polinomul newton de interpolare
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Polinomul Newton de Interpolare
1/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
11
5. Polinomul Newton de interpolare
Problema
Se cunoa]te un set 1+n perechi de valori ),( y x , deumite noduri de interpolare
x0 x1 x2 .... xn
y0 y1 y2 .... yn
Se determin` un polinomul de interpolare ( ) x yn de gradul n ale cărui valori coincidcu valorile din nodurile de interpolare.
Polinomul Newton de interpolare este de forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
x x x x y x x x x x x
x x x y x x x x x x y x x y x y
,,,,
,,,
210110
210101000
LLL ⋅−−⋅−++
+⋅−⋅−+⋅−+=
−
în care se definesc diferențele divizate de:
- ordinul 1: ( )01
0110 ,
x x
y y x x y
−
−=
- ordinul 2: ( ) ( ) ( )
02
1021210
,,,,
x x
x x y x x y x x x y
−
−=
.......
- ordinul n: ( ) ( ) ( )
0
11021210
,,,,,,,
x x
x x x y x x x y x x x x y
n
nn
n−
−=
−LL
L
-
8/18/2019 Polinomul Newton de Interpolare
2/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
22
Principiul metodei
Se calculează diferențele divizate.
Se determin` polinomul de interpolare ( ) x yn după formula polinomului Newton deinterpolare de gradul dorit ( 1, 2,…, n).
Cazuri particulare ale polinomului Newton de interpolare
- 1=n : Polinomul Newton de interpolare de gradul 1:
( ) ( ) ( )10001 , x x y x x y x y ⋅−+=
- 2=n : Polinomul Newton de interpolare de gradul 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2101010002 ,,, x x x y x x x x x x y x x y x y ⋅−⋅−+⋅−+= .......
- k n = : Polinomul Newton de interpolare de gradul k :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )k k
k
x x x x y x x x x x x
x x x y x x x x x x y x x y x y
,,,,
,,,
210110
210101000
LLL ⋅−−⋅−++
+⋅−⋅−+⋅−+=
−
Exemplu de calcul
Problemă:
Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:
i 0 1 2
xi 0 2 3
yi 1 1 5
Se determină polinomul Newton de interpolare de gradul 1 și 2.
-
8/18/2019 Polinomul Newton de Interpolare
3/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
33
Rezolvare:
Calculul diferențelor divizate de:
- ordinul 1: ( ) 002
11
, 01
01
10 =
−
−=
−
−=
x x
y y
x x y
( ) 423
15,
12
1221 =
−
−=
−
−=
x x
y y x x y
- ordinul 2: ( ) ( ) ( )
3
4
03
04,,,,
02
1021210 =
−
−=
−
−=
x x
x x y x x y x x x y
1. Polinomul Newton de interpolare de gradul 1 între punctele ( )00 , y x și ( )11 , y x :
( ) ( ) ( ) ( ) 1001, 1000)10(
1 =⋅−+=⋅−+=−
x x x y x x y x y
Verificare:
0= x : ( ) 10)10(1 =− y
2= x : ( ) 11)10(1 =− y
2. Polinomul Newton de interpolare de gradul 1 între punctele ( )11, y x și ( )22 , y x :
( ) ( ) ( ) ( ) 74421, 2111)21(
1 −=⋅−+=⋅−+=− x x x x y x x y x y
Verificare:
2= x : ( ) 12)21(1 =− y
3= x : ( ) 53)21(1 =− y
2. Polinomul Newton de interpolare de gradul 2 între ( )00 , y x , ( )11, y x și ( )22 , y x :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3
483
3
420001
,,,
2
2101010002
x x x x x
x x x y x x x x x x y x x y x y
+−=⋅−⋅−+⋅−+=
=⋅−⋅−+⋅−+=
Verificare:
0= x : ( ) 102 = y
2= x : ( ) 122 = y
3=
x : ( ) 332 =
y