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Bioestatıstica

Bioestatıstica

Prof.Letıcia Garcia Polac

Universidade Federal de UberlandiaUFU-MG

26 de setembro de 2017

Bioestatıstica

Sumario

1 Nocoes de Probabilidade

2 Probabilidade Condicional e Independencia

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Nocoes de Probabilidade

Introducao

Neste capıtulo serao abordados os conceitos de probabilidade quedao suporte para o estudo de estatıstica e experimentacao. Quandofala-se de probabilidade, pretende-se identificar a chance deocorrencia de um determinado resultado de interesse, em situacoesnas quais nao e possıvel calcular com exatidao o valor real doevento. Desta forma, trabalha-se com chances ou probabilidades.

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Definicoes

Experimento aleatorio: consiste em um experimento quepode ser efetuado repetidas vezes, sob as mesmas condicoesde realizacao, mas cujos resultados nao sao essencialmente osmesmos em todas as repeticoes.

Exemplos:1. Lancamento de uma moeda ou dado;2. Tempo de vida util de um componente eletronico;3. Numero de chamadas telefonicas que chegam a uma central emum intervalo de tempo

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Definicoes

Espaco amostral (Ω) : conjunto formado por todos osresultados possıveis de um experimento.

Evento: e um subconjunto do espaco amostral.

Exemplo: Considere um experimento cujo objetivo e verificar aface superior de um dado. Entao o espaco amostral associado aesse experimento e Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6O evento ”verificar numero par na face superior do dado” e:A = 2, 4, 6

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Exercıcio 1. Uma fabrica produz determinado artigo. Da linha deproducao sao retirados tres artigos, e cada um e classificado comobom (B) ou defeituoso (D). Qual o espaco amostral associado aesse experimento? Se A e definido como sendo ”dois artigosbons”, quais sao os elementos pertencentes a esse evento?

Exercıcio 2. Qual o espaco amostral associado a um experimentoque consiste em determinar a altura de criancas com disturbios decrescimento?

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Operacoes com Conjuntos

As operacoes com conjuntos podem ser aplicadas aos eventos.Entao define-se:

Evento intersecao (A ∩ B): e o conjunto formado pelosresultados que pertencem aos eventos A e B simultaneamente.

Evento uniao (A ∪ B): e o evento formado pelos resultadosde A ou B, ou seja, os resultados que pertencem a pelo menosum dos eventos.

Evento complementar (ACou A): e o evento formado pelosresultados que nao pertencem ao evento considerado.

Eventos mutuamente exclusivo: Dois eventos saomutuamente exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅.

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Operacoes com Conjuntos

Exercıcio 3: Considere o lancamento de dois dados. Considere oseventos: A = soma dos numeros obtidos igual a 9, e B = numerono primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os elementos de A eB. Obtenha A ∪ B, A ∩ B e Ac .

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Definicao e Propriedades de Probabilidade

Definicao classica de Probabilidade: a definicao classica deprobabilidade nos diz que a probabilidade de ocorrer o evento A edefinida como:

P(A) =numeros de casos favoraveis

numeros de casos possıveis=

]A

]Ω=

n

N

Exemplo: Numa sala existem 40 homens e 60 mulheres.Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, a probabilidade de ser mulhere de

P(mulher) =60

100= 0, 6 ou P(mulher) = 60%

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Definicao de Propabilidade Axiomatica: Sejam Ω um espacoamostral associado a um experimento. A cada evento Aassociaremos um numero real representado por P(A) e denominadoprobabilidade de A que satisfaz as seguintes propriedades:

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(Ω) = 1

Se A1,A2, . . . ,An forem, dois a dois eventos mutuamentesexclusivos, entaoP(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An)

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Exercıcio 4: Um pesquisador verifica que, dentre 1000 casos decirrose hepatica, 40 evoluıram para cancer. Com base nessaexperiencia, qual a probabilidade da cirrose se tornar cancerosa?Solucao: Seja A o evento ”cirrose hepatica que evoluı paracancer”, assim:

P(A) =40

1000= 0, 04 ou P(A) = 4%

Portanto, a probabilidade da cirrose se tornar cancerosa e de 4%.

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Propriedades de Probabilidade: Sejam Ω um espaco amostral eA,B e C eventos de Ω, entao:

P(∅) = 0

P(AC ) = 1− P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

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As operacoes de reuniao, intersecao e complementacao entreeventos possuem propriedades analogas aquelas validas paraoperacoes entre conjuntos;

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A ∪ Ac = Ω

A ∩ Ac =

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

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Exercıcio 5: Suponha que o seguinte quadro represente umapossıvel divisao de alunos matriculados na UFU em umdeterminado semestre:

Calcular:a) A probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente estarmatriculada em engenharia;b) P(M)?c) P(MT ∪M)?d) P(E ∪ C )?e) P(QC )?

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Exercıcio 6: Considere um experimento e os eventos A e Bassociados a este experimento. Seja P(A) = 1

2 ; P(B) = 13 e

P(A ∩ B) = 14 . Calcule:

a) P(AC )b) P(A ∪ B)c) P(Ac ∩ Bc)d) P(Ac ∪ Bc)e) Qual a probabilidade que B ocorra e A nao ocorra.

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Analise Combinatoria

Nem sempre e possıvel enumerar o espaco amostral. Nestes casos,deve-se usar a analise combinatoria como processo de contagem.Nas combinacoes estamos interessados somente em selecionarobjetos sem nos preocuparmos com a ordem. Assim, o numerototal de combinacoes de p objetos selecionados dentre os n objetosdistintos, denotado por Cn,p e

Cn,p =n!

n!(n − p)!

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Exemplos:1. Dentre oito pessoas, quantas comissoes de tres membros podemser escolhidas?2. Um grupo de oito pessoas e formado de cinco homens e tresmulheres. Quantas comissoes de tres pessoas podem serconstituıdas, incluindo exatamente dois homens?

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Probabilidade Condicional e Independencia

Probabilidade Condicional

Probabilidade Condicional: Em muitas situacoes, o fato deficarmos sabendo que um determinado evento ocorreu faz com quese modifique a probabilidade que atribuımos a um outro evento.Este tipo de probabilidade e chamada de probabilidadecondicionada.Dado dois eventos A e B do espaco amostral Ω, denotamos porP(A/B) a probabilidade do evento A ocorrer dado que (sabendoque) o evento B ocorreu (Obs: na pratica se diz A dado B).

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A probabilidade condicional P(A/B) e definida como:

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B); P(B) 6= 0.

Analogamente,

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(A); P(A) 6= 0.

Dessas expressoes e possıvel definir a Regra do Produto deProbabilidade:

P(A ∩ B) = P(A/B) · P(B) = P(B/A) · P(A)

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Exercıcio 7. Utilizando os dados dos alunos matriculados em umauniversidade, determine: Sabendo que uma pessoa selecionada aoacaso esta matriculada em matematica, qual a probabilidade queela seja do sexo masculino?

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Exercıcio 8. Uma urna contem duas bolas brancas (B) e tresvermelhas (V ). Suponhaque sao sorteadas duas bolas ao acaso,sem reposicao. Isso significa que escolhemos aprimeira bola,verificamos sua cor e nao a devolvemos a urna, misturamos asbolas restantes e retiramos a segunda. O diagrama em arvore daFigura ilustra as possibilidades. Em cada ’galho’ da arvore estaoindicadas as probabilidades de ocorrencia, sendo que para assegundas bolas as probabilidades sao condicionais.

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Se A indicar o evento ’bola branca na segunda extracao’, entao

P(A) = P(BB) + P(VB) = 2/20 + 6/20 = 2/5

Resultados do Experimento

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Exercıcio 9: Num certo colegio, 4% dos homens e 1% dasmulheres tem mais de 1,75 de altura. 60% dos estudantes saomulheres. Um estudante e escolhido ao acaso e tem mais de1,75m. Qual e a probabilidade de que seja homem?

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Eventos Independentes

Eventos Independentes: Da regra do produto de probabilidades,surge a definicao de eventos independentes. Dois eventos A e Bsao independentes se, e somente se, P(A/B) = P(A) ouP(B/A) = P(B). Assim, se A e B forem independentes, temos:

P(A ∩ B) = P(A/B)P(B) = P(A)P(B)

Generalizando, varios eventos sao independentes entre si, se foremindependentes dois a dois, ouainda:P(A ∩ B ∩ . . . ∩W ) = P(A).P(B). · · · .P(W )

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Eventos Independentes

Exercıcio 10: A probabilidade de que um homem esteja vivo daquia 30 anos e 2/5; a de sua mulher e de 2/3. Determinar aprobabilidade de que daqui 30 anos:a) ambos estejam vivos;b) somente o homem esteja vivo;c) pelo menos um esteja vivo.

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Exercıcio 11: Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0, 2;P(B) = p; e P(A ∪ B) = 0, 6. Calcular p considerando A e B:a) mutuamente exclusivosb) independentes

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Exercıcio 12: Considere 3 fabricas A, B e C, que produzem umdeterminado produto em lotes de 100, 200 e 300 pecas,respectivamente. Um lote de cada fabrica e selecionado e as pecassao misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrarpecas defeituosas em cada uma das fabricas seja respectivamentede 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peca ao acaso, calcule asseguintes probabilidades:a) ser da fabrica A;b) ser defeituosa, sabendo que a peca provem da fabrica A;c) ser defeituosa;d) ser da fabrica A, sabendo que a peca e defeituosa.

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