prof. boyan bonev ivanov, ph.d. email: [email protected] institute of chemical engineering-bas
DESCRIPTION
Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ 2 Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър. Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: [email protected] Institute of Chemical Engineering-BAS. Лекции. Лекция 1 Въведение в математичното програмиране - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D.
Email: [email protected]
Institute of Chemical Engineering-BAS
Приложно математично програмиране
ЛЕКЦИЯ 2
Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър
2
Лекции
Лекция 1 Въведение в математичното програмиране
Лекция 2 Оптимизация при целеви функции с един управляващ
параметър
Лекция 3 Нелинейно програмиране – Градиентни методи
Лекция 4 Нелинейно програмиране – Директни методи
Лекция 5 Нелинейно програмиране – Методи с ограничения
Лекция 6 Линейно програмиране
Лекция 7 Методи за булева и дискретна оптимизация
Лекция 8 Методи за глобална оптимизация
Лекция 9 Методи за многоцелева оптимизация
План на лекцията
1. Постановка на задачата
2. Методи на сканирането
3. Метод на “дихотомията”
4. Метод на “златното сечение”
2.1. Сканиране с постоянна стъпка
2.2. Сканиране с променлива стъпка
3.1. Постановка на задачата-графическа интерпретация
4.1. Постановка на задачата-графическа интерпретация
3.2. Алгоритъм на метода
4.2. Алгоритъм на метода
5. Интерполационни методи
5.1. Метод на Дейвис, Суен и Кемпи
Постановка на задачата
MAXxf )(MINxf )(
bxa
bax ,
ИЛИ
MaximumMaximum
Постановка на задачата - графическа интерпретация
x
)(xf
а bX*min X*
minX*max
Методи на сканирането
x
)(xf
а bX*min X*
minX*max
Сканиране с постоянна стъпка
x
)(xf
а bX*min
const
Сканиране с променлива стъпка
Алгоритъм на метода:
1. Приема се начален интервал на сканиране
2. Прави се сканиране в целия първоначален интервал и се определят координатите на max или min
3. Избира се нов интервал на сканиране
4. Проверява се критерият за спиране на търсенето
5. Намалява се стъпката за сканиране
6. Процедурата се повтаря в т.3 до достигане на зададената точност
54 ,)1(
LL
ab
)()(max
kkxa )()(max
kkxb
L
kk
)()1(
min)( k
Сканиране с променлива стъпка
x
)(xf
а bX*min
)1(
)2(
а b
Метод на “дихотомията”
Алгоритъм на метода:
1. Изчислява се целевата функция на границите
4. Изчислява се Ц.Ф. За стойностите на аргумента
5. От получените 5 стойност се избира най-добрата и се запомня
7. Отхвърля се половината от изследваната област и се определят новите граници за търсене на екстремума
8. Ако екстремума съвпада с една от граничните точки, съответната граница се запазва и алгоритъма продължава в т. 2
9. Ако екстремума е вътре в допустимите граници, алгоритъма продължава в т. 3
2. Изчислява се целевата функция на средата на интервала
2)1( abax
ax )2( bx )3(
6. Ако търсенето се прекратява, иначе продължаваме в т.7min
minxa minxb
3. Изчислява се делта 2
aba
4
Метод на “дихотомията”-Графическа интерпретация
x
)(xf
а bX*min
X(1)
3
4
5
1
2
а b
Метод на “златното сечение”
Принципът на метода на “златно сечение” се състои в разделяне на търсената област на две части в отношение което удовлетворява т. нат
“златно сечение”
2
1
1 L
L
L
L 03 2
22
2 LLLL
38.02
531
2
ZL
L62.02
1 ZL
L
L
1L
2L
3L
....3
2
2
1
1
L
L
L
L
L
L
2L
Метод на “златното сечение”
x
)(xf
а bX*min
21
0.62(b-a)
0.38(b-a)
x1 x2
)( 1xf
)( 2xf
)()( 21 xfxf
Метод на “златното сечение”
x
)(xf
а bX*min
21
0.62(b-a)
0.38(b-a)
)( 1xf
)( 2xf
)()( 21 xfxf
x1
Метод на “златното сечение”
x
)(xf
а bX*min
21
0.62(b-a)
0.38(b-a)
)( 1xf )( 2xf
)()( 21 xfxf
а b
Метод на “златното сечение”
Алгоритъм на метода:
3. Изчисляват се Ц.Ф. За стойностите на границите
5.1. Границата а се променя на а1
6.1. Границата b се променя b1
5.2. Запомня се най-добрият резултат до момента
5.5. Изчислява се Ц.Ф. и алгоритъма се повтаря в т.4
6.2. Запомня се най-добрият резултат до момента
6.5. Изчислява се Ц.Ф. и алгоритъма се повтаря в т.4
7. При изпълнение на условието за спиране на търсенето се оптечатва най-добрият резултат
2. Определят се границите по формулите)(1
)1( abZax )(2)2( abZax
5.3. Проверява се критерият за спиране на търсенето min2 )( abZ
6. Ако (случай 2))2()1( ff
4. Ако променят се границите на допустимата област)1()2( ff
1. Изчислява се величините 1Z 2Z
5. Ако )1()2( ff
5.4. Определя се )(2
)2( abZax
6.3. Проверява се критерият за спиране на търсенето min2 )( abZ
6.4. Определя се )(1)1( abZax
Метод на “златното сечение”
x
)(xf
а bX*min
21
0.62(b-a)
0.38(b-a)
а1
0.62(b-a1)
0.38(b-a1)
0
1
)( 1xf
)( 2xf
)()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf
b
Метод на Дейвис, Суен и Кемпи
Интерполационни методи
)(xf
xа b
21
3
m
)(0 afb am
afmfb
)()(
1
mb
Db
11
am
afmf
ab
afbfD
)()()()(
11
1*
22
1
b
bmax
))(()()( 1110 mxaxbaxbbxf
Метод на Дейвис, Суен и Кемпи
Алгоритъм на метода:1. Задават се 3 точки в допустимия интервал (обикновено това са двете гранични точки и една точка в средата на интервала)
2. Изчисляват се стойностите за целевата функция за тези точки
5. За стойността на условния минимум се изчислява оригиналната целева функция
6. От получените 4 точки се отхвърля тази с най-лош резултат
7. Проверява се критерия за спиране на търсенето
8. Ако критерия за спиране не е изпълнен, то процедурата се повтаря в т. 3
3. Извършва се квадратична апроксимация съгласно уравнението
))(()()( 1110 mxaxbaxbbxf 4. Изчислява се минимума на апроксимираната целева функция
11
1*
22
1
b
bmax
)(0 afb am
afmfb
)()(
1
mb
Db
11
am
afmf
ab
afbfD
)()()()(
Метод на Дейвис, Суен и Кемпи
x
)(xf
а bX*min
2
3
1
4
X1min
X2min
5
Квадратична апроксимация
Квадратичнаапроксимация