phase transition in discrete mathematics, randomized and...
TRANSCRIPT
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Phase transition in Discrete Mathematics,Randomized and Deterministic algorithms
Miklós Simonovits
Rényi Institute
Fritz Jóska ,2013 május 23
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Friends
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Contents
„Phase transition” in Discrete Mathematics
The meaning of phase transition „here”
Random walks, the Polya story,
Random objects investigated for their own sake
using the ergodicity
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Selecting the topic
Joska was always interested in Physics and AnalysisJóska started as a PhysisistHaving finished the university he started working on
Rudemo Entropy (?)Rényi, A.
On the dimension and entropy of probability distributions. ActaMath. Acad. Sci. Hungar. 10 1959 193–215
Rudemo, Mats
Dimension and entropy for a class of stochastic processes.(Russian summary) Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 91964 73–88.On the dimension and entropy of probability distributions. ActaMath. Acad. Sci. Hungar. 10 1959 193–215
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Happy Birthday, Jóska
Fritz, J.
Entropy of point processes. Studia Sci. Math. Hungar. 4 1969389–399.
Fritz, J.
An approach to the entropy of point processes. Collection of ar-ticles dedicated to the memory of Alfréd Rényi, II. Period. Math.Hungar. 3 (1973), 73–83.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Happy Birthday, Jóska
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Meeting Jóska
Reiman, Olypiad, playing the piano
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Physics
Both Jóska and I loved Physics very much in theHighschool.
Jóska started as a physisist, however, after a year hedecided that he will understand physics much better as amathematician.
Brave step „downgrading”
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Rényi and Jóska
Jóska spent a long period of his time, in the Rényi Institute.Rényi invited him to the institute, Rényi gave him the firstresearch topic at the Institute
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Phase transition for Pastur
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Phase transition for us
Sudden changes in the behaviour of a system
TheoremKomlós-Szemerédi Iw we throw down edges at random, assoon as the min degree reaches 2, the graph will beHamiltonian.
The meaning of this theorem
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Using randomized constructions
Theorem (Erdos: Ramsey, log n)Let c = 3. Most of the graphs on n vertices do not have c log ncomplete subgraphs,neither (induced) c log n-empty graphs.
Theorem (Shannon: typical codewords)≈ If the chanel has capacity c, then one can send over a littleless information with high security but if one tries to send overmore information, that will be lost. random codewords
Theorem (Pinsker: Expander)There are graphs with linear edge density having the expanderproperty
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The three approaches:
• Erdos-Rényi:On the strength of connectednessasymmetry of graphs
• Gilbert
• Ehud Friedgut: sharp thresholdOn what does it depend if we have a slow or a
sudden phase-transition?
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Supersaturated graphs
.
.......
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Universal path
Aleliunas, Karp, Lipton, Lovász, Rackoff,Random walks, universal traversal sequences, and the complex-ity of maze problems. 20th Annual Symposium on Foundationsof Computer Science, pp. 218–223, IEEE, New York, 1979.
From the introduction: "It is well known that the reachability prob-lem for directed graphs is logspace-complete for the complex-ity class NSPACE(logn), and thus holds the key to the openquestion of whether DSPACE(logn)=NSPACE(logn). Here asusual DSPACE(logn) is the class of languages that are ac-cepted in logn space by deterministic Turing machines, whileNSPACE(logn) is the class of languages that are accepted inlogn space by nondeterministic ones. . . .
The reachability problem for undirected graphs has also beenconsidered [N. D. Jones, Y. E. Lien and W. T. Laasev, Math.Systems Theory 10 (1976), no. 1, 1â17; MR0443429 (56
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
QuickSort
Wikipedia, shortened:
Quicksort is a sorting algorithm. On average, it makes O(n log n)comparisons to sort n items. It is also known as partition-exchange sort. In the worst case, it makes O(n2) comparisons,though this behavior is rare.Quicksort is often faster in practice than other O(n log n) al-gorithms .
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Finding the median
Seems to be trivial, but highly non-trivialThe randomized algorithm is „completely trivial”
• Take a random subset of n2/3 elements
• Sort them
• Choose two of them defining an interval containing themedian „very probably”
• compare each element with them: expected number ofcomparisions is ≈ 3
2n + o(n).
• find the median
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is the problem?
We wish to calculate the volume of high-dimensionalbodies efficiently.
Efficiently = in polynomially many steps.
Is it possible deterministically?
Is it possible by randomized algorithms?
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The problem of estimating the volume
Given ε > 0,Find an algorithm which outputs a ζ with
(1 − ε)ζ < vol (K ) < (1 + ε)ζ
Includes several combinatorial problems
E.g. full extensions of partial orderings
No exact solution is possible
Khachiyan: even to write down the result takes exponentialtime.
Permanent problem = counting the 1-factors in a bipartite graph
= hardest problem (Valiant) / This was the first case which wasapproximated by randomized a algorithm
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Does the randomization really help?
If P = NP (???) then not as we would like to have it, however,then we do not need this „help”
OtherwiseDyer, M.; Frieze, A.: Computing the volume of convex bodies: acase where randomness provably helps, (1991)
It does help in the volume-estimation forhigh dimensional convex bodies given by oracles
Important:
High dimensionalconvexgiven by oracles
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is an oracle?
„Black box:” We ask questions and it provides some answersabout K
The oracles vary according to which questions can be askedand what types of answers do we get
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The model: Oracle
NO / YES
x
SEPARATION ORACLE
Convex body ⇔ separation oracleAnswer: x ∈ K ,x 6∈ K , and a separating plane
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Why to use oracles?
Several arguments for it:
There are combinatorial problems where the attached convexbody can be described only by oracles.Matching Polytope, . . . After Khachiyan
Object oriented programming
Mathematical Logic: P = NP? can be asked in various modelswith oracles
In some of them this holds, in others it does not.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What types of oracles?
Weak separation oracleStrong separation oracleWeak Membership oracleStrong Membership oracle. . . Maximizing oracle
They are equivalent in some sense . . .
error!with ε
x
NO / YES
Safe outside
Uncertain cases
Safe inside
M. Grötschel, L. Lovász and A. Schrijver:Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization,Springer-Verlag.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Which Oracle: Weak/Strong membership
NO / YES
MEMBERSHIP ORACLE
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Weak/Strong separation oracle
x
with error!εNO / YESStrong: no errors
Weak:Within an ε distance from ∂Kit may make errors
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Well guaranteed oracle
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
WELL GUARANTEED BODY
We need the guarantee, otherwise could answer „NO” adinfinity.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Why not Monte Carlo?
THE INSCRIBED BALL IS TOO SMALL
The ball inscribed into the n-dimensional cube is exponentiallysmall:
vol (Balln)vol (Cuben)
< qn for some 0 < c < 1
We need exponentially many points to get just one HIT.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Approximating the volume
Multiphase Monte Carlo Markov Chain
Andrei Broder used a randomized algorithm to approxi-mate the number of 1-factors – turns out to be incorrect
Jerrum-Sinclair: Approximating the number of 1-factors ina bipartite graph
1. Dyer-Kannan-Frieze O∗(n26)
2. Lovász-Sim. O∗(n16)
3. Applegate-Kannan O∗(n10)
4. Dyer-Frieze O∗(n8)
5. Kannan-Lovász-Simonovits O∗(n5)
6. Lovász-Vempala: O∗(n4)
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Related topics:
Sampling
A Frieze, R Kannan, N Polson - The Annals of Applied Probabil-ity, 1994 - Sampling from log-concave distributions
A function is log-concave if its logarithm is concave.The important probability distributions are log-concave. e.g.
f (x) = c exp(xAx)
Integration
of log-concave functions
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Negative results
1. Elekes
2. Bárány-Füredi
3. Khachiyan
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Is the diameter of the same difficulty?
No!Volume can be approximated,Diameter cannot be approximated even if we can use random-ization
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
How to estimate the volume of a high dimensional convex body?
Based on:Kannan, Lovász, Simonovits:Random walks and an O∗(n5) volume algorithm, RandomStructures and Algorithms 1 (1997), 1–50.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
MAIN THEOREM
Given a convex K ⊆ Rn, by a weak separation oracle. There
exists a randomized algorithm which for arbitrary ε, η > 0,returns a ζ > 0-t, such that
(1 − ε)ζ < vol (K ) < (1 + ε)ζ
with probability ≥ 1 − η.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
MAIN THEOREM
Given a convex K ⊆ Rn, by a weak separation oracle. There
exists a randomized algorithm which for arbitrary ε, η > 0,returns a ζ > 0-t, such that
(1 − ε)ζ < vol (K ) < (1 + ε)ζ
with probability ≥ 1 − η. The algorithm uses
O(
n5
ε2 (ln1ε)3(ln
1η) ln5 n
)
= O∗(n5)
oracle queries.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is the problem?
The task is:
• estimate/approximate the volume of a high dimensionalconvex body K ⊆ R
n
• generate uniform distribution on K
• Integrate on K
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is the problem?
The task is:
• estimate/approximate the volume of a high dimensionalconvex body K ⊆ R
n
• generate uniform distribution on K
• Integrate on K
The method of fine division does not work in high dimension!Neither does the (simple) Monte Carlo!
The above three questions are equivalent (in some sense), [∫
ffor some functions]
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is wrong with the fine subdivison?
������
������
������
������
������
������
���������
���������
���������
���������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
As the dimension increases, we need too many points!
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is Monte Carlo?
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
We can generate uniform distribution on a high dimensionalbox. Then we count, how many of them are in our domain.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Brute force: Löwner-John Ellipsoid
If we consider the ellipsoid Eof smallest volume containing Kand shrink it by a factor 1
n :
1nE ⊆ K ⊆ E
This yields an estimate, of relative error nn.But is it algorithmic?
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Elekes Theorem
If an algorithm approximates the volume for every K within afactor C=constant, then it uses exponentially many questions
If it uses P = polynomially many questions then in the worstcase it makes
2n/2√
P
relative error.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Does randomization help?
Prehistory:Counting 1-factors in (dense) random graphsA. Broder proposed to use:
• random walks,
• multiphase Monte Carlo
• Product estimator
Jerrum-Sinclair: Yes, for this problem it helps!
ρ(P,Pi) ≤ ρ(P,P0) ·(
1 − Φ2
2
)i
.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
How to measure the speed?
Book: Grötschel, Lovász and Schrijver (1988)Real, exact arithmetics
• The number of oracle questions
• Random bits
• Arithmetic steps
The error-probability, η, is unimportant:Jerrum, Valiant and Vazirani (1986): log 1
η
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Two basic phases:
Rounding = sandwiching
WE DO NOT LIKE THE PENCILS!
The volume of the rounded body: product estimator
vol (K ) = vol (K0) ·m∏
i=1
vol (Ki)
vol (Ki−1).
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Outline: Rounding, Estimating
K, given by a separation Oracle
Bringing into isotropic position
Estimating the volumein isotropic position
truncationsratios of "subsequent"
Approximate the volume
The lazy walk
Analyzing the speedy walk
Sampling forisotropy
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Rounding?
B(0, 1) ⊆ K ⊆ B(0, nk ).
B(0, n√
n) is achievable by ellipsoid method in O∗(n4) steps.
Approximate Rounding
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is the multiphase Monte Carlo?
Ki := K ∩(
1 +1n
)i
B(0, 1)
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What to estimate?
The volume-ratio of the conse-cutive truncated convex bodies!
1 ≤ vol (Ki)
vol (Ki−1)≤ 3.
vol (K0) is known,
vol (K ) = vol (K0) ·m∏
i=1
vol (Ki)
vol (Ki−1).
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What is a rounded Convex body?
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ROUNDING = SANDWICHING
We wish to find a linear transformation A such that the radii ofthe circumscribed AK and inscribed balls is small: nc , perhapsn, perhaps
√n?
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
How to generate uniform distribution?
• Use a random walk (Markov chain) whose stationarydistribution is uniform
• Converges to its stationary distribution fast:
Rapid mixing(= in polynomial time in n):
ρ(P,Pi) ≤ ρ(P,P0) ·(
1 − Φ2
2
)i
.
Φ = conductance should not be too small, ≥ 1nc
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Rapid mixing and isoperimetric inequalities
For convex bodies there are no bottlenecks: isoperimetricinequalities
We developed a tool: Localization Lemma to proveisoperimetric inequalities
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Rapid mixing and uniform distribution?
FailureStart
Failure 1 2
34
07
11End
RAPID MIXING PRODUCES THE STATIONARY DISTRIBUTION
Questions: Is that uniform?And do we get it fast?
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Random walk on the truncated grid
RANDOM WALK ON GRID
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Ball-walk
BALL WALK
(a) Choose a random point in the ball x i + δB(0, 1).(b) Try to jump there: If that is outside of K , stay put.(c) Lazy walk / speedy walk
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Def: Isotropic position
Let K ⊆ Rn,
b(K ) = baricenter.K is in isotropic position if
b(K ) = 0 and for every i , j , 1 ≤ i ≤ j ≤ n,
1vol (K )
∫
Kxixj =
{
1, if i = j ,
0, if i 6= j ,
Milman and Pajor (1987)Then
1vol (K )
∫
K‖x‖2 dx = n,
The majority of ⇒ K is in B(0,√
nε ).
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Def: Near-isotropic position
K ϑ-near isotropic, (0 < ϑ ≤ 1), if
‖b(K )‖ ≤ ϑ,
and for every v ∈ Rn,
(1 − ϑ)‖v‖2 ≤ 1vol (K )
∫
K−b(K )(vTx)2 dx ≤ (1 + ϑ)‖v‖2.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Bringing into isotropic position
Given: 0 < η, ϑ < 1,There exists a randomized algorithm finding an affine A forwhich AK is ϑ-near-isotropic with probability ≥ 1 − η.# Oracle queries:
O(n5 ln(ϑη) ln n).
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Continuation
=⇒ with probability ≥ 1 − η ,
vol (AK \ 2√
2n log(1/ε)B) < εvol (AK ).
# Oracle queries
O(
n5 ln1η
ln n)
.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What was hidden?
• Lazy random walk
• Speedy random walk
• Dangerous corners
• Conductance, Spectral gap
• average conductance
• Further technical difficulties
• Improved partial results
Last Breakthrough
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Dangerous Corners
K
x
x’
x"
It may happen that we get into a corner and it takesexponentially many steps to get out of it. Fortunately, this ishighly unprobable.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Improvements
Lovász-Vempala: There exists a randomized algorithm . . . using
O∗(n4)
oracle queries.
Lovász-Vempala: Simulated Annealing in Convex Bodiesand an O∗(n4) Volume Algorithm, 2003
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Diameter
Bound for polynomially many querries
Relative error√
nlog n
Boxing: deterministic, with relative error√
nBoxing into random direction: relative error
√
n/ log nderandomization
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Hit-and-Run
x
Seems to be fast in practice.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
What about the diameter?
The diameter cannot be approximated, not even by randomizedalgorithms
ROTATED DOUBLE CONE
the two body cannot be distinguished by polynomially manyqueries.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The positive result
There exist a deterministic poly algorithm for which: If K ⊆ Rn
is given by a convex, (well guaranteed) then the algorithmyields a ζ(K ) for which
ζ(K ) ≤ diam (K ) ≤ c√
nlog n
· ζ(K ).
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Bárány and Füredi
To approximate diam (K ) (from below) by a deterministic
algorithm with smaller than c√
nlog n , relative error needs more
than polynomial oracle-queries.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The negative result
If the randomized algorithm provides for every K ⊆ Rn an
estimate ζ(K ) ≤ diam (K ) in poly steps, then there exists aconvex K0 ⊂ R
n, amelyre
diam (K0)
ζ(K0)≥ c ·
√
nlog n
.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
The negative result, cont:
If the randomized algorithm provides for every K ⊆ Rn an
estimate ζ(K ) ≤ diam (K ), and
ζ(K ) ≤ diam (K ) ≤ C · ζ(K ),
Then there exists a convex K0 ⊂ Rn, for which uses
exponentially many oracle queries.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Other metrics
Brieden-Kannan-Klee-Lovász-Simonovits,Various results for Lp norms.
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Derandomization
Typical girth, Erdos LemmaErdos-Pósa Theorem
Regularity Lemma and randomness
Cayley graphs may behave in a randomlike way
Vera Sós: Deterministic and random and what is inbetween
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Erdos-Rényi: connectedness
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Margulis/Lubotzky-Phillips-Sarnak
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Helen a vizbe
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Evfolyamtalalkozon
Selecting the topic Why does the randomization help? Approximating the volume Finding the diameter Derandomization
Happy Birthday, Jóska, once more!