Progressão Aritmética-P.A.

Instituto Federal da BahiaCampus Jequié

Por Valdex Santos

SequênciasUm conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da sequência.Exemplo 1: Seja a sequência tal que: As informações e , para todo número natural n, não nulo, determina todos os termos da sequência e a ordem dos mesmos.

Na igualdade atribuímos para os valores , obtendo os demais termos da sequência, isto é,

59...

Portanto a sequência é

Sequências

Exemplo 2: Seja a sequência tal que . Encontremos os termos dessa sequência:

...Portanto a sequência é

Sequências

Exemplo 3: Determine os termos da sequência de termo geral

...A sequência é Exemplo 4: Determine os termos da sequência

de termo geral ...A sequência é

Sequências

Progressão Aritmética – P. A.Progressão Aritmética(P.A.) é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante r, chamada de razão da P. A.Exemplos:a) A sequência é uma P. A. finita de razão b) é uma P. A. infinita de razão c) é uma P. A. infinita de razão

Podemos classificar as Progressões Aritméticas em crescente, decrescente ou constante.Crescente: Uma P. A. é crescente quando cada

termo, a partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que isso ocorra é necessário e suficiente que ela tenha razão positiva.

Exemplo: é uma P. A. crescente, note que a razão é positiva

Classificação das Progressões Aritméticas

Decrescente: Uma P. A. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o antecedente. Para que isso ocorra é necessário e suficiente que ela tenha razão negativa.

Exemplo: é uma P. A. decrescente, note que a razão é negativa

Constante: Uma P. A. é constante quando todos os seus termos são iguais.

Exemplo: é uma P. A. constante, note que a razão é nula

Classificação das Progressões Aritméticas

Praticando...1) Verifique se cada sequência é ou não uma P. A.

a) tal que , para todo natural não nulo, com

b) tal que , para todo natural não nulo, com 9

c) tal que , para todo natural não nulo, com 8

Praticando...2) Classifique cada P.A. em crescente, decrescente ou constante.a) tal que

b) tal que

c) tal que

Praticando...3) Determine o número real , de modo que a sequência seja uma P. A.

Fórmula do termo geral de uma P. A.Problema: Uma nova linha de metrô, ainda em construção, tinha no início do ano passado. De lá pra cá, essa linha cresceu ao mês.A sequência a seguir apresenta os comprimentos, em quilômetros, dessa linha do metrô, mês a mês, a partir de janeiro do ano passado:

Responda:a) Quantos quilômetros essa linha terá em dezembro do mesmo ano?

Fórmula do termo geral de uma P. A.Deduzindo:

Observamos que, em cada igualdade, o coeficiente de tem uma unidade a menos que o índice à esquerda da igualdade, concluímos assim que o n-ésimo termo é dado por

Fórmula do termo geral de uma P. A.Resumindo:Numa P. A. de razão , temos

Praticando...1) Determinar o termo da P. A.

2) Obtenha o n-ésimo termo, , da P. A.

3) Quantos termos tem a P. A. ?

4) Em uma P. A. temos e . Determine a razão da P. A.

5) Interpole 6 meios aritméticos entre 2 e 10, nessa ordem.

Propriedades das Progressões Aritméticas Em toda P. A. finita, a soma dos termos

equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, ou seja,

Exemplo: =6628+38

=6623+43=6618+48=6613+53=668+58=663+63

Propriedades das Progressões Aritméticas Em toda P. A. finita, cada termos localizado entre

o primeiro e o último é igual a média entre seu antecessor e seu sucessor, ou seja,

Exemplo:

Consequência: Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é a média entre os extremos.

Representação Genérica de uma Progressão Aritmética

Generalizando...

Praticando...1) Numa P. A. finita, o termo médio é o quádruplo do

primeiro termo. Sabendo que o último termo dessa P.A. é 42, determine o primeiro termo.

2) Obtenha para que a sequência seja uma P. A.3) Numa P. A. decrescente de três termos, a soma dos

termos é 6 e o produto é -24. Determine a P.A.4) (Faap-SP) As medidas dos ângulos internos de um

triângulo, em ordem crescente, forma uma P. A. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:

a) b) c) d) e)

Soma dos n primeiros termos de uma P. A.Contextualização:No ano de 1785, numa pequena escola do principado de Braunschewieg, na Alemanha, o professor Buttner propôs as seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100, apenas três minutos depois um menino de 8 anos, aproximou-se da mesa do professor e apresentou o resultado pedido. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto.Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss(1777-1855).

Soma dos n primeiros termos de uma P. A.O cálculo efetuado por Gauss foi simples e elegante; ele percebeu que:A soma do primeiro nº com o último é: A soma do segundo nº com o penúltimo é: A soma do terceiro nº com o antepenúltimo é: e assim por diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, que é 101:

Soma dos n primeiros termos de uma P. A.

Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

Esse raciocínio pode ser generalizado para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma P.A., pelo teorema a seguir:

=1011+100=1012+99=1013+98=101

4+97

Soma dos n primeiros termos de uma P. A.A soma dos primeiros termos da P. A. é dada por

Demonstração: ?

Praticando...1) Calcular a soma dos vinte primeiros termos da P.

A. .2) Calcule a soma dos múltiplos positivos de 9,

menores que 100.3) Determine a soma de todos os números naturais

que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e que estejam compreendidos entre 100 e 700.

4) Calcule:a) A soma dos n primeiros números pares.b) A soma dos n primeiros números ímpares.