Problema C7

A laminated plate [±30/02]s of 1.12mm thick consists in layers of fiberglass / epoxy with EL=140GPa, ET=10GPa, LT=0,28 e GLT=3,8GPa. Knowing that b=50 mm, SL=1200MPa, ST= 55MPa e SLT= 70MPa: Uma placa laminada [±30/02]s com 1,12mm de espessura é constituída por camadas de fibra de vidro/epóxi com EL=140GPa,

ET=10GPa, LT=0,28 e GLT=3,8GPa. Sabendo que b=50 mm, SL=1200MPa, ST= 55MPa e SLT= 70MPa: 1) If the composite is submitted to the loading illustrated in figure a, identify if any of the values indicated lead to one layer

break: F1 = 40 KN; F2 = 30 KN (use the maximum stress fracture criterion).

1) Se o compósito for solicitado com o carregamento da figura a, identifique se algum dos valores indicados conduz à rotura de

uma lâmina: F1 = 40 KN; F2 = 30 KN (use o critério de fratura das tensões máximas).

2) Solve question 1 but applying the maximum deformation criterion.

2) Resolva a pergunta 1 mas aplicando o critério das deformações máximas.

3) Use the Tsai-Hill fracture criterion to check if the force F = 30 KN causes rupture in a layer (Assume SL+ = SL – e ST

+ = ST– ).

3) Use o critério de Tsai-Hill para verificar se a força F= 30 KN causa a rotura de alguma camada (Assuma SL+ = SL – e ST

+ = ST– ).

4) If the composite is submitted to the loading illustrated in figure b, with L=180mm and b=50mm, say if the force of P =28N

causes

a layer break (use the maximum deformation fracture criterion).

4) Se o compósito for solicitado com o carregamento da figura b, com L=180mm e b=50mm, diga se a força de P =28N conduz

à rotura de uma lâmina (use o critério das deformações máximas).

5) Solve question 4 but applying the maximum stress fracture criterion.

5) Resolva a alínea 4 usando o critério das tensões máximas.

Dados/Data:

Matriz A-1 0,009261 -0,00978 0

Matriz D-1 0,15377566 -0,205029 -0,04028

-0,00978 0,073164 0 10-3 mm/N

-0,2050294 0,785245 -0,02781 10-3 N-1mm-1

0 0 0,055843

-0,0402815 -0,027813 0,363418

[Ǭ]30 (GPa)

[Ǭ]0 (GPa) [Ǭ]-30 (GPa)

83,7279163 27,19324 42,37867 140,7884 2,815768 0 83,72792 27,19324 -42,3787

27,1932422 18,36187 14,22999 2,815768 10,05632 0 27,19324 18,36187 -14,23

42,378671 14,22999 28,17747 0 0 3,8 -42,3787 -14,23 28,17747

Matriz T (30o)

Matriz T (30o)

0,75 0,25 0,866025

0,75 0,25 0,433013

0,25 0,75 -0,86603

0,25 0,75 -0,43301

-0,43301 0,4330127 0,5

-0,8660254 0,866025 0,5

Matriz T (-30o)

Matriz T (-30o)

0,75 0,25 -0,86603

0,75 0,25 -0,43301

0,25 0,75 0,866025

0,25 0,75 0,433013

0,433013 -0,4330127 0,5

0,8660254 -0,86603 0,5

Matriz T (0o)

Matriz Te (0o)

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

1) Critério da tensão máxima / Maximum stress criterion

Começamos com F= 30KN/ Lets try F = 30 KN

Matriz A-1 0,009261 -0,00978 0

-0,00978 0,073164 0 10-3 mm/N

0

0 0,055843

F(N) 30 x 103

b(mm) 50

Nx (N/mm)=F/b 0,6* 103

x 0,005556411

Ny 0

y -0,005867455

Nxy 0

xy 0

[Ǭ]30 (GPa)

[Ǭ]0 (GPa) [Ǭ]-30 (GPa)

83,7279163 27,19324 42,37867 140,7884 2,815768 0 83,72792 27,19324 -42,3787

27,1932422 18,36187 14,22999 2,815768 10,05632 0 27,19324 18,36187 -14,23

42,378671 14,22999 28,17747 0 0 3,8 -42,3787 -14,23 28,17747

30o -30o 0o 0o

GPa 30o -30o 0o 0o

GPa

x (GPa) 0,305672 0,305672 0,765757 0,765757 1 0,371712 0,3717117 0,765757 0,765757

SL (MPa)= Lrotur 1200 1,2

y (GPa) 0,043359 0,043359 -0,04336 -0,04336 2 -0,02268 -0,022681 -0,04336 -0,04336

ST (MPa) Trotur 55 0,055

xy (GPa) 0,15198 -0,15198 0 0 12 -0,03759 0,0375948 0 0

SLT (MPa) LTrotur 70 0,07

Nenhuma lâmina parte (Critério da tensão máxima) com F=30 KN

No blade breaks (Maximum stress criterion) with F = 30 KN

xy

y

x

anguloxy

y

x

Q

__

xy

y

x

T

12

2

1

Vamos calcular para F= 40 KN / Lets try F = 40 KN

Matriz A-1 0,009261 -0,00978 0

-0,00978 0,073164 0 10-3 mm/N

0 0 0,055843

30o -30o 0o 0o

30o -30o 0o 0o

GPa

x (GPa) 0,407562 0,40756216 1,0210 1,0210 1 0,49561557 0,495616 1,0210 1,0210

SL (GPa)= 1,2

y (GPa) 0,057813 0,05781255 -0,0578 -0,0578 2 -0,0302409 -0,03024 -0,0578 -0,0578

ST (GPa) 0,055

xy (GPa) 0,202639 -0,20263934 0 0 12 -0,0501264 0,050126 0 0

SLT (GPa) 0,07

Parte com 40KN (critério da tensão máxima) para 2 (GPa) ângulo de 0o= 0,0578 ≥ ST (GPa)= 0,055

Breaks with 40KN (maximum stress criterion) for 2 (GPa) at 0o angle = 0,0578 ≥ ST (GPa)= 0,055

Nota:

Para obterem o valor máximo de rotura têm de jogar com F(N) até determinarem esse valor.

Aguenta 38KN, parte com 39KN

Attention

To obtain the maximum breakage value, you have to play with F (N) until you determine that value.

Hold 38KN, breaks with 39KN

AVISO

Devem sempre calcular o valor máximo da maneira anterior. Se tentarem de forma inversa, partindo dos valores de

SL, ST e SLT vão obter Nx ≠ 0, Ny ≠ 0, Nxy ≠ 0, um caso MULTIAXIAL. Mas o que é pedido é o caso UNIAXIAL Nx ≠ 0, Ny

= 0, Nxy = 0. ASSIM, ESTARIAM A COMETER UM ERRO.

WARNING

You should always calculate the maximum value in the previous way. If you try to do this inversely, starting

from the values of SL, ST and SLT you will obtain Nx ≠ 0, Ny ≠ 0, Nxy ≠ 0, a MULTIAXIAL case. However, what is

requested is the UNIAXIAL case Nx ≠ 0, Ny = 0, Nxy = 0. THEREFORE, YOU WOULD BE MAKING AN ERROR.

F(N) 40x103

b(mm) 50

Nx (N/mm) 0,8 x103

x 0,007409

Ny 0

y -0,00782

Nxy 0

xy 0

xy

y

x

anguloxy

y

x

Q

__

xy

y

x

T

12

2

1

2) Critério da extensão máxima/ Maximum strain criterion F=30 KN

F(N) 30 x103

b(mm) 50

Nx= F/b (N/mm) 0,6 x103 x 0,005556

Ny 0 y -0,00587

Nxy 0 xy 0

30o . -30o 0o 0o

x 0,005556 0,005556 0,005556 0,005556

Os valores têm de ser iguais para todos os ângulos,

por compatibilidade de deformações

y -0,00587 -0,00587 -0,00587 -0,00587 The values must be the same for all angles, due to

deformation compatibility

xy 0 0 0 0

EL 140000 (MPa) SL (MPa)= L

rotur 1200 1Rotura= SL/EL 1 rotura 0,008571

ET 10000 (MPa) ST (MPa) T

rotur 55 2Rotura= ST/ET 2

rotura 0,0055

GLT 3800 (MPa) SLT (MPa) LT

rotur 70 12Rotura= SLT/GLT 12

rotura 0,018421

1Rotura= SL/EL

2Rotura= ST/ET

12Rotura= SLT/GLT

30o -30o 0o 0o

1 0,0027 0,0027 0,005556 0,005556 1 rotura 0,008571

2 -0,00301 -0,00301 -0,00587 -0,00587 2

rotura 0,0055

12 -0,00989 0,009893 0 0 12

rotura 0,018421

1Rotura ≤ 1 ≤1

Rotura

2Rotura ≤ 2 ≤2

Rotura

12 ≤12Rotura

Parte com 30KN (critério da extensão máxima) 2rotura = -0,0055≤2 para o ângulo de 0o= -0,00587

Breaks with 30KN (maximum extension criterion)2rotura = -0,0055≤2 for 0o angle= -0,00587

O material só aguenta até 28KN / The material can only hold up to 28KN

xy

y

x

T

12

2

1

3) Critério de Tsai-Hill. Calcular para F = 30KN

Tsai-Hill criteria. Lets calculate for F = 30KN

Ver questão 1, resultados para F=30KN

See question 1, results for F = 30KN

30o -30o 0o 0o

GPa 30o -30o 0o 0o

GPa

x (GPa) 0,305672 0,305672 0,765757 0,765757 1 0,371712 0,3717117 0,765757 0,765757

SL (MPa)= Lrotur 1200 1,2

y (GPa) 0,043359 0,043359 -0,04336 -0,04336 2 -0,02268 -0,022681 -0,04336 -0,04336

ST (MPa) Trotur 55 0,055

xy (GPa) 0,15198 -0,15198 0 0 12 -0,03759 0,0375948 0 0

SLT (MPa) LTrotur 70 0,07

30o -30o 0o 0o

Tsai-Hill criteria Valor do critério Tsai-Hill 0,560301 0,5603013 1,051769 1,051769 Lets assume tensile values Assumir valores de rotura

equal = to compression valuesvalues em compressão = tração

Tsai-Hill criteria

Critério Tsai-Hill

If F =30KN 1,0517688 0o

Limit Value: 29KN 0,9828195 0o

12

212

2

22

2

21

2

21

LTTLL ssss

xy

y

x

T

12

2

1

xy

y

x

anguloxy

y

x

Q

__

4) Critério das extensões máximas. Calcular momento para F = 28N / Maximum strain criteria. Let’s calculate the

moment for F = 28N

F (N) 28

L(mm) 180 b(mm) 50

Mx (N)=F.L/b 100,8 (+) positivo por convenção

My 0 Mxy 0

H total (mm) 1,12 H/2 = 0,56 mm

1Rotura= SL/EL 1 rotura 0,008571

[30/-30/0/0]s 8 lâminas

2Rotura= ST/ET 2

rotura 0,0055

hi (mm) 0,14

12Rotura= SLT/GLT 12

rotura 0,018421

Kx 0,0155

Ky -0,0207

Kxy -0,00406

Parte com 28N (critério da extensão máxima) 2rotura = -0,0055≤2 para o ângulo de 0o= -0,00553 e ainda

12 = -0,01868 > 12rotura = 0,018421

Breaks with 28N (maximum strain criterion) 2rotura = -0,0055≤2 for the 0o angle= -0,00553 and also for

12 = -0,01868 > 12rotura = 0,018421

O material só aguenta até 27N / The material can only hold up to 27N

1Rotura ≤ 1 ≤1

Rotura

2Rotura ≤ 2 ≤2

Rotura

12 ≤12Rotura

ângulo ZK (mm) x y xy 1 2 12

30 0,56 0,00868 -0,01157 -0,00227 0,00263 -0,00553 -0,01868

30 0,42 0,00651 -0,00868 -0,00171 0,00197 -0,00414 -0,01401

-30 0,42 0,00651 -0,00868 -0,00171 0,00345 -0,00562 0,01230

-30 0,28 0,00434 -0,00579 -0,00114 0,00230 -0,00375 0,00820

0 0,28 0,00434 -0,00579 -0,00114 0,00434 -0,00579 -0,00114

0 0,14 0,00217 -0,00289 -0,00057 0,00217 -0,00289 -0,00057

0 0,14 0,00217 -0,00289 -0,00057 0,00217 -0,00289 -0,00057

0 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0 -0,14 -0,00217 0,00289 0,00057 -0,00217 0,00289 0,00057

0 -0,14 -0,00217 0,00289 0,00057 -0,00217 0,00289 0,00057

0 -0,28 -0,00434 0,00579 0,00114 -0,00434 0,00579 0,00114

-30 -0,28 -0,00434 0,00579 0,00114 -0,00230 0,00375 -0,00820

-30 -0,42 -0,00651 0,00868 0,00171 -0,00345 0,00562 -0,01230

30 -0,42 -0,00651 0,00868 0,00171 -0,00197 0,00414 0,01401

30 -0,56 -0,00868 0,01157 0,00227 -0,00263 0,00553 0,01868

0

0

1

333231

232221

131211 x

xy

y

x M

DDD

DDD

DDD

k

k

k

xy

y

x

T

12

2

1

xyxyxy

xyyy

xxx

kz

kz

kz

.

.

.

0

0

0

5) Critério das tensões máximas em flexão. Calcular as tensões 1 , 2 e 12 (GPa) para uma força de 28N.

Criterion of the maximum stresses in bending. Let’s calculate stresses 1 , 2 and 12 (GPa) for a load of 28N

Já calculámos anteriormente os valores de para uma força de 28N

We have previously calculated the values of for a load of 28N

ângulo ZK (mm)

x y xy

30

0,56

0,315703709 -0,008821087 0,139099733

30

0,42

0,236777782 -0,006615815 0,1043248

-30 0,42

0,38131952 0,041918678 -

0,200430245

-30 0,28

0,254213014 0,027945785 -

0,133620164

0 0,28

0,594750694 -0,045972478 -

0,004320244

0 0,14

0,297375347 -0,022986239 -

0,002160122

0 0,14

0,297375347 -0,022986239 -

0,002160122

0 0

0 0 0

xy

y

x

anguloxy

y

x

Q

__

xy

y

x

ângulo ZK (mm)

1 (GPa) 2 (GPa) 12 (GPa)

30 0,56

0,355036413 -0,04815379 -0,070973492

30 0,42

0,266277309 -0,036115343 -0,053230119

-30 0,42

0,470046994 -0,046808796 0,046749753

-30 0,28

0,313364663 -0,031205864 0,031166502

0 0,28

0,594750694 -0,045972478 -0,004320244

0 0,14

0,297375347 -0,022986239 -0,002160122

0 0,14

0,297375347 -0,022986239 -0,002160122

MPa GPa

SL (MPa)= Lrotur 1200 1,2

ST (MPa) Trotur 55 0,055

SLT (MPa) LTrotur 70 0,07

Parte com 28N (critério de tensões máximas) para o ângulo de 30o para 12

Breaks with 28N (maximum stress criterion) for the 30o angle for 12

xy

y

x

T

12

2

1