persamaan maxwell dan efek nonlinear - core.ac.uk · maxwell equations and nonlinear effects...
TRANSCRIPT
PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
Agatha Manggar Sari NIM : 033214005
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2008
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS
SKRIPSI
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain
the Sarjana Sains Degree In Physics
By:
Agatha Manggar Sari
NIM : 033214005
PHYSICS STUDY PROGRAM
PHYSICS DEPARTEMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Hidup itu seperti sebuah sepeda.
Kau tidak akan terjatuh kecuali bila berhenti mengayuh.
(Claude Pepper)
Semakin banyak pengetahuan yang kita peroleh,
bukannya semakin nyata, tetapi menjadi semakin
misterius.
(Albert Schweitzer)
PERSEMBAHAN : “Skripsi ini kupersembahkan untuk Bapak dan Ibu serta
Mb Merry, Uri dan Ria yang senantiasa memberikan doa,
semangat, dukungan, kasih sayang dan pengaruh yang
besar dalam setiap keberhasilanku.”
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR
ABSTRAK
Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS
ABSTRACT
Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala
limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’
yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan,
kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi
ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing
yang telah banyak meluangkan waktu dengan tulus untuk
membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat
kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini.
2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika
yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan
selama menjadi mahasiswa.
3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang
sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.
4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si.
M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar
dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa.
6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan biaya,
dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu
berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa
yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan
skripsi.
8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan
keberhasilanku.
9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus
teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat.
10. Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas
Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri
bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian.
11. Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman,
Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan
Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan
setia.
12. Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama.
13. Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat,
serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14. Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku
menjadi sumber informasi dalam mengatasi segala masalah
komputerku.
15. Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius,
teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan
keluhanku.
Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak
terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan
saran yang membangun dari berbagai pihak.
Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap
pembaca.
Yogyakarta, September 2008
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………..……………
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………….…
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………..……..
HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ……………..……….……….
ABSTRAK …………………………………………………………….
ABSTRACT ……………………………………………….…………..
KATA PENGANTAR …………………………………….…………...
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………….
DAFTAR ISI …………………………………………….…………….
BAB I. PENDAHULUAN.…………………………………………….
1.1. Latar Belakang ……………………………….……………….
1.2. Perumusan Masalah ………………………….……………….
1.3. Batasan Masalah ……………………………….……………..
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………….………………
1.4.1. Tujuan Penelitian ……………………….………...……
1.4.2. Manfaat Penelitian ………………………….………….
1.5. Sistematika Penulisan ……………………………....…………
BAB II. DASAR TEORI …………………………………....…………
2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ………………………………
2.1.1. Hukum Gauss ………………….……………………….
2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
x
xi
1
1
5
6
6
6
6
6
8
8
8
8
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..…
2.1.2. Hukum Ampere ……………………….………...……...
2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………………………………
2.2. Persamaan Maxwell …………………………………..……….
2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ……………………………...….
2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ……………………...….……
2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ………………….……...
2.3.2.1. Gas Elektron Bebas …………………………...
2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………………………...
2.4. Operator Del ∇……………………………………………….. r
2.5. Persamaan Diferensial ………………………………………...
2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ………………..
2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ………………….…...
2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan
Koefisien-Koefisien Konstan ……...…
2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan Koefisien-
Koefisien Konstan …………………
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………..
3.1. Jenis Penelitian ………………………………………….…….
3.2. Sarana Penelitian ……………………………………………...
3.3. Langkah-Langkah Penelitian ………………………………….
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………..
4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ……………...…………
11
13
17
20
20
21
22
22
24
28
30
30
30
31
32
33
33
33
33
35
35
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4.1.1. Persamaan Gelombang ………………………...………
4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang
Hampa .........................................................…..
4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium ……
4.1.2. Persamaan Gerak ………………………………………
4.2. Pembahasan …………………………………………………...
BAB V. PENUTUP ……………………………………….…………...
5.1. Kesimpulan …………………………………………….……...
5.2. Saran ………………………………………………….……….
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….………
35
35
40
46
55
57
57
57
58
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga
merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara
utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan
menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu
lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek
nonlinear ketika menganalisis suatu masalah.
Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika
nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan
teknologi. Para fisikawan telah melakukan berbagai penelitian untuk
menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi
sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah
banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan
teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai
optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik
yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium
nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi Pr
memberikan respon
nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik Er
. Polarisasi
adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat
dipelajari dengan dua metode, yaitu secara klasik dan kuantum.
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi,
dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang
induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi
diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi
listrik diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan
listrik gelombang elektromagnetik
Pr
Er
( He and Liu, 1999 )
EPrr
χε 0= (1.1)
dengan 0ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan
linear antara Pr
dan Er
pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960,
ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.
Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara dan Pr
Er
tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.
Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya
generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut
hubungan antara dan Pr
Er
menjadi
.....][ )3()2()1(0 +++= EEEEEEP
rrrrrrrχχχε (1.2)
dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),
orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.
)1(χ )2(χ )3(χ
Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama
perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal.
Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap
dapat dideskripsikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
IdzdI α−= (1.3)
dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan α
konstanta medium. Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat
penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak
selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya
sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah
konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat
proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas
dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )
2IIdzdI βα −−= (1.4)
dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan
multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti
.....32 −−−−= IIIdzdI γβα . (1.5)
Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan
Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan
sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada
sumbu x , dengan komponen medan E dan pada arah sumbu B z dan , arah
pergeseran elektron ke arah sumbu
y
z yang dideskripsikan sebagai fungsi .
Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 )
),( txr
0=−dxdE
dtdB (1.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
dxdBc
dtdrqN
dtdE 2
00
=+ε
, (1.7)
dimana muatan listrik, q N jumlah elektron per satuan volume, kecepatan
cahaya dalam ruang hampa, dan
0c
0ε permitivitas ruang hampa. Elektron yang
dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan
menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E
dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 )
qErUdt
rdm =′+ )(2
2
(1.8)
dengan massa elektron, m 2
2
dtrd turunan ke dua fungsi pergeseran elektron
terhadap waktu (percepatan), dan )(rU ′ turunan sumur potensial. Jika persamaan
(1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu )(tU ′ menjadi
qEtUrUdt
rdm =′+′+ )()(2
2
(1.9)
dan diberikan nilai 22
21)( rmrU ω= , , dan , sehingga persamaan
(1.9) menjadi
βω =r2 αω =2
mqEr
dtdr
dtrd
=++ αβ2
2
, (1.10)
dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan
diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk
menggambar persamaan (1.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 1.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
)(tr
Gambar 1.1 Grafik hubungan antara dan t persamaan (1.10). Untuk nilai
)(tr1=α , 1=β , 1=q , 1=E , dan . 1=m
Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran mencapai nilai maksimum
pada saat t = 0.5 s kemudian mencapai nilai minimum pada saat t = 4 s. Pada
saat = 7 s, nilai pergeseran meningkat dan mulai saat t = 10 s nilai
menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.
)(tr
)(tr
t )(tr )(tr
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan
adalah
1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell
2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear menggunakan pendekatan fisika
klasik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
1.3 Batasan Masalah
Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek
nonlinear secara klasik.
1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell.
2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial
serta syarat yang diperlukan.
1.4.2 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan
khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.
1.5 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika
penulisan.
BAB II DASAR TEORI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear,
persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen.
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan
langkah-langkah penelitian.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian
dan pembahasan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II DASAR TEORI
2.1 Perumusan Persamaan Maxwell
Persamaan-persamaan Maxwell merupakan persamaan yang dapat
diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum
Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum
induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar
keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.
2.1.1 Hukum Gauss
2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik
Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas Sr
, fluks listrik yang
dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik yang
tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan
Resnick, 1984)
EΦ
q
∫ ==Φ qSdEE
rr.00 εε . (2.1)
Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau
sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik
P dan memuat medan listrik Er
, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P
terletak pada zyx ,, dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok
mempunyai panjang . dzdydx ,,
8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dx
dz
dy
P
x
y
z
• P ),,( zyx
Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.
(a) (b)
Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu
x negatif sehingga dzdyiSd ..ˆ−=r
. Untuk muka depan nilai dzdyiSd ..ˆ+=r
. Jika
vektor medan listrik di muka belakang adalah Er
, maka medan listrik di muka
depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+ dxxEEr
r. Nilai dx
xEx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂r
menyatakan perubahan Er
yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam .
Besar nilai yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah
dx
SdErr
.
( )
...
...ˆ
)..).(()...(.
xE
dzdydx
xEdzdydxi
dzdyidxxEEdzdyiESdE
x
x
∂∂
=
∂∂
+=
+∂∂
++−=r
rrrrr
(2.2)
Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah
sumbu negatif sehingga y dzdxjSd ..ˆ−=r
. Untuk muka samping kanan nilai
dzdyjSd ..ˆ+=r
. Jika medan listrik di muka samping kiri adalah Er
, maka medan
listrik di muka samping kanan yang berjarak dari muka samping kiri adalah dy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+ dyyEEr
r. Nilai dy
yE⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂r
menyatakan perubahan Er
yang diasosiasikan
dengan perubahan y dalam . Sehingga dy SdErr
. untuk permukaan samping kiri
dan samping kanan balok adalah
( )
...
...ˆ
)..ˆ).(()..ˆ.(.
yE
dzdydx
yEdzdydxj
dzdxjdyyEEdzdxjESdE
y
y
∂
∂=
∂∂
+=
+∂∂
++−=
r
rrrrr
(2.3)
Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu
z negatif sehingga dydxkSd ..ˆ−=r
. Untuk muka atas nilai dydxkSd ..ˆ+=r
. Jika
medan listrik di muka bawah adalah Er
, maka medan listrik di muka atas yang
berjarak dari muka bawah adalah dz ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+ dzzEEr
r. Nilai dz
zE⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂r
menyatakan
perubahan Er
yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz . Sehingga
untuk permukaan atas dan bawah balok adalah
z
SdErr
.
( )
...
...ˆ
)..ˆ).(()..ˆ.(.
zEdzdydx
zEdzdydxk
dydxkdzzEEdydxkESdE
z
z
∂∂
=
∂∂
+=
+∂∂
++−=r
rrrrr
(2.4)
Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan
jumlah dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
( ) ( ) ( )
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
++=
zE
yE
xE
dzdydx
zEdzdydx
yE
dzdydxx
Edzdydx
SdESdESdEdSE
zyx
zyx
zyx
..
......
....rrrrrrr
∫= dzdydx .. div Er
. (2.5)
Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam
permukaan tersebut adalah
q
∫= dzdydxq ...ρ (2.6)
dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan
persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh
0ε div Er
= ρ
atau
0ε ∇r
. Er
= ρ . (2.7)
2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet
Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan
tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan
magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk
medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984)
∫ ==Φ 0. SdBm
rr (2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
dengan fluks magnetik (Weber), mΦ Br
vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau
Wb/m²) dan elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam
bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial
seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada
langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka
belakang balok
Sdr
dzdyiSd ..ˆ−=r
. Untuk muka depan nilai .
Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah
dzdykSd ..ˆ+=r
Br
dan medan magnet
di muka depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+ dxxBBr
r.
Sehingga nilai untuk bagian permukaan depan dan belakang SdBrr
. balok adalah
( )
...
...ˆ
)..ˆ).(()..ˆ.(.
xB
dzdydx
xBdzdydxi
dzdyidxxBBdzdyiBSdB
x
x
∂∂
=
∂∂
+=
+∂∂
++−=r
rrrrr
(2.9)
Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian
samping kiri dan kanan adalah
( )
...
...ˆ
)..ˆ).(()..ˆ.(.
yB
dzdydx
yBdzdydxj
dzdxjdyyBBdzdxjBSdB
y
y
∂
∂=
∂∂
+=
+∂∂
++−=
r
rrrrr
(2.10)
Nilai fluks magnetik untuk permukaan bagian atas dan bawah balok adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
( )
...
...ˆ
)..ˆ).(()..ˆ.(.
zB
dzdydx
zBdzdydxk
dydxkdzzBBdydxkBSdB
z
z
∂∂
=
∂∂
+=
+∂∂
++−=r
rrrrr
(2.11)
Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah
integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),
( ) ( ) ( )
∫
∫∫ ∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
++=
zB
yB
xB
dzdydx
SdBSdBSdBSdB
zyx
zyx
..
....rrrrrrrr
∫= dzdydx .. div Br
. (2.12)
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh
div Br
= 0
atau
∇v
. Br
= 0 . (2.13)
2.1.2 Hukum Ampere
Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang
pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai
(Halliday dan Resnick, 1984)
∫Φ
=dt
dldB E
00. εμrr
. (2.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh
arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan
sebagai
∫ = ildB 0. μrr
. (2.15)
Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus
diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai
∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Φ
= idt
dldB E
00. εμrr
. (2.16)
Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk
diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16)
untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah
titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik
P diletakkan di zyx ,, dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat
siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang yx, , sehingga mempunyai panjang
dan dy .
dx
P
dx
x
y
z
. P
(a) (b)
dy
Gambar 2.2 (a) elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. (b) kerangka referensi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang
mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh
untuk sisi belakang ( ) )ˆ.(. 1 dyjBldB −=rrr
sisi kiri ( ) )ˆ.(. 2 dxiBldB +=rrr
sisi depan ( ) )ˆ.(. 3 dyjdxxBBldB +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=r
rrr
sisi kanan ( ) )ˆ.(. 4 dxidyyBBldB −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=r
rrr
sehingga untuk seluruh sisi,
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫
∫ ∫∫∫∫−
∂∂
+++∂∂
++++−=
+++=
)ˆ).(()ˆ).(()ˆ.()ˆ.(
..... 4321
dxidyyBBdyjdx
xBBdxiBdyjB
ldBldBldBldBldBr
rr
rrr
rrrrrrrrrr
∫ ∂∂
−∂∂
= dxdyiyBdydxj
xB ....ˆ
rr
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
= iyBj
xBdydx ˆ.ˆ..
rr
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂=
yB
xB
dydxldB xy..rr
. (2.17)
Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan dt
d EΦ
adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika diambil
untuk menyatakan rapat arus dan
Jr
dydxkSd ..ˆ=r
yang merupakan vektor luas
permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z
zJdydxdydxkJdSJi ..)..ˆ.(. ===rr
(2.18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
dan ∫∫ ∂∂
=∂∂
=Φ )..ˆ(. dydxk
tEdS
tE
dtd E
rr
atau
∫ ∂∂
=Φ dydx
tE
dtd zE . . (2.19)
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan
(2.16), didapatkan
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂
tEJ
yB
xB z
zxy
00 εμ (2.20)
Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar
dengan bidang zy, memberikan nilai
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
tE
Jz
By
B xx
yz00 εμ . (2.21)
Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang xz, memberikan nilai
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
tE
Jx
Bz
B yy
zx00 εμ . (2.22)
Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen , (2.21) dengan ,
dan (2.22) dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan
k i
j
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
tE
Jkt
EJj
tE
Jiy
Bx
Bk
xB
zB
jz
By
Bi
xx
xx
xx
xyzxyz
0000
00
.ˆ.ˆ
.ˆˆˆ
εμεμ
εμ
curl Br
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+++ )ˆˆˆ()ˆˆˆ( 00 tE
kt
Ej
tE
iJkJjJi xxxxxx εμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
curl Br
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+tEJr
r00 εμ
atau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=∇tEJBxr
rrr00 εμ . (2.23)
2.1.3 Hukum Induksi Faraday
Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas
gglε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan
fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat
dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)
dtd B
gglΦ
−=ε . (2.24)
Jika ditinjau muatan uji yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang
dilakukan pada muatan uji tiap putaran
0q
lEqlFrrrr... 0= . Dimana adalah gaya
yang bekerja pada muatan tersebut dan
Eqr
0
lr
adalah jarak sepanjang gaya bekerja.
Besar kerja lFrr. nilainya sama dengan gglq ε0 , sehingga dapat dituliskan sebagai
∫= dlEggl .r
ε (2.25)
Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga
hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai
dtdldE BΦ
−=∫rr
. . (2.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan
berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang
yx, , didapatkan
Untuk sisi belakang ( ) )ˆ.(. 1 dyjEldE −=rrr
sisi kiri ( ) )ˆ.(. 2 dxiEldE +=rrr
sisi depan ( ) )ˆ.(. 3 dyjdxxEEldE +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=r
rrr
sisi kanan ( ) )ˆ.(. 4 dxidyyEEldE −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=r
rrr
sehingga untuk seluruh sisi,
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫
∫ ∫∫∫∫−
∂∂
+++∂∂
++++−=
+++=
)ˆ).(()ˆ).(()ˆ.()ˆ.(
..... 4321
dxidyyEEdyjdx
xEEdxiEdyjE
ldEldEldEldEldEr
rr
rrr
rrrrrrrrrr
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂=
yE
xE
dydxldE xy..rr
. (2.27)
Dari persamaan (2.26), dt
d BΦ adalah perubahan fluks magnet yang melalui
permukaan tersebut dan dydxkSd ..ˆ=r
digunakan untuk menyatakan vektor luas
permukaan yang sejajar dengan bidang yx, dan mempunyai arah ke sumbu z ,
maka dapat dituliskan
∫∫ ∂∂
=∂∂
=Φ )..ˆ.(. dydxk
tBSd
tB
dtd B
rr
r
∫ ∂∂
=Φ dydx
tB
dtd zB . . (2.28)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Persamaan (2.27) dan (2.28) disubstitusikan ke persamaan (2.26), didapatkan
tB
yE
xE zxy
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂. (2.29)
Dengan melihat persamaan (2.29) yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang
sejajar bidang yx, , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi
empat siku-siku yang sejajar dengan bidang zy, ,
t
Bz
Ey
E xyz
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂ (2.30)
dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang xz, ,
t
Bx
Ez
E yzx
∂
∂−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
. (2.31)
Persamaan (2.29) bersesuaian dengan komponen z , sehingga dikalikan dengan
komponen vektor k . Persamaan (2.30) dikalikan dengan komponen vektor dan
(2.31) dikalikan dengan komponen vektor . Kemudian ketiga persamaan ini
ditambahkan sehingga didapatkan,
ˆ i
j
tBk
tB
jt
Bi
yE
xE
kx
Ez
Ej
zE
yEi zyxxyzxyz
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂ ˆˆˆˆˆˆ
curl Er
= tB∂∂
−r
atau
tBEx∂∂
−=∇r
rr. (2.32)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
2.2 Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan
persamaan (2.7), (2.13), (2.23) dan (2.32) yang bila dirangkum kembali menjadi
(Efendi, R, 2007)
(1) 0ε ∇ .r
Er
= ρ (2.33)
(2) ∇v
. Br
= 0 (2.34)
(3) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=∇tEJBxr
rrr00 εμ (2.35)
(4) tBEx∂∂
−=∇r
rr. (2.36)
Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus bernilai nol,
sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah
Jr
(1) ∇ .r
Er
= 0 (2.37)
(2) ∇v
. Br
= 0 (2.38)
(3) tEBx∂∂
=∇r
rr00εμ (2.39)
(4) tBEx∂∂
−=∇r
rr. (2.40)
2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear
Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah
laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium
dimana vektor polarisasi Pr
memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik
gelombang elektromagnetik Er
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear
Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam
bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik Pr
diasumsikan
mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang
elektromagnetik Er
, ditulisakan seperti persamaan (1.1) (He and Liu, 1999)
EPrr
χε 0=
Dengan 0ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan
linear antara Pr
dan Er
pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960,
ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.
Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr
dan
Er
tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.
Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya
generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut
hubungan antara Pr
dan Er
dituliskan seperti pada persamaan (1.2)
.....][ )3()2()1(0 +++= EEEEEEP
rrrrrrrχχχε
dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),
orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.
)1(χ )2(χ )3(χ
Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan
teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik
optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear
2.3.2.1 Gas Elektron Bebas
Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh
gelombang cahaya terpolarisasi, (Bloembergen,1996)
)exp( tiikzcE
cE
B xy ω−== , (2.41)
dimana . 1−= ck ω
Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma,
τ/1 xmBzeceExm yx &&&& −−= − (2.42)
ym && = ym&− / (2.43) τ
zm && = 1−ec x& yB zm&− /τ . (2.44)
Waktu tumbukan τ mendeskripsikan redaman gerak statis. Bila
)exp(0 tiikzxx ω−= , maka,
xitiikzxidtdxx ωωω −=−−== )exp()( 0& (2.45)
xtiikzxiidt
xdx 202
2
)exp())(( ωωωω −=−−−==&& (2.46)
Sehingga substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam persamaan (2.42)
menghasilkan pendekatan linear pertama,
xm 2ω− = )exp(2 tiikzeE ω− 1−− ec z& yB )( xim ω−− / τ (2.47)
Jika )2exp(0 tiikzzz ω−= diekspansikan dengan menganggap )2( tiikz ω− sangat
kecil, maka dalam pendekatan linear nilai 0zz = (konstanta), sehingga persamaan
(2.47) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
)(ωx = )(
)exp(12 −+
−−ωτω
ωim
tiikzeE . (2.48)
Berdasarkan persamaan (2.48), nilai dari )(ωx& ,
)(ωx& =)(
)exp()(
))exp()(()(1212 −− +
−=
+−−−
=ωτω
ωωωτω
ωωωim
tiikzeEiim
tiikzeEidt
dx (2.49)
Jika nilai )2exp(0 tiikzzz ω−= , maka
zitiikzzidtdzz ωωω 2)exp()2( 0 −=−−==& (2.50)
ztiikzziidt
zdz 202
2
4)exp()2)(2( ωωωω −=−−−==&& (2.51)
Jika persamaan (2.49), (2.50) dan (2.51) disubstitusikan ke persamaan (2.44),
maka pendekatan nonlinear orde terendahnya,
)2( ωz = ))(24(
)22exp(1212
22
−− ++−−
ωτωτωω
iicmtiikzEie . (2.52)
Momen dipol linear ( q muatan, d jarak). Karena dqp .= eq = dan )(ωxd = ,
momen dipol dapat dituliskan menjadi )(ωex
Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam
volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma
adalah per , maka besar polarisasi, 0N 2cm
)()()()( 0 ωωωχω exNEP xx == . (2.53)
Persamaan (2.48) dan (2.53) mempunyai penyelesaian susceptibilitas )(ωχ ,
)()( 12
20
−+−
=ωτω
ωχimeN
. (2.54)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jika frekuensi optik 1<<ωτ , maka 2
20)(ω
ωχm
eN−= , sehingga nilai susceptibilitas
plasma,
220 /4)(4)1( ωπωπχε ω meN−==− . (2.55)
Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan,
)2()()2()2( 0 ωωωχω ezNEP xz == (2.56)
Seperti langkah sebelumnya, persamaan (2.52) dan (2.56) mempunyai
penyelesaian susceptibilitas,
))(24()exp(
)2( 1212
30
−− ++−−
=ωτωτωω
ωχiicm
tiikzEieN. (2.57)
Jika frekuensi optik 1<<ωτ , maka
cmtiikzEieN
32
30
4)exp(
)2(ω
ωωχ
−−= (2.58)
sehingga nilai susceptibilitas plasma,
cmtiikzEieN
32
30
2)exp(
)2(4)1(ω
ωπωπχε ω
−−==− . (2.59)
2.3.2.2. Osilator tak Harmonik
Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan
Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak
satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi 1ω±
dan 2ω± , maka persamaan geraknya adalah
))exp()exp((/ 22211122
0 tizikEtizikEmevxxxx ωωω −+−=++Γ+ &&& .(2.60)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan (2.60) dapat diperoleh
menjadi
)exp(/ 11120 tizikmEexxx ωω −=+Γ+ &&& , (2.61)
Jika )exp(0 tiikzxx ω−= , maka
xitizikxidtdxx 11101 )exp()( ωωω −=−−==& (2.62)
xtizikxiidt
xdx 21110112
2
)exp())(( ωωωω −=−−−==&& , (2.63)
Sehingga persamaan (2.61) dengan substitusi persamaan (2.62) dan (2.63)
menghasilkan
)(
)exp()( 201
21
1111 ωωω
ωω
+Γ−−−
=im
tizikeEx (2.64)
Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik
kedua 12ω , 22ω , bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh
nonlinear kuadrat ,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah 2vx 21 ωω + ,
sedang bedanya 21 ωω − . Untuk memperoleh nilai )2( 1ωχ digunakan
)2exp( 110 tizikxx ω−= , sehingga
xitizikxix 11101 2)2exp( ωωω −=−−=& (2.65)
xtizikxiix 2111011 4)2exp()2)(2( ωωωω −=−−−=&& (2.66)
Jika persamaan (2.65) dan (2.66) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas
kiri mengandung faktor ω2 , sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω ,
sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan (2.61)
dengan menggunakan persamaan (2.65) dan (2.66) dapat dituliskan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
0220 =++Γ+ vxxxx ω&&&
)24()()22exp()2( 2
0121
2201
21
112
12
1 ωωωωωωω
ω+Γ−−+Γ−−
−−=
iimtizikEvex (2.67)
Jika dituliskan , maka persamaan (2.67)
menjadi
20
2)()( ωωωωω +Γ−−=−= ∗ iDD
)2()(
)22exp()/()2(
112
112
122
1 ωω
ωω
DD
tizikvEmex
−−= . (2.68)
Sedangkan untuk nilai )( 21 ωω −x , digunakan ))()(exp( 21210 tizkkixx ωω −−−=
sehingga
xitizkkixix )())()(exp()( 212121021 ωωωωωω −−=−−−−−=& (2.69)
x
tizkkixiix2
21
212102121
)(
))()(exp()().(
ωω
ωωωωωω
−−=
−−−−−−−=&& (2.70)
Jika persamaan (2.69) dan (2.70) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas
kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen
yang mengandung faktor frekuensi )( 21 ωω − . Sebagai konsekuensinya, ruas
kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan
))()()()(())()(exp()( 2
0212
21202
22
201
21
2212121
2
21 ωωωωωωωωωωωωω
ωω+−Γ−−−+Γ+−+Γ−−
−−−−=−
∗
iiimtizkkiEEevx (2.71)
Jika dituliskan , maka persamaan (2.71) dapat
dituliskan menjadi
20
2)()( ωωωωω +Γ−−=−= ∗ iDD
)()()(
])()(exp[)/()(
212*
1
2121*21
22
21 ωωωω
ωωωω
−
−−−−=−
DDD
tizkkiEvEmex . (2.72)
Persamaan untuk polarisasi nonlinear mengikuti (Bloembergen, 1996)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
)2()(),,2()2( 02 ωωωωωχω exNEP xxxx
NLx == . (2.73)
Dari persamaan (2.68) dengan mengubah nilai 1ω menjadi ω kemudian
disubstitusikan ke persamaan (2.73) diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear,
)2()()22exp()/(
),,2( 2
230
ωωω
ωωωχDD
tiikzvmeNxxx
−−= (2.74)
dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk
susceptibilitas ),,( 2121 ωωωωχ −−xxx . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde
terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati
resonansi dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan
frekuensi resonansi , Γ=− 021 )( ωωω iD untuk 021 ωωω =− , maka
susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya.
Ketika 21 ωω − sama atau mendekati frekuensi resonansi 0ω , digunakan
komponen fourier (2.72) dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya.
bentuk linear menghasilkan komponen 2vx 2121 2,2 ωωωω −− , dalam
penambahan ke bentuk frekuensi pertama 1ω dan 2ω− . Sebagai contoh, untuk
mendapatkan nilai ( menunjukkan sistem nonlinear), diselesaikan
dengan langkah sebagai berikut,
*2 )(ωNLx NL
)()()( 1212*
2 ωωωωω −−=−= NLNLNL xxx (2.75)
dari persamaan (2.64) diubah ke dalam bentuk
)()exp(
)()exp()(
1
111201
21
1111 ω
ωωωωω
ω ∗
∗∗ +−=
+Γ+−+−
=−mD
tizikeEim
tizikeEx (2.76)
dan persamaan (2.60) mengikuti,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
0)()( 12120 =−−++Γ+ ωωωω xvxxxx &&& , (2.77)
jika )exp( 220 tizikxx ω+−= , maka
xix 2ω=& dan (2.78) xx 22ω−=&&
sehingga substitusi persamaan (2.72), (2.76) dan (2.78) ke persamaan (2.77)
menghasilkan
21
*2
212
12
2*
233
2*
2)()())((
)/()()( EEDDD
vmexx NLNL
ωωωωωω
−=−=
atau
)()()(
)/()(
21*2
122
2340
1122ωωωω
ωωωωχ−
=−+=DDD
vmeNxxxx . (2.79)
2.4 Operator Del ∇ r
Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial.
Dalam koordinat kartesian, operator ∇
r
r dianggap sebagai sebuah vektor :
∇r
=z
ky
jx
i∂∂
+∂∂
+∂∂ ˆˆˆ (2.80)
dimana dan menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu ji ˆ,ˆ k yx, dan z .
Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator , maka
dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari
del ∇r
φ (grad φ ),
ditulis sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)
grad φ ≡ ∇rφ =
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂ φφφ ˆˆˆ . (2.81)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jika diberikan sebuah medan vektor kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=
r, maka perkalian titik
dari dan ∇r
Ar
menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari Ar
(div Ar
), dituliskan sebagai
div Ar≡ ∇
r. Ar
= z
Ay
AxA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
. (2.82)
Perkalian silang dari ∇r
dan Ar
menghasilkan medan vektor yang
dinamakan curl dari Ar
(curl Ar
), dituliskan sebagai
curl Ar≡ = Ax
rr∇ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
yA
xA
kxA
zA
jz
AyAi xyzxyz ˆˆˆ . (2.83)
Operator lain yang sering didapati adalah 2∇r
, ditulis sebagai
2
2
2
2
2
22 .
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇∇=∇rrr
. (2.84)
Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ , maka diperoleh
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇φφφφ
r. (2.85)
Untuk sebuah medan vektor Ar
, operasi Arr
2∇ adalah
.ˆ
ˆˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
z
yx
Azyx
k
Azyx
jAzyx
iA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rr
(2.86)
Untuk perkalian silang Axxrrr
∇∇ atau curl curl Ar
nilainya akan sama
dengan +∇− Arr
2 grad div Ar
, dapat dituliskan sebagai
curl curl Ar
= +∇− Arr
2 grad div Ar
. (2.87)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2.5 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial
adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan.
(Waluya, 2006)
2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu
Bentuk persamaan linear orde satu, (Ayres, 1986)
QPydtdy
=+ (2.88)
dimana P dan Q adalah fungsi t atau konstanta.
Karena QePydtdyeyPee
dtdyye
dtd PtPtptptPt =+=+= )()(
maka ∫= dtQeye PtPt
∫−= dtQeey PtPt (2.89)
2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua,
QyPdtdyP
dtydP =++ 212
2
0 (2.90)
dimana dan adalah fungsi atau konstanta. 210 ,,0 PPP ≠ Q t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien
Konstan
Dari persamaan (2.90), jika 0=Q maka disebut dengan persamaan linear
homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y
dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen
dengan koefisien-koefisien konstan, (Ayres, 1986)
0212
2
0 =++ yPdtdyP
dtydP (2.91)
dimana adalah konstanta. 210 ,,0 PPP ≠
Untuk memudahkan penyelesaian, notasi dtd diganti dengan operator .
Sehingga persamaan (2.91) menjadi
D
0
0
212
0 =++ yPDyPyDP
atau
. (2.92) )( 212
0 =++ yPDPDP
Sehingga nilai akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai
faktorisasinya diperoleh
)( 212
0 PDPDP ++
0))(( 21 =−− ymDmD (2.93)
21 ,mm adalah akar-akar karakteristik. Jika 21 mm ≠ maka,
(2.94) tmtm eCeCy i 221 +=
dimana dan adalah nilai konstanta. 1C 2C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan
Berdasar persamaan (2.90), dengan mengubah dtd menjadi , maka D
QyPDPDP =++ )( 212
0
Dengan memfaktorkan nilai , diperoleh )( 212
0 PDPDP ++
QmDmD
y)(
1)(
1
21 −−= (2.95)
umD
y)(
1
1−= . (2.96)
Dengan QmD
u)(
1
2−= , dapat diubah menjadi Qum
dtdu
=− 2 dan berdasar
persamaan (2.89), maka persamaan dapat diselesaikan menjadi
∫ −= dtQeeu tmtm 22 . (2.97)
Dari persamaan (2.96), umD
y)(
1
1−= sehingga uym
dtdy
=− 1 , dengan
penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (2.89), diperoleh
∫ −= dtueey tmtm 11 . (2.98)
Dengan substitusi persamaan (2.97) ke pesamaan (2.98), diperoleh
∫ ∫ −−= dtdtQeeey tmtmmtm 2121 )( . (2.99)
Jika diselesaikan, persamaan (2.99) menjadi
][21
2121
mmQeCeCy tmtm ++= . (2.100)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi
pustaka.
3.2 Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku
yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT
Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat
diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet,
hukum Ampere dan hukum induksi faraday.
2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau
secara klasik.
3. Mempelajari persamaan diferensial orde dua.
4. Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan
gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.
33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam
ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9.
6. Menyelesaikan persamaan gerak dengan menggunakan persamaan
diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear.
7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan
menggunakan program Maple 9.
8. Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh.
9. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Penurunan Persamaan Maxwell
4.1.1 Persamaan Gelombang
Dari keempat persamaan Maxwell baik dalam ruang hampa maupun dalam
medium yang diperoleh pada bab II, akan digunakan untuk memperoleh persamaan
gelombang elektromagnetik dalam hampa dan dalam medium.
4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa
Keempat persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa,
(1) .∇r
Er
= 0 (4.1)
(2) .∇r
Br
= 0 (4.2)
(3) tEBx∂∂
=∇r
rr00εμ (4.3)
(4) tBEx∂∂
−=∇r
rr (4.4)
Untuk mendapatkan persamaan gelombang elektromagnet dalam ruang hampa
diambil curl dari curl Er
, dimana sesuai dengan persamaan (2.87) adalah
curl curl Er
= +∇− Err
2 grad div Er
)( Exxrrr
∇∇ = +∇− Err
2 ).( Errr
∇∇
berdasarkan persamaan (4.1) nilai Err
.∇ adalah nol, sehingga persamaan menjadi
35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
)( Exxrrr
∇∇ = Err
2∇−
Sesuai dengan persamaan (2.84), bahwa 2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
, penyelesaian persamaan
menjadi
Exxrrr
∇∇ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
2
2
zE
yE
xE
rrr
(4.5)
Hasil perkalian ini sendiri mengikuti )( Exxrrr
∇∇
)()(tBxExx∂∂
−∇=∇∇r
rrrr
)()( xBt
Exx ∇∂∂
−=∇∇rrr
t
EExx 2
2
00)(∂∂
−=∇∇r
rrrεμ (4.6)
dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke persamaan (4.6) diperoleh
2
2
002
2
2
2
2
2
tE
zE
yE
xE
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
rrrr
εμ (4.7)
Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen kEjEiEE zyxˆˆˆ ++=
rEr
bernilai nol yaitu
, sedangkan , maka persamaan (4.7) menjadi 0== zx EE 0≠yE
2
2
002
2
2
2
2
2
tE
zE
yE
xE yyyy
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂εμ (4.8)
dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari yE x dan t saja, persamaan (4.8)
menjadi
2
2
002
2
tE
xE yy
∂
∂=
∂
∂εμ (4.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Jika dianggap bahwa )sin( tkxEE my ω−= , maka dari persamaan (4.9), dihasilkan relasi
. Karena , maka untuk 200 )/( ωεμ k= 2
00 /1 c=εμ cv = dihasilkan relasi kc=ω
sehingga bentuk
)sin( tkxEE my ω−= (4.10)
dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.9).
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.10), maka
diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.
yE
Gambar 4.1 Grafik hubungan dengan t dari persamaan (4.10) yE
dengan 1=mE , 1=k , 30=ω .
Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet Br
, digunakan langkah yang
sama. Dengan mengambil curl dari curl Br
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
curl curl Br
= +∇− Brr
2 grad div Br
)( Bxxrrr
∇∇ = +∇− Brr
2 ).( Brrr
∇∇
)( Bxxrrr
∇∇ = .2 Brr
∇−
Nilai 2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
, sehingga penyelesaian persamaan menjadi
)( Bxxrrr
∇∇ .2
2
2
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=zB
yB
xB
rrr
(4.11)
Nilai perkalian untuk ini sendiri mengikuti )( Bxxrrr
∇∇
)()( 00 tExBxx∂∂
∇=∇∇r
rrrrεμ
)(00 Ext
r∇
∂∂
= εμ
2
2
00 tB
∂∂
−=r
εμ (4.12)
dengan mensubstitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.12), diperoleh
.2
2
002
2
2
2
2
2
tB
zB
yB
xB
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
rrrr
εμ (4.13)
Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=
rBr
bernilai nol yaitu
, sedangkan , maka persamaan (4.13) menjadi 0== yx BB 0≠zB
2
2
002
2
2
2
2
2
tB
zB
yB
xB zzzz
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
εμ (4.14)
dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari zB x dan saja, maka persamaan
(4.14) menjadi
t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
.2
2
002
2
tB
xB zz
∂∂
=∂∂
εμ (4.15)
Jika dianggap bahwa )sin( tkxBB mz ω−= , maka dari persamaan (4.15) dihasilkan relasi
. Karena , maka untuk 200 )/( ωεμ k= 2
00 /1 c=εμ cv = dihasilkan relasi kc=ω
sehingga bentuk
)sin( tkxBB mz ω−= (4.16)
dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.15).
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.16), maka
diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.2.
zB
Gambar 4.2 Grafik hubungan dengan t dari persamaan (4.16), zB
dengan 1=mB , 1=k , 30=ω .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Medium
Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk medan listrik dan
medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium:
(1) 0ε ∇ .r
Er
= ρ (4.17)
(2) .∇r
Br
= 0 (4.18)
(3) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=∇tEJBxr
rrr00 εμ (4.19)
(4) tBEx∂∂
−=∇r
rr (4.20)
Nilai curl curl E , berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti
+∇−=∇∇ EExx 2)(rrrr
grad div Er
).(2 EErrrrr
∇∇+∇−=
dengan mensubstitusikan persamaan (4.17) ke persamaan ini, diperoleh
)( Exxrrr
∇∇ 02 /ερ∇+∇−=
rrrE . (4.21)
Nilai perkalian curl curl E ini sendiri adalah
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∇=∇∇tBxExxr
rrrr)( )( Bx
trr
∇∂∂
−=
.00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=tEJ
t
rr
εμ
Jika adalah , dengan Jr
Er
σ σ adalah konduktivitas bahan, maka
.)( 2
2
000 tE
tEExx
∂∂
−∂∂
−=∇∇rr
rrrεμσμ (4.22)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.21) ke persamaan (4.22), maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
./ 2
2
00002
tE
tEE
∂∂
−∂∂
−=∇+∇−rr
rrrεμσμερ (4.23)
Nilai Jika .ˆˆˆzyx EkEjEiE ++=
r0== zx EE , 0≠yE , dan adalah fungsi dari yE x dan
saja, maka persamaan (4.23) menjadi t
.)/( 2
2
00002
2
tE
tE
xxE yyy
∂
∂−
∂
∂−=
∂∂
+∂
∂− εμσμερ
(4.24)
Karena 0/ερ adalah sebuah konstanta maka turunan 0/ερ terhadap x bernilai nol,
sehingga persamaan (4.24) menjadi
.2
2
0002
2
tE
tE
xE yyy
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂εμσμ (4.25)
Dari persamaan (4.25) terlihat bahwa merupakan fungsi yE x dan t . Persamaan (4.25)
dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan menuliskan
).()(),( tTxXtxE y = (4.26)
sehingga diperoleh,
2
2
2
2
xXT
xEy
∂∂
=∂
∂
, 2
2
2
2
tTX
tEy
∂∂
=∂
∂ dan
tTX
tEy
∂∂
=∂
∂ (4.27)
substitusi persamaan (4.27) ke persamaan (4.25), menghasilkan
tTX
tTX
xXT
∂∂
+∂∂
=∂∂ σμεμ 02
2
002
2
)(1102
2
002
2
tT
tT
TxX
X ∂∂
+∂∂
=∂∂ σμεμ (4.28)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Dari persamaan (4.28), terlihat bahwa ruas kiri hanya fungsi x dan ruas kanan hanya
fungsi t . Oleh sebab itu, ruas kiri dan ruas kanan persamaan (4.28) merupakan konstanta.
Jika konstanta tersebut adalah , maka 2k
22
21 kxX
X=
∂∂
atau
.022
2
=−∂∂ Xk
xX (4.29)
Berdasarkan persamaan (2.94), persamaan (4.29) menghasilkan
kxkx BeAexX −+=)( (4.30)
dengan A dan konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika digunakan syarat batas
, maka diperoleh
B
0)0( =X AB −= , sehingga persamaan (4.30) menjadi
)()( kxkx eeAxX −−= . (4.31)
Dari persamaan (4.28), ruas kanan mempunyai bentuk
TktT
tT 2
02
2
00 )( =∂∂
+∂∂ σμεμ (4.32)
Dengan menggunakan metode operator t
D∂∂
= , persamaan (4.32) dapat dituliskan
menjadi
0)( 20
200 =−+ TkDD σμεμ (4.33)
Dari persamaan (4.33) terlihat bahwa , sebab . Akar-
akar dari persamaan (4.33) adalah
0)( 20
200 =−+ kDD σμεμ 0≠T
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
00
200
2200
1 24
εμεμσμσμ k
D++−
=
.2
4
00
200
2200
2 εμεμσμσμ k
D+−−
=
Sesuai dengan persamaan (2.94), persamaan (4.33) mempunyai penyelesaian berbentuk
.)( 21 tDtD ZeYetT += (4.34)
dengan dan Y Z konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika diberikan syarat batas
, maka diperoleh 0)0( =T YZ −= , sehingga persamaan (4.34) menjadi
)()( 21 tDtD eeYtT −=
atau
).()()
24
()2
4(
00
200
2200
00
200
2200 t
kt
k
eeYtT εμεμσμσμ
εμεμσμσμ +−−++−
−= (4.35)
Dari persamaan (4.31) dan (4.35), persamaan (4.26) menghasilkan,
).)((),()
24
()2
4(
00
200
2200
00
200
2200 t
kt
kkxkx
y eeeeAYtxE εμεμσμσμ
εμεμσμσμ +−−++−
− −−= (4.36)
Jika dituliskan , maka persamaan (4.36) menjadi AYE y =0
).)((),()
24
()2
4(
000
200
2200
00
200
2200 t
kt
kkxkx
yy eeeeEtxE εμεμσμσμ
εμεμσμσμ +−−++−
− −−= (4.37)
Grafik yang dapat dibuat dari persamaan (4.37) dengan menggunakan program Maple 9
ditunjukkan pada Gambar 4.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
yE
Gambar 4.3 Grafik 3 dimensi fungsi yE x dan t dari persamaan (4.37) ,
dengan , H/m, F/m, 10 =yE 60 10.26,1 −=μ 12
0 10.85,8 −=ε
1=σ ohm/m, , 45=k
Untuk memperoleh persamaan gelombang Br
digunakan cara yang sama dengan
cara untuk mendapatkan persamaan (4.37). Dengan mengambil curl dari curl Br
,
berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti
+∇−=∇∇ BBxxrrrrr
2)( grad div Br
.2 Brr
∇−= (4.38)
Nilai perkalian ini sendiri adalah )( Bxxrrr
∇∇
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∇=∇∇ )()( 00 tEJxBxxr
rrrrrεμ
).()( 000 Ext
Jxrrrr
∇∂∂
+∇= εμμ
(4.39)
Jika nilai rapat arus adalah , dengan Jr
Er
σ σ konduktivitas, maka persamaan (4.39)
menjadi
)()()( 000 Ext
ExBxxrrrrrrr
∇∂∂
+∇=∇∇ εμσμ
)()( 000 t
Btt
B∂∂
−∂∂
+∂∂
−=rr
εμσμ
.02
2
00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=tB
tB
rr
σμεμ (4.40)
Dari persamaan (4.39) dan (4.40), diperoleh
.02
2
002
tB
tBB
∂∂
+∂∂
=∇−rr
rrσμεμ (4.41)
Nilai . Jika zyx BkBjBiB ˆˆˆ ++=r
0== yx BB , 0≠zB , dan adalah fungsi dari zB x dan t
saja, maka persamaan (4.41) menjadi
.02
2
002
2
tB
tB
xB zzz
∂∂
+∂∂
=∂∂
σμεμ (4.42)
Persamaan (4.42) memiliki tipe yang sama dengan persamaan (4.25), sehingga
penyelesaian persamaan (4.42) mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (4.37),
dengan mengubah menjadi didapatkan yE zB
))((),()
24
()2
4(
000
200
2200
00
200
2200 t
kt
kkxkx
yz eeeeBtxB εμεμσμσμ
εμεμσμσμ +−−++−
− −−= . (4.43)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.43), maka
diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.4.
zB
Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi sebagai fungsi dari zB x dan t dari
persamaan (4.43), dengan 10 =yB , H/m, F/m,
60 10.26,1 −=μ
120 10.85,8 −=ε 1=σ ohm/m, .45=k
4.1.2 Persamaan Gerak
Persamaan Maxwell yang akan dijabarkan adalah persamaan Maxwell dalam
ruang hampa. Perlu ditinjau keempat persamaan Maxwell, yaitu persamaan (4.1), (4.2),
(4.3), dan (4.4).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Jika nilai ∇=r
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂ ˆˆˆ dan arah perambatan sinar ke arah sumbu x
dengan komponen medan listrik Er
ke arah sumbu z dan komponen medan magnet Br
ke
arah sumbu , maka penjabaran untuk persamaan (4.20) , y
Exrr
∇ =
zyx EEEzyx
kji
rrr ∂∂
∂∂
∂∂
ˆˆˆ
xEr
, dan masing-masing adalah medan listrik ke arah sumbu yEr
zEr
x , dan y z . Karena
medan listrik Er
hanya mengarah ke sumbu z saja, maka besarnya xEr
dan yEr
bernilai 0,
sehingga
Exrr
∇ =
Ezyx
kji
r00
ˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
= .ˆˆxEj
yEi
∂∂
−∂∂
rr
(4.44)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.44) ke persamaan (4.20) maka didapatkan
tB∂∂
−v
= xEj
yEi
∂∂
−∂∂
rr
ˆˆ (4.45)
Jika diambil hanya ke arah sumbu , maka dari persamaan (4.45) diperoleh y
tB∂∂v
= xE∂∂r
.0=∂∂
−∂∂
xE
tB
rv
(4.46)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Persamaan (4.3) mengikuti Bxrr
∇ = tE∂∂r
00.με , sedangkan perkalian silang antara
vektor operator del ∇ dan vektor medan magnet r
Br
dalam koordinat kartesian ini sendiri
adalah
Bxrr
∇ =
zyx BBBzyx
kji
rrr ∂∂
∂∂
∂∂
ˆˆˆ
xBr
, dan masing-masing adalah medan magnet ke arah sumbu yBr
zBr
x , dan y z .
Karena medan lstrik Br
hanya mengarah ke sumbu saja, maka besarnya y xBr
dan zBr
bernilai 0, sehingga
Bxrr
∇ =
00
ˆˆˆ
Bzyx
kji
r ∂∂
∂∂
∂∂
= )0(ˆ)00(ˆ)0(ˆ −∂∂
+−+∂∂
−xBkj
zBi
rr
= .ˆˆ kxBi
zB
∂∂
+∂∂
−rr
(4.47)
Persamaan (4.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.47), sehingga
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+tEJr
r00 εμ = .ˆˆ k
xBi
zB
∂∂
+∂∂
−rr
(4.48)
Jika diambil hanya kearah sumbu z , maka persamaan (4.48) menjadi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+tEJr
r00 εμ =
xB∂∂r
. (4.49)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Jika rapat arus mempunyai persamaan Jr
dtrdNqJrr
= , maka persamaan (4.49) menjadi
xBc
dtrdNq
tE
∂∂
=+∂∂
rrr20
0
..ε
(4.50)
dengan, muatan elektronik, jumlah elektron per satuan volume, kecepatan
cahaya,
q N 0c
0ε permitivitas ruang hampa. Untuk melengkapi sistem, dibutuhkan hubungan
antara r dengan E . Elektron yang dikendalikan oleh medan Er
dan terjebak di dalam
sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara
r dengan Er
dapat dituliskan sebagai
qErUdt
rdm =′+ )(2
2
(4.51)
dengan, massa, m r perpindahan, t waktu, )(rU ′ turunan dari sumur potensial
terhadap koordinat r .
diberikan nilai = )(rU 22
21 rmω dan koordinat ( r ) juga fungsi waktu ( ) maka t
)(rU ′ = drdU = . (4.52) rm 2ω
Jika persamaan (4.52) disubstitusikan ke persamaan (4.51) menghasilkan
mqEr
dtrd
=+ 22
2
ω
atau
mqErD =+ )( 22 ω
.))((mqEriDiD =−+ ωω (4.53)
Penyelesaian dari persamaan (4.53) sesuai dengan persamaan (2.100) yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
mqEeCeCr titi
221 ωωω ++= − (4.54)
dengan dan adalah konstanta. 1C 2C
Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.54), dapat dilihat pada Gambar
4.5 .
r
Gambar 4.5 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.54), dengan , 11 =C
, C, 12 =C 1=q 1=E N/C, 1=m kg, 45=ω .
Jika pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman fungsi waktu , maka
persamaan menjadi
)(tU ′
qEtUrUdt
rdm =′+′+ )()(2
2
(4.55)
dengan dtdr
drdU
dtdUtU ==′ )( , dan substitusi persamaan (4.52) diperoleh
)(tU ′ = .2
dtdrrmω (4.56)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Persamaan (4.52) dan (4.56) disubstitusikan ke persamaan (4.55) sehingga diperoleh
.222
2
mqE
dtdrr
dtrd
=++ ωω
(4.57)
Dengan menggunakan metode operator dtdD = , dan dengan menganggap bahwa
, persamaan (4.57) dapat dituliskan menjadi βω =r2 αω =2
mqErDD =++ )( 2 αβ (4.58)
Akar-akar dari persamaan , )( 2 αβ ++ DD
aacbbD
242
12−±−
=
242 αββ −±−
=
)4(
21 2 αββ −±−=
)4(21 2
1 αββ −+−=D dan ).4(21 2
2 αββ −−−=D (4.59)
Hasil penyelesaian diferensial (4.58) sesuai dengan persamaan (2.100) dan dengan
substitusi persamaan (4.59) menghasilkan
]..
[)4(
21
2
)4(21
1
22
mqEeCeCr
tt
ααββαββ
++=−−−−+−
(4.60)
Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.60), dapat dilihat pada Gambar
2.6, dengan , , 11 =C 12 =C 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C, 1=m kg,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
r
Gambar 4.6 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.60), dengan C ,11 = 12 =C , 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C, dan kg, 1=m
Untuk kasus gaya pemaksa dari luar berbentuk periodik, yang ditulis sebagai
.sin)()(. 2
2
tqEtUrUdt
rdm ω=′+′+ (4.61)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.52) dan (4.56) ke persamaan (4.61),
menghasilkan
.sin222
2
tqEdtdrrmrm
dtrdm ωωω =++
(4.62)
Dengan operator dtdD = , dan dengan menganggap bahwa , maka
persamaan (4.62) menjadi
βω =r2 αω =2
mtqErDD ωαβ sin)( 2 =++
atau
mtqErDDDD ωsin))(( 21 =−− . (4.63)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Hasil penyelesaian differensial persamaan (4.63) sesuai dengan persamaan (2.99) yaitu
.)(sin 2)( 2121 dtem
tqEeer tDtDDtD ∫ ∫ −−=ω
(4.64)
Mengingat nilai ieebx
ibxibx
2)sin(
−−= , maka )sin( tω dapat diubah menjadi
iee titi
2
ωω −−
sehingga persamaan (4.64) menjadi
2)( )()2
( 2121 dteiee
mqEeer tD
tititDDtD ∫ ∫ −
−− −
=ωω
2)()()( )(2
22121 dteeim
qEee tDitDitDDtD ∫ ∫ −−−− −= ωω
))(11(2
)(
2
)(
2
)( 22121 dtAeDi
eDi
eim
qEe tDitDitDDtD ++
+−
= −−−−∫ ωω
ωω
))(11(2
)()(
2
)(
2
12111 dtAeeDi
eDi
eim
qE tDDtDitDitD −−−− ++
+−
= ∫ ωω
ωω
))())(())((
(2 12
)(
12
)(
12
)( 12111 B
DDAe
DiDie
DiDiee
imqE tDDtDitDi
tD +−
+−−+
+−−
=−−−−
ωωωω
ωω
].
)(
).)(().)(([
2
1112
1111
12
)(2121
2
)(
21212
)(
tDtDDD
tDDitDDi
BeDD
Ae
DDDDie
DDDDie
imqE
+−
+
−+−+
++−−=
+−
+−−+−
ωωωω
ωω
Dengan substitusi persamaan (4.59) menghasilkan
]4
))(())(([
2
)4(21
2
)4(21
22
22
tt
titi
BeAe
ie
ie
imqEr
αββαββ
ωω
αβ
αβωωαβωω
−+−−−−
−
+−
+
−−−+
+−−−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
])4(2
)(2)(2[
)4(21
2
)4(21
22
22
tt
titi
Beim
qEAe
iimqEe
iimqEe
αββαββ
ωω
αβ
αβωωαβωω
−+−−−−
−
+−
+
−++
++−=
(4.65)
bila αβ 42 2 −im
qEA dianggap dan dianggap , maka persamaan (4.65) menjadi 2C B 1C
]
)(2)(2[
)4(21
1
)4(21
2
22
22 tt
titi
eCeC
iimqEe
iimqEer
αββαββ
ωω
αβωωαβωω−+−−−−
−
++
−++
++−=
].
)(2)(2
[
22
)4(21
2
)4(21
1
22
αβωωαβωω
ωω
αββαββ
−++
++−+
+=−
−−−−+−
iimqEe
iimqEe
eCeCtiti
tt
(4.66)
Efek kualitatif dari persamaan (4.66), dapat ditinjau dari Gambar 4.7.
r
Gambar 4.7 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.66),
dengan 121 == CC , 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C,
1=m kg, dan 1=ω .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
4.2 Pembahasan
Penurunan persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan persamaan
gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.10), dan (4.16), sedangkan penurunan
persamaan Maxwell dalam medium menghasilkan persamaan gelombang (4.37), dan
(4.43). Masing-masing efek kualitatifnya dapat ditinjau dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan
4.4. Dari Gambar 4.1 dan 4.2 menunjukkan bahwa untuk persamaan gelombang dalam
ruang hampa bersifat linear, dapat dilihat dari adanya simpangan maksimum (Amplitudo)
gelombang yang konstan. Gambar 4.3 dan 4.4 berupa garis lengkung yang menunjukkan
bahwa persamaan gelombang dalam medium bersifat nonlinear. Berdasarkan hasil yang
diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa medium merupakan salah satu penyebab
suatu sistem bersifat nonlinear.
Berdasarkan persamaan (4.51) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan
(4.54) menunjukkan bahwa persamaan gerak yang mempunyai fungsi sumur potensial
akan menghasilkan suatu sistem yang linear, secara kualitatif dapat dilihat pada Gambar
4.5. Bila pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman yang bergantung pada waktu t ,
ditunjukkan pada persamaan (4.55) dan penyelesaiannya menghasilkan persamaan (4.60)
memperlihatkan bahwa sistem bersifat nonlinear, secara kualitatif dapat dilihat pada
Gambar 4.6. Bila gaya pemaksa dari luar diberikan dalam bentuk sinusoidal seperi
ditunjukkan dalam persamaan (4.61) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan
(4.66) maka sistem berbentuk nonlinear dengan bentuk grafik seperti ditunjukkan pada
Gambar 4.7. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
pengaruh lain yang menyebabkan suatu sistem bersifat nonlinear adalah adanya gerak
elektron yang mempunyai fungsi redaman bergantung waktu . t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini
dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari persamaan Maxwell dapat dihasilkan efek nonlinear gelombang
elektromagnetik jika ada medium (bahan) yang bersifat meredam amplitudo
gelombang elektromagnetik.
2. Bentuk persamaan diferensial orde-2 homogen dan tak homogen terkait
dengan efek linear dan nonlinear sistem fisis.
5.2 Saran
Sebagaimana disebutkan pada batasan masalah bahwa peninjauan dalam
penelitian ini dibatasi hanya dari sudut pandang fisika klasik, maka perlu
dilakukan penelitian lebih lanjut terhadap efek nonlinear ditinjau dari sudut
pandang mekanika kuantum.
57
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, F., 1986, Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metriks, Jakarta : Erlangga.
Waluya, S.B., 2006, Persamaan Diferensial, Yogyakarta: Graha Ilmu.
Efendi, R., dkk., 2007, Medan Elektronika Terapan, Jakarta : Erlangga.
Bloembergen, N., 1996, Nonlinear Optics, Fourth Edition, Singapura : World Scientific.
Whitham, G.B., 1974, Linear and Nonlinear Waves, Canada : John Wiley.
Halliday, D., dan Resnick, R., 1984, Fisika Edisi ke 3 Jilid 2, Jakarta: Erlangga.
He, G.S. and Liu, S.H., 1999, Physics of Nonlinear Optics, Singapura : World Scientific.
58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI