problem as op 1

PROBLEMA Nº01:

PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN

VIEW

El departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús

de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en

escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición,

usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de

proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C.

Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas

indicadas en la tabla adjunta.

Nutrientes proporcionados por las distintas comidas

NUTRIENTE (mg / 100 g)

INGREDIENTES PROTEINAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA

Espagueti 5 000 1.1 1.4 0.18 0.0 5 000

Pavo 29 300 1.8 5.4 0.06 0.0 5 000

Papas 5 300 0.5 0.9 0.06 10.0 7 900

Espinacas 3 000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de Manzana 4 000 1.2 0.6 0.15 3.0 14 300

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de

300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de

espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de

nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los

requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.

SOLUCION DEL EJEMPLO DE MINIMIZACION

1. Determinación de Variables

Lo que nos interesa es la cantidad (en g) de los alimentos que debemos utilizar para

cumplir con las restricciones y la función objetivo. Debemos tener en cuenta que en

la tabla de nutrientes, las concentraciones de cada nutriente estan dadas en función a

100 g de cada alimento, por lo cual, será mucho más cómodo definir a nuestras

variables como la cantidad de 100 g de alimento que utilizaremos.

espa = número de 100 gramos de espagueti a utilizar.

pavo = número de 100 gramos de pavo a utilizar.

papa = número de 100 gramos de papas a utilizar.

espi = número de 100 gramos de espinaca a utilizar.

manz = número de 100 gramos de pastel de manzana a utilizar.

2. Determinación de las Restricciones

Podemos distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: las de concentración de

nutrientes y las de cantidad de alimento

Restricciones de Concentración de Nutrientes

Proteínas

5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000

Hierro

1.1*espa + 1.8*pavo + 0.5*papa + 2.2*espi + 1.2*manz >= 10

Niacina


Tiamina


Vitamina C

10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50

Restricciones de Cantidad de Alimento

espa <= 3, pavo <= 3, papa <= 2, espi <= 1, manz <= 1

3. Determinación de la Función Objetivo

Debemos minimizar la cantidad de grasa presente en la comida.

Minimizar:

5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz

4. Condición de No Negatividad

Como sabemos, el modelo de programación lineal no acepta variables de valores

negativos, por cuanto:

espa >= 0, pavo >= 0, papa >= 0,espi >= 0,manz >= 0

METODO SIMPLEX – DESARROLLO EN LINGO

!(FUNCION OBJETIVO);

min = 5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz; !grasas;

!(RESTRICCIONES DE NUTRIENTES);

5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000; !proteínas;

1.1*espa + 1.8*pavo + 0.5*papa + 2.2*espi + 1.2*manz >= 10; !hierrro;

1.4*espa + 5.4*pavo + 0.9*papa + 0.5*espi + 0.6*manz >= 15; !niacina;

0.18*espa + 0.06*pavo + 0.06*papa + 0.07*espi + 0.15*manz >= 1; !tiamina;

10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50; !vitamina C;

!(RESTRICCIONES DE CANTIDAD DE ALIMENTO);

espa <= 3;

pavo <= 3;

papa <= 2;

espi <= 1;

manz <= 1;

SOLUCION DEL MODELO

Global optimal solution found at step: 11

Objective value: 54800.00

Variable Value Reduced Cost

ESPA 3.000000 0.0000000

PAVO 2.833333 0.0000000

PAPA 2.000000 0.0000000

ESPI 1.000000 0.0000000

MANZ 0.6666667 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 54800.00 1.000000

2 51283.33 0.0000000

3 2.400000 0.0000000

4 7.200000 0.0000000

5 0.0000000 -83333.33

6 0.0000000 -600.0000

7 0.0000000 10000.00

8 0.1666667 0.0000000

9 0.0000000 3100.000

10 0.0000000 22333.33

11 0.3333333 0.0000000

Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción, pero el dual price de la cuarta

nos conlleva un mayor decremento en nuestra funciòn objetivo, por tanto tendremos en

cuenta a esta restricción para modificarla.

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Análisis de Rangos

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease

ESPA 5000.000 10000.00 INFINITY

PAVO 5000.000 422.7273 3333.333

PAPA 7900.000 3100.000 INFINITY

ESPI 300.0000 22333.33 INFINITY

MANZ 14300.00 INFINITY 930.0000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 63000.00 51283.33 INFINITY

3 10.00000 2.400000 INFINITY

4 15.00000 7.200000 INFINITY

5 1.000000 0.1000000E-01 0.8000000E-01

6 50.00000 1.000000 0.2000000

7 3.000000 0.4864865 0.5555556E-01

8 3.000000 INFINITY 0.1666667

9 2.000000 0.2272727E-01 0.1000000

10 1.000000 0.7518797E-02 0.3571429E-01

11 1.000000 INFINITY 0.3333333

Del análisis de sensibilidad nos damos cuenta que podemos modificar nuestra cuarta

restricción en 0.8.

Entonces, tendriamos un nuevo modelo el cual a continuación resolvemos.

Solución del modelo decrementando la restricción cuarta en 0.08




ESPA 3.000000 0.0000000

PAVO 1.500000 0.0000000

PAPA 2.000000 0.0000000

ESPI 1.000000 0.0000000

MANZ 0.6666667 0.0000000


1 48133.33 1.000000

2 12216.67 0.0000000

3 0.0000000 0.0000000

4 0.0000000 0.0000000

5 0.0000000 -83333.33

6 0.0000000 -600.0000

7 0.0000000 10000.00

8 1.500000 0.0000000

9 0.0000000 3100.000

10 0.0000000 22333.33

11 0.3333333 0.0000000

Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción nuevamente, e inclusive el

dual price nos lleva a razonar de la misma forma que en la coyuntura anterior, pero será

mejor que antes observemos los nuevos rangos formados.

Análisis de Rangos





ESPA 5000.000 10000.00 INFINITY

PAVO 5000.000 422.7273 3333.333

PAPA 7900.000 3100.000 INFINITY

ESPI 300.0000 22333.33 INFINITY

MANZ 14300.00 INFINITY 930.0000




2 63000.00 12216.67 INFINITY

3 10.00000 0.0 INFINITY

4 15.00000 0.0 INFINITY

5 0.9200000 0.9000000E-01 0.0

6 50.00000 0.0 1.800000

7 3.000000 0.0 0.5000000

8 3.000000 INFINITY 1.500000

9 2.000000 0.2000000 0.0

10 1.000000 0.6766917E-01 0.0

11 1.000000 INFINITY 0.3333333

El análisis de los rangos nos determina que debemos decrementar la restricción quinta

en 1.8

Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.8




ESPA 3.000000 0.0000000

PAVO 3.000000 0.0000000

PAPA 2.000000 0.0000000

ESPI 1.000000 0.0000000

MANZ 0.6666667E-01 0.0000000


1 47053.33 1.000000

2 53766.67 0.0000000

3 1.980000 0.0000000

4 7.740000 0.0000000

5 0.0000000 -90378.79

6 0.0000000 -247.7273

7 0.0000000 11268.18

8 0.0000000 422.7273

9 0.0000000 0.0000000

10 0.0000000 12962.88

11 0.9333333 0.0000000

La restricción cuarta y la quinta nuevamente presentan un dual price que nos permite

minimizar la cantidad de grasas de la comida. Es necesario observar los rangos de este

nuevo modlo para observar las variaciones que podriamos hacer.

Análisis de Rangos





ESPA 5000.000 11268.18 INFINITY

PAVO 5000.000 422.7273 INFINITY

PAPA 7900.000 3100.000 2180.000

ESPI 300.0000 12962.88 INFINITY

MANZ 14300.00 5450.000 930.0000




2 63000.00 53766.67 INFINITY

3 10.00000 1.980000 INFINITY

4 15.00000 7.740000 INFINITY

5 0.9200000 0.1232000 0.0

6 48.20000 0.0 17.60000

7 3.000000 0.0 0.6844444

8 3.000000 0.0 1.474286

9 2.000000 INFINITY 0.0

10 1.000000 0.6616541 0.0

11 1.000000 INFINITY 0.9333333

Podemos observar que podemos decrementar en 17.6 la quinta restricción. Veamos los

nuevos resultados del modelo.

Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.8




ESPA 3.000000 0.0000000

PAVO 3.000000 0.0000000

PAPA 0.0000000 2180.000

ESPI 1.000000 0.0000000

MANZ 0.8666667 0.0000000


1 42693.33 1.000000

2 46366.67 0.0000000

3 1.940000 0.0000000

4 6.420000 0.0000000

5 0.0000000 -95333.33

6 0.0000000 0.0000000

7 0.0000000 12160.00

8 0.0000000 720.0000

9 2.000000 0.0000000

10 0.0000000 6373.333

11 0.1333333 0.0000000

Pues ahora, solo la cuarta restricción tiene un dual price que nos indica una reduccion de

grasas en nuestra funcion objetivo. Veamos si los rangos apoyan el decremento en esta

restricción.

Análisis de Rangos





ESPA 5000.000 12160.00 INFINITY

PAVO 5000.000 720.0000 INFINITY

PAPA 7900.000 INFINITY 2180.000

ESPI 300.0000 6373.333 INFINITY

MANZ 14300.00 5450.000 1800.000




2 63000.00 46366.67 INFINITY

3 10.00000 1.940000 INFINITY

4 15.00000 6.420000 INFINITY

5 0.9200000 0.2000000E-01 0.0

6 30.60000 0.0 INFINITY

7 3.000000 0.0 0.1111111

8 3.000000 0.0 0.3333333

9 2.000000 INFINITY 2.000000

10 1.000000 1.857143 0.0

11 1.000000 INFINITY 0.1333333

El decremento determinado por el análisis de rangos es cero para la cuarta restricción,

por lo que concluímos en que nuestro análisis de sensibilidad ha terminado.

Luego, la cantidad mínima de grasas que podemos tener sería 42693.33

Para esto, deberemos de combinar: 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 100

gramos de espinaca y 86.7 gramos de pastel de manzana. Observemos que no

utilizaremos papas en escalope.

PROBLEMA 02:

FMR Company tiene una máquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la maquina es usada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1.5 atascamientos y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos de restablecimiento, durante los cuales la maquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posible. Formule un modelo para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuanto a la de pequeños. Para las variables de decisión use el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes. Solución:

1. Determinación de Variables : Lo que nos interesa es saber cuántas horas, de un día de 8 horas, debemos dedicarnos a la producción de tubos grandes y cuantas horas a la de pequeños, de tal manera que generemos la mayor cantidad posible de tubos, y además el numero de pies de ambos tamaños sea el mismo, el problema nos pide que usemos como variable “el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes”, pero también se podría usar el numero de fracción de 8 horas.

TG = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos grandes.

TP = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños.

2. Determinación de las restricciones.

Podemos distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: la de la demanda de producción de pies de tubos, y la de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas.Restricción de la demanda de producción de pies de tubos.Numero de pies de tubos grandes = Numero de pies de tubos pequeños.

Calculando la demanda de producción de pies de tubos grandes (DG):Datos: Velocidad de producción tubos grandes = 200 pies/hora.Atascamientos por hora = 1.5Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horasDeducimos que la demanda de producción de pies de tubos grandes debe ser igual a lo que se debería producir si no hubiera atascamientos menos lo que no se produce en el tiempo muerto que las maquinas no están trabajando. DG= 200*(TG) – 1.5*(1/12)*TG*200;

DG= 175*TG

Calculando la demanda de producción de pies de tubos pequeños (DP):

Datos: Velocidad de producción tubos pequeños = 300 pies/hora.Atascamientos por hora = 3Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horasAnálogo a la situación anterior: DP=300*(TP)-3*(1/12)*TG*300;

DP = 225TP

Para esta parte nuestra restricción quedaría de esta manera:DG=DP 175*TG = 225*TP;Entonces la restricción queda: 175*TG – 225*TP = 0;

Restricción del tiempo de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas.TG + TP <= 8;

3. Determinación de la Función Objetivo.

Debemos maximizar la producción de pies de tubos.MAX = 175*TG + 225*TP;

4. Condiciones de no negatividad:

TG>=0; TP>=0;

5. Formulación Completa y solución del problema.

DESARROLLO EN LINGO – METODO SIMPLEX.

SOLUCION DEL MODELO:

Como observamos en el row 3, existe un Slack de 0 y un Dual Price de aumento de 196.8750 por lo que tendremos en cuenta a la hora de analizar la sensibilidad y asi ver la posibilidad de poder variar la restricción del row 3 de tal manera de tener la máxima producción de pies de tubos.

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Análisis de rangos:

Como observamos el “Allowable Increase” es 0, por lo nos indica que que ya se ha obtenido nuestro objetivo de maximizar la producción de pies de tubos, de tal manera que nuestro problema queda resuelto.

En conclusión:Nuestra máxima producción de pies de tubos es de 1575 pies, para lo cual se debe asignar 4.5 horas de tiempo de maquina dedicados a la fabricación de tubos grandes, y 3.5 horas a la fabricación de tubos pequeños; en un día de 8 horas.

PROBLEMA 03:

Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo por cada especie y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en producto final.

ESPECIA COSTO ($/gm) MÍNIMO (%) MÁXIMO (%)Cayena 0.020 18 20Pimienta Negra 0.025 15 18Semillas de binojo 0.082 12 14Polvo de cebolla 0.025 16 20Ajo 0.028 12 15Orégano 0.075 14 18

Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el coto total.

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO1. Determinación de variables

Nos debemos dar cuenta que lo que nos interesa es poder expresar las cantidades de cada especia en porcentaje al producto final, ya que esto nos ayudara a facilitar el entendimiento que proporción utilizada de cada especia utilizada respecto al producto final.Pi = (Porcentaje utilizado de especia i, donde i=1…6, i=1 -> Cayena, i=2-> Pimienta negra, i=3->Semillas de binojo, i=4-> Polvo de cebolla, i=5-> Ajo, i=5-> Orégano)

2. Determinación de las restricciones

Las restricciones se distinguen de acuerdo a las condiciones indicadas en la tabla, recordemos que las unidades están indicadas en porcentaje al producto final:

P1>=0.18;P1<=0.20;P2>=0.15;P2<=0.18;P3>=0.12;P3<=0.14;P4>=0.16;P4<=0.20;P5>=0.12;P5<=0.15;P6>=0.14;P6<=0.18;

Otra restricción sería que la suma de todas establece la unidad total.P1+P2+P3+P4+P5+P6=1

3. Determinar la función objetivo

Debemos minimizar el costo total por cada kilogramo (1000gm) de producto.Min= 0.020($/gm)*1000gm*P1 + 0.025($/gm)*1000gm*P2 + 0.082($/gm)*1000gm*P3 + 0.025($/gm)*1000gm*P4 + 0.028($/gm)*1000gm*P5 + 0.075($/gm)*1000gm*P6 Min= 20P1($) + 25P2($) + 82P3($) + 25P4($) + 28P5($) + 75P6($)

DESARROLLO EN LINGO!FUNCION OBJETIVO;MIN= 20*P1 + 25*P2 + 82*P3 + 25*P4 + 28*P5 + 75*P6 ; !COSTOS;!RESTRICCIONES DE CANTIDAD;P1>=0.18;P1<=0.20;P2>=0.15;P2<=0.18;P3>=0.12;P3<=0.14;P4>=0.16;P4<=0.20;P5>=0.12;P5<=0.15;P6>=0.14;P6<=0.18;!RESTRICCION DE TOTALIDAD;P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1;

SOLUCIÓN DEL MODELOGlobal optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.79000


P1 0.2000000 0.0000000 P2 0.1800000 0.0000000 P3 0.1200000 0.0000000 P4 0.2000000 0.0000000 P5 0.1500000 0.0000000 P6 0.1500000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 38.79000 1.000000 2 0.2000000E-01 0.0000000 3 0.0000000 55.00000 4 0.3000000E-01 0.0000000 5 0.0000000 50.00000 6 0.0000000 -7.000000 7 0.2000000E-01 0.0000000 8 0.4000000E-01 0.0000000 9 0.0000000 50.00000 10 0.3000000E-01 0.0000000 11 0.0000000 47.00000 12 0.1000000E-01 0.0000000 13 0.3000000E-01 0.0000000 14 0.0000000 -75.00000

Podemos observar que en el row 14 se presenta un surplus de 0, y nos indica un decremento mayor en nuestra función objetivo, entonces debemos tomarla en cuenta para modificarla.

ANALISIS DE SENSIBILIDADObjective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20.00000 55.00000 INFINITY P2 25.00000 50.00000 INFINITY P3 82.00000 INFINITY 7.000000 P4 25.00000 50.00000 INFINITY P5 28.00000 47.00000 INFINITY P6 75.00000 7.000000 47.00000

Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 0.1800000 0.2000000E-01 INFINITY 3 0.2000000 0.1000000E-01 0.2000000E-01 4 0.1500000 0.3000000E-01 INFINITY 5 0.1800000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 6 0.1200000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 7 0.1400000 INFINITY 0.2000000E-01 8 0.1600000 0.4000000E-01 INFINITY 9 0.2000000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 10 0.1200000 0.3000000E-01 INFINITY 11 0.1500000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 12 0.1400000 0.1000000E-01 INFINITY 13 0.1800000 INFINITY 0.3000000E-01 14 1.000000 0.3000000E-01 0.1000000E-01

El análisis de sensibilidad nos indica que podemos disminuir la restricción del row 14 en 0.01. Para obtener un nuevo modelo:Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.04000

Variable Value Reduced Cost P1 0.2000000 0.0000000 P2 0.1800000 0.0000000 P3 0.1200000 0.0000000 P4 0.2000000 0.0000000 P5 0.1500000 0.0000000 P6 0.1400000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 38.04000 1.000000 2 0.2000000E-01 0.0000000 3 0.0000000 55.00000 4 0.3000000E-01 0.0000000 5 0.0000000 50.00000 6 0.0000000 -7.000000 7 0.2000000E-01 0.0000000 8 0.4000000E-01 0.0000000 9 0.0000000 50.00000 10 0.3000000E-01 0.0000000 11 0.0000000 47.00000 12 0.0000000 0.0000000 13 0.4000000E-01 0.0000000 14 0.0000000 -75.00000

Análisis de Rangos con el nuevo modelo:Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20.00000 55.00000 INFINITY P2 25.00000 50.00000 INFINITY P3 82.00000 INFINITY 7.000000 P4 25.00000 50.00000 INFINITY P5 28.00000 47.00000 INFINITY P6 75.00000 7.000000 47.00000

Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 0.1800000 0.2000000E-01 INFINITY 3 0.2000000 0.0 0.2000000E-01 4 0.1500000 0.3000000E-01 INFINITY 5 0.1800000 0.0 0.3000000E-01 6 0.1200000 0.0 0.4000000E-01 7 0.1400000 INFINITY 0.2000000E-01 8 0.1600000 0.4000000E-01 INFINITY 9 0.2000000 0.0 0.4000000E-01 10 0.1200000 0.3000000E-01 INFINITY 11 0.1500000 0.0 0.3000000E-01 12 0.1400000 0.0 INFINITY

13 0.1800000 INFINITY 0.4000000E-01 14 0.9900000 0.4000000E-01 0.0

PROBELMA 04:

EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL

COMPANY

Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi,

Nuevo México y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto

con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos

contienen azufre, plomo y fosforo. Como se muestra en la tabla. El costo de cada

componente también se presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galon de

petróleo crudo de Mississippi resulta solo en 0.35 de galon del producto final, que

contiene 0.07% de azufre. De manera similar, cada galon de crudo de nuevo México

produce 0.40 de galon de petróleo final que contiene 0.08% de sulfuro y cada galon de

crudo de Texas resulta en 0.30 de galon de producto final que contiene 0.10% de azufre.

La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar las cantidades

de azufre, plomo y fosforo:

1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre.

2. Cada galon debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo.

3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fosforo.

4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla.

PETROLEO CRUDOS ADITIVOS

MISSISSIPPI NUEVO MEXICO TEXAS 1 2

Azufre (%) 0.07 0.08 0.10 --- ---

Plomo(g/gal) --- --- --- 7 6

Fosforo(g/gal) --- --- --- 0.025 0.02

Costo($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12

Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una

gasolina aceptable al mismo costo.

SOLUCION:

1.-IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN.

Usted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por

mezclar al producir un galón de gasolina.

XM =Numero de galones de petróleo crudo de Mississippi usados para hacer un

galón de gasolina.

XN = Numero de galones de petróleo crudo de Nuevo México usados para hacer

un galón de gasolina.

XT = Numero de galones de petróleo crudo de Texas usados para hacer un galón

de gasolina.

A1 =Numero de galones del aditivo 1 usados para hacer un galón de gasolina.

A2= Numero de galones del aditivo 2 usados para hacer un galón de gasolina.

2.- IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

El objetivo global es minimizar el costo de los componentes usados en la

fabricación de cada galón de gasolina. Entonces tenemos:

Costo total= (costo del petróleo crudo de Mississippi) +

(Costo del petróleo crudo de nuevo México) +

(Costo del petróleo crudo de Texas) +

(Costo del aditivo 1) + (costo del aditivo 2)

Usando las variables y los costos asociados de la tabla obtenemos la siguiente función

objetiva:

Minimizar (0.55 XM + 0.47 XN + 0.33 XT + 0.08 A1 + 0.12 A2)

3.- IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES

Restricción de Producción

Esta restricción asegura que se produzca precisamente un galón de gasolina:

Cantidad de gasolina producida = 1 galón

Si aplicamos la descomposición llegamos a:

Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi) +

(Cantidad producida de petróleo crudo de nuevo México) +

(Cantidad producida del petróleo crudo de Texas) +

(Cantidad del aditivo 1) + (Cantidad del aditivo 2)

Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce solo 0.35 de galón de

gasolina. Por tanto, XM galones de este crudo producen 0.35 XM galones de gasolina. De

manera similar, como cada galón de petróleo crudo de nuevo México produce 0.40 de

galón de gasolina y cada galón de petróleo crudo de Texas resulta en 0.30 de galón de

gasolina, esta restricción es.

0.35 XM + 0.40 XN + 0.30 XT + A1 + A2 =1.0 (producción)

Restricciones De Composición De Mezclado

Este grupo consiste en tres conjuntos de restricciones, uno por cada una de las

limitaciones de azufre, plomo y fosforo en la mezcla final.

Calculamos la cantidad de azufre en la mezcla:

Cantidad de azufre en la mezcla = (cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi)

+

(Cantidad de azufre del petróleo crudo de nuevo México) +

(Cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas) +

(Cantidad de azufre de aditivo 1) + (Cantidad de azufre de aditivo 1)

Cada galón de petróleo crudo de Mississippi produce 0.35 de galón de gasolina que

contiene 0.07% de azufre. Por tanto, XM galones de este petróleo crudo produce 0.35 XM

galones que contiene 0.07% de azufre. Así

Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0.0007*0.35 XM

=0.000245 XM

Observando que los aditivos no aportan azufre, y aplicando una lógica similar a los

otros resultados de petróleos crudos en la siguiente restricción de azufre.

0.000245 XM +0.00032 XN +0.0003 XT <=0.0007 (azufre)

Aplicando el mismo razonamiento usado en el desarrollo de la restricción de azufre, se

obtiene lo siguiente.

7A1 + 6A2<=2.50

7A1 + 6A2>=1.25

0.025A1 +0.02A2<=0.0045

0.025A1 + 0.02A2>=0.0025

Finalmente el total de A1 y A2 debe ser a lo más 19% de galón, resultando la siguiente

restricción.

A1 + A2 <=0.19

Por lo tanto la formulación completa es la siguiente:

Minimizar (0.55 XM + 0.47 XN + 0.33 XT + 0.08 A1 + 0.12 A2)

0.35 XM + 0.40 XN + 0.30 XT + A1 + A2 =1.0 (producción)

0.000245 XM +0.00032 XN +0.0003 XT <=0.0007 (azufre)

7A1 + 6A2<=2.50

7A1 + 6A2>=1.25

0.025A1 +0.02A2<=0.0045

0.025A1 + 0.02A2>=0.0025

Utilizando el programa lingo7 obtenemos el resultado de la función objetivo

Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 0.9494500

Variable Value Reduced Cost XM 0.0000000 0.1256250 XN 1.375000 0.0000000 XT 0.8667 0.0000000 A1 0.1400000 0.0000000 A2 0.5000000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.9494500 1.000000 2 0.0000000 -1.475000 3 0.0000000 375.0000 4 1.2200000 0.000000 5 0.3000000 0.000000 6 0.0000000 8.000000 7 0.2000000 0.000000 8 0.0000000 1.195000

Como vemos la solución óptima es:

XM 0.000 XN 1.375 XT 0.866

A1 0.140 A2 0.500Con una solución objetivo de 0.94945. en otras palabras cada galon de producto fimal se fabrica mezclando y procesando 1.375 galones de petroleo crudo de nuevo mexico y 0.8667 de galon de petróleo crudo de texas con 0.14 de galon de aditivo 1 y 0.05 de galon de aditivo 2.

Consultando con el reporte de rangos de la función encontramos los siguientes valores:Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease XM 0.5500000 INFINITY 0.1256250 XN 0.4700000 0.9571429 0.3000000 XT 0.3300000 0.2250000 0.2153571 A1 0.8000000 0.4000000 0.2987500 A2 0.1200000 0.2390000 0.4000000

Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1.000000 0.6500000 0.1100000 3 0.700000 0.1100000 0.5200000 4 2.500000 INFINITY 1.220000 5 1.250000 0.3000000 INFINITY 6 0.450000 0.2500000 0.1500000 7 0.2500000 0.2000000 INFINITY 8 0.1900000 0.3500000 0.1000000

Analizando resultados con respecto a los coeficientes de la función objetivo para la variable Xm vemos que existe un incremento permisible infinito pero un decremento de 0.1256, así el rango para de valores que puede tomar esta variable es infinito<=Xm<=0.1265. El mismo razonamiento se realiza para las otras variables.Para el caso de las restricciones por aumento de una unidad vemos que nos encontramos con la misma lógica.

PROBLEMA 05:

Incredible Indelible Ink Company mezcla 3 aditivos A1, A2, A3 a una base en diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2, A3 en la proporción de 3:1:2, la tinta azul en la proporción 2:3:4 y la tinta verde en la proporción de 1:2:3.Despues de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color. La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos.

Identificación de variables de decisión:R: cantidad de tintas rojasA: cantidad de tintas azules

V: cantidad de tintas verdes Ahora, considerando cada tipo de tinta, está compuesto por tres aditivos A1,A2,A3 y una base.

Identificación de la función objetivo:

Para maximizar los ingresos, tenemos que considerar el precio de venta de cada tinta, pues como es el mismo para cada uno, no lo consideramos en la maximización por ser iguales para cada uno.Pero cada tinta está compuesta por aditivos A1, A2, A3 y una base en proporciones dadas en el enunciado.Para la tinta roja “R” la relación entre los aditivos A1, A2, A3 es de 3:1:2 todos con una constante X1 siendo así:R=3*x1+1*x1+2*x1Y del mismo modo para los siguientes casos:A=2*x2+3*x2+4*x2V=1*x3+2*x3+3*x3Y la base B que está dividida en 3 partes iguales según el enunciado: b1, b2 y b3. Siendo b1=b2=b3B=b1+b2+b3Entonces la función objetivo se podría representar de este modo:Max (R+A+V+B).Max 6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3.

Identificación de las restricciones:

Comenzaremos por los aditivos, pues cada uno contiene como máximo una determinada cantidad.

A1<=1000 gl => 3*x1+2*x2+x3<=1000 A2<=1500 gl => x1+3*x2+2*x3<=1500 A3<=2000 gl => 2*x1+4*x2+3*x3<=2000

Ahora con las bases tenemos que como se dividen en partes iguales a todas las tintas: B<=4000 gl => b1+b2+b3<=4000 b1-b2=0; b1-b3=0; b2-b1=0; b2-b3=0; b3-b1=0; b3-b2=0; La cantidad de cada base en las tintas tiene que ser positiva: b1>=0, b2>=0 y b3>=0 Programa en el Lingo: De acuerdo con todo lo señalado el modelo quedaría así:

MAX=6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3;3*x1+2*x2+x3<=1000;

x1+3*x2+2*x3<=1500;2*x1+4*x2+3*x3<=2000;b1+b2+b3<=4000;b1-b2=0;b1-b3=0;b2-b1=0;b2-b3=0;b3-b1=0;b3-b2=0;b1>=0;b2>=0;b3>=0;

Según esto, tenemos que los valores de las variables x1 y x3 resultan ser cero y que la variable x2 cuyo valor es 500 lo cual funciona como constante para la tinta azul. Entonces significa que A=9*x2=9*500=4500 sumados a las bases de 4000, entonces 4500+4000=8500 dólares que viene a ser el ingreso máximo invirtiendo solo en la tinta azul.

Por otro lado, los aditivos A1, A3 y B muestran un precio dual que es lo que varia según lo que se coloque en las restricciones

Según el cuadro anterior indicado tenemos que el aditivo A1 presenta un incremente máximo de 2000, ya superior a ese valor este aditivo no provoca ningún efecto en la maximización pero con respecto a las bases su incremento no tiene límites.

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