probabilidad absoluta de encontrarse en un estado tras n ... · 6. cadenas de markov ergódicas....
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U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Clasificación de Cadenas de Markov. SEMANA 2
SESIÓN 2.b
CLASIFICACIÓN de CADENAS de MARKOV
1. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Probabilidad absoluta de encontrarse en un estado tras n transiciones.2. Tiempos de 1er paso. Clasificación de estados.3. Clases de una Cadena de Markov. Periodicidad. Ejemplos.4. Probabilidades de absorción.
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Estado Estacionario en C. de M. SEMANA 3
SESIÓN 2.b (continuación)
ESTADO ESTACIONARIO EN C.de M.
4. Probabilidades a largo término. Número medio de visitas a un estado en n transiciones. Cálculo de las P. a largo término. Costes asociados a los estados.5. Concepto de estado estacinario. Clasificación de estados.6. Cadenas de Markov ergódicas. Ejemplos.
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Clasificación de Cadenas de Markov
ECUACIONES DE CHAPMAN KOLMOGOROV
Probabilidades condicionales en n transiciones:
0≥nijp (
para K,2,1,0=n ∀ i,j 11
=∑=
M
j
nijp(
para
K,2,1,0=n ∀ i.
FORMA MATRICIAL DE LAS EC. DE CHAPMAN KOLMOGOROV:
PPPPPPP (( ⋅==⋅= −1nnn L
nij
n piXjX (=
==Ρ
0
=
nMM
nM
nM
n
n
pp
pp
((
((
(PL
MOM
L
1
111
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Probabilidad absoluta de encontrarse en un estado tras n transiciones.
Se suponen conocidas las probabilidades iniciales P(X0 = i).
( ) ( )jXPnpNotación nj ==:
Se busca:
Probabilidad de que en la transición n la cadena esté en el estado j.
⋅
=
)(
)()(
)(
)()(
(((
(((
(((
0
00
2
1
21
22212
12111
2
1
p
p
p
ppp
ppp
ppp
p
p
p
Mn
MMnM
nM
nM
nn
nM
nn
M n
nn
M
L
MOMM
L
L
M
p(n) = [P(n]T ⋅ p(0)
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Cadenas de Markov. Introducción
SESION DE PROBLEMAS
Una tienda de fotografía almacena un modelo particular de cámaras. Para reponer elstock puede efectuar pedidos semanales a su distribuidor. La demanda Dk de unidadesdel modelo en la semana k es una v.a. Poisson con E[Dk] = 1.
Sea Y0=3 el número inicial de cámaras, Y1 el número de cámaras al final de la 1ªsemana, Y2 al final de la segunda etc.
Los sábados por la noche se efectúa un pedido de S = 3 cámaras al distribuidor si latienda el nivel de existencias es <s (=1). El pedido es servido puntualmente el lunespor la mañana.
Si durante una semana no pueden satisfacerse las demandas de los clientes, éstas sepierden.
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( ) ( ) ( ) 184011122 11
0
12
031 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt
( ) ( ) ( ) 368011011 10
0
11
032 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt,
{ }( ) ( ) 3680100 10
033 .
!===== −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t
=
=
3680368018400800036803680264000368063203680368018400800
33323130
23222120
13121110
03020100
.......
......
P
pppppppppppppppp
1
4
2
3
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Ejemplo de la tienda de cámaras:
Supongamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]100000000 4321 == ppppp T
Se pide: ( )41p . Se utiliza la forma ( ) ( )nP⋅= TT pnp 0)( :
( ) ( ) ( )
=
=
==⋅=
164.0261.0286.0289.0171.0263.0283.0284.0166.0268.0285.0282.0164.0261.0286.0289.0
165.0300.0286.0249.0097.0233.0319.0351.0233.0233.0252.0283.0165.0300.0286.0249.0
165.0300.0286.0249.0097.0233.0319.0351.0233.0233.0252.0283.0165.0300.0286.0249.0
44 PPPP 22
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]164.0261.0286.0289.0
164.0261.0286.0289.0171.0263.0283.0284.0166.0268.0285.0282.0164.0261.0286.0289.0
100004 =
⋅=⋅= 4PTT pp
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TIEMPOS DE PRIMER PASO
ijY , = V.a. número de transiciones para visitar el estado j por primera vez partiendo del estado i.
Notación: ( ) ( )nYPf ijn
ij ==
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−−==
−==
−−− 112211
1122
11
njjijjj
nijjj
nij
nij
nij
jjijijij
ijij
pfpfpfpf
pfpfpf
L
MM
DOS CASOS: ( )
<=
=∑∞
= 11
1
n
nijf <1 El estado j puede no visitarse nunca desde el i
( )
( )
<
==
∑
∑
∞
=
∞
=
RANSITORIOf
RECURRENTEstadofjipara
n
njj
n
njj
TEstado1
Ε1
1
1
Relaciones derecurrencia:
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Cálculo de las [ ] ijijYE µ=
µµµ
µµµµ
341324121411
3413241214111414
11111
ppp
pppp
+++==++++++⋅=
)()()(
[ ]( )
( ) ( )
=
<∞==Ε
∑∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
11
1
1
1
n
nijn
nij
n
nij
ijijffn
fY
,
, µ
1 2
3
4µ24
µ34
µ46
µ14 p11
[ ]jjj
µµ P1 +=
µµµ
µµµµ
342324221421
3423242214212424
1 1111
ppp
pppp
+++==++++++⋅= )()()(
1 2
3
[ ] ( ) [ ]11 22222 pp =−→+= µµµ I
=
41043414121438181
////////
P
=
−
−→
+
=
11
43434387
41434381
11
32
12
32
12
32
12
µ
µ
µ
µ
µ
µ
////
////
=
−
−=
=
−
− −
35216
11
87434343
332
11
43434387 1
32
12
/////
////
µ
µ
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CLASES DE EQUIVALENCIA DE UNA CADENA DE MARKOV .
1
2
3
4
5
6
78
9.2
.1
1.
.3
.8.4
.4
.6
.6
.2
.6
.6
.6
.3 .6
.6
.4
1.
.
Accesibilidad: un estado j es accesible desde el i si ∃ n tal que 0>p nij(
( Notación: i → j )
Es posible encontrar un paso que conecte i con j sobre el diagrama de transiciones. Ejemplo: 2 → 7, pero 7 → 2 Dos estados i, j comunican entre sí si i → j & j → i ( Notación: i ↔ j ) • ↔ es relación de equivalencia: a) i ↔j ⇒ j ↔i b) i ↔ j , j ↔ k ⇒ i ↔ k (Se admite i ↔i )
Definición de clase:
C(i )={ j | i ↔ j }
j ∈ C(i) ⇒ C(i) = C(j)j ∉ C(i) ⇒ C(i) ∩ C(j) =Ø
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PERIODICIDAD
Definición de estado periódico y aperiódico
El período de un estado recurrente j, es el entero jd tal que el los n para los que ( ) 0>njjp es de
la forma kdnn j ⋅+= 0 , per algún n0 y para k=0,1,2,3,…Un estado recurrente j es aperiódico si existe un entero positivo r tal que ( ) 0>r
jjp & ( ) 01 >+rjjp .
LA PERIODICIDAD (APERIODICIDAD) ES COMÚN A TODOS LOS ESTADOS DE UNA CLASE.
1 2
34
1 .
1 . .5
.5
1 .
1 2
3
.8
.3
.9.1
.2
.7
{ } { }L,10,8,6,40 (11 =>pn n
. { } { }L,,,( 4320 11 =>p nn
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PROBABILIDADES DE ABSORCIÓN
Presencia de clases absorbentes.Estructura de la matriz de probabilidades de transición.
Estados 1, 2 Contrato eventualEstado 3 DespedidoEstados 4,5 Contrato fijoEstado 6 Excedencia.
1
2
3
4
5
6
=
=QRR
PP
P
BA
B
A
0000
6.01.0002.008.02.02.02.0002.008.05.0
002/102/10003/13/13/10003/13/13/10000001
216543
0
=
QRPP Abs
BA
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Probabilidades de absorción. Definición
∑ ⋅+==
r
kkjikijij fppf
1
0
=
QRPAbsP FQRF ⋅+=
i = estat transitori ; j = estat recorrent,
ijf = Probabilidad de que partiendo de i (transitorio) se visite j (recurrente) por primera vez.
i
Classe transitòria
j
Classe absorbent
1
2
3
4
5
6
=
ffffffff
F26252423
16151413
21
6 5 4 3Matriz F: Índices de filas : estados transitorios Índices de columnas: estados recurrentes
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( ) RMRQIFFQRF ⋅=⋅−=⇒⋅+= −1
+
=
ffffffff
pppp
pppppppp
ffffffff
26252423
16151413
2221
1211
26252423
16151413
26252423
16151413
23
13
2221
1211
23
13
23
13
+
=
ff
pppp
pp
ff
26252423
16151413
2221
1211
26252423
16151413
=
pppppppp
mmmm
ffffffff
Para el estado absorbente 3
1
2
3
4
5
6
=
=QRR
PP
PBA
B
A
0000
6.01.0002.008.02.02.02.0002.008.05.0
002/102/10003/13/13/10003/13/13/10000001
216543
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1
2
3
4
5
6
23
13
2221
1211
23
13
23
13
+
=
f
f
pp
pp
p
p
f
f
60102020
2050
23
13
23
13
+
=
f
f
f
f
..
....
=
−−
−−
p
p
f
f
pp
pp
23
13
23
13
2221
1211 1
1
=
−
−2050
40102080
23
13
.
.....
f
f
=
=
=
−
−
90639072
2050
38313234
2050
40102080 1-
23
13
//
.
.////
.
.....
f
f
Con contrato de tipo 1 inicialmente, que probabilidad hay de ser despedido? → f13
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SESIÓN 2.b (continuación)
ESTADO ESTACIONARIO EN C.de M.
4. Probabilidades a largo término. Número medio de visitas a un estado en n transiciones. Cálculo de las P. a largo término. Costes asociados a los estados.5. Concepto de estado estacinario. Clasificación de estados.6. Cadenas de Markov ergódicas. Ejemplos.
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Número medio de visitas a un estado j en n transiciones
=
entecontrariam0 período elen a llega se , estado del partiendo si1 kji
Z kij(
[ ] [ ] ∑∑==
==Εn
k
kij
n
k
kij
nij pY Z
11E (((
0 1 2 3 n-2 n-1 n
X0 = i
v.a. Nº de visitas al estado j en n transiciones (partiendo de i)
∑=
=n
k
kij
nij ZY
1
((
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PROBABILIDADES A LARGO TÉRMINO
Para los estados i,j dentro de una clase C cerrada se verifica:
[ ] Cjpn
limn
Elim j
n
k
kijn
nij
nY ∈=
= ∑
=∞→∞→ ,(
(
π1
1
Interpretación: πj = fracción de los periodos en que se visita j. 1/ πj = µjj = tiempo medio de recurrencia del estado j
verifican:
CiiCi
i ∈≥=∑∈
,, 0 1 ππ.
Ejemplo:
1 2 3
1. 1.
1.
π1 =1/3 π2 =1/3 π3 =1/3
No depende de i
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PROBABILIDADES A LARGO TÉRMINO
( Supongamos una única clase cerrada C = {1,2,… M} )
Comprobación:
Dado que Cjpn
lim j
n
k
kijn ∈=
∑=
∞→ ,( π1
1
ππ PePnPePnp
p
nT
in
k
Tn
Tn
ki
Tn
n
k kiM
ki
nklimklimlim =
==
= ∑
∑
∑
−
=∞→
=∞→
=∞→
1
011
1 111(
(
M
IPei ≡
= 0
0
1
0
,M
M
Las probabilidades a largo término verifican: ππ =PT
La ecuación PT π =π manifiesta que lamatriz I - P no tiene inversa ya que π ≠ 0.
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CÁLCULO de las PROBABILIDADES a LARGO TÉRMINO
ππ =PaT
) 1,) =∑∈ Ci
ib πVerifican las M +1 ecuaciones:
Puede eliminarse una fila de las a) y sustituirla por b). Las soluciones (únicas) verificarán π > 0 .
Ejemplo:1 2 3
1. 1.
1.
=
001100010
P
,
=
−−
−→=
000
110011101
3
2
1
πππ
ππPT
=
−−
001
110011111
3
2
1
πππ π1 =1/3
π2 =1/3 π3 =1/3
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Costes asociados a estados en clases cerradas
( )tXS es una v. a. independiente del tiempo (etapa t ) que toma valoresasociada a los estados : ( ) ( ) ( )MSSS ,,, K21 .
El coste medio esperado por transición tras n transiciones viene dado por:
( )
Ε ∑
=
n
ttXS
n 1
1
Para las clases cerradas (periódicas o aperiódicas) existe el límite,
( ) Cjpn
lim j
n
k
kijn ∈=
∑=
∞→ π1
1
Se puede demostrar que el coste medio por transición a largo término vienedado por:
( ) ( ) jCj
n
ttn jSXS
nlim π⋅=
Ε ∑∑
∈=∞→
1
1
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ESTADO ESTACIONARIO
Definición: Se presenta estado estacionario cuando para cualquier estado j:
( ) ( ) jnj njXPnp π →
∞→==
independientemente de les probabilidades de estado inicial pj(0) .
Si el e.e. existe para la cadena, el vector [ ]Mπππ L1=T
se denomina
distribución de probabilidades de los estados en régimen estacionario.
Verifican:
0 ,11
≥=∑=
i
M
ii ππ
.
= → ∞
∞→
M
M
nn
ππ
ππ
L
MM
L
1
1
P P(
No depende de i
jn
ij np π →
∞→(
Equivalentemente:
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CADENAS ERGÓDICAS.
1
4
2
3Tras 8 transiciones, las probabilidades
condicionales p nij(
de los estados nodependen de la situación inicial.
Las filas de la matriz 8(P son idénticas
(a 3 dígitos de precisión).
Ejemplo de la tienda de cámaras:
==⋅=
1660264028502860166026402850286016602640285028601660264028502860
448
....
....
....
....
PPPP 8(((
Definición. Sólo hay una clase y ésta es aperiódica.
El estado inicial es irrelevante:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]1660264028502860081660264028502860166026402850286016602640285028601660264028502860
8 ....****P................
=
=⋅= TT pp
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CADENAS ERGÓDICAS.
Cuáles de estas cadenas presentan estado estacionario?
21
3
.5
.5
.33
.661.
21
3
.5
.5
1
.1.
Si una cadena es ergódica presenta e. e. (de acuerdo con la definiciónanterior) y además se verifica que:a) π =π.b) π > 0.
q0
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CADENAS ERGÓDICAS (ejemplo)
=
−
−
π
πππ
π
πππ
kkk
k
p
pp
qqqqq
M
M
M
M
M
M
LL
MOLL
MOOMMM
MOOMMM
L
LL
L
2
1
0
2
1
0
1
1
0
13210
000000
0000000001
→
=
−−
−−
− 0
001
1000100
000100001111111
2
1
0
1
1
0
M
M
M
M
M
M
LL
MLL
MOOMMM
MOOMMM
L
LL
L
π
πππ
kkp
pp
pppp
p
kk
kk
010
0201
001
L
L
L
−
−−
==
=
ππππ
ππ
1)1( 102101000 =+++++ Π −
= ppppppp jkjLπ ,
Π+= ∑
−
= =
−1
0 0
1
0 1k
ij
i
jpπ
kipj
i
ji L,2,1,
1
00 == Π
−
=ππ
0 1 2 3 k-1 k k+1
Averíasegura
3k-1
kkkk
…
q0
0 1 2 p0 p1 p2 pk-1 (pk=0)
q1 q2 q3 qk-1 qk=1
SESIÓN DE PROBLEMAS
Determinar las clases de la cadena:
12 3 4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
1
PROBLEMAS
PERIODICIDAD Y CLASES DE LAS CADENAS:
1
2
3
4
5
6
78
9.2
.1
1.
.3
.8.4
.4
.6
.6
.2
.6
.6
.6
.3 .6
.6
.4
1.
1
2
3
4
5
6
.2
.1
.4
.4
.5
.6
.4
.6
.6
.6
.4 .6
.6
.4
.1
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SESION DE PROBLEMAS
Una tienda de fotografía almacena un modelo particular de cámaras. Para reponer elstock puede efectuar pedidos semanales a su distribuidor. La demanda Dk de unidadesdel modelo en la semana k es una v.a. Poisson con E[Dk] = 1.
Sea Y0=3 el número inicial de cámaras, Y1 el número de cámaras al final de la 1ªsemana, Y2 al final de la segunda etc.
Los sábados por la noche se efectúa un pedido de S = 3 cámaras al distribuidor si latienda el nivel de existencias es <s (=1). El pedido es servido puntualmente el lunespor la mañana.
Si durante una semana no pueden satisfacerse las demandas de los clientes, éstas sepierden.
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( ) { }( ) ( ) ( ) 08001111121313 21112
000 .
!=++−=−=−=<−=≥= −−
=∑ ee
kFDPDPp
k
k
Dtt t
( ) ( ) ( ) 184011122 11
0
12
001 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt
( ) ( ) ( ) 368011011 10
0
11
002 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt
( ) ( ) 3680100 10
003 .
!===== −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t
( ) ( ) 632001110 .=−=≥=tDt FDPp
( ) ( ) 3680100 10
011 .
!===== −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t , 0231312 === ppp
( ) ( ) 264011112 11
020 .
!=−=−=≥= −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t
( ) ( ) ( ) 368011011 10
0
11
021 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt
( ) ( ) 3680100 10
022 .
!===== −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t
( ) { }( ) ( ) ( ) 08001111121313 21112
030 .
!=++−=−=−=<−=≥= −−
=∑ ee
kFDPDPp
k
k
Dtt t
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Cadenas de Markov. Introducción
( ) ( ) ( ) 184011122 11
0
12
031 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt
( ) ( ) ( ) 368011011 10
0
11
032 .
!!=−=−=== −
=
−
=∑∑ e
ke
kFFDPp
k
k
k
k
DDt tt,
{ }( ) ( ) 3680100 10
033 .
!===== −
=∑ e
kFDPp
k
k
Dt t
=
=
3680368018400800036803680264000368063203680368018400800
33323130
23222120
13121110
03020100
.......
......
P
pppppppppppppppp
1
4
2
3
Ejemplo de la tienda de camaras.
1368.000368.0
368.0368.00368.0184.0368.0368.0184.0080.0264.0632.0080.0
1 4321
44321
34321
24321
14321
4321
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
→
=+++=+++=+++=+++=+++
ππππππππππππππππππππππππ
ππππππππππππππππππππππππ
pppppppppppppppp
Una de les equacions resulta redundant, es pot suprimir la quarta i resoldre el sistema.
el resultat és [ ]166.0264.0285.0285.0=Tπ .
Formulació matricial
( )
10000
368.0100368.0368.0368.010368.0184.0368.0368.01184.0080.0264.0632.0080.01
11
4321
4
3
2
1
=+++
=
⋅
−−
−−
→=⋅
=⋅→
=⋅=⋅
ππππππππ
ππ
πππ
10P-I
1P
T
T
T
T
=
⋅
−−
−
→
=
⋅
−−
−
1000
1111368.0632.00368.0184.0368.0632.0184.0080.0264.0632.0920.0
1000
1111368.0368.010368.0184.0368.0368.01184.0080.0264.0632.0080.01
4
3
2
1
4
3
2
1
ππππ
ππππ
El temps mig de recurrència dels estats és,
=
=
02.679.351.351.3
4
3
2
1
1
1
1
1
44
33
22
11
π
π
π
π
µµµµ
en unitats de transició, és a dir setmanes.
U P C I.O.E. Diplomatura de EstadísticaU P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística Definición de Proceso de Renovación
Sesión 2.c MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA
Proceso de Renovación.
Definición: Colección de variables aleatorias {τn } (discretas o continuas) con índice discreto. Indep. Mútuamente Función de densidad fτ Función de distribución Fτ Idénticamente distrib.
Variables aleatorias importantes: Tiempo hasta el suceso k :
Número de renovaciones N(t) Función de renovación:
τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …
t
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Teorema elemental de Renovación
TEOREMA ELEMENTAL DE RENOVACIÓN
• Caso τ k-Erlang Se define un nuevo proceso de renovación {τ'n } con τ' = Tk para k fijado.
• Caso τ Weibull ( )( )bt atF −−= exp)( 1τ
… τ τ τ τ τ
t τ
τ'1 τ'2 τ'k
m(t)
m(t)t
d m(t)dt
k=2 etapas,E[τ ]=20
1/E[τ ']=0,028
d m(t)dt
m(t)t m(t)
a=2 , b=40E[τ ]= 35,4
Máquina 1
Máquina 2τ1
τ2
τN=2 N=3 N=5
N=20 N=50Palm(1943)
FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística
TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL
PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria
θ s
τi-1 τi
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística I.O.E. Diplomatura de Estadística TEORÍA DE COLAS. Introducción y propiedades básicas
CARACTERÍSTICAS COMUNES EN LOS S.E.
Tiempo de permanencia en el S.E. = tiempo de espera (en cola) + tiempo de servicio
Proceso de llegadas: Los instantes en los que se producen las peticiones son aleatorios: (P.ej. los instantes de llegada de los clientes a una tienda)
Proceso de servicio: Los tiempos de servicio son también aleatorios: (v.a. continua)
τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …
t
Tiempo de servicioTiempo de espera en cola
Tiempo de permanencia en el S.E.Instante deentrada en el S.E.
Instante desalida del S.E.
Modelización:
Intervalo τ entrellegadas:
Proceso de renovación