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Modelización estocástica de precipitaciones

máximas para el cálculo de eventos extremos a

partir de los periodos de retorno mediante R

Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

20 de marzo de 2009

Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Universidad de Jaén

Resumen

Las precipitaciones máximas en una determinada zona geográfica son

un fenómeno claramente sujeto a incertidumbre. Su modelización me-

diante distribuciones de probabilidad posibilita la determinación de lo

que puede considerarse un evento extremo en un determinado periodo

de retorno. En este trabajo se describe cómo realizar dicha modeliza-

ción mediante distribuciones Gumbel, log-normal, log-Pearson Tipo III

y SQRT-ETmax, ajustando sus parámetros mediante el método de má-

xima verosimilitud, evaluando la bondad de los ajustes mediante el test

de Kolmogorov-Smirnoff y obteniendo los eventos extremos a partir de las

funciones cuantil de las distribuciones ajustadas. Todos los procedimientos

se han implementado en el software estadístico R.

Palabras clave: precipitaciones máximas, eventos extremos, periodos

de retorno, máxima verosimilitud, Gumbel, log-normal, log-Pearson Tipo

III, SQRT-ETmax, Kolmogorov-Smirnoff, R.

1. Introducción

Aunque la motivación del presente trabajo está en relación con las preci-pitaciones máximas soportadas por una determinada zona geográfica, en gene-ral podemos considerar que el objeto de estudio es una variable aleatoria X que cuantifica la magnitud de algún evento como tormentas, avenidas, sequías,subidas del nivel del mar, etc.

Se dice que dicha variable toma como valor un evento extremo si supera unvalor umbral, xT , previamente especificado bajo algún criterio.

El tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos eventos extremos es asi-mismo una variable aleatoria, t, llamada intervalo de recurrencia, cuya media,E [t] = T , se denomina periodo de retorno. Teniendo en cuenta que t contabi-liza el número de unidades de tiempo hasta la ocurrencia de un nuevo evento

1



Modelización estocástica de precipitaciones máximas

extremo, su distribución de probabilidad de una distribución geométrica de pa-rámetro

p = P [X ≥ xT ] = 1 − F (xT ) , (1)

donde F (x) = P [X ≤ x] es la función de distribución de la magnitud del fenó-meno. Por tanto su media es

E [t] = 1 − p

p .

Sustituyendo (1) en esta expresión tenemos que

F (xT ) = T − 1

T = 1 −

1

T .

Esta expresión permite relacionar el umbral a partir del cual se considera queun evento es extremo con su frecuencia de ocurrencia, es decir, con el perio-

do de retorno, a través de la distribución de probabilidad de la variable X .Concretamente,

xT = F −1

1 −1

T

. (2)

Por tanto, y a modo de resumen, si consideramos que un evento extremo esel que ocurre en promedio una vez cada T años, (2) determina cuál es el eventoextremo.

2. Modelos probabilísticos para la magnitud del

evento

Queda manifiesto, por tanto, que es necesario conocer la distribución de pro-babilidad de la magnitud del evento, X , para poner en relación el periodo deretorno con el evento extremo. En ese sentido vamos a describir a continua-ción algunos de los modelos probabilísticos más utilizados para tal fin en labibliografía consultada.

2.1. La distribución de Gumbel

La distribudión de Gumbel puede caracterizarse a partir de su función dedistribución, dada por [Wikipedia]

F (x; µ, β ) = e−e(µ−x)/β

.

El parámetro µ es conocido como parámetro de localización y el parámetro β como parámetro de escala. Su media es µ + β × γ y su varianza π2

6 × β .A partir de estas dos expresiones de la media y la varianza poblacionales,

despejando µ y β en términos de la media y la varianza de los datos, se puedenobtener las estimaciones de µ y β mediante el método de los momentos, aunquees conocido que este método no garantiza eficiencia en las estimaciones. Como

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alternativa al método de los momentos, el método de máxima verosimilitud,que utilizaremos en este trabajo, se haya implementado en la mayoría de los

paquetes de software estadístico, entre ellos R.

2.2. La distribución log-normal

La distribución log-normal supone modelizar el logaritmo de los datos me-diante una distribución normal. Es decir, consiste en plantear que Y = logX ,sigue una distribución N (µ, σ). La estimación de sus parámetros viene dada porla estimación de los parámetros de la normal asociada.

2.3. La distribución log-Pearson Tipo III

De igual forma, la distribución de log-Pearson Tipo III supone modeli-zar los datos en escala logarítmica, es decir, considerar un modelo para Y =

logX . En este caso, el modelo es la llamada distribución de Pearson Tipo III[Kotz and Nadarajah, 2000]. Aunque existen distintas parametrizaciones de estadistribución, una de las más habituales es la dada por la versión biparamétricacuya función de densidad es [HydroToolBox],

f (x; k, θ) = xk−1 e−x/θ

θk Γ(k) para x > 0 y k,θ > 0.

Esta distribución es más conocida como distribución Gamma. El parámetro kes el llamado parámetro de forma y el parámetro θ , el parámetro de escala. Enotras ocasiones esta densidad se expresa en términos del parámetro de razónλ = 1/θ.

La estimación de los parámetros puede realizarse mediante el método de

los momentos, aunque el método de máxima verosimilitud suele proporcionarmejores estimaciones y se encuentra implementado en los paquetes estadíticosmás comunes.

De cara a la implementación en R que veremos después hay que tener encuenta que, al contrario que la distrbución log-normal, la distribución de log-Pearson Tipo III (a partir de ahora, por simplicidad, la llamaremos log-Gamma)no se encuentra explícitamente implementada en R, sino que debe considerarse através de su relación con la distribución Gamma. En este sentido, si Y = logX y ajustamos una distribución Gamma a Y , dada por la densidad f (y; k, θ),tendríamos que la densidad de X sería

g (x; k, θ) = f (log (x) ; k, θ)

x .

2.4. La distribución SQRT-ETmax

Esta distribución, originalmente propuesta en el contexto de precipitacionesmáximas en Japón [Etoh et al, 1986], ha venido siendo recomendada por la Di-rección General de Carreteras en los último años para la modelización de las





precipitaciones máximas [Ferrer y Ardiles, 1994]. Su definición puede hacerse apartir de su función de distribución, dada por

F (x) = e−k(1+√ αx)e−

√ αx

para valores positivos de x. Aunque algunos autores han desarrollado una imple-mentación del método de los momentos que permite su evaluación en las hojasde cálculo más habituales [Zorraquino, 2004]1, los propios autores que definie-ron la distribución recomendaban la estimación mediante el método de máximaverosimilitud [Etoh et al, 1986].

En esta ocasión, ni la distribución SQRT-ETmax ni por supuesto su es-timación máximo-verosimil están implementadas en R (ni en ningún paqueteestadístico común), aunque su programación es sencilla, como veremos.

3. Evaluación de la bondad del ajuste medianteel test de Kolmogorov-Smirnoff

Acabamos de comentar en la descripción de los modelos la posibilidad de es-timar los parámetros de las distintas distribuciones. Eso nos conducirá a obtenercuatro modelos ajustados a los datos, uno para cada distribución. Inmediata-mente surgen dos cuestiones:

1. ¿Son esos modelos ajustados válidos para los datos que modelizan?

2. Si varios de ellos son válidos, ¿cuál es el mejor ?

Hay que decir, en primer lugar, que ambas preguntas obligan a decidirse por uncriterio de bondad. En el contexto de las distribuciones continuas, uno de los

más habituales es el conocido como test de Kolmogorov-Smirnoff, que se basaen cuantificar la máxima diferencia entre el modelo teórico y los datos en sufunción de distribución.

Recordemos que la función de distribución de un modelo teórico se definecomo

F (x) = P [X ≤ x] .

Por su parte, si tenemos la muestra de datos ordenados de menor a mayor,x(1),...,x(N ), podríamos considerar la proporción de datos inferior a cada unode ellos, es decir,

S N

x(i)

=

numero de datos ≤ x(i)

N =

i

N .

Lógicamente, el ajuste de los datos dado por F (x) será tanto mejor cuantomás se parezca a S N (x). Precisamente por ello el test de Kolmogorov-Smirnoff

1El mismo autor comenta que la función de distribución no tiene primitiva . En realidad

quiere decir que no tiene inversa explícita, pero tampoco algunas de las otras distribuciones

propuestas, como la log-normal, y ello no es un problema, ya que puede aproximarse mediante

métodos numéricos.





tiene como estadístico el supremo de las diferencias entre ambas funciones. Esteestadístico es evaluado dentro de la distribución en el muestreo, proporcionando

el p-valor del test.De forma resumida, el procedimiento en el siguiente:

1. El test se plantea la validez de la hipótesis nula

H 0 : el ajuste de F (x) es valido

frente a la alternativa H 1 : el ajuste de F (x) no es válido.

2. Se realiza el test, calculando el p-valor, p.

3. Si p < 0,05, rechazaremos H 0 en favor de H 1 concluyendo que el ajuste esno válido. Si por el contrario, p ≥ 0,05, aceptaremos el ajuste como válido.

4. Cuanto mayor sea el p-valor, mejor es el ajuste.

5. Si varios ajustes son válidos, el mejor será aquél con mayor p-valor.

Hay que decir, por último, que esta comparación entre distintos modelos a partirdel test de Kolmogorov-Smirnoff puede hacerse ya que nuestros cuatro modelostienen todos ellos el mismo número de parámetros, dos.

4. Determinación del valor de xT dado un periodo

de retorno T

Una vez ajustados los datos por alguno de los modelos y evaluado el modeloajustado mediante el test de Kolmogorov-Smirnoff, tendremos una (o varias)función de distribución ajustada. En ese caso, como se decía en (2), basta con-siderar la inversa de esta función de distribución para obtener la estimación dexT .

El único problema viene dado por la inexistencia de expresiones explícitaspara algunas de las distribuciones consideradas. Sin embargo, ese problema noes tal con el uso de R ya que, o bien el propio R dispone de algoritmos deaproximación de la inversa o bien podemos implementarlo nosotros mismos (casode la SQRT-ETmax).

5. Implementación en R

R [R Development Team] es un lenguaje de programación especialmente in-

dicado para el análisis estadístico. A diferencia de la mayoría de los programasque solemos utilizar en nuestros ordenadores, que tienen interfaces tipo ventana,R es manejado a través de una consola en la que se introduce código propio desu lenguaje para obtener los resultados deseados.





R fue inicialmente diseñado por Robert Gentleman y Ross Ihaka, miembrosdel Departamento de Estadística de la Universidad de Auckland, en Nueva Ze-

landa. Sin embargo, una de las grandes ventajas de R es que hoy en día es, enrealidad, fruto del esfuerzo de miles de personas en todo el mundo que colaboranen su desarrollo.

Por otra parte, R se considera la versión libre de otro programa propietario,llamado S o S-Plus, desarrollado por los Laboratorios Bell. Aunque las diferen-cias entre R y S son importantes, la mayoría del código escrito para S funcionaen R sin modificaciones.

El código de R está disponible como software libre bajo las condiciones de lalicencia GNU-GPL, y puede ser instalado tanto en el sistema operativo Windowscomo en Linux o MacOS X.

La página principal desde la que se puede acceder tanto a los archivos nece-sarios para su instalación como al resto de recursos del proyecto R es

http://www.r-project.org.

De cara a la puesta en práctica de este trabajo, es necesaria la instalaciónde R y de los paquetes adicionales VGAM, MASS y RODBC.

Lo que se describe en esta sección es el uso de un archivo de comandos de R(en adelante, script ) que permite realizar todos los cálculos relativos al objetodel trabajo, es decir, al ajuste de las distribuciones, a la realización del test deKolmogorov-Smirnoff y a la obtención de las estimaciones de las precipitacionesconsideradas extremas dado un periodo de retorno.

5.1. Importación de los datos

Vamos a suponer que los datos se encuentran en la primera columna de

una hoja de datos de Excel. En el ejemplo desarrollado los datos se refieren alpantano de Iznájar, de manera que el encabezado de esa columna es iznajar .Asimismo, el archivo de Excel se llama iznajar.xls .

Los comandos a ejecutar para la importación son los siguientes:library(RODBC)

chan <- odbcConnectExcel("iznajar.xls")

sqlTables(chan)

Datos <- sqlQuery(chan, "select * from [Hoja1$]")

close(chan)

datos<-Datos$iznajar

5.2. Ajuste de los datos

En primer lugar es necesario copiar los ficheros de código diseñados para ladistribución SQRT-ETmax en el mismo directorio de trabajo que, en el ejemploes "D:/Invest/Marian".

A continuación hay que cargar los paquetes adicionales VGAM y MASS ylos archivos adicionales. Para ello, ejecutamos las siguientes líneas:





setwd("D:/Invest/Marian")

library(VGAM)

library(MASS)source("fit.sqrt.et.max.R")

source("dsqrtetmax.R")

source("psqrtetmax.R")

source("qsqrtetmax.R")

5.2.1. Ajuste mediante la distribución de Gumbel

Ejecutamosajuste.gumbel<-vgam(datos~1,family="gumbel")

location.gumbel<-Coef(ajuste.gumbel)[1]

scale.gumbel<-Coef(ajuste.gumbel)[2]

Coef(ajuste.gumbel)

En el caso del ejemplo la última línea nos dará como resultado que los pa-rámetros ajustados son

location scale

35.917573 8.981163

5.2.2. Ajuste mediante la distribución log-Gamma

Ejecutamosajuste.loggamma<-fitdistr(log(datos),"Gamma")

ajuste.loggamma

shape.loggamma<-ajuste.loggamma$estimate[1]

scale.loggamma<-1/ajuste.loggamma$estimate[2]

Obsérvese en la primera línea que en realidad se está ajustando el logaritmo

de los datos.El resultado esshape rate

179.88642 48.82219

5.2.3. Ajuste mediante la distribución log-normal

Ejecutamosajuste.lognormal<-fitdistr(log(datos),"Normal")

mean.lognormal<-ajuste.lognormal$estimate[1]

sd.lognormal<-ajuste.lognormal$estimate[2]

ajuste.lognormal

De nuevo estamos ajustando el logaritmo de los datos. El resultado es

mean sd3.68452440 0.27610262





5.2.4. Ajuste mediante la distribución SQRT-ETmax

Ejecutamosajuste.sqrtetmax<-fit.sqrt.et.max(y=datos,metodo=3)

k.sqrtetmax<-exp(ajuste.sqrtetmax$coefficients[1])

alfa.sqrtetmax<-exp(ajuste.sqrtetmax$coefficients[2])

ajuste.sqrtetmax

En este caso el resultado es más amplio, ya que es necesario controlar algunosaspectos relativos al método de máxima verosimilitud. De todas formas, lo másrelevante es el valor de las estimaciones de los parámetros, que en el ejemploson

c(k.sqrtetmax,alfa.sqrtetmax)

[1] 1004.781812 2.409086

5.3. Evaluación de las bondades de ajuste

El test de Kolmogorov-Smirnoff nos va a permitir contrastar si los ajustesson válidos y cuál es el más preciso.

Ejecutamosks.test(datos,"pgumbel",location.gumbel,scale.gumbel)

ks.test(datos,"plnorm",mean.lognormal,sd.lognormal)

ks.test(log(datos),"pgamma",shape.loggamma,1/scale.loggamma)

ks.test(datos,"psqrtetmax",k.sqrtetmax,alfa.sqrtetmax)

Los p-valores para los cuatro ajustes son, respectivamente, 0.6416, 0.7353,0.746 y 0.6618. Ponen de manifiesto que los ajustes son bastante precisos y queel mejor de ellos es el de la log-Gamma.

Una forma gráfica de plasmar la bondad de los ajustes es comparar la funciónde densidad ajustada con el histograma de los datos. Para hacerlo en nuestro

caso debemos ejecutarhist(datos,freq=FALSE)

lines(sort(datos),dsqrtetmax(sort(datos),k.sqrtetmax,alfa.sqrtetmax),col="red")

lines(sort(datos),dgumbel(sort(datos),location.gumbel,scale.gumbel),col="blue")

lines(sort(datos),dlnorm(sort(datos),mean.lognormal,sd.lognormal),col="green")

lines(sort(datos),dgamma(log(sort(datos)),shape=shape.loggamma,

scale=scale.loggamma)/sort(datos),col="grey")

El resultado es la Figura 1.

5.4. Estimación del valor de xT

Una vez realizados los ajustes es trivial aplicar la expresión dada en (2) paraobtener la estimación del valor de xT para un valor de T dado. Como ejemplo,

hemos considerado T = 100 años.EjecutamosT<-100

p.max.gumbel<-qgumbel(1-1/T,location.gumbel,scale.gumbel)

p.max.gumbel





Figura 1: Histograma de los datos y densidades ajustadas. En rojo la SQRT-ETmax, en azul la Gumbel, en verde la lognormal y en gris la Log-Gamma





p.max.lognormal<-qlnorm(1-1/T,mean.lognormal,sd.lognormal)

p.max.lognormal

p.max.loggamma<-exp(qgamma(1-1/T,shape=shape.loggamma,scale=scale.loggamma))p.max.loggamma

p.max.sqrtetmax<-qsqrtetmax(1-1/T,k.sqrtetmax,alfa.sqrtetmax)

p.max.sqrtetmax

El resultado nos dice que las estimaciones según los cuatro ajustes son77.23226 (Gumbel), 75.70431 (log-normal), 77.75436 (log-Gamma) y 84.129(SQRT-ETmax) años.

Apéndices

Vamos a detallar el código relativo a la implementacón de los cálculos co-rrespondientes a la distribución SQRT-ETmax

Densidad de la SQRT-ETmax

dsqrtetmax<-function(x,k,alfa){

k*alfa/2*exp(-k*(1+sqrt((alfa*x)))*exp(-sqrt(alfa*x))-sqrt(alfa*x))

}

Función de distribución de la SQRT-ETmax

psqrtetmax<-function(x,k,alfa){

exp(-k*(1+sqrt((alfa*x)))*exp(-sqrt(alfa*x)))

}

Método de máxima verosimilitud para la estimación de losparámetros de la SQRT-ETmax

fit.sqrt.et.max<-function(y=NULL,p0k=0.5,p0alfa=1,iters=10000,metodo=2){

logver<-function(p){

k<-exp(p[1])

alfa<-exp(p[2])

n<-length(y)

-(-n*log(1-exp(-k))+n*log(k)+n*log(alfa)-n*log(2)-sum(sqrt(alfa*y))

-k*sum((1+sqrt(alfa*y))*exp(-sqrt(alfa*y))))

}

p0<-c(p0k,p0alfa)

if (metodo==1){

#nlmajuste<-nlm(logver,p=p0,hessian= TRUE,iterlim=iters)

ajuste$value<-ajuste$minimum

ajuste$par<-ajuste$estimate

ajuste$convergence<-ajuste$code





metodo="nlm con hessiano"

}

if (metodo==2){#optim (Nelder-Mead con hessiano)

ajuste<-optim(p0,logver,hessian=TRUE,control=list(maxit=iters))

metodo<-"optim Nelder-Mead con hessiano"

}

if (metodo==3){

#optim (BFGS)

ajuste<-optim(p0,logver,method="BFGS",hessian=TRUE,control=list(maxit=iters))

metodo<-"optim BFGS con hessiano"

}

if (metodo==4){

#optim (CG)

ajuste<-optim(p0,logver,method="CG",hessian=TRUE,control=list(maxit=iters))

metodo<-"optim CG con hessiano"

}

if (metodo==5){

#optim (L-BFGS-B)

ajuste<-optim(p0,logver,method="L-BFGS-B",hessian=TRUE,control=list(maxit=iters))

metodo<-"optim L-BFGS-B con hessiano"

}

if (metodo==6){

#optim (SANN)

ajuste<-optim(p0,logver,method="SANN",hessian=TRUE,control=list(maxit=iters))

metodo<-"optim SANN con hessiano"

}

#Resultadosresultados<-list(

optimum=ajuste$value,

aic=2*(ajuste$value+2),

coefficients=ajuste$par,

hessian=ajuste$hessian,

cov=solve(ajuste$hessian),

se=sqrt(diag(solve(ajuste$hessian))),

code=ajuste$convergence,#VER AYUDA DE nlm

metodo=metodo

)

return(resultados)

}

Inversa de la función de distribución (función cuantil) de laSQRT-ETmax

qsqrtetmax<-function(p,k,alfa){





source("psqrtetmax.R")

x<-rep(0,length(p))

for (i in 1:length(p)){while (psqrtetmax(x[i],k,alfa)<p[i]) x[i]<-x[i]+0.01

}

x

}

Referencias

[Wikipedia] http://en.wikipedia.org/wiki/Gumbel_distribution

[Kotz and Nadarajah, 2000] Kotz, S. and Nadarajah, S. (2000) Extreme Value

Distributions: Theory and Applications , London: Impe-

rial College Press.[HydroToolBox] http://www.dartmouth.edu/~renshaw/hydrotoolbox/

[Zorraquino, 2004] Zorraquino Junquera, C. (2004) El modelo SQRT-ETmax: Revista de Obras Públicas: Organo profesio-nal de los ingenieros de caminos, canales y puertos, Nº.3447, 2004 , pags. 33-37.

[Etoh et al, 1986] Etoh T, Murota A, Nakanishi M (1986)SQRT—Exponential type distribution of maximum.In: Proceedings of international symposium on floodfrequency and risk analysis. Louisiana, pp 235–265.

[Ferrer y Ardiles, 1994] Ferrer, F. J., y Ardiles, L. (1994): “Análisis estadísti-co de las series anuales de máximas lluvias diarias enEspaña”. Ingeniería Civil/95, pp 87-100.

[R Development Team] R Development Core Team. R: A Language and

Environment for Statistical Computing. R Founda-tion for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2008.http://www.R-project.org.


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