pi control modular servosystem feedback ms150
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 PI Control Modular Servosystem Feedback MS150
1/5
Práctica 5. Dise ˜ no e Implementación de una Ley de Control
Servosistema Modular Feedback MS150
Breytner Joseph Fernández Mesa Laboratorio de Control 3
Departamento de Sistemas de Control y Automatiaci´ on
Escuela de Ingenier ́ ıa de Sistemas
Universidad de Los Andes
M´ erida, Venezuela
Email: [email protected]
Resumen—Se analiza el comportamiento temporal del Servo-
sistema Modular Feedback MS150. Se establece un conjunto de
especificaciones de comportamiento temporal como la elimi-
nación del error en estado estacionario ante entradas de tipoescalón y la disminución del tiempo de respuesta, y se dise ˜ na un
sistema de control de tipo PI para cumplirlas. El controlador
se implanta digitalmente usando el computador y una tarjeta
de adquisición y distribución de datos. La respuesta del sistema
controlado, la se ˜ nal de error y la se ˜ nal de control se registran
y comparan con sus contrapartes simuladas, resultando en
comportamientos similares.
1. Introducción
En la actualidad, la mayorı́a de los dispositivos con losque trabajamos a diario tienen sistemas de control incluidos.
La razón es simple: los sistemas de control aseguran elcomportamiento correcto incluso luego de mucho tiempo deuso y en la presencia de perturbaciones. Por ejemplo, en unautomóvil se pueden contar decenas de sistemas de control:el sistema de suspensión que permite atenuar el efecto debaches y protuberancias en la vı́a, el sistema antibloqueo deruedas y el sistema de inyección de combustible son algunosde los más evidentes. En la industria, los sistemas de controlson más notorios: brazos mecánicos, cintas transportadoras,convertidores de potencia, reguladores de temperaturas, re-guladores de composición de sustancias, etc.
El Servosistema Modular Feedback MS150 es un sistemaelectromecánico de rotación que recibe una señal eléctricade entrada y emite otra señal eléctrica representando la
velocidad angular del rotor. Por lo general, en este tipode servosistemas se desea que la velocidad o la posiciónangular sigan una referencia predefinida.
A continuación se describe el proceso de diseño eimplantación digital de un controlador continuo para lavelocidad angular del servosistema. Este y otros objetivosse describen en la sección 2.
En la sección 3 se da un breve recuento teórico sobrela ingenierı́a de control y la clase de controladores PID. En4 se diseña un controlador continuo para que la velocidad
del servosistema siga una referencia dada. En 5 se describecómo se realiza el experimento de implantación del controla-dor y en 6 se analizan los resultados de dicha implantación.
06 de abril de 2016
2. Objetivos
Analizar el sistemaDiseñar la ley de control en continuoDiscretizar la ley de controlImplementar la ley de control en digitalAnalizar el sistema controlado
3. Marco Teórico
En términos simples la ingenierı́a de control se encarga
de diseñar sistemas con un comportamiento deseado. Estossistemas pueden ser, por ejemplo, reguladores de temperatu-ra, controladores de trayectoria para misiles y vehı́culos notripulados, controladores de la posición de antenas espacia-les y satélites, sistemas de amortiguamiento de veh́ıculos,entre muchos otros.
Se tiene un sistema a ser controlado, por ejemplo unmotor; sensores que miden algún aspecto del objeto, porejemplo, un tacómetro que indica la velocidad del motor,el controlador que es diseñado y que toma las medicionesde los sensores y una señal de entrada, llamada referencia,para comandar actuadores que permiten ejercer algún tipode influencia sobre el sistema, por ejemplo, algún circuitoque permita variar el voltaje de entrada al motor.
Más detalladamente, los objetivos tı́picos de un sistemade control son [4]:
Estabilizar el sistema (Estabilización)Regular el sistema alrededor de algún punto dediseño (Regulación)Seguir una clase dada de señales de referencia (Se-guimiento)Reducir la respuesta ante perturbaciones (Rechazode perturbaciones)
-
8/17/2019 PI Control Modular Servosystem Feedback MS150
2/5
Existen diferentes tipos de controladores y técnicas gráfi-cas y anaĺıticas para hallarlos en tiempo continuo. Estastécnicas se pueden agrupar en tres categorı́as según subasamento [3]:
Lugar de las raı́cesRespuesta frecuencialFormulación de ecuaciones en espacio estados
Por su parte, [1] lista los siguientes tipos de controlado-res en tiempo continuo:
Controladores PIDCompensadores (Adelanto, Atraso, Adelanto-Atraso)Realimentación del Vector de Estado y Observado-resControladores de dos parámetros ( Model Matching)
En esta práctica se diseña un controlador PI, por loque en la siguiente subsección se estudia la familia decontroladores PID.
3.1. Controladores PID
Aunque los controladores PID pueden diseñarse actual-mente con técnicas relativamente nuevas como el lugar delas ráıces y el análisis de la respuesta frecuencial, éstostuvieron su inicio mucho antes, desarrollados tras una largaexperiencia de ensayo y error. Comenzando con realimen-tación proporcional simple, los ingenieros rápidamente sedieron cuenta que incorporando una acción integral podı́aeliminar el error en estado estacionario para ciertos tiposde entrada. Sin embargo, la respuesta transitoria por logeneral empeoraba, ası́ que tuvieron que incluir un términoanticipatorio basado en acción derivativa.
Control Proporcional P: cuando la señal de controles linealmente proporcional al error. La función detransferencia tiene la forma:
U (s)
E (s) = C (s) = Kp (1)
Por lo general, al aumentar el valor de Kp, el erroren estado estacionario disminuye pero el amortigua-miento también lo hace, por lo que la respuesta sehace muy oscilatoria para ser aceptable.Control Proporcional e Integral PI: añadir untérmino integral para obtener un efecto de autoajusteresulta en este tipo de controlador. En el dominio deltiempo, su ecuación es:
u(t) = Kp · e(t) + Ki ·
t
t0
e(τ )dτ (2)
En el de la frecuencia, su función de transferenciaes:
U (s)
E (s) = C (s) = Kp +
Ki
s (3)
Puede demostrarse anaĺıticamente que la introduc-ción del término integral permite el rechazo com-pleto de perturbaciones constantes a la salida de la
planta, por lo que el error en estado estacionario sehace cero. El controlador ahora es dinámico, y portanto, la dinámica del sistema también cambia. Parauna planta de segundo orden, no se puede controlarla posición de todos los polos del sistema en lazocerrado (tercer orden) manipulando tan solo las dosvariables del controlador Kp y Ki.
Control Proporcional, Integral y Derivativo PID:el último término en este tipo de controladores clási-co es el derivativo, que proporciona una respuestabrusca a señales que cambien repentinamente. Suecuación temporal es:
u(t) = Kp ·e(t) +Ki ·
t
t0
e(τ )dτ +Kd · de(t)
dt (4)
Su función de transferencia es:
U (s)
E (s) = C (s) = Kp +
Ki
s + Kd · s (5)
Para un sistema de segundo orden la introducción de
una nueva variable Kd proporciona libertad, al me-nos teóricamente, para posicionar las tres raı́ces delpolinomio caracterı́stico del sistema en lazo cerradoen cualquier lugar. En general, el término derivativose usa para mejorar la respuesta transitoria de lossistemas, por ejemplo, reducir el sobredisparo ydisminuir el tiempo de establecimiento.
A continuación se evalúa el sistema (Servosistema Mo-dular Feedback MS150) en lazo abierto y se determina untipo de controlador de la familia PID para cumplir ciertasespecificaciones.
4. Cálculos
En la práctica anterior se encontró la función de trans-ferencia 6 como modelo de la planta en lazo abierto.
G(s) = 25.7
s + 1.045 (6)
Como se puede observar tanto en el modelo como enla figura 1, el error en estado estacionario ante una entradaescalón es no nulo. De hecho, viene dado según la ecuación7.
ess = rss − yss = 1 − 25.7
1.045 = −23.59V (7)
Desea llevarse este error a cero voltios de modo que la
ssalida la planta siga referencias constantes.Por otra parte, la salida del sistema en lazo abierto tarda
1.045s en llegar al 63 % de su valor final. Podrı́a requerirsecomo especificación adicional disminuir este tiempo a 0.5 so menos.
Para cumplir con ambos requerimientos, se propone uti-lizar un controlador PI con la estructura dada en la funciónde transferencia 9
C (s) = K (s − z)
s (8)
-
8/17/2019 PI Control Modular Servosystem Feedback MS150
3/5
donde K es la constante de proporcionalidad, y z el cero delcontrolador. El polo en el origen asegura que en lazo cerradose tendrá error en estado estacionario nulo ante entradasescalón. Resta hallar K y z que permitan, por un lado,cumplir con el tiempo requerido y por el otro, mantener laseñal de control en el intervalo [0.15, 0.50], permitido porla planta.
Utilizando el lugar de las raı́ces de la planta y añadiendoel polo integrador y el cero en una posición conveniente, trasalgunos ensayos y un poco de experiencia, se encuentra quecon K = 0.09 y z = −1.1 se cumplen las especificacionesdadas. El controlador es, entonces
C (s) = 0.09(s + 1.1)
s (9)
En la figura 2 se muestra el lugar resultante y la posici ónde los polos (s1 = −2.2,s2 = −1.15) del sistema enlazo cerrado. Nótese que el efecto de los polos en estasposiciones es el de un sistema sobreamortiguado más rápidoque el de lazo abierto.
Para la implantación digital del controlador, se necesitaun modelo discreto del mismo. Utilizando discretización conretenedor de orden cero y un periodo T = 0.016s, se llegaal modelo discretizado 10.
C (z) = U (z)
E (z) =
0.09(z − 0.9824)
z − 1 (10)
Luego, multiplicando y dividiendo la ecuación anteriorpor z−1, se obtiene
U (z)
E (z) =
0.09(1 − 0.9824z−1)
1 − z−1 (11)
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por (1 −z−1)E (z), se llega a
U (z) − z−1U (z) = 0.09E (z) − 0.0884z−1E (z) (12)
Que puede transformarse al dominio del tiempo aplican-do las propiedades de la transformada Z y su inversa, comosigue
u(k) − u(k − 1) = 0.09e(k) − 0.0884 e(k − 1) (13)
Por último, al despejar u(k) de la ecuación anterior, se
obtiene la expresión 14.
u(k) = 0.09e(k) − 0.0884e(k − 1) + u(k + 1) (14)
Se expresa la salida actual del controlador u(k) enfunción del error actual e(k) e inmediato anterior e(k − 1)y de la salida inmediata anterior del mismo u(k − 1).
En la sección 6 se presenta el resultado de la simulacióne implantación en el sistema real del controlador hallado.
Figura 1. Salida del Sistema en Lazo Abierto ante Entrada Escalón Unitario
Figura 2. Lugar de las Raı́ces del Cotrolador y el Sistema
5. Metodologı́a
5.1. Dise ˜ no del Experimento
Se elige una entrada de referencia de 5 V que permane-cerá activa durante los primeros 7.5 s, a partir de los cualesse cambia su amplitud a 3 V. La tarjeta de adquisición ydistribución de datos Labjack U3-HV permitirá leer digital-mente la salida de la planta y escribir sobre la entrada de lamisma la señal analógica de control. Se guardará un registrode todos los valores leı́dos (salida de la planta), escritos (leyde control) y calculados (señal de error).
-
8/17/2019 PI Control Modular Servosystem Feedback MS150
4/5
-
8/17/2019 PI Control Modular Servosystem Feedback MS150
5/5
7. Conclusión
Se analizó el comportamiento en lazo abierto del Servo-sistema Modular Feedback MS150, obteniéndose que pre-senta error en estado estacionario en la salida respecto aseñales de referencia de tipo escalón y que su constante detiempo (el tiempo que tarda en llegar al 63 % del valor final)es de aproximadamente un segundo.
Se plantea diseñar un controlador para eliminar dichoerror y reducir la constante de tiempo a la mitad, 0.5 s. Seconcluye que un controlador de tipo PI serı́a adecuado. Elproceso de diseño se lleva a cabo evaluando el efecto de laposición del cero del controlador y la constante K en el lugarde las raı́ces de tiempo continuo de la planta y simulandola respuesta ante entradas de tipo escalón.
Una vez obtenido el controlador continuo, se discretizay expresa como una relación entre la señal de control y elvalor actual y anteriores de la señal de error y de la mismaseñal de control.
La implantación a través del computador es directa e
intuitiva. Se programa una rutina que lea la señal de salida dela planta y escriba sobre su entrada el resultado de calcularla ley de control. Se registra el valor de ambas señales,además de la señal de error resultante de restar la referenciade la salida de la planta. La interfaz entre el computadory la planta es facilitada por la tarjeta de adquisición ydistribución de datos Labjack U3-HV .
Los datos obtenidos de la experiencia se comparan conlas simulaciones correspondientes. Se logra cumplir conlas especificaciones propuestas al inicio: error en estadoestacionario nulo, constante de tiempo menor a la mitad delsistema en lazo abierto (0.43 s, exactamente), y magnitud dela señal de control en un intervalo acorde con la señal deentrada permitida por la planta.
Se constató, entonces, la posibilidad de modificar elcomportamiento de un sistema real a través del diseño encontinuo e implantación digital de un controlador segúnciertas especificaciones. Además, debe notarse que el con-trolador se diseñó en base al modelo de primer orden dela planta. Modelo que no es una representación completade ella, pero que es lo suficietemente cercano en términosde la ingenierı́a de control, como para hacer diseño a partirde él. Por último, gracias al fenómeno de cambio de com-portamiento de la planta cuando ha llevado cierto tiempoencendida, pudo verificarse que el controlador y la estructurade lazo cerrado con realimentación unitaria negativa sonsuficientemente robustos y mantienen el error en cero, a
pesar de que esto signifique un mayor esfuerzo de control(véase el análisis de la figura 5 a partir de los 7.5 s)
Referencias
[1] A. Patete y L. Leal, Control 3. Mérida-Venezuela: Universidad deLos Andes, 2009.
[2] C. Chen, Analog and Digital Control System Design: Transfer Fun-ction, State-Space, and Algebraic Methods, 6ta ed. Reino Unido:Oxford University Press, 2006.
[3] G. Franklin, J. D. Powell y A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 6ta ed. Upper Saddle River, EE.UU.: Pearson,2009.
[4] H.Jonathan y F. Emilio, Lecture #1: Feedback Control SystemsCambridge, EE.UU.: Massachusetts Institute of Technology, 2010Disponible en: http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/ 16-30-feedback-control-systems-fall-2010/lecture-notes/MIT16 30F10 lec01.pdf . Recuperado el 27/03/2016.