ph 349 : methods of mathematical physics i - lecture notes mark

70

Upload: vandiep

Post on 04-Jan-2017

223 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

��� ����� � � �������������� ��������� ����� �!�#"$��&%��'�(�)�+*-,./�0� ��1324�65����7�)�

8:9<;>=-?�;A@CB�B'DFE

GIHKJ'LNMPORQSHUTVOXWZY\[&]4^<_a` bU_c LN_FHd:HU_eO(HfMfTghHU_FHUMjikHl!Tm`nikHUMf_a`oOR^

p3DFqPDFrtsVDP;3u<v'w!xFyzyky

{

Page 2: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �

� �������¡ &¢�£�¤¥ &¦�§ ¨©¦�ª'«m¬�§�£�­0ª'¬®«'� ¯°¬®£�«m¤7± ²³¬Xª7±�¤

´�µ�¶ ·e¸�¹Pº�»½¼�¾kºÀ¿Á»Â\ÃjÄ�Å�ÆÇÄoÈPÉÀÉÀÊ¡ËÌÍÈFÎ ÅaÊKÏ�Ê¡ÐÑÐÒÊKÄ�� {>ÓÔPÕÀÖj×e×FØaÙ�ÚfÛeÜFÝÀÞfØUß àoá>âPÕUÜ)ànØf×fÜã�äÀÈfËÀÊaåÁæfçfèAéêèfçUë Ó�ìîíðï�ñ½ò æ ò é ò ëjójæ ì�ôõï�ö

´�µê÷ øSù©ú�ù©»ûùǸ�¾4ù©¹{fö�üþý�ÿ����������!ü��jÿ �ûý����jÿ������������������������! ö#"Vö%$ Ä�Ï�ÅaÊ¡Ë'&)( ö+*�öÀí Ê-,<ÊKÄ ��$ ΡÃjÉÀÊ-.0/ÑÎ�ãmÄ�Ê�121 ö� ö435��67�98�����:;�õü<�jÿ��ûý����jÿ=��������>�?@6���ÿ=����6%���%$ ,ÀÄ Ã�.®È�AB/DC�EF&HG�CoÊ�IKJÀË �ML È�NjÊ¡Ä öæ ö�ü<�jÿ��ûý����jÿ=�������<üþý�ÿ���������O��P4�������������Q��ÿ���� Â3ÃRC äÀÊ�AB1S& í ÃjÐÑÅjÊKÄ � (VÊKË�ToÃ�.�/ÒË ö

´�µVU W!¼5XYX[Z�»]\^Zm¸4_a` ¼!º�bdc�¸�ùÆ0ä]/D1&ΡÈKJ�Ä�1oÊe/ÒË9C Ä�ÈFÉ]J�ΡÊ�1�1�ÈK.®ÊhÈjÏfCoäÀÊ;.�ÃRC äÀÊ-.hÃ�Cg/ÒΡÃjÐhC ÊKÎ äÀË]/QijJÀÊ-1kC äûÃ�C ÃjÄ�ÊhÏ�ÄoÊ-i�J�Ê¡Ë9C ÐmlnJ]1�Ê¡É/ÒË<CoäÀÊ®ÃjËûÃjÐml@12/Q1�ÈjÏ)Ã;NjÃaÄ�/ÒÊ�Col�ÈjÏqpÀä9l�1�/ÒΡÃjÐ�pÀÄoÈPΡÊ-1�1�Ê�1 ö Æ0äÀÊ�1�Ê�ËÀÈRC Ê�1 ÃjÄ�ÊXÃr1�ÐQ/QIjäjCoÐDl3Ê�s@pûÃjË�ÉÀÊ¡ÉNfÊKÄ�12/ÒÈfË3ÈjÏ�ÃXÈfËÀÊ(éo1oÊ-.�Ê-12CoÊ¡ÄõÎKÈKJÀÄ21oÊFC äûÃRCutvIfÃ�NjÊ&ÃRCSw)Ã�1�Ê í Ê�1dC ÊKÄoË�ÌÍÊ�1�Ê¡Ä2NjÊ�x!Ë%/DNfÊKÄ�12/DColy/ÒËyC ä�Ê" ÃjÐÒÐ<ÈjÏ {Zòfòfò�öh$ ÐDCoäÀÈKJ]Ifäyt Î äÀÈK1oÊz1oÊ�NfÊKÄ ÃjÐ{C Ê|s�Cg,NÈFÈfÅj1BC È®ÃjÎKΡÈK.�pûÃjË9l;CoäÀÊ�ΡÈKJÀÄ21oÊ � .}JÀÎ ä3ÈaÏ~C ä�Ê.�ÃRC ÊKÄ�/ ÃaÐq/D1kpÀÄoÊ-1oÊKËjCoÊ¡É�/ÒË�CoäÀÊ;A)ÃOlnCoäûÃRC�tFAVÃ�1kC Ã�J%Ifä9C�/DC ö t�ÐÒÊ¡ÃjÄoË9C�.�ÃRC ä�Ê�.�ÃRCg/ÑÎ�ÃjÐ�pÀä9l�1�/ÑÎ�1Ï�ÄoÈ�.�.�ÃjË9l;pNÊ¡ÈKpÀÐÑÊ�ÃRC�w)Ã�.},ÀÄ�/ÑÉ]IfÊFx!Ë%/DNfÊKÄ�12/DCol � ,%J%CfC äÀÈ�1oÊ5AÍäÀÈK1�Ê�ÐÑÊ¡Î�CgJÀÄ�Ê�1ÍΡÐÑÊ�ÃjÄ�ÐDl0/ÒË%��J�Ê¡ËÀÎKÊ¡ÉC ä�Ê�1oÊhËÀÈ�C Ê-1&ÃjÄ�Ê $ Ð ÃjË Â\ÃjÎ�Ï�ÃjÄoÐÒÃjËÀÊ � G�C Ê-pÀäÀÊKË�G@/ÒÅeÐÒÈ�1 � ÃjËÀÉ��jÈfä�Ë�G�CoÊ-AVÃjÄ2C ö têËnp�Ð ÃjÎKÊ�1}t�äÀÃ�NjÊ,NÈfÄoÄ�È�A Ê¡É�äÀÊ¡Ã�N�/ÑÐDl®Ï�ÄoÈK.[C äÀÊ-/ÒÄfpÀÄ�Ê�1�Ê¡Ë9C ÃRC�/ÒÈfË%1ÍÃjËÀÉy1oÈ�C ä�Ê�1oÊ�ËÀÈRC Ê�1ÍÃaÄoÊ�ΡÊKÄ2C Ã�/ÒËÀÐmlhË�È�CÍÃkAÍäÀÈfÐÑÐDlÈfÄ2/QIK/ÑËûÃjÐzÊ��kÈfÄdC öÍô È�A Ê-NjÊ¡Ä � t)äûÃONfÊ}CoÄ�/ÑÊ¡ÉyC Èe1dlPËjCoäÀÊ�12/QEKÊkC äÀÊz.hÃ�C Ê¡Ä2/ ÃjÐ{/ÑË\Ã�J]1oÊ�Ï�JÀÐ'ÃaËÀÉ\ÈfÄ�ÉÀÊ¡Ä�ÐDlAVÃ�l � ÃjËÀÉ®äûÃONfÊÍΡÈfË9CoÄ�/Q,%J%C ÊKÉ012/QIfË]/m�ûÎ�ÃaËjC�.hÃRCoÊ¡Ä2/ ÃjÐ�AÍäÀÊ¡Ä�Ê�t©Ï�Ê¡ÐmChC äûÃ�C�.�ÈfÄ�Ê)ΡÐÒÃjÄ�/mCol�AVÃ�1mËÀÊKÊ¡ÉÀÊKÉ ötVC0/Q1�.}l/äÀÈKpNÊ�CoäûÃRC�C äÀÊ-1oÊ\Ë�È�C Ê-10AB/ÒÐÑÐ0Ê-NjÈfÐDNjÊ'/ÒË9CoÈ Ã�,NÊ-C2C ÊKÄhÃjË�É�,<Ê�C�CoÊ¡Ä®ÄoÊ�1�ÈKJÀÄ�ΡÊ�Ã�1�Cg/D.�ÊpûÃ�121oÊ-1 ö wVÊKÄ2C Ã�/ÒËÀÐml'CoäÀÊ¡Ä�Ê0/D15.kJÀÎ äIÄ�ÈFÈ�.¥Ï�ÈfÄ5/D.0pÀÄ�È�NfÊ�.®Ê¡Ë9C � ÃaËÀÉ�t�AVÊKÐÒÎKÈK.�ÊXÎKÈK.0.®Ê¡Ë9C�1 ÃaËÀÉ1�J%IKIfÊ�1dCg/ÑÈfË]10Ï�ÄoÈK. ÃjË9lfÈfË�ÊzAÍäÀÈ®ÄoÊ¡ÃjÉ]1fC ä�Ê�. ö

Æ0äÀÊv,ÀÃ�1�/D1©Ï�ÈjÄ�CoäÀÊhC ÊKÎ äÀË]/QijJÀÊ-1~1dCgJÀÉ]/ÑÊ¡É�/ÒËFC ä]/D1ÇÎKÈKJÀÄ21oÊ�/Q1ÇÃB�ÀÄ�.�JÀË�ÉÀÊ¡Ä212C ÃaËÀÉ]/ÒË%IõÈjÏFÏ�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË%1ÈjÏÁÃhÎKÈK.�pÀÐÒÊ|s�NaÃjÄ2/ Ã�,�ÐÒÊ�ÃjËÀÉ�A Êk1oäÀÃjÐÒÐ�,<Ê-IK/ÒË',jl3Ð ÃOl�/ÒË%I0C ä�ÊkIfÄoÈ�JÀËÀÉ%A ÈfÄoÅ�Ï�ÈfÄ�C ä]/D1 ö têË�pÀÃjÄ2C�/ÒÎ�éJÀÐÒÃjÄ � A Ê;AB/ÒÐÑÐq12p<ÊKËÀÉ�1oÈK.®ÊeC�/Q.®ÊhÄoÊ�N�/ÒÊ-AB/ÑË]I�ÃjË�É�IUÃ�/ÒË%/ÒË]I3Ê�s@p<ÊKÄ2C�/Q1oÊ�/ÑËnpNÊ¡Ä�Ï�ÈjÄ�.�/ÒË]I�ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfË�ÈjÏCΡÈK.�pÀÐÒÊ|s�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË]1 ö

Page 3: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� æ

Æ0äÀÊ)Ê|s%pNÊ¡Ä2/ÒÊKËÀΡÊvA Ê�,]J%/ÒÐÒÉzJ]pkAB/mC ä#ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä~/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfËzAB/ÑÐÒÐj,NÊvJ]1�ÊKÏ�JÀÐjAÍäÀÊ¡ËkA Ê)ËÀÊ|s�C�CgJÀÄ�ËC ÈFC ä�ÊõÊ-NaÃjÐDJûÃRC�/ÒÈfËXÈjÏ�1�J].�1VÃaËÀÉe/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjÐQ1 öCí ÊuAB/ÑÐÒÐ]/ÑËjNjÊ�1dCg/QIfÃRC Ê!à ËjJ].k,NÊ¡ÄÁÈjÏMC Ê¡Î ä�Ë]/QijJÀÊ-1 � ,]J@CC ä�Ê�Ï�ÈFÎ-J]10ÈjÏ�C ä]/D1�pûÃjÄdCÍÈjÏ�C äÀÊ�ÎKÈKJÀÄ21oÊ4AB/ÒÐÑÐ�,NÊ4C äÀÊ4NaÃjÄ2/ÒÈKJ%1v.®Ê-C ä�ÈFÉ]10ÈaÏCÈ�,%C Ã�/ÑË]/ÒË%I Ã�12l�.�p%C ÈRCg/ÒÎÊ�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË]1�ÈjÏ!/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjÐQ1 öÇí ä%/ÒÐÒÊVÃ!Ï�JÀÐÑÐ@JÀË�ÉÀÊ¡Ä212C ÃaËÀÉ]/ÒË%I�ÈaÏ�C ä]/D1�C ÊKÎ äÀË]/Di�J�Ê�/D1~ijJ]/mC Ê)Î äûÃaÐÒÐÒÊKË]IK/ÑË]I �/DC®Ï�ÈfÄ2.01�C äÀÊ�,ûÃ�1�/D1�ÈjÏ5.�ÃjË9l�pÀä9l@12/ÒΡÃjÐõΡÃjÐÒÎ-JÀÐ ÃRC�/ÒÈfË%1�ÃaΡÄoÈ�1�1;.�ÃjË9l�1�J],NÉ]/Q1�Î�/DpÀÐQ/ÑËÀÊ�1 ñ pûÃjÄdCg/ÑΡÐÒÊpÀä9l�1�/ÑÎ�1 � 1dC ÃRC�/Q12C�/ÒΡÃjÐ�.®Ê¡Î äûÃjË%/ÒÎ�1 � ΡÈfË�ÉÀÊ¡Ë]1�Ê¡É�.hÃRC2C ÊKÄfpÀä9l@12/ÒÎ-1 ö öÑö

Æ0äÀÊeCoä]/ÒÄ�É�pûÃjÄdC#ÈaÏ�C äÀÊ�ΡÈKJ�Ä�1oÊ�ΡÈfË�ΡʡÄ�Ë]1&ÈfÄ�É]/ÒËÀÃjÄ2l É]/m�kÊKÄoÊKËjC�/ ÃjÐmÊ-i�JÀÃRCg/ÑÈfË]1 ì��5L5� 1 ï�ö�í ÊAB/ÒÐÑÐ{J]1oÊ Ê-NjÊ¡Ä2ljCoä]/ÒË]I0AVÊ äûÃONfÊ#ÐÑÊ�ÃjÄ�ËÀÊ¡É�J]p�CoÈ0Coä]/Q1�p<È�/ÒË9C�1oÈe/mC�/Q1�/Q.�p<ÈfÄdC ÃjË9CfCoÈ�ÅaÊ¡Ê�p<J%p�AB/DCoäC ä�Ê}.�ÃRC ÊKÄ�/ ÃaÐCÃR1uC ä�Ê#ΡÈ�JÀÄ�1�ÊkpÀÄoÈ�IfÄoÊ-1�1oÊ-1 ö�í Ê�AB/ÑÐÒÐ�/ÒË9NfÊ-12C�/QIUÃRCoÊ}1�ÈK.�Ê Î¡ÐÒÃ�1�12/ÒÎ�CoÊ¡Î äÀË%/QijJÀÊ�1S1�JÀÎ äÃ�1 ÄoÊ¡ÊKË���1�Ï�J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1�ÃaËÀÉ�CoäÀÊ í � (ÃRp]pÀÄoÈOs@/Q.�ÃRC�/ÒÈfË � Ã�15AVÊKÐÒÐ�Ã�1F/ÑËjCoÄoÈPÉ]JÀÎ-/ÒË]I�1�ÈK.�ÊXÈjÏ�C ä�Ê1�pNÊ¡Î-/ ÃjÐÁÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1&ÈjÏ�.�ÃRC äÀÊ-.hÃ�Cg/ÒΡÃjÐ�pÀä9l�1�/ÒÎ-1�C äûÃRC}AB/ÒÐÒÐ�,NÊ�Ê�s@pÀÐÑÈfÄoÊKÉ�.®ÈfÄ�Ê�Ï�JÀÐÑÐDl�/ÒËtã�ä9l�1�/ÑÎ�1æUëjó ö

têË�C ä�Ê��ûËÀÃjÐ�1oÊ¡Î�Cg/ÑÈfËIÈjÏqC äÀʮΡÈ�JÀÄ�1�ÊetSAB/ÑÐÒÐh/ÒË9CoÄoÈPÉ]JÀΡʮÆÇÄ ÃjË]1RÏ�ÈfÄ�.¡w)ÃaÐÒÎ�J�ÐQJ]1 ö tSAB/ÒÐÑÐ�ΡÈ�NfÊKÄC ä�Ê " ÈKJÀÄ2/ÒÊKÄÍÃjËÀÉ * ÃRpÀÐ ÃjÎKÊ4C ÄoÃjË]1�Ï�ÈjÄ�.�1�/ÑËy1oÈK.®Ê�ÉÀÊ-C Ã�/ÒÐ � ÃjËÀÉrAB/ÒÐÒÐM.hÃaÅjÊ Ã®ËjJ].k,NÊ¡ÄÍÈjÏ7ÄoÊ-.hÃjÄ�Åj1Ã�,NÈKJ%CfCoÄ ÃjË]1RÏ�ÈfÄ�.�1f/ÒË9NjÈfÐDN�/ÒË%I�IjÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐ4ÅaÊ¡ÄoË�Ê¡Ð4Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1 ö

$ .�ÈfÄ�Ê�Ï�ÈfÄ�.�ÃjÐ<ÈKJ%C ÐD/ÒËÀÊõÈjÏ�CoäÀÊF12lPÐÒÐÒÃ�,]J]1B/D1¡å{föB$ ËûÃjÐDl�12/Q10ÈjÏ�wVÈK.�pÀÐÒÊ|s " JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1

ì à ï G�/ÒË]IKJ�Ð ÃjÄ2/DCg/ÑÊ�1 � ÌÍÊ�12/ÒÉ]JÀÊ-1 � ÃjËÀÉ * Ã�JÀÄ�Ê¡Ë9CSGFÊ¡Ä2/ÒÊ�1ì , ï �jÈjÄoÉûÃjË��+1 * Ê�.�.hà ÃjË�É\Â�ÈfÄoÊKÄ Ã%��1!Æ0ä�Ê¡ÈfÄ�Ê�.ì Î ï w)ÃRJÀÎ ä9lM��1�Æ0äÀÊKÈfÄoÊ-.ì É ï wVÈjËjCoÈKJÀÄ�têË9C Ê�IjÄ ÃRC�/ÒÈfË

� ö�� s�ÃjÎ-C!ÃjË�É $ p]pÀÄoÈOs@/Q.�ÃRCoÊ � NaÃjÐDJûÃRC�/ÒÈfË�ÈjÏ�G@J].�1�ÃjËÀÉytêË9C Ê-IfÄ ÃjÐD1ì à ï�$ p]pÀÄ�È�s@/D.hÃRC�/ÒÈfË�ÈaÏhG@J%.01B,9l�têË9C Ê-IfÄ ÃjÐD1ì , ïy* Ã�p�Ð ÃjÎKÊ���1õÂ�Ê-C ä�ÈFÉì Î ï Â�Ê-C ä�ÈFÉ3ÈjÏhGjC ÃRC�/ÒÈfËûÃaÄ2lhãmäÀÃ�1oÊì É ï Â�Ê-C ä�ÈFÉ3ÈjÏhGjC Ê¡Ê-p<Ê-12C L Ê�1�ΡʡË9C

æ ö�� s�ÃjÎ-C!ÃjË�É $ p]pÀÄoÈOs@/Q.�ÃRCoÊzGFÈfÐQJ@Cg/ÒÈjË�ÈjÏ � Ä�É]/ÒËûÃaÄ2l L /m�kÊKÄoÊKËjC�/ ÃjÐ � i�JÀÃRCg/ÑÈfË]1ì à ïr ÄoÊKÊ¡Ë���1 " J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1

Page 4: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� ¢

ì , ï�í � ( $ ËûÃaÐDl�1�/D1ì Î ï G�p<ÊKÎ�/ ÃaÐ " J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1

¢ ö ÆÇÄ ÃjË%1�Ï�ÈfÄ2.£w)ÃjÐÒÎ-JÀÐQJ%1 öì à ïr Ê¡Ë�Ê¡Ä ÃaЩã�/ÑÎ-C�JÀÄoÊì , ï Æ0ä�Ê " ÈKJÀÄ2/ÒÊKÄ)ÆCÄoÃjË]1RÏ�ÈfÄ�.ì Î ï Æ0ä�Ê¡ÈfÄdl�ÈjÏ L /D12CoÄ�/Q,%J%Cg/ÑÈfË]1ì É ï Æ0ä�Ê * Ã�pÀÐÒÃjΡÊ�ÆÇÄ ÃaË]1�Ï�ÈfÄ2.

ë ö G�C�JÀÄ�. é * /ÑÈKJ%N�/ÒÐÑÐÒÊ�Æ0äÀÊ¡ÈfÄdlì à ïy� /DIfÊ¡Ë9NaÃjÐQJ�Ê�1�ÃjËÀÉ � /QIfÊKË�Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1ì , ï wVÈ�.0pÀÐÑÊ-CoÊ¡ËÀÊ-1�1ì Î ï� ÄoÊKÊ¡Ë���1 " J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]10Ä�Ê�pÀÄ�Ê�1�Ê¡Ë9C ÃRC�/ÒÈfË%1

ç ö Æ0äÀÊ�w)ÃjÐÑÎ�JÀÐDJ]1ÍÈjÏ�¤ÁÃjÄ�/ÒÃRCg/ÑÈfË]1´�µ=¥ ¦ Z7º]§�ù�X¨Z7º]cR¾{Z�b0©:¿mº%Z7º�cn¿ ¸

ª Ï�ÈfÄÍÃjÐÑЫ C äÀÊKÄoÊ�Ê�s@/D12Cg1¬ ËÀÈ�C­ /Q10Ê-i�J%/DNaÃjÐÒÊKË9CfC È � ÈjÄ�/D10ÉÀÊ-�ÀËÀÊ¡É\Ã�1® /Q1ÍÃ�1dl�.0p%CoÈ�Cg/ÑÎ�ÃjÐÑÐDl®Ê�ijJûÃaÐ�C ȯ /Q1ÍÃ�p%pÀÄoÈOs@/Q.�ÃRC ÊKÐDl�Ê�ijJûÃjÐ�CoÈ° /Q1fpÀÄ�ÈKpNÈfÄ2C�/ÒÈfËûÃaÐMC ȱ /Q.�pÀÐQ/ÑÊ�1� ² /ÑÏCÃjËÀÉ�ÈfËÀÐml;/ Ï ñ /Q.�pÀÐD/ÒÊ�1VÃjËÀÉr/Q1f/D.0pÀÐD/ÒÊKÉ;,9l³ ÃjË�ÃjÐDCoÊ¡Ä�ËûÃRCg/mNfÊ�Ï�ÈfÄ2. ÈjÏ � ²

´�µ'¶ C äÀÊFJÀË%/ÒÈfË�ÈjÏ�C äÀÊF1�Ê-Cg1 ì IfÄoÈKJ%p]1 ï ´ ÃjËÀÉ ¶´�·'¶ C äÀÊF/ÑËjCoÊ¡Ä21oÊ¡Î�Cg/ÑÈfË�ÈjÏ�CoäÀÊF1oÊ�Cg1 ì IfÄ�ÈKJ]p]1 ï ´ ÃaËÀÉ ¶´¹¸º¶ C äÀÊF1�Ê-C ì IfÄ�ÈKJ]p ï ´ /D1ÍÃ�12J],]1�Ê-C!ÈjÏ�CoäÀÊF1oÊ�C ì IfÄoÈKJ%p ï ¶

Page 5: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� ë

»e¼ ´ C äÀÊ�ÊKÐÒÊ�.®Ê¡Ë9C » /D1ÍÃ�.�Ê-.k,<ÊKÄ0ÈjÏ�C äÀÊF1oÊ�C ì IfÄ�ÈKJ]p ï ´´¾½ » C äÀÊF1�Ê-C ì IfÄ�ÈKJ]p ï ´ ÎKÈfË9C Ã�/ÑË]1�C äÀÊ�ÊKÐÒÊ�.®Ê¡Ë9C »»�¿¼ ´ C äÀÊ�ÊKÐÒÊ�.®Ê¡Ë9C » /D10ËÀÈ�C�Ã�.®Ê�.k,NÊ¡Ä0ÈjÏ�C äÀÊF1�Ê-C ì IfÄ�ÈKJ]p ï ´

´ ­ÁÀ�ÂMÃ|Ä�Ä�ÄÆÅ C äÀÊF1�Ê-C ì IfÄ�ÈKJ]p ï ´ ÎKÈfË]1�/D12C�1�ÈaÏ'ÃjÐÑÐ Â 1 ÃRC�/Q1�Ï l�/ÑË]I�C äÀÊ�ΡÈjËÀÉ]/DC�/ÒÈfË Ä�Ä�ÄÇ C äÀÊ�Ê-.0p%Col;1oÊ-CÈ C äÀÊF12J]. ÈjÏÉ C äÀÊFpÀÄ�ÈFÉ%JÀÎ-CÍÈjÏ

ÐQ/Q.Ê�ËfÊ|Ì C äÀÊ�ÐD/Q.�/DCVÃ�1�C äÀÊ5NaÃjÄ2/ Ã�,ÀÐÑÊSÍ�ÃRp]pÀÄoÈfÃjÎ äÀÊ�1BC ä�ÊFNaÃjÐDJÀÊ4Í!ÎÏ C äÀÊF/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjÐ4ÃjÄ�ÈKJÀËÀÉ�à ΡÐÑÈK1oÊKÉ3Î-JÀÄ2NjÊ ÈaÏÐ!¶ C äÀÊF,NÈKJÀËÀÉÀÃjÄ2l�ÈaÏ�CoäÀÊ�ÄoÊ�I�/ÒÈfËy(Â�Ñ C äÀÊ�ÎKÈK.0p�ÐÒÊ�s�ΡÈfË�T2J]IUÃRCoÊ�ÈjÏ�CoäÀÊ�ΡÈK.�pÀÐÑÊ�s;NaÃjÄ2/ Ã�,�ÐÒÊ ÂÒ ÃjË�ÃjÐDCoÊ¡Ä�ËûÃRCg/mNfÊ�Ï�ÈfÄ2. ÈjÏ Â Ñ

Ó ì  ï C äÀÊ�Ä�Ê�ÃjÐ�pÀÃjÄ2C�ÈjÏ�C äÀÊ�ÎKÈK.0p�ÐÒÊ�seNaÃjÄ�/ÒÃ�,ÀÐÒÊ ÂÔ ì  ï C äÀÊF/D.hÃ�I�/ÒËûÃjÄdl�pûÃjÄdC!ÈaÏ�CoäÀÊ�ΡÈK.�pÀÐÒÊ|s;NaÃjÄ2/ Ã�,ÀÐÑÊ Â

Õ Ö ¦� #�K��¤�×�¤ ¬�Ø ¯°¬�Ù Ú��¡±uÛ Ü�£�¦�­0ªhס¬®¦�¤

* Ê-C��+1~T2J].�p�Ä�/QIjäjCB/ÑË�ÃjËÀÉr,<Ê-IK/ÒË;AB/mC är1oÈK.®Ê�ÉÀÊ-�ÀË]/DC�/ÒÈfË]1KåÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ=ä�ç �ûý������Sè7�Òý2é}è7�m��6ký�ê �Q�;ë��P ýoè7P ý��Zý�6ûÿ��jÿ�����6�� 6�ì�í��Oî�ÿ �ûýz�Zý�ÿ À� å à ÂMÃ�ïð ÅKñ ��67��ÿ��ûý!ý2éfÿný�67�Pý��k�����Sè7�Òý2éfè7�m��6kýv�Q�~ê µ À ð ÅKñ�ò �ûý�P ý À ð Å �Q�0ÿ �ûýv��� 6�ó��Òý�è���� 6ûÿ��jÿ{� 6Oô�6��îÿ������P|P ý��oè���67��� 6�ó®ÿo�®ÿ��ûý���P|�mó�� 6�?�67�Pý�P�ÿ��ûý�ÿ=P2��6%��O��P����jÿ=����6 Â�õ Â�ö�÷�øÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æDùûú 6���P�ó�?��hý�6ûÿu�  �Q����6�����6ký�� ÿ��ûý}6�?@��8�ý�Pg�4üSý ��þ{ÿ ñ�ò �ûý�P ý Â�����������67� ÿ �Q�}��6<� 6ûÿêý�óPý�P ø ç �ûý�è7P|� 6����#è%��������Æ?ûý�� ÃjÄ�I ì  ï5���jÿ=�Q��ô)ý�� � þ ï ÃjÄ�I ì  ï�� þÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ��ûú P ý�ó�����6�� ¸ ê �Q�}��ëV6���6��oý��SèNÿ���î;����6�6ký���ÿêý��y��èûý�6���?%8��Zý�ÿB��ê øÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ���� ¸ � �Q���y��� �Sè7�Òýe���Q���Zý�����?@P�jýrë�� ø � ø � ø îå� � �Q���<����6ûÿ�� 6�?���?j��� ����óPýe�� ÷��ûÀ� å à ÂMÃ�� { ÅÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ��ûú |?@6���ÿ=����6����y�����Sè7�Òý2é����P|�=�98��Òý  �Q�}�e����è9è7� 6�óf|Pg��� � ÿ�5ê

Page 6: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� ç

" JÀËÀÉûÃ�.®Ê¡Ë9C ÃjÐ�C Ȯà É]/Q1�Î�J]121�/ÑÈfË3ÈaÏ7ÎKÈK.0p�ÐÒÊ�shÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1B/Q1�C ä�Êz/D1�12JÀÊ�ÈjÏ7É%/D�<Ê¡ÄoÊKË9Cg/ Ã�Cg/ÒÈjË ö7í Ê1 ÃOl�CoäûÃRC�Ã&Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË"!�å � õ ê /Q1 ��� ²�ý�P ý�6ûÿ=�=�98��Òý ÃRCfC äÀÊFpNÈK/ÒË9C  Π¼ � / Ï!$# ì Â Î ï ­ ÐD/Q.%dË&%�Ì ' ! ì  ï(� ! ì  Πï �  Π) ìR{Zï

Ê�s@/D12Cg1CÃjËÀÉF/D1�J�Ë]/QijJÀÊ öÇí Ê�CoäÀÊ¡Ëz1 ÃOl5CoäûÃRCÇÃB1�/ÒË%IfÐÒÊ(éVNaÃjÐQJ�Ê¡ÉõÏ�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË*! ì  ï /D1 ë2�����Sè7�Òý2é-îu��67���Æ�aÿ=��� ñP ý�ó�?@�m��PB��P������Q���e��PVè������ /ÒË � /ÑÏ+! # ì  ï Ê�s@/Q1dCg1 ì ÃjËÀÉ�/Q1©Î¡ÈjËjC�/ÒËjJÀÈKJ%1 ï Ã�CCÊ¡ÃjÎ äkpNÈK/ÒË9C�/ÒË ��ö~" /ÒËûÃaÐÒÐDl �! ì  ï /D1 ý�6ûÿ=� P ý / Ï�/DC�/Q1CäÀÈfÐÑÈK.�ÈjÄ�pÀä]/ÑÎmÊ-NfÊKÄ2ljAÍäÀÊKÄoÊB/ÒË ê�� ÈfÄ �hý�P����e��PVè������ /ÑÏ�/mCg17ÈjËÀÐDlF12/ÒË]IKJ�Ð ÃjÄ2/DCg/ÑÊ�1/ÒË ê ÃjÄ�Ê5p<ÈfÐÑÊ�1 ì 1oÊ¡Ê�Ð Ã�C Ê¡Ä ï�ö,*- Þjã/.�Þ10 ä�æ=ä32 54 �76 ý98;: � ! ì Í ý<8>=Àïz�Q����� ²�ý�P ý�6ûÿ=�=�98��Òý}�jÿ  Π� Í!Î ý?8;= Î ñ ÿ �ûý�6 6 ��67�:���P ý���� ²�ý�P ý�6ûÿ��=�98��Òý�����|?@6���ÿ=����6%����ÿ ò ��P ý����@���P|�=�98��Òý�� 6A�B6 ì ÍDC =Àï ñ : � :<ì ÍDC =ÀïF��67�FE

Ð 6Ð Í � Ð :Ð =Ð 6Ð = � � Ð :Ð Í C ì � ï

��67�;��P ý5:�6�� ò 6�����ÿ �ûýHG���?��������;IB� ý�����6�6 ýKJ�?]�jÿ=����6%� øL ã/.�ã$MNMNOP.RQ ä�æ=ä32 ! �Q�y�jÿz�Òý�����ÿ�ÿ ò ��� ýr��� ²�ý�P ý�6ûÿ=�=�98��Òý�� 6S� ñ ÿ �ûý�6 ÿ �ûýyP ý����B��67��� ����ó�� 67��P|�è%��P(ÿ��}��P ý�8��Aÿ ���%��P|�e��6����h|?�6���ÿ�����6%��E

Ð í 6Ð Í í ý Ð í 6Ð = í � óÐ í :Ð Í í ý

Ð í :Ð = í � ó"T ì æ ï

Æ0äjJ]1 � 6 ÃjË�É : ΡÃjËÀËÀÈRCõäûÃONjÊ�.�Ã�s@/Q.�Ã&ÈfÄB.0/ÑË]/Q.�Ã}/ÑË � ÃjËÀÉ�1oÈ�ÃjË9ly12C Ã�Cg/ÒÈjËûÃjÄ2l;p<ÈK/ÑË9Cg1B.kJ]1dC,NÊ'1 ÃaÉÀÉÀÐÒÊ�p<È�/ÒË9Cg1 ö ô Ê¡ËÀÎKÊ � C äÀÊ-/ÒÄ�,]/QIKIjÊ�12C�ÃjËÀÉ�12.hÃaÐÒÐÒÊ-12C�NaÃjÐQJ�Ê�1�ÃaÄoÊ�Ã�C�C ÃR/ÒËÀÊKÉ ÈfËÀÐml$ÈfË C ä�Ê,NÈKJÀËÀÉûÃaÄ2l Ð � ÈaÏ ��ö

$ 1eAB/mC ä$Ï�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË%1hÈjÏ�ÃþÄoÊ¡ÃjÐ�NaÃjÄ2/ Ã�,�ÐÒÊ � AVÊ'.hÃOl$ΡÈfË%1�/ÒÉ�Ê¡ÄepNÈ�AVÊKÄe1�Ê¡Ä�/ÑÊ�1�Ê|s@pûÃjË]12/ÒÈfË]1�ÈjÏΡÈ�.0pÀÐÑÊ�s�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË]1 öB" ÈjÄ!ËÀÈ�AûA Ê�� ÐÒЩÐÒÈPÈfÅ�Ã�CõäÀÈjÐÒÈK.®ÈfÄ�p�ä]/ÒÎ�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË]1 � ,]J@C�Ð Ã�C Ê¡ÄfA Ê�� ÐÒЩÊ�s�CoÊ¡ËÀÉÈKJÀÄ�É]/D1oÎ�J%1�1�/ÑÈfË'CoÈe/ÒË�ΡÐQJ�ÉÀÊ�Ï�J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1BAB/DCoä'12/ÒË]IKJ�Ð ÃjÄ2/DCg/ÑÊ�1 ö�$ 1�AB/DC ä3ÄoÊ¡ÃjÐÇÏ�J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1 � / Ï�! ì  ï �UWVXZY Î » X  X � CoäÀÊ¡Ë�CoäÀÊ#É�Ê¡Ä�/mNaÃRCg/mNfÊ�ÈjÏ�C ä%/Q1ÍÏ�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË'/Q1�IK/DNjÊ¡Ë�,9l"! ì  ï � UAVX[Y ÷]\ » X  X ö�÷ öu� ÃjÎ äpNÈ�A Ê¡Äu1oÊKÄ�/ÒÊ-1!äÀÃ�1õà P2�9��� ?j���k����6�jý�P�óPý�6�� ý��/^k� 1�JÀÎ ä'CoäûÃRC U VXZY Î » X  X ΡÈfË9NjÊ¡Ä�IjÊ�1õÏ�ÈfÄ Ã ÂMÃ]ï ^ÃjËÀÉ�É]/mNfÊ¡Ä2IfÊ�10Ï�ÈfÄ Ã ÂMÃ1_ ^&ö

Page 7: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� Ó

í Ê�.hÃOl J]1oÊ�p<È�A Ê¡Ä�1�Ê¡Ä�/ÑÊ�1�Ê|s@pûÃjË]12/ÒÈfË]1�C È ÉÀÊ��ûËÀÊ ÎKÈK.�pÀÐÒÊ|s NjÊ¡Ä21�/ÒÈjË]1�ÈjÏ�1�ÈK.®ÊIÈjÏXÈKJ�ÄÏ�ÃONfÈKJ�Ä�/DCoÊ�ÄoÊ¡ÃjÐzÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË]1¡å

Ê|s@p ì  ï � VÈXZY Î Â X\a` � {�ý  ý  í� ` ý Ä�Ä�Ä

1�/ÒË ì  ï �  � Â�bæ ` ý Â�cë ` � Ä�Ä�ÄΡÈK1 ì  ï � {d�  í� ` ý Â�e¢ ` � Ä�Ä�Ä T ì ¢ ï

têË�ÃjÐÒÐ!C ä�Ê�1oÊ�ΡÃ�1oÊ-1�C äÀÊ�ÄoÃjÉ]/QJ%1)ÈjÏÇΡÈfË9NjÊ¡Ä�IjÊ¡ËÀÎKÊ�/D1 ^ � ð ö�f È�CoÊ4C äûÃRC � AB/mC ä;C ä%/Q1)ÉÀÊ��ûË]/mCg/ÒÈjË�ÈjÏÊ�s@p ì  ï�� CoäÀÊFJ]1�JûÃaÐÇÄ�Ê�12JÀÐDC ñ Ê�s@p ì  ÷ ý  í ï � Ê�s@p ì  ÷ ï Ê|s%p ì  í ï äÀÈfÐÑÉ]1 ö

$ 13ÃjË /ÒË9C Ä�ÈFÉ]J�Î-Cg/ÑÈfË C È�.�ÈjÄoÊ Î¡ÈK.�pÀÐD/ÒÎ�Ã�C Ê¡É Ï�J�ËÀÎ-C�/ÒÈfË]1 � ΡÈfË%1�/ÒÉ�Ê¡Ä�C Ädl@/ÑË]I�C È$ÉÀÊ-�ûË�Ê�C ä�ÊΡÈ�.0pÀÐÑÊ�s�ÐÒÈKIUÃaÄ�/DCoä]. � ÐÑÈKI ì  ï�ö�í Ê�ÉÀÊ��ûËÀÊ 4 C È�,NÊ�îÐÑÈKIUÃjÄ2/DC ä%. ÈaÏ Â /ÑÏ

Â*� Ê�s@p ìN4�ï ì ë ït Ï~A Ê5AÍÄ�/mC Ê 4 �B6 ý?8;:!� CoäÀÊ¡Ë

Âg�h��i]j ÎKÈK1 ìk:�ï{ýl8nmZ8 \ ìN:Fïpo ì ç ïÃjËÀÉyC ä�Ê¡ÄoÊ�Ï�ÈfÄoÊ � /ÒËypûÃjÄdCg/ÑÎ�JÀÐÒÃjÄ � à ÂMÃ��h� i ö�" ÈfÄ2.hÃjÐÑÐDl � A Ê�Î�ÃjËyAÍÄ�/mC Ê4 � ÐÒÈKI ì  ï � ÐÒÈ�I ì à ÂMà ï{ýl8 ÃjÄ�I ì  ï�ý?8 ì ��þrq ï C q ¼�s ì ÓjïAÍäÀÊKÄoÊeA Ê�äûÃONfÊhÉÀÊ-�ûË�Ê¡É � þ ï ÃjÄ�I ì  ïH� þ ö�í /mC äIÃjÄ�I ì  ï Ä�Ê�12CoÄ�/ÑÎ-C ÊKÉ�C È�C ä]/D1 Ä�Ê�IK/ÑÈfË � Ê¡ÃjÎ äÎ äÀÈK/ÑΡÊ�Ï�ÈfÄqCoäÀÊS/ÑËjCoÊ�IfÊKÄ&q012p<ÊKÎ�/m�ûÊ�1Íà 8�P2��6���� ÈaÏ�C äÀÊõÐÒÈKIUÃaÄ�/DCoä].�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË ö Æ0ä�Ê è7P|� 6����#è%���$����Æ?ûýÈjÏCÐÒÈKI ì  ï /Q10È�,%C Ã�/ÑËÀÊ¡Éy,9ly1oÊ�C�C�/ÒË]IHq � ó öf È�CoÊ;C äûÃ�C�IK/DNjÊ¡Ë�1�ÈK.�ÊhÉÀÈK.�Ã�/ÒË � ì AB/DCoä/ó ¿¼ ��ï�� CoäÀÊ¡Ë/ÈfËÀÎKÊ;AVÊ�12p<ÊKÎ�/ Ï l�CoäÀÊ;NaÃjÐQJÀÊ�ÈjÏÐÒÈ�I ì  Πï Ï�ÈfÄz1oÈK.®Ê  Π¼ �y� CoäÀÊ¡Ë ÐÑÈKI ì  ï /D1�JÀË%/QijJÀÊ¡Ðml ÉÀÊ-�ÀËÀÊ¡ÉtÈfË ��öþì Æ0ä]/D1�/D1 Ê-ijJ]/DNaÃjÐÑÊ¡Ë9C�CoÈ1�pNÊ¡Î-/ÑÏ l�/ÒË%I�CoäÀÊF,ÀÄ ÃaËÀÎ ä ï�ö

ô È�A Ê-NfÊKÄ � /mC�/Q1�/Q.�p<ÈK121�/D,ÀÐÒÊ4CoÈ�ÉÀÊ��ûËÀÊ&ÐÑÈKI ì  ï /ÑË�Coä]/Q1fAVÃ�l�/ÒË3ÃjË9l�ÉÀÈK.�Ã�/ÒË�AÍä]/ÑÎ ä�ΡÈjËjC Ã�/ÒË%1Ã�1�/D.0pÀÐÑÊ�ΡÐÑÈK1oÊKÉ3Î-JÀÄ2NjÊzAÍä%/ÒÎ ä�Ê¡ËÀÎ-/ÒÄoÎKÐÒÊ-1BCoäÀÊ�ÈfÄ�/DIK/ÒË � 1�/ÑËÀΡÊ�ÐÑÈKI ì ó ï /Q1fJÀËÀÉ�Ê-�ûËÀÊKÉ ö

" ÈfÄ'ÃjË9l�äÀÈfÐÑÈK.®ÈfÄ�pÀä%/ÒÎ�Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË � ! ì  ï�� AÍä]/ÒÎ äk/D1~.�ÃjË9lFNjÃaÐQJÀÊKÉ ì / ö Ê ö äûÃR1~1oÊ�NfÊKÄ ÃjÐ],�Ä ÃjËÀÎ ä�Ê�1 ï|�ÃupNÈK/ÑËjC  Î~AÍä]/ÑÎ ä},NÊ¡äûÃONjÊ�1h/ÒËFC ä�Êv1 ÃR.�Ê�A)ÃOl#Ã�1�CoäÀÊÁÈfÄ�/DIK/ÒË�Ï�ÈfÄÇÐÒÈKI ì  ï /Q1ÇÄoÊKÏ�ÊKÄoÄ�Ê¡É}CoÈ�Ã�17à 8�P2��6����è���� 6ûÿ�ö têË�12JÀÎ ä�Ã�1�/mCgJûÃ�Cg/ÒÈjËt! ì  Πï .�ÃOl�ÈfÄf.�Ã�lhËÀÈ�C�,NÊ�ÉÀÊ-�ûË�Ê¡É ö

Æ0äÀÊ¡Ä�Ê Ê|s@/Q12C�1�Ã�pNÈ�AVÊKÄ�1�Ê¡Ä2/ÒÊ�1�Ê�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË�Ï�ÈjÄ�C äÀÊ�ÐÒÈ�IUÃjÄ�/mC ä]. � IK/DNjÊ¡Ër,9lÐÒÈKI ìn{qý  ï � VÈXZY ÷ ìu��{>ï XZv ÷  X\ �å �  í� ý Â�b

æ � Ä�Ä�Ä C ì è ï

Page 8: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� è

AB/DCoä Ä ÃjÉ]/DJ]1�ÈjÏ Î¡ÈfË9NfÊKÄ�IfÊKËÀÎ¡Ê ^ � {fö têËIÃaÉÀÉ]/DC�/ÒÈfË � ÃjÐÒÐ~p<ÈK/ÑË9Cg1�ÈfË�C ä]/D1�Î�/ÑÄoΡÐÑÊXÃjÐQ1�È�ΡÈfË9NfÊKÄ�IfÊ �Ê�sFÎKÊ�p%C�Ï�ÈfÄ Âw� {fö

$ ËÀÈRC äÀÊKÄ#Ê�s�Ã�.�pÀÐÑÊ�ÈjÏ)Ã�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË�AB/mC ä�,ÀÄ ÃjË�Î äÀÊ�1k/D1FpÀÄoÈ�N�/ÒÉÀÊKÉn,9l�C äÀÊ®Ï�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË 4 � Â�x �AB/DCoä »e¼ ê�ö Æ0ä]/D1ÍÎ�ÃjËy,NÊz1�Ê¡ÊKË',9l4 �  x � Ê|s@p j » ÐÒÈKI ì  ïpo� Ê|s@p j » ì ÐÑÈKI ì � ï�ýl8Vüfïno T ì�òfï

ô ÊKÄoÊ5A Ê�äÀÃ�NjÊF1oÊ-C Â*�B��� �� ö tVCB/Q1qC äÀÊ�Î äÀÈ�/ÒΡÊ�ÈjÏÇÄoÃjË]IfÊ�Ï�ÈfÄ ü@� Ï�ÈfÄ)Ê|s�Ã�.0p�ÐÒÊ � þ ï üy� þ � C äûÃ�C1�pNÊ¡Î-/D�ûÊ-1�CoäÀÊ�,ÀÄ ÃjË�Î ä ö�f È�CoÊfC äûÃRC�CoäÀÊÍÎ äÀÈK/ÒÎKÊu,NÊ¡ÎKÈK.®Ê�1�JÀËÀËÀÊKΡÊ-1�1 ÃaÄ2l0/ÑÏ »e¼{z � ,<ÊKÎ�Ã�J%1oÊS/ÑË�C ä]/D1Î�ÃR1oÊFC äÀÊ�Î äÀÈK/ÑΡÊ�ÈjÏ'ÃXÉ%/D�<Ê¡ÄoÊKË9Cu,�Ä ÃjËÀÎ ä�.�ÊKÄoÊKÐDl�Î äÀÃjË]IfÊ-1 Â�x ,9l � í}| ��~<� {fö Æ0ä]/D1B�%Cg1BAB/DC ä�ÈKJ�ÄÊ¡ÐÑÊ�.®Ê¡Ë9C ÃaÄ2l�ÉÀÊ��ûË]/mCg/ÒÈjË�ÈjÏ Â XÀö���@O+0��aM�Þnä�æ=ä 8 � � Ê|s%p j 8 ÐÒÈ�I ìN8 ïpo� Ê|s%p{� 8��R8 þ � ýl8 ��þrq��D�� Ê|s%p{� �h� ��q ý {

� �}þ��BT ìR{ ó ï

ç ���Q��ÿ���:Uý��z� 6Oô�6��îÿný��Æ������6��e���Q��ÿ�� 6���ÿ .�Þ�O�M ����Æ?½ý�� ø���@O+0��aM�Þnä�æDù 4 �[Â����}��ñ�ò �ûý�P ý�� ¿�� �Q�0�rP��jÿ=����67���~6�?���8�ý�P�� 6��Q� ò ý���ÿÍÿêý�P|�}� ø 2 6Iÿ ���Q�;�����Zýò ýk��8¡ÿ���� 6��u|?@6���ÿ=����6 ò �îÿ � � 8�P2��6����ûý�� ñ �%���� 6�ó Â*� ó ������8�P2��6����kè���� 6ûÿ ø

wVÈfË]12/ÒÉÀÊKÄ�C ä�Ê;1�pNÊ¡Î-/ ÃjÐmÎ�ÃR1oÊ 4 ���  ö�í Ä2/DC Ê Â{�������� � ó ��ü ï ��þ ì Ë�È�C ÊhÃ\É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9C �.®ÈfÄoÊ�ΡÈfË9NjÊ¡Ë]/ÑÊ¡Ë9CÍÎ äÀÈK/ÑΡÊ�ÈjÏ©ÄoÃjË]IfÊ!äÀÊ¡Ä�Ê ï(ö Æ0äÀÊ¡Ë 4 �B������� � AB/DC ähó �B� ï þ � AÍä�Ê¡ÄoÊ �w� ý � �ÃjËÀÉ � � ü ¿ � ö

ÊKÈK.®Ê-C Ä2/ÒΡÃjÐÒÐml � C ä�Ê�AÍä�ÈfÐÒÊÁΡÈK.�pÀÐÑÊ�sFpÀÐÒÃjËÀÊhAB/DCoäzCoäÀÊ�p<ÈK12/DC�/DNfÊ�Ä�Ê�ÃjÐeÐD/ÒËÀÊ�Ä�Ê�.®È�NjÊ¡É�/Q1�.hÃRp]p<ÊKÉC È�CoäÀÊFJ]p]pNÊ¡ÄÍäûÃjÐ Ï~pÀÐÒÃjËÀÊ ì 1oÊ¡ÊF,NÊ¡ÐÑÈ�A ï

$ 1zAVÊ®äûÃONfÊ�É�Ê-�ûËÀÊKÉl!Så 4 í �� � /mC�ÉÀÊ-�ûË�Ê�1 Ãy,ÀÄ ÃaËÀÎ ä ÈjÏ �  AB/mC ä Â�� ó3Ã�1#Ãy,ÀÄoÃjËÀÎ äpNÈK/ÒË9C öCí ÊF.kJ]1dC0äûÃONfÊ Ã&Î�J@C�ÃjÐÒÈfË%IkC äÀÊ5pNÈK1�/mCg/mNfÊ�Ä�Ê�ÃjÐzÐD/ÒËÀÊu,<ÊKÎ�Ã�J%1oÊFAVÊ�ΡÃjËÀËÀÈ�CBpNÈK121�/Q,�ÐDl�äÀÃ�NjÊΡÈjËjC�/ÒËjJ]/mCol;C äÀÊKÄoÊF1�/ÑËÀΡÊg! ì ¢ ï � � � ,]J%C�! ì ¢ � �� ï õ � �XÃ�1 ü õ ��þ Ï�Ä�ÈK. ,NÊ¡ÐÒÈ�A ö

Page 9: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� ò

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �z-plane w-plane

¶Áµ�¶ ·e¸VºÀùD�Á»�Z7º�cn¿V¸ Zm¸4_¡ �Zm¼�¾M§�\g¢�¹¤£n§�ù©¿Á»ûù�Xí Êf1oäûÃjÐÑÐÀΡÈjË]1�/ÑÉÀÊ¡ÄmÎ�J�Ä2NfÊ-1�¥ /ÒËkC ä�Ê Â éopÀÐÒÃjËÀÊ � pûÃjÄ ÃR.�Ê�C Ê¡Ä2/QEKÊ¡É�,9lXÃ51�/ÒË%IfÐÒÊ)Ä�Ê�ÃjÐ@NjÃaÄ�/ ÃR,ÀÐÒʧ¦ ö C äûÃ�C/Q1�CoÈ�1 ÃOl � ¥ �¹À[¨ ì ¦ ï � �7ì ¦ ï{ý?8;©õì ¦ ï à ¦ ¼ j ó]C {�o Å C ìR{f{>ïAÍäÀÊKÄoÊ � ÃjË�É © ÃjÄoÊ ÎKÈfË9Cg/ÒËjJÀÈ�J]1oÐml-É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9Cg/ÒÃ�,ÀÐÒÊ�Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË]1�ÈjÏw¦ ö�$ pÀÃjÄ2C�/ÒÎ�J�Ð ÃjÄ�ÐDl�J%1oÊKÏ�J�ÐÊ�s�Ã�.�pÀÐÑÊ5/Q1�AÍäÀÊKË�¥)/D1ÍÃ�JÀË%/ÒÈfË�ÈjÏCÐQ/ÑËÀÊ41oÊ-IK.®Ê¡Ë9C � ÈfÄB/ÑË�È�C äÀÊKÄfAVÈfÄ�É]1 � Ã�pNÈfÐDl�IfÈfË ö

tVC'/D1yJ]1oÊ�Ï�JÀÐ5C È�,<Ê Ã�,ÀÐÑÊ�CoÈ É�Ê-�ûËÀÊ�C ä�Ê ÐÑÊ¡Ë]I�CoäðÈaÏk1�J�Î ä:Ã$Î-JÀÄ2NjÊ ö têË IfÊ¡Ë�Ê¡Ä ÃaÐ � ¨ ì ¦ ï /D1Î�ÃaÐÒÐÒÊKÉ P ý���ÿ�� ôq�98��Òý /ÑÏ�12J]p À U ÐÒÊKË]I�Coä�ÈaÏ~/ÑË]1oÎKÄ�/Q,NÊ¡É�ÐD/ÒËÀÊ41�Ê�IK.®Ê¡Ë9C�1 Å Ê|s@/Q12C�1 � ÃjËÀÉ�/ Ïq1�È � C äÀÊKË<C ä]/D1ijJûÃjË9Cg/mCol�/Q1mÄoÊ�Ï�Ê¡ÄoÄ�Ê¡ÉeCoÈ&Ã�1�C äÀÊ �Òý�6�ójÿ � ÈjÏ�CoäÀÊ!Î-JÀÄ2NjÊ ö tVCq/Q1ÁΡÐÒÊ¡ÃjÄ�C äûÃRCVÃ�J�Ë]/ÒÈfË®ÈjÏ4ÐD/ÒËÀÊÍÊKÐÒÊ�.®Ê¡Ë9C�1/Q1ÍÄ�Ê¡Î-C�/D�½ÃR,ÀÐÒÊ�ÃjËÀÉrC äûÃ�C�CoäÀÊ#ÐÑÊ¡Ë]IRC är/Q1ÍÊ�ijJûÃjÐ�C È�C ä�Ê�12J].�ÈjÏ~CoäÀÊ ÐÑÊ¡Ë]IRC ä]1�ÈjÏ~CoäÀÊz/ÒËÀÎKÐQJÀÉÀÊKÉ3ÐD/ÒËÀÊ1oÊ-IK.®Ê¡Ë9Cg1 öª .�ã/�hã$«Oá â�á�ãMà ä�æ�äh¬ ?%8>­�ý���ÿmÿ�®ÿ �ûý�����67���îÿ=����6%�F� 6ûÿ�Pg����?�� ý������B-��P�E®R¯ ! ì  ï+° Â*� ® ÷Î ì 6 ý?8>:Fï¡ì;� # ý?8>© # ï+° ¦ ìR{ � ï,*- Þjã/.�Þ10 ä�æDù¤± L O�²r³ - Q(´�« ,*- Þjã/.�Þ10?µ·¶ ý�ÿ�� 8�ý0�y��� �Sè7�Æ�¸������6�6ký���ÿný��r��������� 6�� 6rê ñ ��67��Òý�ÿ ¥ 8�ýk�}è7� ý�� ý ò �Q�Zý}��� ²�ý�P ý�6ûÿ��=�98��ÒýF��� �Sè7�Òý����Q���Zý��r��?@P�jý®ý�6ûÿ�� P ý��Æ������6ûÿ���� 6ký��;� 6 ÿ��ûý}� 6ûÿný�P|����P�&� ñ ÿ �ûý�6 ñ � ! # ì  ïXý2éK�Q��ÿ �hO��P&ý������kè���� 6ûÿ  ¼ �® ¯ ! ì  ï+° Â*� ó"T ìR{ æ ïf ÈRC Ê5C äûÃ�CB1�/Q.�pÀÐÑÊ�éêÎKÈfËÀËÀÊKÎ-C�/DN�/DCol�ÈjÏ � /Q1fJ%1oÊ¡ÉyC ȮʡË%1�JÀÄ�ÊzCoäÀÊ�Ê�s@/Q1dC Ê¡Ë�ΡÊ�ÈjÏ'à ÉÀÈ�.hÃ�/ÑË � ÷ ¸ �AÍäÀÈK1�Ê�,NÈKJÀË�ÉûÃjÄ2l;/Q1d¥ ö

Page 10: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { ó

" ÄoÈK.aCoäÀÊyp<È�/ÒË9CXÈjÏSN�/ÑÊ-A ÈaÏ4pÀä9l�1�/ÑÎ�/Q1dCg1 � C ä]/D1�/Q1XÈfËÀÊ�ÈjÏuC äÀÊy.®ÈK12C�/D.0pNÈfÄ2C ÃjË9CkC ä�Ê¡ÈfÄ�Ê�.�1ÈjÏ�ΡÈ�.0pÀÐÑÊ�s ÃjËûÃjÐml�1�/Q1 ö Æ0äÀÊ�p�ÄoÈPÈjÏ�/Q1k1�ÈK.�Ê�AÍäûÃRC�/ÑËjNjÈfÐDNjÊ¡É � ÃjËÀÉ�t5AB/ÒÐÑÐVËÀÈRC�IfÈ</ÒË9CoÈ</DC äÀÊKÄoÊ öÌ�ÃRC äÀÊKÄ � t�� ÐÒÐRT2J]1dCqI�/DNfÊ�ÃF1�/D.0pÀÐÑÊ0ÉÀÊ�.®ÈfË]1dC ÄoÃRCg/ÑÈfË�C äûÃRC�CoäÀÊfC äÀÊKÈfÄoÊ-. /Q1hC Ä2JÀÊBJÀËÀÉÀÊKÄ�CoäÀÊu1dC Ä�ÈfË]IfÊKÄÃ�121�J].�p%Cg/ÑÈfË�C äûÃ�C¹! ì  ï /D10äÀÈfÐÒÈ�.�ÈfÄ2pÀä]/ÑÎS/ÒË �+ì / ö Ê ö ! # ì  ï Ê�s@/Q1dCg1!ÃjËÀÉr/Q10ΡÈjËjC�/ÒËjJÀÈKJ%1�/ÑË ��ïª .�ã�ã$ºzä�æ�� ® ¯ ! ì  ï+° Âg� ® ¯ ì 6 ° Í �»:1°F=�ï�ý?8 ® ¯ ìk:1° Í ý 6 °F=�ï ìR{ ¢ ï2 ¥ 8���?�67����ÿ �ûý}��������� 6�� ÷ ñ�ò ýz�����e��è9è7�Æ�W¼�P ý ý�6¾½ ��ÿ �ûý���P ý���E� � ®¿®�À�Á ' Ð :Ð Í ý Ð 6Ð = ) ° Í °�=4ý?8 ®¿®�À�Á ' Ð 6Ð Í � Ð :Ð = ) ° Í °F=� ó"C ìR{ ë ï8��®ÿ��ûýHG���?��������;If� ý�����6�6þýKJ�?%�jÿ�����6%� ø

� Ï©Ê�ijJûÃjÐM/Q.�p<ÈfÄdC ÃjË�ΡÊBC ÈkpÀä9l�1�/ÑÎ�/D12Cg1v/Q1)à ÄoÊ�12JÀÐDCqC äûÃ�C0ÃjÐÑÐÒÈ�AB1vJ]1�C È&ΡÃjÐÒÎ-JÀÐ Ã�C ÊuCoäÀÊuNaÃjÐDJÀÊ�1 ÈjÏ/ÒË9CoÊ�IfÄoÃjÐQ1 ö�$ 1BAVÊR� ÐÑÐ�1oÊKÊ � w)Ã�JÀÎ ä9l7��1uC ä�Ê¡ÈfÄ�Ê�. /Q10Ä�Ê�ijJ]/ÑÄoÊ¡ÉyC È�pÀÄ�È�NfÊFC ä]/D1 ö,*- Þjã/.�Þ10 ä�æ��3± L O�²r³ - Q(´�«yÂ-àMâ�Þ�Ã/.¸O+M�Ä{ã/.�0ŲrMNO$µS¶ ý�ÿ ! # ì  ï0ý2éK�Q��ÿ7� 6%���=�Pýmÿ �ûýf��èûý�6����Q��� ¶ ì  Î[C � ï øç �ûý�6}O��P&ý������kè���� 6ûÿ » ò �îÿ�� à » �  ΠÃjï¤�9ñ�ò ý4�%��jý! ì » ï � {

��þ 8 ®ZÆÈÇ ! ì  ï � » °  T ìR{ ç ïë��ûý�P ý Ð!¶ �¹À�Â�Ã~à  �  ΠÃ��3��Å î øª .�ã�ã$ºzä�æ�� ®ZÆÈÇ ! ì  ï

 � » °  � ®ZÆÈÇ¾É xËÊ ÌnÍ ! ì  ï � » ° Â� ÐD/Q.Ì Ë Î ® ÆÈÇ¾É xËÊ ÌnÍ ! ì  ïa� ! ì » ï � » °  ý ® ÆÈÇ¾É x�Ê Ì}Í ! ì » ï � » °  T ìR{>Ófïç �ûý�ô�Pg��ÿ7ÿêý�P|� ��6�ÿ �ûýuP|�mó��Pÿ��%��67�F���=�PýF����6r8�ý����9�PýS��P-8��îÿ�P2��P|� �Æ�z������� �78�ý�����?9�Zý�ÿ �ûýS� 6ûÿêý�ó�P2��67��Q�<8���?@67�Pý�����67� ÿ��ûý'�Òý�6�ójÿ � ��ÿ �ûý���� �Sè7�Òý����Q���Zý�����?@P�jý õ ó ø ú �kO��P�ÿ��ûýr�Zý�����67� ÿný�P|�*Î��?%8���ÿ��îÿ=?Fÿêý ¨ ì ¦ ï � » ý»Ï � ��Ð C ¦ ¼ j óPC(��þ o ìR{ è ï��67��ÿ �ûý�ô�67������6%� ò ý�P�ÿ �ûý�6�8�ý������hý�� � ® í}|Î ! ì » ïÏ � ��Ð 8>Ï � ��Ð ° ¦� ��þ 8 ! ì » ï C ìR{ZòUï���zP ýKJ�?@� P ý�� ø

Page 11: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� {f{

Æ0ä]/Q1S.kJ]12CS1oÊKÊ�. ÐD/ÒÅaÊ#ÃhÐÑÈ�C!ÈjÏmäÀÊ�ÃONjlUéêäûÃaËÀÉÀÊ¡É�.�ÃRC äÀÊ-.hÃ�Cg/ÒΡÃjÐ{.�ÃjÎ ä]/ÒË�Ê¡Ä2l � ,%J%C5t�� É�ÐQ/ÒÅaÊzCoÈpÀÄ�Ê�1oÊKË9C ÈjËÀÊ�.�ÈjÄoÊ}/D.0pNÈfÄdC ÃjË9C�Ä�Ê�12JÀÐDC5,NÊKÏ�ÈjÄoÊkA Ê�IfÊ-C�ÉÀÈ�AÍË<C È�1�ÈK.®Ê&Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ-1�ÈjÏÁäÀÈ�AÁCoäÀÊ�1�ÊC ä�Ê¡ÈfÄ�Ê�.�1!ÃaÄoÊ�Ã�p]p�ÐQ/ÒÊKÉ ö,*- Þjã/.�Þ10 ä�æ�Ѥ±Òª4ã1ÓkÞ�.AÔ�Þ�.�á=Þ1«Õ���@�rO�àr«Oá=ã7àr«¸µ�¶ ý�ÿ ! åwÖ õ ê ë Ö ��èûý�6�î ñ 8�ý������Sè7�Òý2é��� ²�ý�P ý�6ûÿ��=�98��Òý ñ ��67�e�Òý�ÿ ¶ ì  Î[C � ï�× Ö ø ç �ûý�6 ñ « �e?�6��NJ�?½ý�è�� ò ý�P4�Zý�P|� ý��! ì  ï � VÈXZY ÎPØ X ì  �  Πï X C ì �jó ï

ò �îÿ ��è������îÿ��ÙjýFP2�9��� ?9���}����6�jý�P�óPý�6�� ý�ë}Ú � î ñ � 6'�����hýF6ký��mó��%8���?�Pg���������  Πø >�?�P�ÿ �ûý�P|�e��P ý

Ø X � {��þ 8 ®�Û % ö %�Ì Û YPÜ ! ì  ï

ì Â � Â Î ï XZv ÷ ° Â C ì � {>ï

O��P ó ï¤�kï¤�7øÆ0ä]/D1�p<È�A Ê¡Ä�1�Ê¡Ä2/ÒÊ�1 � /ÑÏ�/mC7Ê|s@/Q12C�1 � .kJ%12Ch,NÊvJÀË%/QijJÀÊ � 12/ÒËÀÎKÊqA Ê0Î�ÃjË�J%1oÊBw)Ã�J�Î äjl7��1�/ÒË9C Ê-IfÄ ÃjÐeÏ�ÈfÄ2.kJÀÐ ÃC È�1�äÀÈ�A�C äûÃ�C Ø X � {\a` !

É X Í ì  Πï T ì �f� ïÆ0äjJ]1 � A Ê�äûÃONfÊ�Ï�ÈfÄ�.�ÃjÐÒÐml�1oäÀÈ�AÍË�C äÀÊ�Ê�s@/D12C ÊKËÀΡÊ�ÈjÏõÃ�pNÈ�AVÊKÄ�1oÊ¡Ä2/ÒÊ-1�CoäûÃRC�A Êr.®Ê¡Ë9C�/ÒÈfËÀÊKÉ

Ê�ÃaÄoÐQ/ÑÊ¡Ä ö¶Áµê÷ Wuc�¸Ý� ¼5bZ�»!cêº]cRù©¹ Zm¸4_ßÞ�Zm¼�»ûùǸVº W�ù©»!cnùǹÆ0äjJ]1�Ï�ÃjÄ�AVÊ&äÀÃ�NjÊ�,<ÊKÊ¡Ë�ÎKÈfËÀΡÊKÄoËÀÊKÉ<AB/DC ä3Ï�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË%1uC äÀÃRC�ÃjÄ�Ê�A Ê¡ÐÒÐ éêÉÀÊ��ûËÀÊKÉ�Ê-NfÊKÄ2ljAÍäÀÊKÄoÊ ö�í ÊËÀÈ�AåC�JÀÄoËyC È�CoäÀÊ5NjÃaÄ�/ÒÈ�J]1�A)ÃOl�1�/ÒË�AÍä]/ÒÎ äyC ä�Ê-l�Î�ÃaË�.�/Q12,<ÊKäûÃONfÊ öÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ�Ñûú |?@6���ÿ=����6 ! ì  ï��Q�}��� 6�ó�?��m��P��jÿ  Π� &ÿ��ûý�P ý��Q�k6���6ký��mó��%8���?�Pg���������  Π� 6ò �������y�îÿ��Q�5�����Q���e��PVè������ ø! ì  ï äûÃ�1®Ã<1�/ÑË]IKJÀÐÒÃjÄ�/mColIÃ�C »� ð /ÑÏdà ìNá�ï�� ÉÀÊ��ûËÀÊ¡É�,9lâà ìNá�ï ­ ! ì  ï ÃjËÀÉ á ­ Â�ö�÷ äÀÃ�1XÃ1�/ÑË]IKJÀÐÒÃjÄ�/mCol�Ã�C á � ó ö

Ý�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æäãåú ��� 6�ó�?@�m��P|�îÿ=�;�jÿ  Π�Q�z�Q�����m�jÿný���� ! �Q�5�����Q���e��PVè������}��6 ¶ ì  Î[C ÏjïKå À� ΠÅ@øÆ0äÀÊKÄoÊ ÃjÄoÊ4CoäÀÄoÊKÊzCol�pNÊ�1�ÈjÏ~/D1oÈfÐÒÃRC ÊKÉ�1�/ÑË]IKJÀÐÒÃjÄ�/mCg/ÒÊ-1¡å

{fö  Î�/Q1 P ý��e�¸��98��Òý / Ï � AB/DCoäIÃy1�J]/mC Ã�,�ÐÒÊ ÉÀÊ��ûË]/DC�/ÒÈfË ÈjÏ�! ì  Πï�� AVÊ®ÈK,%C Ã�/ÒËþÃ�Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË äÀÈjÐÒÈaé.®ÈfÄ�p�ä]/ÒÎ�ÈjË\ÃjÐÑÐkÈjÏ ¶ ì  Î[C Ïjï�ö

Page 12: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { �

� ö  Îu/Q1ÍÎ�ÃjÐÑÐÒÊKÉ3à è����Òý ÈaÏ�!</ÑÏ � Ï�ÈjÄ�1�ÈK.®Êzÿ Ú{K� CoäÀÊ�Ï�J�ËÀÎ-C�/ÒÈfËAà ì  ï � ì  �  Πï ~ ! ì  ï äûÃR1Ã�ÄoÊ�.®È�NaÃ�,ÀÐÒÊ�1�/ÑË]IKJÀÐÒÃjÄ�/mCol ÃRC  Πö Æ0ä�Êe1�.�ÃjÐÑÐÒÊ�1dC�NaÃjÐDJÀÊ®ÈjÏfÿ Ï�ÈfÄFAÍä]/ÒÎ ä�C ä]/D1 ÎKÈfËÀÉ]/mCg/ÒÈjËäÀÈjÐÒÉ]1f/D10Î�ÃjÐÑÐÒÊ¡É�CoäÀÊ ��P��Pý�P ÈjÏ�C äÀÊFpNÈfÐÒÊ�ÃRC  Πö

æ öu� C ä�Ê¡Ä2AB/D1oÊ �  Îu/D1�ΡÃjÐÒÐÑÊ¡É�ÃjË ý����Zý�6ûÿ=�=��� 12/ÒË]I�JÀÐ ÃjÄ2/DCol ö" ÈfÄÍÃjË�Ê�s�Ã�.�pÀÐÑÊ�ÈjÏ'ÃXËÀÈfËPéo/Q1�ÈfÐ Ã�C Ê¡É�12/ÒË]I�JÀÐ ÃjÄ2/DCol�1oÊKÊw! ì  ï � Î-1oÎ ì  ö�÷ ï�öÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ�æûú |?�6���ÿ=����6 ! ì  ïu�Q���hý�Pg���e��PVè������4��6�ÿ �ûýS��������� 6w�£� 4��� ���îÿ �B��� 6�ó�?@�m��P|�îÿ=� ý��� 6��¡��P ýz�Q�����m�jÿêý��;��67�06���6��oý����Zý�6ûÿ=�=��� øç�Þ]0�0�O�ä!æ=ä32 ! ì  ïq�Q���hý�Pg���e��PVè������ ñ ÿ �ûý�6k�Q������� �Æ� ! ì  ï��Q�0ý2é-è7P ý������=8��Òý����v�ÝJ�?��Aÿ=� ý�6ûÿ à ì Â ï ¿�è ì  ï ñò �ûý�P ý à ��67� è ��P ýk�����Q���e��PVè������ ø Gq��6�jý�Pg�Zý��Æ� ñ � à ��67� è ��P ýk�����Q���e��PVè������0��6������������ 6� ñ ��67� è·é­ ó ñ ÿ��ûý�6 à ì Â ï ¿�è ì  ïz�Q�z�hý�Pg���e��PVè�������ëDèûý�Pg�%��è�� ò �îÿ �rP ý��e�¸��98��ÒýS��� 6�ó�?��m��P��îÿ=� ý��oî øª .�ã�ã$ºzä�æäã ì ± ï5�Q�����Òý���P�|Pg���^�Pý�ô�6��îÿ�����6 ñ ­|?9��ÿÁÿV��:Uý è ì  ï � ì  �  Πï ~ì;êSïAE 2 è ì  Πï é� ó ñ ÿ��ûý�6 à ì Â ï ¿�è ì  ï��Q�0�����Q���e��PVè������e6ký���P Ââ�  Πø 2 è ì  Πï � ó ñ ÿ �ûý�6 ñ��� 6�� ý è �Q�������Q���e��Poè������ ñ�ò ýS������?j�Zý5�Sè�� ò ý�P��Zý�P|� ý�� ý2é-è%��6%������6��98���?Pÿ  Πÿo�®ý2é-è7P ý���� è ì  ï �ì  �  Πï ~Ýëè ì  Πï ñ�ò �îÿ � è ì  Πï é� ó ø

>�?�P(ÿ��ûý�P|�e��P ý à ì  ï � ì  �  Πïuì ëà ì  Πï ñ O��Pz�����hý q _ ó�í �îÿB������8�ýXÿ �%�jÿ à ��67� è ���6��Q����jÿmÿ��ûýu�����hýqè���� 6ûÿ  Πñ � 6 ò �������r�����Zý à ¿�è �%���5��P ý��e�¸��98��ÒýS��� 6�ó�?��m��P|�îÿ����jÿ  Î}î ø�ï ýk����6�6�� ò�Pý�ô�6ký à ì  ïè ì  ï � ì  �  Πï ì ö�~ ëà ì  ïëè ì  ï T ì �jæ ï

f È�CoÊ�äÀÈ�AåC ä�Ê�Ï�ÈjÐÒÐÒÈ�AB/ÑË]I&ÉÀÊ��ûË]/DC�/ÒÈfËypûÃaÄ ÃjÐÑÐÒÊ¡ÐD1qCoäûÃRCÍÈjÏ7Ã�pNÈfÐÑÊ�ÃjËÀÉr/DC�10ÈfÄoÉÀÊKÄ¡å

Ý�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ�ð�¶ ý�ÿ ! å/Ö õ êå8�ýk�0�����Q���e��Poè�������|?�6���ÿ=����6��Pý�ô�6ký��r��6������hý���èûý�6���?]8��Zý�ÿÖ ¸ ê ñ ��67�e�Òý�ÿ ! ì  Πï � ó øAï ý5������ÿ��%�jÿ  Π�Q�}�ÕñAý�Pg��� ! ñ ��67���Pý�ô�6kýF�îÿ�����P2�Pý�P ñ q ñ 8��hÿ �ûý����67���îÿ=����6 ! ì  Πï � ! # ì  Πï �ÁÄ�Ä�Ä�� ! É ì ö�÷>Í ì  Πï � ó C ! É ì Í é� ó ì �R¢ ït ÏVË�Èr12JÀÎ ä��ûË]/DCoÊkNaÃjÐQJÀÊÕq�Ê|s@/Q12C�1 ì / ö Ê ö ! É ��Í ì  Πï � ó ª ó �ò8 ï ð ï|� AVÊ�1oÃ�l�C äûÃ�C  Î�/D1�Ã

E¡ÊKÄoÈ�ÈjÏ�/ÒË@�ûË]/DCoÊ#ÈfÄ�ÉÀÊ¡Ä ö têË<C ä%/Q1�ΡÃ�1oÊ � C äÀÊXÃ�121�J].�p%C�/ÒÈfË�ÈjÏÁäÀÈjÐÒÈK.®ÈfÄ�p�äjl�/Q.�pÀÐD/ÒÊ�1�! ì Â Î ï ª  /ÑË1oÈ�.�Ê�ËÀÊ-/QIfäj,NÈfÄoä�ÈFÈPÉ�ÈjÏ Â Î ö

Page 13: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { æ

ä�æDù{æ=ä ç§O�²D.�Þ�àMâWÔ�Þ�.Rá�Þ1«í Ê�� ÐÒÐÇËÀÈ�AÁIjÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐD/QE¡Ê ÈKJÀÄup<È�A Ê¡Ä51oÊKÄ�/ÑÊ�1�É]/D1oÎ-J]1�12/ÒÈfË'CoÈhÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË]1SAB/mC ä�12/ÒË]IKJ�Ð ÃjÄ2/DCg/ÑÊ�1 ö ÌÍʡΡÃjÐÒÐC ä�ÊÁÊ|s@pûÃjË]12/ÒÈfËzAVÊÁÉÀÊ¡Ä2/DNjÊ¡É#Ê¡ÃjÄoÐD/ÒÊKÄkÏ�ÈfÄ©äÀÈfÐÑÈK.�ÈjÄ�pÀä]/ÑÎ7Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË]1 � ÃjËÀÉ�ΡÈ�.0pûÃaÄoÊ�C ÈBC ä�ÊÁÏ�ÈfÐÑÐÒÈ�AB/ÒË%I ö

t Ï�! ì  ï /Q1ÍäÀÈfÐÑÈK.®ÈfÄ�pÀä%/ÒÎS/ÑË�C äÀÊ ÃjËÀËjJÀÐDJ]1 ^ ÷ ï)à  �  ΠÃjï ^ í ì ËÀÈ�C Ê � Ï'ËÀÈRC!Ä�Ê�ijJ]/ÑÄoÊ¡ÉyC È�,NÊäÀÈfÐÑÈK.®ÈfÄ�pÀä%/ÒÎ�Ã�C  Πï CoäÀÊ¡ËyA Êz.�ÃOl�Ê�s@pÀÄ�Ê�121! ì  ï � VÈXZY ö V » X ì  �  Πï X ì �fë ï

ÃjËÀÉyC ä%/Q1f1oÊKÄ�/ÑÊ�1B/Q10Ä�ÊKÏ�Ê¡Ä�ÄoÊKÉ�C È®Ã�1�Ã�¶ ��?@P ý�6ûÿ 1�Ê¡Ä�/ÑÊ�10Ï�ÈfÄ5! ö Æ0ä%/Q1ÍÎ�ÃjËr,NÊ�É�ʡΡÈ�.0pNÈK1oÊKÉ\ÃR1! ì  ï � VÈX[Y Î » X ì  �  Πï X ý ö�÷ÈXZY ö V » X ì  �  Πï X ì �jç ï

AÍäÀÊKÄoÊ�C äÀÊ��ûÄ212C�CoÊ¡Ä�. /Q1 Ä�ÊKÏ�Ê¡Ä�ÄoÊKÉ�CoÈ Ã�1�C äÀÊ ��?%8����=���=��P|�eè%��P�ÿ ÃjËÀÉ�C äÀÊy1�ʡΡÈjËÀÉ�CoÊ¡Ä2. Ã�1�C ä�Êè7P|� 6����#è%���@è%��P(ÿ�ö ( È�C ärpûÃjÄdCg1�ÃjÄoÊ5J�Ë]/QijJÀÊ � ÃjËÀÉ � Ã�1ÍÊ¡ÃjÄoÐD/ÒÊ¡Ä �

» X � ® ¯ ! ì Â ïì Â � Â Î ï X[v ÷ ° Â ì � Ófï

AB/DCoät¥ Ã�12/Q.�pÀÐÒÊõΡÐÒÈ�1oÊ¡É�Î�J�Ä2NfÊ�ΡÈjËjC Ã�/ÒË%/ÒË]I  Î�/ÒË�C ä�Ê�É�ÈK.hÃR/ÒË�ÈjÏ(! öÆ0äÀÊ * ÃRJÀÄoÊKËjCz1�Ê¡Ä�/ÑÊ�1�ΡÈjËjNjÊ¡Ä2IfÊ�1 Ã�,]1�ÈfÐQJ%CoÊ¡Ðml � ÃjËÀÉ�JÀË]/ Ï�ÈfÄ�.®ÐDlr/ÑË ÃaËjl�ΡÐÒÈ�1oÊ¡É�1�J%,]1oÊ�C#ÈjÏ�C ä�Ê

ÃjËÀËjJÀÐDJ]1 ö¶ÁµVU  nZ�bn¾©¼5bR¼�¹ ¿ ú�øSù©¹]c_�¼�ù©¹�Zm¸4_ó I¿V¸Vº�¿V¼�»-·e¸Vº�ùr�Á»�Z7º]cR¿ ¸$ Ï CoÊ¡ÄÍÃjÐÑÐ7CoäÀÊ5A)ÃR/DCg/ÑË]I � AVÊR� ÐÑÐ�IfÊ�CÍÉÀÈ�AÍËrCoÈ�.hÃjË9l�Ã�p]pÀÐD/ÒÎ�Ã�Cg/ÒÈjË]1 ÈaÏ�AÍäûÃ�CfAVÊR��NjÊ ÐÑÊ�ÃjÄ�ËÀÊ¡É�/ÑË;C ä]/D11oÊKÎ-C�/ÒÈfË öÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7àåä�æ=ä�ô¿±Òõ;Þ1«OáNör²�Þ+µ ç �ûý����Zýk÷ ��� ý�6ûÿ » ö�÷ ��ì  �  Πï ö�÷ � 63ÿ �ûý ¶ ��?�P ý�6ûÿVý2é-è%��6%������6�Q������� �Òý���ÿ �ûýFP ý����=��?½ý�� ! ì  ï��jÿ Âg�å Πøf È�CoÊ5C äûÃRCuw)ÃRJÀÎ ä9lM��14/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjÐ<Ï�ÈjÄ�.kJÀÐÒÃkIK/DNjÊ�1

Ø ö�÷ � {��þ 8 ®[¯ ! ì  ï+°  ì �jè ï

AÍäÀÊKÄoÊ ê /D1ÍÃ�1�.�ÃjÐÒÐ<Î�/ÒÄ�ΡÐÑÊ�ÈjÏ7ÄoÃjÉ]/DJ]1 Ï 1oÃ�l � Ã�,<È�J%C  ΠöÆ0ä]/Q1 ÐÒÊ¡ÃjÉ]1}J%1}C È'CoäÀÊe.®ÈK1dC}/D.0pNÈfÄ2C ÃjË9C�ÄoÊ�12JÀÐDC#ÈjÏÍΡÈ�.0pÀÐÑÊ�s ÃjËÀÃjÐDl�1�/D1 ì Ã�1 Ï�ÃjÄ Ã�1zAVÊR� ÐÑÐv,NÊ

ΡÈjËÀΡÊKÄoËÀÊKÉ'/ÒË�Coä]/Q10ÎKÈKJÀÄ�1�Ê ï

Page 14: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { ¢

,*- Þjã/.�Þ10 ä�æ�椱Òõ;Þ1«OáNöø²�Þyâ - Þjã/.�Þ10 ± L O+²ø³ - QaµZµ{2 ! ì  ï��Q���hý�Pg���e��PVè�������� 6������hý����¸������ 6�� ñ�ò ������������6ûÿ���� 6%��ÿ �ûý5��?]8���������� 6�� ÷ ñ 8���?�67�Pý��;8��hÿ �ûý5��� �Sè7�Òýk���Q���Zý��y��?�P�jý ¥ ë ò �îÿ �6��k��� 6�ó�?��m��P|�îÿ�� ý�����6 ¥ î ñ ÿ �ûý�6 ® ¯ ! ì  ï+° Â*� ��þ 8dùúHûÈü Y ÷ ^ üËýþ C ì � òUï

ò �ûý�P ý5^ ü �Q��ÿ �ûýzP ý����=��?ûý}�jÿÁÿ��ûýz�Q�����m�jÿêý������ 6�ó�?��m��P��îÿ=�e�jÿ Âg�å ü�ÿ � { C �]CZTZTZTÈC�� � 6�� ÷ øª .�ã�ã$ºzä�æ�ð�� �������������Æ0äÀÊzpÀÄoÈK,�ÐÒÊ�.¨AB/DCoäyCoä]/Q1ÍÄ�Ê�1�J�ÐDCB/Q1ÍÃaÎ-CgJÀÃjÐÒÐml0CoÈ�ΡÃjÐÒÎ-JÀÐ ÃRCoÊSC ä�Ê�Ä�Ê�12/ÒÉ]JÀÊ-1 ^ ü ö Æ�A È�ä%/ÒË9Cg1Kå{fö x�1oÊ5C äÀÊ * Ã�JÀÄ�Ê¡Ë9C!Ê�s@pûÃjË]12/ÒÈfË3Ã�,NÈKJ%C  ü / Ï�C ä]/D1�/D10Ê�Ã�12/ÒÐml�Î�ÃaÐÒÎ�J�Ð ÃRCoÊ¡É ö� öB$ 1�1�J%.�Ê5C äÀÃRC  ü � ó�/Q1ÍÃ�pNÈfÐÒÊ�ÈjÏCÈfÄ�ÉÀÊ¡ÄBÿ¥Ï�ÈjÄ5! ì  ï(ö Æ0äÀÊ¡Ë ^ ü /Q1fI�/DNfÊKËy,jl^ ü � {

ì ÿ � {>ï ` ÐD/Q.%dË Î ° ~�ö�÷°  ~�ö�÷ j� ~ ! ì  ïpo ì æfó ï

f ÈRC Ê5C äûÃ�C0Ï�ÈfÄÍÃ�1�/Q.�pÀÐÑÊ4p<ÈjÐÒÊ ì ÿ � {>ï�^ ü � ÐQ/D. %dË Î ì  ! ì  ïoï(öª .�ã�ã$ºzä�æ=ä�ô¾ú ����?��hý�ÿ��%�jÿ ! ì  ï � VÈXZY ö�~ Ø X  X C ì æ {>ï��67�;��� ²�ý�P ý�6ûÿ=�=�jÿný�ÿêý�P|�£8���ÿêý�P|� øf È�A � CoäÀÊk.�Ã�/ÒË�p<ÈK/ÑË9C�ÈjÏ�.�ÃjË9l\ÈaÏhC äÀÊ&Ä�Ê¡ÎKÊ¡Ë9C�ÄoÊ-1�JÀÐmCg14/D1uC äÀÃRCSCoäÀÊ-l�ÃjÐÒÐÑÈ�A�J]1SC È�ÃjËûÃjÐml�C�/ éÎ�ÃaÐÒÐDlhÊ-NaÃjÐDJûÃRC ÊF.�ÃjË9l�ÉÀÊ-�ÀË]/DCoÊ�/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjÐQ1�AÍä%/ÒÎ ä�A ÈKJÀÐÑÉ�1�Ê¡Ê-.¥ÃaÐQ.®ÈK12CB/D.0pNÈK1�12/Q,ÀÐÑÊSAB/DCoäÀÈKJ%C�C ä�ÊC ÊKÎ äÀË]/Di�J�Ê�1�AVÊR� ÐÑÐVÐÑÊ�ÃjÄ�Ë äÀÊ¡Ä�Ê ö�$ ÐmC äÀÈKJ%Ifä�C ä�Ê�1oÊ�.®Ê-CoäÀÈPÉ]1}AB/ÒÐÑÐÁÃ�p]pÀÐml�CoÈ�ΡÈK.�pÀÐÒÊ|s�/ÒË9C Ê-IfÄ ÃjÐD1 �A Ê�� ÐÒÐ{1oÊKÊzCoäûÃRCfCoäÀÊ-l�p�ÄoÈ�N�/ÒÉÀÊ�ÃjË�Ê�sFΡÊKÐÒÐÑÊ¡Ë9C�.�Ê�C äÀÈPÉ�Ï�ÈfÄ�C äÀÊ�Ê�NjÃaÐQJûÃRC�/ÒÈfË�ÈaÏ P ý���� /ÒË9C Ê-IfÄ ÃjÐD1 ö

têËþÃjÐÒÐ�C äÀÊ#Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ-1SC äûÃ�C�Ï�ÈfÐÒÐÑÈ�A � CoäÀÊ�pÀÄoÈPΡÊKÉ]JÀÄ�Ê�/Q1uCoäÀÊ�1 ÃR.�Ê ö�í Ê&äûÃONjÊ�Ã�ÉÀÊ-�ûË%/DC Ê Ä�Ê�ÃjÐ/ÒË9CoÊ�IfÄoÃjÐ�C È®Ê-NaÃjÐDJûÃRC Ê � ÃjËÀÉrAVÊ�ÉÀÈ�C ä]/D1�,9ly�ûÄ212Cu.hÃjÅj/ÑË]I�C äÀÊz/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaÐzΡÈK.�pÀÐÑÊ�s�ÃjË�É'/ÒË�ΡÐQJ�É]/ÒË]IC ä�Ê ÄoÃjË]IfÊ�ÈjÏ�/ÑË9C Ê�IjÄ ÃRC�/ÒÈfË ì Ê ö I ö j � » C » o�� AÍäÀÊKÄoÊ » Ï�Ä�Ê�ijJÀÊKËjCoÐDlyC ÊKËÀÉ]1�C È�/ÒË%�ûË%/DCol ï�� /ÒË%1�/ÒÉ�Êz1�ÈK.®Ê1�J%/DC ÃR,ÀÐÒÊ�12/Q.�pÀÐÒÊCΡÐÑÈK1oÊKÉ�Î-JÀÄ2NjÊ�¥�/ÒË ê'öCí /DCoä5.0/ÑËÀÈfÄkÃjÉûÃ�p%C ÃRCg/ÑÈfË � A Êh1�J]p%p<ÈK1�Ê�CoäûÃRC�CoäÀÊ�ΡÈ�.0pÀÐÑÊ�s/ÒË9CoÊ�IfÄoÃjËÀÉ�äûÃ�1ÍËÀÈ�1�/ÑË]IKJÀÐÒÃjÄ�pNÈK/ÒË9Cg10ÈjË ê'ömí Ê5C äÀÊKË\ÃRp]pÀÐDleC äÀÊ�ÄoÊ-1�/ÑÉ]JÀÊ5C äÀÊKÈfÄoÊ-. ÃjËÀÉ3ÃjÄ�Ä ÃjË]IjÊC äÀÃRC�ÃjÐÑÐ7ΡÈjËjCoÄ�/D,]J%Cg/ÑÈfË]1SCoÈ;C äÀÊ�/ÑË9C Ê�IjÄ ÃjÐ � È�CoäÀÊ¡Ä4CoäûÃjË�C äÀÃRC�ÈfË�C ä�Ê ÄoÊ�ÃaÐ�Ã�s@/Q1 � ÃjÄoÊkNaÃjË%/Q1oä%/ÒË]IfÐml1�.�ÃjÐÑÐ öí ÃjÄoË]/ÑË]I å í ÃRCoÎ ä/ÈKJ%C&Ï�ÈfÄ},ÀÄ ÃjË�Î ä]/ÒË]I ö ÌÍÊ¡Î�ÃaÐÒÐqCoäûÃRC�Coä]/Q1&ÈPΡÎ-JÀÄ�1 � Ï�ÈjÄ&Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ � AÍäÀÊ¡Ë9! ì Í ïΡÈjËjC Ã�/ÒË%1!Ã&Ï�ÃjÎ�C ÈfÄ�Í�� � AÍä�Ê¡ÄoÊ�/Q10Ë�ÈfËFéo/ÑË9C Ê�IjÄ ÃjÐ � ÈfÄÍÐÑÈKI ì Í ï(ö

í ÊF1�äûÃjÐÒÐkΡÈfË]12/ÒÉÀÊKÄfNjÃaÄ�/ÒÈ�J]10É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9C�Î�Ã�1�Ê�1Kå

Page 15: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { ë

{fö têË9C Ê-IfÄ ÃaÐQ10ÈjÏ�C äÀÊ�Ï�ÈfÄ2. ® í}|Î ^Xì ΡÈK1 ì�üfï Cg1�/ÑË ì�üjïoï+°jü ì æU� ïÂ3Ê�C äÀÈPÉ ñ AÍÄ2/DC Ê

ÎKÈK1 ì=üfï � '  ý  ö�÷� ) C 12/ÒË ì=üfï � '  �  ö�÷� 8 ) ì æfæ ï

ì / ö Ê ö Âg�h���� �/° Âg� 8  °jüfï|� ÃjËÀÉyC ÃjÅaÊ ¥)C È�,<Ê�ÉÀÊ��ûËÀÊKÉ',9l à Â7Ã�� {fö� ö ! ì  ï .®Ê¡Ä�ÈK.®ÈfÄ�pÀä%/ÒÎ�AB/DCoä0�ûË%/DC Ê�ËjJ].k,NÊ¡Ä ÈjÏ{pNÈfÐÒÊ-1q/ÑË0C ä�ÊõÄoÊ-IK/ÒÈjË Ô ì  ï _ ó ÃjËÀÉ�Ë�È}pNÈfÐÒÊ-1

ÈfË�CoäÀÊ�ÄoÊ�ÃaЩÃ�s@/Q1 öh$ 1�12J].�ÊFC äÀÃRC à  í ! ì  ï à ��� AÍäÀÊKËÀÊ-NjÊ¡Ä Ô ì  ïdÚ óXÃjËÀÉ Ã Â7Ã�_ ^k� 1 ÃOl ö* Ã�,NÊ¡Ð�CoäÀÊFp<ÈjÐÒÊ�1�Ã�1 » ÷ CZT�TZT�C » ì ö Æ0äÀÊ¡Ë® V

ö V ! ì Í ï+° Í � ��þ 8 ìÈü Y ÷ Ì�Ê-1� ì » ü ï ì æ�¢ ïÆÇÈ�1oÊ¡Ê4Coä]/Q1 � /ÒË9CoÊ�IfÄoÃRC Ê�ÃaÄoÈKJÀË�É3Ã&ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä0ΡÈfË]12/Q1dCg/ÒË%I ÈjÏCÃjËyJ]p]pNÊ¡Äf1oÊ-.0/ÑÎ�/ÑÄoΡÐÑÊõÈjÏÇÄoÃjÉ]/QJ%1^ CoÈKIfÊ-CoäÀÊ¡Ä�AB/DCoäeC ä�ÊõÄoÊ¡ÃjÐ7/ÒË9C ÊKÄ2NaÃjÐ j �¹^ C ^�o�öh$ 1 ^ õ ð � A Ê�ÈK,%C Ã�/ÒË�C ä�Ê�Ã�,NÈ�NfÊ�Ä�Ê�1�J�ÐDC ö

æ ö Æ0äÀÊF1oÃ�.�ÊFIfÊKËÀÊ¡ÄoÃjÐ{.®Ê-C ä�ÈFÉ�Ã�p]p�ÐQ/ÒÊ-1vC È® Vö V ! ì  ï � ��~ % °  C ì æUë ï

12J],�T�Ê¡Î�CuCoÈ�C äÀÊ5A Ê�ÃjÅaÊ¡Ä�ÃR1�1�J%.0p%C�/ÒÈfË�CoäûÃRCÍÐQ/D. %dË V ! ì  ï � ó&Ï�ÈfÄ Ô ì  ï�Ú ó � ÿ ¼ ì�ö

ç�Þ10â0�O�ä�æQù9±���ã/.¸örO]৴ «�ç�Þ10â0�O$µS¶ ý�ÿ � 8�ýu��6�?�è9èûý�Pv�Zý�������� Pg���Òý ñ �BP2�9��� ?9�§^ ñ � ý�6��ÿêý�P ý��e�jÿ ó ø ¶ ý�ÿ ! ì  ïu�%��jýz��ô�6��îÿný46�?@��8�ý�Pz��è����Òý�����PSP ý��e�¸��98��Òýu��� 6�ó�?��m��P|�îÿ�� ý��S� 6\ÿ �ûý?�è9èûý�P4�%��� vè7�m��6ký�ë Ô ì  ï _ ó î ñ ��67�0�Òý�ÿ ÐD/Q.������� É % Í�� Î ! ì  ï õ ó ø ç �ûý�6® � � ��~ % ! ì  ï+° Â}õ ó ��� ^ õ ð C ì æfç ï

O��P ÿ _ ó øª .�ã�ã/º�ä�æ=ä!ä G��������Zý5^Y�����m��P�óPý�ÿ �%�jÿ à ! ì  ï Ãjï Ï ª  ��6 � ø�� � ò

à � � ~ % Ãh� à Ê|s%p j 8 ÿ ^Xì ΡÈ�1 üBýl8 1�/ÑË üjïpo Ã� Ê|s%p ìp� ÿ ^ mZ8 \ üfï T ì æ Ófï

Page 16: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { ç

ç �ûý�P ý�O��P ý ���� ® � ! ì  ï � ��~ % °  ���� � ���� ® |Î ! ì>^ � �� ï Ê|s@p ìN8 ÿ ^ � ��� ïÒ^ � �� °jü ����ï Ï ® |Î � ö�~�� �"!$#�� ^·°jü� � ^�Ï ® | � íÎ � ö�~ � �"!$#�� °jü� � ^�Ï ® | � íÎ � ö í ~ �1�p� | °�ü� þ Ï

ÿ ìn{d� � ö�~ � ïï þ Ï

ÿ C ì æfè ï

���FP ýKJ�?�� P ý�� øf È�C Ê � C äûÃRCyA ÊIΡÃjË É]/D12C�/ÒË]IKJ%/Q1oäº,NÊ-CoA Ê¡ÊKË:ÄoÊ�ÃaÐ ÃaËÀÉ /D.hÃRIK/ÒËûÃaÄ2l�pûÃjÄ2C�1 � ÃjË�É C ä�Ê¡ÄoÊ-,9lÄ�Ê�pÀÐÒÃjÎ¡Ê � ��~ % ,9l�ÎKÈK1 ì ÿ  ï ÈjÄf1�/ÒË ì ÿ  ï(ö

¢ ö0í Ê!ΡÃjË�ÃjÉûÃ�p%C�Coä]/Q1�IfÊKËÀÊ¡ÄoÃjÐ�C Ê¡Î ä�Ë]/QijJÀÊ�C È ÃjÐÒÐÑÈ�A$Ï�ÈfÄÁÃ5�ûË]/DCoÊÍË�J%.k,<ÊKÄ ÈaÏ�12/ÒË]IKJ�Ð ÃjÄhpNÈK/ÒË9C�1ÈfË�CoäÀÊ�ÄoÊ�ÃaЩÃ�s@/Q1 ö�L /ÒÃ�IfÄoÃ�.hÃ�Cg/ÒΡÃjÐÒÐml � A Ê�ÄoÊ�p�Ð ÃjÎKÊ�È�JÀÄ0ÈfÄ�/DIK/ÒËÀÃjÐ<ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä�,9l

têËyC ä]/D1)Ï�ÈfÄ�. � CoäÀÊ�Ï�ÈfÐÒÐÑÈ�AB/ÒË]I&ÐÑÊ�.�.hÃ&ΡÃjËy,<ÊFJ]1�ÊKÏ�JÀÐ

ç�Þ10â0�O�ä�æ � ¬ ?�è9è����Zý�ÿ �%�jÿ ! ì  ïB�%���S�z��� �Sè7�Òýhè����Òýu�jÿ Âw� ó ñ ��67� ò ý�� 6ûÿný�ó�P2�jÿêý�P���?�67��r��� Pg��?��m��Pz��P����4P��9��� ?9�¹^£8�ý�ÿ ò ý ý�6�ÿ��ûý}��6�ó��Òý��Bü ÷ ��67�}ü í ø ç �ûý�6® Ü&%�')(�*gË�Ü&%+',(-* ! ì  ï+° Â*� P ý����=��?ûý}�jÿ ó/. 8 ì�ü í ��ü ÷ ï{ýlÏ�^ C ì æ òUï

ò �ûý�P ý&Ï�^ õ ð ñ ���¹^ õ ó øª .�ã�ã/º�ä�æ=ä�ù�� é-è%��67� ! ì  ïe���rëVP ý����=��?ûý0�jÿ ó î�0  ý ëVP ý�ó�?@�m��Pf|?�6���ÿ�����6�î ñ ��67�r?j�Zý21���P���9��6¾½ �F�Òý������ ø

Page 17: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� {>Ó

ë ö (VÄoÃjËÀÎ ä]/ÑË]I/ã�ÄoÈK,�ÐÒÊ�.�1¡å * Ê-C ^Xì  ï ,NÊ�Ä ÃRC�/ÒÈfËÀÃjÐ � ÃaËÀÉ Ã Â í ! ì  ï à � � ÈKJ@Cg1�/ÑÉÀÊ�à ÐÒÃjÄ�IfÊ1�Ê�.�/ÒÎ�/ÑÄoÎKÐÒÊ öh$ 1�12J].�ÊFC äÀÃRC ^Xì  ï äûÃ�1�ÃRCBA ÈfÄ�1dC�Ã�1�/D.0pÀÐÑÊ4pNÈfÐÒÊ�ÃRC ÂÕ� ó � ÃjËÀÉyC äûÃ�C�CoäÀÊ¡Ä�ÊÃjÄ�Ê�ËÀÈ®È�C äÀÊKÄBp<ÈfÐÑÊ�10ÈfË�CoäÀÊ�ÄoÊ�ÃaЩÃ�s@/Q1 ö t Ï'ó ï ï {K� A Ê�Î�ÃjË�ÉÀÊ�C Ê¡Ä2.0/ÑËÀÊ® VÎ Í � ^Xì Í ï+° Í ì ¢Uó ïÃ�10Ï�ÈfÐÑÐÒÈ�AB1¡åwvJ%C ê ÃjÐÑÈfË]I'CoäÀÊ�ËÀÈfËFé ËÀÊ�IfÃRCg/mNfÊ�ÄoÊ¡ÃjÐ0Ã�s@/D1 ö Æ0äÀÊKË Ââ� � �� /Q1�JÀË]/DijJÀÊ¡Ðml ÉÀÊ��ûËÀÊ¡É�AB/DCoäó ïB� ÃaËÀÉ�ó ï ü ï ��þ ö�í Ä�/mC ÊFC äÀÊ ÐÒÈKIUÃaÄ�/DCoä]. È�NjÊ¡ÄSCoä]/Q1!ÉÀÈK.�Ã�/ÒË3Ã�1 Â�õ ÐÒÈ�I ì � ï�ý<8Vü��ÃjË�É3ÉÀÊ��ûËÀÊ Â � �h� �43$5&6 % öí /mC ä�C äÀÊ-1oÊ�ΡÈfË9NfÊKË9Cg/ÒÈjË]1vA Ê!äûÃONjÊu�%sFÊ¡É0C äÀÊB,ÀÄoÃjËÀÎ äÀÊ-1)ÈjÏzÐÑÈKI ì  ï ÃaËÀÉ Â �}AB/DCoä�AÍä]/ÑÎ ä0A ÊA ÈfÄoÅe/ÒË�C ä]/D1fpÀÄoÈ�,ÀÐÒÊ-. öwVäÀÈPÈK1�Ê Ï _ ó41�È51�.�ÃjÐÒÐFÃjËÀÉ ^ _ ó41�È�Ð ÃjÄ2IfÊqCoäûÃRC�CoäÀÊ)ΡÈjËjCoÈKJÀÄ�ÊKËÀΡÐÑÈK1oÊ-1mÃjÐÒÐ�p<ÈjÐÒÊ�1CÊ�sFΡÊ-p%CCoäÀÊ�ÈfËÀÊ5C äûÃ�CB.hÃOl�Ê|s@/Q12C!ÃRC Âg� ó ö

β

αδ

γr

R

ε

Æ0äÀÊKËÐD/Q.Ì Ë Î ® �87:9 ;  � ^Xì  ï+°  � ® �Ü Í � ^Xì Í ï+° Í� ÐQ/Q.Ì Ë Î ® < 7:9 ;  � ^Xì  ï+° Â� � � í}| � � ® �Ü Í � ^Xì Í ï+° ÍSC ì ¢ {>ï

,NʡΡÃ�J]1oÊ�ÈfË ¨ ÌÒÊ Ü A Ê3ÃaÄoÊ�Ã�,NÈKJ%C�C È Î¡Ä�ÈK1�1®È�NfÊKÄ�CoÈIÃjË�È�C äÀÊKÄ�,ÀÄ ÃjË�Î ä ÈjÏuC äÀÊy/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjËÀÉ öÆ0äÀÊKÄoÊ�Ï�ÈfÄoÊ �

ÐD/Q.� Ë V ÐQ/D.Ì Ë Î ® �>=>?@=BA+= <  � ^Xì  ï+°  � ìn{5� � í}| � � ï ®�VÎ Í � ^Xì Í ï+° Í� ��þ 8dùú È ü Ì�Ê-1 ü ì  � ^Xì  ïoï ýþ T ì ¢e� ï

Page 18: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� { è

ç ö0í /mC ähÐÑÈKI ì  ï ÄoÃRC äÀÊKÄ�CoäûÃjË Â � /ÒË�C äÀÊu/ÒË9C Ê-IfÄ ÃjË�É � /mCv.�ÃOl�,<Êu.�ÈjÄoÊ�ΡÈfË9NfÊKË]/ÒÊKË9C�C È ÄoÊ�p�Ð ÃjÎKÊCoäÀÊFIK/DNjÊ¡Ë�ΡÈfË9C È�JÀÄB,jl

ÓFö�" ÈfÄk1�ÈK.®Ê;/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaËÀÉ]1�/DCk.hÃOl�,<Ê�J]1�ÊKÏ�JÀÐ�CoÈ�J]1oÊ�Ã�Ð ÃaÄ�IfÊ�ÄoÊ¡Î�C ÃjË%IfÐÒÊ � Ï�ÈjÄ&Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ�/ Ï�ÃCoÄ�/QIjÈfËÀÈK.®Ê-CoÄ�/ÒÎ!ÈfÄ0ä9l�p<ÊKÄ�,NÈfÐQ/ÑÎ�Ï�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË�Ã�p%p<Ê¡ÃjÄ�1B/ÒË�CoäÀÊ�ÉÀÊ¡ËÀÈ�.0/ÑËûÃRC ÈjÄ ö

−π π

−π+ in π+ in

¶Áµ=¥ C ¿Á»ED ù�_GFIHSZ�XKJ5bnùǹML? I¿V¸Vº�¿V¼�»S·e¸Vº�ùr�Á»�Z7º]cR¿ ¸ä�æ���æ=ä ���@O�0��øM�Þnä ®HVÎ ° Í

ì Í í ý {Zï í ì Í í ý ¢ ï$ 1zAB/DC äIÃjÐÒÐ�È�JÀÄ Ê|s�Ã�.0p�ÐÒÊ�1FA ÊhÎ äÀÈPÈK1oÊ�Ã�ÎKÈfË9C ÈKJÀÄ#ÃjËÀÉ Ê�s�C ÊKËÀÉnC äÀÊ0/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaÐmÃjÄoÈKJ�ËÀÉ�C ä�Ê

ΡÈjËjCoÈKJÀÄ ö ô Ê¡Ä�Ê�ÎKÈfË]12/ÒÉÀÊKÄ Ï � ° Âì  í ý {>ï í ì  í ý ¢ ï C ì ¢Uæ ï

AÍäÀÊKÄoÊ ��/D1)ÉÀÊ��ûËÀÊ¡ÉyC È�,NÊSC ä�Ê�ΡÈfË9C È�JÀÄ0ΡÈfË%1�/Q1dCg/ÑË]I ÈjÏ�C äûÃ�CBpûÃjÄ2C)ÈjÏ�C äÀÊ�Ä�Ê�ÃjÐ4Ã�s%/D1VÏ�ÄoÈ�. �¹^ CoÈ^ ìN^ _ ó ï�� ÃaËÀÉrCoäÀÊF1oÊ-.0/ÑÎ�/ÒÄ�ΡÐÑÊ � ÄoÃjÉ]/DJ]1 ^k� ΡÊKËjCoÊ¡Ä!ó�/ÒË�C äÀÊFJ]p%p<ÊKÄ�äÀÃjÐÑÏ éVpÀÐ ÃjË�Ê öÆ0äÀÊ¡Ë

Ï � ° Íì Â í ý {>ï í ì Â í ý ¢ ï � ® v �öN� ° Í

ì Í í ý-{>ï í ì Í í ý ¢ ï ý® ¯ ° Â

ì  í ý-{>ï í ì  í ý ¢ ïf È�A ÐÒÊ�C ^ õ ð ö wVÐÒÊ�ÃaÄoÐDlrC ä�Ê�1oÊ¡ÎKÈfËÀÉ<C ÊKÄ�. /ÑË'C ä�ÊXÃ�,<È�NjÊ�IjÈFÊ-1SC ÈyE¡ÊKÄoÈy/ÒË�C ä]/D1�ÐQ/Q.�/DC öõí ÊËÀÈ�A�Ê�NaÃjÐQJûÃ�C Ê4C ä�Ê�ÐÑÊKÏ CÍäûÃaËÀÉ�12/ÒÉÀÊFJ]12/ÒË]I�CoäÀÊ�Î�ÃjÐÑÎ�JÀÐDJ]10ÈjÏCÄoÊ�12/ÒÉ]J�Ê�1 ö

Page 19: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� {Zò

R-R

iR

C

Æ0äÀÊ}/ÑË9C Ê�IjÄ ÃjËÀÉ�äûÃ�1�Ã�p<ÈjÐÒÊ�ÈjÏ7ÈfÄoÉÀÊKÄ��XÃRC Âw� 82� ÃjËÀÉ3Ã�pNÈfÐÒÊ�ÈaÏ'ÈfÄ�ÉÀÊ¡Ä { Ã�C Â*� � 8�� AÍä%/ÒÎ äÐQ/ÑÊSAB/DCoä]/ÒË�CoäÀÊ�ΡÈfË9C È�JÀÄ5� ö�f È�A ñ

Ì�Ê-1 ì Âg� 8 ï � ÐQ/Q.%dË � °°  O {ì  ýl8êï¡ì  ýl8êïKì  í ý ¢ ïQP� ÐQ/Q.%dË � O � �

ì Â ý?8êï b ì Â í ý ¢ ï � � Âì Â ý?8êï í ì Â í ý ¢ ï í P� � �

æ ì � 8 ï b � � 8òûì � 8êï í� � 8æfç T ì ¢K¢ ï

G@/Q.�/ÒÐÒÃjÄoÐmlÌÍÊ�1 ì Â*� � 8êï � ÐD/Q.%dË í � O {

ì  í ý-{>ï í ì  ý � 8êï P� � 8æfç T ì ¢eë ïÆ0äÀÊ¡Ä�ÊKÏ�ÈfÄ�Ê

Ï � ° Âì  í ý {Zï í ì  í ý ¢ ï � ��þ 8��F� 8æfç � 8æfç �� þ

ò T ì ¢Uç ïGFÈ�AVÊ�ÈK,%C Ã�/ÒË ® V

ö V ° Íì Í í ý {>ï í ì Í í ý ¢ ï � þ ò T ì ¢ Ófï

" /ÑËûÃjÐÒÐml � 1�/ÑËÀΡÊ5C ä�Êz/ÑË9C Ê�IjÄ ÃjËÀÉy/D1ÍÃjË3Ê�NfÊKË3Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË�ÈjÏ�Í � Coä]/Q1f/D.0p�ÐQ/ÒÊ-1® VÎ ° Íì Í í ý-{>ï í ì Í í ý ¢ ï � þ

{ è T ì ¢Uè ï

Page 20: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �jó

ä�æ���æDù ���@O�0��øM�Þ<ù ® Vö V ΡÈK1 ì Í ï+° Í

Í í ý » í C » _ óÆ0ä]/Q1ÍÄ�Ê�ijJ]/ÒÄ�Ê�1�ÃXÐQ/DC2C ÐÑÊS.®ÈfÄoÊ�Î-JÀËÀË]/ÑË]I ö wVÈfË]12/ÒÉÀÊKÄ

Ï � � � % °  í ý » íAB/DCoät��C äÀÊF1oÃ�.�Ê�ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä!ÃR1�/ÑË�Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ {fö'í Ê5C äÀÊKË3È�,%C Ã�/ÑËzå

Ï � ��� %¾°  í ý » í � ® �öN� ÎKÈK1 ì Í ï+° ÍÍ í ý » í ý ® �

öN� 8 12/ÒË ì Í ï+° ÍÍ í ý » í ý ® ¯ ��� %�°  í ý » í

� ,jN�/ÑÈKJ]1oÐml � CoäÀÊ5�ûËûÃjÐ�CoÊ¡Ä�.�IfÈFÊ-1�C È�E¡ÊKÄoÈ�Ã�1 ^ õ ð � C äjJ]1Ï � ��� %¾°  í ý » í � ® Vö V ÎKÈK1 ì Í ï+° Í

Í í ý » í ý?8 ® Vö V 1�/ÑË ì Í ï+° Í

Í í ý » íÆ0äÀÊ;/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjËÀÉ ÈjË�C äÀÊ�ÐÒÊ�Ï C&äûÃjË�Én1�/ÑÉÀÊhäûÃR1}1�/D.0p�ÐÒÊ�p<ÈfÐÑÊ�1 ÃRC ÂÅ�SR 8 » ö�ô È�A Ê-NjÊ¡Ä � 12/ÒËÀÎKÊ

» _ ó�AVÊXäûÃONfʮΠäÀÈK1�Ê¡Ë�CoäÀÊ®Ã�,NÈ�NjÊ�ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä � ÃjËÀÉþäÀÊ¡Ë�ΡʮÈfËÀÐDl\ÄoÊ-i�J%/ÒÄoÊ�C ä�Ê�pNÈfÐÑÊXÃRC Ât� ýÝ8 »ì ÊKËÀΡÐÑÈK1oÊKÉ�,9l�CoäÀÊ�ΡÈfË9C È�JÀÄ ï(ö GPÈ ñ

Ì�Ê-1 ì Âw� 8 » ï � ÐD/Q.%2Ë �x O ��� % ý?8 » P� �Rö1x� 8 » T ì ¢ òUï

Æ0äÀÊKÄoÊKÏ�ÈjÄoÊ ® Vö V ÎKÈK1 ì Í ï+° Í

Í í ý » í ý?8 ® Vö V 1�/ÑË ì Í ï+° Í

Í í ý » í � ��þ 8 ' � ö1x� 8 » ) � þ » � ö1x T ì ëjó ï" /ÑËûÃjÐÒÐml � C ÃjÅj/ÑË]I�C äÀÊ�ÄoÊ¡ÃjÐ�pûÃaÄ2Cg1ÍÈjÏ�,NÈ�C är1�/ÑÉÀÊ�1fA Ê�È�,%C Ã�/ÑË® V

ö V ÎKÈK1 ì Í ï+° ÍÍ í ý » í � þ » � ö1x T ì ë {>ï

ä�æ���æ�� ���@O�0��øM�Þ{� ® Vö V Í � 12/ÒË ì Í ï

Í b ° Í�T ì ëf� ïí ÊR� ÐÑÐ],NÊ�IK/ÑË�,9l�/ÑË9C Ê�IjÄ ÃRC�/ÒË]I4,9l�pÀÃjÄ2C�1�CoAB/ÑÎ¡Ê � C ÈFp]J%C�C ä�Êf/ÒË9C Ê-IfÄ ÃjÐ%/ÒË9C È�Ã�Ï�ÈfÄ2.ÁC äÀÃRC�/Q1h.®ÈfÄoÊ

1�/D.0p�ÐÒÊSCoÈ®äÀÃjËÀÉÀÐÑÊz,9l�ÎKÈK.�pÀÐÒÊ|s�.®Ê-C ä�ÈFÉ]1 ö® Vö V Í � 1�/ÑË ì Í ï

Í b ° Í � O � ì Í � 12/ÒË ì Í ïoï��Í í P V ö V ý {

�® Vö V {d� ÎKÈK1 ì Í ï

Í í ° Í� O � ìn{d� ΡÈK1 ì Í ïoï

��Í P V ö V ý {�® Vö V 1�/ÒË ì Í ï

Í ° Í� {

�® Vö V 1�/ÑË ì Í ï

Í ° Í�C ì ëjæ ï

Page 21: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� � {

R-R

iR

C

-r r

C’

1�/ÑËÀΡÊF,NÈ�C ä�CoÊ¡Ä�.�1B/ÒË�C ä�Êz12ijJûÃjÄoÊF,ÀÄoÃjÎ ÅjÊ�Cg1�NjÃaË]/Q1�ä öf È�AåCoÈ0J%1oÊ�ÈKJÀÄÍΡÈ�.0pÀÐÑÊ�seNjÃaÄ�/ ÃR,ÀÐÒÊ4.�ÃjÎ ä]/ÑËÀÊ¡Ädl ö wVÈfË%1�/ÒÉ�Ê¡Ä® � ��� % °  C ì ëR¢ ïAÍäÀÊKÄoÊg��/Q1�CoäÀÊ�ΡÈfË9CoÈKJÀÄB1oäÀÈ�AÍËf È�A � C ä]/D1f/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaÐ�/Q1fEKÊ¡ÄoÈ � ,jlyw)Ã�JÀÎ ä9l7�+1SCoäÀÊ¡ÈjÄoÊ�. ö'í Êz.�ÃOleAÍÄ2/DC Ê5/mC�Ã�1® � ��� % ° Âg� ®[¯ ��� % °  ý ® ö ÜöN� ��� ÊÍ ° Í ý ®[¯UT ��� % °  ý ® �Ü ��� ÊÍ ° Í�T ì ëfë ïf È�A � Ã�1 ^ õ ð CoäÀÊF/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaÐ4ÃjÄoÈ�JÀËÀÉ�C äÀÊ�ÐÒÃjÄ�IfÊ51�Ê�.�/ÒÎ-/ÒÄoÎKÐÒÊ � ¥),NÊ¡ÎKÈK.�Ê-1BE¡Ê¡Ä�È ö Æ0äjJ]1 �® ö Ü

ö V ��� ÊÍ ° Í ý ®HVÜ ��� ÊÍ ° Í � � ® ¯UT ��� % °  T ì ëjç ïf È�A � 1�/ÑËÀÎ¡Ê ì � � % � {Zï ¿  äûÃ�1�à ÄoÊ-.�È�NaÃ�,ÀÐÑÊ51�/ÒË%IKJÀÐ ÃaÄ�/DColhÃRCfCoäÀÊ�ÈfÄ�/DIK/ÒË � AVÊ�äûÃONjÊ® ö Üö V ��� ÊÍ ° Í ý ® VÜ ��� ÊÍ ° Í � � ®R¯UT { ° Â� � ® Î| {��� �� ìk8 ��� �� ï+°jü� þ 8 T ì ë Ófï

* Ê-C�C�/ÒË]I �Fõ ó � A Ê äÀÃ�NjÊ ®�Vö V ��� ÊÍ ° Í � þ 8 T ì ëjè ï

Æ7ÃaÅ�/ÑË]I�/Q.�Ã�IK/ÑËûÃjÄ2l�pûÃaÄ2Cg1fA Êz�ÀËûÃjÐÒÐmlhÈ�,%C Ã�/ÑË®HVö V 12/ÒË ì Í ï

Í ° Í � þ<C ì ë òUï

1oÈ�C äÀÃRCB,9l�ÈKJÀÄf/ÒË%/DCg/ÒÃjÐ7/ÒË9C Ê-IfÄ ÃRC�/ÒÈfË�,9l�pÀÃjÄ2C�1¡å® Vö V Í � 12/ÒË ì Í ï

Í b ° Í � þ � T ì çfó ï

Page 22: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �f�V W Û� #­Íª  #¦�§ Ö¡Ú<Ú�«�¬FÛ�×OÙ  �ª'± WYX� &��£� �ªhס¬®¦ ¬�Ø ��£<Ù ¤  &¦�§¨©¦�ª7±[Z®«� &��¤

Ý�Þ9ß�à�á�â�á=ã7à�ù�æ=äºú 6��������SèNÿ�Aÿ=���4�ZýKJ�?ûý�6�� ýF�Q�}���Zý�ÿB�~|?@6���ÿ=����6%� À � X ì  ï Å ��?�����ÿ��%�jÿ� XZv ÷ ì  ï �]\ ì;� X ì  ï�ï C ��� Â�õ  ÎÕT ì ç {>ïë8^���?]��� �Æ� ò ý�ÿV��:Uý5� X � Âjö X ñ ��67�  Π� ð î øÝ�Þ9ß�à�á�â�á=ã7à�ù�æDù72 À � X ì  ï Å �Q����6;�����R�SèNÿo�Aÿ=�����ZýKJ�?½ý�6�� ý ñ ÿ��ûý�6�ÿ��ûýu�������SèNÿo�Aÿ����!ý2é-è%��6%������6�O��P�u|?�6���ÿ�����6 ! ì  ïF�Q� ! ì Â ï ® VÈÜpY Î » Ü � Ü ì  ï C ì çU� ïè7Pg�¸��=�Pý���ÿ �%�jÿ ����� ! ì  ï(� X ö�÷ÈÜnY Î » Ü � Ü ì  ï ����� ��_ ì;� X ï ��P \ ì>� X ö�÷ ï C ì çfæ ï��� Â�õ  Πø ëV� ø ý ø ÿ �ûý}P ý������ 67�Pý�P}�2(ÿný�P \ ÿêý�P��}���Q�F������� �Òý�P�ÿ��%��6 ÿ �ûý}�m����ÿv� 6����Æ?]�Pý��hÿêý�P|� ñ ��Pÿ �ûý5�����hýk��P2�Pý�P}����ÿ��ûý�ô�Pg��ÿ�6ký�ó��Òý���ÿný���ÿêý�P|�Sî

GFÈK.®Êf/Q.�p<ÈjÄ2C ÃaËjC~pÀÄoÈ�p<ÊKÄ2Cg/ÑÊ�1�ÈjÏkÃ�1dl@.�p%CoÈ�Cg/ÑÎ0Ê�s@pûÃjË]12/ÒÈfË%1 ÃaÄoÊ ì�ô Ê¡Ä�Ê�ÎKÈfË]12/ÒÉÀÊKħ! ® U » Ü Â�ö ÜÃjÐmA)ÃOl�1 ö ï å

{föB$ 12l�.0p@C È�C�/ÒÎ�Ê�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË]1�ÉÀÊ�pNÊ¡ËÀÉ�ÈfËyC äÀÊF1�Ê¡Î-CoÈfÄ ì / ö Ê�ÃjÄ2I ì  ï�ï�ö�" ÈfÄ0Ê�s�Ã�.�pÀÐÑÊ �� ö % ý { ®

{ C à ÃaÄ�I ì  ï Ã�ï þ

� T ì ç�¢ ïì ËÀÈ�.�ÈfÄ�Ê4C ÊKÄ�.�1 � 1�/ÑËÀÎ¡Ê � ö % /Q1f12.hÃjÐÑÐÒÊKÄvC äûÃaË3ÃaËjlypNÈ�AVÊKÄÍÈjÏ Â ï�ö (vJ%C �� ö % ý {

Â é® { C æ�þ

� ï¹Ã ÃjÄ�I ì  ï Ã�ï þ� T ì çUë ï

t Ï�C äÀÊmÃR12l�.0p@C È�C�/ÒÎ�Ê�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË�ÈjÏ�! ì  ï /D14É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9C�/ÒË�É]/m�kÊKÄoÊKËjC�1�Ê¡Î-CoÈfÄ�1 � A Ê�1 ÃOl5/mC4Ê�sFä]/D,]/DC�1¬ ÿo��:Uý���½Oè��ûý�6����hý�6���6ûö,g- Þjã/.�Þ]0 ù�æ=ä32 ! ì  ïF�Q�5��� 6�ó��ÒýÈ�n����Æ?½ý��0��67�������Q���e��Poè������~O��P à ÂMÃ Ú » ñ ��67�! ì Â ï ® VÈÜnY Î » Ü Â ö Ü C ì çfç ï

�Q�Ý����Æ�=�BO��PF��� � ÃjÄ�I ì  ï�ëV� ø ý ømñ ���Zý���6¾½ ÿVý2éR���=8��îÿ ¬ ÿo��:Uý���½�è��ûý�6����hý�6���6�î ñ ÿ��ûý�63ÿ��ûýS�Zý�P�� ý��S�Q�� 6}-����ÿf����6�jý�P�óPý�6ûÿkÎh� ø ý ø ! ì  ï � VÈÜnY Î » Ü Â ö Ü T ì ç Ófï

Page 23: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �jæ

ª .�ã�ã/ºSù�æDù7! �Q����� 6�ó��ÒýÈ�n����Æ?½ý�� ñ �����Q���e��PVè������!O��P à ÂMÃ Ú » ñ ÿ �ûý�P ý�O��P ý ! ì  ï � U V ö V Ø X  X ñò �îÿ � Ø X � {��þ 8 Ï ¯ ! ì  ï XZv ÷ °  T ì çfè ïG��������Zý ¥ ÿo�;8�ý��e�m��P�óPýk��� Pg���Òý ñ P2�9��� ?j�¹^ ø ç �ûý�6

Ã Ø X à � {��þ

���� ® í}|Î ! ì>^ � �� ï+°�ü ���� {^ X T ì ç òUï

� � ò~ñ ��� 6�� ý ! ì Â ï ® U VÎ » Ü Â�ö Ü ñ ! õ » Î ��� à ÂMÃ�õ ð ø ç �ûý�P ý�O��P ý ñ~ò ý�����6Fô�67�`� ��?����ÿ �%�jÿ à ! Ãjï � O��PF�m��P�óPý&ý�6���?�ó�� à Â7à ø ç ���Q�F� �Sè7�Æ� ý���ÿ �%�jÿ

Ã Ø X Ã�ï �^ X C ì \ _ ó ï T ì Ó ó ïa ?Pÿ5^ ����6�8�ýr�����m��P�óPýy��� ò ý��Æ�Q:Uý ñ ��� Ø X � ó O��P \ _ ó ø ú �#��� ñ » X � Ø ö X ñ ��� 6�� ý�������SèNÿ�Aÿ=��� ý2é-è%��6%������6%�z��P ýF?�6��NJ�?ûý0ë��Zý ýF6ký2éfÿ�è7Pg��èûý�P(ÿ=�|î ø� ö�" ÈfÄÍÃ�IK/mNfÊ¡Ë�Ä ÃaË]IfÊ�ÈjÏ7ÃjÄ�I ì  ï�� CoäÀÊ�Ã�12l�.�p%C ÈRCg/ÒÎ�Ê|s@pûÃjË]12/ÒÈfË�ÈjÏ(! ì  ï /D1fJÀË]/QijJÀÊ

ÆÇÈ'1�Ê¡Ê�C ä]/D1 � ÐÒÊ-C*! ì Â ï ® U VÎ » X  ö X Ã�1 Â�õ ð /ÑËIÃyIK/DNjÊ¡Ë�1oÊ¡Î�C ÈfÄ ö Æ0äÀÊKËl! ® » Î&ÃR1Â�õ ð � ÃaËÀÉ

ì ! � » Î ï Â�õ » ÷ C ì ÓF{>ïÃ�1 Â�õ ð ö G�/Q.�/ÒÐ ÃaÄoÐDl ' ! � X ö�÷È Î » Ü Â ö Ü )  X õ » X C ì Ó � ïÃ�1  õ ð ö Æ0äjJ]1 � C ä�Ê�ΡÈPÊcb®Î�/ÑÊ¡Ë9Cg1 À » X Å ÃjÄ�Ê�JÀË]/DijJÀÊ¡Ðml ÉÀÊ��ûËÀÊ¡É ö�ì>f È�C Ê�CoäûÃRC�C ä�ÊÎKÈfË9NfÊ¡Ä21oÊ ÉÀÈFÊ-1ÍËÀÈ�CÍäÀÈfÐÑÉ ï�ö

æ öB$ 12l�.0p@C È�C�/ÒÎ�Ê�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË]1�Î�ÃjËy,NÊ ÃaÉÀÉÀÊ¡É3ÃjËÀÉr.kJÀÐmCg/DpÀÐQ/ÑÊ¡É�ÃR1�/ Ï�CoäÀÊ-leAVÊKÄoÊ�ΡÈfË9NfÊKÄ�IfÊKË9C* Ê-CO��1hË�È�A£1�Ê¡Ê3äÀÈ�A AVÊ�.0/DIfä9C®Î�ÃjÐÑÎ�JÀÐÒÃRC Ê�Ã�1dl@.�p%CoÈ�Cg/ÑÎ�Ê|s@pûÃjË]12/ÒÈfË]1®Ï�ÈfÄ�1oÊ�NfÊ¡ÄoÃjÐõÉ%/D�<Ê¡ÄoÊKË9C

ΡÐÒÃ�1�1�Ê�1�ÈjÏÇÏ�JÀËÀÎ-C�/ÒÈfË%1 ö

Page 24: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �R¢÷)µ�¶ C Z7º�¹�¿ ¸Õ¢�¹9Þ®ù�X¨X¨Z[Zm¸4_ Þ�ZdJ5bZ�¾4ù§¢�¹�¦ ùzº�§�¿B_ç�Þ]0�0�O�ù{æ=ä»±feòO%â[«�ã7à�µ·¶ ý�ÿg ì  ï � ®HVÎ � ö % Ð �7ì ¦ ï+° ¦ C Ó ì  ï�Úih _ ótC ì Ó æ ï

ò �îÿ ��� � U VÎkj X ¦ XzO��P à ¦ Ãjï ^ ø ç �ûý�6 g ì Â ï ® VÈ Î j X \a` X[v ÷ T ì Ó ¢ ïtVC�/Q1k/D.0pNÈfÄdC ÃjË9C}CoÈ ËÀÈ�C ÊhäÀÊ¡Ä�ÊyCoäûÃRC�CoäÀÊ�Ä�/DIfä9C äûÃjËÀÉ�12/ÒÉÀÊ;/D1�.�ÊKÄoÊKÐDl�C äÀÊ�ÐÑÊKÏ C äûÃaËÀÉ�1�/ÒÉ�Ê

Ê�s@pûÃaËÀÉÀÊ¡É ÃjËÀÉ�/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRC ÊKÉ�CoÊ¡Ä2.a,9lnC ÊKÄ�. ötô È�A Ê-NjÊ¡Ä � /DC�/D1kC äÀÊ�Ï�ÃaÎ-C�C äÀÃRC�C äÀÊ�Ä�Ê�12JÀÐDC�/D1XÃjËÃ�1dl@.�p%CoÈ�Cg/ÑÎ#Ê�s@pûÃaË]1�/ÑÈfË'C äÀÃRC5/Q1!ËÀÈfË9C Ä2/DN�/ ÃaÐ ö Æ0ä]/Q1S/Q1S,NʡΡÃ�J]1�Ê}C äÀÊ}1�J].�.hÃ�Cg/ÒÈjË\ËÀÊKÊ¡É�ËÀÈ�CõΡÈfËPéNfÊKÄ�IfÊ�JÀË%/ÑÏ�ÈfÄ2.�Ðml'/ÑË�¦õÏ�ÈfÄ�ÃaÐÒÐa¦u/ÒË<C ä�Ê Ä ÃjË]IjÊ®ÈaÏv/ÑËjCoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfË ö Æ0ä�J%1 � /DC5/D1�ËÀÈ�C�ΡÐÑÊ�ÃjÄ4CoäûÃRC5A ÊÎ�ÃaË�/ÑËjCoÊ¡Ä�Î äûÃjË]IfÊ5CoäÀÊ�ÈfÄoÉÀÊKÄÍÈjÏ~/ÑË9C Ê�IjÄ ÃRC�/ÒÈfË�ÃjË�Ér12J].�.hÃRC�/ÒÈfË ö

x!ËÀÉ�Ê¡ÄS.®ÈfÄ�Ê�Ä�Ê�1dC Ä�/ÑÎ-C�/DNfÊ Î�/ÑÄoÎ�J%.01dC ÃjËÀÎKÊ�1BAVÊ#ΡÈKJÀÐÑÉ�T2J%12Cu/ÒË9C Ê-IfÄ ÃRCoÊ�,9lrpûÃjÄdCg1BC È01oäÀÈ�AûC ä%/Q1 öô È�A Ê-NjÊ¡Ä �½í ÃRCg1�ÈfË���1!ÐÑÊ�.�.hÃ�A ÈfÄ�Å�1�/ÒËy.®ÈfÄoÊ5IjÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐ{12/DCgJÀÃRCg/ÑÈfË]1 � ÃjËÀÉ�Ã�.®ÈfÄ�Ê51�J],%CoÐÒÊFpÀÄ�ÈFÈjÏ�/D1ÄoÊ-ijJ]/ÒÄ�Ê¡É ö tuA ÈfË�� C}IK/mNfÊ�C ä�Ê0pÀÄ�ÈFÈaÏVäÀÊKÄoÊ � ÃjÐmC äÀÈKJ%Ifä�/ÑÏ�AVÊ®äûÃONfÊ�Cg/Q.®Êkt4.�ÃOl�ΡÈ�.�Ê�,ûÃjÎ Å ÃaËÀÉ1�J%p]pÀÐDl;/DCÍÐ Ã�C Ê¡Ä ö

¶ ��è7�m��� ý�½ �;�hý�ÿ ����� /Q1 Ã�AVÃ�l�C È�Î�ÃaÐÒÎ�J�Ð ÃRCoÊ�Ã�1dl@.�p%CoÈ�Cg/ÑÎ�Ê�s@pûÃjË%1�/ÒÈjË]1 Ï�ÈfÄ#Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË]1&ÈjÏ�C ä�ÊÏ�ÈfÄ2. g ì Í ï � ®mlx � Êon

É i Í à ì 6 ï+° 6 C ì Ó ë ïÃ�1fÍ õ ý ð ì Í�Ä�Ê�ÃjÐ ï�ö

Æ0äÀÊhÄ�ÈKJ]IfäIÃjÄ�I�J].�ÊKË9C�/D1zCoäûÃRCzC äÀʮРÃaÄ�IfÊ-12C�ΡÈfË9CoÄ�/Q,%J%Cg/ÑÈfË ÎKÈK.®Ê�1�Ï�ÄoÈK. CoäÀÊ0,%/QIKIfÊ-12CzNaÃjÐQJÀÊÈjÏ è ì 6 ï�� 1 ÃOl è ì 6 Î ï|� AÍä%/ÒÎ ä�/D1�Ê|s@p<ÈfË�Ê¡Ë9Cg/ÒÃjÐÒÐml�Ð ÃaÄ�IfÊKÄBCoäûÃjË\ÃjË9l�È�C äÀÊKÄ!ÎKÈfË9C Ä2/Q,]J%C�/ÒÈfË öÁí Ê�� ÐÒÐ�1oÊKÊäÀÈ�A�Coä]/Q1kA ÈfÄ�Å�1�/ÑË ��É]/D12C�/ÒËÀÎ�C�1�/mCgJûÃRC�/ÒÈfË%1 ö têË�,NÈ�C ä�C ä�Ê�1oÊ � í ÃRCg1�ÈfË���1XÐÒÊ�.�.�Ã�/Q1&ÎKÄ�JÀÎ-/ ÃjÐvCoÈÈK,%C Ã�/ÒË%/ÒË]IkCoäÀÊ5�ûËûÃjÐzÄ�Ê�12JÀÐDC ö

{fö è # ì 6 Î ï � ó ñ©ì ÃXÎ�ÃjÐÑÎ�JÀÐDJ]1Ré�Col�p<Ê5.�Ã�s@/Q.kJ%. ï(VÊ-IK/ÒËy,9l;C ÃjÅj/ÒË]IXÆCÃ�lPÐÑÈfÄf1oÊKÄ�/ÒÊ-1!ÈaÏ è ÃjËÀÉ"! ÃR,<ÈKJ@C 6 Ρåg ì Í ï � ® lx Ê|s%p2p@Í·� è ì 6 Î ï{ý {

� ì 6 � 6 Î ï í è # # ì 6 Î ï{ý Ä�Ä�Ä �rq j à ì 6 Î ï{ý ì 6 � 6 Î ï à # ì 6 Î ï{ý Ä�Ä�Ä oR° 6® � Êon É i Ì Í ®HVö V Ê|s%p{� {� ÍEs í è # # ì 6 Î ï � j à ì 6 Î ï{ý Ä�Ä�Ä oR° s·C ì�Ó ç ï

Page 25: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �fë

AÍäÀÊKÄoÊts �B6 � 6 ÎmÃaËÀÉ�AVÊ0ΡÃjËXÊ�s�C ÊKËÀÉ�CoäÀÊ0Ä ÃaË]IfÊ0ÈjÏ7/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfË�CoÈ ìp� ð C ð ï 1�/ÑËÀΡÊÍÃaËjlÊ|s@CoÄ ÃXΡÈfË9CoÄ�/Q,%J%Cg/ÑÈfË]1ÍÃjÄ�Ê�ËÀÊ�IfÐD/QIK/D,ÀÐÒÊ ì CoäÀÊ�ÉÀÈK.�/ÒËûÃjË9C0ÎKÈfË9C Ä2/Q,]J%C�/ÒÈfË�ÎKÈK.�Ê-1)Ï�ÄoÈK.us � ó ïf È�Aå/ÒË9C Ê-IfÄ Ã�C Ê4C ÊKÄ�. ,9l�CoÊ¡Ä�.�J]1�/ÑË]I í ÃRC�1oÈfË��+1ÍÐÒÊ-.0.�à � C ÈXÈK,%C Ã�/ÒË

g ì Í ï ® � Êon É i Ì Í O à ì 6 Î ïwv ��þ� Í è # # ì 6 Î ï ý _ ì Í ö1bp� í ï P T ì ÓfÓfï

� ö è # ì 6 Î ï é� ótêËyC ä]/D10Î�Ã�1�Ê5AVÊ�äûÃONfÊ 6 Î � j ì ÈfÄ » ï(ö f È�A:à Æ7ÃOlPÐÒÈjÄ�Ê|s@pûÃjË]12/ÒÈfË3Ã�,NÈKJ%C 6 Îfl@/ÑÊ¡ÐÑÉ]1g ì Í ï ® � Êon É i Ì Í à ì 6 Î ï ® Îö V � Ê�xyn

T É i Ì Í ° s® � Êon É i Ì Í à ì 6 Î ï {

Í è # ì 6 Î ï ý _ ì Í ö í ï T ì Ó è ï

* Ê-CO��1e1�Ê¡Ê�/D.0.®Ê¡É%/ ÃRCoÊ¡ÐDl äÀÈ�A C ä%/Q1�AVÈfÄ�Åj1;,9l ÃRp]pÀÐDl�/ÑË]I�AÍäÀÃRCeA Ê�� NfÊ�T2J%12C�ÐÑÊ�ÃjÄ�ËÀÊ¡É�C ÈIÃjËÊ�s�Ã�.�pÀÐÑÊ4C äûÃRCB/D1fAVÊKÐÒÐ é ÅeËÀÈ�AÍË ì C äÀÊ�Ä�Ê�1�J�ÐDC!ÃRCÍÐÒÊ¡Ã�12C ï C È�1oÈ�.�Ê�ÈjÏ�lfÈKJ ö

wVÈfË]12/ÒÉÀÊKÄ)Ê�s@pûÃjË�É]/ÒË]Iw� ì Í ý/{>ï ÃR1qÍ õ ð � Ï�ÈjÄ�Í�ÄoÊ¡ÃjÐ ö t Ï{lfÈKJ�ÅeËÀÈ�AºAÍäûÃRCvC äÀÊ��zé Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË/Q1 � lfÈ�J�� ÐÑÐ ÅeËÀÈ�A[C äÀÃRC}CoäÀÊ�ÃjË]1dAVÊKÄ}A Ê�äÀÈKpNÊeC È'IfÊ-C}/Q1�ÅPË�È�AÍË$Ã�1�¬ ÿ�� P|�Æ� 6�ór½ �uO��P|��?@�m��� ÃjËÀÉn/D1NfÊKÄ2l�J]1oÊ�Ï�JÀÐ�/ÒË3ÃjÐÒÐ�Col�pNÊ�1�ÈjÏ�1�/DC�JûÃRC�/ÒÈfË]1B/ÑË�pÀä9l�1�/ÑÎ�1 ö t Ï�ljÈKJ�äûÃONjÊ¡Ë�� C�äÀÊ¡ÃjÄoÉ�ÈaÏ~C ä�Êw�ké Ï�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË �C ä�Ê¡ËyC ä]/D1�AB/ÒÐÒÐ�12Cg/ÑÐÒÐM,<Ê�Ã�IfÈPÈFÉ�Ê|sÀÃR.0pÀÐÑÊ�ÈjÏ'ä�È�A C È�J]1�Ê * Ã�pÀÐÒÃjΡÊR�+1f.®Ê-CoäÀÈPÉ ö

Æ0äÀÊg�zé Ï�JÀËÀÎ�Cg/ÒÈjË�äûÃ�1�ÃjËr/ÒË9C Ê-IfÄ ÃjÐkÊ�s@pÀÄoÊ-1�12/ÒÈfË�IK/DNjÊ¡Ëy,9l� ì Í ý-{>ï � ®�VÎ � ö�Ð ¦ Ê ° ¦�T ì ÓjòUï

$ ÐmC äÀÈ�J]Ifä�Coä]/Q1�Ã�p%p<Ê¡ÃjÄ�1�C È�ÃaÐÒÄoÊ¡ÃjÉ%ly,NÊ�/ÑË�CoäÀÊ ÎKÈfÄoÄ�Ê¡Î�CõÏ�ÈfÄ2. C È�ÃRp]pÀÐDl * Ã�p�Ð ÃjÎKÊ���1S.®Ê-C ä�ÈFÉyC È �A ÊS.kJ]1dCqCoÄ ÃjË%1�Ï�ÈfÄ2.H/DC�,NÊ¡Î�ÃRJ]1oÊ�C äÀÊ�Ð ÃjÄ2IfÊ�1dC�NjÃaÐQJÀÊ�ÈjÏ�CoäÀÊ�Ê�s@p<ÈjËÀÊ¡Ë9Cg/ÒÃjнÈFÎKÎ�JÀÄ21)ÃRC�¦ � ó � AÍäÀÊ¡Ä�ʦ Ê NjÃaË]/Q1�äÀÊ�1 ö Æ0ä�Ê¡ÄoÊ�Ï�ÈfÄoÊ � AVÊR� ÐÑÐ�AÍÄ�/mC Ê� ì Í ý-{>ï � ® VÎ � ö�Ð v%Ê 3$5&6 É Ð Í ° ¦� Í ÊÈv ÷ ® VÎ � Ê É ö i v 3$5&6 É i Í�Í ° 6 C ì èfó ï

AÍäÀÊKÄoÊ�A Ê\äÀÃ�NjÊ�.�ÃjÉÀÊ�C äÀÊ3Î äûÃjË]IjÊ\ÈjÏuNjÃaÄ�/ ÃR,ÀÐÒÊ-1y¦ � Í 6 Ë�È�Ce,NʡΡÃ�J]1�Ê'/DC�/D1�Ê-1�1oÊKË9Cg/ ÃaÐ � ,]J@C,NÊ¡Î�ÃRJ]1oÊ;/mCz.hÃjÅaÊ�1zC ä]/ÑË]IK1�ËÀÊ�ÃRCoÊ¡Äz,<ÊKÎ�Ã�J%1oÊeCoäÀÊepNÈK1�/mCg/ÑÈfË ÈjÏ�C ä�Ê0.�Ã�s@/Q.kJ%. 12C Ã�l�1 Ã�C&Ãy�%sFÊ¡ÉpNÈK/ÒË9C�ÃjËÀÉ�ÉÀÈPÊ�1�Ë�� CSIfÈ�CoÈ�/ÑË%�ûË]/mCol�Ã�1fA Ê5C ÃjÅaÊzCoäÀÊ�Ã�12l�.�p%C È�C�/ÒÎ�ÐD/Q.�/DC ö

Page 26: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �jç

f È�A � è ì 6 ï � � 6 ý ÐÑÈKI ì 6 ï äÀÃ�1�Ã;.hÃ�s@/D.kJ].¥ÃRC 6·� {fö#í ÊkAB/ÒÐÒÐCÈfËÀÐml',NÊ�/ÒË9C ÊKÄoÊ�1dC ÊKÉ�/ÑËC ä%/Q1VÊ|s�Ã�.0p�ÐÒÊS/ÑËeIfÊ�C�C�/ÒË]IzC äÀÊ�ÐÑÊ�ÃjÉ%/ÒË]IzC Ê¡Ä2. ÈjÏ{C äÀÊõÊ�s@pûÃjË]12/ÒÈfË ö Æ0äÀÊ¡Ä�ÊKÏ�ÈfÄ�Ê � A Ê�ÆCÃ�lPÐÑÈfÄVÊ|s%pÀÃjËÀÉÊ-NjÊ¡Ädl�Coä]/ÒË%I�Ã�,NÈKJ%C 6�� { Ã�10Ï�ÃjÄÍÃ�1�C ä�ÊF�ÀÄ�12C�ËÀÈjËFéêÎKÈfË]12C ÃjË9CuCoÊ¡Ä2. ö Æ0ä%/Q1BIK/DNjÊ�1� ì Í ý-{>ï � Í ÊÈv ÷ ® VÎ Ê|s@p p Í � è ìR{>ï{ý {

� ì 6 � {>ï í è # # ìR{>ï{ý Ä�Ä�Ä �rq ° 6® Í ÊÈv ÷ � ö Ê ® Vö�÷ � Êwz * � í °1m C ì è {>ï

AB/DCoä m � 6 �:{fö Æ0äÀÊ ® ä�Ê¡ÄoÊhΡÈK.®Ê�1�Ï�ÄoÈK. í ÃRCg1�ÈfË���1&ÐÒÊ-.0.�à ö�í Ê�ΡÈKJ�ÐÒÉ äûÃONjÊ�Ê�s@pûÃjË�ÉÀÊ¡ÉC È3ä]/QIjäÀÊ¡Ä ÈfÄoÉÀÊKÄ},]J@C&äûÃONfÊhÎ äÀÈK1oÊKËtËÀÈ�C�C È ö�í Ê�Î�ÃjËIÊ�s�C ÊKËÀÉ�C äÀÊ�ÐQ/Q.�/DC�ÈjÏf/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfË�12/ÒËÀÎKÊÃjË9l3ΡÈfË9C Ä2/Q,]J@Cg/ÒÈjË\Ï�ÄoÈK. CoäÀÊ&Ä ÃaË]IfÊ ìp� ð C ��{>ï /D1S12J],<É�ÈK.0/ÑËûÃjË9C ö Æ0ä�J%1 � C ÈhÐÒÊ�ÃaÉ]/ÒË]I�ÈfÄoÉ�Ê¡ÄSA ÊÈK,%C Ã�/ÒË � ì Í ý {>ï ® Í ÊÈv ÷ � ö Ê � ��þÍ � ÷>� í C ì èU� ïAÍä]/ÑÎ ärljÈKJ�.�ÃOl�ÄoÊKΡÈKIjË]/QEKÊ�Ã�1fC äÀÊ�ÐÒÊ¡ÃjÉ]/ÑË]IkC ÊKÄ�. /ÑË'GjCg/ÒÄ�ÐQ/ÑË]I]��1 Ï�ÈfÄ2.kJÀÐ Ã ö÷)µê÷ øºcRù�X[Zm¸�¸|{�ÞXù~} ùǹ]�V¼�ù·ÞXù�XYX[Z�Zm¸4_û¦ ùzº�§�¿B_�¿Áú4W0º]Z7º]cn¿V¸4Z�»]\]��§4Z�¹Fùç�Þ]0�0�O�ù{æDù¤±uõ�á=Þ10�O]à�à��Ëç�Þ��hÞ1«�Ã$²�Þ+µ�¶ ý�ÿ � ì ¦ ï�8�ýzè7� ý�� ý ò �Q�Zý�����6ûÿ=� 6�?!��?9����6$ÿ �ûý������Sè%����ÿ� 6ûÿêý�PÈ���� j » C j o ø ç �ûý�6 ñ O��P5P ý���� Í� ì Í ï ­ ® lx � � Ê Ð � ì ¦ ï+° ¦ �]\ ìR{Zï C Ã�1ÁÍ õ ð T ì èfæ ïª .�ã�ã$ºuù�æ��ûú ����?��hý ò�ø � ø � ø ó�ÿ��%�jÿ � ì ¦ ï}�Q������6ûÿ=� 6�?���?j����6 j » C j ov����ÿ �%�jÿMO��Pk��6���ó��Ùjý�6I� _ ó ñÿ �ûý�� 6ûÿêý�PÈ���� j » C j o5����6�8�ý����Ù��=�Pý���� 6ûÿ� \ � {���?]8�� 6ûÿêý�P�����#�k� 6/ý�������� ò ������� � ì ¦ ïw���P|� ý���8���Òý���� ÿ��%��6 � � ø ç �ûý�6 ñ « À ¦ X Å ��?����3ÿ��%�jÿ » � ¦Î ï ¦ ÷ ï TZT�T ï ¦ X � j ñvò �îÿ � à � ì ¦ ï�� � ì ¦ ì ï Ã�ï � ñO��P ¦ ¼ j ¦ ì ö�÷ CÒ¦ ì o ø ú �#��� ñ � ì ¦ ï}�Q�k8���?@67�Pý��;� 6 j » C j o ñ ��� «r� ��?�����ÿ �%�jÿ à � ì ¦ ï Ã�ï � ª ¦ ¼ j » C j o øç �ûý�6 � ì Í ï � XÈ

÷� ì ¦ � ï ® Ð 'Ð '�� Á � � Ê Ð ° ¦ ý XÈ ÷ � ì ¦ � ï ® Ð 'Ð '�� Á j � ì ¦ ïa� � ì ¦ � ïno � � Ê Ð ° ¦ T ì è�¢ ï� � ò~ñ ����� ® Ð 'Ð '�� Á � � Ê Ð ° ¦ ����� � ����� ��� Ê Ð ' � ��� Ê Ð '��

Á8 Í ����� � �

Í C ì èUë ï��67� ����� ® Ð 'Ð '�� Á j � ì ¦ ïa� � ì ¦ � ïpo � � Ê Ð ° ¦ ����� �i�Zì ¦ � � ¦ �Qö�÷ ï T ì èfç ï�q?Fÿ�ÿ=� 6�ó�ÿ �ûý��Zý�ÿo��óPý�ÿ��ûý�P ñ�ò ýk��8¡ÿ���� 6

à � ì Í ï à � � �Í \ ý��Zì j � » ï C ì è Ófï

ò ������������6�8�ý����9�Pý����}������� �~�����9��?<�Æ�Q:Uý�8��'����������� 6�óm��������� ��ý�6���?�ó�����67�w0{��P0����������� 6�ó Í�m��P�óPý&ý�6���?�ó�� ø

Page 27: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� � Ó

ç �ûý��hý�ÿ �����º����ÿ��jÿ�����67��P|�<è��%���Zý /D1�Ã�AVÃOl C È$Î�ÃjÐÑÎ�JÀÐÒÃRC Ê Ã�1dl�.0p%CoÈ�Cg/ÑÎ�Ê�s@pûÃjË%1�/ÒÈjË]1�Ï�ÈjÄÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË]1ÍÈjÏ�C äÀÊ�Ï�ÈfÄ2. � ì Í ï � ® lx � � Êon

É i Í à ì 6 ï+° 6 T ì èfè ïì AB/mC ä è CoAB/ÑΡÊ�É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9Cg/ÒÃ�,ÀÐÑÊ�ÃjËÀÉAà�ÈfË�ΡÊ�É]/D�<Ê¡Ä�Ê¡Ë9Cg/ÒÃ�,ÀÐÑÊ ï Ã�1fÍ õ ý ð ì Í�Ä�Ê�ÃjÐ ï�ö

Æ0äÀÊ�Ä�ÈKJ]IfähÃjÄ�IKJ%.�ÊKËjCq/Q1�C äÀÃRCvCoäÀÊ!ÐÒÃjÄ�IjÊ�12C ΡÈjËjCoÄ�/D,]J%Cg/ÑÈfËhÎKÈK.®Ê�1mÏ�ÄoÈK. C ä�ÊSpÀÐÒÃjΡÊBAÍäÀÊ¡Ä�ÊSC ä�Ê/ÒË9CoÊ�IfÄoÃjËÀÉ�ÈK1�Î�/ÑÐÒÐ Ã�C Ê�1ÁÐÒÊ¡Ã�12C � 12/ÒËÀÎKÊSAÍäÀÊ¡Ä�Ê�Ä Ã�p%/ÒÉ�ÈK1�Î�/ÑÐÒÐ Ã�Cg/ÒÈjË]1mÈFÎKÎ�JÀÄ � ÈfËÀÊõÊ�s@p<ÊKÎ-C�1�ΡÃjËÀÎKÊ¡ÐÒÐÒÃRCg/ÑÈfË]1C È�ÈPΡÎ-JÀÄ ö Â3ÈfÄ�Ê�Ï�ÈfÄ�.�ÃjÐÑÐDl � .hÃaÅ�/ÑË]I'CoäÀÊ�1�J],%12Cg/mCgJ%C�/ÒÈfË è ì 6 ï � ¦ � ÃjËÀÉ�J]1�/ÑË]I�C ä�Ê�Ì�/ÑÊ�.�ÃjËÀËFé* Ê�,NÊ�12IKJÀÊ ÐÒÊ-.0.�à � A Ê�1oÊ¡ÊkCoäûÃRCuC äÀÊXÃ�,NÈ�NfÊ&Ê|s@pÀÄoÊ-1�1�/ÑÈfË�/Q1 \ ìn{>ï JÀË�ÐÒÊ�1214C äÀÊKÄoÊR�+1�Ãep�Ð ÃjÎKÊ}AÍäÀÊ¡Ä�Êè # � ó ö

÷)µVU £n§�ùHW�Zh_5_FbRùM{��3¿vcR¸Vº ¦ ùzº]§�¿B_Æ0ä]/D1BCoÊ¡Î äÀË%/QijJÀÊz/Q1fJ]1�Ê¡É�CoÈ��ûËÀÉyC äÀÊ�Ã�1dl@.�p%CoÈ�Cg/ÑÎ�Ï�ÈfÄ�.°ÈjÏ~IjÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐzÏ�JÀË�Î-Cg/ÑÈfË]1ÍÈjÏ�C äÀÊ5Col�pNÊ� ì  ï � ® Ç� � %fn É Ð Í à ì ¦ ï+° ¦¹C ì è òUï

AÍäÀÊKÄoÊ ´ ÃjËÀÉ ¶ ÃjÄ�Ê�ΡÈK.�pÀÐÑÊ�s�/ÑËyIfÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐ � ÃjËÀÉ è /D10äÀÈfÐÒÈ�.�ÈfÄ2pÀä]/ÑÎ � Ã�1 Â}õ ð öí Ä2/DC�/ÒË]I è � ��ý�8;©�� ËÀÈ�CoÊ�C äûÃRC�/ÑÏ è /Q1'ËÀÈRC�äÀÈfÐÑÈK.�ÈjÄ�pÀä]/ÑÎ � C äÀÊ0É�ÈK.0/ÑËûÃjË9CCΡÈfË9C Ä2/Q,]J@Cg/ÒÈjË]1�ÃjÄ�Ê

äûÃjÄ�É0CoÈz�ûË�É ö Æ0äÀÊ * Ã�p�Ð ÃjÎKÊ�ÎKÈfË9C Ä2/Q,]J%C�/ÒÈfË%1ÁÏ�Ä�ÈK.)C ä�ÊS.�Ã�s@/Q.kJ].¹NaÃjÐQJÀÊ�ÈjÏ � .�ÃOl�,<Ê�Î�ÃaËÀΡÊKÐÒÐÒÊKÉ,9l�Ä Ã�p%/ÒÉ�ÈK1oÎ-/ÒÐÑÐ ÃRC�/ÒÈfË]1 ÈjÏ ©�� ÃjËÀÉrN�/ÒΡÊ(éVNjÊ¡Ä�1oà ö)ô È�AVÊ�NfÊ¡Ä � Ã�1fA Ê�� ÐÒÐ{1�Ê¡Ê � Ï�ÈfÄ0äÀÈjÐÒÈK.®ÈfÄ�p�ä]/ÒÎ è � C ä�Êw)Ã�JÀÎ ä9lUénÌB/ÒÊ-.hÃaËÀË3Ê-ijJûÃRCg/ÑÈfË]1ÍäÀÊKÐQpyJ]1 öf È�CoÊ�ÃjÐQ1�È�/ÑË�pûÃ�121�/ÒË%I�CoäûÃRCfC ä�Êz.�Ã�IfË%/DCgJ�ÉÀÊ�ÈjÏ � %�n /Q10É�Ê-C ÊKÄ�.�/ÒËÀÊKÉy,jl � N�/Òà à � %fn Ã�� � % � öù�æ��{æ=ä ��ã�â�Þ1«�ãMप�O%â - «�ã/º L ãMàr«-â[O]àMâ Ô ì è ï � ©ã7Ã�C ä]1�ÈjÏÁΡÈjË]12C ÃjË9C © ÃjÄoÊ}pûÃRC ä%1�ÃjÐÒÈfË%IeAÍä]/ÒÎ ä � /ÑËÀΡÄ�Ê�Ã�1�Ê�1��AÉÀÊ¡ÎKÄoÊ�ÃR1oÊ�1z.®ÈK12C�ÄoÃ�p]/ÑÉÀÐDlNå�ÆCÈy1oÊKÊC ä%/Q1 � ËÀÈ�C Ê5CoäûÃRCfC ä�Ê}w)ÃRJÀÎ ä9leéêÌ�/ÑÊ�.�ÃjËÀË�Ê�ijJûÃRC�/ÒÈfË%1�I�/DNfÊ

Ð �Ð Í � Ð ©Ð = C Ð �

Ð = � � Ð ©Ð Í C ì�ò ó ï

ÃjËÀÉyC ä�Ê¡ÄoÊ�Ï�ÈfÄoÊ � � T � © � óAT ì�ò�{>ïf È�A � � � /Q1ÍËÀÈjÄ�.�ÃjÐ�C È�C äÀÊ�ÐQ/ÑËÀÊ�1ÍÈjÏ7ΡÈfË%12C ÃaËjC ��� 1oÈ�pûÃRCoä]1õÈaÏ'ΡÈjË]12C ÃjË9C � ÃjÄoÊ�ÈfÄdC äÀÈ�IfÈfËûÃjÐ�CoÈpûÃRCoä]1õÈaÏ�ΡÈfË%12C ÃaËjC ©!ö Æ0äÀÊ�1�ÊkpûÃRCoä]1õÏ�ÈfÄ2.�Ã0IfÄ2/ÒÉ3È�NjÊ¡Ä�îÄoÊ-IK/ÒÈfËrAÍäÀÊ¡Ä�Ê è ì ¦ ï /Q1�äÀÈfÐÒÈ�.�ÈfÄ2pÀä]/ÑÎ ö$ ÐD1oÈ � pûÃRC ä%1�ÈaÏ7ÎKÈfË]12C ÃjË9C © ÃjÄoÊFpûÃRCoä]1ÍÈjÏ�.hÃ�s@/D.kJ]. ÉÀÊ�1�ΡʡË9C��jÃ�1oÎKÊ¡Ë9C�ÈjÏ �Çö

Page 28: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� �jè

Æ0äÀÊk,]/DIKIfÊ-12C�NjÃaÐQJÀÊ�ÈjÏ � ÃjÐÒÈjË]IhÃ�pûÃRCoä�ÈjÏ�ÎKÈfË]12C ÃjË9C © ÈPΡÎ�J�Ä�1�ÃRCõÃ01oÃjÉÀÉÀÐÑÊ}pNÈK/ÒË9C�ÈjÏ �$ì ÈjÄÃRCqC äÀÊ�ÊKËÀÉ]pNÈK/ÒË9C ï�ö ÆÇÈk1oÊKÊ4C ä]/D1 � ÐÒÊ-C ¨ ,NÊ�ÃaËjl0pûÃRCoä�Ï�ÄoÈK. ´ CoÈ ¶ öh$ 1�1�J%.�Ê �Cì ¦ ï _ �Cì ´ ï�� ÃaËÀÉ�7ì ¦ ï _ �7ì ¶ ï Ï�ÈfÄf1�ÈK.�Ê ¦VÈfË ¨ ö

* Ê-C �Cì ¦Î ï ,NÊuC ä�ÊS,]/DIKIfÊ�1dC�NjÃaÐQJÀÊ�ÈjÏ � ÈfË ¨ ö Æ0ä�Ê¡Ë� � T�� � ó#ÃRC§¦Î � AÍäÀÊ¡Ä�Ê���/Q1�C ÃjË]IjÊ¡Ë9CqCoȨ ö t Ï ¨ /Q1'Ã4pÀÃRC ä ÈjϽÎKÈfË]1dC ÃjË9C ©�� C äÀÊKË � © T�� � ó!ÈfË ¨ ö ÆÇÈKIfÊ-CoäÀÊ¡Ä�AB/mC ä}CoäÀÊ�w)Ã�JÀÎ ä9lUénÌB/ÒÊ-.hÃaËÀË

Ê�ijJûÃ�Cg/ÒÈjË]1 � CoäÀÊ�1�Ê�/D.0pÀÐml� � � � © � óXÃRC&¦Î � / ö Ê ö è # ì ¦Î ï � ó ö

Æ0äjJ]1 � C äÀÊ�12C ÃRCg/ÑÈfËûÃjÄdl�pÀäûÃR1oÊ�p<ÈK/ÑË9C�ÃjËÀÉ�C äÀÊ * Ã�pÀÐÒÃjΡÊ�pNÈK/ÒË9Cg1�ÎKÈK/ÒË�Î�/ÒÉ�Ê ö Æ0äÀÊ¡Ä�ÊKÏ�ÈfÄ�Ê � ¦Î�/D1à ���9�9�%�Òý4è���� 6ûÿ ÈjÏ � ,NÊ¡Î�ÃRJ]1oÊ�C äÀÊewÁénÌ Ê-ijJûÃRCg/ÑÈfË]1z/Q.�pÀÐDl

�í � � ó � AÍä%/ÒÎ ä�.®Ê�ÃaË]15C äûÃRCzC ä�Ê

Ê�/DIfÊ¡Ë9NaÃjÐDJÀÊ�1B.kJ]1dCÍäûÃONfÊ�ÈKp]pNÈK1�/mC Ê512/QIfË]1 öù�æ��{æDù �WO%âR²D.�Þ�ã/ºdªÝO%â - «�ã/º © � ³Kã7àr«-â[O�à7â;à�Þ�O+.�O���Þ�à�Þ�.RO�M�ªSãMá=àMâtêËrIfÊ¡ËÀÊKÄ ÃjÐ ì / ö Ê ö è # é� ó ï CoäÀÊ¡Ä�Êz/D10Ê�s�ÃjÎ�C ÐDl�ÈfËÀÊFpûÃRCoä3ÈjÏCΡÈjË]12C ÃjË9C © CoäÀÄoÈ�J]Ifä�Ê�ÃjÎ ä�p<È�/ÒË9C�¦ÎZåf Ê¡ÃjÄզΠ� A Ê3ΡÃjË�AÍÄ�/DCoÊ è ì ¦ ï � è ì ¦Î ï�ý ì ¦ � ¦Î ï è # ì ¦Î ï�ý TZTZT ö�" JÀÄ2CoäÀÊ¡Ä � AÍÄ�/mC Ê è # ì ¦Î ï �à è # ì ¦Î ï à ��� � � ÃjË�É ì ¦ � ¦Î ï �3������ ö Æ0äÀÊ�pÀÃRC ä�ÈjÏCΡÈfË]1dC ÃjË9C Ô ì è ï ËÀÊ�ÃjÄ�¦Îu/Q1fIK/mNfÊKËr,9l

Ô j ì ¦ � ¦Î ï è # ì ¦Î ïpo � óAT ì�ò � ïGFÈ Ô ì è ì ¦ ï�ï � Ô ì è ì ¦Î ïoï�ö / ö Ê ö à è # ì ¦Î ï à � 12/ÒË ì ý�üjï � ó � ÃaËÀÉ�C äjJ]1 ü � � ö#ô Ê¡ËÀÎKÊ � C äÀÊKÄoÊ�/D1ÈfËÀÐml�ÈfË�ÊzpÀÃRC ä�ÈjÏCΡÈfË]1dC ÃjË9C ©�� ÃRC�ÃjË]IfÐÑÊ � ì þ ý �/Q1�CoäÀÊF1 Ã�.®Ê5pûÃRCoä ï�öù�æ��{æ�� �WO%âR²D.�Þ�ã/ºdªÝO%â - «�ã/º © � ³Kã7àr«-â[O�à7â;à�Þ�O+.WÔ¾O�öøörM�Þ�ª4ã7á�à7âR«t Ï è # ì ¦Î ï � ó � AÍÄ2/DCoÊ è ì ¦ ï � è ì ¦Î ïBý ì ¦ � ¦Î ïdí è # # ì ¦Î ï ¿ � ý TZTZT � ËÀÊ�ÃaÄt¦Î ö�" J�Ä2C ä�Ê¡Ä � AÍÄ2/DCoÊè # # ì ¦Î ï �aà è # # ì ¦Î ï à � � � � ÃjËÀÉ ì ¦ � ¦Î ï ����� ��� ö Æ0äÀÊ¡Ë � ÃR1&Ã�,NÈ�NfÊ � AVÊ�È�,%C Ã�/ÑË�12/ÒË ì � üFý ï � ó �AÍä]/ÑÎ ä�/D.0pÀÐD/ÒÊ-1

ü � � ¿ ��C ÈjÄ ü � � ¿ � ý þ ¿ � T ì�ò æ ïGFÈ�C ä�Ê�CoA ÈypûÃRCoä]1�ÃjÄoÊXÃRC�Ä2/QIfä9C�ÃaË]IfÐÒÊ-1 ö�� ËÀÊ�/D1SC äÀÊ�1dC Ê¡Ê-p<Ê-12C#Ã�1oÎKÊ¡Ë9C�ÈjÏ ��� C ä�Ê®ÈRC äÀÊKÄ5/Q14C ä�Ê12CoÊ¡Ê-p<Ê-12C!ÉÀÊ�1�ΡʡË9CõÈjÏ �©ö�ì>f È�C Ê � /ÑÏ è # # ì ¦Î ï � ó®ÃaÐQ1oÈ � IfÊ-CfCoäÀÄoÊKÊ�pÀÃRC ä]1 ï�öù�æ��{æ�� �¾Þ9â - ã@öºá=à ,*- Þjã/.RQ

{fö t ÏMC äÀÊKÄoÊÍÊ�s@/Q1dCg1 Ã5pûÃRC ä ¨ � Ï�ÄoÈK. ´ CoÈ ¶ ÈjÏkΡÈfË]1dC ÃjË9C ©�� CoäÀÊ¡Ë�ÐÒÊ�C ¨ ,<ÊBIK/mNfÊKË0,9lw¦ � ¦ ì;m>ï��Ï�ÈfÄ0Ä�Ê�ÃjÐ mfö Æ0äÀÊKË ® Ç� � %�n É Ð Í à ì ¦ ï+° ¦ � ® < ' � % � à ì ¦ ï ° ¦°1m ) °1m � ��� É � Í % C ì�ò ¢ ïAÍä]/ÑÎ ä&Î�ÃaËk,<Ê Ê-NaÃjÐDJûÃRC ÊKÉ},9l * ÃRpÀÐ ÃjÎKÊ���1�.®Ê-CoäÀÈPÉ ö t Ï]CoäÀÊVÈjÄ�/QI�/ÒËûÃjÐ9pÀÃRC ä ÈjÏ!/ÒË9C Ê-IfÄ Ã�Cg/ÒÈjË äûÃR1CoÈ},NÊ!ÉÀÊ�Ï�ÈfÄ�.®Ê¡ÉhÈfË9C È ¨ � C äÀÊKÄoÊu.hÃOl�,NÊ�ÃjÉÀÉ%/DCg/ÑÈfËûÃjÐ�ΡÈfË9C Ä2/Q,]J@Cg/ÒÈjË]1 É%JÀÊuCoÈ � Ï�ÈjÄÁÊ|s�Ã�.0p�ÐÒÊ �pNÈfÐÒÊ-1f,<Ê�CoAVÊKÊ¡Ë'CoäÀÊ5CoAVÈ�pûÃRCoä]1 ö

Page 29: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� � ò

� ö t ÏzC äÀÊKÄoÊ Ê�s@/D12Cg1�ÃnpûÃ�C ä ¨ � Ï�ÄoÈ�. ´ C È ¶ ÈjÏ Î¡ÈfË%12C ÃaËjC ��� C ä�ʡ˺J]1oÊ<CoäÀÊ�.�Ê�C äÀÈPÉSÈjÏ1dC ÃRC�/ÒÈfËûÃaÄ2l;p�äûÃ�1oÊ ö

æ ö têË�IfÊ¡Ë�Ê¡Ä ÃaÐ � 1�J%p]p<È�1oÊ �7ì ´ ïgÚ �Cì ¶ ï(ö ÆCÄdl<C È��ûËÀÉ Ã�pûÃRCoäþÏ�Ä�ÈK. ´ C È ¶ ΡÈfË%1�/Q1dCg/ÑË]I�ÈjÏÎ-JÀÄ2NjÊ�1�ÈjÏ'ÎKÈfË]12C ÃjË9C � ÃjËÀÉ�Î�JÀÄdNfÊ�1!ÈjÏCΡÈfË]1dC ÃjË9C ©�ö

ù�æ��{æ�� �¾Þ9â - ã@öºá=à<ª .¸O+³�â�á>³KÞ{fö�" /ÑËÀÉ�C äÀÊF1oÃjÉÀÉÀÐÑÊ5p<ÈK/ÑË9Cg1 ì / ö Ê ö è # � ó ï� ö x�1oÊ5C äÀÊF1oÃjÉÀÉÀÐÑÊzpNÈK/ÑËjCfAB/mC ä�Ð ÃaÄ�IfÊ-12C Ó ì è ïæ ö�" /ÑËÀÉ�C äÀÊF1dC Ê¡Ê-p<Ê-12C �Pý���� ý�6ûÿ pûÃRCoä�ÃjΡÄ�ÈK1�1BC äÀÊF1oÃjÉÀÉÀÐÑÊjåè ì ¦ ï � è ì ¦Î ï{ý ì ¦ � ¦Î ï í è # # ì ¦Î ï ¿ � ý T�TZT Cè # # ì ¦Î ï � à è # # ì ¦Î ï à � � � C » \ °Nì ¦ � ¦Î ï �B��� �� C�7ì ¦ ï � �7ì ¦Î ï{ý à è # # ì ¦Î ï à � í ÎKÈK1 ì ý � üjï ¿ � ý TZTZT T ì�ò ë ï

Æ0äÀÊKË � .hÃ�s%/D.kJ]. ÉÀÊ�1�ΡÊKËjCS/Q1�AÍäÀÊKË3ÎKÈK1 ì ý � üjï � � {�� / ö Ê ö Ï�ÈfÄü � � þ � � � T ì�ò ç ï

¢ ö ÆCÃOlFÐÑÈfÄ0Ê�s@pûÃaËÀÉ�ÃjË�É�É�È�CoäÀÊ Ã�J%1�1�/ÒÃjËy/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaÐ å® Ç� � %�n É Ð Í à ì ¦ ï+° ¦ � à ì ¦Î ï � %�n É Ð Ì Í ®�Vö V � %fnT T É Ð Ì Í É Ð ö�Ð Ì Í * � í ° ¦° � ° � ý Ä�Ä�Ä� à ì ¦Î ï � %�n É Ð Ì Í ®�Vö V � ö %Û n T T É Ð Ì Í Û Ü * � í � �� ° �

® à ì ¦Î ï � %�n É Ð Ì Í v ��þÂMà è # # ì ¦Î ï à � � É | ö � Í � í T ì�òUÓfï

* Ê-CO��151oÊKÊXäÀÈ�A ÃjÐÑÐ�Coä]/Q1uAVÈfÄ�Åj15/ÒË<pÀÄoÃjÎ-C�/ÒΡÊ�AB/DC ä ÃaË�Ê�s�Ã�.�pÀÐÒÊ ö wVÈjË]1�/ÑÉÀÊ¡Ä4CoäÀÊ�(VÊ�121oÊKÐ éVCol�pNÊÏ�JÀËÀÎ�Cg/ÑÈfË�� É í Í� ì Í ï|� ÉÀÊ-�ÀËÀÊ¡É�,jl� É í Í� ì Í ï � � {

þ ® | v � Vö�� V � � É � Ð ö Ê �"!$# É Ð Í Í ° ¦�C ì�ò è ïAÍäÀÊKÄoÊ�Í ÃaËÀÉ���ÃjÄoÊ Ä�Ê�ÃjÐ ö�í Ê}AB/Q1�ä<C È;�ûËÀÉ<CoäÀÊXÃ�12l�.�p%C ÈRCg/ÒÎ},<ÊKäûÃON@/ÑÈfÄ5/ÒË�C äÀÊ ÐD/Q.�/DCBÍ õ ðÃjËÀÉ�� õ ð /ÒË�C ä�Ê�ΡÃ�1oÊFÍ ï � ö

Æ0äÀÊ ÃjË%12A Ê¡Ä�ÉÀÊ-p<ÊKËÀÉ]1�ÎKÄ�/mCg/ÒΡÃjÐÒÐml�ÈfËrC äÀÊ#ÄoÊ¡ÐÒÃRCg/mNfÊF.�Ã�IfË]/mCgJÀÉÀÊ-1!ÈaÏ�ÍþÃjËÀÉ�� � ÃjËÀÉ�/DCu/Q1�ΡÈfËPéNfÊKË]/ÒÊKË9CuCoÈ�1�Ê-CBÍ � � ¿ ΡÈK1�ä ì: Cï�� AB/mC ä   _ ó � C ÈXÉÀÊ¡ÃjÐ�AB/DCoä�C äÀÊ�Î�ÃR1oÊFÍ ï � ö'í Ê�ÈK,%C Ã�/ÒË� É í Í� ' �

ÎKÈK1oä ì- 7ï ) � � {þ ® | v � Vö�� V � � � É Ð ö��"!$#�Ð �B¡ 5 �"¢ ? Í ° ¦ÝT ì�òfòUï

Page 30: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� æfó

f È�A � ÐÑÊ-C è ì ¦ ï � 8 ' ¦ � 12/ÒË�¦ÎKÈK1oä   ) T ìn{ ófó ï

Æ0äÀÊ�1 ÃaÉÀÉÀÐÒÊ�pNÈK/ÑËjC�1�ÈFÎKÎ�JÀÄ4AÍä�Ê¡ÄoÊ è # ì ¦ ï � ó � / ö Ê ö AÍä�Ê¡ËþΡÈK1+¦ � ΡÈK1�ä  �� 1�ÈyCoäÀÊ¡Ä�Ê®ÃjÄoÊ�1oÃjÉÀÉÀÐÑÊpNÈK/ÒË9Cg1®ÃRCy¦ �£R 8+ �ý � \ þ � Ï�ÈfÄ®ÃjÐÑÐf/ÒË9C Ê-IfÊ¡Ä21 \ ö Æ0äÀÊ3ÈfËÀÊ-10.®ÈK12C®Ä�Ê¡ÐÒÊ�NaÃjË9C0CoÈ�CoäÀÊ�pÀÃRC ä$ÈjÏ/ÒË9CoÊ�IfÄoÃRCg/ÑÈfËhÃaÄoÊ!ÃRC R 8+ mö ÆÇÈk1oÊKÊSC ä%/Q1 � 1oÅaÊ-CoÎ ä;C äÀÊupûÃRC ä%1VÈjÏ©ÎKÈfË]12C ÃjË9C Ô ì è ï ÃjËÀÉeNjÊ¡Ä�/ Ï l�C äûÃRC � / ÏÈfËÀÊ�ÅaÊ�p%C�ÈfËr1�JÀÎ ä�pûÃRCoä]1 � ÈfË�Ê�ÎKÈKJÀÐÑÉrIjÊ-C0Ï�ÄoÈ�. �58 ð CoÈ�þ ýl8 ð AB/DCoäÀÈKJ%CÍÎKÄoÈK121�/ÒË%IhÃjË9l�ÈRC äÀÊKÄ1 ÃaÉÀÉÀÐÒÊFpNÈK/ÒË9C�1 ö�" /ÑÄ�12C)ÐÒÊ-CBJ%1�1�Ê¡ÊFAÍä]/ÒÎ är1 ÃaÉÀÉÀÐÒÊFpNÈK/ÒË9CBIK/mNfÊ-1BCoäÀÊ�ÉÀÈK.�/ÒËûÃaËjC)ΡÈfË9C Ä2/Q,]J@Cg/ÒÈjË öf Ê¡ÃjÄ R 8� �� A Ê�äûÃONfÊè ì ¦ ï � è ì R 8+ Cï�ý {

� ` ì R 8+ W� ¦ ï í è # # ì R 8+ Cï{ý Ä�Ä�Ä� R ìu�| yý C ÃjËÀä  Cï�ý {� ` ì R 8+ "� ¦ ï í ì�¤ C ÃjË�ä  Cï�ý Ä�Ä�Ä T ìn{ ó {>ï

wVÐÒÈ�1oÊBC È�CoäÀÊS1oÃjÉÀÉÀÐÑÊupNÈK/ÑËjC � CoäÀÊ�.hÃ�IjË]/DC�JÀÉÀÊÍÈjÏ�CoäÀÊS/ÑËjCoÊ�IfÄoÃjËÀÉ0/Q1ÁÉÀÊ-CoÊ¡Ä�.�/ÒË�Ê¡Ée,9l�C ä�Êu�ûÄ212C ì / ö Ê öC ä�Ê0ΡÈfË]1dC ÃjË9C ï C Ê¡Ä2.)/ÑË}C äÀÊ0ÆCÃOlPÐÒÈfÄ�1�Ê¡Ä2/ÒÊ�1 ö G@/ÑËÀÎ¡Ê   _ C ÃaËÀä  �� C äÀÊ0ÎKÈfË9C Ä�/D,]J%C�/ÒÈfË#Ï�Ä�ÈK.�¦ � �58+ /Q1ÍÊ|s%pNÈfËÀÊKË9Cg/ ÃaÐÒÐDl�Ð ÃjÄ2IfÊ¡ÄfC äÀÃjËrCoäÀÊ�ΡÈfË9C Ä2/Q,]J@Cg/ÒÈjË�Ï�Ä�ÈK. ýÝ8+ mö í ÊzA ÈKJÀÐÑÉ�CoäÀÊ¡Ä�ÊKÏ�ÈfÄ�Ê Ê|s%pNÊ¡Î�C4C ä�Ê12CoÊ¡Ê-p<Ê-12CÍÉÀÊ-1oΡÊKË9CupÀÃRC ä]1�CoÈ&ΡÄ�ÈK1�1f1dC ÄoÃ�/QIfä9CVÈ�NjÊ¡ÄvCoäÀÊ51 ÃaÉÀÉÀÐÒÊõÃRC�¦ � �58+ �� ,]J%CvC È}C�JÀÄoË;CoäÀÄoÈKJ%Ifäà Ä�/DIfä9C�énÃaË]IfÐÒÊ�ÃRC&¦ � ý 8� �� 1oÈ�C äûÃRC Ó j è ì ¦ ïpo ÎKÈfË9Cg/ÒËjJÀÊ-1�CoÈXÉÀÊ¡ÎKÄoÊ�ÃR1oÊ ö

Æ0äÀÊz12C ÊKÊ�pNÊ�1dCõÉÀÊ-1oÎKÊ¡Ë9C4pûÃ�C ä]1�ÃjÄ�ÊzI�/DNfÊKËy,jlÔ � 8 � ¦ � 1�/ÑË�¦

ΡÈK1�ä5¦ �@� � ÎKÈfË]1dC ÃjË9C C ìn{ óU� ïÃjËÀÉ�Ï�ÈfÄÍÃ�pûÃRCoärpÀÃ�1�12/ÒË]I�C äÀÄ�ÈKJ]IfäA¦Î � CoäÀÊzNaÃjÐDJÀÊ�ÈjÏ�C ä]/D10ΡÈfË%12C ÃaËjCu/Q1 Ô j 8 ì ¦Î � 1�/ÑË&¦Î ¿ ΡÈK1�äd¦Î ïno��AÍä]/ÑÎ ä�NaÃjË]/Q1�äÀÊ�1�/ÒË�C äÀÊ�Î�Ã�1�ÊhÈjÏ�¦Î �¥R 8� mö Æ0ä�Ê;12CoÊ¡Ê�pNÊ�1dC ÉÀÊ-1oΡÊKË9C�pûÃRCoä]1�CoäÀÄoÈKJ%Ifä R 8+  ÃjÄ�ÊC ä�Ê¡ÄoÊ�Ï�ÈfÄoÊFIK/mNfÊKË�,9l

ÍõÎKÈK1oä  "� 12/ÒË�Í!ΡÈK1�ä = � ó C ìn{ ófæ ïAÍäÀÊKÄoÊy¦ � Í ý¤8;=Nö wVÐÒÊ¡ÃjÄoÐml � ÈfË�Ê�pûÃRC ä�/Q14Í � ó � ,]J%C5CoäÀÊXÈ�C ä�Ê¡Ä�ÈfËÀÊ Î¡ÃjË ÈjËÀÐDl',<Ê�1�ÅjÊ-CoÎ äÀÊ¡ÉÄoÈ�J]IfäÀÐml ö tVCf/D10ÃkIfÈPÈFÉ0/ÒÉÀÊ¡Ã}C È&ÅeËÀÈ�A ÄoÈKJ]IjäÀÐDl�AÍäÀÊKÄoÊ4C ä�Ê�1oÊFpûÃ�C ä]1�IjÈ � ,]J@Cf/DCv/Q1)ËÀÈRC0ËÀÊ¡ÎKÊ�121 ÃjÄdlC È ÅeËÀÈ�A�CoäÀÊ�.³Ê�s�ÃjÎ-CoÐDl � JÀË�ÐÒÊ�121¡å�Ê�/mC äÀÊKÄkC äÀÊKÄoÊ�ÃjÄ�Ê�1�/ÒË%IKJÀÐ ÃaÄ�/DC�/ÒÊ-1}/ÒË�CoäÀÊ�/ÒË9C Ê-IfÄ ÃaËÀÉ � 1oÈ<C äûÃ�CC ä�Ê¡ÄoÊ5.�ÃOle,NÊ�Ê|s@CoÄ Ã&ÎKÈfË9C Ä�/D,]J%C�/ÒÈfË]1 Ï�ÄoÈK. ÉÀÊKÏ�ÈjÄ�.�/ÒË]IzC äÀÊ�ÎKÈfË9C ÈKJ�Ä0ÈjÏ�/ÒË9C Ê-IfÄ Ã�Cg/ÒÈjËeC È}CoäÀÊ5pûÃRCoäÈjÏ<ΡÈfË%12C ÃaËjC Ô j è oÇì Ê ö I ö ÃFp<ÈfÐÑÊ)ΡÈjËjCoÄ�/D,]J%Cg/ÑÈfË ï(ñ ÈfÄ�Ï�JÀÄ2CoäÀÊ¡Ä�CoÊ¡Ä�.�1�/ÒË�C ä�Ê!ÃR12l�.0p@C È�C�/ÒÎ)Ê|s%pÀÃjË]1�/ÑÈfËÃjÄ�Ê�Ä�Ê�ijJ]/ÑÄoÊ¡É ö

Æ0äÀÊ ÄoÊ-ijJ]/ÒÄ�Ê¡ÉþÃ�12l�.�p%C ÈRCg/ÒÎ�,<ÊKäûÃON�/ÒÈfÄ4/D1uCoäÀÊ * Ã�pÀÐ ÃaΡÊ#ÎKÈfË9C Ä2/Q,]J%C�/ÒÈfË3Ï�ÄoÈK.£C äÀÊ}pûÃRC ä�AÍä%/ÒÎ äΡÄ�ÈK1�1�Ê�1�C ä�Ê�ÉÀÈK.�/ÒËûÃjË9C�1oÃjÉÀÉÀÐÑÊ;/ÒËnCoäÀÊ�É]/ÑÄoÊ¡Î�Cg/ÑÈfË Î¡ÈjÄoÄoÊ-1�pNÈfËÀÉ]/ÑË]I<C È<1dC Ê¡Ê-p<Ê-12C®ÉÀÊ-1oΡÊKË9C ö Æ0ä]/D1É]/ÑÄoÊ¡Î�Cg/ÑÈfË�Î�ÃjËy,NÊ�Ï�ÈKJÀËÀÉ�ÃR1)Ï�ÈfÐÒÐÑÈ�AB1 ö�f Ê¡ÃjÄ�¦ÎBAVÊ4AÍÄ2/DC Ê ì ¦ � ¦Î ï �B��� �� � C äÀÊKËrCoäÀÊ�É]/ÒÄ�Ê¡Î�Cg/ÒÈjË�ÈjÏ

Page 31: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

|m}�~f�f�&���>���N�F�e���>�7�������<� �h���������a�k|��f������� �!� æ {

pûÃRCoä]1�ÈjÏÁÎKÈfË]12C ÃjË9C Ô j è o /D14IK/DNjÊ¡Ë<,9l�12/ÒË ì ý � üfï � ó � AÍä�Ê¡ÄoÊm�/Q1uCoäÀÊ�pÀäûÃR1oÊ ÈjÏ è # # ì ¦Î ï�ö ÆÇÈ�ûËÀÉyAÍä]/ÑÎ ä3ÈjÏ�C ä�Ê�1oÊz/Q1�CoäÀÊF12CoÊ¡Ê�pNÊ�1dC�ÉÀÊ-1oÎKÊ¡Ë9CSpÀÃRC ä � ÐÑÈFÈjÅhÃRCBCoäÀÊ�ÄoÊ�ÃaÐ�pûÃjÄdC!ÈaÏ è ËÀÊ�ÃjÄ&¦ÎZå

Ó j è ì ¦ ïno � Ó j è ì ¦Î ïno�ý {� � í à è # # ì ¦Î ï à ΡÈ�1 ì ý � üjï C ìn{ ó�¢ ï

1oÈ Ó j è o ÉÀÊKΡÄ�Ê�Ã�1�Ê�13Ï�ÃR12C Ê-12CyAÍäÀÊKËðÎKÈK1 ì ý � üjï � � {fñ / ö Ê ö AÍäÀÊ¡Ë ü � ì þ � ï ¿ � ö�¦ ÈKJAB/ÒÐÑÐ�pÀÄoÈK,ÀÃ�,ÀÐDlr�ûËÀÉ</mC�Ê¡Ã�1�/ÑÊ�12CSC È�ÉÀÈeCoäÀÊ&ΡÃjÐÒÎ-JÀÐ ÃRC�/ÒÈfË%1õÃaÏ�Ä�Ê�1�äþÊ¡ÃjÎ ä�Cg/D.�Ê � ÄoÃRC äÀÊKÄuCoäûÃjË�C Ädl�CoÈÄoÊ-.�Ê-.k,NÊ¡Ä�C ä%/Q1)Ï�ÈfÄ2.kJÀÐ Ã öf Ê¡ÃjÄ&¦ � �58+  è ì ¦ ï � ì: "� C ÃjËÀä  Cï{ý {

� ìu�58+ �� ¦ ï í C ÃjËÀä  ;ý Ä�Ä�Ä C ìn{ óUë ï

1oÈ�C äÀÃRCfC äÀÊFpûÃ�C äA¦ � �58+ �ý?8 � ì � Ä�Ê�ÃjÐ ï ΡÈfÄ�ÄoÊ�12p<ÈjËÀÉ]1BC È�12CoÊ¡Ê�pNÊ�1dCõÉ�Ê�1oÎKÊ¡Ë9C öÆ0äÀÊz1 ÃjÉÀÉ�ÐÒÊ5pNÈK/ÒË9CÍΡÈjËjCoÄ�/D,]J%Cg/ÑÈfËy/Q1� É í Í� ' �

ΡÈK1�ä   ) ® � {þ � � É ? ö¨§"©ª#y¢ ? Í ®�Vö V � ö

Á* Ü * � §�©ª#«¢ ? 8�° �® � 8þ � � É ? ö¨§"©ª#y¢ ? Í v ��þ�vC ÃjË�ä   T ìn{ ófç ïf ÈRC ÊFC äûÃRCuAVÊ#ÃjÄoÊzIKJûÃaÄ ÃjË9C ÊKÊ¡É'CoäûÃRC�C ä]/D1u/D1�CoäÀÊ#ÐÑÊ�ÃjÉ%/ÒË]I�C ÊKÄ�.£/ÒËyC äÀÊ#Ã�12l�.�p%C ÈRCg/ÒÎ�Ê|s%pÀÃjË]1�/ÑÈfË

,9l í ÃRCg1�ÈfË���1!ÐÑÊ�.�.hà ö

¬ ��¬��¡£\ªhס¬®¦ ¬�Ø®­°¯d±<×@²´³µ¯·¶ ¸£¹cº�»¼¯·»¼²¾½ ¹Q³À¿iWÂÁÄô³½·¹QÅ/²ÇÆÈÊÉcËÌ�/Í4É[Î�ϾÐ"ϨËyÉcÑ�Ò�ÎÔÓ4ÕÔÖ�Ë«×rÉ[Ñ«ÉQÎÔÓ4Ó"Ð"ÏUÉÔØ Ù¼ÚrÛ:�NÜdÐÞÝßË«×rÉ�Ý�ÉcËtÕÔÖÊÖ-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏrÝ�! Û�âãÜåärÉwæEÏrÉQäIÕ�Ïç�2Ý«àrá�×Ëy×rÎ�Ë è Ú !è â Ú´éÂê Ú ! é !�ë Ú8ì Ûfí8î¨ï�ÜÉwðNÐÞÝ�ËyÝ`Î�Ïrä�Ð"Ý[ácÕ�ϨËyÐ"Ï�àrÕÔàrÝQØÀñªÖ�!�ò«ó�ôõÙ Ú Û:�NÜwö�Ë«×rÉQÏ�Ý�Õ÷Î�Ñ«Éy!¾øùó�ÎÔÏrä�úa!~Øüût×�àrÝcö�Ù Ú Û:�NÜÀý"þ/ÿ��������� þ��Uÿ ��� Ø�� ��������������������! #"���� � þ �%$'& Û-âãÜ)(�î+*-,.*-/�(·ÿ )�102��3.45�60 ÿ 4�087�� " 4�02�609�4 �;: $ Ú=<> î?�@+A�B ��4CED�Ù Ú Û�FNÜHG ÙJIBÛ�FNÜ�(r!KG C§!

C§! Û�âãÜ > ÚL &NM I $'& Û-âãÜQÛ ê & !MÜQÛ-âãÜ Ûfí8î'O¨Üý"þüÿQP�ý 45� ÿ R0 ý S ��)��4T� ý:ÿ�P � � �� ÿ �U� :WVYX9Z[? �U\]�602�� /�@_^ \`$ Ú Û-âãÜ <> î �4 FT( � B ��4 C ý"þ 45�ba ÿ�Pc@

Page 32: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ����� ���������������������V ��� C 7�� ÿQVYX9Z �U\���02�� / �4 F ÿ 4�0 P ��� ! Û�âãÜ 7�� /v� � ý aQ� þ 0 ý S ��)��4T� ý:ÿ 7 P ��4 Fz@_� 4��6� "Uÿ � ý �4 CH� > ! Ûfí8î'�¨Üý"þ�ÿ�P�ý 45� ÿ K0 ý S ��)��4T� ý:ÿ�P �6� "rÿ � ý �4 :WVYX��Y? �U\���02�� / �4 Fz@-^ \ ! é î �4 F�( � B � VYX��Ký"þB �aQ�6�2��45��� "¨þ�@

� ÉdÑ�ÉcÖ-ÉQÑÊË«Õ|Ý�Õ�Ó"àNËyÐ"ÕÔÏrÝÊÕÔÖ Ëy×rÉd×rÕ'�/Õ'��ÉcÏrÉQÕÔàrÝÊÉ���àEÎ�Ë«Ð"Õ�ÏÎÔÝ ���a ��P ��aQ��4T� ÿ b�Y\ " 45��� ý �4 þdÛW����Ý�ÜoöÎÔÏrä Ë«×rÉÇÝ«ÉwËIÕÔÖ�����ÝIÎÔݾ˫×rÉ�� ��b45� PdÕÔÖ`Ëy×rÉÇÕ' 4ÉQÑ«Î�ËyÕÔÑ¡CtØ£¢q 4ÉQácÐÞæEá�Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrݾÕÔÖ`Ë«×rÉ´ÏrÕ�Ï2¤×rÕ'�/Õ'��ÉcÏrÉQÕÔàrÝ�É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�Ï�¥ßÉË«×rÉQÏ�Ñ«ÉwÖ-ÉQÑtËyÕ/ÎÔÝ��Uÿ b� ý � "2P ÿ ý 4T�U�¦�� ÿ�P þ¼ÛW§·ñ&Ý�Üoب_©�ª «­¬¯®#°²±.³µ´�¶¸·�¹E¬%ºk»E®T¼t½Y®�¾ût×rÉR��ÉQÏUÉQÑyÎ�Ó�Ö-Õ�Ñ6�uÐ"Ý

$y¿ Û�âãÜÀ��#-Û-âãÜÊø $ I Û-âãÜÀ�MÛ-âãÜ > ! Û-âãÜ Ûfí�í8î¨ÜÕ�ÏIñ�Ø�¢NÐÞÏráQÉ $y¿ Û-âãÜ <> î2Õ�Ï=F�öy¥ßÉüärÐ Ò Ð"ärɼÍ9l $y¿ Û-âãÜtÎÔÏUä÷Ñ�ÉÁ¥�Ñ«Ð ËyÉ`ÎÔÝ� # Û-âãÜÊøk Û-âãÜU��Û�âãÜ >Äà Û�âãÜ�Å Ûfí�í�í>Ü

� ɼæEÑ�Ý�Ë|áQÕÔÏrÝ«ÐÞärÉQÑtËy×UÉ×UÕ'� Õ���ÉQÏrÉcÕ�àrÝ�É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ�1#�Û-âãÜ�øk Û-âãÜU��Û�âãÜ > î�Å Ûfí�ím��Ü

Æ[ÉcærÏrɼËy×rÉmý 4T���¦�� ÿ � ý 42�1\ ÿ ����� ÎÔÝÈÇÊÉ öy¥�×UÉQÑ«ÉËçÛ�âãÜ >¸Ì�Í Â Û�ÎMÜ è Î�ò Ûfí�í��¨Ü

¥�×rÐÞá�×�ÉwðNÐÞÝ�ËyÝcö�Ý«Ð"ÏUáQÉJ¥ÌÉüÎÔÝ«Ý�à��/É`Ë«×EÎ�Ë. Û�âãÜ�ÐÞÝ|Í4Õ�àrÏUärÉQä�Øßût×rÉQÏMö�Û��yÇ É Ü # > Û�� # øÏÂT�UÜ�Ç É Øßût×�àrÝcöÐÞÖ��MÛ-âãÜÌÝ«Î�ËyÐÞÝ�æEÉcÝ|Ë«×rÉ`×rÕ'�/Õ'��ÉQÏUÉQÕ�àrÝtÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�örË«×rÉQÏ Û��qÇ É Ü # > îUö�¥�×rÐÞá�×÷Ð��µ rÓÞÐ"ÉcÝ�MÛ-âãÜ > Ù]Ç�Ð É ë Í ì Å Ûfí�íÊÑ�Ü

Ò Õ�¥°áQÕÔÏrÝ«ÐÞärÉQѾ˫×rÉ´ÏrÕ�Ï2¤&×rÕ'�/Õ'��ÉcÏrÉQÕÔàrݾÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ�Ø��ÌÓ"ÉQÎÔÑ«ÓmlÂÛ��yÇ É Ü # > Ã Ç É Ø ût×rÉcÑ«ÉcÖ-ÕÔÑ«É´Ëy×UÉ��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓÊÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÐ"Ý ��Û�âãÜ > ÙRÇ�Ð É ë Í ì øÓÇ�Ð É ë Í ì Ì Í�à Û�ÎãÜ�Ç É ëÕÔ ì è Î�Å Ûfí�ímÖ�Ü×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k�����¸ �B �ß-� BUÿ � Û�â#à øií>ÜÀ� # Û�âãÜ�áiÛ�í`á âãÜÀà��MÛ-âãÜ > â�Ç�Ð Í Ûfí�í�â¨ÜBUÿBþ[þ � Pã" � ý �4

��Û�âãÜ > Ù]Ç Í á ¿à1ä âmø ¿à�å Ç Ð Íâ à ø�í Å Ûfí�í>ï�Ü

Page 33: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �'�¨_©�æ «­¬¯®#°²±.³�´9ç�è�½Y±H®�éȽYêÛ¬¯è�¼ »Ó®T¼t½Y®ë´9¶¸·�¹�ìEç�í�î ï�¬¯è�¹2íy±.è�íðï�¬`½Yñ£òêYçÀ½�èóíy¹ût×rÉR��ÉQÏUÉQÑyÎ�Ó�Ö-Õ�Ñ6�uÐ"Ý

CÈôõ�sö > � # # øk Û-âãÜU� # øø÷rÛ�âãÜÀ� >Äà Û�âãÜtÅ Ûfí�í�O¨Üù ÏráQÉ[Î��¨ÎÔÐÞÏ�ö�×rÉQÑ�ɼÎÔÑ«É Ë�¥ÌÕÀÝ�àrÍq¤ú rÑ«Õ�ÍUÓ"É��/ÝßË«ÕÀÝ«ÕÔÓÞÒ Ð"Ï��Ëy×rÐÞÝÌÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ûUäUÉcËyÉcÑ6�/Ð"ÏrÐÞÏ��üË«×rÉ�ü¼ÉcÑ«ÏrÉcÓÎÔÏräIËy×UÉR rÎÔÑ�Ë«Ð"áQàUÓ�ÎÔÑßÐ"ϨËyÉÁ��ÑyÎÔÓÞÝQØ·ñ&Ï=��ÉQÏUÉQÑyÎ�ÓÊÍãÕÔË«×�ÎÔÑ«É`ärÐcý ácàrÓÞËQØ×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k�����

CÈôõ�sö é � # # øÓ��� # øÓ��� > â#àbÇ Í Å Ûfí�í��¨Üþ �4 þwý 02���3. þ �¯� B � þ[ÿ þ�@+A b� � > Ç�� Í @� Û��bà~øÓ��� øE��ÜÀÇ � Í > î� � > áí � á �KÅ Ûfím�Ôî¨ÜA�B ��)��\Ê�)� ([ý 4�02� � ��4�02��4T� þ � Pã" � ý �4 þ¾ÿ �� � ¿ > Ç Ð Í ÿ 4�0 � à > Ç Ð2à Í (ÿ 4�0k� B � þ[ÿ ý"þÄÿkP�ý 45� ÿ ���a97 ý 4 ÿ � ý �4;�U\J� B � þ � @A�B �Ù\ ÿBþ ��� þ �tß ÿ �x���83.4�0 ÿ���^çý"þ �U� � " � þ�þ �45��� " � þ�þ+� > Û $ â à ø��yâ�ø �cÜ�Ç Í @­A�B ��4)� " � ý 45� ÿ�P �2��7� ÿ � ý ��� þ $ > í���âs(�� > áÙÖ��NíÊO2(�� > í����Ní8î'OT@+A�B �1�2��45�� ÿ�P4þ � Pã" � ý �4 ý"þ � B ��)��\Ê�)�

��Û�âãÜ > � ¿ Ç�Ð Í ø�� à Ç�Ð2à Í ø íí8î'O Û�í�O�â#à%á ��îBâ2øií��¨Ü�Ç Í Å Ûfím�Ní>Ü×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k�����

CÈôõ�sö é � # # øE��� # ø � > áQÕÔÝ>Û-âãÜJÅ Ûfím�'��Üþ �4 þwý 02��J3. þ �+� B � þ[ÿ þ�@ A �� � > Ç�� Í @���ý � P 0 þ�� > áí¸: �� � � ÿ ���60 ?�@ � � B ��)� ÿ )�x45��ý 4�02� � ��4�02��4T��)���� þ¡B ��)� @£A �83.4�0;� B �x�� B �� P�ý 45� ÿ P � ý 4�02� � ��4�02��4T� þ[ÿ ( ��b� � > Î~Û-âãÜÀÇ Ð Í @A�B ý"þ � B ��4=� ý ��� þ C1ô �sö > Î # # Ç�Ð Í > î�ò Ûfím���¨Ü � Î > $ âMø��@+A�B ��)��\Ê�)� ( �Wßó� P�ý 45� ÿ P � ý 4�02� � ��4�02��4T� þ � Pã" � ý �4 þÌÿ �� � ¿ > Ç Ð Í (�ÿ 4�0 � à > â�Ç Ð Í @� �ß ( � " � þ�þmÿ���^��� > �MácÕ�Ý8Û�âãÜ~ø è Ý«ÐÞÏÊÛ-âãÜÁ@KA�B ý"þ � ý ��� þ�� > î�ÿ 4�0 è > í��'��@=A�B ��)��\Ê�)� (� B �Ù�2��45�� ÿ�P4þ � Pã" � ý �4 ý"þ �MÛ-âãÜ > Û�� ¿ âÀø�� à Ü�Ç�Ð Í ø í� Ý«Ð"ÏÊÛ-âãÜRÅ Ûfím��Ñ�Ü

Page 34: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ��Ñ�i×9l�äUÐ"ä÷Ë«×rÐ"Ý�ËyÑ�Ð"á��¡¥ßÕ�Ñ���Ð"ÏIËy×UɵÓ�ÎBË«ËyÉcÑ ÉoðUÎ��µ UÓ"É���ût×rÐ"Ý Ð"Ý Î� EÎÔÑ�ËyÐ"ácàrÓ�Î�Ñtá@ÎÔÝ�ÉÀÕÔÖ )�60 " ��� ý �4 �U\��02�� D[ñªÖÌÕÔÏrÉ2Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÇÕÔÖÌΡ/ãË«×kÕ�Ñ�ärÉQÑ`ÈYÆ! �Ð"Ý���ÏrÕ�¥�Ï�ö�Ëy×rÉmÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�ÏÇá@ÎÔÏ�Í4É2áQÕ�ϨÒ�ÉcÑ�Ë«ÉQäkË«ÕÎÔÏIÕ�Ñ�ärÉQÑ`/ á í`Õ�ÏrÉ�ØßÈÊÉwË�")Ý|ÒÔÉQÑ«Ð Ö l¾Ëy×UÐ"ÝtÉwðq rÓÞÐ"ácÐÞËyÓmlµ¥�×UÉQÏ=/ > �NØ

CÈôõ�sö > ��# #Bøk Û-âãÜU�1#�øø÷rÛ�âãÜÀ� > î Å Ûfím�'Ö�Ü¢Nà� y ãÕ�Ý�É]� >�# Û-âãÜ Ð"Ý�Î2Ý�Õ�Ó"àUË«Ð"Õ�ÏMØ ût×rÉQÏ�ËyÑdl¡�MÛ-âãÜ > Î~Û-âãÜ # Û-âãÜwØ·ût×UÉQÏ

CÈô Î # ö > Î # # # øE��Î # # # øøÎzCÈô # ö øÏÂTÎ # # Å Ûfím��â¨Ü$ÌàUË1CÈô # ö > îUöEÝ«ÕmÍ9l�¥�Ñ«Ð ËyÐÞÏ��&% > Î # ¥ÌÉ`Õ�ÍNË�ÎÔÐÞÏIË«×rɼæEÑ«Ý�Ë|Õ�Ñ«ärÉcÑ�É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�Ï% # ø('2� # ## øÏÂ*)+% > î Ûfím��ï�ÜÖ-Õ�Ñ�¥`ب_©ú¨ ,¸®T½�½�è&-�¹/.!0tè�ê5í�çÀ¬¯è�¹ût×rÐÞÝ8 rÑ«Ð��çÎ�Ñ«Ð"ÓmlÇáQÕÔÏráQÉcÑ«ÏrÝ2æEÏräUÐ"Ï��ϧ·ñ&ÝÀÖ-Õ�ÑüÝ«ÉQácÕ�ÏräõÕ�Ñ«äUÉQÑÀÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�ÏrÝQödÎ�ÓÞËy×UÕ�à���× Ë«×rÉÄáQÕÔÏráQÉÁ UËá@Î�Ï Í4É9�ÔÉQÏrÉcÑyÎÔÓÞÐ21QÉcä�Ë«Õ÷×UÐ ��×rÉcѼÕ�Ñ«äUÉQÑÝ2l Ý�Ë«É��/ÝQؾût×rÉmËyÉcá�×rÏrÐ�� àUɾÎÔÝ�Ý«à��/ÉQÝ`Ëy×EÎBËüÕÔÏrÉ áQÎÔÏ�æEÏräËy×UÉR�ÔÉQÏrÉcÑyÎÔÓ����ÌØEût×UÉQÑ«ÉüÎÔÑ�É[Ë�¥ÌÕ/Ý�ËyÎÔÏräEÎÔÑ�ä÷áQÎÔÝ«ÉcÝ ÐÞÏ�¥�×rÐ"á�×IËyÕmärÕmËy×rÐÞÝQØ.��ÐÞÑ«Ý�Ë@örácÕ�ÏrÝ«ÐÞärÉQÑ

� # # ø431� # ø45�� > î�ò Ûfím��O¨Ü¥�×rÉcÑ«É63 ÎÔÏrä75uÎÔÑ�ɼáQÕ�ÏUÝ�Ë�Î�Ï�Ë«ÝQØßÈÊÉcËÈ/ ¿ ÎÔÏrä=/ à Íãɼ˫×rÉ`Ñ«Õ ÕÔËyÝtÕÔÖ[/ à ø431//ø�5 > îUØ·ût×rÉcÏ

�MÛ-âãÜ >98 Ù ¿ Ç Ú;: Í øõÙ à Ç Ú�< Í / ¿ <> / àÛ�Ù ¿ øõÙ à âãÜ�Ç Ú;: Í / ¿ > / à ò Ûfím���¨ÜÎÔÝ_¥ßÉ×rÎ8ÒÔÉüÝ�ÉQÉcÏ�Ø¢NÉQácÕ�Ïrä�ö�ácÕ�ÏrÝ«ÐÞärÉQÑ

� # # ø 3 â � # ø 5â à � > î�Å Ûfí���î¨ÜÒ Õ�¥!/ ¿ ÎÔÏrä=/ à ÎÔÑ«É`Ñ«Õ ÕÔË«ÝtÕÔÖv/ Û�/ á í>ÜÊø=3Ù/ ø�5 > îNØ·ût×rÉQÏ

�MÛ-âãÜ >>8 Ù ¿ â Ú : øõÙ à â Ú < / ¿ <> / àÛ�Ù ¿ øõÙ à ÓÞÏ âãÜfâ Ú : / ¿ > / à ò Ûfí��Uí>Ü¥�×rÉcÑ«É`Ëy×rÉ`Ý«ÉcáQÕ�ÏUä�Ý«ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏÄ×rÉcÑ«É`á@Î�Ï÷Í4ɼÖ-Õ�àrÏräIÍ9lIÑ«ÉcäràrácË«Ð"Õ�ÏIÕÔÖ�Õ�Ñ«äUÉQÑQØ

Page 35: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ��Ö�����Û��� ?���������ÚTÞA@�Ú�Þ�BY DC6E�GF[Þ� 2ÜIHñ&Ï�Ëy×rÐÞݼݫÉQáwËyÐÞÕ�Ï�öÛ¥�Ó"Õ'�Uö�¥ÌÉ+¥�Ð"ÓÞÓ àrÝ�É9F > ô)îUò�J Üwö�ÎÔÏrä�Ö-Õ�Ñ`Î� y rÑ«Õ' UÑ«Ð�ÎBËyÉQÏUÉQÝ«Ý`ÕÔÖßÏrÕÔËyÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ö5¥�ÐÞÓ"ÓàrÝ�É6K[Û-Ë«Ð �/É8ÜßÐÞÏrÝ�Ë«É@ÎÔä�ÕÔÖ âÇÎÔÝ�Õ�àrÑ Ò�ÎÔÑ�Ð�ÎÔÍUÓ"ÉÔØût×rÉR��ÉQÏrÉcÑyÎÔÓÛ UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ��uÐ"ÝML

ô NÌÛOK�Ü�ö >QP ÛOK�Ü[ò NÌÛ�î¨Ü > NSRQÅ Ûfí�����ÜñªÖ Ë«×rÐ"ÝÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�Ï�ÉwðNÐ"Ý�ËyÝüÐÞËá@ÎÔÏkÍãÉ/Ý«×UÕm¥�Ï Ë«Õ÷Í4ÉçàUÏrÐ ��àrÉ�ØT$ql�ÎÔÝ«Ý�à��9 UËyÐÞÕ�Ï�¥ßÉçáQÎÔÏ Ý�Õ�ÓÞÒÔÉ Ëy×UÉ×rÕ'�/Õ'��ÉcÏrÉQÕÔàrÝK UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ�� Û ¥�ÐÞË«×�Ë«×rÉ Ý«Î�� É�ÐÞÏrÐÞË«Ð�ÎÔÓ áQÕ�ÏräUÐÞËyÐÞÕ�Ï�ÜoØ �kÉ�Ë«×rÉQÑ�ÉcÖ-Õ�Ñ�É ácÕ�ÏrÝ«ÐÞärÉQÑIËy×UÉÝ�ËyÎÔÏräEÎ�Ñ«ä= rÑ«Õ�ÍUÓ"É�� LôUNÌÛVK�ÜUö >�P ÛVK�Ü[ò NÌÛ:î¨Ü > îÄò Ûfí��'�¨ÜÝ«ÐÞÏráQÉ Î`Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�Ï Õ�ÖMËy×UÉ ×rÕ�� Õ'�ÔÉQÏrÉcÕ�àrÝ% rÑ«Õ�ÍUÓ"É���ö'¥�ÐÞË«×/Ë«×rÉÈ��ÐÞÒÔÉQÏçÍ4Õ�àrÏUäEÎÔÑ2lmácÕ�ÏrärÐ ËyÐÞÕ�Ï�ö�ÎÔäräUÉQäËyÕ/ÎmÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÕÔÖ Ëy×rÐÞÝtÉ���àEÎ�Ë«Ð"Õ�ÏIÐÞÝ Ëy×rÉJ��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓÊÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ϾËyÕmËy×UÉÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ØÈÊÉcË|àrÝ_¥�Ñ«Ð ËyɼËy×rÉ`Ý�Ë�ÎÔÏrärÎÔÑ«ä= rÑ«ÕÔÍrÓ"ÉÁ� ÎÔÝ

CÈôõ�sö éXW�MÛOK�ÜÊøk ÛOK�ÜZY�MÛVK�ÜÊø ÷UÛOK�ÜU��ÛVK�Ü > ! ÛOK�Ü�ò Ûfí���Ñ�Ü¥�ÐÞË«× ��Û:î¨Ü > Y�ãÛ�î�Ü > îUØ[ ×rÉcàrÑ«ÐÞÝ�ËyÐÞá[Î� y rÑ«Õ¨Î�á�×ÄÐ"Ý Î�ÝÌÖ-Õ�Ó"ÓÞÕ�¥�ÝQØH¢ à� � 4Õ�Ý«É�¥ßÉ[á@Î�ÏÄÝ«Õ�Ó Ò�ÉmÛfí���Ñ�ÜH¥�×rÉQÏt! ÛVK�Ü > \ ÛVK�á^]>Üwö¥�ÐÞË«×7]æUðNÉQä�ØåÈÊÉcË�Ë«×rÉÎÔÝ«Ý�ÕNácÐ�Î�Ë«ÉQä�Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÍãÉ�_ ÛOKoò�]BÜoöEÐ+Ø)ÉÔØ

CÈô`_Jö >�\ ÛVKvá4]>Ü�ò Ûfí���Ö�Ü¥�ÐÞË«×a_çÛ:îUòb]>Ü > _!c�Û�îUò�]BÜ > îUØ.Ò Õ�¥ÂácÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ

��ÛVK�Ü > ÌedI _ ÛOKoò�]BÜÒ! Ûf]>Ü è ]+Å Ûfí��'â¨Ü�ÌÓ"ÉQÎÔÑ«Óml¡�MÛ�î¨Ü > îUöEÎÔÏUäK�;c�Û�î¨Ü > îUØ [ ÓÞÝ«Õrö

CÈôõ�sö > Ì dI CÈô`_çÛVKoòb]>ÜUöä! Ûf]>Ü è ]> ÌedI \ ÛOK[á4]>ÜK! Û�]>Ü è ]> ! ÛVK�ÜÙÅ Ûfí��¨ï�Üût×�àrÝQö~Ûfí��'â¨ÜÌÐÞÝ Ëy×rÉ`Ý«ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏÄÕÔÖ Û�íÊ��Ñ�ÜwØ

Page 36: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �'âÒ Õ�¥`ö[¥�×rÎ�˵äUÕNÉcݾÛfí���Ö�Ü��/É@ÎÔÏG���ÌÓ"ÉQÎÔÑ«Óml�ö�ÐÞÖgK <> ]9¥ÌÉ á@ÎÔÏ ÎÔÝ«Ý�à��/É/Ë«×EÎ�Ëh_¥Ð"ÝÎ�Ý�� Õ ÕÔË«×Ö-àrÏráwËyÐÞÕ�Ï÷Õ�ÖiKoØßñ&Ï´ÎÔäräUÐÞËyÐÞÕ�Ï�öUÎÔÝ«Ý�à�� É`Ëy×rÎ�Ëj_ ÎÔÏrä7_�c ÎÔÑ«É`Í4Õ�àrÏrärÉcä´ÎÔÝMK%G ]¨ØóÒ Õ�¥ÂÐÞϨËyÉ��ÔÑyÎ�Ë«ÉÛ�íÊ��Ö�ÜßÖ-Ñ«Õ��(K > ]1álktËyÕ�]Ìø4kQöGkMm î�D

Ìenfo*pn Ð p Û�_!cqcEøkÂG_�crø ÷r_üÜ è K >!Ìenfo*pn Ð p \ ÛOK[á4]>Ü è K > í�Å Ûfí��'O¨Üût×�àrÝô`_�c ö nfo*pn Ð p ø Ì n�o*pn Ð p ÛãÂG_!cEøø÷s_üÜ è K > í�Å Ûfí��'�¨Ü$ql ÎÔÝ�Ý«à��9 UËyÐÞÕ�ÏmËy×rÉ Ð"ϨËyÉÁ��ÑyÎÔÏUäçÐ"ÝåÍ4Õ�àrÏrärÉcä�örÎ�ÏräçÝ�ÕµËy×rÉ|Ð"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ�Ð"ÝutIÛ�k�ÜßÎÔÝvk¯G îUö Ý«ÕµÐ"ÏmËy×rÐÞÝÓ"Ð�� Р˯¥ßÉR��ÉcË

ô`_�c ö nfwnyx > íµÅ ÛfíÊѨî¨Üût×�àrÝQöZ_�c Ð"Ý�ÏrÕÔË áQÕ�Ϩ˫Ð"Ï�àrÕ�àrÝcöãÍUàUË�×rÎÔÝ[Î{z�à��9 �ÕÔÖÌíÀÎ�Ë|K > ]¨Ø�ÈÊÉwË�")Ý�Í4ɵÎ/Ó"ÐÞË�ËyÓÞÉ�� ÕÔѫɼÖ-Õ�Ñ6� ÎÔÓÎÔÍ4Õ�àUË|ÎÔÓÞÓMËy×UÐ"ÝQØ�� �������������������� A�B �I������4Z} þ \ " 45��� ý �4Ï\Ê��� B � ý 4 ý � ý:ÿ�P � ÿ�Pã" � � )��7 P ��a � � þ �60Ó� ÿ P�ý �� ý"þÇÿ\ " 45��� ý �4 _ ÛOKoòb]>Ü�þQÿ � ý"þ \b� ý 42�~ @ \Ê� Kv�Yîs(i]h�iî2(SK <> ]�(i_¥ý"þ¼þ aQ���� B�(ßÿ 4�0 C1ô`_tö > î2( \Ê��3��q�60 ]s@� @{_ Û�îUò�]BÜ > _�c�Û:îUòb]>Ü > îs( \Ê� ]�m î� @{_Sý"þ|Ù ¿ ÿ � K > ]�( 7 " � ô`_�c ö nfwn x > í�� ���������������������^ \ � ¿ Û-âãÜ`ÿ 4�0 � à Û�âãÜÿ )� P�ý 45��� ÿ P � ý 4�02� � ��4�02��4T� þ � Pã" � ý �4 þ ��� ÿµþ �����4�0Q��02��VYX���@1A�B ��4 ( � B �RßH)�4 þ��Bý:ÿ 4 ý"þ�²ôõ� ¿ ò)� à ö é � ¿ Û�âãÜÀ��#à Û-âãÜvá � à Û-âãÜÀ��#¿ Û-âãÜò ÛfíÊÑrí>Üÿ 4�0 � ÿ 4;7�� þ�B �ßH4��U�Q7��R45�4����)�¡�4 Fz@�. qÜ�Ü�Ú��Û��� ��� ý"þ � þµÿ 4�0 ý"þR" 4 ý � " �C6E�5� P ������� �+��� ��P�ý � ý �H���4 þ �� " ��� ý �4 @óV ��� � ¿ (5� à 7��`��ßó� ý 4�02� � ��4�02��4T� þ � Pã" � ý �4 þ �U\ CÈô �2ö > î2(þ �9� BUÿ �¯� B �RßH)�4 þ��Bý:ÿ 4 ý"þ 45�4����)� @`V ���_ ÛOKoòb]>Ü > 8 î î�*/K���]6�QJ� ¿ K ¿ ÛOK�ÜÊø�� à � à ÛOK�Ü î���]]*/K��QJ Å ÛfíÊÑs��Ü

Page 37: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �¨ïþ P � ÿ P �+� B ��3. þ �.��ßó�¡���4�0 ý � ý �4 þ`ÿ )� þQÿ � ý"þ 3��60 @+� �J45���609��� ý a � � þ �R���4T� ý 4 " ý ��� ÿ � K > ]Äÿ 4�0ÿj�b" a � �U\ íçý 4 _!c�@9A�B � þ �8���4�0 ý � ý �4 þ )� ÿ 0� ¿ � ¿ Ûf]>ÜÊø�� à � à Ûf]>Ü > î� ¿ Y� ¿ Ûf]>ÜÊø�� à Y� à Ûf]>Ü > í¡Å ÛfíÊÑ��¨Ü� �9� B ��02��3.4 ý � ý �4��U\t� B �RßH)�4 þ��Bý:ÿ 4 ( � B ��)�+��� ý"þ � þµÿµ" 4 ý � " � þ � Pã" � ý �4� ¿ > á � à Û�]>Ü%ÀÛf]>Ü� à > � ¿ Ûf]>Ü%2Û�]BÜ Å ÛfíÊÑ'Ñ�Ü

¢NÕröT��Ð Ò�ÉcÏ�Ë«×rÉQÝ�ÉäUÉcæEÏrÐ ËyÐÞÕ�ÏrÝQörË«×rÉ`Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÕÔÖ Ëy×rÉ`ÐÞÏrÐÞË«Ð�ÎÔÓ�Ò�ÎÔÓ"àrÉt UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ��uÐ"Ý��ÛVK�Ü > ÌedI _ ÛOKoò�]BÜÒ! Ûf]>Ü è ]+Å ÛfíÊÑsÖ�Ü

×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k����� W�`øI� à � > Ç Ð c ò ÛfíÊÑ�â¨Üß ý � B{K�m î2(T�MÛ�î�Ü > Y�ãÛ�î¨Ü > îT@+A�B ���)����4Z} þ \ " 45��� ý �4 ý"þ�Ý«ÐÞÏ�ÛV��ÛVKmá�]>Ü«ÜÁ@]:�þ�B �ßÏ� B ý"þ�?QA�B ��)��\Ê�)� (� B � þ � Pã" � ý �4 ý"þ

��ÛVK�Ü > Ì cI _ ÛOKoòb]>ÜÀÇ�Ð n è ]> í� Ì cI Ç�Ð n Ý�Ð"ÏÊÛ���ÛOK[á=]>Ü«Ü è ]> ííßøl� à 8 Ç�Ð c ø Ý«ÐÞÏ�ÛV��K�Ü� á�ácÕ�Ý8Û���K�Ü�� Å ÛfíÊÑ�ï�Ü

×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k����� K à W��á�ÛVK à øÓ�;K�Ü�Y�¼ø]ÛOK�øE�ÔÜÀ� > ! ÛOK�Ü`ò ÛfíÊÑ�O¨Üß ý � B9��Û:î¨Ü > Y�ãÛOK�Ü > îT@�� � BUÿ ���

CÈôõ�sö éXW��á�� íßø � K�� Y�¼ø>� í K ø �K à � � > �! é !K à Å ÛfíÊÑ��¨Ü� � ý 4 þ�� ����� ý �4 ( �45� þ � Pã" � ý �4 �U\ CÈôõ�sö > î�ý"þt� > KÁ@=��þwý 42�K)�60 " ��� ý �4Ó�U\µ��02�� ( � B � þ �����4�0þ � Pã" � ý �4 ý"þuKÀÇ Ð c @1 ��� _çÛVKoòb]>Ü >>8 î K���]� : c o � < c� �¡ x�¢n K�m�] ò ÛfímÖÔî¨Üþ �4T� ý 4 "Ný ��� ÿ � K > ]Çý a ��P�ý � þ6� ¿ øQ� à > îT@=�£�b" a � �U\ íÇý 4 _!c`ý a ��P�ý � þh� à > í���] > á{� ¿ @A�B ��)��\Ê�)�

��ÛVK�Ü > Ì cI í] ô KÀÇ c Ð n áIK�ö �! Ûf]>Ü è ]> K Ì cI�¤ Ç c Ð n á í]�¥ ¦ !�Ûf]>Ü è ]QÅ ÛfímÖNí>Ü

Page 38: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �'O�����Û��� §6¨8�*©�C����W���eª8�«B���¬�Ú*E�N�­]Ú�Þ�BY 7C6Em�GFvÞ� 2ÜIHÒ Õ�¥¥Ý�Éc˵F > ô $ ò®��ö�Ø-�ÌÕÔÏrÝ«ÐÞärÉQÑ Î;/#¤ªË«×�Õ�Ñ�ärÉQÑ/Ý�¯ Ý�ËyÉ���Ø ût×rÉa�ÔÉcÑ«ÏrÉcÓ ×rÎÔÝ äUÐ �/ÉQÏrÝ�Ð"Õ�Ïø/�Ø�ñ&ÏÎÏ�m¤ú ãÕ�ÐÞϨËÀͨÒ2 �ö%¥ßÉÄÐ �9 4Õ�Ý«É�° m¥î´ácÕ�ÏrärÐ ËyÐ"ÕÔÏrÝÀÎ�˵â > $ öåÎÔÏrä /;á�° m¥î´ácÕ�ÏrärÐ ËyÐÞÕ�ÏrÝÀÎBËâ > �8ödË«Õ´æUð δácÕ'�9 rÓ"ÉÁ� ÉcÏ�ËyÎÔÑ�¯�Ö-àrÏUácËyÐÞÕ�Ï�Ø�¢Nàrá�×�Îx rÑ�Õ�ÍrÓ"ÉÁ� � Î�¯ ×rÎ8ÒÔÉIîUötíÄÕ�ÑÀÐÞÏUæEÏrÐ ËyÉcÓ�¯� ÎÔϱ¯ÄÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝcØ×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k����² þ �4 þwý 02�� � # # ø­� > î2( \Ê��ß B ý � B � B �k� ÿ 4�0 ý 0 ÿ ���t\ " 45��� ý �4 þ÷ÿ )� Ý�Ð"Ï â®ÿ 4�0áQÕÔÝrâ[@ þ �4 þwý 02��t� B �.\Ê� P P �ß ý 42� � � þ�þwý 7 ý P�ý � ý � þ \Ê�]7�� " 4�0 ÿ b�����4�0 ý � ý �4 þ9: 7�� þ�?�@~ @1�MÛ�î¨Ü > í�(Y� # ÛV³ Ü > îT@9A�B ý"þtBUÿBþ �45� þ � Pã" � ý �4µ´ �MÛ-âãÜ > ácÕ�ÝEâ[@� @1�MÛ�î¨Ü > ��ÛV³ Ü > îT@ A�B ý"þ9BUÿBþ�ÿ 4 ý 4Ê3.4 ý �U�Q4 " a97���K�U\ þ � Pã" � ý �4 þ ´ �MÛ-âãÜ >·¶ Ý�Ð"Ï â�( \Ê�ÿ Á7 ý �� ÿ b� ¶ @� @1�MÛ�î¨Ü > î2(Y� # ÛV³ Ü > îT@9A�B ý"þtBUÿBþ 45��45�4 � �W ý � ý:ÿ�Pãþ � Pã" � ý �4 þ�@¸ @1�MÛ�î¨Ü > í�(Y� 7�� " 4�02�60 ÿBþtâ G J­@µA�B ý"þ�BUÿBþ �45� þ � Pã" � ý �4µ´ ��Û�âãÜ > Ç Ð Í @¹ @1�MÛ�î¨Ü > î2(Y� 7�� " 4�02�60 ÿBþtâ G J­@µA�B ý"þ�BUÿBþ 45�945�4 � �� ý � ý:ÿ�Pãþ � Pã" � ý �4 þ�@�� �������������������� #"���� � þ �`� B � � )��7 P ��a

Lô �sö > î ß ý � B 7�� " 4�0 ÿ b�R� ÿ�Pã" � þ|ÿ � â > $ ÿ 4�0 â > �

BUÿBþ 45�945�4 � �� ý � ý:ÿ�Pãþ � Pã" � ý �4 þ�@9A�B ��4�$ (i�/ÿ )�+���4 �b" � ÿ ��� � � ý 4T� þ�@�� �������������������²­� 7�� " 4�0 ÿ b�����4�0 ý � ý �4 ÙQô �ãò $ ö~ý"þ`B �aQ�6�2��45��� "�þtý \ ( ß B ��45������ ý � ý"þ�þQÿ � ý"þ 3��607�� �#(dý � ý"þµÿ�P þ � þQÿ � ý"þ 3��60¡7�� ¶ �T( ß ý � B ¶ ÿ 4 ÿ Á7 ý �� ÿ ������4 þ � ÿ 4T� @º Õ�� Õ'�ÔÉQÏrÉcÕ�àrÝ�ÍãácÝ�àrÝ«àEÎ�Ó"Ó�¯çáQÕ'�/ɼÐ"ÏÄË«×rɼÖ-Õ�Ñ6�� ¿ �MÛ $ ÜÊø�� à � # Û $ Ü > îÄò ÛfímÖ'��ÜÖ-Õ�ÑtÉoðrÎ��µ rÓÞÉÔØ�� �������������������» þ �4 þwý 02�� ÿ � � � � ý 4T�ó7�� �

CÈô �2ö é ��# #Bøk Û-âãÜU�1#�øø÷rÛ�âãÜÀ� > ! Û-âãÜ ÛfímÖ��¨Üâ´ô ô $ ò��)ö�( ß ý � B 7�� þ Ù ¿ Û��ãò6� # ò $ Ü�(~Ù à Û��4ò)� # ò��wÜÁ@µA�B �e�)����4Z} þ \ " 45��� ý �4 _ Û-â�ò�¼¨Ü¼þQÿ � ý"þ 3�� þ~ @{_ Û-â�ò�¼¨Ü`ý"þ¼þ aQ���� B�(�CÈô`_Jö > î \Ê�È$ * â�(½¼�*Q��(~â <> ¼T@

Page 39: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �'�� @ þ �4 þwý 02��)�60 ÿBþµÿ \ " 45��� ý �4��U\ â�(i_¥þQÿ � ý"þ 3�� þ � B ��7�� þ�@� @{_Sý"þ|Ù ¿ ÿ � â > ¼q( 7 " � _ Í BUÿBþÿj�b" a ��ô`_ Í Û-â�ò�¼¨ÜUö Í Mµ¾ wÍ Mµ¾ x > íñv¥�ÐÞÓ"ÓrÝ�Ë�Î�Ë«ÉÔö ÍràUËßÏrÕÔ˯ rÑ«Õ8Ò�É�ö Ë«×EÎ�ËßÐÞÖ4Ëy×rÉ ÍãácÝÌÎ�Ñ«É|×rÕ'�/Õ'��ÉQÏUÉQÕ�àrÝcö ÎÔÏrä $ ö¿�tÎÔÑ«É|áQÕÔÏ;z�à��¨Î�Ë«ÉÔö¨Ëy×UÉQÏ_®ÉoðUÐÞÝ�Ë«Ý�ÎÔÏUä�ÐÞÝ�àrÏrÐ ��àrÉ�ØñªË|á@ÎÔÏIËy×rÉcÏ÷Í4É`Ý«×rÕ�¥�Ï�Ëy×EÎ�ËtË«×rÉ`Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÕÔÖ Ëy×rÉJ rÑ�Õ�ÍrÓÞÉ�� ÛfímÖ��¨ÜßÐÞÝ�MÛ-âãÜ > ÌeÀÁ _çÛ�â�ò�¼�ÜÒ! ÛO¼¨Ü è ¼¡Å ÛfímÖ�Ñ�Ü

×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k����»� # # Û�âãÜ�ø �MÛ-âãÜ > !�Û-âãÜò ÛfímÖ'Ö�Ü

�4 ô)îUò�³�ö�( ß ý � BQ�MÛ�î¨Ü > î2(�� # ÛV³ Ü > î�@�^ � ý"þ � ÿBþ �¡��� þ ����� BUÿ �_� B � B �aQ�6�2��45��� "�þ`þ � Pã" � ý �4 BUÿBþþ � Pã" � ý �4 þ� ¿ Û�âãÜ > Ý«Ð"Ï â þQÿ � ý"þ \b� ý 42� ��Û:î¨Ü > î� à Û�âãÜ > áQÕ�Ýrâ þQÿ � ý"þ \b� ý 42� � # ÛO³ Ü > î=Å ÛfímÖ�â¨Ü

A�B �JßH)�4 þ��Bý:ÿ 4 ý"þ � B ��4 % > áí�(·þ ��� BUÿ �ó� B �e�)����4Z} þ \ " 45��� ý �4 ý"þ_çÛ�â�ò�¼�Ü >98 á´ácÕ�Ý*¼·Ý«ÐÞÏ â î�* âx*/¼�*/³á´Ý�Ð"Ï�¼·ácÕ�Ýrâ î�*/¼�* âx*/³ ò ÛfímÖ�ï�Üÿ 4�0µ� B �.3.4 ÿ�Pãþ � Pã" � ý �4k���9� B � � )��7 P ��a ý"þ�MÛ-âãÜ > á�áQÕ�Ýrâ Ì ÍI Ý«ÐÞÏ�¼�! ÛV¼�Ü è ¼�á Ý«Ð"Ïtâ Ì�ÂÍ áQÕ�Ý*¼F! ÛO¼¨Ü è ¼=Å ÛfímÖ�O¨Ü

¨_©�Ã Ä î�½ÆÅ ÇÆÈ É ½�í�î�¬`¼ût×rÉ¡�ëü�$ �/ÉcË«×rÕNä ärÉ@ÎÔÓÞÝ�¥�ÐÞË«× Ëy×UÉ¡�çÎBËyá�×rÐÞÏ��´ÕÔÖ|Î� y rÑ«Õ@ðNÐ � Î�ËyÉ Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝÕÔÖ|δärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏÄÍãÉwË�¥ÌÉcÉQÏIË�¥ÌÕmÑ«ÉÁ��Ð"ÕÔÏrÝó¥�×rÉcѫɼËy×rÉ[Î� � rÑ�Õ8ðNÐ��çÎ�Ë«Ð"Õ�Ï Ð"ÝÌÒ�ÎÔÓÞÐ"ä�ös¥�×rÐÞá�×÷Î�Ñ«É[Ý�É� EÎÔÑ«Î�ËyÉcäIÍ̯Î2Ñ«ÉÁ��Ð"Õ�Ï�¥�×rÉcÑ«É`Ëy×rÉÎ� y rÑ«Õ@ðNÐ � Î�ËyÐÞÕ�ϾÐÞÝtÏrÕÔË�Ò�ÎÔÓ"ÐÞä�Ø�ñªË|Ð"ÝtÝ�àyý/áQÐÞÉQÏ¨Ë Ë«ÕmáQÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑtËy×rÉ`É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏè à %è â à ø ¶ àÈ!�Û-âãÜÍ%ÀÛ-âãÜ > îÄò ÛfímÖ��¨Ü¥�×rÉcÑ«É*! Û-âãÜÌÐÞÝtÑ«É@Î�Ó�ÎÔÏrä�Ý�ËyÑ�Ð"áwËyÓ�¯Q� ÕÔÏrÕÔËyÕÔÏrÐ"áQÎÔÓ"Ó˯mÐ"ÏrácÑ«É@Î�Ý«Ð"Ïy�röy¥�ÐÞË«×W! Û�î¨Ü > îUØ·ût×rÉJ EÎÔÑ«Î�� ÉwËyÉcѶ ÐÞÝ�Ñ�É@ÎÔÓUÎÔÏrä8 4Õ�Ý«Ð ËyÐ Ò�ÉÔö�ÎÔÏrä2Ó�Î�Ñ6��É�Ø~ût×rÐÞÝ É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏÀÕNácáQàrÑ�Ý Ö-Ñ«ÉÁ� àUÉQϨËyÓ˯ÀÐ"Ï� r×±¯NÝ�Ð"ácÝ�û¨Ö-Õ�Ñ�ÉoðUÎ��µ UÓ"ÉÔöËy×UÉ�¢ á�×rÑ WÕ�äUÐ"Ï���ÉcÑ�É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�ÏIÐ"ÝtÕ�Ö~Ë«×rÐ"ÝtÖ-Õ�Ñ��÷Ø

Page 40: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ѩî� ɵ¥�Ð"Ó"ÓdÍ4É¡��àrÐÞärÉQä Í̯�Ëy×UÉçÖ:ÎÔácËüËy×EÎBË@öv¥�×rÉcÏ<!�Ð"ÝüáQÕ�ÏrÝ�Ë�ÎÔϨËQö·Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝüÎÔѫɾÕ�Ö Ëy×rÉ Ö-Õ�Ñ6�Ç�Î�Ï Ð¨Ø·ñ&Ï=��ÉQÏrÉcÑyÎÔÓ�öUÖ-Õ�Ñ��çÎÔÓÞÓ�¯Ôö2¥ßÉR¥�ÐÞÓ"ÓãÓ"Õ Õ��/Ö-ÕÔÑ�ÎÔÝ�¯2�9 UËyÕÔË«Ð"á¼Ý�Õ�Ó"àUË«Ð"Õ�ÏUÝtÕÔÖ~Ë«×rɼÖ-Õ�Ñ6�%2Û-âãÜ > Éwðq  8�¶ÒÑ I ø Ñ ¿ ø Ñ à¶ øÔÓ�Ó�ÓO�Kò Ûfí�â�î¨Ü

¥�×rÉcÑ«ÉÖÕ ¶ ¿ Ð Ú Ñ ÚÌ× ÐÞÝmÎÔÏõÎÔÝ�¯2�9 UËyÕ�ËyÐ"áÄÝ�É���àrÉcÏráQÉ�ØÓ�kÉIærÏräõË«×rÉ Ñ Ú Í±¯ Ý�àrÍrÝ�Ë«ÐÞË«àUËyÐÞÏ���Ð"ϨËyÕÇËy×UÉärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓ�ÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ÎÔÏrä�É���àEÎ�Ë«Ð"Ï��� 4Õ�¥ÌÉcÑ«Ý|ÕÔÖ ¶ Øû~Õ/Õ�Ñ�ärÉQÑ ¶ à ö�¥ÌɼæEÏUä Ñ # àI ø9!�Û-âãÜ > îÄò Ûfí�âUí>Ü¥�×rÐÞá�×a¯ Ð"ÉcÓ"ärÝ Ñ I Û-âãÜ > ØÙ ÚÜÛ ,ÌÝ ÍI�Þ ! Û�ÎãÜ è Î !�m îmÐ�Ø�É�Ø âDm îÛ Ý IÍ Þ ß ! Û�ÎãÜ ß è Î !�� îmÐ�Ø�É�Ø âD� î ò Ûfí�â���Ü

û~Õ/Õ�Ñ�ärÉQÑ ¶ öy¥ÌÉ`æEÏrä Ñ # #I øE� Ñ # I Ñ # ¿ > îÄò Ûfí�â'�¨Ü¥�×rÐÞá�×a¯ Ð"ÉcÓ"ärÝ Ñ ¿ Û�âãÜ > á í� Ó"Õ���Û Ñ # I Ü> ÓÞÕ'��Û>! Ð ¿�àfá Ü�Å Ûfí�â�Ñ�ÜÛ:Ð���ÏrÕ�Ñ�Ð"Ï��`ácÕ�ÏrÝ�ËyÎÔϨËyÝßÕÔÖÊÐ"Ϩ˫É���Ñ«Î�ËyÐÞÕ�Ï�ÜwØ ût×�àrÝÌË«×rÉ�Î�Ý�¯2�µ NËyÕÔË«Ð"á�Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝcö�Ò�ÎÔÓÞÐ"ä+¥�×rÉcÏ ß ! ß Ð"ÝdÏrÕ�ËÝ6� ÎÔÓÞÓ+ö�ÎÔÑ�ÉüÉoðy 4Õ�ÏrÉcϨËyÐ�Î�Ó~ÐÞÏ÷Ö-Õ�Ñ�� Ö-Õ�Ñ|â^�Yî´Û-Ð+Ø)ÉÔØ ö4Ö-Õ�Ñ�! Û�âãÜ|�Yî¨ÜwöãÎÔÏrä÷Õ�Ý«ácÐ"Ó"Ó"Î�ËyÐÞÏ��mÐ"ÏIÖ-Õ�Ñ6� Ö-ÕÔÑâDm îUØ�� Ét¥�Ñ�ÐÞËyÉ[Ë«×rÉ�� Ð"ÏÄËy×rɼÖ-Õ�Ñ��%�âäã�Û�âãÜ > ÛÀá�!�Ü�Ð ¿�àfá Éwðq  � Û ¶ Ì IÍ Þ á�! Û�ÎãÜ è Î � !D� î2Ð+Ø)ÉÔØ âD� îIò Ûfí�â�Ö�ÜÎÔÏrä %Må·Û-âãÜ > Û>!�Ü�Ð ¿�àfá Éoðy T� Û , ¶ Ì ÍI Þ ! Û�ÎãÜ è Î � !�m îmÐ+Ø)ÉÔØ âÜm î Å Ûfí�â'â¨Üût×rÉcÝ«É`Ö-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏUÝ Î�ѫɼá@Î�Ó"Ó"ÉcäxV�ý � " � ý P P � � �)����4 Û:È�æüÜßÖ-àrÏUácËyÐÞÕ�ÏrÝ Ö-Õ�Ñ Ë«×rÉ`ärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨËyÐ"ÎÔÓ�ÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�Ï�Øût×rÉmÎ� � UÑ«Õ@ðNÐ � Î�ËyÐÞÕ�Ï�àrÝ�ÉQäÇËyÕÄÕÔÍUË�ÎÔÐÞÏ�Ëy×UÉQÝ«É/ÎÔÝͯ2�µ UË«ÕÔËyÐÞáµÝ�Õ�Ó"àUË«Ð"Õ�ÏUÝ�Ð"Ý�ÏrÕÔË�Ò�ÎÔÓÞÐ"ä�¥�×UÉQÏ ß ! ßÐ"Ý`Ý��çÎÔÓÞÓ+Ø+Ò|ÉcÒÔÉQÑ�Ë«×rÉQÓÞÉQÝ�ÝQö·ÎÔϱ¯Ï��Ð Ò�ÉcÏkÉoðrÎ�ácËüÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�Ï´ËyÕIËy×rÉmÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�Ï;¥�ÐÞÓ"Ó Í4É/ÎÔÝ�¯2�9 UËyÕ�ËyÐ"áÀË«ÕÝ«Õ�� É2ÓÞÐ"ÏrÉQÎÔѼáQÕ'�µÍrÐ"ÏEÎBËyÐ"ÕÔÏ´ÕÔÖåËy×rÉmÉwðq 4Õ�ÏrÉcÏ�Ë«Ð�ÎÔÓdÈ�æKÖ-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏrÝ`ÐÞÏ�â�� î�Î�Ïrä�Ë«ÕIÝ«Õ'�/ÉmÓ"Ð"ÏUÉ@ÎÔÑáQÕ��ÀÍrÐ"ÏrÎ�ËyÐÞÕ�ϾÕÔÖ~Ëy×rÉ`Õ�Ý�áQÐ"ÓÞÓ�Î�Ë«Ð"Ï��µÈ�æ�Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝtÐ"ÏÄâDm îyD%2Û-âãÜèç $ %�âÔÛ-âãÜÊø4��%�ãÔÛ-âãÜ Î�Ý�â�G á{J%2Û-âãÜèç �b% o Û-âãÜ�ø è % Ð Û-âãÜ Î�Ý â G ø�J Å Ûfí�â¨ï�Ü

Page 41: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñríût×rɵÐÞärÉ@ÎmÕÔÖ��ëü�$iÐ"Ý�ËyÕmæEÏrä�Ë«×rÉÑ«ÉQÓ"Î�ËyÐÞÕ�ÏrÝ�×rÐ  IÍ4ÉcË�¥ßÉQÉQÏ $ öÒ�8öZ�>ö4ÎÔÏrä è Øó�EÕ�Ñ�ÉwðUÎ��9 rÓ"É�ö4Ð ÖÍ4Õ�àrÏräEÎ�Ñ�¯�áQÕ�ÏUärÐÞË«Ð"Õ�ÏrÝ ÎÔÑ�É]��Ð Ò�ÉcÏÇÎÔÝ âxG á�J]ö�Ëy×�àrÝ�ärÉcË«ÉQÑ6�/Ð"ÏUÐ"Ï�� $ ÎÔÏräD�8öãÕ�ÏrɵáQÎÔÏ´àrÝ�ɵËy×UÉ�ëü�$�� ÉwËy×rÕ ä¾ËyÕµärÉcË«ÉQÑ6�/Ð"ÏUÉ!��ÎÔÏUä è Ö-Ñ�Õ'� $ ÎÔÏräT�8öEÎ�ÏräÄ×rÉQÏUáQÉ[ËyÕÀærÏräÄËy×rÉ[Í4ÉQ×rÎ8Ò ÐÞÕ�Ñ ÕÔÖ�Ëy×UÉÝ«ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏIÎÔÝtâ�G J]Øù ÏrÉ]�/Ð �Ô×�Ë Éwðq ãÉcácË|Ëy×rÉÑ«ÉcÓ�Î�Ë«Ð"Õ�ÏUÝ«×rÐ� ÄÍãÉwË�¥ÌÉcÉQÏ $ öG�8öÒ�Bö�ÎÔÏUä è ËyÕ/ärÉ� 4ÉQÏrä÷Õ�ÏIËy×rɼÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�Ï! Û�âãÜ�Ð"ÏÀËy×UÉtärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨËyÐ"ÎÔÓUÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�Ï�Ø�ñªË·Ë«àrÑ«ÏUÝ·Õ�àUË·Ëy×rÎ�Ë Ëy×UÉtÑ«ÉQÓ"Î�ËyÐÞÕ�ÏrÝ�×rÐ  ÀÐÞÝ Ð"ÏÀÖ:Î�ácËdÐ"ÏUärÉ� 4ÉQÏräUÉQϨËÕÔÖ&! Û-âãÜmÛ� UÑ«Õ8Ò Ð"ärÉcä�ö�Î�ÝÐÞÝ`ÎÔÝ«Ý�à��/ÉQä ×UÉQÑ«É�ö�! # Û�î¨Ü <> î¨ÜoØ ût×rÐÞÝ`Ð"Ýt¥�×EÎ�ËR� Îs�ÔÉcÝË«×rÉ�� ÉwËy×rÕ äkÝ�ÕàrÝ�ÉcÖ-àrÓ�Øût×rɾÑ�ÉQÓ�ÎBËyÐ"ÕÔÏrÝ«×rÐ�  Í4ÉcË�¥ßÉQÉcÏ $ öA�8ö��>ö·ÎÔÏrä è áQÎÔÏrÏrÕ�ËÀÍ4ÉçáQÕ��µ rÓÞÉcË«ÉQÓ�¯�ärÉwËyÉcÑ6�/Ð"ÏrÐÞÝ�ËyÐÞá�û��ÔÐÞÒ�ÉcÏ�mÎÔÏrä è Õ�ÏrÉ/áQÕ�àUÓ"ä�ÏrÕÔËü×rÕ' 4ÉmË«Õ÷æEÏUäI�ÀÍ4ÉQá@Î�àrÝ«É/Ëy×rÉ/Éwðq 4Õ�ÏrÉQϨ˫Ð�ÎÔÓÞÓ�¯ÇärÐ Ò�ÉcÑ6��ÉcÏ�˵ݫÕ�ÓÞàUËyÐÞÕ�Ï�Û:ÐÞÏâ£�°î¨Ü]¥ßÕ�àrÓ"äõÝ�¥ÌÎ��9 õË«×rÉIÍãÕÔàrÏrärÉcä�Ý�Õ�Ó"àUË«Ð"Õ�Ï�Ý�Õ�Ë«×EÎ�Ë/ÐÞË�¥ÌÕ�àUÓ"äõÏrÕÔË2Ö-É@ÎBËyàrÑ�É÷ÎBËçÎ�Ó"ÓÌÐÞÏõÎÔÏÎÔÝͯq�9 UË«ÕÔËyÐÞá¼Éwðq EÎÔÏrÝ�Ð"Õ�ÏMØåût×UÉQÑ«ÉwÖ-Õ�Ñ«É�ösz�àrÝ�Ë�Ë�¥ßÕ Ý�Õ�Ñ�Ë«Ý|Õ�Öv� Î�Ëyá�×UÐ"Ï��2áQÎÔÏ÷Í4ÉÎÔá�×rÐÞÉcÒ�Écäí�Ø`��Ð Ò�ÉcÏÜ�8ö�ÎÔÏrä ��Ð Ò�ÉcÏ�Ë«×EÎ�Ë $ > îNöUæEÏrä7�¼ÎÔÏrä è ö�NØ`��Ð Ò�ÉcÏÜ�[Î�Ïrä è öUærÏrä $ût×rÉ�Ñ«ÉQÓ"Î�ËyÐÞÕ�ÏrÝ�×rÐ   áQÎÔÏõÉ@ÎÔÝ�Ð"Ó�¯ ÍãÉIÝ�ÉQÉQÏõËyÕ�Í4É�ÓÞÐ"ÏrÉQÎÔÑIÛ-Ý«Ð"ÏUáQɾËy×UÉ�äUÐ�ÊãÉQÑ«ÉcϨËyÐ�Î�Ó É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�Ï ÐÞÝÓ"ÐÞÏrÉ@Î�Ñ�Üwö�Î�ÏräiÝ«Ð"ÏUáQÉÇÐÞËçÐ"ݾÐÞÏrärÉÁ ãÉcÏrärÉQϨË�ÕÔÖ*! Û�âãÜwö|ÐÞ˾áQÎÔÏiÍãÉ�ärÉcË«ÉQÑ6�/Ð"ÏUÉQäiͱ¯ Ñ«ÉwÖ-ÉQÑ�ÉQÏrácÉ�Ë«Õ Î EÎÔÑ�ËyÐÞáQàrÓ"ÎÔÑ ! Û-âãÜoö~Ö-Õ�Ñt¥�×rÐÞá�×kË«×rÉ Ý�Õ�Ó"àNËyÐ"ÕÔÏrÝ`ÕÔÖ Ëy×UÉ ärÐËÊMÉcÑ«ÉcÏ�Ë«Ð�ÎÔÓ·ÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�ÏkÎÔÑ«Ée��ÏrÕ�¥�Ï�ÉwðUÎÔácË«Ó�¯Ö-Õ�ÑtÎ�Ó"Ó�â�Ø·ût×rÉt� ÕÔÝ�ËtácÕ�ϨÒ�ÉQÏUÐ"ÉQϨË�á�×rÕÔÐ"áQɼÐÞÝßË«Õ2àrÝ«É ! Û�âãÜ > â�öy��Ð Ò Ð"Ï��µË«×rÉJ��ý b�¡�6� "rÿ � ý �4 Ø·ût×rÐÞÝÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏÄá@ÎÔÏIÍ4É[Ý«Õ�Ó Ò�Écä�ͱ¯ÄÐÞϨËyÉ��ÔÑyÎÔÓ4Ñ«ÉÁ rÑ«ÉcÝ«ÉQϨËyÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ö�ÎÔÏräIÎ�Ý�¯2�µ NËyÕÔË«Ð"á�Ö-Õ�Ñ�� ÝÌÕÔÖ�Ëy×rÉ[Ý�Õ�Ó"àNËyÐ"ÕÔÏá@Î�Ï÷ÉQÎÔÝ«ÐÞÓ�¯¾Í4ɼÕ�ÍUËyÎÔÐ"ÏUÉQäÄÖ-Õ�Ñ_ 4Õ�Ý«Ð ËyÐÞÒÔÉ`ÎÔÏrä�ÏrÉ���Î�ËyÐ Ò�ɼâ�Ø� ɵ¥�Ð"Ó"Ó·ÕÔÏrÓ�¯�×EÎ@Ò�É ËyÐ �/ÉmËyÕ�Ý�Ë�Î�Ë«ÉçËy×UÉçÑ«ÉcÝ«àrÓ ËyÝcØ÷Ëy×UÉÄÎÔÝ�¯2�9 UËyÕ�ËyÐ"á9�/ÉcËy×UÕNä Ö-ÕÔÑüÕ�ÍNË�ÎÔÐÞÏrÐ"Ï��Ëy×UÉQÝ«ÉÐ"Ý_�ÔÐÞÒ�ÉcÏ�örÖ-Õ�ÑtÉoðrÎ��µ rÓÞÉÔörÐÞÏÄËy×rɼËyÉoð ËyÍ4ÕNÕ��çÍ̯Té�Î�Ëy×UÉÁ¥�Ý ÎÔÏrä � ÎÔÓ��ÔÉcÑQØ·ût×rÉÑ«ÉcÝ«àrÓ ËyÝ|ÎÔÑ«Éí�Ø�ñªÖ�%ÀÛ-âãÜÜçê%�ã�Û�âãÜçÎÔÝçâ G á{J]öüÛ:Ð�Ø�É�Ø]Ëy×rÉ�ärÉQáQÎ�¯ ÐÞÏ���Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�Ï�öó¥�×UÐ"á�× Ð"Ý/Ëy×rÉ�àrÝ«àEÎ�ÓÍ4Õ�àrÏrärÎÔÑ�¯ÄácÕ�ÏrärÐ ËyÐÞÕ�ϾÖ-Õ�Ñ�Î+ r×±¯ Ý«Ð"áQÎÔÓY rÑ«ÕÔÍrÓ"ÉÁ�¾ÜåË«×rÉQÏ%2Û�âãÜAç �! ¿�àfá áQÕ�Ýu� ¶�Ì+ÍI ! ¿�à à¯á ³ Ñi� ò Ûfí�â'O¨ÜÎÔÝtâ�G ø�J]Ø�NØ�ñªÖi%2Û�âãÜgç7! Ð ¿�àfá ácÕ�Ý ä ¶ Ý ÍI ! ¿�à à ø�ú å Î�Ý�â�G ø�J Ëy×rÉcÏ%2Û�âãÜAç íß ! ß ¿�àfá Ý«Ð"Ï � úIø ³ Ñ � Éoðy  � ¶ Ì IÍ ß ! ß ¿�à à � ò Ûfí�â'�¨ÜÎÔÝtâ�G á{J]Ø

Page 42: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñs�×ÙØÛÚ�Ü�ÝvÞ� k����ëíì�îKÚ*EÜ�������ïÜðeH�ï���Þ�Þ�Úy�Ê�ÒE�ñ

áóòô à�r° è à®õè â à ø í� °+�%à«â#à õ >Ôö õ Å Ûfí>ïÔî¨Ü� �÷} P P ���ßH ý ���J� B ý"þý 4k� B � þ � ÿ 4�0 ÿ �0È\Ê�baõ # # ø ¶ à�!�Û-âãÜ õ > î÷ò Ûfí>ïNí>Üß B ��)� ¶ à é �r°a� òô à (Ìÿ 4�0 ! Û-âãÜ é á|°+� à â à �'��ø ö @^ 4k� B ý"þ ßó� P Pã�f� 45�ßH4���� ÿ a ��P � (a!^miî \Ê� ß â ß � Þ � ö �r°+� à é $ ( ÿ 4�0 õ G îÇÿBþ|âKG J­@þ �4 þwý 02���������4 þ � Pã" � ý �4 þ�(åÿ 4�0Qa ÿ �U� B÷ÿ � â > ø $ ÿ 4�0 â > á $ @ÿ � âÜ� á $ ( ßó�+��7�� ÿÔý 4 õ > 3! ¿�àfá Éwðq T�2á Ì Ð ÁÍ Þ ß ! ß � ò Ûfí>ï'��Üÿ 4�0È\Ê� âDm!á $ ( ßó�+��7�� ÿÔý 4 õ > 3! ¿�àfá Éwðq a�2á Ì ÍÁ Þ ß ! ß � Å Ûfí>ï��¨Ü: ß B ��)�Jßó� "¨þ �J� B � þQÿ aQ�`$�7���� ÿ�"¨þ �Rßó� ÿ )� P ��� �Bý 42�È\Ê��������4 þ � Pã" � ý �4 þ�?�@� �ß ( a ÿ ��� B ý 42� ÿ � á $K� ý ��� þõ ç �r3! ¿�àfá áQÕ�Ý � ¶�Ì ÍÐ Á Þ !¡á ³ Ñ � ò Ûfí>ï�Ñ�Üÿ 4�0µa ÿ ��� B ý 42� ÿ �[$K� ý ��� þ õ ç �;3! ¿�àfá áQÕÔÝ � ¶ Ì ÁÍ Þ !¡á ³ Ñ � ò Ûfí>ï'Ö�ÜÿBþ � B � þ � Pã" � ý �4 ý 4 á $ �ùâD� $ @µA�B �����\Ê�)� (¶ Ì ÍÐ Á Þ !¡á ³ Ñ >ø¶ Ì ÁÍ Þ !¡á ³ Ñ øE�/«³ ò Ûfí>ï�â¨Üß B ý � B � ý ��� þ ¶ Ì ÁÐ Á Þ ! > ��/Ò³çø ³ � ò Ûfí>ï�ï�Üþ �9� BUÿ ��3.4 ÿ�P P ��ßó�+��7�� ÿÔý 4 � ö á ³ � > � �//ø í� � òô ��³�Å Ûfí>ï�O¨Ü

Page 43: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ��ù ú�ûAü�ýÇÆÿþ�Åeû�� � üÀ¿�� ÃÇ¿@ÃÇÆÃ1©�ª Ä î�½£.�¬v0�®#çÀ½Y®Qĵ®T±.è�¹qºb¬¯®#°ñ�")Ó"Ó Î�Ý«Ý«ày� ɵ˫×EÎ�Ë�¯ÔÕ�àÖ��ÏrÕ�¥ Ý«Õ�� ÉwËy×rÐÞÏ��ÄÎÔÍ4Õ�àUËJ�EÕ�àUÑ«Ð"ÉcÑ Ý�ÉQÑ�Ð"ÉQÝcØ+¢Này � ãÕÔÝ«ÉÀóMÛ-âãÜ ÐÞÝ�ácÕ�ϨËyÐ"Ï�àrÕÔàrÝÕ�ÏÏáM³kË«Õe³·örÎÔÏräIËy×EÎ�ËtóMÛ Û ³ Ü > îUØ·ût×rÉQÏóMÛ��UÜ > dLÐ d Ù Ú Ç & Ú�� ò Ûfí>ï��¨Ü¥�×rÉcÑ«É Ù Ú > í��³ Ì ÂÐ Â ó�Û��rÜÀÇ�Ð & Ú�� è ��Å Ûfí�O�î¨ÜÒ Õ�¥ ácÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑßá�×EÎ�Ï���Ð"Ïy�Ë«×rÉ�Ð"ϨËyÉcÑ�Ò�ÎÔÓrËyÕQôãáÙCg�'�Nò)Cv���ö+Ø%¢ ÉcË%� > �dâ�ö�� > �;³���C�ö¨óMÛ��UÜ > !�Û-âãÜwöÙ Ú > C�� Ú Ødût×rÉcÏ=¥ßÉ×EÎ@Ò�É ! Û-âãÜ > íC dLÐ d � Ú Ç &�� Ú Í ò Ûfí�OUí>Ü¥�ÐÞË«× � Ú >!Ì� à àÐ � à à ! Û-âãÜÀÇ�Ð &�� Ú Í è â Å Ûfí�O���Üñ&ÏIËy×rÉ`Ý«ày�÷ö� é �%/Çá�×EÎÔÏy��ÉQÝ|ͱ¯ �� > ��³���C Î�Ë�ÉQÎÔá�×÷Ë«ÉQÑ��÷Ø!�Û-âãÜ > í�;³ dLÐ d � Ú Ç &�� Í ��xÅ Ûfí�O'�¨Ü�kÉ�ÏrÕ�¥¥Ë�Îr�ÔÉ�Ë«×rÉ�ÓÞÐ �/ÐÞËmÎÔÝQC G J]Ø�ût×rÉ÷Ý«à�� ÏrÕ�¥SÝyÎ��9 rÓÞÉQÝ9 ãÕ�ÐÞϨËyÝçÐÞÏráQÑ�É@ÎÔÝ�Ð"Ï��ÔÓ�¯�ácÓ"Õ�Ý�ÉËyÕ���ÉcË«×rÉQÑIÎÔÏUä�ÐÞÏ Ëy×rÉÇÓÞÐ �/ÐÞË ÍãÉcáQÕ'�/ÉQÝIÎÔÏiÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÓ+Ø Æ[ÉQÏrÕ�ËyÐ"Ïy�=� Ú Í±¯ �!~Û�rܵ¥ßÉ�Õ�ÍUË�Î�Ð"Ï Ëy×UÉÑ«ÉcÓ�Î�Ë«Ð"Õ�ÏUÝ«×rÐ� rÝ ! Û-âãÜ > í��³ ÌedÐ d �! Û�rÜ�Ç &�� Í è �!�Û�rÜ >!Ì dÐ d !�Û-âãÜ�Ç Ð &�� Í è â Å Ûfí�O�Ñ�Ü�� ����������������Y���! #"���� � þ � Ý dÐ d ß !�Û-âãÜ ß è â �êJ­@ A�B ��4 �! Û�UÜ 02��3.45�60 7��ø� B � ÿ 7����� ý"þ � B �ÿ � " ý �� A ÿ 4 þ \Ê�ba (åÿ 4�09� B �+��� � )� þ�þwý �4�\Ê� ! Û�âãÜý"þ � B � ý 4T���� þwý �4�\Ê�ba "qP ÿ�@Ò Õ�ËyÉÀËy×rÎ�Ë`ñÈ¥�ÐÞÓ"Ó àrÝ«É2Ë«×rÉQÝ�É ärÉwæEÏrÐ ËyÐ"ÕÔÏrÝ[áQÕÔÏrÝ«ÐÞÝ�ËyÉcϨËyÓ�¯ÔöÊ×rÕ�¥ÌÉwÒ�ÉcÑQöv U×̯ Ý�Ð"áQÐÞÝ�Ë«ÝÕ�Ö�ËyÉQÏ�ÝÀ¥�ÐÞËyá�×�Ëy×UÉÝ«Ð���ÏrÝ`Ð"Ï´Ë«×rÉ/Éwðq ãÕÔÏrÉQϨËyÝcö�Î�Ïrä�� Îs��ÉmË«×rÐ"Ýt�/Õ�Ñ�É2Ý�¯2�µ�/ÉcË«Ñ«ÐÞá2Í̯´×EÎ@ÒNÐÞÏ��÷Î�í�� Ï �;³õÐÞÏ�Ö-Ñ�Õ�ϨË`ÕÔÖÉ@Î�á�×÷ÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÓ+Ø�ût×rÉQÝ�ÉÀÎÔÑ�Évz�àrÝ�Ë|Ð"Ý�Ý«àrÉcÝ Õ�Ö�ácÕ�ϨÒ�ÉQϨ˫Ð"Õ�Ï�Ø

Page 44: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ'Ñ�Y���#��� ��B���¬�ÚTÜ� q����ÚTÞ��¡ 2Þ�Úy�m���z��Hût×rÉÝ«Õ�¤ªá@ÎÔÓÞÓ"Écä�þ�B ý \b� ý 42�µ)� P ÿ � ý �4 þtÎ�ѫɼÉwð Ë«Ñ«É��/ÉQÓ˯ÄàrÝ�ÉcÖ-àrÓ�. qÜ�Ü�ÚÖ�����lì������ P �m�W�����¡ 2Þ�Úy��������H;ñ; #"m��� � þ � �! Û�rÜ ��� ý"þ � þ�@�V ��� óMÛ-âãÜ > !�Û-âkáiâ I Ü�(2ÿ 4�0ô Û-âãÜ > Ç & Î Í ( ß ý � B ¶ ÿ 4�0 â I ���4 þ � ÿ 4T� @µA�B ��4�óãÛ�rÜ > Ç�Ð &�� Í � �! Û�rÜ�ô Û�rÜ > �! Û�8á ¶ ÜtÅ Ûfí�O�Ö�ÜC6E�5� P �Y���¸X � ý � ý 4�� P ÿBþ�þ�@`� ÿBþ ���V��. qÜ�Ü�ÚÖ����� #"���� � þ � �! Û�rÜ ��� ý"þ � þ�@`V ��� óMÛ�âãÜ > ! Û $ âãÜ)( ß ý � B $ <> î )� ÿ�Pc@9A�B ��4�óMÛ�rÜ > íß $ ß �! ' $ ) Å Ûfí�O'â¨ÜC6E�5� P �Y��� �óãÛ�rÜ > Ì�dÐ d ! Û $ âãÜ�Ç�Ð &�� Í è â> þwý ��4 Û $ Ü Ì dÐ d ! Û��UÜ�Ç�Ð &�� � à Áè �$

> íß $ ß �!�' $ ) Å Ûfí�O¨ï�Ü�. qÜ�Ü�ÚÖ����� #"���� � þ � óMÛ-âãÜ > ! # Û-âãÜ�( �ô Û�rÜ > è �!�� è > �! # Û�rÜÁ@ A�B ��4 (mÿBþ�þ�" a ý 42� ÿ�P P � B �ý 4T���¦�� ÿ�P þ ���4T����¦�2� ( �óMÛ�rÜ > ,! �!�Û�rÜô Û-âãÜ > á1,:â�! Û-âãÜRÅ Ûfí�O'O¨ÜC6E�5� P �Y����� ÿBþ ���V�¢NÐ �9 rÓÞɼÉwð ËyÉcÏrÝ«ÐÞÕ�ÏrÝ�Õ�Ö�Ëy×UÉQÝ«ÉüÑ«ÉcÝ«àrÓ ËyÝ|Ý«×rÕ�¥�Î���ÉQÏrÉcÑyÎÔÓÊË«Ñ«ÉQÏUä÷Ëy×rÎ�Ë�Ëy×rÉ`Ö:ÎÔÝ�Ë«ÉQÑ�! Û-âãÜ Ö:ÎÔÓÞÓ"Ý ÕsÊÎÔÝtâ G Û J]örËy×rÉ`Ý6�/Õ ÕÔËy×rÉcÑ �! Û�UÜÌÐ"ÝQörÎÔÏräIÒNÐÞáQÉb¤ªÒ�ÉcÑ«Ý«ÎUØ[ ϾÐ��µ 4Õ�Ñ�Ë�ÎÔϨË. 4Õ�Ð"ϨËåÐ"ÝdËy×EÎBË��EÕ�àrÑ�Ð"ÉcÑdË«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� Ýdá@Î�ϾÍãÉ|àrÝ�ÉQäç˫յݫÕÔÓÞÒ�É|ärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓ�É���àEÎm¤ËyÐÞÕ�ÏrÝ�¥�Ð Ëy×IáQÕ�ÏUÝ�Ë�Î�Ï�Ë áQÕ ÉÁý/ácÐ"ÉQϨ˫Ý�D

� # # Û�âãÜÊøÏÂT� # Û�âãÜ�ø ÷��Û�âãÜ > ! Û�âãÜtÅ Ûfí�O'�¨Ü$ÌÉcá@ÎÔàrÝ�ÉüÕ�Ö�ÓÞÐ"ÏrÉQÎÔÑ«Ð Ëä¯�ö Û�,!rÜ à ��¼øYÛ�,"Â4Ü ��¼ø ÷ �� > �! ò Ûfí���î¨ÜÎÔÏrä�Ý«Õ �MÛ-âãÜ > í�;³ ÌedÐ d �! Û�rÜ�Ç &�� Í÷�øø,!µá# à è ÏÅ Ûfí��Uí>Üût×rÐÞÝtÐ"ÝtáQÓÞÉ@ÎÔÑ�Ó�¯ Ñ«ÉcÓ�Î�Ë«ÉQäÄËyÕ2Ëy×UÉ6æ`Ñ�ÉQÉQÏZ"�ÝtÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�Ï�Î� � rÑ�Õ¨ÎÔá�×�ö�ÎÔÏUä ¥ßÉ`Ý«×EÎ�Ó"Ó�Ñ�ÉcËyàUÑ«ÏIËyÕmÐÞËtÓ"Î�ËyÉcÑQØ

Page 45: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ÑsÖ�Y���#��� $ � �%�ÒEm �H�HÊ�����E����� ��H���E��FiBY��������Hût×rɼärÉcÓÞËyεÖ-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏMö \ Û-âãÜwöUÐ"ÝtÎÔÏIÉoðrÎ��µ rÓÞÉ�ÕÔÖ~Î+��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓ"Ð�1QÉQä Ö-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏMörÕ�Ñ 0 ý"þ �� ý 7 " � ý �4 D·Ý«Õ'�/É�¤Ëy×UÐ"Ï��È¥�×rÐ"á�×8� Î�¯¼Ö:ÎÔÐ"Ө˫Õ�ÝyÎBËyÐ"Ý�ÖV¯ÉQÐÞË«×rÉQÑ Ý6�/Õ ÕÔËy×rÏUÉQÝ«Ýcö�Í4Õ�àrÏrärÉcärÏrÉcÝ«ÝQö�Õ�Ñ~ÎÔÝͯq�9 UË«ÕÔËyÐÞᯠrÑ�Õ' 4ÉQÑ�Ë«Ð"ÉcÝÑ«ÉÁ��àrÐ"Ñ�ÉQäçÕ�ÖÊÎ]�ÔÐÞÒ�ÉcÏçácÓ�ÎÔÝ�ÝßÕÔÖãÖ-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝQö ÍràUË%¥�×rÐ"á�× á@ÎÔÏ Ý�Ë«Ð"Ó"ÓUÍãÉÈ�çÎ�ÏrÐ  ràUÓ�Î�Ë«ÉQämÓ"Ð��ÔÉ|Î`Ö-àUÏrácË«Ð"Õ�Ï�Ø�EÕ�ÑtÉwðUÎ��9 rÓÞÉÔöEÏrÉcÐÞËy×UÉQÑtËy×rÉärÉcÓÞË�ÎÀÖ-àrÏUácËyÐÞÕ�Ï�ÏrÕ�Ñ Ëy×UÉÖ-àrÏUácËyÐÞÕ�ÏW! Û-âãÜ > íáQÕ'�/ÉQÝ�ÐÞÏ�Ë«×rÉ`áQÓ�Î�Ý«Ý�ÕÔÖÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�ÏrÝtÖ-Õ�Ñ�¥�×rÐÞá�×��EÕ�àrÑ�Ð"ÉcÑÌËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�/Ý�ÎÔÑ«É`ÏrÕ�Ñ��çÎ�Ó"Ó�¯/ärÉwæEÏrÉcä�ö�ÍràUË�Ëy×rÉ`Ñ�ÉQÝ«àUÓÞËyÝ�\ Û�UÜ > í�í > �;³ \ Û�rÜ�ò Ûfí�����ÜÎÔÑ�É Ö:Î�� ÐÞÓ"Ð"ÎÔÑQØY�EÕ�Ñ�Ë«×rÉQÝ�É1 UàrÑ6 4Õ�Ý«ÉcÝQö ÍãÕ�Ëy×2Ëy×rÉcÝ«É�Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝH�ÀàrÝ�ËdÍãÉ�Ñ«ÉÁ�¨ÎÔÑ�ärÉQä ÎÔÝ·ärÐÞÝ�ËyÑ�Ð"ÍràNËyÐ"ÕÔÏrÝQØ�� ����������������Y����V ���'& 7�� ÿ � P ÿBþ�þ �U\)(��2����0+*Ù\ " 45��� ý �4 þ �4 ÛÀá{J]òbJ Ü ´ó\Ê����� ÿ a ��P � (|Ù dß ý � B ��� � �45��4T� ý:ÿ�P 02��� ÿ � ÿ � Û J­@xA�B ��4 ( óMÛ�âãܵý"þmÿ 0 ý"þ �W ý 7 " � ý �4;ß ý � B )� þ�� ���������,& ý \.- !�ò«ó0/b(02��3.45�60¡7�� - !4ò«ó0/ é Ì dÐ d !�Û-âãÜfóMÛ�âãÜ è â Ûfí��'�¨Üý"þ 3.4 ý ���21 !�ô & (dý�@ � @c( \Ê� ÿ�P P ��� þ �#\ " 45��� ý �4 þ�@

Ò ÕÔ˫ɼËy×EÎ�Ë|ÎmärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨË|ärÉwæEÏrÐÞË«Ð"Õ�ÏÄÕ�Ö43��ÔÕNÕ ä658¥ßÕ�àrÓ"ä�Ó"ÉQÎÔäÄËyÕ/ÎmärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨË�áQÓ"ÎÔÝ«Ý�ÕÔÖ~ärÐ"Ý�ËyÑ�Ð"Íràq¤ËyÐÞÕ�ÏrÝÁûÔÍràUË�Ù d Ð"Ý�àrÝ�àEÎÔÓÞÓ�¯¼Ñ�É���àrÐ"Ñ�ÉQäüÍãÉcá@ÎÔàrÝ�ÉßË«×rÐ"Ý�Ð �9 rÓÞÐ"ÉQÝãËy×EÎ�Ë�Ë«×rÉßäUÉQÑ«Ð Ò�Î�ËyÐ Ò�ÉåÕÔÖEÎ�ärÐ"Ý�ËyÑ�Ð"ÍràUË«Ð"Õ�ÏÛ:äUÉcæEÏrÉcä�Í4ÉQÓÞÕm¥ ÜÌÐÞÝ�ÎÔÓ"Ý�Õ/ÎmäUÐ"Ý�Ë«Ñ«ÐÞÍràUËyÐÞÕ�Ï�Ø�iÐÞ˫״Ëy×rÉÀäUÉcæEÏrÐ ËyÐÞÕ�ÏÇÎÔÍ4Õ8Ò�ÉÔö�Ë«×rÉÀÝ� EÎÔáQÉ2Õ�ÖßäUÐ"Ý�Ë«Ñ«ÐÞÍràUËyÐÞÕ�ÏrݵÛ�¥�×rÐÞá�×�Ð"Ý�äUàEÎÔÓ~Ë«Õ¾Ëy×rɵÝ6 EÎÔácÉ2ÕÔÖËyÉcÝ�˼Ö-àrÏUácËyÐÞÕ�ÏrÝyÜ�×EÎÔÝt� ÎÔϱ¯�ÕÔÖdË«×rÉ2ÏrÐ"ácÉ+ rÑ«Õ� ãÉcÑ�ËyÐÞÉQÝ[Õ�ÖÌÎÄÝ� EÎÔáQÉ2Õ�ÖßÖ-àrÏUácËyÐÞÕ�ÏrÝmÛ-ÉÔØ �rصÓÞÐ"ÏrÉQÎÔÑ«Ð Ëä¯UÜwØ dÎÔá�× ärÐ"Ý�ËyÑ�Ð"ÍràUË«Ð"Õ�ÏkÐ"ÝüärÉcæEÏUÉQäõÍ̯kÐÞË«Ý2ÎÔáwËyÐ"ÕÔÏ Õ�Ï Ë«ÉQÝ�Ë2Ö-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏrÝcØÏ�EÕ�ѵÉoðrÎ��µ rÓÞÉÔö \ Û-âãÜüÐÞݵËy×UÉärÐÞÝ�ËyÑ�Ð"ÍràNËyÐ"ÕÔÏÄärÉcæEÏUÉQä�ͱ¯ - \ ò�!7/ > ! Û:î¨Ü 1 !�ô & Å Ûfí���Ñ�Üût×rÉärÉQÑ�ÐÞÒ�Î�Ë«ÐÞÒ�ɼÕ�Ö Î2ärÐÞÝ�ËyÑ�Ð"ÍràNËyÐ"ÕÔϾóçÐÞÝ|äUÉcæEÏrÉcä�ͱ¯- ó # ò�!7/ > á - ó4ò�! # / 1 !´ô & Å Ûfí���Ö�ÜÛ:Ð�Ø�É�طͱ¯ÄÐ"ϨËyÉÁ��ÑyÎBËyÐ"ÕÔÏÄÍ̯  rÎÔÑ�Ë«Ý�ÜwØût×rÉ]��ÕÔàrÑ«ÐÞÉQÑ û ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÕÔÖ�Î/ärÐÞÝ�Ë«Ñ«Ð"ÍUàUËyÐÞÕ�Ïçó¾ÐÞÝtärÉcærÏrÉQä÷Ý«Ð �/Ð"Ó"ÎÔÑ«Ó˯�D- �ó�òË!7/ > - ó4ò �!8/ 1 !´ô & Å Ûfí��'â¨ÜñªË ÐÞÝÌÝ�ËyÑyÎ�Ð ��ר˫Ö-ÕÔÑ�¥ÌÎÔÑ«äçË«ÕÀÝ«×UÕm¥iË«×EÎ�Ë��/Õ�Ý�Ë ÕÔÖ�Ë«×rÉ� rÑ�Õ' 4ÉQÑ�Ë«Ð"ÉcÝÌÕÔÖ��EÕ�àrÑ�Ð"ÉcÑåË«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/Ýå×rÕ�Ó"ä¾ÎÔÓ"Ý�ÕÖ-Õ�Ñ Ë«×rÉR��ÕÔàrÑ«ÐÞÉQÑÌË«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/Ý�ÕÔÖ~ärÐ"Ý�ËyÑ«ÐÞÍràUË«Ð"Õ�ÏrÝÁD

Page 46: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ�âí�Ø�ût×rÉó�EÕ�àrÑ«ÐÞÉQÑ�Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� Õ�ÖrËy×rÉåärÉcÓÞË�ÎtÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�Ï�Øi$v¯`Ëy×rÉßÎÔÍ4Õ>ÒÔÉÌärÉwæEÏrÐ ËyÐ"ÕÔÏ - �\ ò�!9/ > - \ ò �!7/cØût×rÉ;:|º�¢ÄÐ"Ý

Ì dÐ d \ Û�rÜ �!~Û�rÜ è > �! Û:î¨Ü > Ì dÐ d ! Û-âãÜ è â é Ì dÐ d ! Û�rÜ è �ò Ûfí��¨ï�ÜÎÔÏUä�Ë«×rÉÈ�ºÙ¢¾Ð"ÝÌ+dÐ d �\ Û�rÜÒ! Û�rÜ è �Å Ûfí��'O¨Ü

�ÌÕ'�9 EÎÔÑ�Ð"Ï��üËy×rÉcÝ«ÉÔöT¥�×rÐÞá�× �ÀàrÝ�Ë|Í4ɼÉ���àEÎÔÓ�Ö-ÕÔÑtÎÔÓ"Ó4ËyÉcÝ�Ë�Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝ5! Û-âãÜoö���Ð Ò�ÉQÝtË«×rɼѫÉcÝ«àrÓ Ë�\ Û�rÜ > í�Ø�NØ�ût×rÉ]�EÕ�àrÑ�Ð"ÉQÑ Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÕÔÖ�Î/ácÕ�ÏrÝ�ËyÎÔϨË@Ø�$v¯ÄËy×rÉÎÔÍ4Õ8Ò�ÉärÉcærÏrÐÞË«Ð"Õ�Ï - �í�ò�!7/ > - í�ò �!+/cØåût×rÉ:|º�¢ÄÐ"Ý

Ì dÐ d í'�!�Û�rÜ è > Ì dÐ d �!�Û�rÜ è > �;³r!�Û�î¨Ü ò Ûfí��'�¨ÜÎÔÏUä�Ë«×rÉÈ�ºÙ¢¾Ð"ÝÌ dÐ d �íR!�Û�rÜ è �Å ÛW�Ôî�î¨Üût×rÉcÝ«Ét�ÀàUÝ�Ë Í4É[ÉÁ� àrÎÔÓãÖ-Õ�ÑßÎÔÓÞÓ�Ë«ÉQÝ�Ë Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝQöNÝ«Õ �í > �;³ \ Û�rÜwØ·ût×rÐÞÝÌÑ�ÉQÝ«àUÓÞË ÐÞÝÌácÕ�ÏrÝ«ÐÞÝ�Ë«ÉQϨ˥�Ð Ëy×çË«×rÉ��EÕ�àrÑ�Ð"ÉcÑßÐÞÏ�ÒÔÉQÑ�Ý«Ð"ÕÔÏçËy×rÉcÕ�Ñ«ÉÁ�÷ö ÍràUËÌËy×rÉ áQÕ�ÏräUÐÞËyÐÞÕ�ÏrÝåÕÔÖÊËy×UÉ Ëy×UÉQÕ�Ñ�É��KärÕÀÏrÕÔËÌ×rÕ�ÓÞä×rÉcÑ«É�Ø

�UØ�ût×rÉ8��ÕÔàrÑ«ÐÞÉQÑ Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÕÔÖ=< Û-âãܵÛ�Ëy×rÉ�º É@Î@Ò Ð"Ý�Ð"ärÉüÖ-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏEÜwØ [ ÏrÎÔÐÞÒÔÉÀÎ� � UÑ«Õ¨ÎÔá�×Ï��Ð Ò�ÉcÝË«×rÉx¥�Ñ«Õ�Ïy��Î�ÏrÝ�¥ßÉQÑcØ ù ÏrÉÇáQÕ�àUÓ"äiÎÔÑ���àrÉ�Ë«×EÎ�ËIÝ«ÐÞÏráQÉ>< # Û-âãÜ > \ Û-âãÜwö�ÎÔÏrä�ö�Ö-Õ�ÑÄÎ�Ï̯¿!�! # Û�rÜ > ,! �! Û�rÜoö4Ë«×rÉQÏÇÝ�Ð"ÏrácÉ �\ Û�rÜ > í�ö4ÐÞË|Ö-Õ�Ó"ÓÞÕ�¥�Ý|Ë«×EÎ�Ë1,!?�<�Û�rÜ > í�ö�¥�×UÐ"á�×ÇÐ"Ý|áQÕÔÑ«Ñ«ÉcácËQغ|Õm¥ßÉcÒÔÉQÑcö[ÐÞËÄäUÕNÉcݾÏrÕÔËÄÖ-Õ�ÓÞÓ"Õ�¥ Ë«×EÎ�Ë �< Û�rÜ > í���," Í4ÉQáQÎÔàrÝ�Éx¥�×rÉQÏ�ärÐ"Ý�ËyÑ�Ð"ÍràUË«Ð"Õ�ÏUݾÎÔÑ�ÉÎÔÓÞÓ"Õ�¥ßÉQä�öUË«×rɼÖ-àrÓ"ÓMÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄÕÔÖ Ëy×rÉ`É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ�í > ," �<�Û�rÜÌÝ«×rÕÔàrÓ"ä�ÍãÉ�< Û�rÜ > í," ø=3 \ Û�rÜ�ò ÛW�ÔîUí>Ü

¥�×rÉcÑ«Éa3SÐ"Ý/Î�ácÕ�ÏrÝ�Ë�ÎÔϨË9¥�×rÐ"á�×õÐ"ÝmÏrÕÔË/ärÉwËyÉcÑ6�/Ð"ÏrÉcä�ͱ¯�Ëy×UÐ"Ý+�/ÉcËy×UÕNä�ØE¢NÐÞÏráQÉ <�Û�âãÜßø<�ÛUá|âãÜ > í�ötË«×rÉÇÑ«ÉQÎÔÓÙ EÎ�Ñ�ËÄÕÔÖ`Ë«×rÉk�EÕ�àrÑ�Ð"ÉQÑ/ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6� Õ�Ö;< �ÀàrÝ�˾ÍãÉ´Ë«×rÉk�EÕ�àrÑ�Ð"ÉQÑË«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� ÕÔÖÌí��'�NØ ût×rÉcÑ«ÉwÖ-Õ�Ñ«É63 > ³·Ø

Page 47: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ�ï�Y���#��� @����«@���Þ�BY�m������?Á�z�� A�GEmÚTÞ�HB ÏNÖ-Õ�Ñ�Ë«àrÏEÎ�Ë«ÉQÓ�¯ÔöEËy×rÉcѫɵÉoðNÐ"Ý�Ë«Ý�ÏrÕ Ý«Ð��µ rÓÞɼÖ-Õ�Ñ6�ÀàUÓ�Î2Ñ«ÉcÓ�Î�Ë«Ð"Ï�� �!4ó¾Ë«Õ �!�ÎÔÏrä �ó�Øtñ&ÏUÝ�ËyÉQÎÔä�ö �!4óÄÏrÉcÉQäÏrÕÔËIÉoðNÐ"Ý�ËQØ®ût×rÉcÑ«É�Ð"Ýç×rÕ�¥ÌÉwÒ�ÉQÑ÷ÎÔÏrÕ�Ëy×rÉcÑ�� ÐÞÏrä ÕÔÖ]�ÀàrÓ ËyÐ  UÓ"Ð"áQÎ�ËyÐÞÕ�Ï ¥�×rÐ"á�×iÐÞÝ¡ r×±¯ Ý«Ð"áQÎÔÓ"Ó˯�ÒÔÉQÑͯР�9 4Õ�Ñ�ËyÎÔϨË�ÎÔÏräÄÖ-Õ�Ñ�¥�×rÐÞá�×��EÕ�àUÑ«Ð"ÉcÑ ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�/Ý�ÎÔÑ«É`É@Î�Ý�¯¾Ë«Õ/ÉwÒ�ÎÔÓ"àEÎBËyÉÔØ�� ����������������Y��� #"���� � þ � Ý dÐ d ß ! ß à è â � J ÿ 4�0 Ý dÐ d ß ó ß à è â �·J­@ A�B �k���4T��� Pã" � ý �4¸�U\! Û�âãܵÿ 4�0 óMÛ-âãÜ`ý"þ Û;!�CÌóUÜcÛ-âãÜ > ÌedÐ d ! Û��UÜfóMÛ�âµá �UÜ è �> ÌedÐ d óMÛ�ÎãÜK! Û�â9á ÎMÜ è Î> Û�ó;C&!�ÜQÛ�âãÜRÅ ÛW�Ôî���ÜÒ Õ�ËyÉßË«×EÎ�Ë Û;!=C \ Ü > !mÖ-Õ�Ñ~ÎÔÓÞÓP! Ø~ût×�àrÝcö \ ÐÞÝ Ë«×rÉÌÐÞärÉQϨËyÐ Ëä¯`Ö-Õ�Ñ Û"CÔÜ�ácÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ«ÉQämÎ�Ý[�ÀàUÓÞËyÐ� rÓ"ÐÞá@Î�Ë«Ð"Õ�ÏMا,�Y s�GE 2Ü �Y���Qì�§,�Y �@]���«@���Þ�BÛ�m�����í§,�Y s�GE 2Ü4ñ� #"���� � þ � �!Y( �ó�(mÿ 4�0 !>C`ó ��� ý"þ � @ A�B ��4�!�CÌó ��� ý"þ � þüÿ 4�0 �!?Cßó > �! �ó;Å ÛW�Ôî'�¨ÜC6E�5� P �Y��� ��� B �aQ��ßó� ��@[ àrÝ«ÉwÖ-àrÓ�Ñ«ÉQÝ�àrÓÞËQörÕ�ÍUËyÎÔÐ"ÏUÉQäÄÖ-Ñ«Õ'�uËy×rÉ`Ð"ϨÒÔÉQÑ«Ý�Ð"Õ�ÏÄË«×rÉQÕ�Ñ�É�� Ë«Õ/Í4É`Ý«ÉcÉQÏ�Ý�ÕNÕÔÏ�örÐ"Ý\ Û�âãÜ > í�;³ ÌedÐ d Ç &�� Í è xÅ ÛW�Ôî�Ñ�ܧ,�Y s�GE 2Ü �Y��²/ìD�¡Ú±NYÞ� 2�E�8��ì���ë8F�F«ñ�©6C�Þ�ÚT��ïG�Y ÌEm qÞ{ì��HFÛ�HIZñ�ñ; #"���� � þ �_���a ��P ��� ! ÛVK�Üåý"þ·þ�" � B� BUÿ � �! Û�rÜ�(Ìÿ 4�0 Ý dÐ d ß ! ß à è â 7��� B ��� ý"þ � @µA�B ��4ÌedÐ d ß !�Û-âãÜ ß à è â > í�;³ ÌedÐ d ß �!�Û�rÜ ß à è �Å ÛW�Ôî�Ö�ÜC6E�5� P �Y��» J4<LK > í�;³ Ì�dÐ d �M Û�rÜ ò �M Û�rÜ è

> í�;³ Ì�dÐ d Ì�dÐ d ÌedÐ d Û M Û-âãÜ�Ç Ð &�� Í è âãÜQÛ òM Û��UÜÀÇ &�� � è �rÜ è > í�;³ Ì dÐ d Ì dÐ d Ì dÐ d M Û-âãÜ òM Û��UÜUÇ &�� ë � Ð Í ì è è â è �> Ì dÐ d Ì dÐ d M Û�âãÜ òM Û��rÜ \ Û���á âãÜ è â è �> Ì dÐ d M Û-âãÜ òM Û-âãÜ è â> Ì+dÐ d ß M Û-âãÜ ß à è âøÅ ÛW�Ôî'â¨Ü

Page 48: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ�O§,�Y s�GE 2Ü �Y��ë/ì�C�Ú*E;H� ±@yÚTÞONËH�§,�Y s�GE 2Ü4ñk^ \ M ( ó#(Àÿ )� )� ÿ�P (Àÿ 4�0 �M ( �óYÿ 4�0 Ý dÐ d M ó è â�ÿ�P P��� ý"þ � ( � B ��4

ÌedÐ d M Û�âãÜfóMÛ-âãÜ è â > í�;³ Ì�dÐ d �M Û�rÜ �óãÛÀáPrÜ è �Å ÛW�Ôî¨ï�ܧ,�Y s�GE 2Ü �Y�QF #"m��� � þ � M Û-âãÜý"þ ���4T� ý 4 " � "�þüÿ 4�0 �M ��� ý"þ � þ�@µA�B ��4M Û�âãÜ > í�;³ Ì dÐ d �M Û�rÜÀÇ &�� Í è �Å ÛW�Ôî'O¨ÜC6E�5� P �Y���AI V ��� â 7��È3��q�60 (¼ÿ 4�0 P ��� óMÛOK�Ü > M ÛOK ø âãÜÁ@¸A�B ��4 ( � ÿ;�Bý 42� ÿ � " ý ��9�W ÿ 4 þ \Ê�ba þß ý � B �� þ�� �����.��� K ßó� BUÿ ��� í�;³ Ì�dÐ d �M Û�rÜÀÇ &�� Í è > í�;³ Ì�dÐ d �óãÛ�rÜ è

> í�;³ - íÔò �óH/> í�;³ - �í�ò«ó0/> í�;³ - ��³ \ ò«ó0/> óMÛ�î¨Ü> M Û-âãÜJÅ ÛW�Ôî'�¨Ü

Ò ÕÔË«É÷Ë«×EÎ�Ë ÐÞÖ M Ð"Ý/ärÐÞÝ«áQÕÔÏ�Ë«Ð"Ï�àrÕ�àUݾÎ�ËQöÌÝyÎ�¯Ôö â > â I ößËy×rÉcÏ �M Û�UÜmÐÞÝ/ácÕ�ϨËyÐÞÏ àUÕ�àrݾÎ�ÏräùËy×UÉÐ"ϨÒÔÉQÑ«Ý�Ð"Õ�Ï�Ð"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ�Ð"Ý�Î�Ó"Ý«Õ2ácÕ�ϨËyÐÞÏ àUÕ�àrÝQØåñªË�á@Î�Ï÷Í4É`Ñ«Ð �ÔÕ�Ñ«Õ�àUÝ«Ó�¯ Ý«×UÕm¥�Ï�Ëy×EÎBËí��³ Ì�dÐ d �M Û�rÜ�Ç &�� Í � è > í�;³ ô M Û-â I ø�î�ÜÊø M Û�â I á î¨Ü�öHÅ ÛW�Ní8î¨ÜÃ1©�æ Ä î�½ð´�±�Rt³À±HêÛ½óĵ®T±.è�¹qºb¬¯®#°ñ&Ï÷Ë«×rÐ"Ý|Ý«ÉcácË«Ð"Õ�Ï÷ñó¥�Ð"ÓÞÓ�àrÝ«É6K�ÎÔÝ�Ëy×rÉÐ"ÏUärÉ� 4ÉQÏräUÉQϨË[Ò�ÎÔÑ«Ð"ÎÔÍrÓÞÉ`ÎÔÏräµÂ�ÎÔÝ�Ëy×rÉËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6� Ò�ÎÔÑ«Ð"ÎÔÍrÓÞÉÔØÆ[ÉcærÏrɼËy×rÉ8V�ÿ���P ÿ ��� A ÿ 4 þ \Ê�ba ͱ¯

S ÛNÂ4Ü >¸Ì dI Ç ÐUT c M ÛOK�Ü è K éWV Å M ÛOK�ÜÙÅ ÛW�Ní�í>Üût×rÉçÈ Î� rÓ�ÎÔácÉ/Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ���ËyÑyÎ�ärÐÞË«Ð"Õ�ÏEÎ�Ó"Ó�¯�ËyÑ�É@Î�˫ݵÕ�ÏUÓ�¯DK��KîUØIñªËüÐ"Ý`Ëy×rÉcÑ«ÉcÖ-ÕÔÑ«ÉçácÕ�ϨÒ�ÉcÏ�Ë«Ð"Õ�ÏrÎÔÓåË«ÕÑ«ÉÁ�¨ÎÔÑ�ä M ÛVK�Ü > î2Ö-Õ�ÑuKu�iîUØåñ&Ï÷Ë«×rÉÈ�Î� rÓ�Î�áQɼËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6��ö'Â�� Î�¯ÄÍãÉáQÕ��µ rÓÞÉwðãöEärÉwæEÏrÉQä�Î�Ë�æEÑ«Ý�ËÖ-Õ�Ñ;XüÛNÂ4Ü�mZY öY¥�×rÉQÑ�É�Y Ð"ÝÎÔÝÑ«ÉÁ��àrÐ"Ñ�ÉQäkÖ-ÕÔÑácÕ�ϨÒ�ÉcÑ6��ÉcÏráQɾÕ�ÖÌËy×UÉ/Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6��Ø º|Õ�¥ÌÉwÒ�ÉQÑcö·ÐÞË`ÐÞÝÐ �9 4Õ�Ñ�ËyÎÔÏ¨Ë ËyÕÍãÉ|ÎÊ¥ÌÎÔÑ«É�Ëy×EÎBËdÏrÕüÝ�àrá�×?Y�� Î�¯2ÉwðNÐÞÝ�Ë@Ø���ÕÔÑ·ÉwðUÎ��9 rÓ"É�ö�Ëy×rÐÞÝåÐÞÝ·ËyÑ«àUÉ�Ö-ÕÔÑ M ÛOK�Ü > Ç c < Ø

Page 49: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ñ��º ÉcÑ«ÉüÎÔѫɼÝ�Õ'� É`ÉoðrÎ��µ rÓÞÉQÝcöUÖ-Õ�Ñ�¥�×rÐÞá�×�Ë«×rÉÈ Î� rÓ�ÎÔácɼÐ"ϨËyÉÁ��ÑyÎ�Ó"Ý�ÎÔÑ�ɼÉ@ÎÔÝͯÄËyÕmáQÕ'�9 ràUË«ÉÔØM ÛOK�Ü > í ò SçÛãÂ4Ü > í ÛW�Ním��ÜM ÛVK�Ü > Ç Á c ò SçÛãÂ4Ü > íÂ9á $ Û�XüÛNÂ4Ü�m[XµÛ $ Ü�Ü ÛW�Ní��¨ÜM ÛOK�Ü > áQÕ�Ý@ÛV��K�Ü ò SçÛãÂ4Ü >  à øI� à ÛW�NíÊÑ�ÜM ÛOK�Ü > Ý�Ð"Ï�ÛV��K�Ü ò SçÛãÂ4Ü > � à øI� à ÛW�NímÖ�ÜM ÛOK�Ü > Ý�Ð"Ïr×ÊÛV��K�Ü ò SçÛãÂ4Ü > � à á � à ÛW�Ní�â¨ÜM ÛOK�Ü > áQÕ�Ý�× ÛV��K�Ü ò SçÛãÂ4Ü >  à á � à ò ÛW�Ní>ï�ÜM ÛOK�Ü >�\ ÛOKvá $ Ü ò S ÛNÂ�Ü > Ç�Ð Á T ò ÛW�Ní�O¨ÜM ÛOK�Ü >]\ ÛOK[á $ Ü ò S ÛNÂ�Ü > Ç Ð Á T ò ÛW�Ní��¨ÜM ÛOK�Ü > K Ú ò S ÛNÂ4Ü > /_^Â Ú o ¿ Å ÛW�'�Ôî¨Ü�Y���Û��� ChEm�#ÝH ÌEm���� �H+� P �.Ú�Ý[Þ�Ú*ï' �§�EmÚT��H P �GEÜIHût×rÉá�×EÎÔÏ��ÔÉÕ�Ö�Ý�á@ÎÔÓÞÉR UÑ«Õ' 4ÉQÑ�Ëä¯

V Å M Û ¶ K�Ü > í¶ S �  ¶ � Å ÛW�'�Ní>Üût×rÉÝ«×rÐ Ö�ËtËy×rÉcÕ�Ñ«ÉÁ� Ý V ÅÕÇ Î c M ÛVK�Ü > SçÛãÂ�á ¶ ÜÙÅ ÛW�'�'��ÜñªÖ�óMÛOK�Ü > M ÛOK[á $ ÜÌÖ-Õ�Ñ�K�m $ ÎÔÏrä�Ð"Ýu1cÉQÑ«Õ/ÕÔË«×rÉQÑÀ¥�Ð"Ý«É�örËy×rÉcÏV Å)óMÛVK�Ü > Ç�Ð Á T`SçÛãÂ4ÜÙÅ ÛW�'���¨Ü[ Ò�ÉQÑͯIÐ �9 ãÕÔÑ�Ë�Î�Ï�Ë Ñ«ÉQÝ�àrÓÞË�ÐÞÝ Ëy×EÎBË|Ë«×rÉÈ�Î� rÓ�Î�áQÉ[ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�uÕÔÖ ÎmärÉcÑ«ÐÞÒ�Î�Ë«ÐÞÒÔɼÐ"Ý_��Ð Ò�ÉQÏ�ͱ¯

V Å è Mè K > ÂÛÅ V Å M ÛVK�Üvá M Û:î¨Ü�ò ÛW�'��Ñ�ÜÎÔÏräMöEÝ«Ð �/Ð"Ó"ÎÔÑ«Ó˯�ö�¥ßÉÕÔÍUË�ÎÔÐÞÏV Å è à Mè K à >  à V Å M ÛVK�Üváx M Û:î¨Ü[á M8a Û�î¨ÜÙÅ ÛW�'�'Ö�Üût×rÉüÈ Î� rÓ�ÎÔácÉ[ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6� ÕÔÖ�ÎÔÏIÐ"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ¦D

V Å Ì cI M Û�ÎãÜ è Î > í V Å M ÛOK�ÜÙÅ ÛW�'��â¨Ü

Page 50: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ÖÔî§,�Y s�GE 2Ü �Y�����Iì�?���� �m��Ú�ÞA­RÚTÞ�BY D§,�Y s�GE 2Ü4ñÓ"Ð��ccb I M ÛOK�Ü > ÓÞÐ �T b d Â�SçÛãÂ4ÜtÅ ÛW�'��ï�Ü:�� )�� ý 02�60¡7��� B P�ý a ý � þ ��� ý"þ � ?�@C6E�5� P �Y���2�

ÂdSçÛãÂ4Ü > V Å è Mè K ø M Û:î¨Ü> M Û�î�Ü�ø ÌedI Ç ÐUT c è Mè K è KtÅ ÛW�'��O¨Ü

��þ�Â�G J � B �8 ý � B � BUÿ 4�0 þwý 02�+7������aQ� þ M Û:î¨ÜÀÿBþ ��6� " ý )�60 (v� )�� ý 02�60 M ÛOK�ÜÀý"þ 7�� " 4�02�60¡45� ÿ K > îT@ût×rÉQÑ�ÉüÉoðNÐ"Ý�Ë«Ý|Î/Ý�Ð �/Ð"Ó�Î�Ñó��ÐÞÏEÎÔÓ8eåÎÔÓ"àrɼût×UÉQÕ�Ñ�É��ÓÞÐ �ccb d M ÛOK�Ü > Ó"Ð��T b I Â�S ÛNÂ4ÜÙÅ ÛW�'���¨Ü�ÌÕ�ϨÒ�Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝÄÎ�Ñ«É´Î�Ó"Ý«ÕkÐ �9 ãÕÔÑ�Ë�Î�Ï�Ë/Ö-Õ�ÑçÈ Î� rÓ�ÎÔácÉ�Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÝcØf:|Écá@ÎÔÓÞÓ|Ë«×EÎ�Ë Ö-Õ�ÑçÈ�Î� UÓ�ÎÔácÉËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/ÝQ¥ßÉ�ÎÔÝ«Ý�à�� É´Ë«×EÎ�ËÄÖ-àrÏUácËyÐÞÕ�ÏrÝçÒ�ÎÔÏUÐ"Ý«× Ö-ÕÔÑ+K �£îUØ�ût×rÉQÑ�ÉcÖ-Õ�Ñ�ÉÔö Ð"Ï Î�áQÕÔÏ�ÒÔÕ�Ó"àNËyÐ"ÕÔÏÐ"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ ô ÛOK�Ü > Ý dÐ d M ÛVKHáÓÎãÜ&ó�Û�ÎãÜ è Î÷Ëy×rÉ2ÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÏräÇÐÞÝ[ÏrÕ�Ï*1cÉQÑ�ÕÄÕ�ÏrÓ�¯�Ö-Õ�Ñ{K�m Îlm îUØ`ût×�àrÝ¥ßÉü×EÎ@ÒÔÉ ô ÛOK�Ü >!Ì cI M ÛOK[á ÎãÜfóMÛ�ÎãÜ è Î ò�K�m îÄò ÛW����î¨Üô ÛOK�Ü > î ò K��ùî Å ÛW���Uí>ܧ,�Y s�GE 2Ü �Y���q�­^ \ ô > M CßóT( � B ��4 <�ÛNÂ4Ü > SçÛãÂ4Ü�_ ÛNÂ4ÜÁ@C6E�5� P �Y���±� S ÛNÂ4ÜÍ_çÛãÂ4Ü > Ì dI Ç�ÐUT n M Ûf]>Ü è ] Ì dI Ç�ÐUT�Ô@óMÛ�ÎãÜ è Î

> ÌedÐ d Ç ÐUT n M Û�]>ÜDgrÛ�]>Ü è ] Ì&dÐ d Ç ÐUTbÔ ó�Û�ÎãÜDgrÛ�ÎãÜ è Î> Ì dÐ d è Î|óMÛ�ÎãÜDgUÛ�ÎãÜ Ì dÐ d è ]mÇ�ÐUT@ë nfo Ô ì M Ûf]>ÜOgrÛf]>Ü> ÌedÐ d è Î|óMÛ�ÎãÜDgUÛ�ÎãÜ Ì dÐ d è KÀÇ�ÐUT c M ÛOK[á ÎãÜDgrÛVKvá ÎãÜ> Ì dÐ d è KyÇ�ÐUT c Ì dÐ d è ÎEó�Û�ÎãÜ M ÛVKYá ÎãÜDgrÛVKvá ÎãÜOgrÛ�ÎãÜ> ÌedÐ d è KyÇ�ÐUT c gUÛOK�Ü Ì cI è Î M ÛOK�á ÎãÜfóMÛ�ÎãÜ> ÌedI è KÀÇ ÐUT c�h Ì cI è Î M ÛOKYá ÎãÜfóMÛ�ÎMÜ"i> Ì dI è K�Ç�ÐUT c ô ÛVK�Ü> <�ÛãÂ4ÜtÅ ÛW������Ü

Page 51: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� ÖNíû~Õ�Ð"Ó"ÓÞàrÝ�Ë«ÑyÎ�Ë«É2Ëy×rɾàUÝ«ÉcÖ-àUÓ"ÏrÉcÝ«ÝÀÕÔÖtË«×rɾÈ�Î� UÓ�ÎÔácÉ ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6��ö[¥ßÉs")Ó"ÓdË�ÎÔá���ÓÞɾÎÔÏ ÉoðUÎ��µ UÓ"ÉçÕ�Ö�ÎärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓ�ÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�¥�ÐÞË«×�ÏUÕ�Ïq¤&ácÕ�ÏrÝ�Ë�ÎÔϨË|áQÕ ÉÁý/áQÐÞÉQϨËyÝcØßût×UÉ $ÌÉcÝ«Ý�ÉQÓÊÖ-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏ�ö9j I ÛVK�Ü Õ�ÍãÉ ¯ Ýèè K ' K è j Iè K ) ø=K�j I > î�ò ÛW���'�¨Ü

¥�ÐÞË«×ÄËy×rÉ`Í4Õ�àrÏräEÎ�Ñ�¯ÄácÕ�ÏrärÐ ËyÐ"ÕÔÏrÝkj I Û:î¨Ü > í�ö9j aI Û�î¨Ü > îNØ.��Ð"Ñ�Ý�ËtÑ�ÉÁ¥�Ñ«Ð ËyɼËy×UÉÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�ÎÔÝK�j a aI ølj am ø=K�j I > î=Å ÛW����Ñ�ÜÒ Õ�¥ÂÈ Î� rÓ�ÎÔácÉ[ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�¥ÎÔÏUä÷àrÝ�ɼËy×rÉ`Ñ«ÉcÝ«àrÓ Ë V Å K&Ú M ÛVK�Ü > ÛÀá è � è Â4ÜfÚGS ÛNÂ4ÜßË«Õ9�ÔÉcË

áèè Â Û V Ånj a aI ÜÊø V Ånj aI á èè Â Û V Åcj I Ü > î=Å ÛW����Ö�Ü

Ò Éoð Ë ñ�")Ó"ÓT¥�Ñ«Ð ËyÉpo ÛNÂ4Ü éWV Ånj I ÎÔÏUäçàrÝ�É[Õ�àrÑåÑ«ÉcÝ«àrÓ ËyÝÌÕÔÏ Ëy×UÉ[È�Î� rÓ"ÎÔáQÉ�ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�/ÝßÕÔÖ�ärÉQÑ�ÐÞÒ�Î�ËyÐ Ò�ÉcÝËyÕ���ÉwË ÛN à øií>ÜDo a ÛNÂ4ÜÊøkÂ�o > î Å ÛW���'â¨Üût×rÐÞÝ|ÐÞÝtÏrÕ�¥ Î2Ý«Ð��µ UÓ"É�æEÑ�Ý�Ë|Õ�Ñ�ärÉQÑ�É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏIË«×EÎ�Ë`¥ßÉáQÎÔÏ�Ý«Õ�Ó Ò�ɼËyÕ9��ÐÞÒÔÉo ÛãÂ4Ü > � ' íÌø í à ) Ð ¿�à à ò ÛW���¨ï�Ü

¥�×rÉcÑ«É!��Ð"ÝÌεáQÕ�ÏUÝ�Ë�Î�Ï�ËQØ�� É�á@ÎÔϾÏUÕm¥�àrÝ�É�Ëy×UÉ[Ð"ÏrÐ ËyÐ"ÎÔÓUÒ�ÎÔÓ"àUÉ Ëy×UÉQÕ�Ñ�É�� ËyÕüæNð��tÒ Ð�Î í > j I Û�î¨Ü >Ó"Ð�� T b d Âdo ÛNÂ4Ü > �>Ø%¢NÕmæEÏEÎÔÓÞÓ�¯Ôöo ÛãÂ4Ü > í 'ríÌø í à ) Ð ¿�à à Å ÛW���'O¨Üût×rÐÞÝ|áQÎÔÏ�ÍãɼÑ�ÉÁ¥�Ñ«Ð Ë«Ë«ÉQÏ÷ÎÔÝüÛ:ÉwðNÉcÑ«áQÐÞÝ«ÉG^�Ü

o ÛNÂ4Ü > dLÚ M I ú Ú à Ú o ¿ ò ÛW���'�¨Ü¥�×rÉcÑ«É ú Ú > ÛÀáí>Ü Ú Û¦�/ÊÜq^� à Ú Û�/r^�Ü à Å ÛW��Ѩî¨Ü��ÐÞÏEÎÔÓ"Ó˯�ös¥ÌÉá@Î�Ï�àUÝ«É`Ëy×EÎ�ËtË«×rÉÈ�Î� rÓ�Î�áQÉ[ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� Õ�ÖiK Ú ÐÞÝ_/_^ ��Â Ú o ¿ örËyÕmÐ"ϨÒ�ÉcÑ�Ë ÎÔÏrä=��ÉwËj I ÛVK�Ü > dLÚ M I ú Ú K à ÚÛW��/ÊÜ ^

> dLÚ M I ä á ¿á K à å àÛ�/_^ Ü à Å ÛW��Ñrí>Ü

Page 52: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö'�ñ&ÏÀËy×rÐÞÝ ÉwðUÎ��9 rÓÞÉÔö�¥ßÉ àrÝ�ÉQä/μÈ�Î� rÓ�Î�áQÉßË«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ���Ë«×EÎ�Ëv¥ßÉu��ÏrÕ�¥�Ë«Õ[Ð"ϨÒÔÉQÑ�ËåÎ�ÏrÕÔËy×UÉQÑ È�Î� UÓ�ÎÔácÉËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6��Ø�º|Õm¥ßÉcÒÔÉQÑcö�Ö-Õ�ÑÙ��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓ� rÑ«Õ�ÍUÓ"É��/Ý1¥ßÉs")Ó"Ó ÏrÉcÉQä�ÎQ��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓ~ÐÞϨÒ�ÉQÑ�Ý«ÐÞÕ�Ï´Ö-Õ�Ñ6�µàrÓ�ÎUö4ÎÔÏrÎÔÓc¤Õ'��ÕÔàrÝ�Ë«ÕõË«×rÉ�Õ�ÏrÉ�Ëy×EÎ�Ë ¥ßÉ àrÝ�ÉQä�Ö-Õ�Ñ=��ÕÔàrÑ«ÐÞÉQÑÄËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�/ÝQØs:�É��/É��µÍãÉcÑIË«×EÎ�ËIÖ-Õ�Ñ=�EÕ�àrÑ�Ð"ÉQÑËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/ݼËy×rÉ/ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ���Ò�ÎÔÑ«Ð"ÎÔÍrÓ"É8¥ÌÎÔÝüÑ«É@Î�Ó+öÊËy×rÉcÑ«ÉwÖ-Õ�Ñ«É/Ëy×rÉ/Ð"ϨÒ�ÉcÑ«Ý�Ð"Õ�Ï�Ö-Õ�Ñ6�ÀàUÓ�Ρ¥ Î�ÝÀÎ÷Ñ�É@ÎÔÓÐ"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ+Øeº Õ�¥ßÉcÒÔÉQÑQö ÎÔÝ`ñÙ�/ÉQϨËyÐÞÕ�ÏrÉQäMö�¥�Ð Ëy×�È�Î� rÓ�Î�áQÉ2ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-ÕÔÑ6�/ÝQöÊËy×rÉmËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� Ò�ÎÔÑ�Ð�ÎÔÍUÓ"ÉÀÐÞÝáQÕ��µ rÓÞÉwð Ð"Ï ��ÉcÏrÉQÑ«ÎÔÓ+Ø ût×UÉQÑ«ÉwÖ-Õ�Ñ«É�ö¯¥ßÉs")Ó"ÓtÉcÏrä�ày õÏUÉQÉQäUÐ"Ï���ÎÇáQÕ'�9 rÓÞÉwð�Û-áQÕ�Ϩ˫Õ�àrÑ�ÜÀÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÓßË«ÕÐ"ϨÒÔÉQÑ�Ë ÎÔÏUä÷Ñ�ÉQáQÕ8ÒÔÉQÑ M ÛOK�ÜoØû~ÕQ��ÉcË ËyÕçË«×rÉÀÎ� y rÑ«Õ' UÑ«Ð�ÎBËyÉÐ"ϨÒ�ÉcÑ«Ý«ÐÞÕ�Ï�Ö-Õ�Ñ��ÀàrÓ"ÎUöT¥ÌÉr"�ÓÞÓ[ 4Õ�Ý�Ë«àrÓ�ÎBËyÉüÎ Ö-Õ�Ñ6�¥Ö-Õ�Ñ�Ëy×UɵÐ"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ+öÎÔÏrä÷Ëy×rÉcÏ´Ý«×rÕ�¥ ×rÕ�¥ Ð Ë�áQÎÔÏ´Í4ɵÎÔÏ�Ð"ϨÒ�ÉcÑ«Ý«ÐÞÕ�Ï�Øt:�É��/É��ÀÍ4ÉQÑ�Ëy×EÎBË[ñ Ý«ÎÔÐ"ä=¥ÌÉr"�äÇÏrÉcÉQä�˫վѫÉÁ��àrÐ"Ñ�ÉXüÛNÂ4Ü�muY÷Ö-Õ�Ñ Ý�Õ'� ÉkY�Ð"ÏÄÕ�Ñ�ärÉQÑ Ö-ÕÔÑÌËy×rÉ`È�Î� UÓ�ÎÔácÉ[ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ��KË«ÕmáQÕ�ϨÒ�ÉcÑ6��É�Ø%�iÐ Ëy׾˫×rÐ"ÝtÐÞÝ�� ÐÞÏrä�öÓ"ÉwË�")ÝtÉwðUÎ��/Ð"ÏrÉ`ÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÓ"ÝÌÕÔÖ~Ë«×rɼÖ-Õ�Ñ6�

Ì.v o & dv Ð & d è Â1ÇwT c S ÛNÂ4Ü�ò ÛW��Ñs��Ü¥�×rÉcÑ«ÉxS ÛNÂ4Ü�Ð"Ý Ë«×rÉmÈ�Î� rÓ"ÎÔáQÉËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ��SÕÔÖßÎ Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏ M ÛOK�ÜoØ�� É]¥ÌÕ�àUÓ"äÇÓ"Ð��ÔÉËy×rÐÞÝ�Ð"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ Ë«Õ¯ Ð"ÉcÓ"ä M ÛOK�ÜoØ%¢NàrÍrÝ�ËyÐ ËyàUË«Ð"Ï��mÐ"ÏÄÖ-Õ�Ñ Ë«×rÉÎÔácË«àEÎÔÓÊÈ�Î� UÓ�ÎÔácÉ[ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� ¥ßÉ]��ÉwË

Ì v o & dv Ð & d è Â1Ç T c Ì dÐ d è ÎÙÇ ÐUTbÔ M Û�ÎãÜDgUÛ�ÎãÜ1Å ÛW��Ñ��¨Ü¢NÉwË% > Y2ø ,"ãØH� ɼËy×UÉQÏ=��ÉcË

,¦Ç v c Ì dÐ d è qÇ &�� c Ì dÐ d è Î�Ç Ð &�� Ô ô Ç Ð v ÔGM Û�ÎãÜDgrÛ�ÎãÜUö�Å ÛW��Ñ'Ñ�Ü$ÌàUËQöEͱ¯¾Ëy×rÉR�EÕ�àrÑ�Ð"ÉcÑ ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÎÔÏUä÷ÐÞÏ�ÒÔÉQÑ�Ý«Ð"ÕÔÏ�Ö-Õ�Ñ��ÀàrÓ"ÎUö Ë«×rÐ"Ý�ÐÞÝ�;³Û,¦Ç v c ô Ç Ð v c M ÛVK�ÜDgUÛOK�ÜUö�Å ÛW��ÑsÖ�Ü

¢NÕrö1¥ÌÉ�á@ÎÔÏiæEÏEÎ�Ó"Ó�¯ùÑ«ÉQÎÔÑ«Ñ«ÎÔÏ���ÉÇËy×UÐ"Ï���ݾ˫ÕÓ�ÔÉcËIËy×rÉI� )�a+ß ý � Bø^ 4T���� þwý �4 ÿ �ba "qP ÿ´Ö-Õ�ÑÄËy×UÉÈ�Î� rÓ"ÎÔáQÉ[Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�=D M ÛVK�ÜDgrÛVK�Ü > í�;³Û, Ì v o & dv Ð & d è Â1ÇwT c S ÛNÂ�ÜÙÅ ÛW��Ñ�â¨ÜÒ Õ�¥`öUÏUÕÔËyÐÞáQÉtËy×EÎBË@ö Ð"Ï/ärÉQÑ�ÐÞÒ Ð"Ï��`Ëy×UÐ"ÝQös¥ßÉ�×EÎ@Ò�É ÏrÕÔËßÝ6 4ÉQácÐÞæEÉcäQ¥�×EÎ�Ë=YIÐ"ÝcØH�EÕ�ÑåÎ]��Ð Ò�ÉQÏ?SçÛãÂ4ÜwöY Ð"Ý`ÏrÕ�Ëh��ÏrÕ�¥�Ï�Î= rÑ«ÐÞÕ�Ñ«Ð�Ømñ&ÏkÖ:ÎÔáwË@ö�Yø�ÀàrÝ�ËüÍ4É/á�×UÕ�Ý«ÉcÏ�Ý«ÕIËy×EÎ�ËËy×UÉ Ñ�Ð ��רË×EÎÔÏräkÝ«ÐÞärÉmÕÔÖ Ëy×UÉÐ"ϨÒÔÉQÑ«Ý�Ð"Õ�Ï�Ð"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ�Ð"Ýu1cÉQÑ�Õ/Ö-Õ�Ñ�K�� î�Û-Ë«Õµ� Î�Ë«á�×IË«×rÉ`Ó"ÉwÖ�Ë�×EÎÔÏrä�Ý«ÐÞärÉ8ÜoØû~ÕüärÕüË«×rÐ"Ýcö�Ý�Ë�Î�Ñ�Ë%¥�ÐÞËy×xY�mùîµÎÔÏrä áQÓÞÕ�Ý«É�Ëy×rÉ|áQÕÔÏ�Ë«Õ�àrÑåàrÝ«ÐÞÏ��üÎüÝ«ÉÁ� ÐÞáQÐÞÑ«áQÓÞÉtÐ"Ï�XµÛãÂ4Ü�muY�mùîËyÕ|Ö-Õ�Ñ6� Î áQÓ"ÕÔÝ«ÉQäüáQÕ�Ϩ˫Õ�àrÑ ÙmØ�Ò|Õ�¥`öÔÖ-Õ�ѽK�� îNö�Ëy×UÉßÖ:ÎÔáwËyÕ�Ñ ÕÔÖ#Ç T c ÉcÏrÝ«àrÑ�ÉQÝ Ë«×EÎ�Ë Ëy×rÉßáQÕ�ϨËyÑ�Ð"ÍràNËyÐ"ÕÔÏÖ-Ñ«Õ�� Ëy×rÉüÐ"ϨËyÉÁ��ÑyÎÔÓÊÕ8ÒÔÉQÑ Ë«×rɵÝ�É��/Ð"ácÐ"Ñ«ácÓ"ÉÎ�Ë|Ð"ÏNæEÏrÐÞËä¯ÄÒ�ÎÔÏUÐ"Ý«×UÉQÝQØ�ût×�àrÝcöãÖ-Õ�Ñ�Ëy×rÉÐ"Ϩ˫É���Ñ«ÎÔÓ ÎÔÑ«Õ�àUÏrä

Page 53: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö��Ù ËyÕh¯ ÐÞÉQÓ"ä�1QÉcÑ«Õ¾öySçÛãÂ4Ü%�µàrÝ�ËÌ×EÎ@Ò�É[ÏrÕüÝ«ÐÞÏ���àrÓ"ÎÔÑ«Ð ËyÐ"ÉcÝ·Ð"ÏrÝ�Ð"ärÉ�Ù/Ø�ût×rÉQÑ�ÉcÖ-Õ�Ñ�ÉÔöEÎÔÓÞÓEÝ«ÐÞÏ���àrÓ"ÎÔÑ«Ð ËyÐ"ÉcÝ·ÕÔÖS ÛNÂ4Üó�ÀàUÝ�Ë|Ó"ÐÞÉ�ËyÕ2Ëy×UÉÓÞÉcÖ�Ë�ÕÔÖ Ëy×UÉÓÞÐ"ÏrÉkXµÛãÂ4Ü > Y Ødût×rÐ"Ý æUðNÉcÝtY Ø

�EÕ�Ñ�K�m îNöy¥ÌÉáQÓÞÕ�Ý«É[Ë«×rÉ`áQÕ�Ϩ˫Õ�àrÑ�Ð"Ï XüÛNÂ4Ü��uY Ø·ût×rÐÞÝ`��ÐÞÒÔÉQÝM ÛOK�Ü > í�;³Û,{z}| Ç T c SçÛãÂ4Ü è  ò K�m î Å ÛW��Ñ�ï�ÜñªÖµË«×rÉ�Õ�ÏrÓ�¯ùÝ«ÐÞÏ���àrÓ"ÎÔÑ«Ð ËyÐ"ÉcÝçÕÔÖ,S ÛNÂ4ܾÎÔÑ�É�Ð"Ý«ÕÔÓ�Î�Ë«ÉQä- 4Õ�Ó"ÉcÝQö Ë«×rÉ�Ð"ϨÒ�ÉcÑ«Ý�Ð"Õ�Ï�Ð"ϨËyÉÁ��ÑyÎ�Ó[á@ÎÔÏ�Í4É

 4ÉQÑ�Ö-ÕÔÑ6�/ÉQäIͱ¯ÄËy×rÉ`á@Î�Ó"áQàUÓ"àrÝtÕÔÖ~Ñ«ÉcÝ«ÐÞäràrÉQÝM ÛVK�Ü > L~ �!���E� :�ÉQÝ & ôõÇ T c SçÛãÂ4ÜUö> L�� ÇwTO� c S ÛN � Ü�ò ÛW��Ñ�O¨ÜÖ-Õ�ÑR ãÕÔÓ"ÉQÝÎ�ËÈ >  � Ø=¢ à� � 4Õ�Ý«É/Ëy×rɵ ãÕ�ÓÞÉmÕÔÖ�S ÛNÂ4Ü�¥�ÐÞË«×kÓ"ÎÔÑ6��ÉcÝ�ËüÑ«ÉQÎÔÓ. EÎÔÑ�ËüÐ"Ý` >  � ØÄût×UÉQÏM ÛVK�ÜAçðÇ TO� c Î�ÝMKHG J]örÎÔÏräIËy×rÉcÑ«ÉcÖ-ÕÔÑ«Ét¥ÌÉÑ«ÉÁ��àrÐ"Ñ�É�YÜm�XüÛN � ÜwØÈÊÉcËK� É;��ÐÞÒÔÉ�Ý«Õ'�/ÉkÉoðUÎ��µ UÓ"ÉQÝ�ÕÔÖµ×rÕ�¥�ËyÕ�àrÝ«ÉkÈ�Î� rÓ�Î�áQÉ�ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÝÄË«Õ�Ý�Õ�ÓÞÒÔÉ Õ�Ñ�ärÐ"ÏEÎ�Ñ�¯ärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓ�ÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�ÏrÝcöEÐ"Ï� EÎÔÑ�ËyÐÞáQàrÓ"ÎÔÑ Ð"ÏUÐÞËyÐ"ÎÔÓ�ÒÔÎ�Ó"àrÉt rÑ�Õ�ÍrÓÞÉ��/ÝQØ%�ÌÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑWâmøE��Yâ2ø�â > Ç�Ð c ò ÛW��Ñ��¨Ü¥�ÐÞË«×�ÐÞÏrÐÞË«Ð�ÎÔÓ�Ò�ÎÔÓÞàrÉQÝ�â~Û�î¨Ü > í�ö�Yâ�Û�î¨Ü > îUØ`� Ñ�ÐÞË«É V Å,â~ÛOK�Ü é�� ÛNÂ4ÜoØ�È�Î� UÓ�ÎÔácÉüËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/Ð"Ï��mËy×UÉÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ�öEÎÔÏrä�àrÝ�Ð"Ï��mÕ�àrÑ�Ñ�ÉQÝ«àUÓÞËyÝ|ÎÔÍ4Õ�àUËtË«×rÉÈ�Î� rÓ�Î�áQÉ[ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/ÝtÕÔÖ~ärÉQÑ�ÐÞÒ�Î�ËyÐ Ò�ÉcÝQöT��Ð Ò�ÉQÝ

ô ÂTà � ÛNÂ4Üvá�ÂUâ~Û�î¨Ü�á Yâ�Û�î�ÜUö�øÓ��ô  � ÛNÂ�Üvá â~Û�î¨Ü�ö ø � ÛãÂ4Ü > íµø�í ò`ò ÛW�'ÖÔî¨Ü¥�×rÐÞá�×�ö�Î�Ö�ËyÉcÑ|ÎmÓÞÐÞË�ËyÓ"É Ñ«ÉQÎÔÑ«Ñ«ÎÔÏ���ÐÞÏ��röUÐ��µ UÓ"Ð"ÉcÝßË«×EÎ�Ë

� ÛNÂ�Ü > íÂÀø�í ø íÛãµø�í>Ü à ø íÛNµø�í>Ü ¥ Å ÛW�'ÖNí>Ü$ÌàUË[ÏrÕ�¥`öÊàrÝ«ÐÞÏ��ÄÕ�àrÑ[ÉoðUÎ��µ UÓ"ɵÖ-Ñ�Õ'� ÉQÎÔÑ«ÓÞÐ"ÉcÑQö#¥ÌÉmá@Î�ÏÇÐ"ϨÒ�ÉcÑ�Ë`É@Î�á�×�Õ�Ö·Ëy×rÉcÝ«É2ËyÉcÑ6� ͱ¯÷ËyÉQÑ��°Ë«ÕÕ�ÍUËyÎÔÐ"Ï â~ÛOK�Ü > Ç Ð c ø=KÀÇ Ð c ø K à� Ç Ð c Å ÛW�'Ö'��ܺ ÉcÑ«És")Ý ÎÔÏrÕÔË«×rÉQÑ�ÉwðUÎ��9 rÓÞÉ W�[ø·Y�8á ��� > îIò ÛW�'Ö��¨ÜÝ«àUÍ�z�ÉQáwË/Ë«Õk��Û:î¨Ü > íIÎ�Ïräø� G îÇÎ�Ý K�G J]ØÏ�kÑ«Ð ËyÉ V ÅÕ�MÛOK�Ü é�� ÛNÂ4ÜoØkû ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÐÞÏ���Ëy×UÉÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ ¥ßÉR��ÉcË Ûã à økÂ9áø��Ü � ÛNÂ4Ü > Â2ø Y�MÛ:î¨Ü�øiíµÅ ÛW�'Ö�Ñ�Ü

Page 54: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö�Ñût×rÐÞÝ|ÐÞÝtÏrÕ�¥ÂÉQÎÔÝ«ÐÞÓ�¯¾ÐÞϨÒ�ÉQÑ�ËyÉcä÷ËyÕ���Ð Ò�É

�MÛOK�Ü > Y��Û:î¨Ü�øÓ�� Ç c ø í`á Y�MÛ:î¨Ü� Ç Ð2à c ò ÛW�'Ö'Ö�ÜÒ Õ�¥`öEÑ�É���àrÐ"Ñ�Ð"Ï����8G îmÎÔÝuK.G J Ð��µ UÓ"Ð"ÉcÝßË«×EÎ�ËIY�ãÛ�î¨ÜÊøÓ� > îUöEÎÔÏUä�Ë«×rÉQÑ�ÉcÖ-Õ�Ñ�É`Ë«×rɼݫÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏÄÐÞÝ

��ÛVK�Ü > Ç�Ð2à c Å ÛW�'Ö�â¨Ü�i×EÎ�Ë"�Ý�Ð"ϨËyÉcÑ«ÉQÝ�ËyÐÞÏ��¾ÎÔÍ4Õ�àUË Ëy×rÐÞÝ ÉoðUÎ��µ UÓ"ɵÐÞÝ|Ë«×EÎ�Ë1¥ÌÉÀàUݫɵ˫×rÉüæEÑ�Ý�˼Í4Õ�àrÏUäEÎÔÑ�¯�ácÕ�ÏrärÐ ËyÐ"ÕÔÏ�z�àrÝ�ËÎ�Ö�Ë«ÉQÑ�ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÐÞÏ��rörË«Õ ärÐÞÝ6 4Õ�Ý«ÉüÕÔÖ ÕÔÏrÉüÕ�Ö Ëy×rÉËyÉcÑ6�/Ý1��ÉcÏrÉQÑ«Î�ËyÉcä´Í±¯�È�Î� rÓ�Î�áQÉ`ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÐÞÏ��/ÎärÉcÑ«ÐÞÒ�Î�Ë«ÐÞÒÔÉÔörÍràNË àUÝ«É`Ëy×rÉ`Ý«ÉcáQÕ�ÏUä÷Í4Õ�àrÏrärÎÔÑ�¯¾Ë«ÉQÑ�� Õ�ÏrÓ˯IÎ�Ö�ËyÉcÑtÐ"ϨÒ�ÉcÑ�Ë«Ð"Ï��2Ëy×UÉ`Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ��÷Øût×rÉ�ÏrÉwð Ë�ÉwðUÎ��9 rÓ"ÉÇäUÉ@ÎÔÓÞÝ ¥�Ð Ëy×�Î  EÎÔÐÞÑÄÕÔÖµácÕ�à� rÓÞÉQä æEÑ�Ý�Ë�Õ�Ñ«äUÉQÑIärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨËyÐ"ÎÔÓ[ÉÁ� àrÎ�ËyÐÞÕ�ÏrÝQØ�ÌÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ Yâmø�â2øÓ��� > ÇÊà c ò

��YâÀø Y�]á â > îÄò ÛW�'Ö�ï�Ü¥�ÐÞË«×Äâ~Û�î¨Ü > �MÛ�î�Ü > îUØdÈ�Î� rÓ"ÎÔáQÉ[Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/Ð"Ïy�8��ÐÞÒÔÉQÝÛNµø�í>Ü � ÛNÂ�Ü�øE� � ÛNÂ4Ü > íÂ9á � òÛ¦��Â9á í>Ü � ÛNÂ�Ü�øÏ � ÛNÂ4Ü > î�Å ÛW�'Ö�O¨Üût×rÉcÝ«Éá@ÎÔÏ�Íãɼ˫ѫÐÞÒ Ð"ÎÔÓ"Ó˯mÝ«Õ�Ó Ò�ÉQä�ËyÕ���Ð Ò�É

� ÛãÂ4Ü > ÂÛNÂ9á í8ÜQÛNÂ9á ��Ü à ò� ÛãÂ4Ü > í_á ��ÂÛNÂ9á í8ÜQÛNÂ9á ��Ü à Å ÛW�'Ö��¨Ü�kÉ/ácÕ�àrÓÞä�äUÕ�Ë«×rÐ"ݼͱ¯Ï EÎÔÑ�ËyÐ"ÎÔÓ~Ö-Ñ«ÎÔácË«Ð"Õ�ÏrÝ`Î�ÏräkàUÝ«Ð"Ïy��ÉQÎÔÑ«ÓÞÐ"ÉcÑ[Ñ«ÉcÝ«àrÓ ËyÝQØ�º Õ�¥ßÉcÒÔÉQÑQö~Ð"ÏrÝ�ËyÉQÎÔä;¥ßÉs")Ó"ÓàrÝ�ÉÀËy×rÐÞݼÎÔÝ[Õ�àUÑ�æEÑ«Ý�Ë�$ÌÑ�Õ'��¥�Ð"á�×ÇÐÞϨÒ�ÉQÑ�Ý«ÐÞÕ�Ï´Ö-Õ�Ñ6�µàrÓ�Î/ÉwðUÎ��9 rÓ"É�ØR�ÌÓ"É@Î�Ñ«Ó�¯ ¥ßÉ+¥�Ð"Ó"Ó�ÏrÉcÉQäLY=mð�NØût×rÉÑ«Ð���רËt×EÎÔÏrä�Ý«ÐÞärÉ`ÕÔÖ Ëy×rÉ`É���àEÎBËyÐ"ÕÔÏIÖ-ÕÔÑ � ÛNÂ4ÜÌ×rÎÔÝ` ãÕ�ÓÞÉQÝ�Î�Ë. > íÎÔÏrä� > �Nöy¥�Ð Ëy×

:�ÉQÝ>Ûã > í>Ü > ÓÞÐ �T b ¿ ÛNÂ9á í>ÜQÛ � ÛNÂ�Ü�ÇwT c Ü > Ç c ò:�ÉQÝ>Ûã > ��Ü > ÓÞÐ �T b à ' Â#Ç T cµá í ) ò ÛW��â�î¨Ü

¥�×rÐÞá�×a¯ Ð"ÉcÓ"ärÝ â~ÛVK�Ü > Û¦�;K[á í>ÜÀÇ à c ø Ç c Å ÛW��âUí>Ü

Page 55: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö'Ö¢NÐ�� ÐÞÓ�ÎÔÑ�Ó�¯+¥ßÉÕÔÍUË�ÎÔÐÞÏ

�MÛOK�Ü > Ûfí`áø�rK�Ü�ÇÊà c áøÇ c Å ÛW��â���Ü¢NÕ'�/ÉcË«Ð �/ÉQÝQörÎmácÕ�ϨÒ�Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏÄËyÑ�Ð"á��¾ÐÞÝtàrÝ«ÉwÖ-àrÓ+Ø%�ÌÕ�ÏUÝ«Ð"äUÉQÑWâmøl�%à�â > M ÛOK�Ü[ò ÛW��â'�¨Ü

¥�ÐÞË«×Äâ~Û�î¨Ü > Yâ�Û:î¨Ü > îUØdÈ�Î� rÓ"ÎÔáQÉ[Ë«ÑyÎÔÏUÝ�Ö-Õ�Ñ�� ÐÞÏ��8¥ÌÉJ��ÉwË� ÛNÂ4Ü > SçÛãÂ4Ü à øl� à Å ÛW��â�Ñ�Ü

Ò Õ�¥`ö ÎÔÝQ¥ßÉÇÓ"ÉQÎÔÑ«ÏrÉcä É@ÎÔÑ�Ó"ÐÞÉQÑQö�_çÛãÂ4Ü é í��rÛN à øÆ� à Ü/Ð"Ý Ë«×rÉ�È�Î� rÓ"ÎÔáQÉ�ËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ�� Õ�Ö¼ó�ÛVK�Ü >Û:Ý�Ð"Ï�Û���K�Ü����ÌÜOgrÛVK�ÜwØ ût×�àrÝcö#¥ßÉá@ÎÔÏ ¥�Ñ«Ð ËyÉ� ÛNÂ�Ü > _çÛãÂ4ÜDS ÛNÂ�Ü�ò ÛW��â�Ö�ÜÎÔÏrä�àrÝ�É`Ë«×rÉ`áQÕ�ϨÒÔÕ�Ó"àUË«Ð"Õ�ÏÄË«×rÉQÕ�Ñ�É�� Ë«ÕmË«ÉQÓÞÓ�àrÝtËy×EÎBËtâ~ÛOK�Ü > Û-ó�C M ÜQÛVK�ÜwØdût×rÐ"ÝtÑ�É@ÎÔäUÝâ~ÛOK�Ü > Ì cI è K a Ý�Ð"Ï���ÛOK[áIK a Ü� M ÛOK a Ü[ò ÛW��â'â¨ÜÖ-Õ�Ñ�K�m îUØdût×rÉcÑ«ÉcÖ-ÕÔÑ«ÉÔöróMÛVK�ÜÌÐ"Ý Ëy×UÉ æ¼Ñ«ÉcÉQÏ�")Ý�Ö-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏIÕÔÖ Ëy×UÉR UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ���Ø[ Ý|Î2æEÏEÎÔÓÊÉoðrÎ��µ rÓÞÉ[Ö-Õ�Ñ�È�Î� rÓ"ÎÔáQÉ[Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6�/ÝQöUáQÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑtËy×rÉ`ärÐËÊMàrÝ�Ð"Õ�ÏÄÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï� à Î� â à > í � Î� K ò ÛW��â¨ï�ÜÐ"Ï2â��iîNöÌK��iîUö�Ý«àrÍÌz�ÉQácËåËyÕ��ÀÛ�îUò�K�Ü > M ÛOK�Üoö2�ÔÐÞÒ�ÉcÏ�ösÎ~Û-â�ò�î¨Ü > îUö ÎÔÏrä9Î�Û�â�ò�K�ÜHG îNö�ÎÔÝåâ�G J]Øût×rÐÞÝ9 UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ��£áQÕ�àrÓÞä ärÉQÝ�áQÑ«ÐÞÍãÉ�ößÖ-Õ�ѵÉwðUÎ��9 rÓ"É�öÌÎk rÑ�ÉQÝ«ácÑ«ÐÞÍãÉcä�×rÉQÎ�ËyÐÞÏ���Û M ÛVK�Ü«ÜÀÎ� y rÓ"ÐÞÉQä ËyÕ�Ëy×UÉâ > îmÉcÏrä�ÕÔÖ ÎmÝ«ÉÁ� ÐN¤&ÐÞÏUæEÏrÐ ËyÉ�Ñ�ÕNäMörÐ"ÏrÐ ËyÐ"ÎÔÓ"Ó˯màrÏr×rÉQÎ�ËyÉcä�Ø

§~ÉcÑ�Ö-Õ�Ñ�� Ëy×rÉÈ�Î� rÓ"ÎÔáQÉ[Ë«ÑyÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� ¥�ÐÞË«×�Ñ�ÉQÝ� ãÉcácË|ËyÕ�KbD�ÀÛ-â�ò¦Â�Ü >¸Ì dI è KyÇ ÐUT c Î~Û-â�ò�K�ÜtÅ ÛW��â'O¨ÜÒ Õ�ËyÉÀËy×rÎ�Ë@ö�ÉwÒ�ÎÔÓ"àEÎBËyÐ"Ïy� Ëy×UÐ"ݼÎ�Ë�â > î¡��ÐÞÒÔÉQÝ,�ÀÛ�îUòWÂ4Ü > V Å M ÛVK�Ü é S ÛNÂ4ÜoØ]Ò|Õ�¥`ö�Ëy×rÉ2ärÐËÊMàUÝ«Ð"ÕÔÏÉ���àEÎBËyÐ"ÕÔÏ�öràrÝ�Ð"Ï��9Î~Û-â�ò�î¨Ü > îUöT��Ð Ò�ÉQÝ � à �� â à >  � ò ÛW��â'�¨Ü¥�×rÐÞá�×÷ÐÞÝtÉ@ÎÔÝ�Ð"Ó�¯çÝ«Õ�Ó Ò�Écä�Ë«Õ9�ÔÐÞÒ�É�ÀÛ�â�ò¦Â4Ü > 32ÛãÂ4ÜUÉwðq �ÛUá Þ ÂÒ���âãÜ�ø45ÄÛNÂ4ÜUÉoðq  Û Þ ÂÒ�� âãÜ�Å ÛW��ïÔî¨Ü

Page 56: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö�âÒ Õ�¥`öÊÝ�Ð"ÏrácÉÀËy×rÉÀâ�¤ªärÉ� 4ÉQÏräUÉQÏrácÉ ÕÔÖ'� ÎÔÏräÏÎ;¥�ÐÞÓ"Ó ÍãÉÀË«×rÉ2ÝyÎ�� É�ö5¥ÌÉmÑ�É���àrÐ"Ñ�É��ÀÛ-â�ò¦Â�ÜÙG îUö�Î�Ýâ G J]öy¥�×rÐÞá�× ��ÐÞÒÔÉQÝu5ÄÛãÂ4Ü > îUØ.¢ Õröy¥ßɼ×EÎ@Ò�É.�ÀÛ-â�ò¦Â4Ü > 3ÀÛNÂ4ÜUÉoðq �ÛÀá Þ ÂÒ���âãÜwØ [ Ëtâ > îUöy¥ßÉ×EÎ@Ò�É��ÀÛ�îUòWÂ4Ü > 32ÛãÂ4Üwö�Î�ÏräIÝ«Õ�¥ÌÉJ¥�Ñ«Ð ËyÉ�ÀÛ-â�òWÂ4Ü > �2Û:îUò¦Â4ÜUÉoðq �ÛÀá Þ ÂÒ��¨âãÜ[ò

> SçÛãÂ4Ü�_ ÛNÂ4Ü|ò ÛW��ïNí>Ü¥�ÐÞË«×D_ ÛNÂ4Ü > Éoðq  ÛÀá Þ ÂÒ��¨âãÜwØ�ût×rÉQÑ�ÉcÖ-Õ�Ñ�ÉÔö4Ëy×rÉüáQÕ�ϨÒ�ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�Ï�Ëy×rÉcÕ�Ñ«ÉÁ�SË«ÉQÓÞÓ"Ý�àrÝ Ë«×EÎ�Ë;�2Û�â�ò�K�Ü >Û-ó�C M ÜQÛ�â�ò�K�Üwö�ÎÔÏUä�Ð Ë�Ñ«ÉÁ�çÎÔÐÞÏrÝ ËyÕ2æEÏUä�óMÛ-â�ò�K�ÜwØ�$ÌàUË�Ö-Ñ�Õ'� ÎÔÏ�É@Î�Ñ«Ó"ÐÞÉQÑ Ñ�ÉQÝ�àrÓÞË_¥ßÉh��ÏrÕ�¥YËy×rÐÞÝ�D

óMÛ-â�ò�K�Ü >�� â àÑs³� K)Ð ¥ à à4Éwðq D'�á â àÑA�K ) Å ÛW��ï'��Üût×rÉcÑ«ÉcÖ-ÕÔÑ«ÉÔöEË«×rÉ`áQÕ'�9 rÓ"ÉwËyɼÝ�Õ�Ó"àUË«Ð"Õ�Ͼ˫Õ2Ëy×rÉ`ärÐËÊMàrÝ�Ð"Õ�ÏÄÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï= rÑ«Õ�ÍUÓ"É��uÐ"ÝÎ~Û�â�ò�K�Ü >�� â àÑr³{ Ì cI è K a ÛOKvá K a Ü�Ð ¥ à à�Éoðy Ü'yá â àÑA�ÛOKváIK a Ü ) M ÛVK a ÜÙÅ ÛW��ï��¨Üñ�")ÒÔÉ_��ÐÞÒÔÉQÏ�¯ÔÕ�à/Î�Ó"ÕÔË~ÕÔÖ4ÉwðUÎ��9 rÓÞÉQÝ�àUÝ«Ð"Ïy�[Ëy×rÉtÈ�Î� UÓ�ÎÔácÉßËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6��ØvÆ[àUÑ«Ð"Ïy� Ëy×UÐ"Ý�Ë«Ð �/Ég¯ÔÕ�à�",Ò�É×EÎÔäüÝ«Õ'�/ÉdËyÐ �/É ËyÕ1��ÉcË~àrÝ�ÉQäµË«Õ|Ë«×rÉó�EÕ�àUÑ«Ð"ÉcÑÊËyÑyÎ�ÏrÝ�Ö-Õ�Ñ��÷Ø ñ�")äµÏrÕ�¥�ÓÞÐ2�ÔÉdËyÕÈ��Õ|ÍEÎÔá��¼ËyÕ|Ëy×rɯ�EÕ�àrÑ�Ð"ÉQÑËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6� Ö-ÕÔÑtÕ�ÏrÉ`ÉwðUÎ��9 rÓ"É[Ë«×EÎ�Ë�ÐÞÝtÕÔÖv rÎÔÑ�Ë«Ð"áQàUÓ�ÎÔÑ� U×̯ Ý�Ð"á@Î�ÓÊÝ«Ð �ÔÏrÐÞæEáQÎÔÏrácÉÔØ

�ÌÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ�Ë«×rÉJ rÑ«ÕÔÍrÓ"ÉÁ� ÕÔÖ æEÏrärÐÞÏ��2Ëy×rÉhæ¼Ñ«ÉQÉcÏ�")Ý�Ö-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏÄËy×rÎ�Ë|ÝyÎ�Ë«Ð"Ý�ærÉQÝ'Tá � à� â à á ÷à�)�_ Û-â�ò�â a Ü >�\ Û-âQá â a Ü[ò ÛW��ï�Ñ�Ü¥�×rÉcÑ«É8÷/Ð"Ý�Î æUðNÉQä�öMÑ«É@Î�Ó+ö# ãÕÔÝ«ÐÞË«ÐÞÒÔɵÏ�à��ÀÍ4ÉQÑcö�ÎÔÏrä�á�J �Yâ�ò«â a �øJ]Ø ût×rÐÞÝ!æ¼Ñ«ÉcÉQÏ�")Ý�Ö-àrÏráwËyÐÞÕ�ÏärÉcÝ«áQÑ�Ð"Í4ÉQݼÕ�ÏUÉ�¤&äUÐ �/ÉQÏrÝ�Ð"Õ�ÏEÎ�Ó~Ý�á@Î�Ë�ËyÉQÑ�Ð"Ï��ÄÐÞÏk��àEÎÔϨËyà�� � Écá�×EÎÔÏrÐÞáQÝcØ+¢NÉwË[â a > î�Û ¥`Ø�Ó�Ø�ÕrØ �rØ ÜwöÊÎ�ÏräËy×UÉQÏK��ÕÔàrÑ«ÐÞÉQÑ ËyÑ«ÎÔÏrÝ�Ö-Õ�Ñ6��Øv�kÉÕÔÍUË�ÎÔÐÞÏÄËy×EÎ�ËÛ�qà%á ÷�àwÜ �_/Û�rÜ > ímò ÛW��ï'Ö�Ü¥�ÐÞË«×ÄËy×rɼÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�Ï�¥ÌÉr"�Ñ�ÉüÓÞÕNÕ���ÐÞÏ��ÀÖ-Õ�Ñ_��Ð Ò�ÉQÏIͱ¯ÄËy×UÉÐÞϨÒ�ÉQÑ�Ý«ÐÞÕ�Ï�Ö-ÕÔÑ6�ÀàrÓ"Î_çÛ�âãÜ > Ì dÐ d è �Ç�Ð &�� Í �_çÛ�rÜÙÅ ÛW��ï�â¨ÜÒ Õ�¥`ö2¥ÌÉ�¥ßÕ�àrÓÞä¾Ó"Ð��ÔÉ Ë«ÕÀÝ«ÕÔÓÞÒ�É Ö-Õ�Ñ �_ Û�UÜwØ�º Õ�¥ßÉcÒÔÉQÑQö �_ Û�UÜ > í��rÛ� à ák÷ à Ü%¥�ÐÞÓ"Ó�ÏrÕÔËÌärÕröNÍãÉcá@ÎÔàrÝ�ÉÐÞË` UàUËyÝ` 4Õ�Ó"ÉcÝtÕ�ÏÄËy×rÉ`Ñ«ÉQÎÔÓ{s¤&ÎBðNÐ"ÝQörÎÔÏräIËy×rÐÞÝ_��ÐÞÒÔÉQÝ` rÑ«ÕÔÍrÓ"ÉÁ� Ý Ö-Õ�Ñ Ë«×rÉ`Ð"ϨÒ�ÉcÑ«Ý�Ð"Õ�Ï�Ð"ϨËyÉÁ��ÑyÎ�Ó+Øû~Õ= rÑ�ÕNácÉQÉQäMö�¥ßÉ+¥�Ð"Ó"Ó�Î� � rÓ˯ ÿ ����4Ta ÿ 4Z} þ;�`"2P � Ø2ût×rÐ"ݼËyÉcá�×rÏrÐ�� àUÉ ÐÞݼÉwð ËyÑ�É��/ÉQÓ�¯´Ð �9 ãÕ�Ñ�Ë�ÎÔϨËÐ"Ïk��àEÎ�Ï�Ë«à�� �/ÉQá�×EÎÔÏUÐ"áQÝ`Î�Ïrä���àEÎ�Ï�Ë«à�� æEÉcÓ"äÇËy×UÉQÕ�Ñͯ�Øx:�É� rÓ"ÎÔáQÉ+÷ à Í̯x÷ à Û , kQØ2ût×UÐ"Ý`ÉQÏEÎ�ÍrÓ"ÉcÝ

Page 57: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö�ïÕ�ÏrÉ[Ë«ÕmärÉcæEÏUÉË�¥ßÕmÐ"ÏrärÉÁ ãÉcÏrärÉcÏ�Ë�æ¼Ñ«ÉQÉcÏ�")Ý�Ö-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏrÝM_6å·Û�âãÜÌÍ̯çË�Îs��Ð"Ïy�mË«×rɼÓ"Ð�� Ð Ë�k¯G î/ÎBË|ÎÔÏÎ� � UÑ«Õ' rÑ�Ð�Î�˫ɼÓ�Î�Ë«ÉQÑ Ý�Ë�Î��ÔÉÔد�ÌÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ�_ o Û�UÜ > í à á�Û�÷ à øø, k�Ü ò

> íô�8á�Û�÷ à ø ,fk�Ü ¿�à à öúô�`ø]Û�÷ à øø, k�Ü ¿�à à ö ò> í+á�÷�á , k a Ó í`ø ÷tø , k a ò ÛW��ï�ï�Ü

¥�×rÉcÑ«Éhk a é k��rÛ¦�÷ à Üoö�ÎÔÏrä�Ó"Ð�� p b I ÎÔÏrä�Ó"Ð � p�� b I ÎÔѫɼÉÁ��àrÐÞÒ�ÎÔÓÞÉQϨË@د¢NÕröq¥ÌÉ×EÎ@Ò�É_ o Û-âãÜ > ÌedÐ d è â�Ç�Ð &�� Í í8á ÷�á , k a Ó í`øø÷�ø ,fk a Å ÛW��ï�O¨ÜÒ Õ�¥`ö�Ö-Õ�Ñ[â=m îNö�¥ÌÉ2áQÎÔÏ�ÉcÒ�ÎÔÓ"àrÎ�Ëyɵ˫×rÐ"ݼÐÞϨËyÉ��ÔÑyÎÔÓ~Í̯�áQÓÞÕ�Ý«ÐÞÏ��¾Ëy×rÉ2ácÕ�ϨËyÕ�àUѼÐ"Ï´Ëy×UÉ2à� � 4ÉQѼ×EÎÔÓ Ös¤ú rÓ�ÎÔÏUÉçÛ��üÛ�rÜ|miî�Üwö4ÎÔÏrä�Ö-Õ�Ñ|âÖ��îUöT¥ßɵáQÎÔÏ�ÉwÒÔÎ�Ó"àEÎ�˫ɼËy×rÐÞÝ ÐÞÏ�Ë«É���Ñ«ÎÔÓÊͱ¯�áQÓ"ÕÔÝ«Ð"Ïy�mË«×rɵácÕ�ϨËyÕ�àUÑÐ"Ï�Ëy×UÉ ÓÞÕm¥ßÉQÑ`×EÎ�ÓÞÖ�s¤� rÓ"ÎÔÏrÉ÷Û��Û�UÜ � î¨ÜwØ9� É/àrÝ�É/Ë«×rÉ Ñ�ÉQÝ�Ð"äràrÉmËy×UÉQÕ�Ñ�É���ö�ÎÔÏUä�Ë«×rÉQÏ�Ë�Îs��É Ëy×UÉÓ"Ð�� Ð ËÌÓÞÐ � p b I Î�ËtË«×rɼÒ�ÉQÑͯIÉQÏräMØåût×UÉüÑ�ÉQÝ«àUÓÞË�Ð"Ý_ o Û-âãÜ > ³Û,�grÛ-âãÜ Ç &�� Í÷ ø=³�,"grÛUá|âãÜ Ç Ð &�� Í÷ Å ÛW��ï��¨Üù ÏrÉ/á@ÎÔÏ áQÎÔÓ"ácàrÓ�ÎBËyÉe_ Ð Û-âãܼݫР�/Ð"Ó"ÎÔÑ«Ó˯�Ø�æ¼ÐÞÒ�ÉcÏ Õ�àUÑË«ÉQá�×rÏrÐ���àrÉÔö ¯ÔÕ�à Ý�×rÕ�àrÓÞä á�×rÉcá��kËy×rÎ�ËüË«×rÉQÝ�Éæ¼Ñ«ÉQÉcÏ�")Ý�Ö-àUÏrácË«Ð"Õ�ÏrÝ�Õ�Í4É ¯çËy×rÉ`ärÐËÊMÉcÑ«ÉQϨ˫Ð�ÎÔÓ�ÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï�Ø� �¾½·Ã�û�� �9��¹QÅ/Ã���¹@¿@¿Q» ú¡ ´»[Åeû£¢ÈÊÉcË"�ÝÀÍ4É��ÔÐ"Ï�¥�Ð Ëy×�ÎÔÏ�ÉoðUÎ��µ UÓ"É Ë«Õx��Éw˵Ëy×UÉçÖ-ÉQÉcÓÌÕÔÖtË«×rÉ ��Ð"Ïrä�Õ�Ö` rÑ«Õ�ÍUÓ"É��/Ý]¥ßÉs")Ó"ÓåË�ÎÔá���ÓÞɵ¥�ÐÞË«×Ëy×UÉQÝ«É`ËyÉcá�×rÏrÐ�� àUÉQÝQØ

�ÌÕ�ÏrÝ�Ð"ärÉcÑ Î`àrÏrÐÞÖ-ÕÔÑ6� Ý�Ë«Ñ«ÐÞÏ��R¥�Ð Ëy×mæUðNÉQä¾ÉcÏrärÝcØåût×UÉ�ärÐÞÝ6 rÓ"ÎÔáQÉÁ� ÉcÏ�ËåÕÔÖMËy×rÐÞÝåÝ�ËyÑ�Ð"Ï��üÕ�ÍãÉ ¯ ÝßËy×UÉ¥ÌÎ8ÒÔÉüÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï í� à � à �� K à > � à �� â à ò ÛW��O�î¨Ü¥�ÐÞË«× Í4Õ�àrÏUäEÎÔÑ�¯ÀáQÕ�ÏräUÐÞËyÐÞÕ�ÏrÝH� > îüÎ�Ë·â > îÎÔÏrä Î�Ëdâ >)¤ Ö-ÕÔÑdÎÔÓ"ÓUË«Ð �/ÉÔØ~û~ÕÝ�ËyÎÔÑ�ËQös¥ßÉ|Ý«É� rÎÔÑyÎ�Ë«ÉÒ�ÎÔÑ«Ð"ÎÔÍrÓÞÉQÝQöq�çÎr� ÐÞÏ��2Ëy×rÉÎÔÏUÝyÎ�Ë�1R�MÛ-â�ò�K�Ü > � Û�âãܦ¥µÛOK�ÜoØåût×UÐ"Ý�¯ Ð"ÉcÓ"ärÝ

á í� à W¥¥ > á � a a� > áQÕÔÏrÝ�Ë >ø¶ ò ÛW��OUí>ÜÝyÎ�¯ÔØ�e�Ð"ÍrÑ«Î�ËyÐÞÕ�ÏrÝ ácÕ�Ñ«Ñ�ÉQÝ� ãÕ�ÏUä÷ËyÕ�¥Ôç Ç &�� c öUÝ«Õ ¶�> � à �s� à ØH�kÉÝ�ÉQÉ �ÄÝ«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝ ÕÔÖ� a a > á ¶ � ò ÛW��O���Ü

Page 58: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö�OÝ«àUÍ�z�ÉQáwË Ë«Õ � > î/Î�Ëtâ > îmÎÔÏrä÷Î�Ëtâ >W¤ Ø·ût×rÉÝ«ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏrÝ ÎÔÑ«É`ÕÔÖ Ëy×rɼÖ-Õ�Ñ��

� Ú Û-âãÜ > 5 Ú Ý«ÐÞÏT� /Ò³�⤠� ò ÛW��O'�¨Ü¥�ÐÞË«× / > í�òb�Nò��NòÊÅÊÅÊÅ�ØÒ ÕÔË«ÉçËy×rÎ�˵˫×rÉQÑ�ÉÄÉwðNÐ"Ý�Ë2Ý«Õ�ÓÞàUËyÐÞÕ�ÏrÝÕ�ÏrÓ˯�Ö-ÕÔÑ ¶ ô]Ktö Î�ärÐ"Ý�áQÑ�ÉcËyÉcÓ�¯kärÐ"Ý�ËyÑ�Ð"ÍràUË«ÉQä Ý�ÉcËmÕÔÖ�Ñ�É@ÎÔÓÉQÐ���ÉQϨÒ�ÎÔÓÞàrÉQÝcØK�Ð"ݼÑ�ÉcÖ-ÉcÑ«Ñ«Écä�Ë«Õ�ÎÔݼËy×rÉçþ�� ������ " a ÕÔÖßÉQÐ �ÔÉQϨÒ�ÎÔÓ"àrÉcÝQØ2ût×rÉmácÕ�Ñ«Ñ�ÉQÝ6 4Õ�ÏräUÐ"Ï���ÉQÐ���ÉQÏq¤Ö-àrÏráwËyÐÞÕ�ÏrÝ � Ú ÎÔÑ«ÉmÕ�Ñ�Ëy×rÕ���Õ�ÏEÎÔÓ~Õ�ÏEô)îUò ¤ ö�Ø2ût×rÉ/É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�Ï�ÕÔÖ¯�/ÕÔËyÐÞÕ�Ï´Ö-Õ�Ñ � Û�âãÜ�Ð"Ý[Ëä¯2 rÐ"áQÎÔÓ·ÕÔÖÌÎ¥�Ð"äUÉ�áQÓ"ÎÔÝ«ÝßÕÔÖ�ÉQÐ���ÉQϨÒ�ÎÔÓÞàrÉ1 UÑ«Õ�ÍrÓÞÉ��/Ý%¥�×UÐ"á�×IÎÔÑ�Ð"Ý«É|Ö-Ñ«Õ'� Ý�Õ'�/ÉÙ EÎÔÑ�ËyÐ"ÎÔÓ�ärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨËyÐ"ÎÔÓ�É���àEÎ�Ë«Ð"Õ�ÏrÝßÕÔÖ r×±¯ Ý«ÐÞáQÝQا�©�ª ,¸½[è�½Y®T±.³¨-½[°²±H®d©`¹�kÉK¥�Ð"ÓÞÓtÝ�Ë«àr䵯ÂÛ�Î�Ë/æEÑ«Ý�ËoÜmÝ«ÉQácÕ�Ïrä ÕÔÑ«ärÉcÑçÓ"ÐÞÏrÉ@Î�Ñ/äUÐ�ÊãÉQÑ«ÉcϨËyÐ�Î�ÓtÉ���àEÎ�Ë«Ð"Õ�ÏrÝ/Ö-Õ�Ñmâ ô£F > ô $ ò��)ö�Ø:�ÉQÝ�Ë«Ñ«ÐÞácË�Î�Ë�ËyÉcÏ�Ë«Ð"Õ�Ï ËyÕÀÓÞÐ"ÏrÉQÎÔÑßäUÐ�ÊãÉQÑ«ÉcϨËyÐ�Î�ÓãÕ' 4ÉQÑ«Î�ËyÕÔÑ«Ý ÕÔÖÊË«×rÉ�Ö-Õ�Ñ�� C > á $ à ê à á $y¿ ê ø $ I Ö-ÕÔÑ��Ð Ò�ÉQÏ�Ö-àrÏráwËyÐÞÕ�ÏrÝ $'& Û-âãÜÙ¥�Ð Ëy× $ à Û-âãÜ m îIÕÔÏ�F�Ø [ áwËyàEÎÔÓÞÓ�¯ÔöÊÐÞË�¥�ÐÞÓ"Ó� rÑ�Õ8Ò�É/Ý«àyý/áQÐÞÉQϨËËyÕIÑ«ÉcÝ�ËyÑ�Ð"áwËÕ�àrÑ�ÎBË«ËyÉcϨËyÐ"ÕÔÏIË«ÕQC�ÕÔÖ~Ë«×rÉÀþ � P \ ��ÿ 0 � � ý 4T� Ö-Õ�Ñ��KD

C > á ê  ê ø ÷çò ÛW��O�Ñ�Ü¥�ÐÞË«×+ Û-âãÜ�m îUöy÷rÛ�âãÜ_�ÔÐÞÒ�ÉcÏÄÖ-àrÏrácË«Ð"Õ�ÏUÝ|ÕÔÏ=F�ØËy×rÉ+ � " ba �¦V~ý � " � ý P P � � )��7 P ��a Ð"ÝtÝ� ãÉcáQÐÞærÉQä�Í̯ÄË«×rÉ`ärÐ�ÊãÉQÑ�ÉQϨËyÐ"ÎÔÓMÉÁ��àEÎ�ËyÐÞÕ�Ï

CH�MÛ-âãÜ >ø¶ %2Û�âãÜÀ�MÛ-âãÜ ò ÛW��O�Ö�ÜËyÕ÷ÍãÉ Ý«Õ�Ó Ò�Écä Ö-Õ�Ñ]�MÛ-âãÜ[Ö-Õ�Ñ`âiô¸F�ö~Ý«àrÍ�z�ÉcácËÀË«Õ�Ëy×UÉçÍ4Õ�àrÏräEÎ�Ñ�¯�áQÕ�ÏUärÐÞË«Ð"Õ�ÏrÝçÛ-Ë«Õ�Í4ÉçÝ� ãÉcáQÐÞærÉQä�Üoö¥�ÐÞË«×l%2Û�âãÜ+m î´Õ�Ï F�ödÎÔÏrä ¶ ÎÔÏ�ÉQÐ���ÉQϨÒ�ÎÔÓÞàrÉ¡ EÎÔÑ«Î��/ÉcËyÉcÑQØÇût×rÉÄÝ�Õ�Ó"àNËyÐ"ÕÔÏ ×EÎÔÝ2Ý�Õ'� ÉQ��ÉQÏrÉcÑyÎÔÓÖ-É@ÎBËyàrÑ�ÉQÝí�Øpª ÏrÕÔÏ�Ë«Ñ«Ð ÒNÐ"ÎÔÓ·Ý«ÕÔÓ"àUË«Ð"Õ�ÏrÝJ¥�×rÐÞá�× Õ�Í4É ¯�Ëy×rÉ ÍãÕ�àUÏräEÎÔÑͯkácÕ�ÏrärÐ ËyÐÞÕ�ÏrÝÐ"Ï àUÝ«ÉçÐËÊ ¶ ô)K ö�Ëy×UÉÝ� ãÉcácËyÑ�à��KÕÔÖ�Ëy×UÉ1 rÑ�Õ�ÍrÓÞÉ���Ø�K Ð"ÝßÎ]�/Õ�ÏrÕÔË«Õ�ÏrÐÞá|Ý�ÉcËÌÕÔÖÊärÐÞÝ«áQÑ�ÉcË«ÉQÓ�¯mäUÐ"Ý�Ë«Ñ«ÐÞÍràUËyÉcäçÑ�É@ÎÔÓ4ÉQÐ���ÉQÏq¤Ò�ÎÔÓÞàrÉQÝ ¶ Ú öEÝ�Õ/Ë«×EÎ�Ë ¶ I � ¶ ¿ � ¶ à � Ó�Ó�Ó öq¥�ÐÞËy× ¶ Ú G J Ó"Ð��ÔÉt/ à ÎÔÝ_/KG J]Ø�NØ�ût×rÉÇÉcÐ ��ÉcÏUÖ-àrÏráwËyÐÞÕ�ÏrÝ¡� Ú áQÕÔÑ«Ñ«ÉcÝ6 4Õ�ÏrärÐÞÏ�� ËyÕ Ë«×rÉ ¶ Ú ô«KKÎÔÑ�ÉÇàrÏrÐ�� àUÉ�ËyÕ ¥�Ð Ëy×rÐÞÏ ÏrÕ�ÑÀ¤� ÎÔÓ"Ð�1@Î�Ë«Ð"Õ�ÏMØ [ Ó"Ý�ÕröY� Ú ÎÔÏUä��G¬�Î�Ñ«ÉmÕ�Ñ�Ë«×rÕ'��ÕÔÏEÎÔÓ·Ð"ÏkÎIÝ«ÉQÏUÝ«É Ë«×EÎ�ËR¥ÌÉ/Ý«×rÎÔÓ"Ó·Ý�ÉQÉçÝ�ÕNÕÔÏ�ö~Ð Ö/ <> °ÇØ�UØ�ût×rÉ�� Ú  rÑ«Õ8Ò Ð"äUÉÀÎçÍEÎ�Ý«Ð"Ý Ð"Ï�Ëy×rÉüÐ"ÏUæEÏUÐÞËyÉärÐ�� ÉcÏrÝ«ÐÞÕ�ÏEÎÔÓÊÒ�ÉcácË«Õ�Ñ[Ý6 rÎÔáQÉÀÕ�Ö Ö-àrÏráwËyÐ"ÕÔÏrÝ�Õ�Ï�F4ö¥�×rÐÞá�×÷ÕÔÍãÉ ¯¾Ëy×rÉ`Í4Õ�àrÏrärÎÔÑ�¯ÄácÕ�ÏrärÐ ËyÐÞÕ�ÏrÝtÐ"ÏÄàUÝ«ÉÔö4ÎÔÏUä÷Ý�àrÐÞËyÎÔÍrÓ"É�Ý6�/ÕNÕÔË«×rÏrÉcÝ«ÝÈ rÑ«Õ' 4ÉQÑ�ËyÐÞÉQÝQØ

Page 59: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� Ö��§�©�æ »Ó®yíTî�¬=­¯¬¯è�±.³Àç�í¯® ±.è�¼ Èø¬�0tè�¼t±H®6® ï�¬¯è�¼Jç�í�çÀ¬¯è�¹¢Nà� y +°�ÝD±]� ¿2²¯³ ä=� à °�´8± ¯¶µ�·6±]¢Hµyà6¸���¤!¹�º�°�à0»HºQ¼�¼�±t±���à ² µwº�° ³7½ û'·6± ³

áµÛNÂT� a¿ Ü a ø ÷� ¿ > ¶ ¿ %Ù� ¿ ò ÛW��O'â¨ÜáµÛNÂT� aà Ü a ø ÷� à > ¶ à %Ù� à ò ÛW��O¨ï�Ü

²¯³ ä/Ý«à0ºQµ ² ´6¼�±�´8°�à ³ ä ² ¸�¯má�° ³ ä6ºQµ�º�° ³ ÝQö�¾%°�¸dä6ºÞÝDµwº ³ ῵À» ² ¼Þà6±QÝ ¶ ¿�²¯³ ä ¶ à °¯¾+µw·6±t±�º���± ³ » ² ¼Þà6±`  ² ¸ ² ��¤±¿µ�±�¸ ½ �d°�¸��Áµ�·6±�°�´�zD±QáqµÌ ÀÁ è â8ô � àt ۦ��O'â¨Üvá � ¿  ÛW��O¨ï�Ü�öHÅ ÛW��O'O¨Üû'·6ºÞÝM¯HºQ±�¼"äUÝ Û ¶ ¿ á ¶ à Ü Ì ÀÁ è âj%2Û�âãÜÀ� ¿ Û-âãÜÀ� à Û-âãÜ > Ì ÀÁ è â8ôãáÀÛãÂT� a¿ Ü a � à øYÛNÂT� aà Ü a � ¿ ödò> ôãáµÛNÂT� a¿ ÜÀ� à øYÛNÂT� aà ÜÀ� ¿ ö ÀÁ Å ÛW��O'�¨Ü

Òp°�¥`ö ²  y 6¸�°' 0¸�º ² µw±k´8°�à ³ ä ² ¸�¯Äá¿° ³ ä6ºcµwºQ° ³ Ý ² ¸D±kµw·6°ÔÝ�±4µw· ² µ`� ² �G±kµw·6ºÞÝ�» ²¯³ º"ÝD· ½ �d°�¸�µw·0± ³ öEÝDº ³ ῱¶ ¿ <>ø¶ à ö�¥Ã±�· ² »�±Ì ÀÁ è â{%ÀÛ-âãÜÀ� ¿ Û�âãÜÀ� à Û-âãÜ > î�Å ÛW����î¨Üû'·6ºÞÝPº"Ý'µ�·6±µÝD± ³ ÝD±.º ³ ¥�·6º"á�·x� ¿�²¯³ äx� à ² ¸�± �b� B �6�2�4 ÿ�Py¥�ºcµw·Ä¸�±QÝ� +±c῵pµw°�µ�·6± ßó� ý � B ��\ " 45��� ý �4%2Û�âãÜ ½[ �¯°y° äıoð ² �µ 0¼�±;º"Ý`��ºQ»¯± ³ ´Ì¯Ä¹�±��¯± ³ ä6¸D±s")Ýk±���à ² µwº�° ³�²¯³ ä� 8°�¼�¯ ³ °'�º ² ¼"Ý ½ û'·6ºÞÝ ² ¸Dº"ÝD±QÝ�¾%¸�°'�µw·0±P¹ ²  6¼ ² á�±'±Á��à ² µwºQ° ³ º ³ á ¯H¼�º ³ ä6¸�ºÞá ² ¼Uá�°H°�¸«ä6º ³d² µ�±QÝ Û Ã ò�g ò�Å¨Ü ½ �ƸDºQµwº ³ �[â é á¿°�Ý�gNöǵw·0±P¹�±��¯± ³ ä6¸D±±���à ² µwº�° ³ ºÞÝ

áèè â ¤ Û�í`á â à Ü èè â ËçÛ�âãÜ ¦ >ø¶ ËçÛ�âãÜ�ò ÛW���Uí>Ü

¥�ºQµ�·EF > ÛÀáí�ò@í>Ü ½ Òp°¯µ�± µ�· ² µµw·6ºÞÝ�ºÞÝ ² ¢Hµyà0¸6�+¤¦¹�º�°�ày»yºQ¼�¼Q±Q 6¸D°�´6¼�±Á� ¥�ºQµ�·í%2Û�âãÜ > í�ö ²G³ ä Û�âãÜ > Û�í%á´â à Ü ½ û'·6±�Ý«à6ºcµ ² ´6¼Q±P´8°�à ³ ä ² ¸�¯ á�° ³ ä6ºQµ�º�° ³ Ý ² ¸D± ² à0µ�°'� ² µwº"á ² ¼�¼Ë¯.º��µ 8°�Ý�±cä?ºc¾YËçÛ�âãÜ=ºÞÝæ ³ ºcµw± ² µ~â > Û í�ö�Ý�º ³ á�±� Û-âãÜ.G î ² µrµw·6±�± ³ ä� 8°�º ³ µ«Ý ½ û'·0± Ý�°�¼Þà0µwºQ° ³ Ý ² ¸�± ² Ý�±qµ£°¯¾# 8°�¼Ë¯ ³ °'��º ² ¼"Ýcöµw·0±`æ6¸«ÝDµ�¾%±�¥]°¯¾�¥�·6º"á�· ² ¸D±Ë I > í ò ¶ I > îÄò ÛW������ÜË ¿ > â ò ¶ ¿ > �¾ò ÛW���'�¨Ü

Ë à > â#à%á í� ò ¶ à > â�Å ÛW����Ñ�ÜéÄ°�¸D±]�¯± ³ ±¿¸ ² ¼Q¼�¯�ödµ�·6±�¸D±,±wðyºÞÝDµyÝ ² à ³ º ��à6±�Ë{È > â È ø�Ó�Ó�Ó�¥�ºcµw· ¶ È > /·Û�/ øYí8Ü ½ ñ"µ á ²¯³L² ¼"Ý�°´8±á�·6±cá��¯±Qäɵ�· ² µ'µ�·6±RË{È ² ¸D±�°�¸Dµ�·6°'��° ³6² ¼7° ³ F ½

Page 60: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â�î§�©ú¨ ¨-½Y±.³Q·x禭¯½�è�ÊH±.³Í0�½Y¹¹�±¿µÌàrÝ ² ¼Q¼�°�¥[µw·0±Ù 8°�Ý«ÝDº�´6ºQ¼�ºQµä¯,µw·6± ¶ È ²¯³ ä¡�UÈ ² ¸D±�á¿°'�µ 0¼�±wð ½ û'·0± ³ öy¥Ã±�� ² ¯9¥�¸DºQµ�±pµ�¥Ã°9¢Hµyà6¸���¤¹�º�°�ày»yºQ¼�¼Q±P±���à ² µwº�° ³ Ý ² Ý

á,ËNÂ�� a Ü a ø ÷� > ¶ %Ù�÷ò ËW����Ö�Üá,ËNÂ�Ë��yÌ�Ü a Ü a ø ÷�0Ì > ¶ Ì�%1�0ÌtÅ ËW���'â¨Ü

�ͱ ³ °m¥)¾%°�¸6�Áµw·6±�°�´�zD±cá¿µÌ ÀÁ è â8ôõ� Ì Â Ë¦����Ö�Üvá �  ˦���'â�ÜUöHÅ ËW���¨ï�Üû'·6ºÞÝM¯HºQ±�¼"äUÝ Ë ¶ á ¶ ÌyÜ ÌeÀÁ è â{%.Ë-âãÜÀ�9Ë-âãÜU�7Ë�âãÜDÌ > Ì�ÀÁ è â8ôNá,ËNÂ�Ë��yÌyÜ a Ü a �[øWËãÂT� a Ü a �0ÌUödò

> ôãá.ËãÂ{Ë�� Ì Ü a ÜÀ�[øWËãÂT� a ÜÀ� Ì ö ÀÁ ò> îÄò ËW���'O¨Ü¾%°�¸?µ�·6±´Ý�à6ºQµ ² ´6¼�±�´+°�à ³ ä ² ¸Í¯ùá¿° ³ ä6ºcµwº�° ³ Ý ½ Òp°�¥`ö|Ý�º ³ á�±�%.Ë-âãÜ m£îΰ ³ F�ö'µw·6ºÞݶº �9 6¼�ºQ±QÝxµw· ² µÝ ÀÁ è â{% ß � ß à º"ÝtÝOµw¸Dº"῵�¼�¯Q +°�ÝDºQµ�ºQ»�±4° ³ F ½ û'·6±¿¸�±¿¾%°¯¸�±Ôö¶ Ì >ø¶ Å ËW���'�¨Üº ½ ± ½ ö ¶ ºÞÝ'¸�± ² ¼ ½§�©�à .�¬%®#° ±.³xÏ�½Yê5íy¬¯®ëépR�±HêÛ½�Ï!çU½Yì¹�±¿µ~àrÝ_¸D±�� ² ¸«äµÝ�à6ºQµ ² ´6¼Ë¯4´+±¿· ² »�±cä.¾-à ³ ῵�º�° ³ Ý M Ë�â+ÐwöBó7Ë�â+Ðwöm¥�·6º"á�·,°�´+± ¯4µw·6±=´8°�à ³ ä ² ¸�¯á�° ³ ä6ºQµ�º�° ³ Ý°¯¾2°�à6¸�¢Hµyà6¸���¤!¹�º�°�à0»HºQ¼�¼�±] 6¸�°¯´6¼�±Á� ² Ýѱ¿¼�±Á��± ³ µ«ÝÑ°G¾ ²¯³ º ³ æ ³ ºQµw±mä6º���± ³ Ý�ºQ° ³d² ¼£»¯±Qáqµw°�¸üÝ6  ² ῱?Ò[öÝ6  ²¯³6³ ±cä�´±¯¶µw·0±R�UÈdË�â+Ð ½ û'·�àrÝQöT¥Ã±üá ²¯³ ¥�¸�ºcµw±M Ë-â+Ð > dLÈ M I ��È��GÈ6Ë-â+Ð�Å Ë���î�îÇÐÆk±cæ ³ ± ² Ý�á ² ¼ ² ¸;ËEº ³6³ ±¿¸�Ð� 6¸�° äràráqµ�° ³ Ò)´±¯Ë M ò«ó0Ð é Ì ÀÁ è â{%.Ë-â+Ð M Ë-â+Ðfó9Ë�â+Ð�ò Ë���îUí`в¯³ ä ³ °¯µw±�µw· ² µ�3�Ý�à6ºQµ ² ´6¼Ë¯-¥2±¿¼�¼c¤"´+±¿· ² »�±cä65[¸�±Á��à6º�¸D±QÝĵ�· ² µ ß2ß M ß2ß > Ë M ò M Ð ¿�à à ±wðyº"ÝOµyÝ ½ û'·6± ³ öË��UÈ ò)�G¬2Ð > î�¾%°�¸_/ <> ° ½ �Eà6¸Dµ�·6±�¸cöEá�·6°H°�Ý�±4µw·0±Ý�á ² ¼Q±�°¯¾v�UÈ.µw° ² á�·0º�±¿»¯±Ñ°¯¸Dµw·0° ³ °�¸�� ² ¼QºQµä¯�DË��GÈ ò)�GÈ�Ð > \ È�¬­Å Ë���î���Ð

Page 61: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� âUí[ ¼ÞÝ�°Ë��G¬|ò M Ð > L È ��ÈdË��GÈ ò)�U¬�Ð�ò

> L È �b° \ È¿¬ ò> � ¬­Å Ë���î'�ÇÐû'·6ºÞÝѺÞÝ�µ�°Ä´8±/á�°'�9  ² ¸D±QäÏ¥�ºQµw·>µw·0±¾%°�¸��Àà6¼ ² ±.¾%°�¸R�d°�à6¸�ºQ±�¸¼ÝD±�¸�ºQ±QÝ ½ û'·�àrÝQö£ºc¾ó¥Ã± ² Ý«Ý«ày��±xµw· ² µµw·0±R�UÈ ² ¸D±6� ³ °�¥ ³ ödµ�·6± ³ ¾%°�¸ ² ��ºQ»¯± ³ M ¥2±á ²¯³ °�´0µ ² º ³ µ�·6±6� ¬u»yº ²��È >!Ì ÀÁ è ¼ %�ËO¼ÇÐÀ�UÈyËO¼AÐ M ËO¼ÇÐ1Å Ë���î�ÑAÐ[ ³ º �9 +°�¸Oµ ²¯³ µ ²¯³ äkàrÝD±¿¾-à6¼=¸�±cÝ«à6¼cµ�¾%°�¼�¼Q°m¥�Ý�ºc¾¯¥Ã± Ý�à6´rÝOµwºQµ«à0µw±µw·6ºÞÝ�º ³ µw°Óµw·6±x±oðy  ²¯³ Ý�ºQ° ³ ¾%°¯¸M Ë�â+Ð ½ �ͱ;°¯´0µ ² º ³ M Ë�â+Ð > dLÈ M I ¤ Ì�ÀÁ è ¼A%.ËO¼ÇÐÀ�GÈyËV¼AÐ M ËO¼ÇÐ ¦ �UÈ6Ë�â+Ð[ò

> ÌeÀÁ è ¼ ¤ dLÈ M I %�ËV¼AÐU�GÈyËO¼ÇÐÀ�UÈ6Ë�â+Ð ¦ M ËV¼AÐÙÅ Ë���î�Ö�Тyº ³ á�±4µw·0º"Ý'º"Ý�µ�¸«à6± 1 M ôÉÒ�ö�¥2±J� ² ¯?µw·6±¿¸�±¿¾%°¯¸�±�º ³ ¾%±¿¸dLÈ M I %�ËV¼AÐÀ�UÈyËO¼ÇÐÀ�GÈ0Ë�â+Ð >�\ Ë�âQáI¼ÇÐÙÅ Ë���î'âÇÐû'·6ºÞÝѺÞÝ ² ¾%°�¸6� ² ¼ ���a ��P ������45� þ�þ )� P ÿ � ý �4 ¾%°�¸�µw·6±Q¢Hµ«à6¸6�+¤¦¹�º�°Ôà0»Hº�¼�¼Q±� 6¸D°�´6¼Q±�� ½ Òt°¯µw±xµw· ² µ]¥Ã±á ²G³ á�·6±cá��Ôµw·6ºÞÝ'ºQ¾�¥2± ² Ý«Ý�à��±�µ�· ² µ \ Ë-âQáI¼AÐ2°�´8± ¯ Ý'µw·6±�´8°�à ³ ä ² ¸�¯Iá¿° ³ ä6ºcµwº�° ³ Ý2¾%°�¸ $ �4¼��í� ½�Í±á ²¯³ µw·6± ³ ±oðy  ²¯³ äĵ�·6±`ä6±�¼cµ ² ¾-à ³ áqµwºQ° ³ ² Ý\ Ë�âQáI¼ÇÐ > dLÈ M I ��ÈdËV¼AÐU�GÈ0ËO¼ÇÐÙÅ Ë���î¨ï�Ðû'·6± ³ ö�°�à6¸'±wðq 6¸D±QÝ�Ý�º�° ³ ¾%°�¸M��È���ºQ»¯±QÝ��È6ËO¼AÐ > Ì ÀÁ è â{%.Ë-â+ÐÀ�UÈ0Ë-â+Ð \ Ë-âQá ¼AÐ�ò

> %�ËO¼ÇÐÀ�UÈyËO¼AÐÙÅ Ë���î'OÇЧ�©!§ Õsètî�¬ó°²¬=­¯½�è�½Y¬�0�¹E·�Ö|0�±víTçU¬¯è�¹�±.è�¼ ,¸®T½�½�è&-�¹í.!0tè�ê5í�çU¬óè�¹¢Nà� y +°�ÝD±R¥Ã±�· ² »�±Ý�°�¼c»�±cä µ�·6±]¢Hµyà6¸���¤!¹�º�°�à0»HºQ¼�¼�±È 6¸D°�´6¼�±Á�

C.�UÈdË�â+Ð > ¶ Ès%.Ë-â+ÐÀ�UÈ0Ë-â+Ð[ò Ë���î'�ÇÐ

Page 62: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â��¥�·6±¿¸�±�µw·6±+�Uȶ°�´8± ¯�Ý«à6ºcµ ² ´0¼�±.´8°�à ³ ä ² ¸�¯�á�° ³ ä0ºQµwºQ° ³ Ýk° ³ F > ô $ ò��)ö+ö ²G³ äÖ%�Ë-â+Ð�m  ³ F ½ $v¯þ � P ���60 ñ���± ²¯³ µw· ² µ=µ�·6± ¶ È ²¯³ äµ�UÈ ² ¸�±�ä6±qµw±�¸���º ³ ±QäMö ²G³ äÉË��GÈNò)�G¬2Ð > \ È�¬×· ² Ýô8±�± ³¶² ¸D¸ ²¯³ ��±Qä ½�Ʊt¥Ã°�à6¼ÞäļQº2�¯±kµ�°mÝ�°�¼c»�±4µw·6±J 6¸D°�´6¼Q±��

ô C;á ¶ %.Ë-â+ÐUö��9Ë-â+Ð > M Ë-â+Ð[ò Ë��Uí8îÇо%°�¸8�9Ë-â+Ðoö£¾%°�¸µâ]ô F�öåÝ�à6´�zD±c῵xµw°Éµ�·6±ÄÝ ² �±¶´8°�à ³ ä ² ¸�¯ á�° ³ ä0ºQµwºQ° ³ Ý ½ ºt±�¸�± ¶ º"Ý ² æNð0±cäظD± ² ¼³ à��.´8±�¸cö ²¯³ ä M Ë-â+Ð;ºÞÝ ² ��ºQ»¯± ³ ¾-à ³ ῵wºQ° ³ û ³d² µyà6¸ ² ¼�¼Ë¯ ² Ý«Ý�à��±Qäεw°Ä°�´8± ¯�µw·6± Ý ² �±?´8°�à ³ ä ² ¸�¯á�° ³ ä6ºQµ�º�° ³ Ý ½ û{°9 0¸�° á�±�±cä�öT¥�¸�ºcµw±

M Ë�â+Ð > %�Ë-â+Ð ô Ë-â+Ð[òô Ë�â+Ð > dLÈ M I ô È'�GÈ0Ë�â+мò Ë��Uí�í`Ð¥�·6±¿¸�±Ù¥Ã±�á ²¯³ á ² ¼"áQà0¼ ² µ�±�µ�·6±�á¿°y±�ý/á�º�± ³ µyÝ ô ÈR¥�·6± ³ M Ë ²G³ 䶷6± ³ á�± ô Ð�º"Ý%��ºQ»¯± ³ ö ²¯³ äµw·6±1�GÈ ² ¸D±� ³ °�¥ ³7½�Ʊ ³ °�¥­ 8°�ÝDºQµ�µ�·6±�±wðq  ²¯³ ÝDº�° ³

�7Ë�â+Ð > dLÈ M I $ È��UÈdË�â+Ð�ò Ë��Uím��в¯³ äÄÝD±�± �?µw·6±¼à ³ � ³ °�¥ ³ Ý $ Èѵw°2á�°��µ 6¼Q±¿µ�±Pµw·6±¼Ý� +±cá�º æEá ² µ�º�° ³ °G¾{µ�·6±¼Ý�°¯¼"à0µ�º�° ³7½ ¢Nà6´rÝOµwºcµyà0µ�º ³ ��º ³µw°�µ�·6±J 6¸�°�´0¼�±���ËW�Uí8î�Ðwöyµ�·6±�¼�±q¾Ùµ�· ²¯³ ä�Ý�ºÞä6±�´+±cá�°'�±QÝdLÈ M I $ È�Ë�C�á ¶ %4ÐU�GÈyË-â+Ð > dLÈ M I $ È6Ë ¶ Ès%-á ¶ %kÐÀ�GÈ0Ë�â+мò

> %.Ë-â+Ð dLÈ M I $ È6Ë ¶ Ètá ¶ ÐÀ�GÈ6Ë-â+Ð�Å�òÒp°�¥)µw·6±�¸�º���·Çµ�· ²¯³ ä�Ý�ºÞä6±4º"Ý %�Ë�â+Ð dLÈ M I ô È��UÈ6Ë�â+Ð�Å Ë��Uí��ÇÐ�_º ³d² ¼�¼Ë¯�öU±���à ² µ�º ³ �kµ�·6±QÝD±Ôös�Àà6¼cµwº� 6¼�¯Hº ³ �P´8°¯µw·2ÝDº"ä6±cÝÀ´Ì¯��G¬PË-â+Ðoö ²¯³ äxº ³ µ�±���¸ ² µwº ³ �k°}»�±¿¸ $ �ùâD�í�8ö¥Ã±Ñ°�´yµ ² º ³

$ ¬4Ë ¶ ¬ á ¶ Ð > ô ¬ðÅ Ë��UíÊÑAÐÒp°�¥`ödºc¾ ¶ �ôLKtö�¥Ã±�· ² »�±

$ È > ô ȶ Ètá ¶ Å Ë��UímÖ�Ð

Page 63: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â'��Ʊ ³ °�¥Ú· ² »¯±�µw·0±´Ý�°�¼Þà0µwºQ° ³ º ³ µ�±�¸6�/Ý?°G¾J� à ²¯³ µwºQµ�º�±cÝçá ² ¼"áQà0¼ ² µ�±Qäؾ%°¯¸�µw·0±É·6°'�°'��± ³ ±�°�àUݱ���à ² µwº�° ³7½ ñ"µtº"Ý'º ³ ÝDµw¸�àr῵�ºQ»¯±�µ�°+¥�¸�ºQµ�±kµw·6ºÞÝ�º ³Ó²¯³ °Gµw·6±¿¸`¥ ² ¯ ½ û'·6±`Ý�°�¼Þà0µwºQ° ³ º"Ý

�9Ë-â+Ð > dLÈ M I �UÈ6Ë�â+Ð ô ȶ ÈJá ¶ ò> dLÈ M I �UÈ6Ë�â+Ð í¶ ÈJá ¶ ¤ Ì ÀÁ è ¼A%�ËV¼AÐÀ�UÈyËO¼ÇÐ ô ËO¼ÇÐ ¦ ò> Ì ÀÁ è ¼ ¤ dLÈ M I �UÈ0Ë-â+ÐÀ�UÈdËV¼Aж Ètá ¶ ¦ M ËO¼ÇÐ�ò Ë��Uí�âÇÐñ ³ µw·6ºÞÝ�¾%°�¸6�ÁºQµ�º"Ý'± ² Ý�¯Ôµ�°xº"ä6± ³ µ�ºQ¾V¯�µw·6± �)����4Z} þ ÿ " 45��� ý �4 º ³ µw·6±4¾%°�¸��_�Ë-â�ò�¼AÐ > dLÈ M I �UÈdË�â+ÐÀ�UÈdËV¼Aж Ètá ¶ ò Ë��Uí>ï�Ð

�Ʊ2á ²¯³ á�·6±Qá��ĵw· ² µ4µ�·6º"Ý!æ�¸D±�± ³ "�Ýk¾-à ³ ῵wºQ° ³ ´8±�· ² »�±cÝ ² Ý4ºQµ�Ý�·6°�à0¼"ä�ö�´±¯ ² ῵wº ³ �Ô° ³ ºcµÙ¥�ºQµ�·µw·0±;¼Q±¿¾Ùµ�· ²G³ ä÷ÝDº"ä6±4°G¾'Ë��Uí8îÇÐbDôõC�á ¶ %�Ë-â+Ð�ö�_�Ë-â�ò�¼AÐ > dLÈ M I �GÈ0ËO¼Çж Ètá ¶ ËWC�á ¶ %kÐÀ�GÈ0Ë�â+мò

> dLÈ M I �GÈ0ËO¼Çж Ètá ¶ Ë ¶ Ètá ¶ ÐÍ%�Ë�â+ÐÀ�UÈ6Ë�â+Ð[ò> dLÈ M I �UÈ6ËV¼AÐy%�Ë-â+ÐU�GÈ0Ë-â+Ð�ò

¥�·6ºÞá�·�öEàrÝ�º ³ �x°�à6¸�± ² ¸�¼�ºQ±�¸�¸D±QÝ�à6¼Qµ«ÝQödº"ÝôõC�á ¶ %�Ë-â+Ð�ö�_�Ë-â�ò�¼AÐ > \ Ë-âµáI¼AÐ�ò Ë��Uí�OÇÐ

² Ý�±wðq 8±Qáqµw±Qä ½§�©"Û éȽ�³Àº6ò¯Üļ£Ýq¬¯çÀè�í�è�½Y¹y¹ñ"µt· ²¯Þ  6¸D°�´ ² ´6¼Ë¯ ³ °¯µ�± Þ á ²  +±¿ßܯ�°¯à6¸ ³ °¯µwºÞá�±4µw· ² µ�µw·6±]¢Hµ�à6¸6�+¤¦¹�º�°¯à0»Hº�¼�¼Q±1 0¸�°�´6¼Q±�� ²G³ ßĺcµ Þ'Þ °�¼�àq¤µwºQ° ³6Þ4² ¸�±�¸�±¿¼ ² µ�±�ßLµw°Ôµ�·6º ³ � Þ µw· ² µ!¯�°�à�"á»�± Þ ±¿± ³ º ³ �Aà ²¯³ µwày� ��±cá�· ²¯³ ºÞá Þ¿½ ºp±¿¸�±Ôöۥñ Þ · ² ¼Q¼ Þ ±¿± 6¸D±Qá�º Þ ±¿¼�¯�¥�· ² µ�µ�·6º Þ ¸�±¿¼ ² µ�º�° ³ º Þ¿½ ñ ³   ² ¸Oµwº"á¿à6¼ ² ¸Qö�¥2± Þ · ² ¼Q¼ãá¿°'�9  ² ¸�±�µw·0±Pµw±¿¸6� Þ þ � P \ ��ÿ 0 � � ý 4T� ËEº ³¢Hµ�à6¸6�+¤¦¹�º�°¯à0»Hº�¼�¼Q±tµ�·6±�°¯¸�¯0Ð ²¯³ ßLâ ��ba ý � ý:ÿ 4 Ë%º ³ �Aà ²¯³ µwà�� ��±cá�· ²¯³ ºÞá Þ Ð ½ñ¯¥�ºQ¼�¼9´8±��¯º ³ ´±¯Iá�° ³6Þ º�ß6±¿¸�º ³ ��µw·6±`á ²GÞ ±�°¯¾i%�Ë-â+Ð > í ½ �2° ³6Þ ºQß6±�¸ ² µä¯2 6º"á ² ¼�¢Hµ�à6¸6�+¤¦¹�º�°¯à0»Hº�¼�¼Q± 6¸D°�´6¼�±Á�CH� > ¶ �´òC > á ê  ê ø ÷Äò Ë��Uí��ÇÐ

Page 64: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â�Ñ¥�ºQµ�·Ä´8°�à ³ ß ² ¸�¯¾á�° ³ ß0ºQµwºQ° ³6Þ �9Ë $ Ð > �9Ë��qÐ > î ½ ñ ³ µ�·6±�»�±Qáqµw°�¸ Þ   ² á�±;Ò)°G¾'Ë� +° ÞDÞ ºQ´6¼�¯Äá¿°'�9 6¼�±oðdо%à ³ áqµwºQ° ³6Þ M öUó4ö6°�´8± ¯Hº ³ ��µw·6±�´8°�à ³ ß ² ¸�¯Äá¿° ³ ß6ºcµwº�° ³6Þ öy¥Ã±t¥�º�¼Q¼9à Þ ±;µ�·6±�º ³6³ ±¿¸_ 6¸�°Hß6àráqµË M ò«ó0Ð > Ì�ÀÁ è â M Ë�â+Ð Ì ó9Ë-â+ÐÙÅ Ë����ÔîÇÐ�ͱ ² ¸�±Ôº ³ µ�±�¸D± Þ µ�±�ß㺠³ °' 8±�¸ ² µw°¯¸ Þ 3 Þ àUá�·ãµ�· ² µ�3 M ôfÒ[ö 1 M ôfÒ ½ Æk±cæ ³ ±Óµ�·6±�â ���a ý � ý:ÿ 4���4 �b" � ÿ �U� ËE°�¸Mºt±�¸���ºcµwº ²G³Ó² ß;zD°�º ³ µ�Ðð' 8±�¸ ² µw°�¸cö*3kä=´±¯

Ë�3 ä M ò«ó0Ð > Ë M ò®3|ó6Ð|ò Ë����Ní`Ð1 M öUó´ôÉÒ ½ �ͱ Þw² ¯¶µ�· ² µ�µw·6±�°' 8±�¸ ² µw°¯¸u3fº Þ B ��ba ý � ý:ÿ 4 ºQ¾�3 ä > 3üöd°�¸ËO3 M ò«ó0Ð > Ë M ò®3 ó0Ð�ò Ë����'��Ð�lºQµ�·�µw·0º Þ ß0±cæ ³ ºcµwºQ° ³ ö ³ °¯µw±;µw· ² µk°�à6¸ Þ ±�¼c¾ ¤ ² ß;zD°¯º ³ µP°� +±¿¸ ² µ�°�¸�Clº Þ ·6±�¸���ºcµwº ²G³ ËÙ¾%°�¸pµ�·6± Þ  8±QῺ ² ¼á ²GÞ ± % > í}Ð ½�å °�à�á ²¯³ á�·6±cá��ĵ�·6º Þ µw¸DºQ»Hº ² ¼Q¼�¯�à Þ º ³ ��µ�·6±,ß0±cæ ³ ºcµwºQ° ³ °G¾£µw·6±Ñº ³6³ ±�¸È 6¸�°Hß6àráqµ ½ Æk°µw·0º Þ�²¯Þt² ´6¸�ºQ±¿¾r±wðy±�¸�á�º Þ ± ½Òp°�¥«µ�à6¸ ³ µ�°Éµw·6±Äá ²¯Þ ±Ó°¯¾|% <> í ½ ñ ³ µ�·6º Þ á�°�à6¸ Þ ±�ö ²¯³ ß׺ ³ ¢Hµwà0¸6�+¤¦¹�º�°�ày»yºQ¼�¼Q±xµ�·6±�°¯¸�¯×º ³��± ³ ±�¸ ² ¼+ö`¥2±>¸D±¿¾%±�¸¶µ�°×µw·6±L°' 8±�¸ ² µw°¯¸�C ²¯ÞÔÞ ±�¼Q¾ ¤ ² ß;zD°�º ³ µ@ö�±¿»¯± ³ ¥�·6± ³ % <> í ½ ¥2± ² ¼ Þ °×à Þ ±CH� >ø¶ %Ù� ²¯³ ß�Ë M ò«ó0Ð > Ý ÀÁ è âj% M óãö¿¾%¸�°'�!¥�·0º"á�·�¸�± ² ¼ ¶ È ²¯³ ß;°�¸Dµ�·6°'��° ³6² ¼��UÈ�¾%°�¼�¼Q°�¥ ½ ºt°�¥2±q»�±�¸cö¥�ºQµ�·Äµ�·6º Þ ß6±wæ ³ ºQµ�º�° ³ ö{ËWC M ò«ó0Ð <> Ë M ò�C ó0Ðwöd´8±Qá ² à Þ ±.°¯¾ % ½ û{°?à ³ ß0±�¸ Þ µ ²¯³ ß�µw·6±;¸�±¿¼ ² µ�º�° ³0Þ ·6º� Óµ�°·6±¿¸6�ºQµwºÞá�ºcµä¯�öq¥Ã±�ß6±cæ ³ ± L

é á|%RÐ ¿�à à ê  ê % ¿�à à øø÷Äò Ë������ÇÐ¥�·6ºÞá�·Äº Þ ·6±�¸���ºcµwº ²G³7½ û{° Þ ±�±�µw·6º Þ DË

LM ò«ó0Ð > á Ì ÀÁ è âj%{% Ð ¿�à à ô ê  ê % ¿�à à M ö ó`øQÓ�Ó�Ó¼ò

> Ì�ÀÁ è â.ËN ê % ¿�à à M Ð ê Ë�% ¿�à à ó0Ð�øÔÓ�Ó�Ó¼ò> Ë M ò L ó0Ð�Å Ë�����ÑAÐû'·6±¿¸�±¿¾%°¯¸�±Ôö á ² ¸�±�º Þ4³ ±�±�ß0±�ß�¥�ºcµw·Lµw±¿¸6�º ³ °¯¼�°'�s¯Ôö9±q»�± ³ µw·0°�à���·�±�ºcµw·6±¿¸4ß6±cæ ³ ºQµwºQ° ³ ¼�± ² ß Þ µ�° ¸D± ² ¼±�º���± ³ » ² ¼Qà6± Þt²¯³ ßÓ°�¸Oµw·6°���° ³d² ¼9±�º �¯± ³ ¾%à ³ ῵wºQ° ³6Þ¿½

Page 65: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â�Öæ úç Éè �(ü,éê�tëLéêëLìîí�þðï�ü�û�ñüÑò£ñ�íeýLìû'·6±2µ�±Qá�· ³ º �Aà6± Þ ¥2± ² ¸�± ² ´+°¯à0µ_µ�°Pß6º Þ á�à Þ�ÞÀ² ¸D±Ã°G¾Eá�± ³ µ�¸ ² ¼yº �9 +°¯¸Dµ ²G³ á�±�º ³ µw·6±=µw·6±¿°�¸�¯;°¯¾�ß¿¯ ³6² ��¤º"á Þ�ó�²¯³ ß=�°�¸D±t��± ³ ±¿¸ ² ¼Q¼�¯ ó ¾%°�¸�ô ³ ß0º ³ ��µw·0±;±Á�Aà ² µwºQ° ³6Þ °¯¾[��°Gµwº�° ³ ¾%°�¸_� ²¯³ ¯� 6·±¯ Þ º"á ² ¼ Þ ¯ Þ µw±�� Þ�½[ ῼ ²¯ÞDÞ ºÞáѱ õ ² �µ 6¼Q±�º Þ ��ºQ»¯± ³ ´Ì¯Óµ�·6± $ø ² á�·6º Þ µ�°Ná�·6¸D° ³ ±] 6¸�°�´0¼�±��ö°G¾�÷¯°�· ³ $2±�¸ ³ °�à6¼Q¼�º ½ �2° ³ ¤Þ ºQß6±�¸ ²   ² ¸Dµ�º"á�¼Q± ó ß6º Þ  6¼ ² á�±¿ß×´±¯ ² ·6°�¸Dº21�° ³ µ ² ¼2ß0º Þ µ ²¯³ ῱ $�ó=²¯³ ß ² »¯±�¸Oµwº"á ² ¼�ß6º Þ µ ²¯³ á�± ó ¾%¸�°'� ²  ² ¸OµwºÞá�à6¼ ² ¸J +°�º ³ µ ó 3 ½ �ͱ ²¯ÞDÞ à��±�µ�·6±Q  ² ¸Dµ�º"á�¼Q±�´8±��¯º ³6ÞѲ µ,µ�·6±?°¯¸�º �¯º ³7órø�½ û'·6±¡ 0¸�°�´6¼Q±���º Þµw·0± ³ D ² ¼�° ³ �J¥�·6ºÞá�·Q  ² µ�·�¾%¸D°'� ø µw° 3Ä¥�º�¼Q¼ ²   ² ¸Dµ�º"á�¼Q± Þ ¼�ºQß6±ÑË%¾%¸D°'�¡¸�± Þ µ ² µ ø Ð ó à ³ ß0±�¸ó�¯¸ ² »HºQµä¯ ó¥�ºQµ�· ³ °¾%¸Dº"áqµwº�° ³7ó ý 4k� B � P � ÿBþ �%� ý aQ�q½$2±��¯º ³ ´±¯�¥�¸�ºQµ�º ³ �.µ�·6±�± ³ ±¿¸6�s¯¶°¯¾_µ�·6±J  ² ¸Dµ�º"ῼ�± ² µ ²G³ ¯?µwº �± ó6²¯Þ'Þw² µ�º Þ ¾V¯yº ³ �ù� # à >ðú �Äû Ë����'Ö�ÐË�¥�·0±�¸�±tü�"á»�± Þ ±qµÃµ�·6±`� ²¯ÞDÞ µw°�´8±tà ³ ºQµä¯0Ð ½ �Ʊ`� ² ¯Ñµw·6± ³ ¥�¸DºQµ�±�µw·6±'µwº���±Ãµ ² �G± ³ ¾%°¯¸ ²   ² ¸Dµ�º"á�à0¼ ² ¸�°¯µwºQ° ³Ó²¯Þ ¥ > Ì�ýIÿþ Kpû

> Ì þ ]# û> Ì ÁI Ë ù�� � a à Ð ¿�à àËW� ú �6Ð ¿�à à þ â�Å Ë�����âÇÐ

�Zº Þ;²�\ " 4������¦�4 P8°¯¾Ãµw·6±�  ² µ�·��9Ë-â+Ðkº ³ �Aà6± Þ µ�º�° ³7½ �ͱ9¥�¸DºQµw±�¥�ô �7Ë�â+ÐUö ½ æ4ºQ»¯± ³ �7Ë�â+Ð ó ¥Ã± á ²¯³á ² ¼"á�à0¼ ² µ�±P¥�ôõ�sö ½ �'·0±R�Aà6± Þ µ�º�° ³ º Þ�ó ¥�·6º"á�·=�Q�º ³ º���º�1�± Þ ¥{�Û_©�ª Ä î�½ð·D0t³U½Y®qò�´9±À­%®T±.èk­%½ ·ÄÖj0�±ví�çU¬óè�¹�{° ²¯³6Þ ¥2±¿¸kµw·6º Þ�ó ¼Q±¿µpà Þ á¿° ³6Þ ºQß6±�¸ ² ��°¯¸�±��¯± ³ ±¿¸ ² ¼� 6¸�°¯´6¼�±Á� ½ æ�ºc»�± ³É² ¾%à ³ áqµwº�° ³d² ¼rS?Ë�â�û)�+û6� a Ð ó¥�·6±¿¸�±R� > �9Ë-â+Ð ó ¾%°�¸6�Áµw·6±4¾%à ³ áqµwºQ° ³d² ¼

Fzô �2ö >!Ì ÀÁ þ âPS?Ë�â�û)�+û6� a ÐÙÅ Ë�������Ð�ͱ Þ ±�±��µ�°;ô ³ ß Þ µ ² µwºQ° ³d² ¸Í¯.» ² ¼�à0± Þ °¯¾�F,´+±qµ�¥2±¿± ³ ô0õy±�ß�± ³ ßµ +°¯º ³ µ Þ¿óHÞ àrá�·?µ�· ² µ%�7Ë $ Ð óH²¯³ ßµ�7Ë��¿Ð² ¸D±R�¯ºQ»�± ³7½ ù à6¸ ² º � º Þ µ�°/á�·0°y° Þ ±J� Þ °xµw· ² µ`F5ô �sö�º Þ'Þ µ ² µ�º�° ³d² ¸�¯�û6º ½ ± ½\ � >� Å Ë�����OÇÐéÄ°�¸D±�±qõq 6¼Qº"á�ºcµw¼Ë¯ ó ¥2±+¥�º�¼Q¼r¸D±��Aà6ºQ¸�± \ � >���� Ë-â+Ð ó ¾%°�¸ � Þ � ² ¼Q¼ ²¯³ ß � Ë-â+Ð ² ¸�´6ºcµw¸ ² ¸�¯ ±qõNá�±Á 0µ�µw· ² µ� Ë $ Ð >�� Ë��qÐ >� ½

Page 66: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â'â�Ʊ Þ µwà6ßµ¯ \ F >��

� F� � ����� � b I >� Å Ë������ÇЧÀ¸�° á�±¿±�ß�º ³ µw·6±4¾%°�¼Q¼�°�¥�º ³ ��¥ ² ¯ ½ �͸�ºcµw±

F+Ë � Ð > Ì ÀÁ þ âPS?Ë�â�û)� � ��� û)� a � ��� a ÐÙÅ Ë��'� Ð�'·6± ³ � F� � > Ì ÀÁ þ âÆ' � S� � � � � S� � a � a )�û

> Ì ÀÁ þ â � ' � S� � á þþ â � S� � a ) � �� S� � a ����� ÀÁ û Ë��'� ù Ð

´±¯ ²¯³ º ³ µ�±���¸ ² µwºQ° ³ ´±¯µ  ² ¸Dµ Þ�½ Òt°m¥ ó µw·6±t¼ ²GÞ µ�µw±¿¸6�çº Þ 1�±¿¸�° óHÞ º ³ á�± � Ë $ Ð >�� Ë��qÐ >� ½ �'·6±¿¸�±q¾%°�¸�± ó� F¿� � �]>� ËE±¿» ² ¼Qà ² µ�±�ß ² µ �J>� Я¥�º�¼Q¼9·6°�¼QßÔ¾%°�¸;ËE°¯µ�·6±�¸À¥�º Þ ±}Ð ² ¸�´0ºQµw¸ ² ¸�¯ � Ë�â+Ð2ºQ¾[�?°�´8± ¯ Þ� S� � á þþ â � S� � a >� û Ë��'����Ð¥�·6ºÞá�·Äº Þ µw·6±8�¯"qP����b�¦V �� � �42� ��±Á�Aà ² µwºQ° ³7½Òp°¯µ�±µ�· ² µ � S|� � â ó � S|� � � ó � S|� � � a · ² »¯± ³d² µwà6¸ ² ¼H��± ²¯³ º ³ � Þ ¾%°�¸�S�Ë-â�û)�8û)� a Ð ½ ºt°�¥2±q»�±�¸ óþ S|� þ â��± ²G³6Þ µ�·6±,µw°Gµ ² ¼rß6±�¸DºQ» ² µwºc»�±Ñ°¯¾=S ¥�ºcµw·É¸D± Þ  8±Qáqµ4µw°çâ ó ¥�ºQµw·>S¡»Hº�±�¥2±¿ß ²GÞ4² ¾%à ³ áqµwºQ° ³°¯¾ â�»Hº ² S�Ë-â�û)�9Ë-â+Ð û)� a Ë�â+Ð�Ð ½ º ½ ± ½

þ Sþ â > � S� â � � S� � þ �þ â � � S� � a þ à �þ â à Å Ë��'�'�ÇÐ[ Þt² � ² µ�µ�±�¸'°¯¾ ³ °¯µ ² µwºQ° ³7ó ¥Ã±�ß6±¿ô ³ ± \ S\ ���� S� � á þþ â � S� � a Å Ë��'��ÑAÐ

�ͱ4¸�±¿¾%±¿¸'µw° \ Sj� \ � ²¯Þ µw·6± \ " 4��������4 P 0 ��� ���� �!��� �ð¯¾rS ¥�ºQµ�·Ó¸�± Þ  +±c῵�µw°+� ½ �'·6± ³7ó µw·6±6 Àà6¼Q±�¸À¤¹ ² ��¸ ²¯³ ��±4±Á�Hà ² µwºQ° ³ º Þ \ S\ � >� Å Ë��'��Ö�Ð[ ³Ä² ¼Qµ�±�¸ ³d² µwºc»�±k¾%°�¸��«°¯¾{µw·0±h Àà6¼Q±�¸U¤¦¹ ² ��¸ ²¯³ ��±4±Á�Hà ² µwºQ° ³ º Þ\ S\ â > þþ â 'ÇS!á � � S� � a ) Å Ë��'�'âÇÐ

Page 67: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â"��{°µ 6¸D°}»�±4µw·6º Þ�ó ¼Q°y°�� ² µ'µ�·6±�¸�º �¯·Aµ�· ²¯³ ß Þ º�ß0±;°G¾rµ�·6±�±qõq 6¸�± Þ�Þ º�° ³7½:jºÙ¢ > � S� â � � a � S� � � � a a � S� � a á ''� a a � S� � a � � a þþ â � S� � a ) û

> � S� â � � a ' � S� � á þþ â � S� � a ) û> � S� â Å Ë��'�"��Ð

ü ³ �¯± ³ ±¿¸ ² ¼ ó µw·6± Àà6¼�±¿¸À¤!¹ ² ��¸ ²¯³ ��±>±��Aà ² µ�º�° ³6Þ ¼Q± ² ßlµw° ²ãÞ ±Qá�° ³ ß]°�¸Dß6±�¸ ³ ° ³ ¼�º ³ ± ² ¸Ó°�¸Dß6º ³d² ¸�¯ß6ºËÊ9±¿¸�± ³ µ�º ² ¼d±Á�Hà ² µwºQ° ³7½ �'·6º Þ º Þ �¯± ³ ±¿¸ ² ¼Q¼�¯.»¯±�¸�¯· ² ¸�ß�µ�° Þ °�¼Q»¯±Pß6ºQ¸�±Qáqµw¼Ë¯ ½ ºt°�¥2±q»�±�¸ ó ¥Ã± Þ · ² ¼�¼ Þ ±¿±µw· ² µ'µw·6±¿¸�±á ²¯³ ´8± ²³ à��.´8±�¸�°¯¾[ 8° Þ�Þ º�´6¼Q± Þ º �9 6¼QºQôEá ² µwºQ° ³6Þ�½Û_©�æ . çÀ®T¹sí[Õsèóíy½�­¯®T±.³U¹�'·6±¿¸�± ² ¸�±Ñµ�¥2°=  ² ¸Oµwº"á¿à6¼ ² ¸ Þ º �9 6¼�ºcôEá ² µ�º�° ³0Þ °¯¾�µ�·6±� Àà6¼�±¿¸À¤¦¹ ² �¯¸ ²¯³ �¯±.±��Aà ² µ�º�° ³0Þ µw· ² µ ² ¸�±,»¯±�¸Í¯± ²GÞ ¯Ôµw°� 6¸D°}»�± ½ ü�" ¼�¼ Þ µ ² µ�±�µ�·6±��«·6±�¸D± ó ´6à0µM¯¯°�à Þ ·6°�à6¼QßK 0¸�°}»�±�µw·6±Á�«¾%°�¸�¯¯°�à6¸ Þ ±�¼c»�± Þ¿½ù ½ ¢yày � +° Þ ±ÉS > S�Ë-â�û6� a Ð ½ º ½ ± ½Qó S ß6°H± Þ³ °¯µ�ß6±� 8± ³ ßu° ³ � ½ ü ³ µw·6º Þ á ²¯Þ ± ó µ�·6±D Àà6¼Q±�¸À¤¹ ² ��¸ ²¯³ ��±4±Á�Aà ² µwºQ° ³6Þ º �9 6¼Ë¯ � S� � a > á¿° ³6Þ µ]Å Ë��'�'OÇÐ

�'·6º Þ º Þ4² ô6¸ Þ µ�°¯¸�ß6±¿¸4°�¸�ß6º ³d² ¸Í¯�ß6ºËÊ9±¿¸�± ³ µ�º ² ¼r±��Aà ² µ�º�° ³9ó�²¯³ ß�á�° ³6Þ ±Á�Hà0± ³ µw¼Ë¯Ï�.àrá�·>± ²¯Þ º�±¿¸µ�°ß0± ² ¼�¥�ºcµw· ½� ½ ¢yày � +° Þ ±.S > S?Ë��+û)� a Ð ½ º ½ ± ½có S¡ß6°y± ÞP³ °GµPß6±Á +± ³ ßL° ³ â ½ ü ³ µw·6º Þ á ²¯Þ ± ó µw·0± ² ¼cµw±�¸ ³d² µ�ºQ»�±¾%°�¸��«°¯¾{µw·0±h Àà6¼Q±�¸U¤¦¹ ² ��¸ ²¯³ ��±4±Á�Hà ² µwºQ° ³ º �9 6¼�ºQ± ÞS!á � a � S� � a > á�° ³6Þ µRÅ Ë��'�'�ÇÐ

Û_©ú¨ éȬ󰲽�·$#1±.°ÁRt³U½Y¹¹�±¿µ" Þ�Þ ±¿±Ñ·0°m¥)µw·6º Þ�² ¼�¼z¥2°�¸�� Þ º ³ Þ °'�±¼á�° ³ Ὸ�±qµw±R 6·±¯ Þ º"á ² ¼�±qõ ² �9 6¼�± Þ�½²����Û��� §,�&%�ª�EmÚ÷ïG����HÁ���SïU��Em���&%�'·6±;¸�±¿¼�±¿» ²¯³ µ'¾%à ³ ῵wºQ° ³d² ¼9º Þ Þ � ú ¥ � F > Ì ÁI#þ âPS�Ë��8û)� a ÐPû Ë���Ñ Ð

Page 68: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â'O¥�ºQµ�· S�Ë��8û)� a Ð > � ù'� � a à� Å Ë���Ñ ù Ð$v¯Ô°¯à6¸'ôd¸ Þ µpº ³ µw±��¯¸ ² ¼ Þ�ó µ�·6±6 Àà6¼�±¿¸À¤¦¹ ² �¯¸ ²¯³ �¯±4±��Aà ² µ�º�° ³ º �9 6¼Qº�± Þ

� ù'� � a à� á � a � ù� � aÏ ù'� � a à > o û Ë���Ñs��Ð¥�·6±¿¸�±Ño º Þp² á¿° ³6Þ µ ²¯³ µ ½ �'·6º Þ º��µ 0¼�º�± Þ µ�· ² µ

� a > � �s�� á ù û Ë���Ñ��ÇÐ¥�·6±¿¸�±��s� > ù �Go à ½ �Ʊ Þ °�¼Q»¯±�µ�·6º Þ   ² ¸ ² �±¿µ�¸�º"á ² ¼�¼Ë¯ ó ´±¯ Þ ±qµ�µwº ³ �

� > �s� Þ º ³ à8g¶û> �GË ù á�á�° Þ �Gg�Ðkû Ë���Ñ'ÑAÐ

Þ °xµw· ² µtg >� ² µ'µw·6±�°�¸Dº ��º ³7½ �'·0± ³â > Ì Ï �s� Þ º ³ gÏ �s�ãá¿° Þ g �r� Þ º ³ ' g � )¾á¿° Þ ' g � ) þ gÔû> � Ì þ g�Ë ù á�á�° Þ g�Ðkû> �j�Gg�á ù� Þ º ³ �¯g � û Ë���ÑsÖ�Ð

�'·6± Þ ± ² ¸�±4µw·0±R  ² ¸ ² �±¿µ�¸�ºÞák±��Aà ² µ�º�° ³0Þ °G¾ ² á ¯ ῼ�°�ºQß ½²����Û��� �&%ÌEÜ�Úy��N�H�C6E�����ï���Ý[Þ!%�� P ��%sÚ÷H�� §]�WÜ(%

�'·6º ÞpÞ µ ² µ�± Þ µw· ² µ ² ¸ ² ¯Ó°¯¾_¼�º �¯·Aµ�´8±¿µ�¥Ã±�± ³ µ�¥Ã°�ô0õy±�ß� +°�º ³ µ Þ º ³ ² ��±¿ß6º�à��Áµw¸ ² »¯±�¼ Þp² ¼Q° ³ ��µw· ² µ  ² µ�·ÓºQµtá ²¯³ µ�¸ ² »�±¿¸ Þ ±Ñº ³ µw·6±�¼�± ²¯Þ µ2µwº �± ½ �'·6±�¸�±¿¾%¸ ² ῵�ºQ»¯±;º ³ ß6± õ ó*)£ó º ³ µ�·6±t��±¿ß6º�ày�«º Þ ¸�±�¼ ² µw±¿ßµw°�µ�·6± Þ  8±�±�ßÄ°¯¾r¼�º �¯·Aµ ó � ó º ³ µw·0±R�±�ß0º�à�� ´±¯) > ù� Å Ë���Ñ�âÇÐ

�{°ô ³ ß µ�·6±J  ² µw· ó ��º ³ º �º21¿± ¥ >!Ì þ K >!Ì þ ]� >¸Ì ) þ ]�Å Ë���Ñ+��Ðæ4ºQ»�± ³,) Ë-â�û)�0Ð2º ³ µ�¥Ã°�ß0º �± ³6Þ º�° ³6Þ¿ó ¥Ã± Þ ±�± ���?µw° Þ ±cá�à6¸D± \ ¥ >� ó ¥�·6±�¸D±¥ >!Ì þ â Þ ù-� � a à ) Ë-â�û6�6Ð1Å Ë���Ñ�OÇÐ

Page 69: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� â'��d°�¸ ) º ³ ß0±� 8± ³ ß6± ³ µP°¯¾[� ó °�à6¸�ôd¸ Þ µtº ³ µ�±���¸ ² ¼ Þ ��ºc»�±

) � aÏ ù-� � a à > o û Ë���Ñ��ÇÐ¥�ºQµ�· o ² á�° ³0Þ µ ²G³ µ ½ ü"¾ ) º Þ�² ¼ Þ °xº ³ ß6±� 8± ³ ß0± ³ µP°G¾~â ó µ�·6± ³

� a > á¿° ³6Þ µ ²¯³ µRÅ Ë���Ö Ð�Í±á ²¯³ ¥�¸�ºQµ�±t� a > µ ²¯³ g ½ �'·0±�¸�±q¾%°�¸�± ó

� a > � aÏ ù'� � a à > á¿° ³6Þ µ ²¯³ µ Ë���Ö ù в ¼ Þ ° ½ ¹�°H°��Aº ³ � ² µ ²G³ º ³ µ�±�¸O¾ ² á�± ó ¥2±�µw·0± ³ ��±¿µo > )[¿yÞ º ³ g ¿ > ) à Þ º ³ g à û Ë���Ö'��Ð¥�·6ºÞá�·Äº Þ 4 ��P P } . V �ßÀ½²����Û��� /0%s�S¬&%¿H���ï±H[ � � ��0 � .���� º Þ µw·6±1  ² µ�·?°¯¾Û�º ³ º �.à��Z¼�± ³ �¯µw·�´+±qµ�¥2±¿± ³ µ�¥Ã°,ô0õy±�ß� 8°�º ³ µ Þ ° ³?Þ °'�± Þ à6¸D¾ ² á�± ½ [ Þ²¯³ ±qõ ² �9 6¼Q± ó á�° ³6Þ ºQß6±�¸'µw·0±;à ³ ºQµ Þ  6·6±¿¸�± ½ K > Ì þ ]û Ë���Ö��ÇÐ¥�·6±¿¸�±

þ ] à > þ g à � Þ º ³ à Ë�g�Ð þ Ñ à Å Ë���Ö�ÑAй�±¿µ" Þ á�·6°H° Þ ±Óg ²¯Þ µ�·6±Ôº ³ ß0±� 8± ³ ß6± ³ µ�» ² ¸�º ² ´6¼�± 󣲯³ ß×µ�·6±�¸D±¿¾%°�¸D± Þ ±¿±� ²ÉÞ °�¼�à0µ�º�° ³ °¯¾�µw·6±�¾%°�¸6�Ñ ËEg�ÐbD K > Ì þ gÀS�Ë�gHû Ñ û Ñ a ÐPû Ë���Ö'Ö�Ð¥�ºQµ�· S > Þ ù'� Þ º ³ à Ë�g¯Ð Ñ a à û Ë���Ö�âÇв¯³ ß ²  6¸�º���±4ß0± ³ °¯µ�± Þ ß6º�Ê+±�¸D± ³ µwº ² µwºQ° ³ ¥�ºcµw· ¸�± Þ  +±c῵tµw°g ½ Òt°m¥ ó SZº Þ º ³ ß0±� 8± ³ ß6± ³ µP°¯¾ Ñ ó�²G³ ßÞ °xµw·0º Þ º �9 6¼Qº�± Þ µw· ² µ � S|� � Ñ a º Þ�² á¿° ³6Þ µ ²¯³ µÊDÞ º ³ à Ë�g�Ð Ñ aÞ ù-� Þ º ³ à Ë�g¯Ð Ñ a à > o û Ë���Ö���в á�° ³0Þ µ ²G³ µ ½ �'·0º Þ ±��Aà ² µwº�° ³ ¯Hº�±¿¼�ß Þ µ�·6±J��¸�± ² µ�á�ºQ¸«á¿¼�±t  ² µ�· Þ�½

Page 70: PH 349 : Methods of Mathematical Physics I - Lecture Notes Mark

d.eJf'g'h8ikjmlWn�oqpsrtomuvixwyl�nzj�{QwylW|�}�w�~5dHn'�yr�|�}�r1� �

Û_©�Ã É ¬%®T½�,!½�è�½Y®T±.³ ï�±H¹y½Y¹¹�±¿µ" Þ�Þ ±¿±�·6°�¥Íµ�·6±�º�ß6± ²¯Þ  6¸D± Þ ± ³ µw±�ßѺ ³ µw·0º Þ7Þ ±Q῵�º�° ³ á ²¯³ ´+±À± õyµ�± ³ ß0±�ß,º ³ ��°�¸D±���± ³ ±�¸ ² ¼�á�° ³ µ�±qõHµ Þ¿½Û_©!§ 132 ¾ ¶!½{R�½�è�¼t½�è�íØÏ;±H®#çÀ±54t³U½Y¹76R±.è�¼ ¾#Õsè�¼t½{R�½�è�¼t½�è�íØÏ;±H®#çÀ±54t³U½�ͱ ³ °�¥ á�° ³6Þ ºQß6±�¸;µw·6±/á ²¯Þ ±+N > Ë�� ¿ Ë-â+Ð û)� à Ë-â+Ðqû�ÅÊÅÊÅ�û6�GÈ0Ë-â+ÐDÐ ½ �'·6±¶°�´ÌzD±Q῵�ºQ»¯±?º Þ µw° ô ³ ß N2Ë�â+ÐÞ àUá�·Äµw· ² µ \ Fzô NYö >� ó ¥�·6±¿¸�±

Fzô NYö >!ÌeÀÁ S�Ë-â�û�N=û�N a Ð þ âÎû Ë���Ö�OÇо%°�¸�» ² ¸�º ² µwºQ° ³6Þ \ N ¥�·6ºÞá�·.¼�± ² »�±2µ�·6±2± ³ ß+ +°¯º ³ µ Þ ô0õy±�ß ó º ½ ± ½ N2Ë $ Ð > ô0õy±�ß ó N�Ë��qÐ > ô0õy±¿ß ½ [ µ�¸�ºc»yº ² ¼±qõHµ�± ³6Þ º�° ³ °¯¾r°�à6¸` 6¸�±q»Hº�°�à Þt²¯³6² ¼�¯ Þ º Þ ¯Hº�±�¼Qß Þ�²�Þ ±qµP°¯¾[/Ö Àà6¼�±¿¸À¤!¹ ² ��¸ ²¯³ ��±4±��Aà ² µ�º�° ³0Þ�ó ��ºc»�± ³ ´±¯\ S\ � & � � S� � & á þþ â � S� � a& >� Å Ë���Ö��ÇÐ[ ¼ Þ ° ó ºc¾7S)º Þ º ³ ß6±� 8± ³ ß0± ³ µ2°G¾Mâ ó µw·6± ³ ¥Ã±t°�´0µ ² º ³² á�° ³6Þ ±�¸O»�±�ßQ�Hà ²¯³ µwºQµä¯ÄËÙôd¸ Þ µ=º ³ µw±Á��¸ ² ¼ Ð ó �¯ºQ»�± ³´±¯ S!á ÈL &ãMz¿ � & � S� � a& > á�° ³6Þ µ ²¯³ µ]Å Ë��'â в����Û��� �7%±@%ÌEÚ�Þ�?���¬8%sÝ9%2��¬8%2�z��­]ÚµE���Ú*F[Þ!%�H : ù<; %2Ý9%2��¬8%2�z�e­RÚ*E��ÚµFvÞ=%ºp±¿¸�± ó üú Þ ß6±qô ³ ±¿ß ²¯Þ�²G³ º ³ µw±Á��¸ ² ¼8°}»�±¿¸ ².Þ à6¸D¾ ² á�± ó »�°�¼Qà���± ó °�¸2·6º ��·0±�¸À¤"ß6º �± ³0Þ º�° ³d² ¼�·±¯q 8±�¸ Þ à6¸U¤¾ ² ῱ ½ �d°�¸'±qõ ² �9 6¼�± Fzô ÎTö > Ì?> þ @ÎS�Ë�ØÀû6Î{ûBA9Î+Ð1Å Ë��'â ù Ð�ͱ Þ ±�± � \ F >� ¾%°�¸�» ² ¸Dº ² µ�º�° ³0Þ °¯¾�Î µw· ² µ�¼�± ² »¯±;µ�·6±4» ² ¼�à6± Þ °G¾vÎÄ° ³ µ�·6±�´+°¯à ³ ß ² ¸Í¯ ó K > � @ óô0õy±�ß ½ [ � ² º ³7ó�²  y 6¼�¯Hº ³ �°¯à6¸t» ² ¸Dº ² µ�º�° ³6² ¼5� ² á�·6º ³ ±�¸Í¯ ó ¥Ã±,°�´0µ ² º ³ / Þ ±Á  ² ¸ ² µw±h �à0¼�±�¸U¤¦¹ ² ��¸ ²¯³ ��±±��Aà ² µwº�° ³6Þ D � S� Î á þþ â & � S� Î & >� û Ë��'â���Ð¥�·6±¿¸�±RÎ & � � Ϋ� � â &¦½