Problembaserad undervisning i matematik för

ökad motivation och måluppfyllelse för eleven.

Problem-based teaching mathematics to increased motivation and achievement for pupils.

Sara Granath

Innehåll

1 INLEDNING 1.1 bakgrund

1.2 målgrupp

2 PROBLEM OCH SYFTE 2.1 Problem

2.2 Syfte

2.3 Frågeställning

3 LITTERATURSTUDIE 3.1 Dialogen

3.2 Matematiska begrepp

3.3 Problemlösning

4 METOD 4.1 Metodval

4.2 Undersökningsgrupp

4.3 Genomförande

4.4 Databearbetning

5 RESULTAT 5.1 Resultat år 5

5.2 Resultat år 7

6 ANALYS AV RESULTATET 6.1 Analys av resultatet år 5

6.2 Analys av resultatet år 7

7 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION

8 REFERENSER

9 BILAGOR Bilaga 1 – matris analys av samtalen

Bilaga 2 – transkriberade samtal

Bilaga 3 – Matematiska problem

1. Inledning

Arbetet handlar om hur kommunikationen mellan elever fungerar när de

arbetar med matematikska problem. Hur eleverna tar sig an ett problem, hur

de väljer metod och hur de till slut finner en lösning, både enskilt och i

grupp. Jag har valt att titta extra på dialogen mellan eleverna, om de

argumenterar och om de bemästrar och använder matematiska begrepp på ett

fungerande sätt.

1.1 Bakgrund

Matematik har för mig alltid varit ett intressant ämne, när jag läste på

lärarlyftet under hösten 2012 var en av kurserna jag läste handlade om

matematisk problemlösning, den kursen gjorde att jag blev intresserad av att

lära mig mer om och jobba mer med eleverna i klassrummet kring

matematisk problemlösning.

När jag skulle söka Gudrun Malmer stipendiet tänkte jag att matematisk

problemlösning i kombination med det nya kravet på matematiskt resonerade

i Lgr11 skulle vara spännande att titta på. Hur jag som lärare kan använda

matematisk problemlösning för att få eleverna att resonera och kommunicera

med varandra.

Två av lgr11s mål är elevernas förmåga att resonera kring matematik samt

problemlösningsförmåga, dessa två förmågor är för mig intressant att titta på

tillsammans, jag ville därför se om och hur dessa två delar av matematiken

kan sammanfogas och om det hjälper eleverna att släppa boken och arbeta

mer tillsammans med hjälp av kommunikation.

Genom att resonera kring matematiska problem som eleverna förstår och kan

relatera till hoppas och tror jag att språket och resonemangen utvecklas.

Tyvärr är det många som tycker att matematik är både svårt, obegripligt och

tråkigt, Boaler (2011) hänvisar till Hersh (1999)1 som gjort en intressant

iakttagelse att människor inte tycker om matematik för att de fått en

missvisande bild av den i skolan. Mycket av det kan nog stämma, den

matematikundervisning som präglat Sverige är vad, Skott m.fl. (2010)2 kallar

Produkt- eller innehållsstandardiserad matematikundervisning. Jag använde

mig därför av den mer processinriktade matematiken i min studie, den som

Skott m.fl. (2010) beskriver som den mer problemlösande och resonerande

matematiken som kan leda till att eleverna faktiskt både lär sig mer, förstår

de matematiska grunderna bättre, får ett mer utvecklat matematiskt språk och

1 Hersh. R. What Is Mathematics, Really?, 1999, Vintage

2 Skott. J, Hansen. H-C, Jess. K, Lundin. S, Matematik för lärare, Delta didaktik, 2010, 1:a uppl. Gleerups

lär sig att resonera och kommunicera med varandra om och genom

matematiken.

1.2 Målgrupp

Målgruppen för det här arbetet tror jag framförallt är lärare i matematik, jag

anser att det problem som jag haft som grund för arbetet och den

frågeställning som jag valt kan användas i samtliga delar av skolan, det kan

användas både i grundskolans alla stadier samt i gymnasiet. Jag tror även att

delar kan anpassas till särskolan och annan specialundervisning. Förutom

lärare inom matematik tror jag att målgruppen för arbetet kan vara andra

lärare så som specialpedagoger och speciallärare men även lärare i språk då

fokus inte endast varit på matematik och problemlösning utan även

kommunikation och dialog/monolog. Dessutom kan det vara av intresse för

lärarstudenter och lärarutbildare.

2. Problem och syfte

2.1 Problem

Att kunna kommunicera och resonera blir allt viktigare i skolan, arbetslivet

och framförallt i samhället, även inom matematiken krävs det förmåga att

kommunicera och resonera.

Med den nya läroplanen, Lgr11, har det blivit tydligare att eleverna behöver

lära sig att kommunicera och resonera kring matematik och att de även

behöver förmågan att lösa matematiska problem. Boaler (2011)3 beskriver

matematik som en mänsklig aktivitet som genom en uppsättning metoder

hjälper till att göra världen mer begriplig, hon beskriver även matematik som

ett socialt fenomen som är en del av vår kultur. Matematiken finns omkring

oss och vi möts ofta av problem som kan lösas med matematiska kunskaper i

vår vardag.

I den nya läroplanen Lgr11 framhålls problemlösning mer tydligt än i den

tidigare kursplanen Lpo94.

”Problemlösning

Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom

olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och

metoder.

Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga 3 Boaler. J. Elefanten i klassrummet, 2011, Liber förlag

situationer och olika ämnesområden.

Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika

situationer.”4

”Syfte…

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna

sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att

formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera

valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

begrepp och samband mellan begrepp,

välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra

beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska

resonemang, och

använda matematikens uttrycksformer för att samtala om,

argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och

slutsatser.”5

Vidare finns i betygskriterierna för matematikämnet även där preciserat att

problemlösning är av stor vikt.

” Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett väl

fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder

med god anpassning till problemets karaktär samt formulera enkla

matematiska modeller som kan tillämpas i sammanhanget.”6

Dessutom beskrivs det som jag vill få fram genom mitt projekt, förmågan att

resonera och kommunicera matematik.

”I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska

resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett

sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.”7

4 Lgr11 sid 67

5 Lgr 11 sid 71

6 Lgr 11 sid 71

7 Lgr 11 sid 71

2.1 Syfte

Syftet med arbetet är att ta reda på om problemlösning kan leda till

kommunikation mellan elever och om det är skillnad mellan åldrar hur man

kommunicerar i grupp kring ett matematiskt problem.

2.2 Frågeställning

Hur kommunicerar eleverna när de löser matematiska problem?

- Använder de dialog, sam-talar och sam-tänker de?8

- Använder eleverna matematiska begrepp?

3. Litteraturstudie

3.1 Dialogen

Dialog och kommunikation människor emellan är en demokratisk handling

och något som varje individ behöver träna sig på att föra. Inom matematiken

är det inte helt ovanligt att man sitter i sin egen värld i det tysta och arbetar,

det kallar Ljungblad och Lennerstad (2011) för den tysta makten. Den tysta

makten är något vi måste arbeta med för att få fram dialog, samtal och

kommunikation mellan eleverna. I dialogen föds ny kunskap och om elever

och lärare lär sig bemästra dialogens storhet och sam-talar samt sam-tänker

kommer kunskapen att växa hos både lärare och. Det är alltså inte bara för

elevens skull vi behöver jobba med dialogen som verktyg i matematiken utan

även för lärare. Som lärare behöver man vara öppen för de lite mer komplexa

frågorna och de ifrågasättande eleverna kan komma med. Att våga öppna upp

för att samtala kring matematikens vagheter är en viktig del av

kunskapsinhämtningen.

”När vi fokuserar på kommunikation, dialog och interaktion som

centrala begrepp utgår det från en sociokulturellt teoretiskt perspektiv,

där utgångspunkten är samspelet mellan kollektiva resurser för

tänkande och handling å ena sidan och individens lärande å andra

sidan” 9

Dialogen och samtalet mellan elever och mellan elever och lärare har en

viktig och central roll i lärandet och behövs för att kunna inhämta de

kunskaper som samhället kräver. För att kunna samtala och ha en dialog

8 Ljungblad. A-L och Lennerstad. H Matematik och respekt 2011 Liber förlag

9 Ljungblad. A-L och Lennerstad. H Matematik och respekt 2011 Liber förlag sid. 66

krävs även att man har kunskap om de begrepp som används i det aktuella

ämnet, man behöver även ha en hel del grundkunskaper inom ämnet för att

dialogen och samtalet ska bli givande för båda parter.

3.2 Matematiska begrepp

Att ha kunskap om de matematiska begreppen och kunna använda dessa är av

vikt för att kunna delta aktivt i ett samtal. Om vi nu koncentrerar oss på

matematiken så har ämnet en hel del begrepp som är viktiga att förstå för att

kunna lösa problem och för att kunna ta till sig matematiken. Vissa ord har

fler betydelser och kan i vissa fall ge upphov till problem i samtalet, ett

exempel är ordet volym som har en betydelse inom matematiken och en helt

annan om man talar om musik eller ljud. Det är därför viktigt att förstå ordets

kontext, samt att för läraren viktigt att förvissa sig om att eleven förstår vad

ordet betyder.

”att lära sig ett nytt ord i sig är egentligen inte särskilt komplicerat,

men det svåra är hur begreppet ska användas i tanke- och

kommunikationsprocesser i skilda kontexter i den matematiska

diskursen”10

Vikten av att kunna och förstå de matematiska begreppen tas även upp i

läroplanen (Lgr11) som ett kunskapskrav för betyg. Eleverna ska kunna

matematiska begrepp samt kunna använda den i olika sammanhang. De skall

även kunna beskriva begreppen och kunna se hur begreppen relaterar till

varandra inom olika områden. De matematiska begreppen av stor vikt för

matematisk förståelse och för lärandet.

3.3 Problemlösning

Boaler (2011)11

skriver om vikten av problemlösning och vad det kan leda till

i klassrummet och för enskilda elevers syn på matematik, vidare framhåller

hon även att det finns tillfällen då eleverna lättare förstår varandras

förklaringar och lösningar än den från läraren. Detta sker då med

kommunikation eleverna emellan, att elevinteraktion under

matematiklektionerna, där de får samtala kring och lösa problem tillsammans

leder till större förståelse och kunskap kring matematik. Även Taflins m.fl.

(2005)12

forskning kring matematisk problemlösning där de beskriver de rika

matematiska problemen och vad som är kriterierna för ett sådant samt hur ett

rikt matematiskt problem utan en självklar lösning eller strategi för lösning

10

Ljungblad. A-L och Lennerstad. H Matematik och respekt 2011 Liber förlag sid. 74 11

Boaler. J., 2011, Elefanten i klassrummet, Liber förlag 12

Hagland. K., Hedrén. R, Taflin. E. Rika matematiska problem- inspiration till variation, 2007, Liber förlag

leder till större inlärning och att eleverna när de möter ett rikt problem börjar

sam-tala och sam-tänka för att tillsammans komma fram till en lösning.

4 Metod

4.1 Metodval

Jag har valt att använda mig av fallstudie, fallstudie beskrivs av

högskoleverket som en undersökningsmetod där man gör en detaljerad

undersökning av ett enda fall eller några typfall som används för att

nyansera, fördjupa och utveckla begrepp och teorier.

4.2 Undersökningsgrupp

Min undersökningsgrupp är elever i år 5 samt år 7. Eleverna i grupperna går

på den skola jag arbetar på, en friskola med ca 300 elever från F-9.

I varje klass finns ca 25 elever och eleverna kommer från olika delar av

kommunen och med olika social och ekonomisk bakgrund. I år 5 sker

undervisning i helklass i ämnet matematik med en eller två lärare i

klassrummet.

I år 7 arbetar tre lärare på två klasser, eleverna har delats in i mindre grupper

med en lärare per grupp. I år 7 är grupperna heterogena, där har lärarna

tillsammans kommit fram till att blanda elever med matematiksvårigheter

med de elever som inte har svårighet med matematik utan klarar målen för

ämnet med bra marginal samt de som precis klarar målen för ämnet.

4.3 Genomförande

Jag har genomfört ett antal lektioner med inriktning på problemlösning, vid

fyra av dessa lektionspass har jag spelat in elevernas samtal kring problemen.

Innan jag spelade in eleverna har jag samlat in godkännande från deras

vårdnadshavare. Mellan de olika tillfällena som spelades in har lektioner

pågått som vanligt med mig som lärare i år 7 och en kollega i år 5, i den

vanliga matematikundervisningen har ett antal liknande

problemlösningslektioner genomförts av ordinarie lärare.

Jag använde mig av den metod som beskrivs av Taflin mfl. beskriver:

”1. Introduktion av problemet.

2. Elevernas enskilda och/eller gruppvisa arbete med problemet.

3. Gemensam klassdiskussion kring elevernas lösningar och den

matematik som därvid aktualiseras.”13

13

Hagland. K., Hedrén. R, Taflin. E. Rika matematiska problem- inspiration till variation, 2007, Liber förlag

4.4 Databehandling

Jag har spelat in samtal mellan eleverna som transkriberats för att sedan

analyseras enligt en matris med frågor om kommunikation, dialog och

matematiska begrepp14

5. Resultat

Resultatet vid den första inspelningen visar att eleverna hade svårt att komma

igång med samtalen och behövde mycket lärarstöd, detta märks både i år 7

och år 5. Vid den andra inspelningen som skedde efter ett antal lektioner med

problemlösning med liknande lektionsupplägg, genomgång av problem,

arbetet med problemet i mindre grupp och sist en genomgång av lösningar i

storgrupp/helklass, märks en mindre förändring på båda grupperna, eleverna

vågar ta sig an problemet mer tillsammans än innan och behöver inte alls lika

mycket lärarstöd.

5.1 Resultat år 5

I år 5 har de olika problem samma svårighetsgrad med ungefär samma

lösningsmetoder.

De matematiska problem som användes i år 5 var Glassarna och Smått och

gott, se bilaga 3.

Eleverna börjar med att samtala kring hur de ska rita, alltså det rent praktiska

för att sedan lösa problemet med konkreta metoder. De tar sig an problemet

på ett entusiastiskt vis och går in för att göra så bra som möjligt. Däremot

finns mycket lite av argumentation och matematiska begrepp. De använder

sig av ord som triangel och cirkel men i övrigt visar inspelningen liten

användning av matematiska begrepp.

Enkel dialog kan man höra mellan eleverna, de samtalar sig fram till hur de

ska göra och lyssnar på varandras förslag och tar till sig det som de andra

eleverna säger. Exempel på dialog kan man se när grupp 1 samtalat kring

problemet ”smått och gott”

”Elev 1; men, men, om man tar den , den, den, nej, den, den, och

den, den

Elev 2; man väljer väl en?

Elev 3; men han kan ju alla då, fast på olika sätt?

Elev 1; men han vill ju bara ha två, hur många sorter ville han ha?

14

Bilaga 1 – Matris – samtalen - analys

Elev 2; han ville bara ha två bitar

Elev 3; han vill bara ha två bitar

Elev 1; då kan det ju bli den, den

Elev 2; det är lakrits

Elev 1; den, den, den och den, den och den, då blir det sex sätt eller

hur? Och den och den, och den och den

Elev 2; varje gång du gör så där så blir det fortfarande, för dem där

de hänger fortfarande ihop. Varje gång du drar ett streck till den till

exempel då behöver du inte dra tillbaka för då är det fortfarande

samma.” 15

Det jag tycker mig se här är att eleverna resonerar med varandra, att de för en

dialog om hur de ska göra och vad problemet innebär. Alla tre är delaktiga i

samtalet och de hjälper varandra framåt.

När jag lyssnar på eleverna när de samtalar kring problemet med glassarna

kan jag se samma sak, de hjälper varandra framåt och försöker tillsammans

komma på en bra lösning.

”Elev 1: Vi ritar jordgubbe i ena hörnet, körsbär i andra hörnet,

banan i ena och päron i det andra så drar vi linjer till varandra så

Elev 2: bra, ja

Elev 1: Sen kan du dra linjer emellan

Elev 2: dom, dom, dom och dom och dom

Elev 1: Så får vi två till varje

Elev 2: en, två, tre, fyr, fem sex

Elev 1: mmm, det är väl det, eller?

Elev 3: Ingen aning

Elev 2: den är med den, den är med den, den och den

Elev 1: Alla tre, ja det är rätt

Elev 3: Tror vi

Elev 1: Sex sätt, sen kan vi ta det, hitta på ett eget likadant problem

och lös det.”16

I samtliga grupper i år 5 hjälper eleverna varandra framåt och försöker

tillsammans hitta ett sätt att lösa problemet, de tar gärna till metoden att rita

för att komma fram till en lösning och eleverna är inte rädda för att chansa.

Man kan se i citatet ovan att de frågar varandra och att de för en dialog.

Däremot ser jag inte prov på argumentation bland eleverna i år 5.

15

Bilaga 2 - Transkriberade samtal 16

Bilaga 2 – Transkriberade samtal

Eleverna i år 5 visar viss förmåga att kunna föra dialog kring matematiska

problem i grupperna för att tillsammans komma fram till lösningar. De

metoder de tar till är framförallt att rita och att försöka göra lösningen på ett

konkret sätt.

När det kommer till matematiskt språk och begrepp använder eleverna i år 5

mycket lite av de ord och begrepp som förekommer i matematiken. De ord

som man kan se förekommer är de geometriska formerna.

5.1 Resultat år 7

I år 7 hade problemen olika svårighetsgrad och olika ingångar för att hitta

lösningar. Det första problemet som spelades in är ett enkelt problem, ett av

de problem som användes på år 5, Glassarna. Där ser man tydligt att de har

svårt att komma igång och att det behövs mycket lärarstöd för att få igång ett

samtal i grupperna.

” Lärare: okej, har du löst det?

Elev 1: jag löste det bäst, jag fick tio. Först körsbär, jordgubb,

jordgubb päron, och allt det där så blir det sex stycken så här

smaken, och så sen kan man ta jordgubb jordgubb och så körsbär

körsbär,

Lärare: Ni har alltså skrivit upp de olika smakerna, ingen som har

löst det matematiskt?

Elever: nej, eller vadå matematiskt?

Lärare: med siffror.

Elev 2: jag gjorde så här, först hur många det blev med päron, då

skrev jag en trea, sen två, så plussa jag på två,

Elev 3: jag gjorde så, plussa och dela

Lärare: hur gjorde du sa du?

Elev 3: nej jag bara skämtar

Lärare: nej berätta

Elev 3: i början gjorde jag som honom, sen typ så gjorde jag så

där”17

Dessa elever har mycket svårt att sätta ord på hur de ska lösa problemet och

resonerar inte med varandra. De verkar mer ha löst problemet enskilt utan att

samtala med varandra och kan sedan inte riktigt berätta för varandra hur de

gjort. De behöver min hjälp med frågor för att överhuvudtaget kunna berätta

hur de gjort.

17

Bilaga 2 - Transkriberade samtal

Däremot det andra problemet jag använde med år 7, ”Köpa Böcker” 18

, för att

lösa den uppgiften krävs kunskaper inom exempelvis algebra. Vid den

inspelningen förs det samtal och dialog mellan eleverna kring problemet.

” Elev 4: Då förkortar man det, men då måste man räkna ut samma

grej på båda sidorna. Minus tio för att få bort tian och då blir det

fyrahundrafyrtio delat med fyra, då blir det X, och X är hundratio.

Elev 5: och summan av allt det där blir fyrahundrafemtio

Elev 6: Jag räknade fett konstigt men fick samma svar ändå. Jag typ

testade att X är etthundratio

Elev 5: Du gissade?

Elev 6: Ja men jag testade hur mycket som helst, hon sa att man fick

det.

Elev 5: Jag räknade ut det… proffs, jag räknade ut det i huvudet

Elev 6: Ja men, den på K som jag inte kunde uttala den skulle kosta

100 mer och då blir det tvåhundratio, då skulle… jag bara plus..

adderade ihop dem hihihih

Elev 5: Förvirra inte nu

Elev 6: Ja och då blir det trehundratjugo

Elev 5: Hur räknar du ihop det? Det blir fyrahundrafyrtio

Elev 6: Nej… så då blev det trehundratjugo och då tog jag ju det

minus hundranittio som det skulle va, och då blev det hundratrettio

och då skrev jag ju så och så adderade jag ihop allting och så gjorde

jag rätt så.”19

Man kan även se tydligt att vid den andra inspelningen använder eleverna

mer matematiska begrepp än vid den första. Ord som addera, ekvation medan

i de lite enklare problem använder de ord som plussa och dela.

” Lärare: Berätta vad du har gjort hitintills

Elev 8: Jag tänker att E och K är X och så skriver jag upp det som

en ekvation, för K alltså den boken är E plus, adderat med hundra

och den där boken M är E adderat med K minus, subtraherat med

hundranittio så där. Och då ställer jag upp det och då blir det tre X,

subtra… det här är jobbigt, minus hundranittio ska bli

fyrahundrafemtio och sen så kör jag balanseringsmetoden men jag

tror jag gjort något galet, men jag försökte.”20

18

Bilaga 3 - Matematiska problem 19

Bilaga 2 – Transkriberade samtal 20

Bilaga 2 - Transkriberade samtal

I citatet ovan kan man se ett användande av matematiska begrepp så som

adderat, eleven använder även algebra på ett adekvat sätt för att lösa

problemet ”Köpa böcker” 21

I år 7 finns ingen argumentation alls, det förs endast en dialog och ingen av

eleverna argumenterar på ett tydligt sätt för sin lösningsmetod. Även år 7

börjar med att samtala kring det praktiska hur de ska rita eller vad de ska

kalla de olika böckerna. Här finns konkreta lösningar och algebraiska

lösningar, de konkreta lösningarna hittas framförallt på det första lite enklare

problemet, Glassarna22

, medan de algebraiska lösningarna återfinns vid det

andra lite svårare problemet, Köpa böcker23

6. Analys av resultatet

6.1 Analys av resultat år 5

Elevernas förmåga att ta sig an problemet blev bättre och krävde mindre

lärarstöd vid andra inspelningstillfället, där emellan har eleverna haft

liknande lektionspass med problemlösning, det kan man tolka som att deras

förmåga att ta sig an problemen och våga mer utan lärarstöd har utvecklats.

Förmågan att argumentera och föra en dialog ligger på ungefär samma nivå

och där kan man inte se någon direkt utveckling eller förbättring. Om man

tittar på hur de tar sig an problemen, vad de diskuterar först och hur de sedan

löser problemen så ser man inte heller någon större skillnad mellan

tillfällena. Inte heller på det matematiska språket kan man se någon

förbättring eller förändring. Det enda resultatet visar för år 5 är att eleverna

behöver mindre lärarstöd vid andra tillfället.

6.2 Analys av resultat år 7

Även i år 7 ser man tydligt att eleverna behöver mindre lärarstöd vid andra

tillfället. De vågar ta sig an problemet mer och samtalar kring hur de ska lösa

det med mindre lärarstöd än första tillfället. I år 7 ser man även en utveckling

av dialogen och samtalen då det vid första tillfället inte fördes dialog men det

gjordes vid andra tillfället. Även det matematiska språket har utvecklats och

de använder mer matematiska ord vid andra tillfället, däremot har de inte

21

Bilaga 3 – Matematiska problem 22

Bilaga 3 – Matematiska problem 23

Bilaga 3 – Matematiska problem

förändrat sitt sätt att ta sig an problemen då det vid båda tillfällena börjar

eleverna att titta på hur man konkret ska lösa problemet.

6.3 Likheter och skillnader

Den stora skillnaden mellan samtalen i år 5 och år 7 är att det förs dialog i

större utsträckning i år 5 än i år 7, däremot kan man se mer argumentation i

år 7 samt mer användande av matematiska begrepp och ord i år 7. Eleverna i

år 5 har lättare att ta tag i problemet och försöka lösa det tillsammans medan

eleverna i år 7 oftare fastnar i hur de ska göra och tänker sällan på att man

kan lösa problemet med en konkret metod så som att rita.

7. Sammanfattning och diskussion

Det här projektet har syftat till att se om arbetet med matematiska problem i

grupp kan leda till att elevernas kommunikation, dialog och användning av

matematiskt språk utvecklas och att de genom arbete tillsammans kan

komma vidare i sin utveckling. Under arbetets gång har jag genomfört

lektioner med mina egna elever i år 7 samt med en kollegas klass där

eleverna gått årskurs 5. Mellan de gånger jag haft rena lektioner med

eleverna i syfte att samla in material till den här rapporten har eleverna haft

lektioner som vanligt i matematik med vissa inslag av problemlösning.

Det jag tycker mig kunna se är att utvecklingen har varit mer tydlig i år 7 än i

år 5, i år 7 ser man en utveckling av både språket och användning av

matematiska begrepp samt att de vid det andra tillfället för en dialog och ett

samtal vilket de inte gjorde vid första tillfället. För deras del verkar det vara

mycket värdefullt att använda sig av de matematiska problemen för att

utveckla sin förmåga att kommunicera i matematik. Eleverna i år 7 har vid

första tillfället ett relativt enkelt problem för deras ålder och vid andra

tillfället en mycket mer avancerad matematik att förhålla sig till. Jag funderar

då på om det kan vara så att det första problemet var för enkelt och att de vid

andra tillfället var tvungna att kommunicera med varandra mer då det var ett

svårare problem. En annan tanke är att det andra problemet var ett problem

där algebra var en effektiv lösningsmetod och att det då kändes mer som

matematik enligt ”normen”.

Däremot kan man utläsa att eleverna i år 5 redan från början hade ett mer

nyfiket sätt att ta sig an problemen, deras förmåga att kommunicera med

varandra och föra ett samtal och en dialog var från början bättre än de elever

i år 7, att det sedan inte visat en utveckling är underligt men det kan även

bero på hur olika lärare använder sig av problemlösning. Eleverna i år 5 har

en förmåga att föra dialog och tillsammans lösa problem redan innan och där

ser jag ingen utveckling eller förändring i hur de gör eller hur de samtalar.

Inte heller ser jag någon utveckling av användningen av matematiska

begrepp, de har samma språk vid båda tillfällena och det är inte ett utvecklat

matematiskt språk de använder. Om det beror på problemen i sig kan jag inte

uttala mig om, men de var likvärdiga och relativt enkla problem. Jag tror

även att skillnaderna i grupperna kan ligga en del i att det är olika lärare som

arbetat med eleverna och att jag som har fokus på just detta kanske använder

mig mer av problemlösning och matematiska begrepp men utan att ha

studerat min kollegas undervisning kan jag inte uttala mig om det mer än

som hypotes.

Som lärare är det viktigt att man uppmärksammar elevernas språk och deras

sätt att kommunicera i alla ämnen, men jag tror och känner att eftersom det är

rätt nytt med dialog och samtal inom matematiken så behöver man

uppmärksamma det än mer. Jag anser även att det är viktigt att ha ett

arbetssätt som främjar elevernas språk och kommunikation inom

matematikämnet. Hur man gör det finns många teorier på, min egen teori

som jag säkert delar med andra är att man måste börja med att ha ett

tillåtande klimat i klassrummet, eleverna måste känna att det är ok att både

misslyckas och lyckas. Jag tror också på att eleverna måste få träna sig på att

prata matematik, och precis som i många andra ämnen i skolan behöver

många elever börja i det lilla formatet för att sedan våga i det större.

Eftersom många anser att matematik är ett svårt ämne, och att åsikten kan

vara, från både föräldrar och elevers håll, att om man är duktig på matematik

så är man smart. Det anser jag gör det än mer viktigt att klimatet i

klassrummet är tillåtande då många elever lider av dåligt självförtroende när

det kommer till matematik, vilket tyvärr ofta avspeglas i resultaten.

Sammanfattningsvis känner jag att det här projektet har lett till en

medvetenhet hos mig som lärare att vara mer uppmärksam på elevernas

användning av matematiska begrepp, att se på hur de kommunicerar med

varandra och med lärare, hur och om de för en dialog och jag är mer nyfiken

nu än innan på att fortsätta se om de utvecklas med detta arbetssätt. Jag

kommer även dela med mig till mina kollegor inom matematik om detta

förhållningssätt och hoppas att det på så vis kan leda till att elevernas

kommunikativa förmåga förbättras på den skola jag just nu arbetar på och att

det leder till bättre inlärning för eleverna även i framtiden.

8. Referenser

Hagland. K., Hedrén. R., Taflin. E., 2005, Rika matematiska problem-

inspiration till variation, Liber förlag

Skott. J., Hansen. H-C., Jess. K., Lundin. S., 2010, Matematik för

lärare, didaktik Gleerups

Hersh. R, 1999, What Is Mathematics, Really?, Vintage

Boaler. J., 2011, Elefanten i klassrummet, Liber förlag

Ljungblad. A-L och Lennerstad. H Matematik och respekt 2011 Liber

förlag

Skolverket. (2011) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och

fritidshemmet

9. Bilagor

Bilaga 1 – matris samtalen – analys

Använder de

matematiskt

språk: exempel:

Argumenterar de?

Förs det en

dialog?

Vad

diskuteras

först?

Hur samtalar

de för att

komma fram

till en lösning?

Egna tankar och

egen analys

Smått och

gott år 5

Ja

Tringel, cirkel,

rektangel, linjer

Ja, elev 2 i grupp 1

Samt elev 6 i

storgrupps-

diskussionen

Hur de ska

rita för att

lösa

uppgiften

Hur de ska rita

och dra linjer,

samt vilka linjer

som redan är

räknade och

vilka som redan

är tagna

Den här uppgiften

krävde en hel del

lärarstöd för att

samtalen skulle

flyta. I mindre

grupp flyter

samtalet på bättre

än i storgrupp.

Glassarna

år 5

Ja

Linjer, ”en av

varje”

De argumenteras

inte men det förs ett

samtal/dialog

Hur de ska

rita

Hur de ska rita

och dra linjer

för att komma

fram till

lösningen

Krävdes mycket

lite lärarstöd för

att eleverna skulle

komma igång

med lösningen, de

för samtal men

argumenterar inte

för sina lösningar.

Enkel uppgift

mindre

argumentation?

Glassarna

år 7

Ja

”en av varje”

(ord som plus,

minus och delat

förekommer)

Nej

Hur de ska

rita

Genom att rita

och peka

Krävdes mycket

lärarstöd för att få

igång samtalen.

En enkel uppgift,

kanske inte matte

enligt ”normen”

Köpa bok

år 7

Ja

Addera, förskorta,

summa, X,

ekvation,

subtrahera,

balanseringsmetode

n

Dialog förs i stycke

2, men ingen

argumentation

Hur de ska

benämna

böckerna

och ställa

upp i en

ekvation

De testar sig

fram, prövning.

Det behövdes inte

särskilt mycket

lärarstöd för att få

igång samtalen,

en svår uppgift

där algebra

kan/bör användas,

matte enligt

”normen” lättare

att samtala kring

svårare uppgifter?

Bilaga 2 – Transkriberade samtal

Uppgift – Smått och gott år 5

Grupp 1 Elev 1: men men, om man tar den med den, den den, nej, den den, och den den

Elev 2: man väljer väl en

Elev 3: men han kan ju alla då, fast då på olika sätt.

Elev 1: Ja men han vill ju bara ha två, hur många sorter ville han ha?

Elev 2: Han ville bara ha två

Elev 3: han vill bara ha två bitar

Elev 1: då kan det ju bli, den den

Elev 2: det är lakrits

Elev 3: det finns många sätt, man kan ha olika sorter.

Elev 1: den och den, den och den och den och den, då blir det sex sätt eller? Å den och den å den och den

Elev 2: varje gång du gör så där så blir det fortfarande, för dem där hänger fortfarande ihop. Varje gång du drar

ett streck till den till exempel då behöver du inte dra tillbaka för då är det fortfarande samma

Grupp 2

Elev 1: Får jag måla lakritsar?

Elev 2: Ja du kan få måla lakritsar.

Lärare: Hur gör ni?

Elev 2: Vi målar upp olika sorter av alla och så parar man ihop dem så att alla får, alla är med alla och sen får

man bara välja hur han kan köra

Elev 1: Jaha ska man göra fler?

Elev 2: Ja du ska göra fyra olika sorter

Elev 1: Jaha ok, blev som en rund ring och en så

Elev 2: Har vi inte redan en rund ring?

Elev 1: Nej det där är såna dära oxi grej

Elev 2: ok

Elev 3: och så ville han ha två styckna,

Elev 2: två styckna lakrits. Då kan han antingen välja triangeln och cirkeln, eller triangeln och rektangeln, eller

triangeln och den här saken, eller så kan han välja den här saken och cirkel, eller den här saken och den här

saken, cirkeln och det här är den dära, vi ritar ett S i mitten på den,

Elev 3: den och rektangeln?

Elev 2: nej den har vi redan.

Grupp 3:

Elev 1: här finns det en döskalle, och så finns det en sån där surt ess, och så finns det, hur många såna finns det?

Elev 2: såna här annan, sån här finns det

Elev 1: mmm, och den finns det, vad finns det mer?

Grupp 4:

Lärare: vad gör ni?

Elev 1: Va?

Lärare: Hur gör ni?

Elev 2: alltså den till den den till den den till den

Elev 1: alltså tre olika sätt

Elev 2: och här så blir det tolv

Elev 1: jag råkade

Elev 2: vi har en… vi orkade inte köra

Elev 1: tolv

Elev 3: det är så vi tänker ungefär, men vi kör så nu jag orkar inte

Elev 1: tio olika choklad

Elev 2: japp, det går väl

Grupp 5

Lärare: hur har ni gjort?

Elev 1: vi har gjort, exempel en sån här har vi gjort fyra stycken lakritsbitar och sen har vi dragit streck till hur

mycket man kan

Elev 2: ja blanda

Elev 1: hur man kan blanda dem på två olika sätt

Elev 3: det gjorde jag här med

Elev 1: ja fast med tio stycken och det blev väldigt mycket

Elev 2: japp

Elev 3: jag hoppas att det där var rätt svar, för annars har jag gjort, ja för det där var väldigt komplicerat

Uppgift Glassarna år 5

Elev 1: Vi ritar jordgubbe i ena hörnet, körsbär i andra hörnet, banan i ena och päron i det andra så drar vi linjer

till varandra så

Elev 2: bra, ja

Elev 1: Sen kan du dra linjer emellan

Elev 2: dom, dom, dom och dom och dom

Elev 1: Så får vi två till varje

Elev 2: en, två, tre, fyr, fem sex

Elev 1: mmm, det är väl det, eller?

Elev 3: Ingen aning

Elev 2: den är med den, den är med den, den och den

Elev 1: Alla tre, ja det är rätt

Elev 3: Tror vi

Elev 1: Sex sätt, sen kan vi ta det, hitta på ett eget likadant problem och lös det.

Ny grupp:

Elev 1: Hitta på ett liknande problem och lös det

Lärare: NI får gärna visa en lösning så jag vet hur ni har löst det

Elev 1: ok

Elev 2: Jag kan visa ett bra exempel på det, vi kan göra så här. Ett två, tre, fyra, sen tar man ett, två tre, sen kan

man ta fyra, fem och sen sex så.

Ny grupp:

Elev 1: VI ritar glasskulor, men se här. Först kan hon ju ta en av varje, då är det ju fyra sätt, visst är jag smart,

nej jag skojar. Nej jag skojar inte. Okej, ehh så

Så, först fyra sätt, hon kan ta den till en glass, hon kan man ta den till en glass, sen den som en, det är ju fyra sätt,

Elev 2: Ja men hon vill ha två glasskulor

Elev 1: A men bajs, då kan hon ju ta dom två,

Elev 2. Ja, dom två ett sätt, och dom två ett sätt, sen tar hon dom två ett sätt

Elev 1: Kommer du skriva ner allt vi säger?

Elev 2: och dom två har hon inte tatt va?

Elev 1: nej, och inte dom två så att det blir, sex sätt

Ny grupp:

Lärare: Hur har ni löst det?

Elev 1: Ehh vi har typ tatt dom olika sätten,

Storgrupp – Smått och gott år 5

Elev 1: vi gjorde så här, först så målade vi tre kolor, så och sen det får du berätta hehehehe

Elev 2: heheheheh

Elev 3: kör

Elev 2: inte jag

Elev 1: för du ska

Elev 2: hur gjorde vi? Hur gjorde Paul? Jo. Vi tog den och den, vi hade tre olika sätt ehh

Elev 1: Att tänka

Elev 2: ja

Elev 3: den till den och den till den

Lärare: så hur många sätt blev det?

Elev 3. Tre

Lärare: Är det någon som fått något annat svar? Har ni gjort liknande?

Elev 4: Vi vet inte riktigt om vi gjort rätt, men.

Lärare: Okej. Men då är det viktigt att ni lyssnar då ni andra.

Elev 4: Då gjorde vi olika sorters, former på godisarna. Fyra stycken. Och sen, först så tog vi, dom två, sen tog vi

dom två, och dom två, det var ett som man kunde välja.

Elev 5: Va?

Elev 4: Okej kolla här. Den… det var ett sätt han kunde välja, och han kunde välja på nått sätt och sen kunde

han välja av… några av dom två sakerna,

Elev 5: Vadå, ja?

Lärare: Men hur många sätt har ni kommit upp till nu då? Har ni koll på det?

Elev 4: Ja vi har kommit upp till… vi har kommit upp till fem olika sätt, ehh åtta olika sätt, nej, vi har kommit

upp i sex olika sätt nu, nej, jo,

Elev 6: Får man ha en synpunkt?

Lärare: Absolut!

Elev 6: Nu eller sen?

Lärare: Du kan ha en synpunkt nu medans de ritar.

Elev 6: Ja det var ju det, eftersom ni tog typ. Först när ni gick igenom, eh, trekanten, då tog ni ju alla, men sen

när ni ritade en cirkel så tog ni också alla

Elev 7: Ja men alltså alla tar alla

Elev 6: Ja men ni har redan tagit cirkeln och triangeln

Elev 4: Men måla upp alla så man kan välja på istället.

Elev 5: Så?

Elev 6: Men det där kan man ju… ja

Elev 4: Det där är de olika sorterna.

Elev 6: Alla godisar typ.

Elev 4: Den och den

Elev 6: Men alla är väl tagna då va?

Elev 4: Nej

Elev 6: Ja så. Då är det liksom, den med den och den med, alltså alla är med alla

Ny grupp visar sin lösning

Elev 8: och nej, så , så så så och

Elev 9: Jag kan visa, vi tog den med den och så

Lärare: Sen för att ta reda på hur många sätt vad gjorde ni då?

Elev 9: Vi räknade hur många linjer det var.

Lärare: ja förstår ni den?

Elev 10: Det var ju mycket smartare.

Lärare: Inte mycket smartare men det är ett annat sätt att tänka på och det är kul att se olika löningar.

Ny grupp visar lösning på den svårare uppgiften:

Elev 11: sen räknade vi… ett två tre fyra fem sex sju…

Lärare: varför skriver du siffror?

Elev 11: åtta, nio, tio, för att då gjorde vi så här, ha, att vi eh, vi räknade ett och två, ett och tre, ett och fyra, ett

och fem, ett och sex, ett och sju, ett och åtta, ett och nio, ett och tio,

Lärare: och vad fick du då?

Elev 11: ja så höll vi på så där ända tills vi kommer upp till nio och tio

Lärare: och vad kom ni fram till?

Elev 11: då kom vi upp till det.

Lärare: vad kom ni fram till för svar?

Elev 11: eh va, eh va, 43

Lärare: okej nästan rätt, är det någon som fått något annat svar? 42? Och där nere? 41, och ni, 45 där har vi det

korrekta svaret. Men återigen ni gjorde liknande vad ni har gjort tidigare va?

Uppgift – Glassarna år 7

Lärare: Jaha har ni löst problemet? Inte svaret utan hur har ni löst det?

Sebastian: Ja jag tänkte så här, att om man tar en av varje, alltså jordgubb, körsbär, banan och päron så. Och sen

tog jag körsbär med banan och päron. Sen päron bara med banan. Äh då har jag fått sex stycken. Sen kan ju

fortfarande ta av samma med varann det är ju plus fyra stycken så då är jag uppe i tio.

Lärare: Jaha, så tänkte ni. Finns det något annat sätt att lösa det på? Finns det något matematiskt sätt att lösa det

på?

Fanny: Alla lösningar är väl matematiska?

Vendela: Ja men om det är fyra, kan man väl ta gånger fyra? Alltså fyra gånger någonting

Lärare: men ni tycker att det finns tio olika sätt?

Fanny: Eller sex

Lärare: den med den, den med den, den med den…

Fanny: precis

Lärare: blir det tio?

Fanny: ja

Lärare: 1,2,3…10 mm, okej, då kan ni hitta på ett eget problem och lösa det

Grupp 2

Lärare: hur har ni löst det här?

Melissa: jag fick fram sex

Lärare: sex hur gjorde du då?

Cornelia: man börjar ta körsbären med alla, sen jordgubbar med alla, sen päron med alla sen banan med alla

Lärare: och då får du?

Cornelia: jag får sex stycken

Lärare: hur gjorde du Erik?

Erik: jag gjorde så här, man kan ta jordgubb och körsbär, det blir en, sen blir det päron och banan, det blir en,

och sen päron och jordgubb, det blir en, sen körsbär och banan, det blir en, och sen päron och päron och

banan/banan, körsbär/körsbär.

Lärare: okej, har du löst det?

Leon: jag löste det bäst, jag fick tio. Först körsbär, jordgubb, jordgubb päron, och allt det där så blir det sex

stycken så här smaken, och så sen kan man ta jordgubb jordgubb och så körsbär körsbär,

Lärare: Ni har alltså skrivit upp de olika smakerna, ingen som har löst det matematiskt?

Elever: nej, eller vadå matematiskt?

Lärare: med siffror.

Cesar: jag gjorde så här, först hur många det blev med päron, då skrev jag en trea, sen två, så plussa jag på två,

Amadeus: jag gjorde så, plussa och dela

Lärare: hur gjorde du sa du?

Amadeus: nej jag bara skämtar

Lärare: nej berätta

Amadeus: i början gjorde jag som Cesar, sen typ så gjorde jag så där

Lärare: Hur har du löst den?

Wilma: den där? Jag löste den genom att rita på skylten så här.

Bea: Jag skrev upp alla

Wilma: Ja jag skrev också upp alla

Saga: först gjorde jag så här, sen kryssade jag bort dem som vara samma

Lärare: kom ni fram till samma svar?

Wilma och Saga: Ja, vi kom fram till tio

Wilma: om man kan ta med sig själv

Uppgift – Köpa bok år 7

E 1: kan du ta det lite lugnare

E 2 (Sebastian): okej, det var så här. Kirkegaard kostade hundra kronor mer än Ende, och Ende plus Kirkegaard

kostade nittio kronor mer än Magorian, hette den så, ja det gjorde det. Ja och det, jag gissade dock bara, men jo

då tänkte jag att, om, om jag börjar från hundra, typ hundra plus hundra är lika med tvåhundra och addera det är

ju trehundra sen tar jag bort hundranittio, det blir aa nu skrev jag inte upp det dock. Det blir…. Det blir

hundratio, sen adderar jag det, trehundra plus hundratio det blir ju fyrahundratio… eeee…. Jo jo det blir det. Eee

ja och efter det var bara fyrahundratio så la jag på en tia där så att det blev tvåhundratjugo… nej vänta, jag har

räknat fel. Jag har räknat fel, det var inget.

E 3: Då får vi komma på en gemensam lösning.

E 2: Jag tänkte hundratio plus hundratio.

E 4: Då förkortar man det, men då måste man räkna ut samma grej på båda sidorna. Minus tio för att få bort tian

och då blir det fyrahundrafyrtio delat med fyra, då blir det X, och X är hundratio.

E 5 (Cesar): och summan av allt det där blir fyrahundrafemtio

E 6 (Matilda): Jag räknade fett konstigt men fick samma svar ändå. Jag typ testade att X är etthundratio

E 5: Du gissade?

E 6: Ja men jag testade hur mycket som helst, hon sa att man fick det.

E 5: Jag räknade ut det… proffs, jag räknade ut det i huvudet

E6: Ja men, den på K som jag inte kunde uttala den skulle kosta 100 mer och då blir det tvåhundratio, då

skulle… jag bara plus.. adderade ihop dem hihihih

E 5: Förvirra inte nu

E 6: Ja och då blir det trehundratjugo

E 5: Hur räknar du ihop det? Det blir fyrahundrafyrtio

E 6: Nej… så då blev det trehundratjugo och då tog jag ju det minus hundranittio som det skulle va, och då blev

det hundratrettio och då skrev jag ju så och så adderade jag ihop allting och så gjorde jag rätt så.

E 7: Ja och så skrev jag att hon köpte fyra glassar och tillsammans kostade dem sextiofyra kronor och hon köpte

två dajmglassar för som kostade fyrtio och en Twist som kostade hälften så mycket som dajmglassen och

lösningen, alltså lösningen som man skulle lösa var vad kostade twistern och vad kostade calipon? Det var det

som jag hade.

E 8 (Fanny): Alltså jag är så nära att få till den här, får jag fortsätta? Jag tänker inte räkna ut.

L: Berätta vad du har gjort hitintills

E 8: Jag tänker att E och K är X och så skriver jag upp det som en ekvation, för K alltså den boken är E plus,

adderat med hundra och den där boken M är E adderat med K minus, subtraherat med hundranittio så där. Och

då ställer jag upp det och då blir det tre X, subtra… det här är jobbigt, minus hundranittio ska bli

fyrahundrafemtio och sen så kör jag balanseringsmetoden men jag tror jag gjort något galet, men jag försökte.

Bilaga 3 – Matematiska problem