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Probabilidad Condicional

Independencia condicionalComo hemos dicho, las probabilidades condicionales tienen las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente:

Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que

Teorema de Bayes

Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los Bi eventos dado A .

Teorema de Bayes

Sea Bi ,...,Bk los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(Bi )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que

Teorema de Bayes

Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%.Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre 10 000. Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test.¿Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

Teorema de Bayes

Se tienen 3 diferentes máquinas M1´

M2´

M3 con las que

se hace un producto. Los productos fabricados se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la máquina M

1, 30% con la M

2 y 50% con M

3.

También se sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M

1 son defectuosos, mientras que con

M2, 2% son defectuosos y con M

3 , 3% de los productos

son defectuosos.

Teorema de Bayes

Pregunta:Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por

M

2 ?

Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

Variables aleatorias

Definición:Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria.

Ejemplo: Se lanza una moneda 5 veces. Sea X la función (real) que cuenta el número de veces que sale cara en un posible resultado.Si r ={cara, cara,cruz,cara, cruz} entoncesX(r)=3


Las variables aleatorias puede ser:

- Discretas (número de valores finito o infinito contable)

- Continuas (si toma valores en intervalos de la recta real)


Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X.

La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

Variables aleatoriasEjemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento de dos dados


Ejemplo:Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen en una secuencia.

En este ejemplo, los valores de X son 0,1,2,..,10.

Para cada valor de x, la probabilidad Pr(X=x) es la suma de las probabilidades de todos los resultados del evento {X=x}


Función de probabilidad y soporte:

Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x,

f(x)=Pr(X=x)

La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.


Función de probabilidad:Teorema. Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x

1,x

2,... con probabilidades p

1,p

2,...,

respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que

f(x)=Pr(X=x)=pi

si x=xi

f(x)=0

de otra forma

Además


Función de probabilidad acumulativa:Se define la función de probabilidad acumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que como:

Además, con la función de probabilidad acumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores


Propiedades de la función de probabilidad acumulativa:

La función de probabilidad acumulativa, F(x), es una función no decreciente de x y F(x)=1 para


Función de distribución o función deprobabilidad acumulativa:

Lanzamiento de dos dados


5 ejemplos de distribuciones discretas: - Distribución de Bernoulli - Distribución uniforme - Distribución binomial - Distribución de Poisson - Distribución geométrica


Distribución de Bernoulli:Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p: Pr(X=1)=p y Pr(X=0)=1-pEn este caso se puede escribir la función de probabilidad como:


Distribución uniforme:Sea a y b números enteros ( ). Suponga que una variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.


Distribución Uniforme:Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X está dada por


Distribución binomial:

Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados.Es usual llamar a los posibles resultados: “éxitos” y “fracasos”


Distribución binomial:Digamos que tenemos los eventos A y B, con

Si la probabilidad de que ocurra un éxito es Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-pSi se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por:X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n


Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:


Distribución binomial:La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por:

Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Brown Einstein

(~1820) (1905)


Caminante aleatorio en 1D:Una partícula salta una distancia l en un tiempo (promedio)

Al tiempo t la partícula ha dado saltos


Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L saltos hacia la izquierda.

De este modo n= R + L

Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más hacia la derecha, es decir, m = R - L


Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es:

de donde:


Suponiendo que con y utilizando la aproximación: se encuentra que

o bien

Con coeficiente de difusión D:


Distribución de Poisson:

Nos da la probabilidad de obtener un número dado de éxitos, en un número de intentos que no podemos enumerar.

a) Tiempo de llegada aleatorias a un sitiob) Ocurrencia de desastres naturales


Distribución de Poisson:

: promedio de eventos (éxitos) en cierto intervalo (de tiempo, por ejemplo).


La distribución de Poisson puede obtenerse de la distribución binomial considerando los límites:

De modo que


Ejemplo: Suponga que un estudiante recibe aleatoriamente whatsapps. Si en promedio recibe 10 whatsapps durante la clase de Métodos Matemáticos (50 minutos). Calcule la probabilidad de que en esos 50 minutos reciba 0, 1, 2, y 3 mensajes.


Distribución de geométrica (problemas de tiempo de espera)

¿Cuánto tiempo hay que “esperar” para lograr un primer éxito?


Ejemplo:Suponga que un restaurant ofrecerá una comida gratis al primer cliente que llegue que cumpla años ese día.¿Cuánto tiene que esperar el restaurant para que la primera persona cumpliendo años aparezca?i.e., ¿cuántos clientes visitarán el restaurant antes de que aparezca la primera persona que cumple años?

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