret 2020

Penulis

Ratu Mutiara

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ......................................................................................................... i

DAFTAR TABEL .............................................................................................. iii

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... iv

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian .................................................................................. 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Simple Triple Pendulum .............................................................. 4

2.2 Energi Kinetik ......................................................................................... 5

2.3 Energi Potensial ...................................................................................... 6

2.4 Metode Lagrange .................................................................................... 6

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................. 7

2.6 Titik Kesetimbangan ............................................................................... 8

2.7 Kestabilan Sistem Simple Triple Pendulum ............................................ 8

2.8 Osilasi ..................................................................................................... 9

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................... 10

3.2 Metode Penelitian ................................................................................. 10

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Persamaan Sistem Simple Triple Pendulum ......................................... 12

4.2. Reduksi Sistem PDB Simple Triple Pendulum Orde Dua .................... 19

4.3. Matriks Sistem PDB Simple Triple Pendulum Orde Satu .................... 22

4.4. Titik Kesetimbangan Sistem Simple Triple Pendulum ........................ 24

4.5. Contoh Analisis Sistem Simple Triple Pendulum ................................. 24

4.5.1 Kasus I ......................................................................................... 25

4.5.2 Kasus II ........................................................................................ 31

4.5.3 Kasus III ....................................................................................... 38

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Hasil dari Teorema Kestabilan ......................................................................... 9

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Sistem Simple Triple Pendulum ..................................................................... 5

2. Model Sistem Simple Triple Pendulum pada Koordinat Kartesius ............. 12

3. Animasi Simple Triple Pendulum Kasus I pada Waktu 0,110 s

dengan i=2200 .............................................................................................. 29


dengan i=3000 .............................................................................................. 30


dengan i=3800 .............................................................................................. 30


dengan i=4300 ............................................................................................. 31

7. Animasi Simple Triple Pendulum Kasus II pada Waktu 0,007 s

dengan i=140 ................................................................................................ 36


dengan i=230 ................................................................................................ 37


dengan i=300 ................................................................................................ 37


dengan i=347 ................................................................................................ 38

11. Animasi Simple Triple Pendulum Kasus III pada Waktu 0,003 s

dengan i=65 .................................................................................................. 43


dengan i=85 .................................................................................................. 44


dengan i=100 ................................................................................................ 44


dengan i=110 ................................................................................................ 45

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Suatu fenomena alam dapat dinyatakan dalam suatu model matematis, yang

berupa sistem persamaan diferensial. Teori sistem merupakan cabang ilmu

matematika yang berfokus pada kajian kontrol input dan output. Teori ini telah

banyak diterapkan pada bidang teknik, fisika, biologi, dan bidang ilmu lain dan

telah dikembangkan secara intensif oleh para ahli teknik teoritis, terutama teori

sistem linear atas bilangan real (Amanto, 2005).

Banyak berbagai hal di alam ini yang bisa diambil dan dipelajari agar

mendatangkan manfaat yang luar biasa. Salah satunya adalah sistem osilasi simple

triple pendulum. Menurut Resnick and Halliday (1978), bandul sederhana adalah

benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali

ringan yang tidak dapat mulur.

Secara umum bandul sederhana terdiri dari sebuah benda pejal dengan massa

yang digantungkan pada seutas tali dengan panjang dan massa tali yang

diabaikan. Triple pendulum adalah pengembangan dari sistem double pendulum.

2

Bandul ini berupa sistem yang terdiri dari tiga benda , , dan dengan massa

masing-masing benda , , dan . Benda tersebut masing-masing

dihubungkan dengan tiga helai kawat yang kuat tapi ringan , , dan dengan

panjang masing-masing kawat adalah , , dan . Benda terpasang pada

ujung kawat (ujung kawat lainnya terpasang mantap pada sebuah bidang),

sementara itu benda terpasang pada ujung kawat di bawah pengaruh grafitasi

(ujung kawat lainnya terpasang mantap pada benda pertama ) lalu benda

terpasang pada ujung kawat di bawah pengaruh grafitasi (ujung kawat

lainnya terpasang mantap pada benda kedua ). Parameter yang digunakan pada

sistem simple triple pendulum adalah (massa benda pertama), (massa

benda kedua), (massa benda ketiga), (panjang kawat/tali pertama),

(panjang kawat/tali kedua), (panjang kawat/tali ketiga), dan (grafitasi bumi).

Dengan dipengaruhi oleh grafitasi , triple pendulum berisolasi pada bidang

vertikal dengan sudut perpindahan untuk suatu waktu adalah (t), (t), dan

(t).

Salah satu permasalahan yang menggunakan sistem bandul adalah sistem kerja

tim SAR (Search and Rescue) dan suplai makanan atau amunisi ke barak dengan

menggunakan helikopter. Berbagai bencana alam yang ada di Indonesia akhir-

akhir ini, menyebabkan intensitas kerja tim SAR semakin tinggi. Keefektifan

kerja tim SAR sangat diperlukan agar bantuan makanan, pakaian, ataupun obat-

obatan dapat tersebar secara merata. Berdasarkan latar belakang yang di jelaskan

tersebut, penulis ingin menganalisis “Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan

Sistem Simple Triple Pendulum”.

3

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Menyelesaikan persamaan sistem simple triple pendulum dengan

mengasumsikan bahwa sudut (t), (t), dan (t) berisolasi kecil.

2. Menganalisis pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem simple triple

pendulum.

1.3 Manfaat Penelitian

1. Mengetahui persamaan model matematika untuk sistem simple triple

pendulum.

2. Memahami pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem simple triple

pendulum.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Simple Triple Pendulum

Menurut Resnick and Halliday (1978), bandul sederhana adalah benda ideal yang

terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak

dapat mulur. Secara umum bandul sederhana terdiri dari sebuah benda pejal

dengan massa yang digantungkan pada seutas tali dengan panjang dan massa

tali yang diabaikan. Triple pendulum adalah pengembangan dari sistem double

pendulum.

Sistem simple triple pendulum adalah sistem yang terdiri dari tiga benda , ,

dan dengan massa masing-masing benda , , dan . Benda tersebut

masing-masing dihubungkan dengan tiga helai kawat yang kuat tapi ringan , ,

dan dengan panjang masing-masing kawat adalah , , dan . Benda

terpasang pada ujung kawat (ujung kawat lainnya terpasang mantap pada

sebuah bidang), sementara itu benda terpasang pada ujung kawat di bawah

pengaruh grafitasi (ujung kawat lainnya terpasang mantap pada benda pertama

) lalu benda terpasang pada ujung kawat di bawah pengaruh grafitasi

(ujung kawat lainnya terpasang mantap pada benda kedua ).

5

Gambar 1. Sistem Simple Triple Pendulum

Gambar 2.1 merupakan sistem simple triple pendulum yang memiliki 6 parameter

yaitu, , , , , , dan dengan dipengaruhi oleh gaya grafitasi . Sistem

simple triple pendulum berisolasi pada bidang vertikal dengan sudut perpindahan

untuk suatu waktu adalah (t), (t), dan (t).

2.2 Energi Kinetik

Menurut Utomo (2014), setiap benda yang bergerak memiliki energi. Benda yang

bergerak memiliki kemampuan untuk melakukan usaha, karenanya dapat

dikatakan memiliki energi. Energi pada benda yang bergerak disebut energi

kinetik.

6

Secara umum didefinisikan sebagai berikut:= (2.1)

dimana:

= Massa benda.

= Kecepatan benda.

2.3 Energi Potensial

Menurut Utomo (2014), energi potensial diartikan sebagai energi yang tersimpan

dalam sebuah benda atau dalam suatu keadaan tertentu. Energi potensial juga

merupakan energi pada benda karena posisinya, dan merupakan besaran vektor

dengan arah sesuai elevasi benda terhadap referensi tinggi. Dapat ditulis sebagai

berikut:= ℎ (2.2)

dimana:

= Massa benda.

= Gaya grafitasi.ℎ = Tinggi kedudukan benda.

2.4 Metode Lagrange

Menurut Anli (2010), metode Lagrange atau disebut juga dengan formalisme

Lagrange adalah sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari

persamaan gerak sistem.

7

Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange diperoleh

dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau

gaya yang beraksi pada partikel. Persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai

berikut:= − (2.3)

Persamaan Euler-Lagrange dinyatakan sebagai berikut:

− = 0 = 1, 2, 3 (2.4)

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan matriks A adalah matriks × , maka vektor tak nol di dalam

dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A adalah kelipatan skalar dari yaitu:= λ (2.5)

Untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan dikatakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (Anton, 1997).

Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks A berukuran × , persamaan

(2.5) dapat ditulis kembali menjadi:= λI− λI = 0( − λI) = 0 (2.6)

Agar dapat menjadi nilai eigen, harus dapat satu solusi tak nol dari persamaan

(2.6).

8

Persamaan (2.6) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika:( − λI) = 0 (2.7)

2.6 Titik Kesetimbangan

Menurut Olsder (1994), titik kesetimbangan adalah titik yang menyebabkan setiap

persamaan penyusun sistem bernilai nol. Suatu sistem dikatakan stabil jika

diberikan suatu nilai awal yang dekat dengan titik kesetimbangan, maka solusinya

juga cukup dekat dengan titik kesetimbangan tersebut. Sebaliknya, jika solusi

sistem persamaan diferensial jauh dari titik kesetimbangan, maka sistem sistem

tersebut dikatakan tidak stabil.

2.7 Kestabilan Sistem Simple Triple Pendulum

Menurut Braun (1983), untuk menyelidiki kestabilan sistem digunakan teorema

uji kestabilan. Jika diberikan sebuah sistem linear dengan adalah matriks

konstan berukuran × dengan nilai eigen λ , λ , … , λ yang berbeda, maka

berlaku pernyataan berikut:

1. Untuk setiap nilai eigen dengan = 0 memiliki vektor eigen yang

bebas linear, maka sistem stabil netral. Jika tidak demikian maka sistem

tidak stabil.

2. Sistem tidak stabil jika terdapat sedemikian sehingga > 0.3. Sistem stabil asimtotik jika dan hanya jika < 0.

9

Tabel 1. Hasil dari Teorema Kestabilan:

Nilai EigenJenis

Kestabilan

Real

Berbeda dan positif Tak stabil

Berbeda dan negatif Stabil asimtotis

Berlawanan tanda Tak stabil

Sama dan positif Tak stabil

Sama dan negatif Stabil asimtotis

Kompleks

< 0 Stabil asimtotis= 0 Stabil netral> 0 Tak stabil

2.8 Osilasi

Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik.

Pergeseran partikel yang bergerak periodik selalu dapat dinyatakan dalam fungsi

sinus dan cosinus karena pernyataan memuat fungsi ini diberi istilah harmonik.

Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik melalui lintasan

yang sama, geraknya disebut osilasi atau vibrasi (getaran).

Periode T suatu gerak harmonik adalah waktu yang dibutuhkan untuk menempuh

satu lintasan lengkap dari geraknya, yaitu satu ayunan penuh (Resnick and

Halliday, 1978).

10

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2019/2020 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Mengumpulkan bahan studi kepustakaan yang berhubungan dengan masalah

penelitian ini.

2. Menentukan persamaan model matematika untuk sistem simple triple

pendulum.

3. Mengubah bentuk persamaan sistem simple triple pendulum yang berbentuk

PDB orde dua menjadi bentuk sistem PDB orde satu.

4. Menentukan matriks koefisien untuk sistem linier PDB orde satu.

5. Menentukan titik kesetimbangan sistem simple triple pendulum.

11

6. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks koefisien sistem linier

kemudian mengkaji kestabilan sistem menggunakan teorema kestabilan.

7. Menentukan solusi umum untuk sistem simple triple pendulum.

8. Membuat program untuk melihat gerak simple triple pendulum dengan

aplikasi matematika yaitu GNU Octave.

46

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah:

Persamaan (4.41), (4.42), dan (4.43) adalah model matematika untuk sistem

simple triple pendulum dengan mengasumsikan bahwa sudut ( ), ( ), dan

( ) berisolasi kecil. Sistem simple triple pendulum yang memiliki 6 parameter

yaitu, , , , , , dan dengan dipengaruhi oleh gaya grafitasi . Sistem

simple triple pendulum memiliki titik kesetimbangan saat

( ) ( ) bearti bahwa posisi seimbang pada

simple triple pendulum ketika sudut perpindahan benda pertama pada suatu

waktu, laju benda pertama terhadap waktu, sudut perpindahan benda kedua pada

suatu waktu, laju benda kedua terhadap waktu, sudut perpindahan benda ketiga

pada suatu waktu, laju benda ketiga terhadap waktu sama dengan nol

( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).

Adapun nilai eigen yang diperoleh dari sistem simple triple pendulum pada kasus

pertama yaitu, ,

,

,

, menghasilkan nilai eigen berupa bilangan

kompleks, dimana pada bagian bilangan real bernilai sama dengan nol dan kurang

dari nol. Berdasarkan tabel teorema kestabilan diperoleh sistem simple triple

47

pendulum pada kasus pertama adalah stabil dan stabil asimtotik dengan tipe

kestabilan berupa center point dan stable spiral. Pada kasus kedua yaitu,

,

,

, , ,

menghasilkan nilai eigen berupa bilangan kompleks, dimana pada

bagian bilangan real bernilai nol dan kurang dari nol. Berdasarkan tabel teorema

kestabilan diperoleh sistem simple triple pendulum pada kasus kedua adalah stabil

dengan tipe kestabilan berupa center point. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh

dari sistem simple triple pendulum pada kasus ketiga yaitu,

, , ,

, ,

menghasilkan nilai eigen berupa bilangan kompleks, dimana pada bagian bilangan

real bernilai sama dengan nol dan kurang dari nol. Berdasarkan tabel teorema

kestabilan diperoleh sistem simple triple pendulum pada kasus ketiga adalah stabil

dan stabil asimtotik dengan tipe kestabilan berupa center point dan stable spiral.

19

DAFTAR PUSTAKA

Amanto. 2005. Analisis Keterobservasian Sistem Gerak Kereta Sederhana

dengan Dua Pendulum Terbalik. Jurnal Sains dan Teknologi. 11(2):

101-104.

Anli, E. 2010. Classical and Fractional Order Analysis of Free and Forced

Double Pendulum. Scientific Research. 2: 935-949.

Anton, H. 1997. Elementary Linear Algebra. Jilid 1. Diterjemahkan oleh

Silaban dan I.N.Susila. Erlangga, Bandung.

Braun, M. 1983. Differential Equation and Their Applications. Edition.

Springer-Verlag, New York.

Olsder, G.J. 1994. Mathematical Systems Theory. Edition. Delftse Uitgevers

Maatschappij, Delft, Netherlands.

Resnick, R. and Halliday, D. 1978. Physics. Edition. Diterjemahkan oleh

Silaban dan Sucipto. Erlangga, Jakarta.

Utomo, Karuniadi. 2014. Redifinisi Besaran Kerja, Daya, dan Energi Sebagai

Besaran Vektor. Jurnal Teknik Sipil dan Perencanaan. 16(1): 39-50.

pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem …digilib.unila.ac.id/61755/3/skripsi tanpa bab...

Documents