Power Function Model in Time Series

Gillian Tampi70420090002

1

Power Regression Model

Power Regression Model atau Model Regresi Berpangkat termasuk didalam fungsi regresi non-linear yang dapat dilinearisasi dengan transformasipangkat atau power transformation. Power Regression model ini adalahmodel dimana variabel respon proporsional terhadap variabel prediktor yangberpangkat.

Power regression juga dikenal sebagai log-log regression, bentuk umumdari power function ini adalah:

Y = AXB (1)

koefisien a dan b dapat ditentukan dengan rumus yang didapatkan dari leastsquares fitting, yaitu:

b =n∑n

i=1 (lnxi ln yi)−∑n

i=1 (lnxi)∑n

i=1 (ln yi)

n∑n

i=1 (lnxi)2 − (

∑ni=1 lnxi)

2

a =

∑ni=1 (ln yi)− b

∑ni=1 (lnxi)

n

dimana B ≡ b dan A ≡ ea

Apabila suatu variabel respon Y dan variabel predictor X terhubungmelalui fungsi berpangkat, cara manual untuk mengetahui dalam pangkatberapa mereka terhubung adalah dengan memplot log y terhadap log x

Hal ini didapatkan dari penurunan rumus sederhana berikut:

y = axb

log(y) = log(axb)log(y) = log a+ log(xb)log y = log a+ b log x

Persamaan ini menjadi persamaan linear garis lurus dengan kemiringan(slope) b dan y-intercept log a, dimana sumbu horizontal merepresentasikanlog x dan sumbu vertikal merepresentasikan log y Nilai dari slope, yaitu b akanmengestimasi nilai pangkat dari persamaan garis regresi berpangkat. Misal-nya didapatkan b = 3, artinya variabel respon Y terhubung dengan variabelpredictor X melalui persamaan kubik atau pangkat tiga. Perlu diingat jugabahwa power model ini tidak hanya sebatas pangkat integer positif, tetapi

2

juga dapat berupa pangkat bilangan pecahan ataupun bilangan negatif.

Dalam analisis regresi, variabel prediktorX dapat berupa variabel apapun.Tetapi dalam analisis deret waktu, yang dianalisis adalah keterhubungansuatu variabel respon dengan variabel waktu. Dengan kata lain, variabelprediktor X harus berupa variabel t, yaitu waktu.

Program statistika seperti SPSS dapat digunakan untuk melakukan metodecurve fitting dengan lebih mudah.

Contoh soal:Data rata-rata harga rumah di Negara X pada tahun 2003-2011.

Tahun Harga1 2945032 3627193 20294114 11257295 22410596 3068192.767 4001584.198 5036769.589 4170038.58

Menggunakan program SPSS untuk menentukan curve estimation, dida-patkan hasil sebagai berikut:

Figure 1: Summary SPSS untuk curve estimation: Power function

Dapat dilihat bahwa R2 yang didapatkan cukup tinggi yaitu 0.893, me-nunjukkan bahwa power model merupakan model yang cukup baik untukmemodelkan Y yang adalah harga rumah di negara X. Sehingga didapatkanpersamaan:

y = 243979.551t1.378

3

Figure 2: Output Plot SPSS untuk curve estimation: Power function

Pada kurva diatas terlihat bahwa harga rumah di Negara X naik secaracepat. Jika trend ini berlanjut, maka hanya segelintir orang yang dapatmembeli rumah di negara X.

Ada beberapa tipe transformasi model yang dapat digunakan untuk melin-earkan model, atau untuk menstabilkan error variance. Beberapa diantaranyaadalah transformasi reciprocal 1

Y, transformasi akar kuadrat

√Y , dan trans-

formasi logaritmik lnY . Jenis-jenis transformasi ini dapat dilihat sebagaikasus umum dari power transformation (transformasi pangkat).

Dalam transformasi pangkat, kita menaikkan nilai pangkat dari variabelrespon Y dan/atau beberapa dari variabel predictor X. Contohnya, di-gunakan Y λ, dimana λ adalah exponen yang akan dipilih oleh analis databerdasarkan bukti teoritis ataupun bukti empirik.

Jika λ = 1, artinya tidak dibutuhkan transformasi apapun. Jika λ = 1,didapatkan transformasi reciprocal. Jika λ = 0.5, didapatkan transformasiakar kuadrat, dan jika λ = 0, didapatkan transformasi logaritmik. Tetapiperhatikan bahwa saat λ = 0, Y λ = 1 untuk setiap nilai Y . Untuk menghin-dari masalah ini, transformasi Y λ−1

λdigunakan. Dapat dilihat bahwa saat

λ mendekati 0, Y λ−1λ

mendekati lnY . Transformasi jenis ini disebut jugaBox-Cox power transformation.

4

Jika λ tidak dapat ditentukan berdasarkan pertimbangan teoritis, datayang ada dapat digunakan untuk menentukan nilai yang sesuai untuk λ. Halini dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik. Dalam prak-tiknya, beberapa nilai λ dicoba dan yang terbaik dipilih untuk menjadi nilaipangkat di dalam model. Nilai-nilai λ yang paling umum dicoba adalah:2, 1.5, 1.0, 0.5, 0,−0.5,−1,−1.5,−2. Nilai-nilai λ ini dipilih karena mudahuntuk diinterpretasikan. Nilai-nilai ini dikenal sebagai tangga transformasi(ladder of transformation).

ReferenceWeisstein, Eric W. ”Least Squares Fitting–Power Law.” From MathWorld–AWolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPowerLaw.html

Chatterjee, Samprit. 2006. ”Regression Analysis by Example”. New Jersey:John Wiley & Sons.

Benestad, Chris. 2002. ”Regression Analysis”. http://users.wpi.edu

5