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Poliedros proyectivos muy simétricos

Isabel Hubard

Monday, March 11, 13

Poliedros proyectivos muy simétricos

Isabel Hubard

Javier BrachoDaniel Pellicer

Polígonos

PolígonosUn polígono es una gráfica conexa tal que todos sus vértices tienen grado 2.

• Polígonos con el mismo número de vértices...

Polígonos (geométricamente) regulares

✔ ✗

• Lados iguales

✔ ✗

• Lados iguales

✔ ✗• Lados iguales

• Vértices iguales

✔ ✗• Lados iguales

• Vértices iguales

Un polígono es regular si su grupo de simetrías es transitivo en arcos

Poliedro (combinatoriamente)

Es una colección de polígonos (que llamamos caras) tal que:

• C a d a a r i s t a e s t á e n exactamente dos caras

• Todas las figuras de vértice son polígonos

Dado un vértice v, su figura de vértice es la gráfica cuyos vértices son las aristas incidentes a v y entre dos de ellos hay una arista si están en la misma cara.

• Conexo

BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente

(vértice, arista, cara)

Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente

La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.

Automorfismos

Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.

Automorfismos

Poliedros regularesUn poliedro es regular si su grupo de automorfismos actúa transitivamente en el conjunto de banderas

(0,2a)

(-a,a)

¿Transitivo en banderas?

Poliedros regulares en el espacio

1978 Branko Grünbaum Hay 18 poliedros regulares finitos en R3

1982 DressHay 48 poliedros regulares en R3

Poliedros regulares en R4

Poliedros regulares en R4Poliedros regulares finitos en R4finitos

Clasificar poliedros regulares finitos en Rn+1 es equivalente a clasificar poliedros regulares en Sn

Poliedros regulares en R4Poliedros regulares finitos en R4finitos S3

Rn+1Sn ↪

2-1 Clasificar poliedros regulares finitos en Rn+1 es equivalente a clasificar poliedros regulares en Sn

Polígonos proyectivos regulares

Poliedros proyectivos regulares

Vol. 59 (2000) Projective polyhedra I 67

Observe that the first argument of the preceding proof holds for any planar-skew polyhedron. Let us state this in general:

Corollary 2. If the planar-skew polyhedron [[p, q; r]] is finite then r/! is rational.!

Observe also that the only case when the polyhedron [[4, 4 ; r]] is an embeddedtorus is when r = !/2k, with integer k > 1. Otherwise the surface which it defineshas selfintersections. See Figure 5.

Figure 5. Stereographic projections of [[4, 4 ;!/6]] and [[4, 4 ;!/5]]. In the first one, the two bound-aries are to be antipodally identified. In the second, also the outermost faces are antipodallyidentified.

The natural geometric way to look at these polyhedra is with their vertices onthe quadric surface Q in P3 defined by the equation x2

1 + x22 = x2

3 + x24, where

[x1 : x2 : x3 : x4] are homogeneous coordinates. In this quadric, the lines ofopposite rulings meet at an angle of !/2, and generate the tangent plane to Qat their intersection point. Thus, the square [[4 ; r]] centered at this point andwith diagonals on the rules has vertices on Q. From this square proceed to build[[4, 4 ; r]]. The diagonal lines at any given vertex become precisely the two rules ofQ. Finally, observe that [[4, 4 ; r]] is isometric (and hence equivalent) to its dual.

1 + x22 = x2

3 + x24, where

1 + x22 = x2

3 + x24, where

Arocha, Bracho, Montejano (2000)Todos los toros regulares {4,4}(a,0) son poliedros proyectivos regulares con caras planas

Poliedros regulares en P3

2000 Jorge Arocha, Javier Bracho, Luis MontejanoClasificación de los poliedros regulares en P3 con caras planas

2007 Peter McMullenClasificación de los poliedros regulares finitos en R4

Poliedros regulares en P3Poliedros regulares finitos en R4&P3

2000 Jorge Arocha, Javier Bracho, Luis MontejanoClasificación de los poliedros regulares en P3 con caras planas

2007 Peter McMullenClasificación de los poliedros regulares finitos en R4

Poliedros quiralesUn poliedro es quiral si su grupo de automorfismos tiene dos órbitas en el conjunto de banderas, con banderas adyacentes en diferentes órbitas

~2004 Egon SchulteNo hay poliedros quirales en R3

¿Hay poliedros quirales en R4 (o en P3)?

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