Potencia en sistemas trifásicos y evaluación de la asimetría en condicionessinusoidales

Andrés Pavasa,1

aResearch Group on Acquisition and Analysis of Electromagnetic Signals PAAS-UN, Ciudad Universitaria, Unidad CamiloTorres, Bloque B5 Ofic 307

Abstract

El presente documento resume las metodologías de cálculo de potencia aparente sugeridas en las normas IEEE1459 y DIN 40110-2. Se describe también la utilización de componentes simétricas para el estudio del desbalancecon base en la lo descrito en la norma IEEE 1459 y una propuesta para el estudio de la regulación en tensiónpara sistemas trifásicos.

Keywords:Desbalance en tensión, Descomposición ortogonal, Integración numérica, Teoría de Potencia FBD, IEEE 1459

1. Descomposición de corrientes de acuerdo con DIN 40110

Una teoría de potencia electrica reune una serie de fundamentos matematicos y fisicos aplicados a las señaleselectricas de tension y corriente con el fin de:

Determinar el intercambio de energia asociado a las señales.

Determinar la eficiencia electrica del intercambio de energia, medida por medio del factor de potencia.

Identificar las componentes que contribuyen al intercambio de energia y las componentes que reducen laeficiencia. Entre las causas que provocan detrimento de la eficienca de intercambio de energia se cuentanla potencia reactiva, la asimetria de las señales, la distorsion de la forma de onda, entre otras.

Descomponer la potencia y la corriente en componentes relacionadas con el intercambio de energia y lasdistintas perturbaciones.

Una de las teorias de potencia existentes en la actualidad es la teoria FBD, propuesta por Manfred De-penbrock en 1962 [1], la cual ha servido como fundamento para la elaboracion de la norma tecnica alemanaDIN 40110-2 [2]. Esta norma propone una descomposicion de corriente en condiciones estacionarias que hasido usada recientemente por el autor para proponer un metodo de evaluacion de responsabilidades asociadasa perturbaciones estacionarias de calidad de potencia [3], dicha descomposicion se describe brevemente en lossiguientes parrafos.

1.1. Cantidades de suma nula y potencia aparenteLa aplicacion de la teoria FBD requiere que las tensiones y corrientes al sumarse en cualquier instante de

tiempo sean nulas.

4∑µ=1

uµ0 = 0

4∑µ=1

iµ = 0 (1)

Para las corrientes medidas dicha condicion se cumple siempre que se tengan todas las corrientes, incluidala del neutro para los circuitos trifasicos de cuatro hilos, si esta corriente no es medida puede determinarse

∗Principal Corresponding authorEmail address: fapavas@bt.unal.edu.co (Andrés Pavas)

1A. Pavas es Profesor Auxiliar de la Universidad Nacional de Colombia

Preprint submitted to Introducción a los Sistemas de Energía - 2011-I 7 de abril de 2011

Figura 1: Descripcion de las tensiones y corrientes para determinacion de las señales de suma nula

matematicamente a partir de la ley de corrientes de Kirchhoff. Para los circuitos trifasicos de tres hilos esacorriente es nula.

i =

i1i2i3iN

=

1 0 00 1 00 0 1−1 −1 −1

i1i2i3

(2)

Para las tensiones se recurre al denominado punto estrella virtual, con respecto al cual se miden las tensionesuµ0, las cuales cumplen la condicion de suma nula.

u0 =

u10

u20

u30

uN0

=1

4

3 −1 −1−1 3 −1−1 −1 3−1 −1 −1

uaNubNucN

(3)

En la Figura 1 se ilustra la nomenclatura empleada en las Ecs (2) y (3).A partir de los valores eficaces de (3) y (2) pueden determinarse los valores colectivos eficaces, que permiten

calcular la potencia aparente del circuito (5), la cual representa la maxima potencia activa que puede extraerseo inyectarse a un circuito dados los valores eficaces colectivos de corriente y tension (4). Una definicion analogade la potencia aparente dice que es aquella cantidad que representa la maxima potencia activa extraible oinyectable a un circuito dadas unas perdidas fijas, las cuales estan relacionadas con los valores eficaces colectivos(4), haciendo ambas definiciones equivalentes pero conceptualmente distintas.

UΣ =

√√√√ 4∑µ=1

U2µ0 IΣ =

√√√√ 4∑µ=1

I2µ (4)

SΣ = UΣIΣ (5)

1.2. Potencia instantanea y ActivaPara circuitos trifasicos la potencia instantanea, cantidad que permite calcular la potencia activa, se deter-

mina a partir de los valores de tension y corriente de suma nula como se muestra en la ecuacion (6).

pΣ(t) = uaN i1 + ubN i2 + ucN i3

= u10i1 + u20i2 + u30i3 + u40i4(6)

La potencia activa, que representa el gasto de energia electrica para realizar un trabajo util, se calcula apartir de la potencia instantanea, visto de otra manera, a partir de las tensiones y corrientes de suma nula

2

(2)(3). Para descomponer la corriente de un circuito trifasico en estado estacionario de acuerdo con [2] y [1], sedeben determinar las siguientes cantidades:

Gµ =PµU2µ0

(7)

Pµ =1

T

∫<T>

pµdt =1

T

∫<T>

uµ0iµdt = 〈uµ0, iµ〉 (8)

Las cantidades (7) y (8) son la conductancia y potencia activas de la phase µ, que deben calcularse para losdemas conductores del sistema. El ultimo termino de (8), 〈uµ0, iµ〉, denota el producto interno entre dos señales,en este caso señales periodicas. Esta notacion sera empeleada posteriormente. Los valores de conductancia ypotencia activa del sistema trifasico se calculan como sigue:

G =PΣ

U2Σ

(9)

PΣ =1

T

∫<T>

pΣdt =1

T

4∑µ=1

∫<T>

uµ0iµdt = 〈u0, i〉 (10)

1.3. Componentes proporcionales y ortogonales de la corrienteLas conductancias activas permiten definir componentes de la corriente que transportan la potencia activa

consumida o suministrada por el circuito. Se distinguen dos cantidades asociadas a la potencia activa, la corrienteproporcional (11)y la corriente activa (12):

iµ‖ = Gµuµ0 (11)

iµa = Guµ0 (12)

Estas componentes transportan la totalidad de la potencia activa, de manera que si son sustraidas de lacorriente de fase iµ respectiva, la componente de corriente restante no transportara potencia activa alguna. Esascomponentes son conocidas como componentes ortogonales.

iµ⊥ = iµ − iµ‖ (13)

El apelativo ortogonal se les da por lo mostrado en (14). Si al calcular el producto interno entre dos señalesel resultado es nulo, tales señales son ortogonales.

〈uµ0, iµ⊥〉 = 〈uµ0, iµ − iµ‖〉 = 〈uµ0, iµ〉 − 〈uµ0, iµ‖〉 = Pµ − Pµ = 0 (14)

Para una corriente descompuesta en sus componentes ortogonales se puede demostrar que su valor eficaz secalcula a partir de los valores eficaces de sus componentes por medio de la relacion (15):

I2µ = I2

µ‖ + I2µ⊥ (15)

1.4. Componentes no-activa y desbalanceada de la corrienteSi se considera que la asimetria en el sistema trifasico depende de:

la distribucion uniforme de la potencia activa entre los conductores de fase,

la potencia de cada fase, que es proporcional al cuadrado del valor rms de la tension de fase,

la igualdad de los valores rms de las tensiones de fase y de linea,

3

entonces se puede determinar una componente de corriente asociada al desbalance del circuito segun (16):

iµ‖ = iµa + iµau

iµau = iµ‖ − iµa = Gµuµ0 −Guµ0 = (Gµ −G)uµ0 = ∆Gµuµ0

(16)

Si se calcula la potencia collectiva transportada por iµau se tiene:

PΣau =

4∑µ=1

〈uµ0, iµau〉 =

4∑µ=1

〈uµ0, iµ‖ − iµa〉 =

4∑µ=1

〈uµ0, iµ‖〉 −4∑

µ=1

〈uµ0, iµa〉

=

4∑µ=1

Pµ −4∑

µ=1

〈uµ0, Guµ0〉 =

4∑µ=1

Pµ −4∑

µ=1

GU2µ0

= PΣ −G4∑

µ=1

U2µ0 = PΣ −GU2

Σ = PΣ − PΣ = 0

(17)

demostrando que la componente desbalanceada activa de la corriente no transporta potencia activa y esortogonal a la corrientes iµ, iµ‖ y iµa.

1.5. Componentes desplazadas de la corrienteBajo condiciones sinusoidales y balanceadas, la presencia de bobinas y condensadores afecta la eficiencia en la

transmision de potencia activa, que puede observarse en el incremento de la potencia aparente o en la reduccionde la potencia activa. Tal detrimento puede analizarse usando el desplazamiento temporal que existe en lascorrientes con respecto a las tensiones. Este fenomeno esta asociado a la potencia reactiva [4], entendida comouna oscilacion de energia electrica con transferencia neta nula entre elementos capaces de almacenar energia.

Para calcular la potencia reactiva hay distintas metodologias, cada una de ellas recurre al desplazamiento enel tiempo de la tension un cuarto de periodo mediante derivadas, integrales u otros metodos de procesamiento.En el anexo A2 de la referencia [4] se presenta una comparacion de los distintos metodos empleados y cualesson sus limitaciones ante la presencia de señales no sinusoidaldes. Cuando se cuenta con las mediciones en eldominio del tiempo, se puede realizar el desplazamiento por medio de programas o procesadores de señales.

Bajo condiciones estrictamente sinusoidales, la potencia reactiva se puede calcular segun (18):

udµ0 = uµ0(t− T/4)

Qdµ = 〈udµ0, iµ⊥〉(18)

Vale la pena recalcar que la potencia reactiva se determina en (18) con respecto a la tension desplazada uncuarto de periodo y la corriente ortogonal (13), esta cantidad podria calcularse con respecto a la corriente total,pero no habria diferencia ya que la potencia reactiva no contiene ninguna componente activa. Una vez que lapotencia reactiva se ha calculado, es posible determinar la componente de la corriente asociada a esta cantidadsegun la Ec.(19)

Bµ =Qdµ

(Udµ0)2

iµQd = Bµudµ0

(19)

Esta componente se ha denominado en [3] componente desplazada simetrica de la corriente.Una vez que el sistema electrico contiene distorsion y asimetria, la potencia reactiva pierde el significado

que posee la cantidad calculada a partir de (18). Sin embargo, esta cantidad contiene componentes asociadas ala respuesta de inductancias y capacidades ante señales no sinusoidales y asimetricas. De esta manera y paraevitar discrepancias con la nomenclatura o confusiones conceptuales, se definira la potencia desplazada y surespectiva componente de corriente:

udµ0 = uµ0(t− T/4)

Qdµ = 〈udµ0, iµ⊥〉(20)

4

Bµ =Qdµ

(Udµ0)2=QdµU2µ0

B =〈ud0, i⊥〉〈ud0,ud0〉

=QdΣ

(UdΣ)2=QdΣ

U2Σ

iµQd= Budµ0

(21)

De la misma forma en que se definio una componente de desbalance asimetrica asociada a la potencia activa,a partir de (21) puede definirse para la potencia desplazada asimetrica, proporcionando una componente dedesbalance asociada al desplazamiento por bobinas y condensadores y a la asimetria en la distribucion de lapotencia activa. Para las componentes asimetricas desplazadas se empleara el siguiente procedimiento:

iµQd = Bduµd, iµQ|| = Bµduµd

iµ⊥ = iµQ|| + iµD = iµQd + iµQu + iµD

iµQu = iµQd|| − iµQd(22)

Es necesario recalcar que la potencia de desplazamiento y su corriente conrrespondiente, definidas en (20) y(22), corresponden a la comunmente conocida potencia reactiva unicamente bajo condiciones de distorsion muybajas o inexistentes. En caso contrario, la potencia desplazada puede diferir significativamente de la potenciareactiva, por lo cual debe interpretarse y emplearse como una cantidad definida matematicamente.

1.6. Componente distorsionada de la corrienteQueda por determinar la componente de la corriente asociada a los fenomenos que no se han considerado.

Inicialmente se incluyo la corriente activa mediante (11) y (12), posteriormente se evaluo el desbalance mediante(16), finalmente se determinaron a partir de la corriente ortogonal (13) nuevas componentes asociadas a losdesplazamientos de fase ocasionados por la presencia de inductancias y capacidades, una simetrica (21) y otraasimetrica (22). La diferencia entre las componentes ortogonal (13) y de desplazamiento (21) se denominacomponente de corriente distorsionada (23):

iµD = iµ⊥ − iµQ||iµD = iµ⊥ − iµQd − iµQu

(23)

Esta componente no esta relacionada con el intercambio de energia, ni el desbalance, ni el desplazamiento defase o almacenamiento de energia en componentes inductivas o capacitivas. La componente distorsionada tieneuna forma de onda diferente a la de la tenson y no transporta energia. Esta componente es ortogonal a todaslas anteriomente definidas.

1.7. Componentes de PotenciaEn los parrafos anteriores se han definido las componentes ortogonales de la corriente asociadas a distintos

fenomenos. Como se mostro en (15), el valor eficaz al cuadrado de la corriente de la fase µ es igual a la sumade los cuadrados de los valores eficaces de sus componentes ortogonales. Para el sistema trifasico, el valor eficazcolectivo de cualquier componente se calcula de la misma forma como se calcula para la corrientes o tensionestotales (4). Por ejemplo, si se quiere calcular el valor colectivo de la corriente distorsionada, se calcularia de lasiguiente manera:

I2D = I2

aD + I2bD + I2

cD + I2nD (24)

La descomposicion ortogonal descrita en las secciones anteriores se resume a continuacion.

ix = i− iai⊥ = i− i‖i‖ = ia + iaui⊥ = iQ|| + iD

iQ|| = iQd + iQui = ia + iau + iQu + iQd

+ iD

(25)

La descomposicion (25) tiene asociados valores eficaces, como se muestra a continuacion:

5

I2Σ = I2

a + I2au + I2

Qu + I2Qd + I2

D∑µ∈{a,b,c,n}

I2µ =

∑µ∈{a,b,c,n}

[I2µa + I2

µau + I2µQu + I2

µQd + I2µD

](26)

las cuales tienen asociadas las siguientes componentes de potencia:

U2ΣI

2Σ = U2

Σ

(I2a + I2

au + I2Qu + I2

Qd + I2D

)SΣ =

√P 2

Σ +Q2Σau +Q2

ΣQu +Q2ΣQd

+Q2ΣD

(27)

2. Valores efectivos de acuerdo con IEEE 1459

La norma IEEE 1459 [4] resume de manera clara los principios necesarios para el calculo de potenciaelectrica en condiciones sinusoidales, simetricas, no sinusoidales y asimentricas para circuitos monofasicos ypolifasicos. Aunque la descomposicion propuesta en esta norma puede incluir componentes de potencia activaen las componentes asociadas a la asimetria y a la distorsion, la norma IEEE 1459 presenta una sintesis de losprincipios sobre los cuales se diseñan maquinas y sistemas electricos que tienen tambien validez.

2.1. Valores efectivos y potencia aparente efectivaDe una manera semejante a la empleada para definir los valores colectivos de la tension y la corriente en

sistemas polifasicos (4) de acuerdo con la teoria FBD, pueden definirse cantidades efectivas:

Ue =

√(U2

aN + U2bN + U2

cN ) + (U2ab + U2

bc + U2ca)

12

Ie =

√I2a + I2

b + I2c + I2

n

3

(28)

a partir de las cuales se define la potencia aparente efectiva:

Se = 3UeIe (29)

Las expresiones (5) y (29) son numericamente equivalentes.

2.2. Componentes de secuenciaLa potencia efectiva puede descomponerse de manera semejante a como fue descompuesta la potencia

aparente segun la teoria FBD. En el presente documento se relacionara la descomposicion de Se con respecto a lapresencia de asimetria en la tension y la corriente, el lector interesado en la descomposicion de Se en condicionesno sinusoidales puede consultar [4] [5].

La teoria de componentes simetricas, propuesta por Charles Fortescue en 1918 [6], es utilizada en la normaIEEE 1459 para evaluar la asimetria. La evaluacion del desbalance tiene como principio que un sistema electricodebe contener, en condiciones ideales, unicamente componentes de tension y corriente de secuencia positiva, lascuales se calculan a partir de las tensiones y corrientes de fase mencionadas en (3) y (2) como sigue:U(0)

U(1)

U(2)

= S−1

UaNUbNUcN

,I(0)

I(1)

I(2)

= S−1

IaIbIb

(30)

donde UaN = UaNejθa es el fasor de la tension entre el conductor a y el neutro, los subindices (0), (1) y (2)

representan las componentes de secuencia cero, positiva y negativa, respectivamente, y S representa la matrizde transformacion a componentes simetricas, cuya estructura se describe en (31). Las cantidades sin circunflejo,e.g. Uan o U(1), representan valores eficaces.

S−1 =

√1

3

1 1 11 α α2

1 α2 α

, S =

√1

3

1 1 11 α2 α1 α α2

(31)

donde α = ej2π/3.

6

2.3. Evaluacion de la asimetria en tension a partir de las componentes simetricasLa asimetria o desbalance en un sistema trifasico puede evaluarse mediante indicadores. Las referencias [8]

y [9] presentas distintas expresiones para el calculo del desbalance en tension. Cuando esta cantidad se evaluaconsiderando la razon de la componente de secuencia negativa a la componente de secuencia negativa, valoresobtenidos a partir de (30), se procede de la siguiente manera:

u2 =secuencia negativasecuencia positiva

x 100% =U(2)

U(1)x 100%

u0 =secuencia cero

secuencia positivax 100% =

U(0)

U(1)x 100%

(32)

La asimetria en corrientes puede evaluarse de acuerdo con (32), utilizando los valores correspondientes a lacorriente:

i2 =secuencia negativasecuencia positiva

x 100% =I(2)

I(1)x 100%

i0 =secuencia cero

secuencia positivax 100% =

I(0)

I(1)x 100%

(33)

En [9] se sugiere la siguiente expresion que usa unicamente los valores eficaces de las tensiones de linea enun sistema trifasico para el indicador u2:

u2 =secuencia negativasecuencia positiva

x 100%

u2 =

√1−√

3− 6β

1 +√

3− 6βx 100%

β =U4ab + U4

bc + U4ca

(U2ab + U2

bc + U2ca)

2

(34)

Las expresiones (32) y (34) son validas bajo condiciones sinuoidales.

2.4. Evaluacion de la asimetria en tension a partir de las componentes simetricas generalizadasOtra alternativa para el calculo del desbalance con base en los valores eficaces, que obvia el calculo de

componentes simetricas se puede encontrar en [10]. Para la determinacion del desbalance se deben calcularprimero las siguientes cantidades:

Ue� =

√1

3[U2aN + U2

bN + U2cN ]

Ue∆ =

√1

3[U2ab + U2

bc + U2ca]

A2∆ = S [S − Uab] [S − Ubc] [S − Uca]

2S = Uab + Ubc + Uca

(35)

Todos los valores son eficaces linea-neutro, UaN , o linea-linea, Ubc. Las componentes de secuencia cero,negativa y positiva se determinan mediante las siguientes expresiones:

U0e� =

√U2e� −

1

3U2e∆ (36)

U−e∆ =

√1

2U2e∆ −

2√3A∆ (37)

U+e∆ =

√U2e∆ − (U−e∆)2 (38)

Estas cantidades sirven para determinar el desbalance como la razon de las componentes de secuencianegativa a positiva y ceroa positiva:

7

u2 =U−e∆U+e∆

x 100%, u0 =U0e�

U+e∆

x 100% (39)

La diferencia entre (32), (34) y (39) es que en (39) se emplean los valores eficaces de las señales de tension,no los valores eficaces de las componentes fundamentales, es por eso que se denominan componentes simetricasgeneralizadas.

2.5. Descomposicion de la potencia efectivaUna vez que se han calculado las componentes simetricas, es posible descomponer la potencia efectiva en

cantidades que facilitan la interpretacion y el analisis. Tomando las componentes de secuencia positiva calculadasen (30), se calculan las potencias activa, reactiva y efectiva de secuencia positiva:

Se1 = 3Ue1Ie1 = 3U(1)√

3

I(1)√3

P+1 = U(1)I(1) cos(θU+ − θI+)

Q+1 = U(1)I(1) sin(θU+ − θI+)

Se1 =

√(P+

1

)2+(Q+

1

)2(40)

A partir de (40) se puede calcular la potencia de desbalance:

SU1 =√S2e − S2

e1 (41)

Esta componente de potencia representa la porcion de la potencia aparente que no se aprovecha para elintercambio de potencia activa o reactiva y esta asociada a la asimetria o desbalance.

2.6. Evaluacion de la regulacion de tension en sistemas trifasicosLa regulacion en tension se usa para establecer la caida de tension provocada por las cargas alimentadas

por transformadores, redes de distribucion o sistemas de transmision, entre otros. Cuando se requiere evaluarla regulacion en sistemas trifasicos desbalanceados, cada una de las fases puede tener una regulacion diferente,entonces surge la pregunta de como evaluar la regulacion como un todo.

Una alternativa es recurrir a la tension colectiva (4) o a la tension efectiva (28). Tales valores pueden evaluarsea la entrada y a la salida de un sistema con un sistema de tension comun o refiriendo las tensiones de amboslados de un transformador a uno de los dos lados. En la Figura 2 se ilustra un sistema alimentado por el puntodenominado ENTRADA, en cuya SALIDA se tiene una medicion de tension y quiere estimarse el efecto dela CARGA sobre el nivel de tension entre la entrada y la salida.

Figura 2: Evaluacion de la regulacion en tension

Las tension a la entrada y a la salida se podran calcular como:

8

U2e�X = U2

aNX + U2bNX + U2

cNX

U2e∆X = U2

abX + U2bcX + U2

caX

(42)

donde X es ENT o SAL,

UeENT =

√Ue�ENT + Ue∆ENT

12

UeSAL =

√Ue�SAL + Ue∆SAL

12

(43)

Con las expresiones (43) podra calcularse la regulacion de acuerdo con:

∆U =UeENT − UeSAL

UeSALx 100% (44)

Puede tomarse como referencia la tension de entrada o de salida, segun convenga en el problema que se esteanalizando.

3. Ejemplos de aplicacion

3.1. Ejemplo de utilizacion de las componentes simetricasEn la Figura 3 se muestran los fasores de tension y corriente. Los valores se muestran en la Tabla 1:

FaseTension Corriente

UxN [V] θx [o] Ix [A] θx [o]

a 100 1 60 -20

b 125 -120 35 -130

c 75 121 70 80

Tabla 1: Fasores de tension y corriente

Al aplicar la transformacion a componentes simetricas (30) se obtiene:

SecuenciaTension Corriente

Ux [V] θx [o] Ix [A] θx [o]

Cero (0) 24.38 -91.55 29.36 25.14

Positiva (1) 173.20 0.58 93.09 -26.36

Negativa (2) 25.64 88.55 14.03 -151.56

Tabla 2: Fasores de tension y corriente en componentes simetricas

Los resultados de la tabla 2 se muestran en la Figura 4. A partir de los valores de las Tablas 3 y 4 se puedencalcular los valores de potencia y desbalance descritos en los parrafos anteriores.

- Ue [V] Ie [A] Se [kVA] P [W] Q [VAr] SU1 [VA]

TOTAL 101.33 64.08 19.474 13.87 6.35 -

Secuencia (1) 100.00 53.75 16.12 14.37 7.30 10.92

Tabla 3: Potencias efectivas y de secuencia positiva

9

50

100

150

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Figura 3: Fasores de tension y corriente en componentes de fase (a, b, c)

50

100

150

200

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

20

40

60

80

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Figura 4: Fasores de tension (izquierda) y corriente (derecha) en componentes de secuencia (0, 1, 2)

3.2. Ejemplo de calculo de la regulacion en circuitos trifasicosUna carga trifasica conectada en � es alimentada por un sistema balanceado de tensiones, como el mostrado

en la Figura 2, en ese sistema se asume que la impedancia del conductor de neutro es cero. Los valores eficacesde las tensiones de entrada y las corrientes de carga son:

La impedancia equivalente de cada conductor de fase ZTH es 0,1+j0,45. Las tensiones en la carga se calculanmediante:

USAL = UENT − Z [Iabc] (45)

los resultados son:Aplicando las Ecuaciones (42) a (44), se obtienen los resultados de tensiones efectivas y la regulacion mostra-

dos en la Tabla 7.

4. Resumen

El presente documento resume la descomposicion de corrientes y potencias propuesta en la teoria de potenciaelectrica FBD. Por otra parte, la propuesta de descomposicion de potencia presentada en la norma IEEE 1459 esresumida para el caso sinusoidal desbalanceado. Diferentes alternativas para el analisis de desbalance en tensionson presentadas. Adicionalmente, se muestra una opcion para determinar la regulacion en un sistema trifasicocon base en el concepto de tension equivalente. Al final del documento se presentan ejemplos sobre el empleode la norma IEEE 1459 para evaluar el desbalance en tension y corriente y la valoracion de la regulacion entension.

10

- U(2) [V] U(0) [V] I(2) [A] I(0) [A]

Valor 14.80 14.08 8.10 16.95

- u2 [ %] u0 [ %] i2 [ %] i0 [ %]

Porcentaje 14.80 14.08 15.07 31.54

Tabla 4: Indicadores de asimetria de acuerdo con IEEE 1459

FaseTension Corriente

UxN [V] θx [o] Ix [A] θx [o]

a 100 0 60 -20

b 100 -120 35 -130

c 100 120 70 80

Tabla 5: Fasores de tension de alimentacion y corriente de carga

5. Referencias

[1] Staudt, V. Fryze-Bucholz-Depenbrock: a time domain power theory. Przeglad Elektrotechniczny (Electrical Review). R.84, N6,2008. pp 1-11

[2] Deutsches Institut für Normung - DIN. Wechselstromgrössen - Teil 2: Mehrleiter Stromkreise (Alternating current Quantities. Part 2: Multifilar circuits). 1996.

[3] Pavas, A., Torres, H., Staudt, V. Method of Disturbances Interaction: Novel approach to assess responsibilities for steady statepower quality disturbances among customers. International Conference on Harmonics and Quality of Power. Bergamo, Italy.2010.

[4] IEEE Std 1459-2010. IEEE Standard definitions for the measurement of electric power quantities under sinusoidal, non-sinusoidal, balanced and unbalanced conditions.

[5] Jacques L. Willems and Jozef A. Ghijselen and Alexander Eigeles Emanuel. The apparent power concept and the IEEEStandard 1459-2000. IEEE Transactions on Power Delivery. Vol 20, No. 2. April 2005. pp 876–884.

[6] Fortescue, C. L. Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks. American Institute ofElectrical Engineers, Transactions of the. Vol XXXVII, No 2. July 1918. pp. 1027–1140.

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-formulas[8] IEEE Recommended practice for monitoring electric power quality. IEEE Std 1159-1995.[9] International Electrotechnical Commission - IEC. P-IEC 61000-4-30 Electromagnetic compatibility (EMC) - Part 4-30: Testing

and measurement techniques - Power quality measurement methods. 2003.[10] Depenbrock, M. Generalized symmetrical components of 4-wire voltages. L’Energia Elettrica. Vol 81. 2004

11

FaseTension ENT Tension SAL

UxN [V] θx [o] UxN [V] θx [o]

a 100 0 88.26 -15.32

b 100 -120 94.99 -129.03

c 100 120 76.94 105.22

Tabla 6: Fasores de tension en la alimentacion y en la carga

- UeENT [V] UeSAL [V] ∆Ue [V]

Valor 100.0 86.79 13.21

- UeENT

UeENT[ %] UeSAL

UeENT[ %] ∆Ue

UENT[ %]

Porcentaje 100.0% 86.79% 13.21%

- UeENT

UeSAL[ %] UeSAL

UeSAL[ %] ∆Ue

UeSAL[ %]

Porcentaje 115.22% 100.0% 15.22%

Tabla 7: Tensiones efectivas y regulacion trifasica

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