prof.dr. ing. adrian pascu catedra organe de ma ini i...
TRANSCRIPT
![Page 1: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/1.jpg)
1 Curs MEF A. Pascu
Metoda Metoda elementului finitelementului finit (MEF) (MEF)
Prof.dr. ing. Adrian PASCUCatedra Organe de maşini şi Tribologie
2 ore curs + 2 ore laborator
![Page 2: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/2.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Formarea notei:
• Lucrări laborator: 40%• Test final laborator: 20%• Bonificaţie prez. curs 20%• Test final curs : 20%
![Page 3: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/3.jpg)
Curs MEF A. Pascu
“Although the finite element methodcan make a good engineer better, itcan make a poor engineer moredangerous.”
“{n timp ce metoda elementului finitpoate face ca un inginer bun s` devin`mai bun, ea poate face ca un inginerslab s` devin` mai periculos.”
![Page 4: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/4.jpg)
Curs MEF A. Pascu
BibliografieBibliografie
• Bathe, K.-J.:Finite-Elemente-Methoden.Berlin, Heidelberg,NewYork: Springer 1986
• Zienkiewicz, O.C.:The Finite Element Method.McGraw-Hill 1977
• Huebner, H. K. :The Finite Element Methodfor EngineersJohn Willey & Sons 1975
• Blumenfeld, M Introducere [n metoda elementelor
finiteEd. Tehnica, 1995
• G@rbea , D.Analiz` cu elemente finiteEd. Tehnic`, 1990
• Gafi\anu, M. ].a.Elemente finite ]i de frontier` cuaplica\ii la calculul organelor dema]iniEd. tehnic` , 1987
• Pascariu, I.Elemente finite Concepte-Aplica\iiEd. Militar` , 1985
![Page 5: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/5.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Scurt istoricScurt istoric• 1940‘: Utilizarea metodelor matriciale [n calculul structurilor
(Hrennicoff -1941 ]i formulare varia\ional` R.Courant- 1943)• 1950‘: Introducerea procedurilor de calcul bazate pe metoda
deplas`rilor ]i respectiv a rigidit`\ilor pentru calcululstructurilor complexe din avia\ie - formularea energetic` -Argyris-1954)
• 1980’: Metoda c@]tig` teren ]i [n alte domenii: mecanicafluidelor, electromagnetism etc.
• 1970‘: Utilizarea efectiv` ]i eficient` a MEF pentru calcululstructurilor [n industria aerospa\ial` (NASA) ]i apoi [n ceaconstructoare de automobile ( NASA->NASTRAN)
• 1960: Impunerea termenului de element finit “FiniteElement“- R.Clough-1960
• 1990’: FEM se impune ca “unealt`” standard (numeric`)pentru calculele inginere]ti
![Page 6: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/6.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Organigrama etapelor la realizarea unei piese mecanice
Studiul comportamentului mecanic
Experimentare Simulare numeric`
Optimizare
Concep\ie
Prototip Modelare
Validare
Produc\ie Modific`ri
![Page 7: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/7.jpg)
Curs MEF A. Pascu
• Proiectarea modern` trebuie s` fac` fa\` multor cerin\e
• O sarcin` major` este determinarea comport`rii uneistructuri mecanice sau a unor elemente structurale subefectul ac\iunilor exterioare
SistemAc\iuni R`spuns
•Concret, intrebarea esen\ial` este : care este r`spunsulstructurii atunci c@nd este supus` ac\iunilor exterioare(varia\ii de for\e, de temperaturi etc.)
![Page 8: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/8.jpg)
Curs MEF A. Pascu
STAREA GLOBAL~ STAREA LOCAL~
A STRUCTURII (macro) A MATERIALULUI (micro)
AC|IUNI MECANICE(for\e, momente)
TENSIUNI(normale , tangen\iale)
DEPLAS~RI(lineare, unghiulare)
DEFORMA|II(specifice lineare, unghiulare)
3 1
4
2
![Page 9: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/9.jpg)
Curs MEF A. Pascu
l {σ} = [D] * { ε} l* σ = E * ε
2 {ε} = [B ] * {δ} 2* ε = (1/ L) ∆l
3 { Fi} = [ K] * {δi} 3* F = (E*A/ L) ∆l
4 { σ} = [ D] * [B ] *{δi} 4* σ = F / A
Rela\ii generale Particularizare pentru obar` simpl` solicitat` axial
([n condi\iile accept`rii unei discretiz`ri]i a unei func\ii predefinite pentru deplas`ri )
([n condi\iile accept`rii unei discretiz`ri ]i aunei func\ii predefinite pentru deplas`ri )
F = k ∗ u
![Page 10: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/10.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Direc\ia de ac\iune
x
y
z
Direc\ia normalei la planul [ncare ac\ioneaz`
τzy
τzxτzy
σz
Tensorul tensiunilor
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
x xy xz
yx y yz
zx zy z
yz
xz
xy
z
y
x
τ
τ
τ
σ
σ
σ
![Page 11: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/11.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Rela\ia deforma\ii specifice-deplas`ri
zv
ywγ
zwε
xw
zuγ
yvε
xv
yuγ
xuε
yzz
xzy
xyx
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂+==
∂+==
∂+==
u, v, w , sunt componentele deplas`rii dup`direc\iile x, y ]i z.
![Page 12: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/12.jpg)
Curs MEF A. Pascu
{ }
=
=
),,(
),,(
),,(
0
0
0
00
00
00
zyx
zyx
zyx
yz
xz
xy
z
y
x
wvu
yz
xz
xy
z
y
x
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
γγ
γε
εε
ε
{ } [ ]{ }),,( zyxδε B=
Sub form` matricial`:
Rela\ia deforma\ii specifice-deplas`ri
![Page 13: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/13.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Rela\ia tensiuni-deforma\ii specifice (legea lui Hooke generalizat`)
=
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
dddsimdddddddddddddddddd
γγγεεε
τττσσσ
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
{ } [ ]{ }εσ D=Sub form` matricial`:
![Page 14: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/14.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Pentru materiale omogene, izotrope, cucomportare linear`:
)1(2 ν−=
EGNot`:
( )( )
11 0 0 0
1 0 0 01 20 0 0 0 0
21 1 21 20 0 0 0 0
21 20 0 0 0 0
2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
E
ν ν νν ν νσ εν ν νσ ε
νσ ετ γν ν
ντ γτ γν
− −
− − = − − − −
![Page 15: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/15.jpg)
Curs MEF A. Pascu
neglijeazaseE yxzz −+−== )(0 σσν
εσ
rezult`:
2
1 01 0
(1 )10 0
2
x x
y y
xy xy
Eσ ν εσ ν ε
ντ ν γ
= − −
Pentru starea plan` de tensiuni:
![Page 16: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/16.jpg)
Curs MEF A. Pascu
[ ]neglijeazase
Eyxzz ενεν
ννσε +−
−+== )1(
)21()1(0
−−
−
−+=
xy
y
x
xy
y
x E
γεε
ννν
νν
νντσσ
22100
0101
)21()1(
Pentru starea plan` de deforma\ii:
![Page 17: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/17.jpg)
Curs MEF A. Pascu
- Rela\ii analitice directe se pot ob\ine numai pentru cazuriparticulare simple, cum sunt structurile tip bar` supuse lasolicit`ri simple. Cel mai simplu exemplu este bara solicitat`axial:
F
u
E, AL L + ∆LAF
=σ∆L = u
uLL
L 1=
∆=ε
εσ ⋅=E
uL
AEF ⋅
⋅= uF ⋅= k
![Page 18: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/18.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Metode de calcul numericMetode de calcul numeric
• Programe speciale care prelucreaz` ]i adapteaz`formulele de calcul
– de ex. metodologii de calcul standardizate, nomograme
• Programe matematice generale: Mathcad, Mathematica,Maple, Matlab
• Metode numerice– Metoda diferen\elor finite– Metoda elementelor de frontier`– Metoda elementelor finite (MEF) (FEM)
![Page 19: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/19.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Principiul de baz` al procedurilorPrincipiul de baz` al procedurilornumericenumerice
• Ecua\iile diferen\iale descriu comportarea structurii la nivelulunei particule infinitezimale
– pt. probleme de rezisten\` > Teoria elasticit`\ii– pt. mecanica fluidelor > Ecua\iile Navier-Stokes– pt. c@mpuri magnetice > Ecua\iile Maxwell– pt. transfer de c`ldur` [n solide > Ecua\ia Fourier
• Func\ia pe care o descrie ecua\ia diferen\ial` este o m`rimecaracteristic`:
– pt. probleme de rezisten\` > deplasarea– pt. mecanica fluidelor > viteza, presiunea– pt. c@mpuri magnetice > poten\ialul magnetic– pt. transfer de c`ldur` > temperatura
![Page 20: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/20.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Principiul de baz` al procedurilorPrincipiul de baz` al procedurilornumericenumerice
• Scopul este s` ob\in` solu\ia pentru aceast` func\ie.Celelalte m`rimi rezult` din prelucrarea func\iei
• Prin procedurile specifice metodelor de rezolvarenumeric` (Utilizarea diferen\elor, a dezvolt`rilor [n serieetc.- care implic` discretizarea) problema descris` deecua\ia diferen\ial` se transform` [ntr-un sistem deecua\ii algebrice.
• Pentru solu\ionarea ecua\iilor diferen\iale se stabile]te oreprezentare aproximativ` pentru func\ia necunoscut`.
• Prin solu\ionarea sistemului de ecua\ii se determin`valorile m`rimii caracteristice [ntr-un num`r finit depuncte ]i respectiv coeficien\ii care permit definireaconcret` a func\iei de aproximare.
![Page 21: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/21.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Metoda Elementului Finit (MEF)Metoda Elementului Finit (MEF)• Discretizarea - Func\ia de define]te numai pentru domenii
mici. Aceasta permite ca pentru descrierea comport`rii ei[n interiorul domeniului s` se poat` alege func\ii de form`simple, de ordin inferior.
• Func\ia de aproximare pentru [ntreaga structur` rezult` dinasamblarea func\iilor domeniilor individuale, par\iale, mici.
1 2 1 2+ =
• Aceste domenii individuale sunt denumite elemente.Punctele [n care se realizeaz` leg`tura dintre elemente suntdenumite noduri.
![Page 22: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/22.jpg)
Curs MEF A. Pascu
O analogie: determinarea ariei unui cerc, consider@nd c`se cunoa]te numai formula de calcul a ariei unui triunghi:
Atr = b h/2 Acerc =
de re\inut: - utilizarea unei aproxim`ri bazat` pe folosirea deelemente mai simple, pentru care avem la dispozi\ie osolu\ie;
- sporirea exactit`\ii calculului prin rafinarea discretiz`rii
∑=
n
iitrA
1
Metoda Elementului Finit (MEF)Metoda Elementului Finit (MEF)
![Page 23: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/23.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Se pot analiza astfel structruri cu forme mai complexe
Metoda Elementului Finit (MEF)Metoda Elementului Finit (MEF)
![Page 24: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/24.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Entit`\ile cu care opereaz` Metoda elementuluifinit sunt nodurilenodurile ]i elementeleelementele
Exemplu:
F
u
Pentru nodul unui element destructur` solicitat uniaxial,singura deplasare ce intervineeste u
Pentru un nod, ca ]i pentru un corp exist`6 deplas`ri posibile, denumite ]i grade delibertate (DOF): trei transla\ii, notate u,v,w]i trei rotiri, notate rx,ry,rz. Pentru cazuriparticulare num`rul acestor deplas`ri estemai redus.
M`rimea fizic` urm`rit` pentru calculul structurilor mecaniceeste deplasarea. - [n urma discretiz`rii : deplasareanodurilor.
![Page 25: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/25.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Pentru noduri care intervin [n condi\iile de frontier`:
{n plan preia for\e Fy, nupreia momente ]i Fx
X
Y
v=0Sunt permise rz ]i transla\ia u
Rezemarea simpl` (2D)
Preia [n plan for\eFx ]i Fy, nu preiamomente
u=0; v=0Este permis rz
Articula\ia (2D)
XY
z
![Page 26: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/26.jpg)
Curs MEF A. Pascu
{n plan preia for\e Fy ]iprecum ]i momente Mz
Ghidarea
X
Y
zv=0; rz =0 Permite numai transla\ia u
Nu permite nici o deplasare
X
Y
u=0; v=0; rz =0
{ncastrarea
{n plan preia for\e Fx ]iFy precum ]i momente
![Page 27: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/27.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Sprijinirea plan`
v=0; rx =0;ry =0
X
Y
zPermite deplasarile u ]i vprecum ]i rota\ia ry
Preia for\e verticaleFy ]i momente Mx,Mz
Articula\ia sferic`
X
Y
z
u=0; v=0; w=0Permite toate rota\iile, nupermite nici o deplasare
Preia for\e dup`toate direc\iile, nupreia momente
![Page 28: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/28.jpg)
Curs MEF A. Pascu
ElementeleElementele se diferen\iaz`:- dup` geometrie- dup` tipul de [nc`rcare suportat- legea de comportare a materialului
Mas` concentrat` (se abstractizeaz` cu un punct )
Exemple Modelare element finit
Element cu 1nod - mass
Structur` din bare articulate( sunt abstractizate ca linii)
Element bar` cu 2 noduri(tip linie) - truss
![Page 29: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/29.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Structur` din profile sudate ( se modeleaz`cu grinzi, abstractizate ca linii)
yx
z
Element grind` cu 2noduri (tip linie) - beam
Structur` plan` sub\ire, solicitat` [nplanul ei (se modeleaz` ca o suprafa\`)
Element de stare plan`de tensiuni cu trei noduri(tip suprafa\` ) - triang
![Page 30: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/30.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Element de stare plan` dedeforma\ii cu 4 noduri (tipsuprafa\` ) - quad -Plane2D
p
Structur` cu l`\ime mare, pentru care se poate considerac` deforma\ia ]i solicitarea este identic` [n toatesec\iunile transversale (stare plan` de deforma\ii)
Element de solid de revolu\iecu [nc`rcare axial-simetric`Element cu 4 noduri (tipsuprafa\` ) - quad -Plane2D
Solid de revolu\ie cu [nc`rcare simetric`
p
![Page 31: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/31.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Pies` din tabl` ( se modeleaz` ca osuprafa\`)
Element de [nveli] -shell (tip suprafa\`)cu 3 noduri
Pies` masiv` (se modeleaz` 3D)
Element de solid -tetra (tip volum) cu4 noduri
![Page 32: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/32.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Metoda Elementului Finit (MEF)Metoda Elementului Finit (MEF)
{Fi} = [K] * {δi}Sistem de ecua\ii cu n necunoscute
[K] = Matricea de rigiditate a structurii
{δi } = Vectorul deplas`rilor [n nodurile
structurii{Fi } = Vectorul [nc`rc`rilor structurii
( aplicate [n noduri)
ContinuumDiscretizare
Material
Geometriaelementului
Condi\ii defrontier`
{nc`rc`ri
![Page 33: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/33.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Grind` [ncastrat`, solicitat` de o for\` transversal` concentrat`bxhxL = 20x10x100 [mm]; E= 2,1•105 [MPa]; F = 100 [N]
Variante de abstractizare]i discretizare
Elemente de plac` cu grosimea h - shell 120 elemente 147 noduri
Elemente de stare plan` de deforma\iiPlane2D- 100 elemente 127 noduri
Elemente tip linie, de grind` solicitat`la [ncovoiere, (caracterizat` de I = bh3/12)beam - 20 elemente 21 noduri
Elemente paralelipipedice de volumsolid- 600 elemente 1175 noduri
![Page 34: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/34.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Grind` [ncastrat`, solicitat` de o for\` transversal` concentrat`
Solu\ia analitic` corespunz`toareteoriei de bar`:
[ ]mm
EI3
FL3
0952,01020101,23
1210010035
3
max
=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
==f
Rezultate pentru deplas`ri
![Page 35: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/35.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Grind` [ncastrat`, solicitat` de o for\` transversal` concentrat`
Rezultate pentru
tensiunile σx
Solu\ia analitic` corespunz`toareteoriei de bar`:
[ ]MPa
/6bh
LF2
301020
61001002
max
=⋅
⋅⋅=
===WM
σ
![Page 36: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/36.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Simularea [nc`rc`rii]asiului pe un banc deprob` (50.000 nodes)
* FE-Kongress Baden-Baden, 1998
![Page 37: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/37.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Static Load Transfer
![Page 38: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/38.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Persist` probleme pentruanaliza modelelelor de tipsolid: un exemplu concret -arborele cotit
• m`rimea modelului : chiar ]i1.000.000 noduri se dovedesc afi o discretizare prea grosier`pentru zonele cu concentratoride tensiuni - de exemplu zonaracord`rii marcat` [n medalion
Limit`ri: de exemplu la analiza tensiunilor
![Page 39: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/39.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Astfel de aspecte pot fi tratate eficient pentru p`r\i ale modelului
![Page 40: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/40.jpg)
Curs MEF A. Pascu
![Page 41: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/41.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Modelul original PATRAN/NASTRANpentru aceasta caroserie a fost cititde translatorul de date NASTRAN -ADINA ]i convertit [n modelulprezentat [n figur`.
![Page 42: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/42.jpg)
Curs MEF A. Pascu
![Page 43: Prof.dr. ing. Adrian PASCU Catedra Organe de ma ini i Tribologieomtr.pub.ro/didactic/mef/partea1.pdf · 2002. 10. 10. · Curs MEF A. Pascu Principiul de baz` al procedurilor numerice](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022052815/60a664cb582eab6a9943242f/html5/thumbnails/43.jpg)
Curs MEF A. Pascu
Compara\ie a rezultatelor experimentale cu datelefurnizate de ADINA, pentru modelul analizat