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Instituto Tecnológico Superior de Lerdo Graficación. Preliminares Matemáticos

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Matrices.

Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como:

A = [

] B = *

+ C = [

] D = [

]

La matriz A es una matriz de cuatro filas y tres columnas (de dimensión 4x3). La matriz B es una matriz de 2 filas y 2 columnas (cuadrada, de dimensión 2x2). La matriz C es una matriz de 3 filas y 3 columnas (cuadrada, de dimensión 3x3). La matriz D tiene 3 filas y 4 columnas (de dimensión 3x4). Matriz Transpuesta. Dada la matriz cuadrada:

A =[

]

A la matriz:

AT = [

]

Se le denomina la matriz transpuesta de A. AT se obtiene de A por medio de traslaciones simétricas de sus elementos respecto de la diagonal como se ve en el ejemplo anterior. Este proceso se denomina también reflexión respecto de la diagonal. Es de notar que los elementos de la diagonal de A son los mismos que los de la diagonal de AT, o sea que los elementos de la diagonal permanecen fijos. Se puede decir que AT se obtiene de A por medio de una rotación de sus elementos, de 180º respecto de la diagonal que en este caso es el eje de rotación. Otra manera de obtener AT, a partir de A es transformando las filas de A en columnas de AT (o las columnas de A en filas de AT), es decir: 1ª columna de A ------> 1ª fila de AT 2ª columna de A ------> 2ª fila de AT 3ª columna de A ------> 3ª fila de AT


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La noción de matriz traspuesta se extiende a matrices de cualquier dimensión m x n (m=renglón, n=columna). Por ejemplo:

A = [

] AT = [

]

Una matriz cuadrada A es una matriz simétrica sí A = AT Más ejemplos en vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=YBmPsTeH2wA Multiplicación de Matrices. Dadas las matrices:

A = *

+ y B = [

] hallar AB

a) Primero determinamos si la multiplicación se puede realizar, analizando las

dimensiones de las matrices a multiplicar. En este caso la matriz A es de 2x3 (m = 2 y n = 3) y la matriz B es cuadrada de 3x3 (m = 3 y n = 3). En caso de que n de la matriz A sea igual a m de la matriz B, se podrá realizar la multiplicación; por lo tanto se procede a multiplicar.

b) Para multiplicar, tenemos que determinar la dimensión de la nueva matriz. Para eso, relacionamos los número de m de la matriz A con n de la matriz B. El resultado de la matriz será una nueva matriz de dimensiones 2 x 3.

c) Para efectuar la multiplicación, tomamos el primer renglón de la matriz A y lo multiplicamos por la primera columna de la matriz B. Cada multiplicación de los elementos se irán sumando, quedándonos en este caso como resultado el primer elemento de nuestra nueva matriz de 2 x 3.

1x2 + 2x2 + 3x1 = 2 + 4 + 3 = 9

d) Multiplicamos sucesivamente los elementos del primer renglón de la matriz A con

las siguientes columnas de B para determinar el resto de los renglones de la resultante.

1x1 + 2x5 + 3x2 = 1 + 10 + 6 = 17

1x3 + 2x7 + 3x4 = 3 + 14 + 12 = 29

e) Aplicamos el mismo método para el segundo renglón de A, con las demás

columnas de B.

http://www.youtube.com/watch?v=YBmPsTeH2wA


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4x2 + 5x2 + 6x1 = 8 + 10 + 6 = 24 4x1 + 5x5 + 6x2 = 4 + 25 + 12 = 41 4x3 + 5x7 + 6x4 = 12 + 35 + 24 = 71 El resultado es:

AB = *

+

Multiplicación de una matriz por un vector. Dados:

A = *

+ y b = [ ] hallar Ab

Utilizando el mismo análisis anterior para determinar si se puede o no realizar la operación de multiplicar, tomamos al vector b como si fuera una matriz de 3 renglones por una columna (3x1). Comparamos dimensiones: 2x3 3x1 El valor de la columna n de la matriz A es igual al valor m del vector b. Por lo tanto se puede efectuar la multiplicación, quedándonos una matriz resultante de 2 x 1. Entonces realizamos las siguientes operaciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Ab = *

+

¿Qué pasa si intentamos multiplicar un vector en forma horizontal por la matriz A? Por ejemplo: c = [ ] Pues sacamos primero la transpuesta del vector cT.

cT = [ ]


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Realizamos las operaciones:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

Quedando:

AcT = * +

Actividad: Proponer en grupos dos matrices y dos vectores (uno horizontal y uno vertical) para realizar las operaciones de matriz transpuesta, multiplicación de matices, multiplicación de un vector por una matriz (aplicando la transpuesta de un vector en el caso de la horizontal).

Vectores

A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos ( ) se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0,0) y cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).


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Análogamente, los elementos ( ) se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en

y en . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como

→

→

→. Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el

contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como a, b, k.


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Operaciones Básicas. Igualdad Si

→ ( ) y

→ ( ) entonces

→

→ si y solo si

. Ejemplo

→ ( ) y

→ ( )

Suma y Resta. Si

→ ( ) y

→ ( ) ;

→

→ ( ) y

→

→ ( )

Ejemplo:

Multiplicación por un escalar. Un escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo número real k. Consideremos al vector

→ ( ) y el escalar entonces

→ ( ).

Ejemplo:

Al analizar los vectores, los números se mencionarán como escalares.


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Propiedades de los vectores.

Norma (Euclidiana).

La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideana.

Observe que Ejemplo:


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Propiedades de la norma.

Producto vectorial (cruz) en

El producto cruz entre dos vectores en es un vector que es simultáneamente perpendicular a v y a w.


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La posición del vector v x w se puede establecer con la “regla de la mano derecha”,

Nota: ¿Matriz Identidad? Consultar el concepto.

Esta fórmula se puede calcular con un determinante:


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(*

+ *

+ *

+)

OBSERVACIÓN. Existe un patrón en la fórmula que es útil tener presente. Si se forma la matriz de 2x3

*

+

en donde los elementos del primer renglón son los componentes del primer factor u, y los del segundo renglón son los componentes del segundo factor v, entonces el determinante de la primera componente de u x v se obtiene al eliminar la primera columna de la matriz, el determinante de la segunda componente al eliminar la segunda columna de la matriz, y el determinante de la tercera componente al eliminar la tercera columna de la matriz. Nota: Consultar el tema de “Función Determinante” de matrices para más información.

Ejemplo:


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Propiedades del Producto Cruz.

Vector normal a la superficie. Un vector normal al plano π. Si

→ es perpendicular al plano π entonces P, Q π si y solo

si →

→ .


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Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie. Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente. Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial será perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos, es decir, perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores. Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie. Así el vector normal puede calcularse como:

Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:


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Ejemplo: Hallar el vector normal a la superficie de

→ [3 1 4]

( )

√

( )

√ ( )

√ (

√

√

√ )

Sistema de Coordenadas Rectangulares. En un curso elemental de álgebra aprendiste a representar los números reales como puntos en una línea recta que llamamos recta numérica. Ese hecho nos permite apreciar mejor algunas relaciones que existen entre distintos números reales. Por ejemplo, si un número real x es menor que un número real y, sus puntos correspondientes están en la recta numérica de modo que el punto de x está a la izquierda del punto de y.

Más aún, aprendiste que existe una correspondencia “uno a uno” entre los números reales y los puntos de una recta. Por esa razón es a veces conveniente hablar del número y de su punto correspondiente en la recta numérica como si fueran la misma cosa. Para especificar un punto en un plano nos valdremos de un sistema de coordenadas rectangulares formado al intersecar perpendicularmente por el origen de ambas a dos rectas numéricas en el plano. A una de las rectas la representamos horizontalmente y la llamamos el eje de abscisas o eje de x. A la otra recta la representamos verticalmente y la llamamos el eje de ordenadas o eje de y.


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Asociaremos a un punto A en el plano, un par ordenado de números reales (x, y), de los cuales, el primero, x, es el punto en el eje x intersecado por una recta vertical que pasa por el punto A; y el segundo de los números, y, es el punto en el eje y, intersecado por una recta horizontal que pasa por el punto A. Al par ordenado (x, y) lo llamamos las coordenadas de A y a cada uno de los números en el par ordenado lo llamamos un componente o coordenada. Note que el orden en que escribimos los componentes del par ordenado es muy importante. En el dibujo previo puedes apreciar que las coordenadas (1, 2) corresponden a un punto distinto del que corresponde a las coordenadas (2, 1). Para cada par de números reales (x, y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde y, recíprocamente, para cada punto en el plano existe sólo un par ordenado (x, y) que le corresponde. Por eso decimos que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales. El sistema de coordenadas rectangulares que estamos describiendo divide al plano en cuatro regiones o cuadrantes. Al cuadrante que está arriba del eje x y a la derecha del eje y lo llamamos el cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos el cuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos está el cuadrante tres (cuadrante III). A la derecha del cuadrante III está el cuadrante cuatro (cuadrante IV). Puedes verificar que para todos los puntos del cuadrante I ambas coordenadas son positivas; para los puntos del cuadrante II, la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas coordenadas son negativas y en el cuadrante


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IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa. El siguiente dibujo resume esas observaciones.

La representación matemática de la recta numérica y el sistema de coordenadas rectangulares se representa como R1 y R2 respectivamente. Espacio Euclidiano n Dimensional. Definición. Si n es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números reales (a1, a2,…, an). El conjunto de todas las n-adas ordenadas se conoce como espacio n dimensional y de denota por Rn. En el estudio del espacio tridimensional, el símbolo (a1, a2, a3) tiene dos interpretaciones geométricas diferentes. Puede interpretarse como un punto, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las coordenadas o se puede interpretar como un vector, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las componentes. Desde el punto de vista matemático estas interpretaciones no tienen importancia.


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Las operaciones con vectores comunes como son la adición y multiplicación por un escalar se denominan operaciones estándar sobre Rn. Por lo tanto las propiedades de los vectores también son aplicables dentro del concepto de espacio euclidiano así como también el cálculo de la norma. Rectas y planos en el espacio tridimensional. Definición geométrica de un plano. Un plano define los límites o fronteras de un volumen. Conceptualmente considerado, tiene longitud y anchura pero no tiene profundidad. Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor. El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella. El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos. En geometría analítica en el plano, se puede especificar una recta al dar su pendiente y uno sus puntos. Análogamente, es posible determinar un plano en el espacio tridimensional al dar su inclinación y especificar uno de sus puntos. Un método conveniente para describir la inclinación es especificar un vector (llamado normal) que sea perpendicular al plano. Supóngase que se desea la ecuación del plano que pasa por el punto P0 (x0, y0, z0) y que tiene como normal al vector n = (a, b, c).

(a1, a2, a3) (a1, a2, a3)


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Es evidente en la figura, que el plano consta precisamente de aquellos puntos P(x, y, z) para los cuales el vector P0P es ortogonal a n; es decir, para los que

n ˙ P0P = 0

dado que P0P = (x-x0, y – y0, z –z0)* la expresión anterior se puede volver a escribir como

a(x –x0) + b(y –y0) + c(z –z0) = 0

* Tomando en cuenta que los puntos del origen del vector no se encuentran en el origen.

A esta expresión se le da el nombre de forma punto-normal de la ecuación de un plano. Ejemplo. Encuéntrese la ecuación del plano que pasa por el punto (3, -1, 7) y es perpendicular al vector n = (4, 2, -5). Solución. Por la expresión anterior, una forma punto-normal es 4(x - 3) + 2(y + 1) – 5 (z -7) = 0


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Al realizar las multiplicaciones y agrupar los términos, se puede escribir en forma ax + by + cz + d = 0 en donde a, b, c y d son constantes, y a, b y c no son todas cero. Como ilustración, la ecuación del ejemplo se puede escribir como 4x + 2y - 5z + 25 = 0 Según lo que indica el teorema que sigue, toda ecuación que tiene la forma anterior representa un plano en el espacio tridimensional. Teorema. Si a, b, c y d son constantes, y a, b, y c no son todas cero, la gráfica de la ecuación ax + by + cz + d = 0 es un plano que tiene al vector n=(a, b, c) como normal.

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