primeiro seminario: teoria campos clássicos

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Campos de calibre cl ´ assicos: Maxwell M.T. Thomaz [email protected] Instituto de F´ ısica, UFF Resumo: A partir do princ´ ıpio de m´ ınima ac ¸˜ ao reobtemos as equac ¸˜ oes de movimento cl´ assicas reescritas atrav ´ es das equac ¸˜ oes de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´ ıpio para obter as equac ¸˜ oes de movimento dos campos cl´ assicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagn´ eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noc ¸˜ ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformac ¸˜ ao da Relatividade Restrita e escrever as equac ¸˜ oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos el´ etrico e magn´ etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariˆ ancia de calibre ´ e implementada nestes campos. M.T. Thomaz (Instituto de F´ ısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CL ´ ASSICOS 1 / 33

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A partir do princípio de mínima ação o reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noçãoo de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elérico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos. Primeiro seminário: 1. Princípio de mínima ação 2. Revisão de tópicos em Matemática

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Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. [email protected]

Instituto de Fısica, UFF

Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 1 / 33

Apresentacao:

1. Princıpio de mınima acao

2. Revisao de topicos em Matematica

3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

4. Espaco de Minkowski

5. Princıpio de Hamilton para campos classicos

6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 2 / 33

Princıpio de mınima acao

Princıpio de mınima acao

Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.Onde o objeto estara daqui a 3s?

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 3 / 33

Princıpio de mınima acao

Princıpio de mınima acao

Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.Onde o objeto estara daqui a 3s?

A Mecanica Classica utiliza as 3leis de Newton para fazer estaprevisao.

Sir Isaac Newton

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 3 / 33

Princıpio de mınima acao

Princıpio de mınima acao

Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.Onde o objeto estara daqui a 3s?

A Mecanica Classica utiliza as 3leis de Newton para fazer estaprevisao.

Sir Isaac Newton

As leis de Newton descrevem aevolucao do movimento deuma partıcula.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 3 / 33

Princıpio de mınima acao

As 3 Leis de Newton:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 4 / 33

Princıpio de mınima acao

As 3 Leis de Newton:1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneouniforme a menos que uma forca atue sobre ele.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 4 / 33

Princıpio de mınima acao

As 3 Leis de Newton:1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneouniforme a menos que uma forca atue sobre ele.

2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal formaque a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 4 / 33

Princıpio de mınima acao

As 3 Leis de Newton:1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneouniforme a menos que uma forca atue sobre ele.

2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal formaque a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.

3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcassao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 4 / 33

Princıpio de mınima acao

As 3 Leis de Newton:1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneouniforme a menos que uma forca atue sobre ele.

2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal formaque a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.

3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcassao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos.

A 2.a Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma partıculapontual:

d~p(t)

dt= ~F(t),

onde ~p(t) = m~v(t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 4 / 33

Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 5 / 33

Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 5 / 33

Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t

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Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 5 / 33

Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

Para conhecermos a posicao da partıcula no instante (t +∆t)necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 5 / 33

Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

Para conhecermos a posicao da partıcula no instante (t +∆t)necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).

A 2a lei de Newton nos da:

F(t)

m=

∆t→0

v(t +∆t)− v(t)

∆t

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Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

Para conhecermos a posicao da partıcula no instante (t +∆t)necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).

A 2a lei de Newton nos da:

F(t)

m=

∆t→0

v(t +∆t)− v(t)

∆t⇒ v(t +∆t) =

∆t→0v(t) +

F(t)

m∆t.

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Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

Para conhecermos a posicao da partıcula no instante (t +∆t)necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).

A 2a lei de Newton nos da:

F(t)

m=

∆t→0

v(t +∆t)− v(t)

∆t⇒ v(t +∆t) =

∆t→0v(t) +

F(t)

m∆t.

A 2a lei de Newton determina v(t)

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Princıpio de mınima acao

Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?

Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).

Relembrando o conceito de velocidade:

v(t) =∆t→0

x(t +∆t)− x(t)

∆t⇒ x(t +∆t) =

∆t→0x(t) + v(t)∆t.

Para conhecermos a posicao da partıcula no instante (t +∆t)necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).

A 2a lei de Newton nos da:

F(t)

m=

∆t→0

v(t +∆t)− v(t)

∆t⇒ v(t +∆t) =

∆t→0v(t) +

F(t)

m∆t.

A 2a lei de Newton determina v(t) ⇒ nos permite conhecer x(t).

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Princıpio de mınima acao

Aplicacoes da 2.a Lei de Newton:

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Princıpio de mınima acao

Aplicacoes da 2.a Lei de Newton:

Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa:

~F(~x) = −~∇V(~x) =⇒ md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 6 / 33

Princıpio de mınima acao

Aplicacoes da 2.a Lei de Newton:

Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa:

~F(~x) = −~∇V(~x) =⇒ md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

Como exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica damola que tem a seguinte funcao potencial:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 6 / 33

Princıpio de mınima acao

Aplicacoes da 2.a Lei de Newton:

Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa:

~F(~x) = −~∇V(~x) =⇒ md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

Como exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica damola que tem a seguinte funcao potencial:

V(x) = 1

2kx2

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Princıpio de mınima acao

Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:

md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x) + ~F(t).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

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Princıpio de mınima acao

Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:

md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x) + ~F(t).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

Como exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temosas funcoes periodicas:

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Princıpio de mınima acao

Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:

md2~x(t)

dt2= −~∇V(~x) + ~F(t).

~x(t): trajetoria percorrida pela partıcula.

Como exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temosas funcoes periodicas:

F(t) = F0 cos(ωt)

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Princıpio de mınima acao

Sabemos que a 2a lei de Newton

d~p(t)

dt= ~F(t),

sendo ~p(t) = m~v(t), nos da a relacao correta entre a causa (~F(t)) e oefeito (~a(t), aceleracao).

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Princıpio de mınima acao

Sabemos que a 2a lei de Newton

d~p(t)

dt= ~F(t),

sendo ~p(t) = m~v(t), nos da a relacao correta entre a causa (~F(t)) e oefeito (~a(t), aceleracao).

Sera que e possıvel obter a 2a lei deNewton atraves de um outro conjunto depostulados????

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 8 / 33

Princıpio de mınima acao

Sabemos que a 2a lei de Newton

d~p(t)

dt= ~F(t),

sendo ~p(t) = m~v(t), nos da a relacao correta entre a causa (~F(t)) e oefeito (~a(t), aceleracao).

Sera que e possıvel obter a 2a lei deNewton atraves de um outro conjunto depostulados????

Pergunte ao Alexander Hamilton:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 8 / 33

Princıpio de mınima acao

Sabemos que a 2a lei de Newton

d~p(t)

dt= ~F(t),

sendo ~p(t) = m~v(t), nos da a relacao correta entre a causa (~F(t)) e oefeito (~a(t), aceleracao).

Sera que e possıvel obter a 2a lei deNewton atraves de um outro conjunto depostulados????

Pergunte ao Alexander Hamilton:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 8 / 33

Princıpio de mınima acao

Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.

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Princıpio de mınima acao

Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.

O que e um funcional? Uma operacao que e realizada sobrefuncoes.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 9 / 33

Princıpio de mınima acao

Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.

O que e um funcional? Uma operacao que e realizada sobrefuncoes.

Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 9 / 33

Princıpio de mınima acao

Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.

O que e um funcional? Uma operacao que e realizada sobrefuncoes.

Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:

K(0, 1s) ≡

∫1s

0

dt P(x(t); t)

sendo que

P(x(t); t) ≡(x(t))2

2.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 9 / 33

Princıpio de mınima acao

Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.

O que e um funcional? Uma operacao que e realizada sobrefuncoes.

Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:

K(0, 1s) ≡

∫1s

0

dt P(x(t); t)

sendo que

P(x(t); t) ≡(x(t))2

2.

O funcional K(0, 1s) transforma a funcao x(t) num unico numero.

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Princıpio de mınima acao

Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:

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Princıpio de mınima acao

Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:

x(0) = 0 e x(1s) = 1

(m

s

)

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 10 / 33

Princıpio de mınima acao

Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:

x(0) = 0 e x(1s) = 1

(m

s

)

.

ou seja,

x1(t) = 1(

ms2

)· t,

x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 10 / 33

Princıpio de mınima acao

Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:

x(0) = 0 e x(1s) = 1

(m

s

)

.

ou seja,

x1(t) = 1(

ms2

)· t,

x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 10 / 33

Princıpio de mınima acao

Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:

x(0) = 0 e x(1s) = 1

(m

s

)

.

ou seja,

x1(t) = 1(

ms2

)· t,

x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t.

Qual o valor do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) ex2(t)?

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Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

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Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

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Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

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Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

=1

(m2

s

)

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

=1

(m2

s

)

.

ii) x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

=1

(m2

s

)

.

ii) x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t

K2(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

[

2

(m

s3

)

· t2− 1

(m

s2

)

· t]2

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

=1

(m2

s

)

.

ii) x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t

K2(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

[

2

(m

s3

)

· t2− 1

(m

s2

)

· t]2

=

∫1s

0

dt1

2

[

4 ·

(m2

s6

)

· t4 + 1 ·

(m2

s4

)

· t2− 4 ·

(m2

s5

)

· t3

]

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1(t) e x2(t):

i) x1(t) = 1(

ms2

)· t

K1(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

(

1

(m

s2

)

· t)2

=(

1

(m

s2

))2

·t3

6

∣∣∣

1s

0

=1

(m2

s

)

.

ii) x2(t) = 2(

ms3

)· t2 − 1

(ms2

)· t

K2(0, 1s) =

∫1s

0

dt1

2

[

2

(m

s3

)

· t2− 1

(m

s2

)

· t]2

=

∫1s

0

dt1

2

[

4 ·

(m2

s6

)

· t4 + 1 ·

(m2

s4

)

· t2− 4 ·

(m2

s5

)

· t3

]

=1

15·

(m2

s

)

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 11 / 33

Princıpio de mınima acao

Princıpio de Hamilton:Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os vınculos que o sistema deve satisfazer),o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempoda funcao lagrangeana L:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

onde S e a acao.

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Princıpio de mınima acao

Princıpio de Hamilton:Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os vınculos que o sistema deve satisfazer),o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempoda funcao lagrangeana L:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

onde S e a acao.A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos

que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular.

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Princıpio de mınima acao

Princıpio de Hamilton:Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os vınculos que o sistema deve satisfazer),o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempoda funcao lagrangeana L:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

onde S e a acao.A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos

que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular.

Note que a acao S e um funcional de L. A funcao L depende daposicao (x(t)) e da velocidade (x(t)) da partıcula no instante t.

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Princıpio de mınima acao

Revisao: condicao de extremo de uma funcao.

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Princıpio de mınima acao

Revisao: condicao de extremo de uma funcao.

Seja a funcao f (x),

f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 13 / 33

Princıpio de mınima acao

Revisao: condicao de extremo de uma funcao.

Seja a funcao f (x),

f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18

Os extremos (mınimo e maximo) da funcao f (x) sao obtidos dacondicao:

df (x)

dx= 0 ⇐⇒

f (x +∆x)− f (x)

∆x=

∆x→00.

Devemos notar que x e o parametro/variavel da funcao.

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Princıpio de mınima acao

Variacao do caminho classico para aplicar ao Princıpiode Hamilton:

t

x(t)

Figura 1.1

2

3

1

t t0 f

xcl(t): trajetoria da partıcula classicax(t;α): trajetoria que corresponde a uma pequena variacao a xcl(t) comextremidades fixas, ou seja,

x(t;α) = xcl(t) + αη(t) onde η(t0) = η(tf ) = 0.

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Princıpio de mınima acao

Acao:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),

Como implementar o Princıpio de Hamilton na acao?

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 33

Princıpio de mınima acao

Acao:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),

Como implementar o Princıpio de Hamilton na acao?

δS[x(t)] = S[x(t;α)]− S[xcl(t)] = S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] =α→0

0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 33

Princıpio de mınima acao

Acao:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),

Como implementar o Princıpio de Hamilton na acao?

δS[x(t)] = S[x(t;α)]− S[xcl(t)] = S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] =α→0

0.

ou, condicao de extremo da acao:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 33

Princıpio de mınima acao

Acao:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),

Como implementar o Princıpio de Hamilton na acao?

δS[x(t)] = S[x(t;α)]− S[xcl(t)] = S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] =α→0

0.

ou, condicao de extremo da acao:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0.

Pela definicao de derivada de uma funcao:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

=α→0

G(α)− G(0)

α︸︷︷︸

∆α→0

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 33

Princıpio de mınima acao

Acao:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),

Como implementar o Princıpio de Hamilton na acao?

δS[x(t)] = S[x(t;α)]− S[xcl(t)] = S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] =α→0

0.

ou, condicao de extremo da acao:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0.

Pela definicao de derivada de uma funcao:

∂G(α)

∂α

∣∣∣∣α=0

=α→0

G(α)− G(0)

α︸︷︷︸

∆α→0

⇒∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=∆α→0

S(α)− S(0)

∆α.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 15 / 33

Princıpio de mınima acao

Mas:

S(α)− S(0)

∆α=

=

∫ tf

t0

dt[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α.

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Princıpio de mınima acao

Mas:

S(α)− S(0)

∆α=

=

∫ tf

t0

dt[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α.

Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:

[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 16 / 33

Princıpio de mınima acao

Mas:

S(α)− S(0)

∆α=

=

∫ tf

t0

dt[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α.

Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:

[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

∆x︷︸︸︷αη

αη

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 16 / 33

Princıpio de mınima acao

Mas:

S(α)− S(0)

∆α=

=

∫ tf

t0

dt[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α.

Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:

[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

∆x︷︸︸︷αη

αη

+[L(xcl, xcl + αη; t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α× ·

αη

αη︸︷︷︸

∆x

.

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Princıpio de mınima acao

Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 33

Princıpio de mınima acao

Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆x× ·

∆x

∆α

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 33

Princıpio de mınima acao

Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆x× ·

∆x

∆α

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α,

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 33

Princıpio de mınima acao

Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆x× ·

∆x

∆α

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α,

e

[L(xcl, xcl + αη; t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl, xcl + αη; t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆x× ·

∆x

∆α

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 33

Princıpio de mınima acao

Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl + αη, xcl + αη; t)− L(xcl, xcl + αη; t)]

∆x× ·

∆x

∆α

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α,

e

[L(xcl, xcl + αη; t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α× ·

αη

αη=

=[L(xcl, xcl + αη; t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆x× ·

∆x

∆α

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 17 / 33

Princıpio de mınima acao

Juntando todos os resultados anteriores:[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α+

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α.

Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x saotratadas como variaveis independentes.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 33

Princıpio de mınima acao

Juntando todos os resultados anteriores:[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α+

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α.

Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x saotratadas como variaveis independentes.Devemos lembrar que

x(t) = xcl(t) + α · η(t) ⇒∂x

∂α= η(t)

x(t) = xcl(t) + α · η(t) ⇒∂x

∂α= η(t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 33

Princıpio de mınima acao

Juntando todos os resultados anteriores:[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α+

∂L(x, x; t)

∂x·∂x

∂α.

Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x saotratadas como variaveis independentes.Devemos lembrar que

x(t) = xcl(t) + α · η(t) ⇒∂x

∂α= η(t)

x(t) = xcl(t) + α · η(t) ⇒∂x

∂α= η(t).

Assim:[L(xcl(t) + αη(t), xcl(t) + αη(t); t)− L(xcl(t), xcl(t); t)]

∆α=

=∆α→0

∂L(x, x; t)

∂x· η(t) +

∂L(x, x; t)

∂x· η(t).

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 18 / 33

Princıpio de mınima acao

Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

{∂L(x, x; t)

∂x· η(t) +

∂L(x, x; t)

∂x· η

}

= 0.

Na expressao anterior as η e η = dη(t)dt nao sao independentes, por isso

nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 33

Princıpio de mınima acao

Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

{∂L(x, x; t)

∂x· η(t) +

∂L(x, x; t)

∂x· η

}

= 0.

Na expressao anterior as η e η = dη(t)dt nao sao independentes, por isso

nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.

Utilizamos a integracao por partes,∫

u dv = u · v −

v du,

para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 33

Princıpio de mınima acao

Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

{∂L(x, x; t)

∂x· η(t) +

∂L(x, x; t)

∂x· η

}

= 0.

Na expressao anterior as η e η = dη(t)dt nao sao independentes, por isso

nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.

Utilizamos a integracao por partes,∫

u dv = u · v −

v du,

para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x=

∫ tf

t0

∂L(x, x; t)

∂x︸ ︷︷ ︸

u

dη︸︷︷︸

dv

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 33

Princıpio de mınima acao

Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

{∂L(x, x; t)

∂x· η(t) +

∂L(x, x; t)

∂x· η

}

= 0.

Na expressao anterior as η e η = dη(t)dt nao sao independentes, por isso

nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.

Utilizamos a integracao por partes,∫

u dv = u · v −

v du,

para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x=

∫ tf

t0

∂L(x, x; t)

∂x︸ ︷︷ ︸

u

dη︸︷︷︸

dv

= η(t)︸︷︷︸

η(t0)=η(tf )=0

·∂L(x, x; t)

∂x

∣∣∣

tf

t0

∫ tf

t0

dt η(t)d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 19 / 33

Princıpio de mınima acao

Finalmente temos:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x= −

∫ tf

t0

dt η(t)d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

,

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 33

Princıpio de mınima acao

Finalmente temos:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x= −

∫ tf

t0

dt η(t)d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

,

e a condicao de extremo da acao fica:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

[∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)]

· η(t) = 0.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 33

Princıpio de mınima acao

Finalmente temos:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x= −

∫ tf

t0

dt η(t)d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

,

e a condicao de extremo da acao fica:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

[∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)]

· η(t) = 0.

Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e paraqualquer intervalo de tempo [t0, tf ], devemos ter:

∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

= 0,

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 33

Princıpio de mınima acao

Finalmente temos:∫ tf

t0

dtdη

dt·∂L(x, x; t)

∂x= −

∫ tf

t0

dt η(t)d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

,

e a condicao de extremo da acao fica:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=

∫ tf

t0

dt

[∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)]

· η(t) = 0.

Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e paraqualquer intervalo de tempo [t0, tf ], devemos ter:

∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

= 0, Equacao de Lagrange.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 20 / 33

Princıpio de mınima acao

A funcao lagrangeana L depende do sistema queestamos tratando: partıculas nao-relativısticas,partıculas relativısticas, campos eletromagneticos, ...

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 21 / 33

Princıpio de mınima acao

A funcao lagrangeana L depende do sistema queestamos tratando: partıculas nao-relativısticas,partıculas relativısticas, campos eletromagneticos, ...

Como escolher a funcao langreagena?

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 21 / 33

Princıpio de mınima acao

A funcao lagrangeana L depende do sistema queestamos tratando: partıculas nao-relativısticas,partıculas relativısticas, campos eletromagneticos, ...

Como escolher a funcao langreagena?A funcao lagrangeana L e escolhida de tal forma quea eq. de Lagrange da as equacoes de movimentoclassicas!!!!

Joseph Louis Lagrange

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 21 / 33

Princıpio de mınima acao

Partıculas nao-relativısticas:A velocidade da luz, c ≈ 3×10

8(

ms

), nos da uma escala para sabermos

se uma partıcula e ou nao uma partıcula relativıstica. Partıculas nao-relativısticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 22 / 33

Princıpio de mınima acao

Partıculas nao-relativısticas:A velocidade da luz, c ≈ 3×10

8(

ms

), nos da uma escala para sabermos

se uma partıcula e ou nao uma partıcula relativıstica. Partıculas nao-relativısticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.

Exemplo 1. Forca conservativa:Partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcas conservativas:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

pois,

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 22 / 33

Princıpio de mınima acao

Partıculas nao-relativısticas:A velocidade da luz, c ≈ 3×10

8(

ms

), nos da uma escala para sabermos

se uma partıcula e ou nao uma partıcula relativıstica. Partıculas nao-relativısticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.

Exemplo 1. Forca conservativa:Partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcas conservativas:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

pois,

∂L

∂x= mx e

∂L

∂x= −

dV(x)

dx.

Substituindo na equacao de Lagrange[∂L(x,x;t)

∂x −ddt

(∂L(x,x;t)

∂x

)

= 0

]

,

obtemos:

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 22 / 33

Princıpio de mınima acao

Partıculas nao-relativısticas:A velocidade da luz, c ≈ 3×10

8(

ms

), nos da uma escala para sabermos

se uma partıcula e ou nao uma partıcula relativıstica. Partıculas nao-relativısticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.

Exemplo 1. Forca conservativa:Partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcas conservativas:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

pois,

∂L

∂x= mx e

∂L

∂x= −

dV(x)

dx.

Substituindo na equacao de Lagrange[∂L(x,x;t)

∂x −ddt

(∂L(x,x;t)

∂x

)

= 0

]

,

obtemos:

−dV(x)

dx−

d(mx)

dt= 0 ⇒ m

d2x(t)

dt2= −

dV(x)

dx.

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Princıpio de mınima acao

A lagrangeana de partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcasconservativas e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

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Princıpio de mınima acao

A lagrangeana de partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcasconservativas e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

Observem que a lagrangeana de partıculas nao-relativısticas NAOe a energia mecanica total da partıcula,

Etotal =1

2mx(t)2 + V(x).

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Princıpio de mınima acao

A lagrangeana de partıculas nao-relativısticas sujeitas a forcasconservativas e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

Observem que a lagrangeana de partıculas nao-relativısticas NAOe a energia mecanica total da partıcula,

Etotal =1

2mx(t)2 + V(x).

Por que a lagrangeana L nao poderia ser a energia mecanica totalda partıcula nao-relativıstica?

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Princıpio de mınima acao

Exercıcio: Mostre que para uma partıcula sob a acao da superposicaode uma forca conservativa e de uma forca dependente do tempo, alagrangeana que descreve o movimento desta partıcula nao-relativısticae:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x) + F(t)x(t),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita e F(t) aforca dependente do tempo que age sobre esta mesma pattıcula.

Lembrando a eq. de Lagrange:

∂L(x, x; t)

∂x−

d

dt

(∂L(x, x; t)

∂x

)

= 0.

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Princıpio de mınima acao

Finalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt,

dao origem as mesmas equacoes de movimento.

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Princıpio de mınima acao

Finalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt,

dao origem as mesmas equacoes de movimento.

Antes, vejamos o exemplo de duas funcoes f (x) e g(x) que diferem poruma constante,

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Princıpio de mınima acao

Finalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt,

dao origem as mesmas equacoes de movimento.

Antes, vejamos o exemplo de duas funcoes f (x) e g(x) que diferem poruma constante,

f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18

g(x) = f (x) + 20

Os valores de x em que temos

os extremos de f(x) e de g(x)

sao os mesmos:df (x)

dx =dg(x)

dx = 0.

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Princıpio de mınima acao

Sejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt.

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Princıpio de mınima acao

Sejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt.

Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t),

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

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Princıpio de mınima acao

Sejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt.

Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t),

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

e S1 a acao associada a lagrangreana L1(x(t), x(t); t),

S1[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L1(x(t), x(t); t).

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Princıpio de mınima acao

Sejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total,

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt.

Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t),

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t),

e S1 a acao associada a lagrangreana L1(x(t), x(t); t),

S1[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L1(x(t), x(t); t).

Qual a relacao entre as acoes S e S1, se as calculamos para astrajetorias:

x(t) = xcl(t) + α · η(t) com η(t0) = η(tf ) = 0?

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Princıpio de mınima acao

Seja:

S1[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L1(x(t), x(t); t).

=

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t)

︸ ︷︷ ︸

S[x(t)=xcl+αη(t);t0,tf ]

+

∫ tf

t0

dtdG(x(t), x(t); t)

dt︸ ︷︷ ︸

∫ G(x(tf ))

G(x(t0))dG

= S[xcl + αη(t); t0, tf ] + [G(x(tf ))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(tf ))

− G(x(t0))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(t0))

]

S1[xcl + αη(t); t0, tf ] = S[xcl + αη(t); t0, tf ] + G(xcl(tf ))− G(xcl(t0))︸ ︷︷ ︸

funcao independente de α

.

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Princıpio de mınima acao

Seja:

S1[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L1(x(t), x(t); t).

=

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t)

︸ ︷︷ ︸

S[x(t)=xcl+αη(t);t0,tf ]

+

∫ tf

t0

dtdG(x(t), x(t); t)

dt︸ ︷︷ ︸

∫ G(x(tf ))

G(x(t0))dG

= S[xcl + αη(t); t0, tf ] + [G(x(tf ))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(tf ))

− G(x(t0))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(t0))

]

S1[xcl + αη(t); t0, tf ] = S[xcl + αη(t); t0, tf ] + G(xcl(tf ))− G(xcl(t0))︸ ︷︷ ︸

funcao independente de α

.

As condicoes de extremo das duas acoes:

∂S

∂α=

∂S1

∂α= 0,

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Princıpio de mınima acao

Seja:

S1[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L1(x(t), x(t); t).

=

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t)

︸ ︷︷ ︸

S[x(t)=xcl+αη(t);t0,tf ]

+

∫ tf

t0

dtdG(x(t), x(t); t)

dt︸ ︷︷ ︸

∫ G(x(tf ))

G(x(t0))dG

= S[xcl + αη(t); t0, tf ] + [G(x(tf ))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(tf ))

− G(x(t0))︸ ︷︷ ︸

G(xcl(t0))

]

S1[xcl + αη(t); t0, tf ] = S[xcl + αη(t); t0, tf ] + G(xcl(tf ))− G(xcl(t0))︸ ︷︷ ︸

funcao independente de α

.

As condicoes de extremo das duas acoes:

∂S

∂α=

∂S1

∂α= 0,

e a mesma trajetoria xcl(t) extremiza as duas acoes S e S1.M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 27 / 33

Princıpio de mınima acao

Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S?

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Princıpio de mınima acao

Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S?

No caso de partıcula nao-relativıstiva, a lagrangeana deste sistema e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

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Princıpio de mınima acao

Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S?

No caso de partıcula nao-relativıstiva, a lagrangeana deste sistema e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

A dimensao da lagrangeana L:

[L] =

[mx2

2

]

⇒ [L] =Ml2

T2,

sendo M a dimensao de massa, l a dimensao de comprimento e T adimensao de tempo.

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Princıpio de mınima acao

Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S?

No caso de partıcula nao-relativıstiva, a lagrangeana deste sistema e:

L(x(t), x(t); t) =1

2mx(t)2

− V(x),

sendo V(x) a energia potencial a que a partıcula esta sujeita.

A dimensao da lagrangeana L:

[L] =

[mx2

2

]

⇒ [L] =Ml2

T2,

sendo M a dimensao de massa, l a dimensao de comprimento e T adimensao de tempo.

Note que apesar da lagrangeana L nao ser a energia mecanica total,ela tem dimensao de energia.

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Princıpio de mınima acao

A acao S e:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t).

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Princıpio de mınima acao

A acao S e:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t).

Dimensao da acao S:

[S] = [L] · [t] ⇒ [S] =Ml2

T2· T ⇒ [S] =

Ml2

T.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 29 / 33

Princıpio de mınima acao

A acao S e:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t).

Dimensao da acao S:

[S] = [L] · [t] ⇒ [S] =Ml2

T2· T ⇒ [S] =

Ml2

T.

Qual a dimensao do momento angular?

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 29 / 33

Princıpio de mınima acao

A acao S e:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t).

Dimensao da acao S:

[S] = [L] · [t] ⇒ [S] =Ml2

T2· T ⇒ [S] =

Ml2

T.

Qual a dimensao do momento angular?O vetor momento angular ~L de uma partıcula localizada na posicao ~x ecom momento linear ~p e:

~L = ~x ×~p ⇒ [L] = l ·Ml

T⇒ [L] =

Ml2

T.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 29 / 33

Princıpio de mınima acao

A acao S e:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t).

Dimensao da acao S:

[S] = [L] · [t] ⇒ [S] =Ml2

T2· T ⇒ [S] =

Ml2

T.

Qual a dimensao do momento angular?O vetor momento angular ~L de uma partıcula localizada na posicao ~x ecom momento linear ~p e:

~L = ~x ×~p ⇒ [L] = l ·Ml

T⇒ [L] =

Ml2

T.

Verificamos que a acao S tem dimensao de momento angular.

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Revisao de topicos em Matematica

Operadores diferenciais

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Revisao de topicos em Matematica

Operadores diferenciais

Vetor: ~v(~x) = vx(~x)ı+ vy(~x)+ vz(~x)k.

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Revisao de topicos em Matematica

Operadores diferenciais

Vetor: ~v(~x) = vx(~x)ı+ vy(~x)+ vz(~x)k.

i. Gradiente ~∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas:

~∇f (~x) = ı∂f (~x)

∂x+

∂f (~x)

∂y+ k

∂f (~x)

∂z.

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Revisao de topicos em Matematica

Operadores diferenciais

Vetor: ~v(~x) = vx(~x)ı+ vy(~x)+ vz(~x)k.

i. Gradiente ~∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas:

~∇f (~x) = ı∂f (~x)

∂x+

∂f (~x)

∂y+ k

∂f (~x)

∂z.

ii. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas:

~∇ · ~v(~x) =∂vx(~x)

∂x+

∂vy(~x)

∂y+

∂vz(~x)

∂z.

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Revisao de topicos em Matematica

Operadores diferenciais

Vetor: ~v(~x) = vx(~x)ı+ vy(~x)+ vz(~x)k.

i. Gradiente ~∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas:

~∇f (~x) = ı∂f (~x)

∂x+

∂f (~x)

∂y+ k

∂f (~x)

∂z.

ii. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas:

~∇ · ~v(~x) =∂vx(~x)

∂x+

∂vy(~x)

∂y+

∂vz(~x)

∂z.

iii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas:

~∇× ~v(~x) = ı

(∂vz(~x)

∂y−

∂vy(~x)

∂z

)

+

(∂vx(~x)

∂z−

∂vz(~x)

∂x

)

+

+ k

(∂vy(~x)

∂x−

∂vx(~x)

∂y

)

.

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Revisao de topicos em Matematica

Exercıcio: Usando a definicao dos operadores diferenciais emcoordenadas cartesinas, mostre as propriedades gerais dadivergencia e do rotacional:

~∇ · (~∇× ~v(~x)) = 0,

~∇× (~∇g(~x)) = 0,

~∇× (~∇× ~v(~x)) = ~∇(~∇ · ~v(~x))−∇2~v(~x),

onde as componentes do vetor ~v(~x) e g(~x) sao funcoes nao-singularese

∇2 =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2.

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Revisao de topicos em Matematica

Teorema de Gauss

Seja~f(~x) um vetor definido em todosos pontos dentro de um volume V e naarea fechada S que delimita este volume.

O Teorema de Gauss nos da que:

Carl Friedrich Gauss

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Revisao de topicos em Matematica

Teorema de Gauss

Seja~f(~x) um vetor definido em todosos pontos dentro de um volume V e naarea fechada S que delimita este volume.

O Teorema de Gauss nos da que:

Carl Friedrich Gauss

V d3~x ~∇ ·~f(~x) =∮

S~f(~x) · nds,

onde ds e uma area infinitesimal sobre a superfıcie S e n e um vetorunitario perpendicular em cada ponto a superfıcie S. O vetor n apontapara fora do volume delimitado.

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Revisao de topicos em Matematica

Teorema de Stokes.

George Gabriel Stokes

Seja Γ uma linha fechada e S qualquersuperfıcie delimitada pela linha Γ. Seja~f(~x) um vetor definido em todos ospontos da superfıcie S inclusive aolongo da linha Γ.

Pelo Teorema de Stokes temos que:

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Revisao de topicos em Matematica

Teorema de Stokes.

George Gabriel Stokes

Seja Γ uma linha fechada e S qualquersuperfıcie delimitada pela linha Γ. Seja~f(~x) um vetor definido em todos ospontos da superfıcie S inclusive aolongo da linha Γ.

Pelo Teorema de Stokes temos que:

S ds n · (~∇×~f(~x)) =∮

Γ~f(~x) · d~l,

onde d~l e um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e n e o vetor unitarioperpendicular em cada ponto a superfıcie S. O sentido dos vetores n ed~l e dado pela regra da mao direita.

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