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Problemario de Geometría Analítica

PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Problemario de Geometría Analítica 1

PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA COORDENADAS RECTANGULARES

212

212 )()( yyxxd −+−= Distancia entre dos puntos

rrxxxp +

+=

121

rryyyp +

+=

121 Razón de división

221 xxxm

+=

221 yyym

+= Punto medio

𝐴 = 12

𝑋1 𝑌1𝑋2 𝑌2𝑋3 𝑌3

Area de un Triangulo

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-2,5) B(4,3) yC(7,-2).

212

212 )()( yyxxd −+−=

22 )53()24( −++=ABd 436 +=ABd 40=ABd 324.6=ABd 22 )32()47( −−+−=BCd 259 +=BCd 34=BCd 83.5=BCd

22 )52()72( −−+−−=CAd 4981+=CAd 130=CAd 401.11=CAd

PERÍMETRO: 6.32 + 5.83 + 11.40 = 23.55 u 2.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea A(4,-3) y B(1,4) en la razón de 2.

rrxxX p +

+=

121

31)2(4 +

=pX 2=pX

rryyYp +

+=

121

34)2(3+−

=pY 35

=pY COORDENADAS: P(2, 5/3)


3.- Calcula el Area del siguiente triángulo: A(−1, −3), B(7, 8), C(4, −5)

𝐴 = 12

−1 −3 7 84 −5

= 12 (+(−1)(8) +(7)(−5) +(4)(−3) −(7)(−3) −(4)(8) −(−1)(−5)) =

A = 1

2 (+(−8) +(−35) +(−12) −(−21) −(32) −(5)) = 1

2 (−8−35−12+21−32−5) = 1

2 (-71) = -35.5

AREA: = 35.5 𝒖𝟐

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1. Halla el valor de “x” si la distancia entre (x, 2) y (−1, −2) es 5 Sol. x1 = 2, x2 = -4

2. Demuestra que los puntos A(−2, 2), B(6, 6) y C(2, −2) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Demuestra que los puntos A(−2, 8), B(−6, 1) y C(0, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. 4. Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son

a) A(−4, −4), B(6, −6) y C(0, 3) Sol. 29.06 b) A(-2,5), B(4,3) y C(7,-2) Sol : 23.56

5.- Demuestra que el triángulo cuyos vértices son, )4,3(),1,2(),2,5( CBA −−− es escaleno. 6.- Prueba que los puntos (−2, 3), (1, 2) y (4, 1) son colineales por cualquier método y encuentra la ecuación de la recta Sol. x+3y-7=0 7.- Demuestra que los siguientes puntos son colineales, por cualquier método.

a) A(4, 2), B(0, 1), C(−4, 0) b) A(6, −2), B(2, 1), C(−2, 4)

8.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea A(4,-3) y B(1,4) en la razón 2. Sol : P(2, 5/3)

9.- Encuentra las coordenadas del punto P, tal que PBAPr = sí,

A B y r( , ), ( , )4 2 2 523

− − − = Sol. P(8/5, -16/5)


10.- Encuentra los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(−2, 5) y B(3, −6). Sol. P(4/3, -7/3), Q(-1/3, 4/3) 11.- Un segmento de recta tiene por extremos los puntos A(1, 2) y B(5, −6). Determina las coordenadas del punto C, tales que AC/CB =1/4. Sol. P(9/5, 2/5) 12.- Calcula el área de los siguientes triángulos o polígonos cuyos vértices son:

a) A(2, −4), B(3, 6), C(−1, −7) Sol. 13.5 u2 b) A(3, −1), B(5, 6), C(−2, −8), D(−4,5) Sol. 70 u2 c) A(5,1), B(3,6), C(1,-4), D(-2,-3) Sol. 31 u2

COORDENADAS POLARES. θCosrx = ; θSenry = Rectangulares a polares

222 yxr += ; xyarc tan.=θ Polares a rectangulares

Ajuste de θ: Cuadrante I : θ Cuadrante II: 180º −θ Cuadrante III: 180º +θ Cuadrante IV: 360º −θ EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1. Convertir las siguientes coordenadas de Rectangulares a Polares y viceversa: Rectangulares Polares

(−3, −2) (6, 310º)

(−2, 5) (3, 105º)

(3, 7) (4, 225º)

(4, −6) (7, 80º)


LINEA RECTA

12

12

xxyym

−−

= Pendiente

12

12

1 mmmmtan

+−

=θ Ángulo entre dos rectas, 21 mm = Paralelas, 1mm 21 −= Perpendiculares

)( 11 xxmyy −=− Ecuación de la recta punto pendiente

)( 112

121 xx

xxyyyy −

−−

=− Ecuación de la recta dados dos puntos

0=++ CByAx Ecuación general BAm −= Pendiente;

BCb −= ordenada al origen

22

11

BA

CByAxd+±

++= Distancia de una recta a un punto.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Encuentra el ángulo de inclinación de la línea que pasa por los puntos L(-3,-5) y M(6,7).

12

12

xxyym

−−

= 3657

++

=m 9

12=m

912tan =α )

912(tan 1−=α EL ÁNGULO ES: °= 13.53α

2.- Escribe la ecuación de la línea recta en su forma general que pasa por los puntos C(2,-3) y D(4,2). x y 2 –3 = -3x + 4 + 4y – 2x + 12 – 2y 4 2 = -5x +2y + 16 ECUACIÓN: 5x – 2y – 16 = 0 x y 3.- Determina la ecuación de la línea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a la línea 2x – 3y + 6 = 0

32

32

=−

−=−=BAm )(: 11 xxmyylarPerpendicu −=− )2(

233 +−=− xy

6362 −−=− xy ECUACIÓN: 3x + 2y = 0


4.-Encuentra la pendiente, ordenada y abscisa al origen de la recta 5x – 2y – 10 = 0

25

25

=−

−=−=BAm 5

210

−=−−

−=−=BCb 2

510

=−

−=−=ACa

PENDIENTE: m= 5/2 ORDENADA: b= -5 ABSCISA: a= 2 5.-Encuentra el ángulo agudo entre las rectas: 2x + 3y – 4 = 0 , 3x + y + 5 = 0

32

1 −=−=BAm 3

13

2 −=−=m

97

337

361

323

1tan

12

12 −=

−

=+

+−=

+−

=mm

mmθ °=−= 125.142)

97tan(θ °= 875.37θ

ANGULO AGUDO: 37.875° 6.-Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta 2x – 4y + 3 = 0

22

11

BA

CByAxd+±

++= 11.1

47.45

1643)2(4)5(2

−=−

=+−

+−=d

DISTANCIA: 1.118u

7.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo cuyos vértices son A(4,1) , B(2,-3) y C(-3,-5).

Mediatriz F ⊥ AB 224

4213

12

12 =−−

=−−−

=−−

=xxyym

32

24=

+=Px 1

231

−=−

=Py Pm (3,-1)

F (3,-1) )( 11 xxmyy −=− )3(211 −−=+ xy

m⊥ = -1/2 322 +−=+ xy 012 =−+ yx

ECUACIÓN: x + 2y – 1 = 0


EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Encuentra el ángulo de inclinación de la línea que pasa por los puntos L(-3,-5) y M(6,7). Sol : 53.13º 2.- Encuentra el ángulo agudo entre las rectas:

a) 0432 =−+ yx y 053 =++ yx Sol : 37.87º b) 2 3 7 0x y+ − = y 5 2 10 0x y− − = Sol. 78.11°

3- Encuentra los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos. A(4, 2), B(6, −1), C(0, 1) Sol. A=109.65°, B=37.88°, C=32.46° 4.-Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°, sabiendo que la recta final tiene una pendiente m = 3. Calcula la pendiente de la recta inicial. Sol. m=1/2 5.- Aplicando la condición de perpendicularidad, demuestra que el triángulo es rectángulo A(3, 2), B(5, −4), C(1, −2) 6.- Escribe la ecuación de la línea recta en su forma general que pasa por los puntos C(2,-3) y D(4,2). Sol : 5x-2y-16=0 7.- Halla la ecuación de la recta de pendiente m=1/2, que forma con los ejes de coordenadas un triángulo de 16 unidades de área. Sol. x-2y+8=0, x-2y-8=0 8.- Determina la ecuación de la línea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a la línea 2x-3y+6=0 Sol : 3x+2y=0 9.- Dada la ecuación general de la recta, determinar la pendiente, ordenada al origen, abscisa al origen y su gráfica.

a) 5 4 20 0x y+ − = Sol. m=-5/4, b=5, a=4 b) 01025 =−− yx Sol : m=5/2, a=2, b=-5

10.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 2) y es paralela a la recta 2x−3y+4=0 Sol. 2x-3y-2=0

11.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(6, −1). Sol. x-y-8=0 12.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo cuyos vértices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5) Sol : x+2y-1=0 13.-Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(5, 7) y C(−3, 4) Sol. 5x+2y-16=0


14.- Halla la ecuación de la altura que pasa por el vértice C del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(5, 7) y C(−3, 4) Sol. 3x+4y-7=0

15.- Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta 2x - 4y + 3 = 0. Sol : d= 5

2= 1.11u

16- Calcula la distancia entre el punto P(4, -1) y la recta que pasa por el punto A(2, 3) con pendiente de -3/4. Sol. 3x+4y-18=0, d=2 17.- Calcula la distancia entre el punto A(−2, 1) y la recta que pasa por los puntos B(5, 4) y C(2, 3) Sol. 4.74 u 18.- Encuentra la distancia entre las rectas paralelas

a) 072169 =++ yx y 075169 =−+ yx Sol. d = 8 u b) 022 =++ yx y 0342 =−+ yx Sol. d=1.56 u


CIRCUNFERENCIA.

222 ryx =+ Ecuación de la circunferencia con centro en el origen 222 )()( rkyhx =−+− Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k)

022 =++++ FEyDxyx Ecuación general

2Dh −=

2Ek −= Fkhr −+= 222

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y las coordenadas de los extremos de un diámetro son P(3,4) y Q(-3,-4). C (0,0) 2

122

12 )()( yyxxd −+−= 5169 =+=d 222 ryx =+ ECUACIÓN: 2522 =+ yx

2.- Encuentra la ecuación general de una circunferencia cuyos extremos de un diámetro son A(5,-6) , B(-7,2).

12

75−=

−=Px ( ) 2

122

12 )( yyxxd −+−= 22 )62()51( +−+−−=d

22

26−=

+−=Py 521636 =+=d

Pm (-1,-2) 222 )()( rkyhx =−+− 52)2()1( 22 =+++ yx 0524412 22 =−+++++ yyxx ECUACIÓN: x2 + y2 + 2x + 4y – 47 = 0

3.- Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro C(-4,-1) y es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0.

22

11

BA

CByAxd+±

++= 211.7

605.326

4912)1(2)4(3

−=−

=++

−−+−=r

222 )()( rkyhx =−+− 52)1()4( 22 =+++ yx 05212168 22 =−+++++ yyxx ECUACIÓN: 0352822 =−+++ yxyx

4.- Dada la ecuación de la circunferencia 36x2 + 36y2 – 24x + 108y + 85 = 0. Determina que representa.

Dividiendo entre 36: 03685

36108

362422 =++−+ yxyx 0

36853

362422 =++−+ yxyx

Asociando: 36853

32 22 −=+++ yyxx


Completando: 49

91

3685

233

31

32 2

22

2 ++−=

+++

++ yyxx

0360)

23()

31( 22 ==−++ yx SOLUCIÓN: Punto

5.- Dada la ecuación de la circunferencia, determine las coordenadas del centro y la longitud del radio 2x2 + 2y2 – 16x – 4y + 16 = 0.

082822 =+−−+ yxyx 1168)1(2)4(8 2222 ++−=+−++− yyxx 9)1()4( 22 =−+− yx

C ( 4 , 1 ) y radio = 3 6.- Encuentra la ecuación en su forma ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,2) y B(-3,8) y su centro está sobre la recta x – 4y – 4 = 0.

Punto medio5

282

02

33

=+

=

=−

=

m

m

y

x pendiente 1

3328

−=−−−

=ABm

Ecuación de la mediatriz 05

)0(15=+−−=−

yxxy

El centro en la intersección ( )( )2_____051____044

=+−=−−

yxyx

x=-8 y=-3 C(-8, -3)

Radio 146)32()83( 22 =+++=r Ecuación de la circunferencia. ECUACIÓN: (x+8)2+(y+3)2=146 EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la ecuación de la circunferencia, que cumple con las condiciones señaladas.

a) Centro en el origen, radio 8. Sol. 6422 =+ yx b) Centro en (-2,3) y radio 4. Sol. 36422 =−++ yxyx c) Centro en (-2,1) y pasa por el punto (4, 3) Sol. 40)1()2( 22 =−++ yx d) Centro en (4, -1) y pasa por el punto(-1, 3). Sol. 0242822 =−+−+ yxyx e) Diámetro con extremos en (2, 3), y (4, -1) Sol. 5)1()3( 22 =−+− yx f) centro en (-4, 3) y es tangente al eje “y”. Sol. 096822 =+−++ yxyx g) Centro en (2, 5) y tangente a la recta 3x + 4y – 1 = 0 Sol. 25)5()2( 22 =−+− yx h) Centro (-2, 3) y tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0 0126422 =−−++ yxyx


2.- Halla el centro y el radio de las circunferencias siguientes reduciendo primero a su forma ordinaria:

a) 01210822 =−+−+ yxyx Sol. C(4, -5), 53=r

b) 07822 =−−+ yxyx Sol. C(4, 7/2), 2113=r

c) 01561022 22 =−+−+ yxyx Sol C(5/2, -3/2), r = 4 3.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia de ecuación. Utilizando las fórmulas.

a) 02216422 22 =++−+ yxyx Sol. r=3, C(1, -4) b) 054622 =+−++ yxyx Sol. r=√8, C(-3, 2)

4.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene su centro en la recta x-2y+9=0. Sol. 0476622 =−−++ yxyx 5.- Determina la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(1, 2), B(3, 1) y C(-3, -1) Sol. 010322 =−+−+ yxyx 6.- Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (1, 2) y que es tangente a la recta 2x+3y-18=0 en el punto (3, 4). Sol. 7.- Dada la ecuación, determina que representa, un punto, una circunferencia o un conjunto vacío

a) 095108243636 22 =++−+ yxyx Sol. Conjunto vacío. b) 058121622 22 =++−+ yxyx Un punto. c) 06082844 22 =+−++ yxyx Conjunto vacío. d) 0178641616 22 =++−+ yxyx Circ. Real.

8.- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, -1) y que es concéntrica a la circunferencia 0308622 =−+−+ yxyx Sol. 9.- Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro en (-2, 4) y pasa por la intersección de las rectas 4x-7y+10=0, y 3x+2y-7=0. Sol. 10.- Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con 0181022 =++−+ yxyx y que es tangente a la recta 20x-21y-42=0.

Sol.


PARABOLA Vértice en (h, k)

ECUACION ORDINARIA

TIPO FOCO DIRECTRIZ LADO RECTO

(y-k)2 =±4p(x-h) horizontal (h±p, k) x = hp 4p (x-h)2=±4p(y-k) Vertical (h, k±p) y = k p 4p

EJERCICIOS RESUELTOS:

1.- Encuentra la ecuación general de la parábola con foco en (5,1) y directriz la recta y + 7 = 0.

p = 4 )(4)( 2 kyphx −=− ]3)[4(4)5( 2 +=− yx 481625102 +=+− yxx

ECUACIÓN: 02316102 =−−− yxx

2.- Encuentra la ecuación en su forma general de la parábola con foco en F(2,5) y ecuación de su directriz y = 1.

)(4)( 2 kyphx −=− )3)(2(4)2( 2 −=− yx 248442 −=+− yxx ECUACIÓN: x2 – 4x – 8y + 28 = 0

3.- Encuentra la ecuación general de la parábola con focos en (0,-2) y directriz la recta: x – 5 = 0.

p = 2.5 )(4)( 2 hxpky −−=− ]5.2)[5.2(4)2( 2 −−=+ xy 2510442 +−=++ xyy

ECUACIÓN: 0214102 =−++ yxy 4.- Dada la ecuación de la parábola, encontrar las coordenadas del vértice y foco y la ecuación de la directriz: 2y2 – 12y – 24x – 30 = 0.

Factorizando y Completando T.C.P. 183024))36(2 22 ++=+− xyy 4824)3(2 2 +=− xy )2(24)3(2 2 +=− xy Div. Entre 2: )2(12)3( 2 +=− xy

4p = 12 p = 3 Vértice: (-2, 3) F (h+p, k) Foco (1, 3)

Ec. Direc. x = h – p Ecuación Directriz: x = – 5


5.- Encuentra las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz de la parábola: 2y2 – 8x – 8y – 32 = 0.

Dividiendo entre 2: 016442 =−−− yxy 4164)2(4 22 ++=+− xyy 204)2( 2 +=− xy )5(4)2( 2 +=− xy p = 1 VÉRTICE (-5, 2) F (h + p, k) FOCO (-4, 2) Ec. Direc. x = h - p x = -6 DIRECTRIZ x + 6 = 0

6.- Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro?

)(4)( 2 kyphx −−=− V (h,k) V(0,20) P(x,y) P(10, 0) 100 = -4p (-20) 100 = 80 p p = 1.25

Sustituimos: x2 = -4 (1.25) (y-20) x2 = -5 (y-20)

Sí x = 5 : 25 = -5y + 100 5y = 100 – 15 5y = 75 ALTURA: y = 15 m EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la ecuación de la parábola con:

a) con vértice en el origen y foco (0, −3/5) Sol.- x2= -12/5 y, 5x2=-12y

b) vértice en el origen y foco (−7/2, 0) Sol.- y2=-14x

c) vértice en el origen y directriz x = ¾ Sol.- y2=-3x

d) Vértice en (−3,−3) y directriz x=1, Sol. 0596162 =++− yxy

e) Foco en (−4, 3) y directriz y=−5 Sol. 0631622 =−−+ yxx

f) Vértice (2, −3) y Foco (−1, −3) Sol.- y2+12x+6y-15=0

2.- De la ecuación de la parábola, halla las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz, traza la gráfica.

a) 082 =− yx Sol.- V(0,0), p=2, F(0,2), direc. y=-2

b) y x2 24 0− = Sol.- V(0,0), F(6,0), direc. x=-6

c) 031822 =−−− yxx Sol.- V(1,-4), F(1,-2), Y=-6 p=2 d) 0168122 2 =−−+ yxy Sol. V(2, 2), F(7/2, 2), x=1/2

e) 06020205 2 =−−− yxy Sol.- V(-4,2), p=1, F(-3,2), x=-5


f) 0164122 =+−+ yxy Sol.- V(-1,2), F(-4,2), direc. X=2 3.- Un arco parabólico tiene una altura de 30 metros y una luz (ancho) de 45 metros. Halla la altura del punto del arco situado a 8 metros del centro. Sol. 26.20m 4.- Un arco parabólico tiene una altura de 9 metros y de base 12 metros. Halla la ecuación y la altura de los puntos del arco situados 4 metros del centro. Sol. )9(42 −−= yx , y=5m 5.- El cable de suspención de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 25m y están separados una distancia de 200m, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 5m sobre la calzada del puente usando el piso del puente como el eje “x” y como eje “y” el de simetría de la parábola. Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un punto situado a 50m del centro del puente? Sol.- y= 10m 6.- El cable de suspención de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 30m y están separados una distancia de 100m, quedando el punto mas bajo del cable sobre la calzada del puente. Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un punto situado a 25m del centro del puente. Sol.- y=7.5m 7.- La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 100m y la flecha del cable es de 15m. Obtén la altura del cable a 30m del centro del mismo. Sol.- y= 5.4m


ELIPSE.

ECUACIÓN VÉRTICES FOCOS COVERTICES

1)()(2

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

V(h ± a, k)

F(h ± c, k)

B(h, k±b)

1)()(2

2

2

2

=−

+−

aky

bhx

V(h, k ± a)

F(h, k ± c)

B(h±b, k)

LR=ab22

e=c/a

EJE MAYOR = 2a

EJE MENOR = 2b

1.- Encuentra la ecuación de la elipse en su forma general con focos en F(0,25) y F’(0,-25) y vértices en V(0,30) y V’(0,-30).

a=30, c=25, 625900222 −=−= cab ; b2=275 Elipse vertical con centro en el origen

1)()(2

2

2

2

=−

+−

aky

bhx → 1

900275

22

=+yx Ecuación ordinaria

ECUACIÓN: 0247500275900 22 =−+ yx

2.-Encuentra la ecuación de una elipse en su forma general dadas las siguientes condiciones: C(1,4) , F(1,8) y excentricidad 1/5.

Elipse Vertical c = 4

a = 20 ace ⇒=

51

a4

51=

3842 =b 222 cab −= 164002 −=b Ecuación:

1)()(2

2

2

2

=−

+−

aky

bhx 1

400)4(

384)1( 22

=−

+− yx

1400

168384

12 22

=+−

++− yyxx

015360061443072384400800400 22 =−+−++− yyxx 01470563072800384400 22 =−−−+ yxyx Dividiendo entre 16: 09191192502425 22 =−−−+ yxyx ECUACIÓN: 09191192502425 22 =−−−− yxyx


3.- Dada la ecuación, encontrar las coordenadas de los vértices, focos, así como la longitud del lado recto y la excentricidad: 9x2 + y2 – 54x – 8y + 88 = 0 Asociando y Factorizando: 88)8()6(9 22 −=−+− yyxx Completando T. C. P. : 168188))4(8())3(6(9 2222 ++−=+−++− yyxx

9)4()3(9 22 =−+− yx Diviendo entre 9: 19

)4(9

)3(9 22

=−

+− yx

* Elipse Vertical… 19

)4(1

)3( 22

=−

+− yx C ( 3, 4)

a = 3 F ( h, k±c ) V ( h, k±a) b = 1 F ( 3, 4+ 8 ) V ( 3, 7)

c = 8 F ( 3, 4– 8 ) V ( 3, 1)

LR = ab22

3)1(2 3

2=LR

e = c/a 38=e

4.- Determina si la siguiente ecuación representa una elipse, un punto o un conjunto vacío. 5x2 + y2 – 10x – 2y + 71 = 0

71)2()2(5 22 −=−+− yyxx 1571)1(2))1(2(5 2222 ++−=+−++− yyxx 65)2()1(5 22 −=−+− yx

CONJUNTO VACÍO 5.- Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su máxima altura de 45m. Encuentra la altura de los soportes situados a 50m de la orilla hacia el centro del arco.

a = 45 * Elipse Vertical b = 75

12

2

2

2

=+ay

bx 1

20255625

22

=+yx

Sí x = 25

120255625

625 2

=+y

1139062556251265625 2 =+ y 1265625113906255625 2 −=y

5625101250002 =y 18002 =y ALTURA: y = 42.42m


EJERCICIOS PARA RESOLVER.

1.-Halla la ecuación de la elipse, conociendo los siguientes datos.

a) Vértices (±5, 0), focos en (±3, 0) Sol. 11625

22

=+yx

b) Vértices en (0, ±6), excentricidad 2/3 Sol. 13620

22

=+yx

c) C(0, 0), pasa por (3,3), un vértice en (0, 5) Sol. 12516/225

22

=+yx

d) Focos (±4, 0), Lado recto = 18/5 Sol. 1925

22

=+yx

e) V(2,1), V(8,1), F(3,1),F(7,1) Sol. 089185095 22 =+−−+ yxyx f) F(2, -1) F(10, -1) excentricidad=2/3 Sol. 036722403620 22 =++−+ yxyx g) V(3, 1) V(3, 7) L.R=2/3 Sol. 0888549 22 =+−−+ yxyx

2.-Determine vértices, focos, lado recto, excentricidad y centro de la elipse con ecuación: a) 01892 22 =−+ yx Sol. V(±3,0), F(±√7, 0), LR=4/3, e=√7/3, C(0,0) b) 02045 22 =−+ yx Sol. V(0, ±√5), F(0, ±1), LR=8/√5, e=1/√5, C(0,0) c) 02724643 22 =+−++ yxyx , Sol.V(1,3),V(-3,3),F(0,3),F(-2,3)LR=3,e=1/2, d) 081365469 22 =+−++ yxyx , Sol. V(-3,6),V(-3,0),F(-3,4.73),F(-3,1.27), LR=4,

e=√3/3, C(-3,3)

3.-Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su máxima altura de 45m. Encontrar la altura de dos soportes situados a 25m del centro del arco. Sol. 30√2 m.

4.- El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura. a) Halla el ancho situado a 10m de altura b) Obtener la altura de un punto situado a 20m. de la orilla. Sol. a) 42.42m, b) 25m.

5.- Un jardinero desea trazar una elipse ayudado con un lazo y 2 estacas. Las estacas las coloca en los focos de la elipse separadas 7m. ¿De que longitud será el lazo para que atado en las estacas se pueda trazar una elipse de 0.625 de excentricidad. Sol. 11.2m

6.- La órbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de sus focos, la longitud del eje mayor es 287 millones de kilómetros y la excentricidad es de 1/62. Halla la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol. Sol. Máx. 1.5 millones, Mín 1.41 millones Km.


HIPERBOLA.

ECUACIÓN ORDINARIA

VÉRTICES

FOCOS

COVÉRTICES

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

V(h ± a, k)

F(h ± c, k)

B(h, k± b)

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

V(h, k ± a)

F(h, k ± c)

B(h ± b, k)

abLR

22=

e=c/a

E. Trans = 2a

E. Conjug. = 2b

EJERCICIOS RESUELTOS:

1.-Encuentra la ecuación de la hipérbola en su forma general, con focos en (1,6) y (1,0) y su excentricidad 3/2.

c = 3 Ecuación:

a = 2 ace ==

23

a3

23= 63 =a 1)()(

2

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

52 =b 222 acb −= 492 −=b 15

)1(4

)3( 22

=−

−− xy

020)12(4)96(5 22 =−+−−+− xxyy 02048445305 22 =−−+−+− xxyy

ECUACIÓN: 02183045 22 =++−− xyxy

2.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de un vértice, la ecuación de una asíntota y la longitud del lado recto.

14

)3(1

)2( 22

=+

−+ yx 1)()(

2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx C (-2, -3)

a = 1 V (h±a, k) 02

31

2: =+

±+ yxAsíntotas

b = 2 V (-1, -3)

V (-3, -3) Lado Recto : 1

)4(22 2

=ab L.R = 8


3.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de los

vértices, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas: 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. Asociando y Factorizando: 199)4(16)2(9 22 =+−− yyxx Completando T. C. P.: 649199))2(4(16))1(2(9 2222 −++=++−+− yyxx

144)2(16)1(9 22 =+−− yx Diviendo entre 144: 1144

)2(16144

)1(9 22

=+

−− yx

* Hipérbola Horizontal 19

)2(16

)1( 22

=+

−− yx C ( 1, –2)

a = 4 F ( h ± c, k ) V ( h ± a, k)) b = 3 F ( 6, –2) V ( 5, –2) c = 5 F ( –4,–2) V (–3, –2)

LR = ab22

4)9(2 2

9=LR

ace = 4

5=e

4.- Encuentra la ecuación de la hipérbola vertical en su forma general, cuyas ecuaciones de las asíntotas x – 2y + 1 = 0, x + 2y – 3 = 0, y distancia entre los vértices 2. 012 =+− yx 2a = 2 a = 1 032 =−+ yx b = 2 2x – 2 = 0

122==x 1)1()(

2

2

2

2

=−

−−

bx

aky 1

4)1(

1)1( 22

=−

−− xy

032 =−+ yx 04)12(1)12(4 22 =−+−−+− xxyy 1 + 2y – 3 = 0 0412484 22 =−−+−+− xxyy 2y = 3 –1 1=y ECUACIÓN: 01284 22 =−+−− xyxy

C ( 1, 1)


5.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de un vértice y la ecuación de una asíntota: 9x2 – 16y2 – 36x – 32y – 124 = 0. Fact. y Completando. T.C.P.: 1636124))1(2(16))2(4(9 2222 −+=++−+− yyxx

144)1(16)2(9 22 =+−− yx 1144

)1(16144

)2(9 22

=+

−− yx

19

)1(16

)2( 22

=+

−− yx * Hipérbola Horizontal

C (2, -1) a = 4 b = 3 Asíntotas: V (h ± a, k) V (6, -1) y V (-2, -1) 3x+4y-2=0 ; 3x-4y-10=0

EJERCICIOS PARA RESOLVER.

1.- Halla la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria, que tiene su centro en el origen, de acuerdo a los datos:

a) Vértices (±4, 0), Focos (±6,0) Sol. 12016

22

=−yx

b) Vértices (0, ±5) y un extremo del eje conjugado (3, 0) Sol. 1925

22

=−xy

c) Focos (±3,0), lado recto = 5 Sol. 154

22

=−yx

d) Focos (±7, 0), excentricidad=2 Sol. 14

1474

49

22

=−yx

e) Vértices (0, ±2), lado recto=9 Sol. 194

22

=−xy

f) Vértices (3, 0), excentricidad=4/3 Sol. 179

22

=−yx

2.- Encuentra las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud de cada lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas.

a) 01892 22 =−− yx Sol. C(0, 0), V(±3, 0), F(±√11, 0) e=√11/3, LR=4/3, asíntotas √2x ± 3y=0 b) 03649 22 =−− yx Sol. C(0, 0), V(±2, 0), F(±√13, 0) e=√13/2, LR=9, asíntotas 3x ± 2y=0 c) 03694 22 =−− yx Sol. C(0, 0), V(0, ±2), F(0, ±√13) e=√13/2, LR=9, asíntotas 3y ± 2x=0


d) 02045 22 =−− yx Sol. C(0, 0), V(0, ±2), F(0, ±3) e=3/2, LR=5, asíntotas √5y ± 2x=0

3.-Halla la ecuación de la hipérbola si te dan los siguientes datos.

a) V(3, 4), V’(3, 0) F(3,5), F’(3, -1). Sol. 036202454 22 =−−++− yxyx b) V(3, 4), V’(5, 4) F(2,4), F’(6, 4). Sol. 0298243 22 =++−− yxyx c) V(2, 4),V’(6, 4), excentricidad=3/2 Sol. 04324045 22 =−+−− yxyx d) F(1, 6), F’(1, 0), excentricidad=3/2 Sol. 02130845 22 =+−+− yxxy e) V(3, 3), V’(3, -3), LR=8/3 Sol. 01175494 22 =−+− xxy

4.- De la ecuación de la hipérbola, encuentra las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud de cada lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

a) a) 0482045 22 =−+−− yxyx Sol. C(2,1),V(4, 1),V’(0, 1),F(5, 1),F’(-1, 1), e=3/2, LR=5, √5(x-2) ± 2(y-1)=0

b) 02124634 22 =+−−− yxxy Sol. C(-1,3),V(-1,4.73),V’(-1,1.27), F(-1,3+√7), F’(-1,3-√7), e=√7/√3, LR=8/√3, 2(y-3) ± √3(x+1) =0

c) 036164 22 =+−+− yxyx Sol . C(-2,-3),V(-1,-3),V’(-3,-3), F(-2+√5,-3), F’(-2-√5, -3), e=√5, LR=8, 2(x+2) ± (y+3) =0

d) 0910165 22 =−−+− yxyx Sol. C(-2,-1),F(1,-1),F’(-5,-1), V(-2+√5,-1), V’(-2-√5, -1), e=3/√5, LR=8/√5, 2(x+2) ± √5(y+1) =0 e) 01243236169 22 =−−−− yxyx Sol.- V(6,-1), V(-2,-1), e=5/4, 3x+4y-2=0, 3x-4y-10=0 f) 0141849 22 =−−+− yxyx Sol.- V(1,-1), V(-5,-1), e=√10/3, x+3y+5=0, x-3y-1=0

g) 03624100425 22 =−−−− xyxy Sol.- V(-3,4), V(-3,0) e=√29/2, 2x-5y+16=0, 2x+5y-4=0

problemario de geometrÍa analÍtica de geometria analitica . coordenadas rectangulares . 2 2 1 2 d...

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