physique des march´es introduction : faits...
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Physique des MarchesIntroduction : Faits stylises
Ioane Muni Toke
Ecole Centrale ParisOption Mathematiques AppliqueesMajeure Mathematiques Financieres
15 fevrier 2011
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 1 / 55
Introduction
Modelisation stochastique / probabiliste
Inadequation avec les observations empiriques
Donnees empiriques, informatisation, haute-frequence
Microstructure, “econophysique”
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 2 / 55
Donnees financieres
Figure: Extraits de fichiers de donnees “trades” (gauche) et “quotes” (droite)pour le titre BNP Paribas.
⇒ bid, ask, mid, last, . . . : quel prix ?
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 3 / 55
Echelle d’observation
65.2
65.4
65.6
65.8
66
66.2
66.4
66.6
66.8
67
67.2
30000 35000 40000 45000 50000 55000 60000 65000 65.88
65.9
65.92
65.94
65.96
65.98
66
66.02
36000 36010 36020 36030 36040 36050 36060
Figure: (Haut) Valeur du titre BNPP.PA pour la periode 2003-2011 (Source:finance.yahoo.com). (Bas) Prix de transactions pour le titre BNPP.PA le 27 mai2008. Journee entiere (gauche) et zoom sur une minute a 10h00 (droite).
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Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
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Distribution des rendements
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 6 / 55
Distribution des rendements Observations empiriques
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
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Distribution des rendements Observations empiriques
Rendements financiers
On note p le prix d’un actif financier.
On definit le rendement a la date t sur la periode τ par:
rτ (t) =p(t)− p(t − τ)
p(t − τ)(1)
Increments, rendements et log-rendements:
δτp(t) = p(t)− p(t − τ) (2)
rτ (t) =p(t)
p(t − τ)− 1 ∼ ln(p(t))− ln(p(t − τ)) (3)
Approximation: ln 1.01 ≈ 9.95× 10−3, ln 1.10 ≈ 9.53× 10−2
Cadre de Black & Scholes: r N (µτ, σ√τ)
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Distribution des rendements Observations empiriques
Distributions empiriques des rendements (I)
Figure: Distribution des log-rendements normalises pour une perioded’echantillonnage τ = 5 minutes pour le titre BNP Paribas pour la periode01/01/2007 - 30/05/2008.
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Distribution des rendements Observations empiriques
Distributions empiriques des rendements (II)
Figure: Distribution des log-rendements journaliers normalises de l’indice SP500pour la periode 1950-2009. Source des donnees: finance.yahoo.com
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Lois normale et log-normale (I)
Loi normale N (µ, σ)
fN (x) =1
σ√2π
exp
(
−(x − µ)2
2σ2
)
(4)
Decroissance en e−x2 tres rapide:
P(|X | > 3σ) < 0.2%, (5)
P(|X | > 10σ) < 2.10−23 (6)
Loi log-normale lnN : lnX N (µ, σ)
flnN (x) =1
xσ√2π
exp
(
−(ln x − µ)2
2σ2
)
(7)
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Lois normale et log-normale (II)
Figure: Comparaison des lois normale et log-normale de (log-)moyenne 100 et(log-)ecart-type 15 en echelle lineaire (gauche) et lineaire-log (droite).
⇒ Bachelier vs. Black & Scholes . . .Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 13 / 55
Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Lois α-stables (I)
Lois de Levy / α-stable L(α) (queues de Pareto)
fL(α)(x) ∼x→∞αAα
±
|x |1+α(8)
Symetrie : β =Aα
+−Aα
−
Aα
++Aα
−
∈ [−1, 1]
Fonction caracteristique d’une loi stable symetrique centree :
ΦL(t) = exp (−Cα|t|α) , Cα ∝ Aαconstante (9)
Si α < 2, Var[X ] = +∞Si α ≤ 1, meme la moyenne n’est pas definie
Cas particulier α = 1: Cauchy fL(1)(x) =A
x2+π2A2
Cas particulier α = 2: Gaussienne fL(2)(x) = fN (0,σ)(x)
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Lois α-stables (II)
Figure: Densites de probabilites des lois stables pour α = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, enechelle lineaire (gauche) et lineaire-log (droite).
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Loi de Student (I)
Densite de probabilite de S(ν)
fS(x) =1√νπ
Γ(
1+ν2
)
Γ(
ν2
)
(
1 +x2
ν
)− 1+ν
2
(10)
Queues de distribution en loi puissance
Convergence en loi vers la loi normale pour ν → +∞Si ν ≤ 2, la variance n’est pas definie
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Loi de Student (II)
Figure: Densite de probabilites de la loi de Student pour ν = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 10et +∞, en echelle lineaire (gauche) et lineaire-log (droite).
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Distribution des rendements Quelques distributions utiles
Autres distributions utiles
Loi gamma inverse iΓ
fiΓ(x) =xα0
Γ(α)x1+αexp
(−x0
x
)
(11)
Variable positive, queues de distribution en loi puissance
Loi hyperbolique H
fH(x) =1
2x0B(αx0)exp
(
−α√
x20 + x2)
(12)
Queues de distribution exponentielles
et beaucoup de lois composees: Student hyperbolique, Levytronquees,. . .
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Distribution des rendements Exemples de calibration
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
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Distribution des rendements Exemples de calibration
Calibration de quelques distributions (I)
Figure: Distribution des log-rendements normalises pour une perioded’echantillonnage τ = 5 minutes pour le titre BNP Paribas pour la periode01/01/2007 - 30/05/2008.
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Distribution des rendements Exemples de calibration
Calibration de quelques distributions (II)
Figure: Distribution des log-rendements normalises pour une perioded’echantillonnage τ = 5 minutes pour le titre BNP Paribas pour la periode01/01/2007 - 30/05/2008.
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Distribution des rendements Exemples de calibration
Influence de la frequence d’echantillonnage
10-3
10-2
10-1
100
0 1 2 3 4 5 6
Em
pir
ical
cum
ula
tive
dis
trib
uti
on
Normalized return
τ = 1 dayτ = 1 week
τ = 1 monthGaussian
Figure: Distribution des log-rendements normalises de l’indice SP500 pour laperiode 1950-2009, pour differentes periodes d’echantillonnage.
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Correlation des rendements et volatilite
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
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Correlation des rendements et volatilite Observations empiriques
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 24 / 55
Correlation des rendements et volatilite Observations empiriques
Absence de correlation des rendements
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Au
toco
rrel
ati
on
Lag
BNPP.PA 1-minute returnBNPP.PA 5-minute return
Figure: Autocorrelation des log-rendements pour le titre BNP Paribas pour laperiode 01/01/2007 - 30/05/2008.
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 25 / 55
Correlation des rendements et volatilite Observations empiriques
“Clustering” de volatilite
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Au
toco
rrel
ati
on
Lag
BNPP.PA 1-minute returnBNPP.PA 5-minute return
Figure: Autocorrelation des valeurs absolues des log-rendements pour le titreBNP Paribas pour la periode 01/01/2007 - 30/05/2008.
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 26 / 55
Correlation des rendements et volatilite Observations empiriques
Mandelbrot (1963)
Reference
The Variation of Certain Speculative Prices, Benoit Mandelbrot, TheJournal of Business, Vol. 36, No. 4 (Oct., 1963), pp. 394-419
“the empiricald distributions of price changes are usually too”peaked” to be relative to samples from Gaussian populations”
“large changes tend to be followed by large changes – of either sign –and small changes tend to be followed by small changes”
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 27 / 55
Correlation des rendements et volatilite Observations empiriques
Effet “leverage” de volatilite
Premiere observation par Black (1976) (Studies of stock price volatilitychanges, Proceedings of the 1976 Meetings of the American StatisticalAssociation, pp. 177-181. Non consulte).
Figure: Correlation des rendements et des valeurs absolues des log-rendementspour les futures S&P500 pour la periode 1998-1999. Tire de (Bollerslev et al.,2006).
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 28 / 55
Correlation des rendements et volatilite Marche aleatoire et theoreme central limite
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 29 / 55
Correlation des rendements et volatilite Marche aleatoire et theoreme central limite
Marche aleatoire et TCL
Marche aleatoire pour le log-prix :
pt = pt−1 + ǫt (13)
avec E[ǫt ] = 0 et E[ǫtǫs ] = 0 si t 6= s
Version classique
Soit (Yi)i∈N une suite de variable aleatoires independantes etidentiquement distribuees, de moyenne E[Yi ] = 0 et de varianceE[Y 2
i ] = 1. Soit Sn =∑n
i=1 Yi .Alors la distribution de Sn/
√n converge en loi vers la loi normale centree
reduite N (0, 1) quand n → +∞.
⇒ contradiction avec les resultats empiriques: quelle hypothese doit-onabandonner ?
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 30 / 55
Correlation des rendements et volatilite Marche aleatoire et theoreme central limite
Theoreme Central Limite generalise (Gnedenko et
Kolmogorov, 1968)
Une version simplifiee d’un TCL generalise
Soit (Yi)i∈N une suite de variable aleatoires independantes etidentiquement distribuees selon une loi dont la densite decroıt en loi
puissance |x |−(1+α), 0 < α < 2. Soit Sn =∑n
i=1 Yi .Alors il existe des constantes An > 0 et Bn telles que la distribution deSn/An − Bn converge en loi vers la loi stable L(α) quand n → +∞.
Notion de domaine d’attraction
Exemple de la loi de Student
Notion de “scaling”
Mandelbrot (1963) et le prix du coton
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 31 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 32 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Idee: variance et nombre de transactions
10-4
10-3
10-2
10-1
100
10 100 1000 10000
Nu
mber
of
trades
Time period τ
Average varianceAverage number of trades
Figure: Variance des rendements et nombre de trades (divise par 104) en fonctionde la periode d’echantillonnage (en secondes) pour le titre BNPP.PA sur laperiode 01/01/2007 - 28/05/2008.
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 33 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Subordination
Definition
Soit (X (t))t≥0 un processus stochastique a valeur dans R. Soit (T (t))t≥0
un processus stochastique croissant a valeur dans R+. Alors X (T (t)) estappele processus subordonne de X et T (t) est appele processus directeur.
Theoreme (Clark, 1973)
Si X est a accroissements independants et stationnaires centres devariance σ2 et si T a accroissements independants et stationnaires positifsde moyenne µ, independants de X ,Alors le processus subordonne X (T (t)) est centre de variance µσ2.
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 34 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Subordination par le nombre de transactions
Reference
Stochastic volatility of financial markets as the fluctuating rate of
trading: An empirical study, A. Christian Silva, Victor M. Yakovenko,Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Volume 382, Issue1, 1 August 2007, Pages 278-285.
Processus directeur t.q. ξN = VarN [r ]
Subordination gaussienne:
fN(x) =1√
ξN√2π
exp
(
−(x − µ)2
2ξN
)
(14)
Distribution des rendements pour une periode τ par subordination:
fτ (x) =
∫ ∞
0
1√ξN
√2π
exp
(
−(x − µ)2
2ξN
)
Kτ (N)dN (15)
avec Kτ (N) distribution du nombre de transactions sur une periode τ
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 35 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Distribution des rendements en temps de transaction
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
10−3
10−2
10−1
INTC, 1999
CN
(x/σ
N)
and
1−C
N(x
/σN
)
2600 0:41 h
x/σN
3500 0:55 h4500 1:11 h5500 1:27 h8100 2:07 h
9500 2:48 h
N N/η
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1INTC, 1999
2600 0:41 h
CN
(x/σ
N)
CDF[Normal(0,1)]
3500 0:55 h
4500 1:11 h
5500 1:27 h
8100 2:07 h
9500 2:29 h
N N/η
N/η N
Figure: Fonction de repartition des log-rendements normalises apres Ntransactions (gauche) et graphe parametrique des quantiles empiriques etgaussiens (droite), pour le titre INTC (Intel) pour l’annee 1999. Tire de (Silva &Yakovenko, 2007).
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 36 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Distribution du nombre de transaction par intervalle de
temps
0 1 2 3 4 5 6x 10
4
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
INTC, 1999
0:30 h 1:05 h2:10 h
3:15 h
1 day = 6:30 h
N
C∆t
(N)
Figure: Fonction de repartition du nombre de transactions Nτ par periode τ pourle titre INTC (Intel) pour l’annee 1999. Tire de (Silva & Yakovenko, 2007).
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 37 / 55
Correlation des rendements et volatilite Subordination et changement de temps
Distribution des rendements par subordination
Distribution des rendements pour une periode τ par subordination:
fτ (x) =
∫ ∞
0
1√ξN
√2π
exp
(
−(x − µ)2
2ξN
)
Kτ (N)dN (16)
Distribution exponentielle du nombre de transaction par intervalle detemps
Kτ (N) =e−N/ητ
ητ, avec η t.q. E[Nτ ] = ητ (17)
Distribution des rendements par subordination
fτ (x) ≈e−|x |
√2/ξητ
√2ξητ
(18)
Decroissance exponentielle
Lien avec la volatilite stochastique
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 38 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 39 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Volatilite et “signature plots”
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 40 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Volatilite et “signature plots”
Volatilite realisee
p : prix logarithmique
rτ (j) = p(jτ)− p((j − 1)τ) increments des log-prix
Cadre Black & Scholes / semi-martingales d’Ito :
∫ T
0σ2udu = 〈p〉T = lim
τ→0
T/τ∑
j=1
(p(jτ)− p((j − 1)τ))2 = limτ→0
T/τ∑
j=1
rτ (j)2
(19)
Estimateur “naturel” de la variance integree avec donneesintra-journalieres
VR(τ) =
T/τ∑
j=1
rτ (j)2 (20)
⇒ variance realisee: VR(τ) → 〈p〉T en probabilite quand τ → 0
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 41 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Volatilite et “signature plots”
Signature plot (I)
Figure: Volatilite realisee en fonction de la periode d’echantillonnage (en minutes)calculee a partir des prix mid du titre IBM sur le NYSE (trait plein) etNYSE+Midwest (pointilles) pour fevrier 2002. Tire de (Bandi & Russell, 2007).
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 42 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Volatilite et “signature plots”
Signature plot (II)
Figure: Volatilite realisee en fonction de la periode d’echantillonnage (en minutes)calculee a partir des prix mid des titres Cisco (trait discontinu) et Microsoft (traitplein) pour fevrier 2002. Tire de (Bandi & Russell, 2007).
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 43 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Volatilite et “signature plots”
Observations et microstructure
Un modele d’observation du prix logarithmique p∗ semi-martingale, ηbruit : p = p∗ + η d’ou :
rτ (j) = p∗(jτ)− p∗((j − 1)τ) +η(jτ )− η((j − 1)τ) (21)
= r∗τ (j) +ǫτ (j) (22)
Volatilite realisee :
VR =
T/τ∑
j=1
rτ (j)2 =
T/τ∑
j=1
r∗τ (j)2 +
T/τ∑
j=1
ǫτ (j)2 + 2
T/τ∑
j=1
r∗τ (j)ǫτ (j) (23)
⇒ divergence de l’estimateur quand τ → 0.
Empiriquement: bruit, “bid-ask bounce” et autres effets demicrostructure
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 44 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Plan de la seance
1 Distribution des rendementsObservations empiriquesQuelques distributions utilesExemples de calibration
2 Correlation des rendements et volatiliteObservations empiriquesMarche aleatoire et theoreme central limiteSubordination et changement de temps
3 Volatilite et correlations en haute-frequenceVolatilite et “signature plots”Correlation et effet Epps
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance) Physique des Marches: Introduction 15 fevrier 2011 45 / 55
Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Covariance (I)
Deux processus de prix d’actifs p1 et p2
Cadre Black & Scholes / semi-martingales d’Ito :
〈p1, p2〉T =
∫ T
0ρuσ
1uσ
2udu (24)
〈p1, p2〉T = limτ→0
T/τ∑
j=1
(p1(jτ) − p1((j − 1)τ))(p2(jτ)− p2((j − 1)τ))
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Covariance (II)
Estimateur de covariance realisee :
Cτ =
T/τ∑
j=1
(p1(jτ) − p1((j − 1)τ))(p2(jτ)− p2((j − 1)τ)) (25)
=
T/τ∑
j=1
r1τ (j)r2τ (j) (26)
Consistance :
Cτ → 〈p1, p2〉T en probabilite quand τ → 0. (27)
Synchronisation necessaire. . . et pourtant, transactions/cotationsasynchrones !
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Effet Epps (I)
Epps (1979): “Correlations among price changes [. . . ] are found todecrease with the length of the interval for which the price changes aremeasured.”
Figure: Correlations des log-rendements pour quatre actifs (AMC, Chrysler, Ford,GM) pour 125 jours ouvres au premier semestre 1971. Tire de (Epps, 1979).
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Effet Epps (II)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
∆ t [sec]
ρ ∆ t
1993
1997
2000
2003
Figure: Correlations des log-rendements pour de Coca-Cola et Pepsi en fonctionde la periode d’echantillonnage pour les annees 1993, 1997, 2000 et 2003. Tire de(Toth & Kertesz, 2007).
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Effet Epps (III)
Plusieurs explications proposees :
effet “lead-lag” pour les titres d’un meme secteur
asynchronicite des transactions
effect de “tick” et autres effets de microstructure
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Estimateur de Hayashi et Yoshida (I)
Reference
On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion
processes, Takaki Hayashi, Nakahiro Yoshida, Bernoulli, Volume 11,Number 2 (2005), 359-379.
Soient t1i la i -eme observation du prix p1 et t2j la j-eme observation
du prix p2.
On note I i =]t1i−1, t1i ] l’intervalle entre les observations i − 1 et i du
prix p1, et J j =]t2j−1, t2j ] l’intervalle entre les observations j − 1 et j
du prix p2.
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Estimateur de Hayashi et Yoshida (II)
Les variations de prix s’ecrivent:
∆p1(I i ) = p(t1i )− p(t1i−1), ∆p2(J j ) = p(t2j )− p(t2j−1), (28)
On construit l’estimateur de covariance :
CHY =∑
i ,j
∆p1(I i )∆p2(J j )1I i∩J j 6=∅ (29)
Consistance: si p semi-martingale, CHY →∫ T
0 ρuσ1uσ
2udu〈p1, p2〉T
Recherche active en cours (Griffin & Oomen, 2011)
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
Estimateur de Hayashi et Yoshida (III)
Figure: RMSE d’estimateurs de covariance realisee (RC = Cτ et HY = CHY )pour des donnees simulees et echantillonnees par un processus de Poisson. Tirede (Griffin & Oomen, 2011).
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
En resume
Quelques notions-cles:
Donnees, prix, frequence, echelle d’observation
Faits stylises: rendements non correles, queues de distribution epaisses
Faits stylises:“clustering” de volatilite, “leverage”
Marche aleatoire et theoreme central limite
Subordination, temps de transactions, temps evenementiel
Correlation, donnees asynchrones et effet Epps
Effets/bruit de microstructure et haute frequence
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
References
Bollerslev, T., Litvinova, J., Tauchen, G. (2007) Leverage and VolatilityFeedback Effects in High-Frequency Data, Journal of FinancialEconometrics, 4 (3):353–384.
Clark, P.K. (1973), A Subordinated Stochastic Process Model with FiniteVariance for Speculative Prices, Econometrica, 41 (1):135–155.
Epps, T.W. (1979), Comovements in Stock Prices in the Very Short Run,Journal of the American Statistical Association, 74:291–298.
Gnedenko, B.V., Kolmogorov, A.N. (1968), Limit distributions for sums of
independent random variables, Rev.ed., Addison-Wesley.
Griffin, J.E., Oomen, R.C.A. (2011), Covariance measurement in thepresence of non-synchronous trading and market microstructure noise,Journal of Econometrics, 160 (1):58–68.
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Volatilite et correlations en haute-frequence Correlation et effet Epps
References
Hayashi, T., Yoshida, N. (2005), On covariance estimation ofnon-synchronously observed diffusion processes, Bernoulli, 11 (2):359–379.
Mandelbrot, B. (1963), The Variation of Certain Speculative Prices, TheJournal of Business, 36 (4):394–419.
Silva, A.C., Yakovenko, V.M. (2007), Stochastic volatility of financialmarkets as the fluctuating rate of trading: An empirical study, Physica A:
Statistical Mechanics and its Applications, 382 (1):278–285.
Toth, B., Kertesz, J. (2007), On the origin of the Epps effect, Physica A:
Statistical Mechanics and its Applications, 383 (1):54–58.
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