pokrokymatematiky,fyzikyaastronomie - dml-cz · (xii) dobrá metamatematika (nap. pokroky v...

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Terrence TaoCo je dobrá matematika?

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 1, 22–35

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/141837

Terms of use:© Jednota českých matematiků a fyziků, 2008

Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitizeddocuments strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain theseTerms of use.

This document has been digitized, optimized for electronic delivery andstamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech DigitalMathematics Library http://dml.cz

http://dml.cz/dmlcz/141837

http://dml.cz

Co je dobrá matematika?Terence Tao, Los Angeles

Abstrakt: Článek přináší některé mé osobní myšlenky a názory na to, co je „dobrámatematika�, a zda bychom se měli snažit definovat tento pojem přesněji. Jako příkladje uveden příběh Szemerédiovy věty.

1. Mnoho pohledů na matematickou kvalitu

Všichni souhlasíme, že matematici by se měli snažit vytvářet dobrou matematiku.Ale jak definovat „dobrou matematiku� a měli bychom se do toho vůbec pustit?Podívejme se nejprve na první otázku. Téměř okamžitě si uvědomíme, že existují různédruhy matematiky, které by mohly být označeny jako „dobré�. Například, „dobroumatematiku� bychom mohli charakterizovat jako (bez ohledu na pořadí):

(i) Dobré matematické řešení problémů (např. významný průlom v řešení důležitéhomatematického problému).

(ii) Dobrá matematická technika (např. mistrovské použití již existujících metodnebo rozvoj nových prostředků).

(iii) Dobrá matematická teorie (např. systém pojmů nebo volba označení, kterésystematicky sjednocuje a zobecňuje již existující výsledky).

(iv) Dobrý matematický vhled (např. významné zjednodušení pojmů nebo nalezenísjednocujícího principu, heuristiky, analogie nebo tématu).

(v) Dobrý matematický výsledek (např. objev neočekávaného a fascinujícího novéhomatematického jevu, souvislosti nebo protipříkladu).

(vi) Dobrá matematická aplikace (např. na důležité problémy fyziky, strojírenství,počítačové vědy, statistiky apod. nebo aplikace jedné oblasti matematiky najinou).

(vii) Dobrý matematický výklad (např. podrobné a přehledné shrnutí aktuálníhomatematického tématu nebo jasný a dobře motivovaný argument).

(viii) Dobrá didaktika matematiky (např. přednáška nebo styl psaní, který umožňujeostatním, aby se učili a tvořili v matematice efektivněji, nebo příspěvky kevzdělávání v matematice).

(ix) Dobrá matematická vize (např. dlouhodobý a plodný program nebo soubordomněnek).

Terence Tao, Department of Mathematics, University of California, Los Angeles, Cali-fornia 90095-1555. E-mail: [email protected]

Z anglického originálu: What is good mathematics? Bulletin (New Series) of the AmericalMathematical Society, vol. 44, No. 4, October 2007, 623–634, přeložila Naďa Stehlíková.c© 2007 American Mathematical Society

22 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, rocnık 53 (2008), c. 1

Strana 22

(x) Dobrý matematický vkus (např. výzkumný cíl, který je sám o sobě zajímavýa má dopad na důležitá témata, oblasti či otázky).

(xi) Dobré matematické „vztahy s veřejností� (např. účinné předvedení matematic-kého výsledku pro nematematiky nebo z jedné oblasti matematiky do jiné).

(xii) Dobrá metamatematika (např. pokroky v základech matematiky, její filozofii,historii, ve vědecké práci či způsobech práce v matematice).

(xiii) Rigorózní matematika (se všemi podrobnostmi správně a pečlivě popsanými).(xiv) Krásná matematika (např. úžasné Ramanujanovy identity, výsledky, které lze

jednoduše (a pěkně) vyslovit, ale obtížně dokázat).(xv) Elegantní matematika (např. dosažení těžkého výsledku s minimálním úsilím).(xvi) Tvořivá matematika (např. zcela nová a originální technika, hledisko nebo typ

výsledku).(xvii) Užitečná matematika (např. lemma nebo metoda, která se bude v budoucnu

v matematice opakovaně používat).(xviii) Silná matematika (např. výrazný výsledek, který odpovídá známým protipří-

kladům, nebo výsledek, který odvozuje neočekávaně silné tvrzení ze zdánlivěslabého předpokladu).

(xix) Hluboká matematika (např. výsledek, který je zjevně netriviální, např. zachycenísotva patrného jevu, který je mimo dosah jednodušších prostředků).

(xx) Intuitivní matematika (např. argument, který lze přirozeně a lehce vizualizovat).(xxi) Definitivní matematika (např. klasifikace všech objektů určitého typu, konečné

slovo o matematickém tématu).(xxii) atd. atd.1)

Jak ukazuje tento seznam, pojem matematické kvality má hodně dimenzí achybí mu zřejmé uspořádání.2) Věřím, že tomu tak je proto, že matematika samaje komplexní, má mnoho rozměrů a vyvíjí se neočekávanými a adaptivními způsoby.Každá z výše zmíněných kvalit představuje jiný způsob, jímž my jako komunitazvyšujeme naše porozumění a použití oboru. Zdá se, že neexistuje všeobecný souhlas,co se týče relativní důležitosti či váhy každé z výše uvedených kvalit. To je částečnědáno taktickými důvody — oblast matematiky v určitém stádiu vývoje může býtschůdnější pro jeden pohled spíše než pro jiný. Částečně jsou zde také kulturní dů-vody — jakákoli oblast nebo škola matematiky má tendenci přitahovat matematikypodobného smýšlení, kteří dávají přednost podobným pohledům na obor. Také toodráží rozmanitost matematických schopností. Různí matematici vynikají v různýchoblastech matematiky a hodí se tak k různým typům matematické práce. (Viz také[12], kde je podobná diskuse.)

Věřím, že tato rozmanitá a mnohavrstevná povaha „dobré matematiky� je promatematiku jako celek zdravá, protože nám umožňuje věnovat se mnoha různým

1) Tento seznam nemá být vyčerpávající. Zejména se soustřeďuje na ten druh matematiky,který lze nalézt v matematických odborných článcích spíše než ve škole, učebnicích nebočláncích v disciplínách blízkých matematice typu přírodních věd.

2) Zejména stojí zato upozornit, že matematická přesnost, která je vysoce důležitá, jejen jednou částí toho, co určuje dobrou matematiku.

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, rocnık 53 (2008), c. 1 23

Strana 23

přístupům k oboru a využívat rozličných typů matematického talentu pro společný cílvětšího pokroku v matematice a jejího porozumění. I když je každý z výše uvedenýchatributů v matematice obecně přijímán jako žádoucí, může oboru škodit, pokudse rozhodneme pěstovat jen jeden nebo dva z nich na úkor ostatních. Podívejme senapříklad na následující hypotetický (a trochu nadnesený) scénář.

• Uvažovaná oblast matematiky je stále vybroušenější a vyumělkovanější. Její jed-notlivé výsledky se zobecňují a vylepšují jen kvůli nim samým, ale oblast jakocelek se ubírá bezcílně bez nějakého určitého směru nebo pocitu pokroku.

• Oblast je přeplněna mnoha ohromujícími domněnkami, ale bez naděje na rigoróznírozvoj alespoň jediné z nich.

• V oblasti se používají zejména ad hoc metody pro řešení souboru problémů, kterénemají žádné jednotící téma, vztah nebo účel.

• Oblast je příliš konzervativní a teoretická a neustále předělává a sjednocuje před-chozí výsledky do stále techničtějších formálních systémů, které však nepřinášejížádný vzrušující pokrok.

• Oblast uctívá klasické výsledky a neustále vytváří jejich kratší, jednodušší a ele-gantnější důkazy, ale nepřináší žádné skutečně originální a nové výsledky nadrámec klasické literatury.

V každé z těchto tříd prokazuje matematika jako obor hodně aktivity a krátkodo-bého pokroku, ale z dlouhodobého hlediska riskuje pokles své důležitosti a nezdar přizískávání mladších matematiků pro obor. Naštěstí je pro oblast matematiky obtížnétímto způsobem stagnovat, protože je neustále vyzývána a znovu oživována svýmivztahy k jiným oblastem matematiky (nebo blízkým vědám) a tím, že je konfron-tována s mnoha typy „dobré matematiky�, k nimž má respekt. Tyto samoopravnémechanismy pomáhají udržovat matematiku v rovnováze, jednotě, produktivitě aplnou života.

Podívejme se teď na další otázku vyslovenou výše, a sice, zda bychom se vůbecměli snažit najít definici „dobré matematiky�. Riskujeme při tom dojem namyšlenostia přílišného sebevědomí. Konkrétně můžeme přehlédnout exotické příklady skutečnéhomatematického pokroku, protože spadají mimo široce přijímanou definici3) „dobrématematiky�. Na druhé straně existuje také opačné nebezpečí, a sice v tom, že všechnypřístupy k matematice jsou stejně přijatelné a mají nárok na stejné zdroje4) pro jakou-koli oblast matematiky nebo že všechny příspěvky k matematice jsou stejně důležité.Takové názory si sice zaslouží obdiv pro svůj idealismus, ale vysávají z matematiky jejísmysl pro směr a účel a mohou také vést k méně ideálnímu přidělování matematických

3) S tím spojená obtíž spočívá v tom, že kromě pozoruhodné výjimky matematické přes-nosti většina ostatních výše uvedených kvalit je poněkud subjektivní a obsahuje neodmysli-telnou nepřesnost nebo nejistotu. Děkuji Gil Kalaiovi za zdůraznění tohoto aspektu.

4) Příkladem vzácných zdrojů jsou peníze, čas, pozornost, talent a stránky ve špičkovýchčasopisech.


Strana 24

zdrojů.5) Skutečnost je někde uprostřed. Pro každou oblast matematiky ukáží jejíexistující výsledky, folklór, intuice a zkušenosti (či jejich nedostatek), které typypřístupů v ní mohou být pravděpodobně úspěšné a zaslouží si tedy většinu zdrojůa které jsou spíše spekulativní a zasluhují si pozornost jen několika svobodomyslnýchmatematiků jen proto, aby se využily všechny možnosti. Například ve vyzrálýcha dobře rozvinutých oblastech má smysl sledovat systematické programy a vyvíjetobecné teorie vysoce přesným způsobem, konzervativně používat vyzkoušené metodya prokázané intuice, zatímco v novějších a méně etablovaných oblastech se může vícezdůraznit tvorba a řešení hypotéz, experimentování s různými přístupy a spolehnoutse do určité míry na nepřesné heuristické metody a analogie. Z taktického hlediska jetedy smysluplné dosáhnout alespoň částečné (ale vyvíjející se) shody v rámci každéoblasti, které kvality matematického pokroku si nejvíce ceníme, abychom mohli oblastrozvinout a podporovat ji co nejúčinněji v každém stádiu jejího vývoje. Napříkladjedna oblast může více vyžadovat řešení naléhavých problémů, zatímco jiná oblastse může domáhat teoretického rámce pro organizaci změti existujících výsledků nebovelkolepého programu nebo série domněnek, které by podnítily nové výsledky. Jiné ob-lasti by měly velký užitek z nových a jednodušších důkazů klíčových vět, zatímco ještědalší oblasti mohou vyžadovat dobrou publicitu a srozumitelný úvod do předmětu,aby přilákaly více aktivity a zájmu. Tedy určení toho, co tvoří dobrou matematikuv dané oblasti, může a mělo by záležet do velké míry na stavu oblasti samé. Mělo byjít o určení, které je neustále vylepšováno a diskutováno jak uvnitř oblasti, tak meziexterními pozorovateli. Jak jsem zmínil již dříve, je docela možné, že shoda ohlednětoho, jak by se měla oblast vyvíjet, povede k nerovnováze v rámci dané oblasti, pokudnení včas objevena a napravena.

Z výše řečeného se může zdát, že problematika ohodnocení matematické kvality jesice důležitá, ale je také beznadějně komplikovaná zejména proto, že mnoho dobrýchmatematických výsledků může získat vysoké skóre z některých již uvedených kvalit,ale ne z jiných. Navíc mnoho z těchto kvalit je subjektivních a dají se přesně změřit ažzpětně. Nicméně je pozoruhodné,6) že dobrá matematika v jednom z výše uvedenýchsmyslů často vede k dobrým pracím z matematiky v mnoha dalších ohledech, cožnás opravňuje k opatrnému závěru, že nakonec snad existuje univerzální pohled nadobrou matematiku a všechny nahoře uvedené indikátory představují odlišné cestyk získání nových matematických výsledků nebo rozdílná stádia či aspekty rozvojematematického příběhu.

5) Jiné řešení tohoto problému spočívá ve využití faktu, že matematické zdroje mají takévíce rozměrů. Například můžeme udělovat ceny za výklad, kreativitu apod. či mít různéčasopisy věnované různým typům výsledků. Děkuji Gil Kalaiovi za tuto poznámku.

6) Tento jev je také trochu spojen se „zázračnou účinností matematiky�, kterou pozorovalWigner [38].


Strana 25

2. Ilustrace — Szemerédiova věta

Teď přejdeme od obecného ke konkrétnímu a budeme ilustrovat jev popsaný v předcho-zím odstavci historií a kontextem Szemerédiovy věty [32] — krásného a oslavovanéhovýsledku, který tvrdí, že každá podmnožina přirozených čísel kladné horní hustoty7)nutně obsahuje libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti. Vyhnu se všem technickýmdetailům. Čtenáře odkazuji na [33] a tam uvedené odkazy.

Existuje několik přirozených míst, odkud začít tento příběh. Já začnu Ramseyovouvětou [23], která říká, že jakýkoli dostatečně velký úplný graf obarvený konečně mnohabarvami obsahuje velké monochromatické úplné podgrafy. (Např. mějme libovolnýchšest lidí. Buď se tři budou navzájem znát, nebo budou jeden pro druhého cizí, zapředpokladu ovšem, že „s někým se znát� je dobře definovaný a symetrický vztah.)Tento výsledek má sice jednoduchý důkaz (neobsahující nic víc než několikeré použitíDirichletova přihrádkového principu), avšak představoval objev nového jevu a vytvořilnový druh matematického výsledku: věty Ramseyova typu, z nichž každá je jinouformalizací tohoto nově získaného vhledu v matematice, a sice že úplný chaos jenemožný.

Jedna z prvních vět Ramseyova typu (která vlastně předchází Ramseyovu větuo několik let) byla van der Waerdenova věta [37]: Mějme libovolné konečné obar-vení přirozených čísel. Pak alespoň jedna z barevných tříd musí obsahovat libovolnědlouhé aritmetické posloupnosti. Vysoce rekurzivní důkaz van der Waerdena byl velmielegantní, ale měl nevýhodu, že nabízel neuvěřitelně hrubé kvantitativní odhady provýskyt první aritmetické posloupnosti dané délky. Odhad vskutku zahrnoval Acker-mannovu funkci této délky a počtu barev. Erdos a Turán [4] měli dobrou matematickouintuici a této kvantitativní otázce se dále věnovali,8) protože byli navíc motivovánitouhou pokročit v řešení otázky (tehdy na úrovni domněnky), zda prvočísla obsahujílibovolně dlouhé posloupnosti. Potom předložili několik silných domněnek, z nichžjedna se stala Szemerédiho větou. Další bylo krásné, ale (stále otevřené) silnější tvrzení,že jakákoli podmnožina přirozených čísel, jejichž převrácená čísla tvoří řadu, která neníabsolutně konvergentní, obsahuje libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti.

První pokrok týkající se těchto domněnek přinesla série protipříkladů, která vrcho-lila v Behrendově elegantní konstrukci [1] „středně řídké� množiny9) (jejíž hustotav {1, . . . , N} je asymptoticky větší než N−ε pro libovolné dané ε > 0) bez aritmetic-kých posloupností délky 3. Tato konstrukce vyloučila nejambicióznější z Erdosových--Turánových domněnek (která předpokládala, že polynomiálně řídké množiny10) obsa-

7) Horní hustota podmnožiny M ⊂ N se definuje jako lim supn→∞|M(n)|

n, kde |M(n)|

označuje počet prvků množiny M(n) = {m ∈ M | m � n}. (Pozn. red.)8) Erdos se také věnoval otázce kvantitativních odhadů pro původní Ramseyovu větu, což

vedlo kromě jiného k nalezení nesmírně důležité pravděpodobnostní metody v kombinatorice,ale to je historie sama o sobě, jíž se zde nemůžeme věnovat.

9) angl. moderately sparse set10) angl. polynomially sparse set


Strana 26

hují mnoho aritmetických posloupností), a tím také vyloučila podstatnou třídu elemen-tárních přístupů k těmto problémům (např. ty, které jsou založeny na nerovnostech,jako např. Cauchyova-Schwarzova nebo Holderova nerovnost). I když tyto příkladynevyřešily problém úplně, ukázaly, že pokud platí Erdosovy-Turánovy domněnky,budou nutně mít netriviální (a tak zřejmě zajímavý) důkaz.

Další velký pokrok byl dílem Rotha [27], který použil Hardyho-Littlewoodovu kruž-nicovou metodu11) spolu s novou metodou opírající se o přírůstek hustoty krásněelegantním způsobem a vytvořil tak Rothovu větu: Každá množina přirozených číselkladné hustoty obsahuje nekonečně mnoho aritmetických posloupností délky 3. Bylopak přirozené zkusit rozšířit Rothovy metody na delší posloupnosti. Roth a řadadalších se o to po mnoho let pokoušela, ale bez úspěchu. Důvod neúspěchu nebylzcela pochopen, dokud se mnohem později neobjevila Gowersova práce. Vyžadovaloto ohromný talent Endre Szemerédiho [31], [32], který se vrátil ke zcela kombina-torickým metodám (konkrétně posunul metodu opírající se o přírůstek hustoty napozoruhodné nové úrovně technické složitosti), aby se Rothova věta rozšířila nejdřívena posloupnosti délky čtyři12) a pak na posloupnosti libovolné délky, čímž vznikla jehoslavná věta. Szemerédiův důkaz byl virtuózním a technicky velmi obtížným kouskem apřinesl mnoho nových myšlenek a technik, z nichž nejdůležitější byl nový způsob, jaknahlížet na extrémně velké grafy, a sice aproximovat je modely ohraničené složitosti.Tento výsledek, slavné a velmi užitečné Szemerédiovo lemma o regularitě, si zasloužípozornost v mnoha ohledech. Jak bylo řečeno výše, přineslo zcela nový vhled, cose týče struktury velkých grafů (který je teď v moderním jazyce považován za větuo struktuře stejně tak jako za větu o kompaktnosti pro takové grafy), podalo novoudůkazovou techniku (metodu přírůstku energie13)), která se později v tomto příběhuukáže jako klíčová, a také vedlo k neuvěřitelně velkému počtu neočekávaných aplikací,od teorie grafů přes testování vlastností až k aditivní kombinatorice. Úplný příběhtohoto lemmatu je bohužel příliš dlouhý, aby zde mohl být vyprávěn.

Zatímco Szemerédiův úspěch je nepochybně zlatý hřeb tohoto konkrétního příběhu,nešlo v něm v žádném případě o poslední slovo na dané téma. Szemerédiův důkaz jehověty, i když byl elementární, byl pozoruhodně spletitý a ne lehce pochopitelný. Takéne zcela vyřešil původní otázky, které motivovaly Erdose a Turána, protože důkaz sámvyužíval van der Waerdenovy věty ve dvou klíčových kritických bodech, a tak nepřineslžádné vylepšené kvantitativní odhady. Furstenberg pak prokázal matematický cit,když hledal zcela odlišný (a vysoce neelementární14)) důkaz, založený na analogii mezi

11) Historie kružnicové metody je další velký příběh, který zde nemůžeme podrobnějipopsat. Postačí však říci, že tato metoda je (v moderním jazyce) součástí současných stan-dardních postupů a že Fourierova analýza je důležitým nástrojem také pro řešení problémův aditivní kombinatorice.

12) Krátce poté byl Roth [28] schopen zkombinovat některé ze Szemerédiových myšlenekse svou vlastní Fourierovou analytickou metodou a vytvořil smíšený důkaz Szemerédiovy větypro posloupnosti délky 4.

13) angl. energy increment method14) Některé verze Furstenbergova argumentu se například silně opírají o axiom výběru,

i když ho můžeme také formulovat bez axiomu výběru.


Strana 27

kombinatorickou teorií čísel a ergodickou teorií, který brzy formalizoval jako velmi uži-tečný Furstenbergův princip korespondence. Z tohoto principu15) okamžitě vyvodíme,že Szemerédiova věta je ekvivalentní větě o vícenásobných rekurencích pro systémyzachovávající míru. Pak se přirozeně tato věta (teď známá jako Furstenbergova větao rekurenci) začala dokazovat přímo metodami ergodické teorie, konkrétně použitímrůzných klasifikací a strukturálních rozkladů (např. ergodický rozklad), které jsou protakové systémy k dispozici. Furstenberg vskutku brzy vytvořil Furstenbergovu větuo struktuře, která popisuje libovolný systém zachovávající míru jako slabě smíšenérozšíření systému kompaktních rozšíření, a s pomocí této věty a několika dalšíchargumentů (včetně varianty van der Waerdenova argumentu) byl schopen vytvořitvětu o vícenásobných rekurencích, a tak podat nový důkaz Szemerédiovy věty. Stojítaké za zmínku, že Furstenberg napsal výbornou knihu o tomto a podobných tématech[6], která systematicky formalizuje základní teorii a současně výrazně přispívá k růstua dalšímu vývoji v této oblasti.

Furstenberg a jeho spoluautoři si pak uvědomili, že tato nová metoda je potenciálněvelmi účinná a mohla by se využít pro tvorbu mnoha dalších typů vět o reku-renci, které pak (přes princip korespondence) povedou k mnoha vysoce netriviálnímkombinatorickým větám. Furstenberg, Katznelson a další sledovali tuto myšlenku azískali mnoho variant a zobecnění Szemerédiovy věty, např. různé varianty ve vyššíchdimenzích, a dokonce vytvořili hustotní verzi Halesovy-Jewettovy věty [18] (což jevelmi účinné a abstraktní zobecnění van der Waerdenovy věty). Dokonce ani dnes neníznám „elementární� důkaz mnoha výsledků získaných těmito konečnými technikamiergodické teorie, což ukazuje na moc této metody. Navíc jako cenný vedlejší produkttěchto snah bylo získáno mnohem hlubší porozumění strukturální klasifikaci systémůzachovávajících míru. Konkrétně bylo zjištěno, že v mnoha typech problému reku-rence jsou vlastnosti asymptotické rekurence libovolného systému téměř úplně řízenyzvláštním faktorem tohoto systému, který je znám jako (minimální) charakteristickýfaktor systému.16) Určení přesné povahy tohoto charakteristického faktoru pro různétypy rekurence se pak stalo hlavním předmětem studia, protože se zjistilo, že topovede k přesnější informaci o limitujícím chování (konkrétně to ukáže, že určitéasymptotické výrazy spojené s vícenásobnými rekurencemi vlastně konvergují k limitě,což byla otevřená otázka z Furstenbergových původních argumentů). Furstenbergovya Weissovy protipříklady stejně jako výsledky Conzeho a Lesigneho nakonec vedlyk závěru, že tyto charakteristické faktory by se měly dát popsat velmi speciálním(algebraickým) typem systémů zachovávajících míru, konkrétně nilpotentními systémyspojenými s nilpotentními grupami. Tyto závěry kulminovaly přesnými a pečlivýmipopisy těchto faktorů v technicky působivém článku Hosta a Kraové [20] (a následnětaké Zieglerové [39]), který mimo jiné vyřešil otázku zmíněnou výše a týkající sekonvergence asymptotických průměrů vícenásobné rekurence. Ústřední role těchto

15) Existuje také podobný princip korespondence, který spojuje van der Waerdenovu větus větou vícenásobných rekurencí pro topologické dynamické systémy. To vede k fascinujícímupříběhu topologické dynamiky, který zde kvůli nedostatku místa nemůžeme popsat.

16) Raným příkladem je von Neumannova ergodická věta o střední hodnotě.


Strana 28

charakteristických faktorů ukazovala poměrně přesně na dichotomii mezi strukturou(reprezentovanou zde nilpotentními systémy) a náhodností (která je zachycena určitýmtechnickým typem „smíšené vlastnosti�) a vedla k poznatku, že právě tato dichotomieve skutečnosti tvoří základ Szemerédiovy věty a příbuzných vět a dává jim sílu. Dalšímrysem Hostovy-Kraové analýzy, jež zaslouží zmínku, je nápadný výskyt průměrůspojovaných s „krychlemi� a „rovnoběžnostěny�, které se z mnoha důvodů ukazují jakopřístupnější analýze než průměry vícenásobných rekurencí spojované s aritmetickýmiposloupnostmi.

Paralelně s tímto vývojem v oblasti ergodické teorie se jiní matematici snažiliporozumět, znovu dokázat a vylepšit Szemerédiovu větu jinými způsoby. Důležitýprůlom provedli Ruzsa a Szemerédi [29], když použili Szemerédiovo lemma o regularitě,zmíněné výše, a vytvořili řadu výsledků v teorii grafů včetně toho, který je dnes známjako lemma o odstranění trojúhelníka z grafu. Toto lemma zhruba říká, že graf, kterýobsahuje malý počet trojúhelníků, se jich může zbavit odejmutím překvapivě maléhopočtu hran. Pak si všimli, že Behrendův příklad zmíněný výše dává jistá omezenítýkající se kvantitativních odhadů v tomto lemmatu, konkrétně že vylučuje mnohotříd elementárních přístupů k tomuto lemmatu (protože takové přístupy typicky dávajíodhady polynomiálního typu). Všechny dosud známé důkazy lemmatu o odstraněnítrojúhelníka skutečně využívají nějaké varianty lemmatu o regularitě. Pokud použi-jeme toto spojení opačným způsobem, můžeme si všimnout, že z lemmatu o odstraněnítrojúhelníka vlastně vyplývá Rothova věta o posloupnostech délky 3. Tento objevpoprvé otevřel možnost, že věty Szemerédiova typu by mohly být dokázány čistětechnikami teorie grafů, čímž se téměř úplně vynechá aditivní struktura problému.(Poznamenejme, že přístup ergodické teorie tuto strukturu zachoval pod maskoupůsobení operátoru posunutí na systém. Také Szemerédiův původní důkaz je jenčástečně založen na teorii grafů, protože na mnoha různých místech využívá aditivnístrukturu posloupností.) Nicméně trvalo nějaký čas, než se zjistilo, že metoda teoriegrafů, podobně jako Fourierova analytická metoda před ní, je do značné míry omezenana zjišťování vzorů „nízké složitosti� jako trojúhelníky nebo posloupnosti délky 3 a žezjištění posloupností větší délky by vyžadovalo značně obtížnější teorii hypergrafů.Toto zjištění motivovalo program (jehož průkopníky byli Frank a Rodl) na nalezeníuspokojivé analogie lemmatu o regularitě pro hypergrafy, které by bylo dostatečněsilné, aby mělo podobné důsledky jako Szemerédiova věta (stejně jako množství varianta zobecnění). To se pak ukázalo jako překvapivě ožehavý úkol, zejména v nutnostipečlivě vytvořit hierarchii17) parametrů, které se v takové regularizaci objevují, abydominovaly jeden druhému ve správném pořadí. Konečné verze lemmatu o regularitěa s ním spojená „lemmata o počítání�18), z nichž bychom mohli vyvodit Szemerédiovuvětu, se skutečně objevily poměrně nedávno ([22], [24], [25], [26], [14], . . . ). Za zmínkutaké stojí velmi názorný Gowersův protipříklad [10], který ukazuje, že kvantitativní

17) Zdá se, že tato hierarchie je spojena s množstvím rozšíření, na které narazil Furstenberg,když se podobně snažil „regularizovat� systém zachovávající míru, i když přesné spojení jev současnosti stále ještě málo chápáno.

18) angl. counting lemmas


Strana 29

odhady v původním lemmatu o regularitě musí být alespoň typu iterované exponen-ciály, takže se znovu ukazuje netriviální povaha (a možnosti) tohoto lemmatu.

Fourierův analytický přístup k Szemerédiově větě, který příliš nepokročil od dobyRotha, nakonec vyřešil Gowers [11], [13]. Podobně jako u ostatních přístupů začínátento přístup vytvořením dichotomie na množinách přirozených čísel, tedy že jsouv určitém smyslu buď strukturované, nebo pseudonáhodné. Příslušný pojem strukturyzde vytvořil Roth — strukturované množiny mají obsahovat přírůstek hustoty nastředně dlouhých aritmetických posloupnostech — ale správná charakteristika pseu-donáhodnosti nebo „rovnoměrnosti� byla méně jasná. Gowers vytvořil příklad (veskutečnosti úzce spojený s příklady Furstenberga a Gowerse zmíněnými dříve), kterýukázal, že charakteristiky pseudonáhodnosti založené na Fourierovi jsou pro řízeníposloupností délky čtyři a více nedostatečné, a pak zavedl jiný pojem rovnoměrnosti(velmi úzce spojený s krychlovými průměry Hosta a Kraové a také s určitými pojmyregularity hypergrafu), který postačoval. Zbývalo stanovit kvantitativní a přesnoupodobu dichotomie. Ukázalo se, že to je překvapivě obtížné (zejména díky omezenévyužitelnosti Fourierovy transformace v tomto kontextu) a v mnoha ohledech po-dobné snahám Hosta a Kraové a také Zieglerové dodat charakteristickým faktorůmalgebraickou strukturu nilpotentních systémů. Nicméně spojením Fourierových analy-tických nástrojů a zásadních výsledků aditivní kombinatoriky jako Freimanovy větya Balogovy-Szemerédiovy věty (jejichž historie je také zajímavá, viz např. [35]), spolus několika novými kombinatorickými a pravděpodobnostními metodami toho Gowersdosáhl nevšední cestou a zejména získal pozoruhodně silné kvantitativní odhady Sze-merédiovy věty a van der Waerdenovy věty.19)

Shrneme-li dosud řečené, vidíme, že vznikly čtyři paralelní důkazy Szemerédiovyvěty: jeden kombinatorický, jeden v ergodické teorii, jeden v teorii hypergrafů a jedenpomocí Fourierovy analýzy a aditivní kombinatoriky. I s tolika důkazy zůstával pocit,že naše porozumění tomuto výsledku není úplné; například žádný z přístupů nebyldostatečně silný, aby zjistil aritmetické posloupnosti v množině prvočísel, zejména díkyřídkosti posloupnosti prvočísel. (Nicméně lze využít Fourierovy metody, či přesnějikružnicové metody Hardyho-Littlewooda-Vinogradova, pro nalezení nekonečně mnohaposloupností délky tři v množině prvočísel [36] a mnohem obtížněji pak částečněřešit i posloupnosti délky čtyři [19].) Avšak Green využil myšlenek teorie restrikcí20)v harmonické analýze (což je další fascinující příběh, který zde nebudeme rozvádět)[15] a choval se k prvočíslům, „jako by� šlo o hustou množinu, a došel k analogiiRothovy věty pro husté podmnožiny prvočísel. To otevřelo velmi zajímavou možnostrelativní Szemerédiovy věty, která umožňuje zjistit aritmetické posloupnosti v hustýchpodmnožinách i u jiných množin než množin přirozených čísel, například v hustýchpodmnožinách množiny prvočísel. Vskutku, odpovídající relativní Rothova věta pro

19) Výjimečně tvořivý důkaz van der Waerdenovy věty od Shelaha [30] stojí také zazmínku. Tento důkaz držel předchozí rekord pro nejlepší konstanty této věty. MyšlenkyShelahova důkazu ještě nebyly úspěšně včleněny mezi ostatní poznatky, ale očekávám, žese tak v budoucnu stane.

20) angl. restriction theory


Strana 30

husté podmnožiny poměrně řídkých náhodných množin se již objevila v literatuřev teorii grafů [21].

Společně s Benem Greenem21) jsme začali řešit úkol relativizovat Fourierovy ana-lytické a kombinatorické přístupy vyvinuté Gowersem do takových kontextů jakohusté podmnožiny řídkých náhodných nebo „pseudonáhodných� množin. Po velkémúsilí (které bylo částečně inspirováno teorií hypergrafů, která je dobře vybavenapro počítání vzorů v řídkých množinách, a také částečně Greenovým „aritmetickýmlemmatem o regularitě� [16], které přenáší myšlenky lemmatu o regularitě z teoriegrafů do aditivních kontextů) jsme nakonec byli schopni (v nepublikované práci)zjistit v takových množinách posloupnosti délky čtyři. V tomto okamžiku jsme siuvědomili analogie mezi přístupem založeným na lemmatu o regularitě, které jsmepoužívali, a konstrukcemi charakterického faktoru Hosta a Kraové. Dosadili jsme22)do těchto konstrukcí (konkrétně jsme se hodně spoléhali na krychlové průměry), a tímjsme dokázali vytvořit uspokojivou relativní Szemerédiovu větu, která se spoléhána určitý princip přenosu, jež tvrdí, zhruba řečeno, že husté podmnožiny řídkýchpseudonáhodných množin se chovají, „ jako by� byly husté v původním prostoru.Abychom mohli aplikovat tuto větu na prvočísla, potřebovali jsme uzavřít prvočíslado vhodné pseudonáhodné množiny (či přesněji míry), ale velkou náhodou nedávnévýsledky Goldstona a Yıldırıma23) ve výzkumu mezer mezi prvočísly24) [8] vytvořilytéměř přesně to, co jsme k tomu potřebovali. Tím nám umožnily konečně potvrditstarou domněnku, že prvočísla obsahují libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti.25)

Příběh zde přesto nekončí, ale místo toho se stále v několika směrech rozvíjí. Najedné straně je zde teď řada dalších aplikací principu přenosu, například pro získánípodobných schémat mezi Gaussovými prvočísly nebo polynomických posloupnostímezi racionálními prvočísly. Další slibný směr výzkumu je vzájemné sbližování Fourie-rovy metody a metod z teorie hypergrafů a ergodické teorie, například pro vytvořenínekonečných verzí grafové a hypergrafové teorie (které mají také aplikace v dalšíchoblastech matematiky, jako např. u testování různých vlastností) či konečné verze er-

21) Mimochodem, původně mě na těchto problémech přitahovalo jejich spojení s dalšímvelkým matematickým příběhem Kakeyaovy domněnky, kterou zde pro nedostatek místanemůžeme rozvádět. Nicméně je spojena poměrně překvapivým způsobem s příběhem teorierestrikcí zmíněným dříve.

22) To bylo z mnoha důvodů trochu ošidné, zejména díky tomu, že konstrukce ergodickéteorie byly v podstatě nekonečné, zatímco u prvočísel jsme museli pracovat v konečnémkontextu. Naštěstí jsem se již pokusil „zkonečnit� ergodický přístup k Szemerédiově větě[34]. I když byl můj pokus tenkrát neúplný, ukázalo se, že je dostatečně nosný, aby mohlpomoci při aplikaci na prvočísla.

23) V době psaní našeho článku jsme využívali konstrukce z práce Goldstona a Yıldırıma,která byla stažena kvůli nesouvisející chybě a která byla později upravena pomocí zajímavýchnových myšlenek Pintze [9]. To podporuje myšlenku uvedenou dříve, že není úplně nutné,aby byla matematická práce zcela bez chyby v každém detailu, aby měla svůj význam prodalší (přesnou) práci.

24) Příběh mezer mezi prvočísly je opět velmi zajímavý, ale nemůžeme ho zde vyprávět.25) Čtenáře odkazujeme na přehledový článek Martina Klazara: Prvočísla obsahují libo-

volně dlouhé aritmetické posloupnosti, PMFA 49 (2004), 177–188. (Pozn. red.)


Strana 31

godické teorie. Třetí směr vede k zajištění, aby nilpotentní systémy, které řídí rekurenciv kontextu ergodické teorie, řídily také různé konečné průměry spojené s aritmetic-kými posloupnostmi; konkrétně já s Greenem aktivně pracujeme na počítání korelacímezi prvočísly a posloupnostmi vytvořenými nilpotentními systémy (používáme starémetody ještě z dob Vinogradova), abychom vytvořili přesnější asymptotické odhadyrůzných vzorů, které se nacházejí v množině prvočísel. Nakonec zůstává neménědůležitá původní Erdosova-Turánova domněnka, která i po tomto velkém pokrokustále zůstává otevřená, i když se teď objevují určité velmi slibné pokroky u Bourgaina[2], [3], které by měly vést k dalšímu vývoji.

3. Závěr

Jak vidíme z výše uvedené ilustrace, ty nejlepší příklady dobré matematiky nesplňujíjen jedno nebo více kritérií matematické kvality uvedené na začátku článku, ale co jedůležitější, jsou součástí většího matematického příběhu, který se rozvíjí a vytvářímnoho dalších výsledků dobré matematiky mnoha různých typů. Můžeme skutečněříci, že historie všech oblastí matematiky je vytvářena hrstkou těchto velkých příběhů,jejich vývojem během času a jejich vzájemnou interakcí. Učiním tedy závěr, že dobrámatematika se nedá měřit jedním nebo více „lokálními� kvalitami danými výše (ikdyž jsou určitě důležité a stojí za to o ně usilovat a mluvit o nich), ale záleží takéna „globálnější� otázce, jak je zasazena mezi další části dobré matematiky, jak jezaložena na dřívějších výsledcích nebo jak podporuje budoucí pokrok. Samozřejmě bezmožnosti zpětného pohledu je obtížné předvídat s určitostí, jaké druhy matematikybudou mít takovou vlastnost. Nicméně se zdá, že existuje určitý nedefinovatelný pocit,že určitá část matematiky „je na cestě k něčemu�, že jde o kousek větší skládačky, kteráčeká na další zkoumání. A zdá se mi, že sledování takových nepostižitelných příslibůbudoucích možností je přinejmenším stejně důležitou stránkou matematického pokrokujako konkrétnější a očividnější stránky matematické kvality uvedené dříve. Věřímtedy, že dobrá matematika je více než prostě proces řešení problémů, tvorby teoriía vylepšování důkazů, aby byly kratší, silnější, jasnější, elegantnější nebo přesnější, ikdyž jsou to všechno samozřejmě obdivuhodné cíle. Zatímco dosahujeme všech těchtocílů (a diskutujeme o tom, které z nich by měly mít v rámci dané oblasti větší prioritu),měli bychom si uvědomit možný větší kontext, do nichž by mohl být získaný výsledekzasazen. Z dlouhodobého hlediska to může vést k dalšímu rozvoji daného výsledku,dané oblasti a matematiky jako celku.

Poděkování: Děkuji Lauře Kimové za to, že přečetla a okomentovala původní verzitohoto článku, a Gil Kalaiovi za mnoho promyšlených komentářů a návrhů.


Strana 32

O autorovi: Terence Tao se narodil roku 1975 v Ade-laide v Austrálii. V roce 1996 dokončil své PhD. studiumna princetonské univerzitě a v roce 1999 se stal řádnýmprofesorem na University of California at Los Angeles.Oblasti výzkumu Terence Taoa zahrnují harmonickouanalýzu, parciální diferenciální rovnice, kombinatorikua teorii čísel. Získal mnoho cen včetně Salemovy cenyv roce 2000, Bochnerovy ceny v roce 2002, Fieldsovymedaile v roce 2006, SASTRA Ramanujanovy ceny takév roce 2006 a MacArthur Fellowship v roce 2007.

Dr. Tao přebírá Fieldsovu medaili.

L i t e r a t u r a

[1] Behrend, F. A.: On sets of integers which contain no three terms in arithme-tics progression. Proc. Nat. Acad. Sci. 32 (1946), 331-332.

[2] Bourgain, J.: On triples in arithmetics progression. Geom. Func. Anal. 9(1999), 968–984.

[3] Bourgain, J.: Roth’s theorem on arithmetic progressions revisited. Preprint.

[4] Erdos, P., Turán, P.: On some sequences of integers. J. London Math. Soc.11 (1936), 261–264.

[5] Furstenberg, H.: Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem ofSzemerédi on arithmetic progressions. J. Analyse Math. 31 (1977), 207–256.

[6] Furstenberg, H.: Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial NumberTheory. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1981.


Strana 33

[7] Furstenberg, H., Katznelson, Y., Ornstein, D.: The ergodic theoreticalproof of Szemerédi’s theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 527–552.

[8] Goldston, D. A., Yıldırım, C. Y.: Small gaps between primes I. Preprint.

[9] Goldston, D. A., Pintz, J., Y. Yıldırım, C.: Primes in Tuples I. Ann.Math., AIM Preprint 2005-19.

[10] Gowers, T.: Lower bounds of tower type of Szemerédi’s uniformity lemma.Geom. Func. Anal. 7 (1997), 322–337.

[11] Gowers, T.: A new proof of Szemerédi’s theorem for arithmetic progressionsof length four. Geom. Func. Anal. 8 (1998), 529–551.

[12] Gowers, T.: The two cultures of mathematics. In: Mathematics: Frontiers andPerspectives, International Mathematical Union, V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax,B. Mazur, Editors, American Mathematical Society, 2000.

[13] Gowers, T.: A new proof of Szemerédi’s theorem. Geom. Func. Anal. 11(2001), 465–588.

[14] Gowers, T.: Quasirandomness, counting and regularity for 3-uniform hyper-graphs. Combin. Probab. Comput. 15 (2006), nos. 1–2, 143–184.

[15] Green, B. J.: Roth’s theorem in the primes. Ann. of Math. 161 (2005), 1609–1636.

[16] Green, B. J.: A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups. Geom.Func. Anal. 15 (2005), no. 2, 340–376.

[17] Green, B. J., Tao, T.: The primes contain arbitrarily long arithmetic pro-gressions. Ann. of Math. 167 (2008), no. 2, 481–547.

[18] Hales, A. W., Jewett, R. I.: Regularity and positional games. Trans. Amer.Math. Soc. 106 (1963), 222–229.

[19] Heath-Brown, D. R.: Three primes and an almost prime in arithmetic pro-gressions. J. London Math. Soc. (2) 23 (1981), 396–414.

[20] Host, B., Kra, B.: Non-conventional ergodic averages and nilmanifolds. Ann.of Math. 161 (2005), 397–488.

[21] Kohayakawa, Y., �Luczak, T., Rodl, V.: Arithmetic progresions of lengththree in subsets of a random set. Acta Arith. 75 (1996), no. 2, 133–163.

[22] Nagle, B., Rodl, V., Schacht, M.: The counting lemma for regular k-uniform hypergraphs. Random Structures Algorithms 28 (2006), no. 2, 113–179.

[23] Ramsey, F. P.: On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30(1930), 264–285.

[24] Rodl, V., Schacht, M.: Regular partitions of hypergraphs. Preprint.

[25] Rodl, V., Skokan, J.: Regularity lemma for k-uniform hypergraphs. RandomStructures Algorithms 25 (2004), no. 1, 1–42.

[26] Rodl, V., Skokan, J.: Applications of the regularity lemma for uniformhypergraphs. Random Structures Algorithms 28 (2006), no. 2, 180–194.


Strana 34

[27] Roth, K. F.: On certain sets of integers. J. London Math. Soc. 28 (1953),245–252.

[28] Roth, K. F.: Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions. IV.Period. Math. Hungar. 2 (1972), 301–326.

[29] Rusza, I., Szemerédi, E.: Triple systems with no six points carrying threetriangles. Colloq. Math. Soc. J. Bólyai 18 (1978), 939–945.

[30] Shelah, S.: Primitive recursive bounds for van der Waerden numbers. J. Amer.Math. Soc. 1 (1988), 683–697.

[31] Szemerédi, E.: On sets of integers containing no four elements in arithmeticprogression. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 20 (1969), 89–104.

[32] Szemerédi, E.: On sets of integers containing no k elements in arithmeticprogression. Acta Arith. 27 (1975), 299–345.

[33] Tao, T.: The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progres-sions, and the primes. To appear, ICM 2006 proceedings.

[34] Tao, T.: A quantitative ergodic theory proof of Szemerédi’s theorem. Electron.J. Combin. 13 (2006), no. 1, Research Paper 99, 49 str. (electronic).

[35] Tao, T., Vu, V.: Additive Combinatorics. Cambridge Univ. Press, 2006.

[36] van der Corput, J. G.: Uber Summen von Primzahlen und Primzahlquadra-ten. Math. Ann. 116 (1939), 1–50.

[37] van der Waerden, B. L.: Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw.Arch. Wisk. 15 (1927), 212–216.

[38] Wigner, E.: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the NaturalSciences. Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960).

[39] Ziegler, T.: Universal characteristic factors and Furstenberg averages. J.Amer. Math. Soc. 20 (2007), 53–97.


Strana 35

pokrokymatematiky,fyzikyaastronomie - dml-cz · (xii) dobrá metamatematika (nap. pokroky v...

Documents