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Principe destests séquentiels
Guy HÉDELIN
Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Principe des tests séquentiels
Guy HÉDELIN
Séminaire de statistiqueversion 1.0
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Principe destests séquentiels
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Plan
1 Introduction
2 Test séquentiel
3 Exemple
4 Références
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Introduction
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Test triangulaire
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Approche décisionnelle
Test classique
Choisir l’une des 2 décisions suivantes :
Hypothèse nulle H0
Hypothèse alternative H1
Information insuffisante, besoin de plus de données
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Approche décisionnelle
Test classique
Choisir l’une des 2 décisions suivantes :
Hypothèse nulle H0
Hypothèse alternative H1
Information insuffisante, besoin de plus de données
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Choisir l’une des 2 décisions suivantes :
Hypothèse nulle H0
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Information insuffisante, besoin de plus de données
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Test séquentiel
Choisir l’une des 3 décisions suivantes :
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Hypothèse alternative H1
Information insuffisante, besoin de plus de données
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Forme générale d’un test statistique
Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques,obtenues à partir de la vraisemblance :
une mesure de la différence Zune mesure de l’information V
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Références
Forme générale d’un test statistique
Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques,obtenues à partir de la vraisemblance :
une mesure de la différence Zune mesure de l’information V
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Références
Forme générale d’un test statistique
Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques,obtenues à partir de la vraisemblance :
une mesure de la différence Zune mesure de l’information V
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Quelques rappels
La vraisemblance dépendant à la fois :
des donnés Xde paramètres d’intérêt θ
de paramètres de nuisance φ
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Quelques rappels
La vraisemblance dépendant à la fois :
des donnés Xde paramètres d’intérêt θ
de paramètres de nuisance φ
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Quelques rappels
La vraisemblance dépendant à la fois :
des donnés Xde paramètres d’intérêt θ
de paramètres de nuisance φ
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Quelques rappels
La vraisemblance dépendant à la fois :
des donnés Xde paramètres d’intérêt θ
de paramètres de nuisance φ
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Quelques rappels
En notant φ̂(θ) l’estimation du maximum de vraisemblance de φpour une valeur de θ fixée, on a que l(θ, φ̂(θ), X) est asympto-tiquement une bonne approximation de la log-vraisemblancel(θ,φ, X) et qu’elle ne dépendant que de θ.
On peut faire un développement limité à l’ordre 2 del(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
l(θ, φ̂(θ), X) = constante + θ′Z− 12θ′Vθ + o(θ′θ)
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Quelques rappels
En notant φ̂(θ) l’estimation du maximum de vraisemblance de φpour une valeur de θ fixée, on a que l(θ, φ̂(θ), X) est asympto-tiquement une bonne approximation de la log-vraisemblancel(θ,φ, X) et qu’elle ne dépendant que de θ.
On peut faire un développement limité à l’ordre 2 del(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
l(θ, φ̂(θ), X) = constante + θ′Z− 12θ′Vθ + o(θ′θ)
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Les termes du développement limité
Z est la dérivée première de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
−V est la dérivée seconde de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matriced’information de Fisher) que l’on utilise dans l’approcheséquentielle
Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
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Les termes du développement limité
Z est la dérivée première de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
−V est la dérivée seconde de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matriced’information de Fisher) que l’on utilise dans l’approcheséquentielle
Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
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Les termes du développement limité
Z est la dérivée première de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
−V est la dérivée seconde de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matriced’information de Fisher) que l’on utilise dans l’approcheséquentielle
Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
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Références
Les termes du développement limité
Z est la dérivée première de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
−V est la dérivée seconde de l(θ, φ̂(θ), X) par rapport à θ
Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matriced’information de Fisher) que l’on utilise dans l’approcheséquentielle
Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Les statistiques Z et V en pratique
Z =∂
∂θl(0, φ̂(0), X)
V = −∂2
∂θ∂θl(0, φ̂(0), X) +„
∂2
∂φ∂θl(0, φ̂(0), X)
«′ „∂2
∂φ∂φl(0, φ̂(0), X)
«−1 „∂2
∂φ∂θl(0, φ̂(0), X)
«
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Références
Les statistiques Z et V en pratique
Z =∂
∂θl(0, φ̂(0), X)
V = −∂2
∂θ∂θl(0, φ̂(0), X) +„
∂2
∂φ∂θl(0, φ̂(0), X)
«′ „∂2
∂φ∂φl(0, φ̂(0), X)
«−1 „∂2
∂φ∂θl(0, φ̂(0), X)
«
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple 1
Soit un échantillon d’une loi normale N(µ, σ). Lalog-vraisemblance s’écrit :
l(µ, σ, x) = −n2
ln(2π)+n2
ln(
1σ2
)− 1
2σ2
∑x2
i +1σ2 µ
∑xi−
n2σ2 µ2
Le paramètre d’intérêt est la moyenne θ = µ et le paramètre de
nuisance est la précision φ =1σ2 , la log-vraisemblance s’écrit
alors :
l(θ, φ, x) = −n2
ln(2π) +n2
ln φ− φ
2
∑x2
i + φθ∑
xi −n2φθ2
ce qui donne :
Z = φ̂(0)∑
xi V = φ̂(0)n− 2Z2
n
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Exemple
Références
Exemple 1
Soit un échantillon d’une loi normale N(µ, σ). Lalog-vraisemblance s’écrit :
l(µ, σ, x) = −n2
ln(2π)+n2
ln(
1σ2
)− 1
2σ2
∑x2
i +1σ2 µ
∑xi−
n2σ2 µ2
Le paramètre d’intérêt est la moyenne θ = µ et le paramètre de
nuisance est la précision φ =1σ2 , la log-vraisemblance s’écrit
alors :
l(θ, φ, x) = −n2
ln(2π) +n2
ln φ− φ
2
∑x2
i + φθ∑
xi −n2φθ2
ce qui donne :
Z = φ̂(0)∑
xi V = φ̂(0)n− 2Z2
n
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Exemple
Références
Exemple 1
Soit un échantillon d’une loi normale N(µ, σ). Lalog-vraisemblance s’écrit :
l(µ, σ, x) = −n2
ln(2π)+n2
ln(
1σ2
)− 1
2σ2
∑x2
i +1σ2 µ
∑xi−
n2σ2 µ2
Le paramètre d’intérêt est la moyenne θ = µ et le paramètre de
nuisance est la précision φ =1σ2 , la log-vraisemblance s’écrit
alors :
l(θ, φ, x) = −n2
ln(2π) +n2
ln φ− φ
2
∑x2
i + φθ∑
xi −n2φθ2
ce qui donne :
Z = φ̂(0)∑
xi V = φ̂(0)n− 2Z2
n
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Test restreint
Test répété ou groupé
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple 2
Soit deux échantillons respectivement de lois de BernoulliB(m, p1) et B(n, p2). En prenant
θ = ln(
p1
1− p1/
p2
1− p2
)et φ = ln
(p1p2
(1− p1)(1− p2)
)on obtient
Z =n
∑xi1 − m
∑xj2
m + n
V =mn(
∑xi1 +
∑xj2){(m−
∑xi1)(n−
∑xj2)}
(m + n)3
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Principe destests séquentiels
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple 2
Soit deux échantillons respectivement de lois de BernoulliB(m, p1) et B(n, p2). En prenant
θ = ln(
p1
1− p1/
p2
1− p2
)et φ = ln
(p1p2
(1− p1)(1− p2)
)on obtient
Z =n
∑xi1 − m
∑xj2
m + n
V =mn(
∑xi1 +
∑xj2){(m−
∑xi1)(n−
∑xj2)}
(m + n)3
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple 2
Soit deux échantillons respectivement de lois de BernoulliB(m, p1) et B(n, p2). En prenant
θ = ln(
p1
1− p1/
p2
1− p2
)et φ = ln
(p1p2
(1− p1)(1− p2)
)on obtient
Z =n
∑xi1 − m
∑xj2
m + n
V =mn(
∑xi1 +
∑xj2){(m−
∑xi1)(n−
∑xj2)}
(m + n)3
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Liens entre l’approche classique des tests et lesstatistiques Z et V
En prenant un risque de première espèce α et un risque unepuissance 1− α pour une valeur de référence θR, pour une testunilatéral, on rejette l’hypothèse nulle si Z ≥ kα, pour kα définipar
P(Z ≥ kα; θ = 0) = α
P(Z ≥ kα; θ = θR) = 1− α
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Introduction
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Liens entre l’approche classique des tests et lesstatistiques Z et V
Comme Z(θ = 0) ∼ N(0, V) et Z(θ = θR) ∼ N(θRV, V) celarevient à avoir :
kα =12θRV et V =
(2ε1−α
θR
)2
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Représentaion d’un test classique
V
Z
12θRV
(2ε1−α
θR
)2
rejeter H0
accepter H0
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Plan
1 Introduction
2 Test séquentiel
Test du rapport de vraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification à la sortie
Facteurs pronostiques
3 Exemple
4 Références
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Avantages des tests séquentiels
plus éthiques que l’approche classique ;
nécessitent la plupart du temps moins de sujets.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Avantages des tests séquentiels
plus éthiques que l’approche classique ;
nécessitent la plupart du temps moins de sujets.
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Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Inconvénients des tests séquentiels
la durée de l’étude est aléatoire ;
le nombre de sujets est aléatoire ;
si la procédure s’arrête rapidement, les estimationsponctuelles peuvent être très imprécises.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Inconvénients des tests séquentiels
la durée de l’étude est aléatoire ;
le nombre de sujets est aléatoire ;
si la procédure s’arrête rapidement, les estimationsponctuelles peuvent être très imprécises.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Inconvénients des tests séquentiels
la durée de l’étude est aléatoire ;
le nombre de sujets est aléatoire ;
si la procédure s’arrête rapidement, les estimationsponctuelles peuvent être très imprécises.
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Références
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rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test unilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
rejeter H0
accepter H0
continuer
continuer
θ2RV
θRZ
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Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
rejeter H0
accepter H0
continuer
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral du rapport de vraisemblance
rejeter H0
rejeter H0
accepter H0
continuer
continuer
θ2RV
θRZ
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Exemple
Références
Inconvénients du test séquentiel du rapport devraisemblance
La probabilité que le chemin franchisse une frontière est de 1.
Malgré cela l’étude peut durer très longtemps.
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Test restreint
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Inconvénients du test séquentiel du rapport devraisemblance
La probabilité que le chemin franchisse une frontière est de 1.
Malgré cela l’étude peut durer très longtemps.
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
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Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
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Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
rejeter H0
accepter H0
continuer
θ2RV
θRZ
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
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continuer
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Principe destests séquentiels
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire unilatéral
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Principe destests séquentiels
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire bilatéral
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire bilatéral
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Introduction
Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test triangulaire bilatéral
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Test triangulaire
Test restreint
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés du test triangulaire
C’est un plan fermé. On s’arrête obligatoirement au plus tard à untemps fini maximal.
S’arrête souvent un peu plus tard que le test du rapport devraisemblance.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés du test triangulaire
C’est un plan fermé. On s’arrête obligatoirement au plus tard à untemps fini maximal.
S’arrête souvent un peu plus tard que le test du rapport devraisemblance.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral restreint
rejeter H0
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accepter H0
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Test triangulaire
Test restreint
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral restreint
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Test triangulaire
Test restreint
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Références
Test bilatéral restreint
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés du test restreint
Ne s’arrête plus tôt que si on accepte l’hypothèse alternative H1.
Si on va jusqu’au bout, il accepte plus souvent l’hypothèse nulleH0 que le test classique.
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Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés du test restreint
Ne s’arrête plus tôt que si on accepte l’hypothèse alternative H1.
Si on va jusqu’au bout, il accepte plus souvent l’hypothèse nulleH0 que le test classique.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral répété ou groupé
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Test séquentielTest du rapport devraisemblance
Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral répété ou groupé
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Test bilatéral répété ou groupé
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Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés des tests répétés ou groupés
Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés.
Comme pour les tests restreints, on ne s’arrête prématurément quepour refuser l’hypothèse nulle H0.
Le test restreint est plus économique sous l’hypothèse alternativeH1 et le test répété sous l’hypothèse nulle H0.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés des tests répétés ou groupés
Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés.
Comme pour les tests restreints, on ne s’arrête prématurément quepour refuser l’hypothèse nulle H0.
Le test restreint est plus économique sous l’hypothèse alternativeH1 et le test répété sous l’hypothèse nulle H0.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Propriétés des tests répétés ou groupés
Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés.
Comme pour les tests restreints, on ne s’arrête prématurément quepour refuser l’hypothèse nulle H0.
Le test restreint est plus économique sous l’hypothèse alternativeH1 et le test répété sous l’hypothèse nulle H0.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Taux de signification à la sortie
Le taux de signification à la sortie dépend de l’endroit où l’on sort.
Quand on accepte l’hypothèse alternative H1, plus on sort tôt plusp est faible.
Pour les tests du rapport de vraisemblance et triangulaires, quandon accepte l’hypothèse nulle H0, plus on sort tôt plus p est grand.
Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l’hypothèsenulle H0, plus on sort près de l’abscisse plus p est grand.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Taux de signification à la sortie
Le taux de signification à la sortie dépend de l’endroit où l’on sort.
Quand on accepte l’hypothèse alternative H1, plus on sort tôt plusp est faible.
Pour les tests du rapport de vraisemblance et triangulaires, quandon accepte l’hypothèse nulle H0, plus on sort tôt plus p est grand.
Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l’hypothèsenulle H0, plus on sort près de l’abscisse plus p est grand.
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Taux de signification àla sortie
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Exemple
Références
Taux de signification à la sortie
Le taux de signification à la sortie dépend de l’endroit où l’on sort.
Quand on accepte l’hypothèse alternative H1, plus on sort tôt plusp est faible.
Pour les tests du rapport de vraisemblance et triangulaires, quandon accepte l’hypothèse nulle H0, plus on sort tôt plus p est grand.
Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l’hypothèsenulle H0, plus on sort près de l’abscisse plus p est grand.
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Taux de signification à la sortie
Le taux de signification à la sortie dépend de l’endroit où l’on sort.
Quand on accepte l’hypothèse alternative H1, plus on sort tôt plusp est faible.
Pour les tests du rapport de vraisemblance et triangulaires, quandon accepte l’hypothèse nulle H0, plus on sort tôt plus p est grand.
Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l’hypothèsenulle H0, plus on sort près de l’abscisse plus p est grand.
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Test triangulaire
Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Facteurs pronostiques
Tous les tests séquentiels peuvent être adaptés au cas où il y a desfacteurs régressifs ou pronostiques.
Le test se fait conditionnellement aux valeurs des coefficients desfacteurs de nuisance (facteurs pronostiques servant àl’ajustement).
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Introduction
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Facteurs pronostiques
Tous les tests séquentiels peuvent être adaptés au cas où il y a desfacteurs régressifs ou pronostiques.
Le test se fait conditionnellement aux valeurs des coefficients desfacteurs de nuisance (facteurs pronostiques servant àl’ajustement).
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Introduction
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Plan
1 Introduction
2 Test séquentiel
3 Exemple
4 Références
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple
1 association maladie chronique du foie et lichen plan ;2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ;3 association entre anticorps antiphospholipides et
prééclampsie.
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple
1 association maladie chronique du foie et lichen plan ;2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ;3 association entre anticorps antiphospholipides et
prééclampsie.
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Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple
1 association maladie chronique du foie et lichen plan ;2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ;3 association entre anticorps antiphospholipides et
prééclampsie.
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Test restreint
Test répété ou groupé
Taux de signification àla sortie
Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Exemple
1 association maladie chronique du foie et lichen plan ;2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ;3 association entre anticorps antiphospholipides et
prééclampsie.
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Exemple
Références
Plan
1 Introduction
2 Test séquentiel
3 Exemple
4 Références
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Facteurs pronostiques
Exemple
Références
Références
Armitage, P. Sequential medical trials.Blackwell, 2e édition, 1975.
Gosh, B.K. (rédacteur) Handbook of sequential analysis.Decker, 1991.
Siegmund, D. Sequential analysis. Tests and confidenceintervals.Springer, 1985.
Wetherill, G.B. et K.D. Glazebrook Sequential methods instatistics.Chapman and Hall, 2e édition, 1986.
Whitehead, J. The design and analysis of sequential clinicaltrials.Ellis Horwood, 2e édition, 1997.