plan de superacion1 8º

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 PLAN DE SUPERACIÓN DE LOGROS PRIMER PERIODO GRADO OCTAVO Docente:  Samir Franco Hernández  Área: Matemáticas  Asignatura: ALGEBRA I.H:S: 3 Fecha de Publicación del Blog: Abril 26 Fecha de Entrega: Mayo 6 Fecha de Asesoría: Mayo 2 al 5 Fecha de sustentación: Mayo 9 al 13 ESTANDARES:  Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.  Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.  Identifico y util izo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.  Demuestra un comportamiento adecuado durante la clase que pe rmita el desarrollo óptimo de la misma.  Participa de las actividades planteadas en clase realizando los talleres propuestos. Criterios de Evaluación:  Asistir a la asesoría programada y orientada por el educador  Presentar el plan de trabajo completo y en los tiempos asignados p ara ello  Aprobar como mínimo el 60 % de la evaluación de superación de logros RESUMEN CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Números Naturales ( N )  N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} 1 2 3 4 5 6 7 8 9... 2. Números Enteros ( Z ) Z = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4... Ordenación de los Enteros 0 b a a  b  porque a está a la derech a de b Valor Absoluto de un número Entero Es el número natural que resulta al prescindir de su signo. |-98| = 98 Adición de Números Naturales Para sumar dos números enteros de ig ual signo se suman sus valores absolutos y al resultado, se le asigna el m ismo signo de los su mandos; pero si tienen diferente si gno, se restan sus valores absolutos y, al resultado, se le asigna el signo del sumando de mayor absoluto. Ejemplos: Resolver a) 8 + 34 = 42  b) (-43) + 21 = -22 c) 56 + (-32) = - 24 d) (-89) + ( -96) = - 185 Sustracción de números Enteros La diferencia entre dos números enteros es la suma del

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PLAN DE SUPERACIÓN DE LOGROS PRIMER PERIODOGRADO OCTAVO

Docente: Samir Franco Hernández  Área: Matemáticas  Asignatura: ALGEBRA I.H:S: 3 

Fecha de Publicación del Blog: Abril 26 Fecha de Entrega: Mayo 6 Fecha de Asesoría: Mayo 2 al 5  Fecha de sustentación: Mayo 9 al 13 

ESTANDARES:

  Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.  Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales

y de las relaciones y operaciones entre ellos.

  Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situacionesmatemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.  Demuestra un comportamiento adecuado durante la clase que permita el desarrollo óptimo de la

misma.  Participa de las actividades planteadas en clase realizando los talleres propuestos.

Criterios de Evaluación:

 Asistir a la asesoría programada y orientada por el educador Presentar el plan de trabajo completo y en los tiempos asignados para ello

 Aprobar como mínimo el 60 % de la evaluación de superación de logros

RESUMEN

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Números Naturales ( N )

 N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}

1 2 3 4 5 6 7 8 9...

2. Números Enteros ( Z )

Z = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

... -3 -2 -1 0 1 2 3 4...

Ordenación de los Enteros

0 b aa  b

 porque a está a la derecha de b

Valor Absoluto de un número Entero

Es el número natural que resulta al prescindir de su signo.Geométricamente el valor absoluto de un número entero aes la distancia entre a y 0 y se nota | a | . Ejemplos:

| 56 |= 56

|-98| = 98

Adición de Números Naturales

Para sumar dos números enteros de igual signo se sumansus valores absolutos y al resultado, se le asigna el mismosigno de los sumandos; pero si tienen diferente signo, serestan sus valores absolutos y, al resultado, se le asigna elsigno del sumando de mayor absoluto.

Ejemplos:

Resolver

a) 8 + 34 = 42 b) (-43) + 21 = -22c) 56 + (-32) = - 24d) (-89) + ( -96) = - 185

Sustracción de números Enteros

La diferencia entre dos números enteros es la suma del primer número con el opuesto del segundo.

a –  b= a + (-b)

Ejemplo de Aplicación

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 Resolver

a) 24 –  (-18) = 24 + (18) = 42 b) -36 –  (56) = -36 + ( -56) = -92c) – 85 –  (- 69) = - 85 + 69 = - 16d) 98 –  (79) = 98 + ( -79) = 9

Multiplicación y división de números enteros

El producto o el cociente de dos números enteros de igualsigno es un número entero positivo cuyo resultado es lamultiplicación o división de los valores absolutos dedichos números.

Ejemplo:

a) ( -45) . ( -4 ) = 180 b) (-72)  (- 9) = 8c) 120  24 = 5d) 34 x 7 = 238

El producto o el cociente de dos números enteros consignos diferentes es un número entero negativo cuyoresultado es la multiplicación o división de los valoresabsolutos de dichos números.

Ejemplo:

a) (-15) . 4 = -60 b) 17 . (-9) = -153c) (-45)  9 = -5d) 72  (-6) = -12

Ley de signos para la multiplicación y división denúmeros enteros

+ . + = +- . - = +- . + = -+ . - = -

NÚMEROS RACIONALESEl conjunto de los números racionales está formado porlos números de la forma a donde a y b son númerosentero y b  0 b

El conjunto de los números racionales se simboliza Q y sedetermina de la siguiente manera:

Q = { a / a, b  Z, b  0} b

Representación de racionales en la recta numérica

Recordemos además que si , , , el

número racional se puede considerar como el cocienteque se obtiene al dividir por ; en donde indica elnúmero de partes en que se divide la unidad y el númerode partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cadasegmento unidad en la recta numérica, podemosrepresentar los números racionales cuya representaciónfraccionaria tiene como denominador 2, como se muestraen el ejemplo siguiente.

Ejemplo 

Represente en la recta numérica los siguientes númerosracionales:

a.   b. c.

Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cadasegmento unidad en la recta, podemos representar losnúmeros racionales cuya representación fraccionaria tienecomo denominador 3, como se muestra en el ejemplosiguiente.

Ejemplo 

Represente en la recta numérica los siguientes númerosracionales:

a.  b. 

c. 

Solución:

Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier número racional en la rectanumérica.

Operaciones Básicas en el Conjunto de los númerosracionales

Adición y sustracción

a) Adición y sustracción de racionales con igualdenominador: la suma o resta de dos números racionalescon denominador común, es un número racional de igualdenominador cuyo numerador es la suma o resta de losnumeradores

 b) Adición y sustracción de números racionales condistinto denominador: para sumar o restar racionales condistinto denominador, se obtiene el mínimo común

múltiplo de los denominadores, luego se divide por cadadenominador y el resultado se multiplica por el numerador

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correspondiente, y por último se suman o se restan losrespectivos numeradores

Ejemplos

a) 9 + 7 - 3 = 9 + 7 - 3 = 1311 11 11 11 11

 b) 2 - 5 - 17 2 (4) - 5(2) - 17(3)= =

3 6 4 12

8 –  10 –  51 = - 63 = 2112 12 4

m.c.m ( 3, 6, 4 ) = 12

3 6 4 23 3 2 23 3 1 31 1

12 12 12= 4 = 2 = 3

3 6 4

Multiplicación y división

El producto de dos o más números racionales es otronúmero racional, cuyo numerador es el producto de losnumeradores y cuyo denominador es el producto de losdenominadores y luego se simplifican

El cociente entre dos números racionales es el productoentre el primer racional y el recíproco del segundo

Ejemplos de aplicación:

Resolver las siguientes operaciones

a) 5 7 = 5 ( -7) = -359 11 9 x 11 99

 b) 8   7 = 8 x 5 = 4013 5 13 x 7 91

Números Irracionales

Algunas expresiones decimales no pueden serrepresentadas cono números racionales de la forma a / b.

Ejemplos:

2 = 1,41421356... Es un números cuyas cifras decimalesademás de ser infinitas, no presentan ningún tipo de periodicidad

El conjunto de los números Irracionales se simboliza I, yesta formado por todas aquellas expresiones cuyas cifrasdecimales son infinitas no periódicas

Los números como: 3 = 1,732050...

 5 = 2,236067...

 7 = 2,645751... = 3,14159...

Ejemplos de aplicación

Con el fin de realizar una campaña publicitaria, ciertacompañía debe fabricar 10.000 volantes en la forma ymedida que se muestra a continuación:

¿Qué cantidad de papel se debe utilizar para fabricarcada volante?

Se calcula el área que se le va a recortar al cuadrado para determinar la figura del volante.

A= (12cm)2π = 144 cm2 (3,14)= 452,16 cm2 

Luego, se calcula la diferencia entre el área delcuadrado y el área de lo recortado para determinar la

figura del volante

Av = A cuadrado  –  A recortada 

Av = (24cm)2  –  (452,16 cm2)Av= 576 cm2  –  452,16 cm2 Av= 123,84 cm2 

Respuesta: El área del volante es de 123,84 cm2 

¿Cuál debe ser el costo de la totalidad de los volantes,

si el precio por centímetro cuadrado de papeles de $31,4?

Ct = (123,84 cm2)(31,4)(10.000) = 38’885.760 

Respuesta: El costo total de los 10.000 volantes es de$ 38’885.760 

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números Reales se simboliza con R yesta definido como la unión entre el conjunto de los

números Racionales y los números Irracionales: Es decir:

R = Q U I

Diagrama de Venn

I

Q

Z N

24 cm

12 cm

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 N c Z C Q C R

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 

Una expresión algebraica es aquella en la quese utilizan letras, números y signos deoperaciones.

Ejemplo 1.- Expresar el valor del perímetro y 

del área de un terreno rectangular.

Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metrosde ancho, obtendremos:

----------------Perímetro: 2x + 2y ; -------- ----Area: xy

Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que elsigno de la multiplicación acostumbra a no ponerse).

Otras expresiones algebraicas podrían ser:

Suma de cuadrados: a2 + b2

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2ySuma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a 

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por

número y se realiza la operación indicada se obtiene unnúmero que es el "valor numérico" de la expresiónalgebraica para los valores de las letras dados.

En el ejemplo 1, si el largo del terreno fueran 50 m ( a =50) y el ancho 30 m (b = 30), el valor numérico de:

Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m

Área = 50 · 30 = 1500 m2 

 Naturalmente debe observarse que el valor numérico deuna expresión algebraica no es único sino que depende delvalor que demos a las letras que intervienen en ella.

Antes veamos lo que es una expresión aritmética. Unaexpresión aritmética es una cadena de símbolos (númerosy signos de operación), que indican una cantidad finita deoperaciones básicas entre dichos números.

Las operaciones básicas son la suma, resta, multiplicacióny división.

Una expresión algebraica es una cadena de símbolosmatemáticos que indican una cantidad finita de

operaciones básicas entre funciones elementales, comoraíces, exponenciales, logaritmos, funcionestrigonométricas y también composiciones de dichasfunciones. Suena muy revuelto pero como ejemploveamos las siguientes tres expresiones: 

Son cantidades expresadas con letra que puedentomar valores dentro de un subconjunto de númerosreales. Casi siempre se utilizan las últimas letras delabecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

Son cantidades fijas expresadas con letra, casisiempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c, etc).

Son los números que aparecen multiplicando a lasvariables.

Son los superíndices que afectan a los diversostérminos de las expresiones.

Son ciertas partes que componen una expresiónalgebraica que en los polinomios se identifican muyfácilmente, pero no así en otras expresiones. Así queveremos lo que es un término, pero en polinomios.

Los polinomios resultan ser expresiones algebraicasmuy importantes y los definimos a continuación.

Un polinomio de grado n es una expresión algebraicade la forma:

Donde n es un número natural, las 's son númerosreales cualesquiera y . Se dice que es de gradon porque el exponente mas grande que aparece es n

(por eso se pidió la condición

) . A las 's seles llama coeficientes del polinomio.

A continuación veamos varios ejemplos de polinomios:

.......... ( 1 )

.............. ( 2 )

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En realidad sí aparecen, porque éste último polinomio lo podemos ver de un modo distinto:

Es por eso que el término correspondiente a la no seescribe.

Veremos qué es un término pero no en cualquier expresiónalgebraica, sino en un polinomio. Para hacerlo sencillotomemos el siguiente polinomio:

Términos son las partes del polinomio que no involucransumas (ni restas). El polinomio que tenemos arriba constade 4 términos, en el siguiente dibujo los encerramos en

cuadritos:

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Para su estudio las expresiones se clasifican en:

MONOMIOS:

Son todas aquellas expresiones algebraicas que posee un solo término algebraico.

- 5 x y z - 54 x² y² z w x y zx y 4 x y² z²

BINOMIOS:

Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de dos y solo dos términos algebraicos,separados por el signo más o menos.

- 5 x y + 6 z x - 54 x² - 5 y² 2 w - y

x - y - 4 y² - 2 z²TRINOMIOS:

Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de tres y solo tres términos algebraicos,separados por el signo más o menos.

- 5 x + 6 z - 3 x + y - 54 x² - 5 y² - 1 2 w + 3 x - y

x - y + z x² - 2 x - 7

POLINOMIOS:Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos o más términos algebraicos,separados por el signo más o menos.

- 5 y - z x + x  - x + x  - x - 5x² + x - 5 w - y

x - 3x + x - x + 3 4 y - 2 z

De ahora en adelante podremos llamar a todas las expresiones como polinomios a excepción de losmonomios y los nombres particulares los utilizaremos para casos específicos donde tengamos que reconocer

a alguna expresión en particular.

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GRADO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:

El grado de una expresión algebraica se define por el término que posea el mayor grado dentro de la expresiónalgebraica o polinomio, y el número de incógnitas de un polinomio es el número de literales que intervienen enel mismo.

- 5 x + 6 x - 7 x - 6 x + 5 5º. gradoy - 4 x y - x y - 3 x y - 3 x y 8º. gradoy z - 3 x y z - 5 x y z  - 4 x y z 14º. grado

- 5 x y - 4 x y   10º. grado

Orden de un polinomio

Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden:

Descendente, es decir, de mayor a menorAscendente, es decir, de menor a mayor.

POLINOMIO ORDEN3x -5x +8  Descendente

19-21x+34x2-36x3-191x4  Ascendente

Valor numérico

Valor numérico de expresiones simples

P r o c e d i m i e n t o 

1.  Se reemplaza cada letra por su valor numérico2.  Se efectúan las operaciones indicadas

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:

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Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo

Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismoexponente.

P r o c e d i m i e n t o 

Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el

mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal . 

Reducir: 

1.  x + 2 x. S o l u c i ó n :El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x.Y 1 + 2 = 3; 

   x + 2 x = 3 x. 

2.  8a + 9a S o l u c i ó n :El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a.Y 8 + 9 = 17;   8a + 9a = 17a.

3.  11b + 9b 

S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b.Y 11 + 9 = 20;   11b + 9a = 20b.

4.  -b - 5b. Solución:El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 1 y 5. 

La parte literal igual en todos los términos es b. Y 1 + 5 = 6; \ -b - 5b = -6b. 

5.  -8m - m Solución:El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 8 y 1. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 8 + 1 = 9; 

-8m - m = -9m. 

6.  -9m - 7m Solución:El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 9 y 7. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 9 + 7 = 16; \ -9m - 7m = -16m. 

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Reducción de dos términos semejantes dedistinto signo 

P r o c e d i m i e n t o 

Para reducir dos términos semejantes de distintosigno, se halla la diferencia entre los coeficientes delos términos, colocando antes de esta diferencia elsigno del coeficiente mayor (en valor absoluto) y acontinuación se escribe la parte literal. 

Nota: dos términos semejantes con igual coeficientey distinto signo se anulan. 

Reducir: 

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TALLER DE NIVELACION PRIMER PERIODO

 Nombre del Estudiante: ________________________________________ Grado: ________

1. Efectuar las siguientes operaciones:

a. -67 +45+78-98+54-89+12 =

b. 45  – { 15  – [24  – (11-23+45-32-15)]} =

2. Resolver las siguientes operaciones:

3. Resolver las siguientes operaciones.

a. -2 + 4-6+8-12-23-2+34 = b. 78-56+75-87-45+65= c. -45 (-12)=d. 5 x (-7) (-4) x 3=

e. 48 ÷ (-6)=f. (-5)4 =g. 73 =h. 5 √-32i. Log 10.000

 j. Log2 128=

4. Resolver:

a.  3 + 4 _ 9 + 7

8 3 2 6

5. Escribir V, si la afirmación es verdadera, o F sila afirmación es Falsa:

a. La suma de dos enteros positivos es unnúmero natural

b. La suma de un entero positivo y unonegativo es un número entero

c. El producto de un Racional por sí mismoes negativo

d. El producto de un racional negativo por uno

positivo es negativoe. El cociente de dos racionales negativos esnegativo 

6. Clasificar los polinomios en monomio binomio,trinomio o polinomios:

a. 3x -7b. 4m5n6 c. x2  – 5x +3d. 8a – 3b

e. 5m3

  – 3m2

 +11m -7

7. Hallar el grado absoluto y relativo de cadapolinomio:

a. 9x6  – 7x2 + 5x4 – 3x + 4x3  – x5 + 1

b. 14m6n -2m4 n5 4m8 n6 – 3m3n -mn

8. Ordenar los siguientes polinomios de formadescendente, con respecto a x; determinar sies un polinomio completo, hallar el polinomio

opuesto e identificar el término independiente:

a. 3x2y  – 4x5y2  – 2x4 y+101 +15xy  – 43x3y4 

b. 1 x3y  – 7 xy4 + 9 x2y5 + 8 x5y2 13 17 5 17

9. Escribir V si la afirmación es verdadera o F sies falsa:

a. El grado absoluto de un polinomio no puede ser

uno. ( )b. Si el grado absoluto de un polinomio es uno,

entonces el polinomio tiene una sola variable. ( )c. Si el grado absoluto de un término es dos, entonces

el polinomio tiene mínimo dos variables. ( )d. El grado relativo de una variable en un término

puede ser cero. ( )e. El grado absoluto de un polinomio se determina con

el mayor grados absoluto de los término ( )

10. Considera el siguiente polinomio 2a + 4a2  – 3y contesta:

a. ¿Cuáles son los coeficientes?b. ¿Cuál es el término independiente?c. ¿Cuántos términos tiene?d. ¿Cuál es su clasificación de acuerdo alnúmero de términos que tiene?e. Expresa el polinomio dado en orden

ascendente.f. Expresa el polinomio dado en orden

descendente.g. ¿Cuál es el grado del polinomio?

h. ¿Contiene términos semejantes?i. Evalúa el polinomio para cuando a = -1.

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11. Encontrar una expresión algebraica paradeterminar el área de la región sombreada:

a.

b.

12. Reduce los términos semejantes en cada unade las expresiones siguientes:

3m

4n

6n

2m

A= 6x2y

8x 

3y