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PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA.

CONJUNTOS CONVEXOS.

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! CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN.

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PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION MATEMATICA.

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! - Función Objetivo:

Función que se pretende Maximizar o minimizar. - Conjunto de oportunidades:

Conjunto de puntos que satisfacen las restricción del problema. - Restricción activa en un punto:

Si satisface dicha restricción en términos de igualdad. - Restricción inactiva en un punto:

Si satisface dicha restricción en términos de desigualdad. - Restricción redundante:

No influye en la definición del conjunto de oportunidades, se podría eliminar.

Concepto general de óptimo: ➢ Máximo Local: Es el máximo relativo respecto a los puntos admisibles de su entorno. ➢ Mínimo Local: Es el mínimo relativo respecto a los puntos admisibles de su entorno. ➢ Máximo Global: Es el máximo respecto a todos los puntos admisibles. ➢ Mínimo Global: Es el máximo respecto a todos los puntos admisibles.

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Podemos afirmar que existirán, al menos, un máximo y un mínimo global en el interior o en la frontera del conjunto de oportunidades. La no verificación del teorema no implica que el problema no tenga solución.

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RESOLUCIÓN GRÁFICA

Curvas de nivel. ( Definidas a partir de la función Objetivo ) Si la función objetivo es lineal El Gradiente nos indicará la dirección de máximo crecimiento. Si la función objetivo es un circunferencia El centro de la circunferencia será el minimo. Circunferencia: Elipse: Parábola:

+ = 1 y = ax² + bx + c (a,b) Centro. (a,b) Centro. Si a > 0, la ramas hacia arriba. (a,b) Centro. h radio de x. Si a < 0, la ramas hacia abajo. R Radio. K radio de y. Vértice:

TEMA 2. PROGRAMACIÓN NO LINEAL.

CASO NO SUJETO A RESTRICCIONES.

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1. Punto de silla:

! 2. Clasificamos la Hessina de la función en el punto de silla y según obtengamos, el punto óptimo será un máximo o mínimo.

CASO SUJETO A RESTRICCIONES DE IGUALDAD. LA FUNCIÓN DE LAGRANGE. INTERPRETACIÓN DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

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1. Función de Lagrange.

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2. λ ) = 0 Resolvemos el sistema y obtenemos los puntos críticos.

3. Condiciones suficientes de segundo orden.

H λ ) Evaluamos en los puntos críticos obtenidos. y ) Evaluamos en los puntos críticos obtenidos.

4. Construimos la forma cuadrática restringida y la clasificamos. Mínimo Local. Máximo Local.

Interpretación de los Multiplicadores de Lagrange.



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CASO SUJETO A RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD.

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! Punto estacionario.

1. Función de Lagrange.

2. λ ) = 0

= 0 = 0 λ=0 , g(x)=0

Estableceremos un sistema en el que definiremos las restricción activas para así de esta manera saber que multiplicadores valen cero y cuales no, así poder determinar los valores críticos. Si la restricción no es activa, su multiplicador asociado vale cero, en caso contrario el multiplicador será distinto de cero y la restricción irá definida por una igualdad.

TEMA 3. PROGRAMACIÓN LINEAL.

CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. - Función objetivo lineal. - Conjunto de oportunidades cerrado y convexo. - Si un problema de Programación Lineal posee solución, dicho valor óptimo es global, ya

que se dan las hipótesis del teorema local-global. Pero no podemos asegurar que el



problema general de Programación Lineal posea solución,ya que no siempre el conjunto de oportunidades va a estar acotado, condición que faltaría para la verificación de las condiciones del teorema de Weierstrass.

- En un problema de PL, solo se pueden dar tres situaciones: No tiene solución. Tiene solución única. Tiene infinitas soluciones.

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- Se podría resolver gráficamente y por el método del Simplex.

EL MÉTODO DEL SIMPLEX.

1. Planteamiento:

! 2. Problema general de forma Estándar, las restricciones de desigualdad las convertiremos en restricciones de igualdad, para ello introducimos unas nuevas variables no negativas, (variables de holgura) las cuales entran: • Con signo positivo en restricciones de ≤ • Con signo negativo en restricciones de ≥ • Con coeficiente nulo en la función objetivo.

Max 7x + 7y s.a -2x + y + x2 = 2 x – y + x3 = 1 x + y + x4 = 4

3. Tabla:



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FALTARÍA DEFINIR LOS COMPONENTES DE LA TABLA; CJ, Z, Po….

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! CASOS PARTICULARES

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■ Variables que no están en el primer cuadrante:



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! ■ Método de la M-grande.

FALTARIAN EJEMPLOS

DUALIDAD

Cualquier problema lineal lleva asociado otro problema y entre ellos se establecen una serie de relaciones:

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Establecer la relación entre las soluciones

Ejemplos.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE COSTES, RECURSOS.

Sensibilidad de Costes: En este caso definiremos los valores que se puede modificar el coste sin que varíe la base óptima del problema. Intervalo del coste que mantiene la solución.

■ Partimos de la tabla optima y montamos un sistema a partir del cual podemos ver entre que valores se puede mover el Ci para mantener la solución:

! Sistema para el caso del C1

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Sistema para el caso del C2



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Sistema para el caso de C3

! En este caso el coste al nos ser básico solo afecta a Z3 – C3 siendo el intervalo:

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Sensibilidad de Recursos: ■ Partimos de la tabla optima y montamos un sistema a partir del cual podemos ver entre

que valores se puede mover bi para mantener la solución:

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! Sistema para b1:

! P0 Vector inicial de recursos.

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Sistema para b2:



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